专题12弧长与扇形面积精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦弧长与扇形面积核心知识点，系统梳理弧长公式（圆心角占比原理及变形）、扇形面积公式（角度型与弧长型）、弓形面积割补计算，以及圆锥侧面展开的母线、底面半径、圆心角换算，构建从基础公式到不规则图形转化的递进式学习支架。 该资料通过14类分层题型（含基础到拔高）和易错点提示，结合徽派建筑扇形花窗、草帽圆锥等实例，培养几何直观与应用意识。课中辅助教师差异化教学，课后帮助学生强化转化思想与逻辑推理，有效查漏补缺。

专题12弧长与扇形面积精讲学案 课堂核心立意 牢记弧长、扇形面积规范公式，掌握弓形面积割补计算、圆锥侧面展开等量转换，完成母线、底面半径、扇形圆心角换算，解决弧长计算、扇形面积、圆锥表面积、弧形实际应用题。 弧长公式 设扇形圆心角度数为n，圆的半径为R，弧长为L ①标准公式：L= ②原理：整个圆周长2 R，圆心角360°，依据圆心角占比求弧长。 ③公式变形：已知两个量，可求解半径、圆心角、弧长第三个量。 扇形面积两组标准公式 设扇形圆心角n，半径R，弧长L，扇形面积S ①角度型公式：S= ②弧长简化公式：S=LR ③使用技巧：给出圆心角选用第一式，已知弧长选用第二式简化计算。 ④扇形定义：两条半径与一段圆弧围成的封闭图形。 弓形面积计算 ①劣弧弓形面积=扇形面积−对应三角形面积 ②优弧弓形面积=整圆面积−劣弧弓形面积 ③解题思路：不规则弓形转化为规则图形和差运算。 圆锥侧面展开对应关系 圆锥母线长l，底面圆半径r，侧面扇形圆心角n ①侧面展开图形是扇形，扇形半径=圆锥母线l ②扇形弧长=底面圆周长：2r= ③圆锥侧面积：S侧=rl ④圆锥全面积：S全=rl+r2 ⑤圆心角推导公式：n=，用于三个参数互相换算。 不规则弧形阴影面积解法 割补法、平移拼凑、等面积替换，把不规则阴影转化为圆、扇形、三角形组合图形计算。 ①弧长公式分母180，扇形角度公式分母360，分母混淆直接计算出错。 ②求圆锥表面积容易遗漏底面圆面积，只计算侧面积失分。 ③区分圆锥母线、圆锥的高、底面圆半径三条线段，不可混用。 ④圆锥圆心角计算时，底面周长与扇形弧长等量关系式列错。 ⑤弓形计算不分优弧、劣弧，加减符号颠倒，面积算出负数。 ⑥公式代入数值仅填写角度数字，不需要额外标注°符号。 题型 考察方向 难度 题型一 求弧长 ★ 题型二 求扇形半径 ★★ 题型三 求圆心角 ★★ 题型四 求某点的弧形运动路径长度 ★★ 题型五 求扇形面积 ★ 题型六 求图形旋转后扫过的面积 ★★★ 题型七 求弓形面积 ★★ 题型八 求其他不规则图形的面积 ★★ 题型九 求圆锥侧面积 ★★ 题型十 求圆锥底面半径 ★★ 题型十一 求圆锥的高 ★★ 题型十二 求圆锥侧面展开图的圆心角 ★★ 题型十三 圆锥的实际问题 ★★★ 题型十四 圆锥侧面上最短路径问题 ★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础★★中档★★★拔高 题型一：求弧长 解题思路 ①确定圆弧对应的圆心角度数与圆弧所在圆的半径 ②直接套用弧长公式计算结果 ③核验半径线段，禁止使用弦长、母线替代圆弧所在圆半径 1．如图，已知折扇骨柄长为，折扇完全张开时的度数为，此时弧的长是（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知等边的边长为，以为直径的与边，分别交于，两点，则劣弧的长为__________． 3．如图，是的直径，点在上，连接、，平分交于点，若的半径是，则的长度是______． 4．如图，四边形是边长为5的正方形，O为对角线上一动点，以O为圆心，2为半径画弧交正方形边于点E，交于点F，交于点M．若，则的长为（     ） A． B． C．或 D． 题型二：求扇形半径 解题思路 ①已知弧长与圆心角，对弧长公式逆向推导求出半径 ②已知扇形面积与圆心角，使用角度型扇形面积公式，算出半径平方后开方取正值 R= 5．若的圆心角所对的弧长为，则此弧所在圆的半径为（   ） A．6 B．10 C．12 D．24 6．如图，将一个扇形围成圆锥的侧面，已知扇形面积为，圆锥的底面圆半径，则扇形半径＝______． 7．图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的弧与弧的长都为，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（   ） A． B． C． D． 题型三：求圆心角 解题思路 ①结合已知的弧长、半径，反向推导圆心角度数 ②依靠扇形面积与半径，逆向求解圆心角，最终结果标注角度单位 n= 8．如图，为的直径，，劣弧的长，则弦的长为（　　） A．2 B．4 C．4 D．6 9．如图，一个半径为的定滑轮带动重物上升了 ，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则滑轮上某一点P旋转了_______度． 10．已知圆锥的底面半径为，母线长为（如图），则圆锥的侧面展开图的圆心角为______ 度． 题型四：求某点的弧形运动路径长度 解题思路 ①锁定图形旋转中心点 ②量取动点到旋转中心距离作为旋转半径 ③明确整体旋转的角度大小 ④使用弧长公式计算轨迹长度，区分圆弧轨迹和两点直线距离 11．如图，某汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为．若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（    ） A． B． C． D． 12．如图，把一块的直角三角板绕点旋转到的位置．使得三点、在一直线上，若，则顶点从开始到结束所经过的路径长为______． 13．如图，半径为的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线，然后把半圆沿直线进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线重合为止，则圆心运动路径的长度等于（       ） A． B． C． D． 题型五：求扇形面积 解题思路 ①题干给出圆心角和半径，选用角度式扇形面积公式计算 ②题干给出弧长与扇形半径，选用弧长简化面积公式运算 S扇形=LR ③确认图形为标准扇形，弓形图形不可直接套用扇形面积公式 14．徽派建筑是中国传统建筑中的瑰宝，其以精巧的布局、典雅的形制和深厚的文化意蕴，成为江南地域文化的鲜明符号．如图是扇形花窗造型，若，，则该阴影部分的面积为（    ）． A． B． C． D． 15．如图，在中，，，则图中阴影部分的面积是________．（结果保留） 16．如果将扇形的圆心角扩大为原来的2倍，半径缩小为原来的，那么所得扇形的面积为原来的（     ） A．4倍 B．1倍 C． D． 17．某工件形状如图所示，的度数为，，点到点的距离等于，，则工件的面积等于（     ）． A． B． C． D． 题型六：求图形旋转后扫过的面积 解题思路 ①确定旋转中心、旋转角度，区分外圈半径、内圈半径 ②线段、多边形旋转形成的区域多为扇环，面积用大扇形面积减去小扇形面积 ③多段旋转图形进行拆分，单独计算各个扇形面积后求和 18．如图，是等腰直角三角形，，，把绕点A沿顺时针方向旋转45°后得到，则线段在上述旋转过程中所扫过的部分（阴影部分）的面积是（    ） A． B． C． D． 19．如图，为半圆内一点，为圆心，直径长为，，，将绕圆心逆时针旋转至，点在上，则边扫过区域(图中阴影部分)的面积为______． 20．一辆汽车的后窗有一种特殊形状的雨刮器，忽略雨刮器的宽度，可将其抽象为一条折线（与水平线平行），如图1，量得连杆长为，雨刮杆长为，．若启动一次雨刮器，雨刮杆正好扫到的位置（与水平线平行），如图2，则在此过程中，雨刮杆扫过的面积为（    ） A． B． C． D． 题型七：求弓形面积 解题思路 ①劣弧弓形面积由扇形面积减去内部三角形面积得到 ②优弧弓形面积用整圆面积减去劣弧弓形面积 ③区分优弧、劣弧，避免加减运算符号颠倒 21．如图，的半径为2，是的内接三角形，，则图中阴影部分的面积__________．    22．将一枚飞镖任意投掷到如图所示的半圆上，飞镖落在阴影区域的概率为___． 23．如图，已知点C、D在上，直径，弦、相交于点E．若，则阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 题型八：求其他不规则图形的面积 解题思路 ①利用割补、平移、旋转完成图形等面积转化 ②把不规则弧形图形拆解为圆形、扇形、三角形、矩形等基础几何图形 ③通过基础图形面积的和差运算算出阴影总面积 24．如图，半径为的扇形中，为的中点，连接，．已知的长度为，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 25．如图，在边长为2的正方形中，对角线与的交点为，分别以、为圆心，以的长为半径画弧，分别与正方形的边相交，则图中阴影部分的面积为________（结果保留）． 26．如图，在矩形中，以为圆心，长为半径画弧，交于点，以为圆心，为半径画弧交于点．若，，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 题型九：求圆锥侧面积 解题思路 ①梳理圆锥底面圆半径与母线长度两个关键条件 ②代入圆锥侧面积公式计算，若需要完整表面积，额外叠加底面圆形面积 S侧= r l 27．圆锥的底面半径为，母线长为，则这个圆锥的侧面积是_____． 28．“云南十八怪，草帽当锅盖”，如图草帽锅盖下宽上窄，呈圆锥状．已知圆锥的底面直径为，母线长为，则此草帽锅盖的侧面积约是（   ） A． B． C． D． 29．如图，冰激凌蛋筒下部为一个底面直径为，母线长为的圆锥，则蛋筒圆锥部分包装纸的表面积（接缝忽略不计）为________． 30．数学综合实践课上，小红打算用纸板制作一个如图所示的高为8、底面圆半径为6的圆锥形漏斗模型，若不计接缝和损耗，她所需纸板的面积为（   ） A． B． C． D． 题型十：求圆锥底面半径 解题思路 ①核心等量逻辑：圆锥底面圆周长和侧面展开扇形弧长相等 ②对等量关系式化简，求解底面半径，约去圆周常数简化计算步骤 31．用一个半径为20，圆心角为的扇形围成一个如图所示的圆锥，则这个圆锥的底面半径是（　　） A．6 B．5 C．6π D．5π 32．如图，从一块直径是 的圆形铁皮上剪下一个圆心角为的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径是______． 33．如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角是的扇形，则此扇形围成的圆锥底面圆的半径为（    ） A． B． C． D． 题型十一：求圆锥的高 解题思路 ①圆锥母线、底面半径、圆锥高线构成直角三角形，依靠勾股定理计算高度 h= ②母线为直角三角形斜边，长度大于圆锥的高与底面半径，参数不要混用 34．如图，将半径为15cm的圆形纸片剪去圆心角为144°的一个扇形，用剩下的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），这个圆锥的高是（   ） A．8cm B．12cm C．20cm D．18cm 35．把一个圆锥从顶点沿高将它切成两半，表面积增加了，已知圆锥的底面周长是，那么这个圆锥的高是_______．（取） 36．小明打算用一张半径为15cm，圆心角为120°的扇形纸片做成一个圆锥形的小丑帽，则这个小丑帽的高为（    ） A． cm B．cm C．cm D．cm 题型十二：求圆锥侧面展开图的圆心角 解题思路 ①借助底面周长与扇形弧长相等的等量关系进行化简计算 n= ②代入底面半径、母线数值计算角度，禁止用圆锥的高替换母线参与计算 37．如图，是一个圆锥形状的生日帽，若该圆锥的母线长与底面圆半径的比为，将该帽子沿母线剪开，则其侧面展开扇形的圆心角为（   ）． A． B． C． D． 38．如图，有一种竹编斗笠，外形是圆锥，它的母线长为，底面直径为，则该斗笠的侧面展开图的圆心角大小为_______． 39．如图，圆锥的底面圆心为，顶点为，母线长为，母线与高的夹角为，那么圆锥侧面展开图的圆心角度数为______． 题型十三：圆锥的实际问题 解题思路 ①扇形铁皮卷制圆锥题型：扇形半径对应圆锥母线，扇形弧长对应圆锥底面周长 ②用料计算：只算外侧铁皮仅求侧面积，带有底座结构需要计算整体表面积 ③实际用料数值根据题意向上取整处理 40．某博物馆修复一把古代铜锁，锁头的装饰部分为圆锥形（如图）．已知装饰部分的底面圆的半径为3厘米，母线长为5厘米，则该圆锥形装饰的面积为（   ） A．平方厘米 B．平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米 41．如图，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，则的长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 42．在学习“圆锥”时，小明同学进行了研究性学习： 如图，圆锥的母线，底面半径，扇形是圆锥的侧面展开图，． 依据上述条件，小明得到如下结论： ①； ②； ③若，则． 正确的结论是_____．（填写序号） 题型十四：圆锥侧面上最短路径问题 解题思路 ①沿着圆锥一条母线剪开，将立体侧面展开为平面扇形 ②依据两点之间线段最短，在平面扇形内连接两个定点 ③测算线段长度即为曲面最短路径，不在圆锥曲面上直接测距计算 43．如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为1，若一小虫从点开始绕着圆锥表面爬行一圈到的中点，求小虫爬行的最短距离是多少?（　　） A． B． C． D． 44．如图，将一个圆锥的侧面展开后得到一个圆心角为、面积为的扇形，一只蚂蚁从圆锥的底部边缘爬行到顶部，那么它爬行的最短路线长是________． 45．如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6，如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的最短长度是（　　） A． B． C． D． 解答题 1．工地上有一堆沙子，形状近似于一个圆锥（如图）．这堆沙子的体积大约是多少？ 2．在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着长为的绳子，绳子的另一端拴着一只狗． 问题： （1）这只狗的最大活动区域有多大？这个区域的边缘的长是多少？ （2）如果这只狗拴在夹角为的墙角，那么它最大的活动区域有多大？这个区域的边缘的长是多少？ （3）如果这只狗拴在夹角为的墙角，那么它最大的活动区域有多大？这个区域的边缘的长是多少？ 小结：在半径为R的圆中，圆心角为，其所对的弧长的计算公式： ；在半径为R的圆中，圆心角为，其所对的扇形的面积公式： ． 思考：根据以上公式，你发现弧长与扇形的面积具有怎样的关系呢？ ． 3．如图，扇形的圆心角为，其弧长是． (1)求此弧所在圆的半径长； (2)若将这个扇形制作成圆锥的侧面，则该圆锥的高是_______． 4．如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为1，若一小虫P从A点开始绕着圆锥表面爬行一圈到的中点C，求小虫爬行的最短距离是多少?    5．【材料阅读】有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫做这个三角形的“等弦圆”． 【问题解决】如图，是的“等弦圆”，是截得的三条弦． (1)求证：平分． (2)若，，求图中阴影部分的面积． 6．已知扇形的半径为6，圆心角为，若将此扇形围成一个圆锥，求： (1)围成的圆锥的侧面积； (2)围成的圆锥的全面积． 思考1：求圆锥的侧面积就是求　　　． 思考2：要求圆锥的全面积，还需要求出圆锥的底面圆的面积，这就需要求出底面圆的　　　，而扇形的弧长是圆锥底面圆的　　　，所以可以先求出扇形的弧长． 7．草帽：是用水草、席草、麦秸、竹蔑等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品．如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、高为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． (1)计算这顶锥形草帽的侧面积．（结果保留） (2)计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12弧长与扇形面积精讲学案 课堂核心立意 牢记弧长、扇形面积规范公式，掌握弓形面积割补计算、圆锥侧面展开等量转换，完成母线、底面半径、扇形圆心角换算，解决弧长计算、扇形面积、圆锥表面积、弧形实际应用题。 弧长公式 设扇形圆心角度数为n，圆的半径为R，弧长为L ①标准公式：L= ②原理：整个圆周长2 R，圆心角360°，依据圆心角占比求弧长。 ③公式变形：已知两个量，可求解半径、圆心角、弧长第三个量。 扇形面积两组标准公式 设扇形圆心角n，半径R，弧长L，扇形面积S ①角度型公式：S= ②弧长简化公式：S=LR ③使用技巧：给出圆心角选用第一式，已知弧长选用第二式简化计算。 ④扇形定义：两条半径与一段圆弧围成的封闭图形。 弓形面积计算 ①劣弧弓形面积=扇形面积−对应三角形面积 ②优弧弓形面积=整圆面积−劣弧弓形面积 ③解题思路：不规则弓形转化为规则图形和差运算。 圆锥侧面展开对应关系 圆锥母线长l，底面圆半径r，侧面扇形圆心角n ①侧面展开图形是扇形，扇形半径=圆锥母线l ②扇形弧长=底面圆周长：2r= ③圆锥侧面积：S侧=rl ④圆锥全面积：S全=rl+r2 ⑤圆心角推导公式：n=，用于三个参数互相换算。 不规则弧形阴影面积解法 割补法、平移拼凑、等面积替换，把不规则阴影转化为圆、扇形、三角形组合图形计算。 ①弧长公式分母180，扇形角度公式分母360，分母混淆直接计算出错。 ②求圆锥表面积容易遗漏底面圆面积，只计算侧面积失分。 ③区分圆锥母线、圆锥的高、底面圆半径三条线段，不可混用。 ④圆锥圆心角计算时，底面周长与扇形弧长等量关系式列错。 ⑤弓形计算不分优弧、劣弧，加减符号颠倒，面积算出负数。 ⑥公式代入数值仅填写角度数字，不需要额外标注°符号。 题型 考察方向 难度 题型一 求弧长 ★ 题型二 求扇形半径 ★★ 题型三 求圆心角 ★★ 题型四 求某点的弧形运动路径长度 ★★ 题型五 求扇形面积 ★ 题型六 求图形旋转后扫过的面积 ★★★ 题型七 求弓形面积 ★★ 题型八 求其他不规则图形的面积 ★★ 题型九 求圆锥侧面积 ★★ 题型十 求圆锥底面半径 ★★ 题型十一 求圆锥的高 ★★ 题型十二 求圆锥侧面展开图的圆心角 ★★ 题型十三 圆锥的实际问题 ★★★ 题型十四 圆锥侧面上最短路径问题 ★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础★★中档★★★拔高 题型一：求弧长 解题思路 ①确定圆弧对应的圆心角度数与圆弧所在圆的半径 ②直接套用弧长公式计算结果 ③核验半径线段，禁止使用弦长、母线替代圆弧所在圆半径 1．如图，已知折扇骨柄长为，折扇完全张开时的度数为，此时弧的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据弧长公式计算即可． 【详解】解：由题意可得，弧的长为． 2．如图，已知等边的边长为，以为直径的与边，分别交于，两点，则劣弧的长为__________． 【答案】 【分析】连接，证明都是等边三角形，再利用弧长公式求解即可； 【详解】解：连接， 等边的边长为，以为直径的与边，分别交于，两点， ，， 都是等边三角形， ∴， ， 故劣弧的长为； 3．如图，是的直径，点在上，连接、，平分交于点，若的半径是，则的长度是______． 【答案】 【分析】根据圆周角定理得到，根据角平分线的定义求出的度数，根据圆周角定理得到，根据弧长公式计算即可． 【详解】解：连接， 是的直径， ， 平分， ， ， 则的长度是． 4．如图，四边形是边长为5的正方形，O为对角线上一动点，以O为圆心，2为半径画弧交正方形边于点E，交于点F，交于点M．若，则的长为（     ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】分两种情况讨论，利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图：当弧是劣弧时，则弧长为； 当弧是优弧时，如图，则弧长为 ∴弧的长为或． 题型二：求扇形半径 解题思路 ①已知弧长与圆心角，对弧长公式逆向推导求出半径 ②已知扇形面积与圆心角，使用角度型扇形面积公式，算出半径平方后开方取正值 R= 5．若的圆心角所对的弧长为，则此弧所在圆的半径为（   ） A．6 B．10 C．12 D．24 【答案】C 【分析】此题考查了弧长的计算，理解记忆弧长公式是解题的关键． 由弧长公式分别代入相应的数值求解即可． 【详解】解：由题意可得：，， ， 解得． 故选：C． 6．如图，将一个扇形围成圆锥的侧面，已知扇形面积为，圆锥的底面圆半径，则扇形半径＝______． 【答案】 【分析】本题考查圆锥的侧面积，由圆锥侧面展开图是扇形，可以利用求扇形面积公式即可求解，解题的关键是正确理解圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 【详解】由题意得：，其中， ∴， 解得：， 故答案为：． 7．图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的弧与弧的长都为，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的应用，过点A作，过点B作，在中，可求得，同理可求得，再由弧长公式可求得，即可求解． 【详解】解：过点A作，过点B作，如图， 则中，， ∴， 中，， ∴， ∵双翼的弧与弧的长都为，， ∴，， ∴， ∴， ∵双翼边缘的端点A与B之间的距离为， ∴当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为， 故选：D． 题型三：求圆心角 解题思路 ①结合已知的弧长、半径，反向推导圆心角度数 ②依靠扇形面积与半径，逆向求解圆心角，最终结果标注角度单位 n= 8．如图，为的直径，，劣弧的长，则弦的长为（　　） A．2 B．4 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了弧长公式，勾股定理； 先利用弧长公式求出，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：连接， 设的度数为， ∵， ∴半径， 则， ∴， ∴弦， 故选：C． 9．如图，一个半径为的定滑轮带动重物上升了 ，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则滑轮上某一点P旋转了_______度． 【答案】 【分析】根据弧长为 ，利用弧长公式建立方程求解即可． 【详解】解：设滑轮上某一点P旋转了， 根据题意，得 ， 解得 ． 10．已知圆锥的底面半径为，母线长为（如图），则圆锥的侧面展开图的圆心角为______ 度． 【答案】120 【分析】根据圆的周长公式求出圆锥的底面周长，根据弧长公式计算，得到答案． 【详解】解：设圆锥的侧面展开图的圆心角为n度， ∵圆锥的底面半径为， ∴圆锥的底面周长为，即圆锥的侧面展开图扇形的弧长为， 则， 解得：． 题型四：求某点的弧形运动路径长度 解题思路 ①锁定图形旋转中心点 ②量取动点到旋转中心距离作为旋转半径 ③明确整体旋转的角度大小 ④使用弧长公式计算轨迹长度，区分圆弧轨迹和两点直线距离 11．如图，某汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为．若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查扇形的面积．根据这扇车门底边扫过的区域是扇形，求出扇形的半径和圆心角，然后由扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：根据题意这扇车门底边扫过的区域是扇形， 其中扇形的半径为，圆心角最大角度为， ∴扇形的最大面积为：， 故选：B． 12．如图，把一块的直角三角板绕点旋转到的位置．使得三点、在一直线上，若，则顶点从开始到结束所经过的路径长为______． 【答案】 【分析】根据已知条件得到，，再根据旋转的性质得到，再根据弧长公式计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵直角三角板，在水平桌面上绕点按顺时针方向旋转到的位置， ∴， ∴顶点从开始到结束所经过的路径长． 13．如图，半径为的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线，然后把半圆沿直线进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线重合为止，则圆心运动路径的长度等于（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轨迹、弧长公式、圆的周长公式等知识，解题的关键是搞清楚轨迹是什么图形，记住弧长公式，圆周长公式．通过观察图形可知圆心运动路径的长度等于长加上的长，其中的长为圆的周长，根据弧长公式计算即可． 【详解】解：如图所示，圆心运动路径的长度等于． 故选：A． 题型五：求扇形面积 解题思路 ①题干给出圆心角和半径，选用角度式扇形面积公式计算 ②题干给出弧长与扇形半径，选用弧长简化面积公式运算 S扇形=LR ③确认图形为标准扇形，弓形图形不可直接套用扇形面积公式 14．徽派建筑是中国传统建筑中的瑰宝，其以精巧的布局、典雅的形制和深厚的文化意蕴，成为江南地域文化的鲜明符号．如图是扇形花窗造型，若，，则该阴影部分的面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键； 根据扇形面积公式结合阴影部分的面积求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴该阴影部分的面积； 故选：C． 15．如图，在中，，，则图中阴影部分的面积是________．（结果保留） 【答案】 【分析】先根据圆周角定理可得，再根据，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 16．如果将扇形的圆心角扩大为原来的2倍，半径缩小为原来的，那么所得扇形的面积为原来的（     ） A．4倍 B．1倍 C． D． 【答案】C 【分析】根据扇形面积公式计算判断即可 【详解】解：扇形面积，圆心角变为 ，半径变为， 变化后的扇形面积为： 17．某工件形状如图所示，的度数为，，点到点的距离等于，，则工件的面积等于（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作过点、、的圆，圆心为，连接、、，交于点，由圆周角定理推出是等边三角形，再根据垂径定理和三线合一的性质，易证，得到，进而得出工件的面积，即可得解． 【详解】解：如图，作过点、、的圆，圆心为，连接、、，交于点， ， ， ， 是等边三角形， ，， 点到点的距离等于， ， ，， ，即， ，， ， ， ， 工件的面积． 题型六：求图形旋转后扫过的面积 解题思路 ①确定旋转中心、旋转角度，区分外圈半径、内圈半径 ②线段、多边形旋转形成的区域多为扇环，面积用大扇形面积减去小扇形面积 ③多段旋转图形进行拆分，单独计算各个扇形面积后求和 18．如图，是等腰直角三角形，，，把绕点A沿顺时针方向旋转45°后得到，则线段在上述旋转过程中所扫过的部分（阴影部分）的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据等腰直角三角形的性质得到，，再根据旋转的性质得，则点、C、A共线，利用线段在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积进行计算即可． 【详解】解：∵是等腰直角三角形， ∴，， ∵绕点A按顺时针方向旋转45°后得到， ∴， ∴点B′、C、A共线， ∴线段在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积 ． 故选：A． 【点睛】本题考查了扇形面积的计算：阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．也考查了等腰直角三角形的性质和旋转的性质． 19．如图，为半圆内一点，为圆心，直径长为，，，将绕圆心逆时针旋转至，点在上，则边扫过区域(图中阴影部分)的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积计算．根据含度角的直角三角形的性质求出，根据计算即可． 【详解】解：，， ， ， 则边扫过区域的面积为： 故答案为：． 20．一辆汽车的后窗有一种特殊形状的雨刮器，忽略雨刮器的宽度，可将其抽象为一条折线（与水平线平行），如图1，量得连杆长为，雨刮杆长为，．若启动一次雨刮器，雨刮杆正好扫到的位置（与水平线平行），如图2，则在此过程中，雨刮杆扫过的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查旋转的实际应用，解直角三角形，不规则图形的面积，根据得出是解题的关键． 连接，过点O作交的延长线于点E，通过解直角三角形求出大圆O的半径，证明，得出，进而可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点O作交的延长线于点E， 由旋转知，经过点O，且， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故选A． 题型七：求弓形面积 解题思路 ①劣弧弓形面积由扇形面积减去内部三角形面积得到 ②优弧弓形面积用整圆面积减去劣弧弓形面积 ③区分优弧、劣弧，避免加减运算符号颠倒 21．如图，的半径为2，是的内接三角形，，则图中阴影部分的面积__________．    【答案】/ 【分析】连接OA，OB．得出OA2+OB2=AB2，则∠AOB=90°，根据扇形的面积公式和三角形的面积公式可得出答案． 【详解】解：连接OA，OB．    △OAB中，OA=OB=2，AB=2， ∴OA2+OB2=22+22=8，AB2＝(2)2=8， ∴OA2+OB2=AB2， ∴∠AOB=90°， ∴S扇形OAB=，S△OAB=×2×2=2， ∴S阴影=S扇形OAB-S△OAB=π-2． 【点睛】本题考查了扇形的面积，勾股定理的逆定理，求出∠AOB=90°，是解题的关键． 22．将一枚飞镖任意投掷到如图所示的半圆上，飞镖落在阴影区域的概率为___． 【答案】 【分析】通过90°的扇形面积减去等腰直角三角形的面积求出阴影部分面积，再计算概率即可． 【详解】解：阴影部分的面积为：， 则概率为： 故答案为：． 【点睛】本题主要考查概率的计算方法，包含圆中阴影部分面积的计算，熟练计算阴影部分的面积是解题关键． 23．如图，已知点C、D在上，直径，弦、相交于点E．若，则阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理和弧之间的关系，扇形的面积等．连接，根据，得出，进而得到，利用即可求解． 【详解】解：连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 题型八：求其他不规则图形的面积 解题思路 ①利用割补、平移、旋转完成图形等面积转化 ②把不规则弧形图形拆解为圆形、扇形、三角形、矩形等基础几何图形 ③通过基础图形面积的和差运算算出阴影总面积 24．如图，半径为的扇形中，为的中点，连接，．已知的长度为，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式及菱形的性质是解答此题的关键．证明，得出，则图中阴影部分的面积为扇形的面积，根据已知求得圆心角，进而根据扇形面积公式，即可求解． 【详解】解：如图，设交于点， ∵为的中点， ∴， ∴， 又∵ ∴ ∴ ∵半径为的扇形中，的长度为，设 ∴， 解得： ∴ ∴图中阴影部分的面积为 故选：A． 25．如图，在边长为2的正方形中，对角线与的交点为，分别以、为圆心，以的长为半径画弧，分别与正方形的边相交，则图中阴影部分的面积为________（结果保留）． 【答案】 【分析】根据图形可得阴影部分面积等于正方形面积减去两个扇形面积的一半，由正方形的性质可求得对角线长及扇形半径，利用扇形面积公式求出扇形的面积，即可求出阴影部分面积． 【详解】解：由图可知， ，． ∵四边形是正方形，边长为2， ∴，，， ∴ ∴扇形的半径为，圆心角为， ∴ ∴． 26．如图，在矩形中，以为圆心，长为半径画弧，交于点，以为圆心，为半径画弧交于点．若，，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】阴影部分面积矩形面积空白区域面积空白区域面积，分别计算空白区域面积即可． 【详解】解：连接，如图， 阴影部分面积，矩形面积，的面积，空白区域面积，空白区域面积，扇形面积，扇形面积， ∴阴影部分面积矩形面积空白区域面积空白区域面积，即， ∵矩形，，，以为圆心，长为半径画弧，交于点，以为圆心，为半径画弧交于点， ∴，,矩形面积， 在中，，，， ∴根据勾股定理得， ∴，，， ∴的面积， ∴，， ∴, ∴扇形面积， ∵空白区域面积矩形面积的面积扇形面积， ∴， ∴， ∵扇形面积， ∴空白区域面积矩形面积扇形面积， ∴， ∴， ∵阴影部分面积矩形面积空白区域面积空白区域面积，即， ∴， ∴． 题型九：求圆锥侧面积 解题思路 ①梳理圆锥底面圆半径与母线长度两个关键条件 ②代入圆锥侧面积公式计算，若需要完整表面积，额外叠加底面圆形面积 S侧= r l 27．圆锥的底面半径为，母线长为，则这个圆锥的侧面积是_____． 【答案】 【分析】利用周长公式先求出底面周长，再用这个圆锥的侧面积公式计算即可． 【详解】解：∵圆锥的底面半径为， ∴底面周长为， ∴这个圆锥的侧面积． 28．“云南十八怪，草帽当锅盖”，如图草帽锅盖下宽上窄，呈圆锥状．已知圆锥的底面直径为，母线长为，则此草帽锅盖的侧面积约是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求圆锥的侧面积，根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：此草帽锅盖的侧面积为：． 故选：C． 29．如图，冰激凌蛋筒下部为一个底面直径为，母线长为的圆锥，则蛋筒圆锥部分包装纸的表面积（接缝忽略不计）为________． 【答案】 【分析】根据圆锥侧面积的计算公式即扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：由扇形面积公式得：． 30．数学综合实践课上，小红打算用纸板制作一个如图所示的高为8、底面圆半径为6的圆锥形漏斗模型，若不计接缝和损耗，她所需纸板的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理以及求圆锥侧面积．本题关键在于理解“所需纸板面积为圆锥侧面积”，并熟练运用勾股定理求母线长和圆锥侧面积公式．解题时需明确圆锥的高、底面半径与母线的几何关系，再结合公式完成计算．要计算制作圆锥形漏斗所需纸板的面积，即求圆锥的侧面积．需先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再根据圆锥侧面积公式进行计算． 【详解】解：圆锥的高、底面半径与母线构成直角三角形，其中高为8，底面半径为6， 根据勾股定理，母线长：； 圆锥的侧面积公式为（其中为底面半径，为母线长）， 将， 代入公式得：． 故选：C． 题型十：求圆锥底面半径 解题思路 ①核心等量逻辑：圆锥底面圆周长和侧面展开扇形弧长相等 ②对等量关系式化简，求解底面半径，约去圆周常数简化计算步骤 31．用一个半径为20，圆心角为的扇形围成一个如图所示的圆锥，则这个圆锥的底面半径是（　　） A．6 B．5 C．6π D．5π 【答案】A 【分析】设这个圆锥的底面半径为r，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到，然后解方程即可．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 【详解】解：设这个圆锥的底面半径为r， 根据题意得， 解得， 即这个圆锥的底面半径是6． 故选：A． 32．如图，从一块直径是 的圆形铁皮上剪下一个圆心角为的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径是______． 【答案】 【分析】首先求得扇形的弧长，然后利用圆的周长公式即可求得． 【详解】解：∵的直径为 ，则半径是： ， ∴， 连接、设的中点为，连接，根据题意知 ， ∵, ∴是直径， ∴， 在中，， 即扇形的对应半径， 弧长， 设圆锥底面圆半径为r，则有， 解得：． 33．如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角是的扇形，则此扇形围成的圆锥底面圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，并作于点D．由圆周角定理可求出，从而求出，且．再根据含角的直角三角形的性质，可求出，从而求出．由题意易证是等边三角形，即，最后由弧长公式即可求出的长，最后根据圆锥的性质即可求出此扇形围成的圆锥底面圆的半径的大小． 【详解】解：如图，连接，并作于点D． ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴． ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴设此扇形围成的圆锥底面圆的半径为r， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查圆的基本性质，圆周角定理，垂径定理，含角的直角三角形的性质，弧长公式以及圆锥的底面半径．作出辅助线并利用数形结合的思想是解答本题的关键． 题型十一：求圆锥的高 解题思路 ①圆锥母线、底面半径、圆锥高线构成直角三角形，依靠勾股定理计算高度 h= ②母线为直角三角形斜边，长度大于圆锥的高与底面半径，参数不要混用 34．如图，将半径为15cm的圆形纸片剪去圆心角为144°的一个扇形，用剩下的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），这个圆锥的高是（   ） A．8cm B．12cm C．20cm D．18cm 【答案】B 【分析】设圆锥底面的圆的半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形求出r的值，然后根据勾股定理计算这个圆锥的高． 【详解】解：设圆锥底面的圆的半径为r，360°-144°=216°， 根据题意得， 解得r=9， 所以这个圆锥的高=（cm）． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 35．把一个圆锥从顶点沿高将它切成两半，表面积增加了，已知圆锥的底面周长是，那么这个圆锥的高是_______．（取） 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的高，先求出圆锥的底面圆的直径，再根据表面积的变化及三角形的面积公式求出圆锥的高即可，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵圆锥的底面周长是， ∴圆锥的底面圆的直径为， ∵把圆锥从顶点沿高将它切成两半，表面积增加了， ∴圆锥的高为， 故答案为：． 36．小明打算用一张半径为15cm，圆心角为120°的扇形纸片做成一个圆锥形的小丑帽，则这个小丑帽的高为（    ） A． cm B．cm C．cm D．cm 【答案】B 【分析】设这个圆锥的底面半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到2πr＝，解方程求出r，然后利用勾股定理计算圆锥的高． 【详解】解：设这个圆锥的底面半径为r cm， 根据题意得2πr＝， 解得r＝5． 所以这个圆锥形小帽子的高＝cm． 答：这个圆锥形小帽子的高为cm． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 题型十二：求圆锥侧面展开图的圆心角 解题思路 ①借助底面周长与扇形弧长相等的等量关系进行化简计算 n= ②代入底面半径、母线数值计算角度，禁止用圆锥的高替换母线参与计算 37．如图，是一个圆锥形状的生日帽，若该圆锥的母线长与底面圆半径的比为，将该帽子沿母线剪开，则其侧面展开扇形的圆心角为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是求解圆锥展开图的扇形圆心角，设其侧面展开扇形的圆心角为度，底面半径为，则母线长为，再利用底面圆周长等于展开图的弧长可得答案. 【详解】解：设其侧面展开扇形的圆心角为度，底面半径为，则母线长为， 由题知，， 解得， 其侧面展开扇形的圆心角为． 故选：D 38．如图，有一种竹编斗笠，外形是圆锥，它的母线长为，底面直径为，则该斗笠的侧面展开图的圆心角大小为_______． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积计算及扇形圆心角的计算，先根据题意利用圆锥的侧面积公式计算其侧面积，再设侧面展开图的圆心角的度数为n，利用扇形圆心角的公式列出方程，求得n的值即为所求． 【详解】解：由题意知，底面直径为， ∴底面半径为， ∴， 设侧面展开图的圆心角的度数为n， ∴， 即，解得， 即该斗笠的侧面展开图的圆心角大小为， 故答案为：． 39．如图，圆锥的底面圆心为，顶点为，母线长为，母线与高的夹角为，那么圆锥侧面展开图的圆心角度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，弧长公式，如图，根据题意得，，由直角三角形性质可得，所以圆锥侧面展开图的弧长为，设圆锥侧面展开图的圆心角度数为，则，然后求出的值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，，， ∵， ∴， ∴， ∴圆锥侧面展开图的弧长为， 设圆锥侧面展开图的圆心角度数为， ∴，解得：， ∴圆锥侧面展开图的圆心角度数为， 故答案为：． 题型十三：圆锥的实际问题 解题思路 ①扇形铁皮卷制圆锥题型：扇形半径对应圆锥母线，扇形弧长对应圆锥底面周长 ②用料计算：只算外侧铁皮仅求侧面积，带有底座结构需要计算整体表面积 ③实际用料数值根据题意向上取整处理 40．某博物馆修复一把古代铜锁，锁头的装饰部分为圆锥形（如图）．已知装饰部分的底面圆的半径为3厘米，母线长为5厘米，则该圆锥形装饰的面积为（   ） A．平方厘米 B．平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算，根据圆锥侧面积公式计算即可得解，熟练掌握相关公式是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：该圆锥形装饰的面积为（平方厘米）， 故选：B． 41．如图，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，则的长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了正方形性质，弧长公式，圆锥展开图特点，解题的关键在于理解圆锥侧面弧长等于底面圆的周长．设的长为，进而得到，根据圆锥侧面弧长等于底面圆的周长建立等式求解，即可解题． 【详解】解：设的长为， 四边形为正方形， 则，， ， ， 扇形和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面， ， 解得， 故选：C． 42．在学习“圆锥”时，小明同学进行了研究性学习： 如图，圆锥的母线，底面半径，扇形是圆锥的侧面展开图，． 依据上述条件，小明得到如下结论： ①； ②； ③若，则． 正确的结论是_____．（填写序号） 【答案】②③ 【分析】由可得即可判断①；由化简可得；由和化简可得结果． 【详解】解：， ， ， ， ， ①错误，不符合题意； ， ②正确，符合题意； ， ， ， ， ③正确，符合题意； 综上所述， 故答案为：②③． 【点睛】本题考查了圆锥及圆锥的侧面展开图；解题的关键是熟练掌握圆锥和和展开图的关系． 题型十四：圆锥侧面上最短路径问题 解题思路 ①沿着圆锥一条母线剪开，将立体侧面展开为平面扇形 ②依据两点之间线段最短，在平面扇形内连接两个定点 ③测算线段长度即为曲面最短路径，不在圆锥曲面上直接测距计算 43．如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为1，若一小虫从点开始绕着圆锥表面爬行一圈到的中点，求小虫爬行的最短距离是多少?（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理和圆锥的侧面展开图．圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．将圆锥的侧面展开如图所示，取的中点C，连接，则是小虫爬行的最短路线． 【详解】解：如图，将圆锥侧面沿母线展开，取的中点C，连接，则是小虫爬行的最短路线． ∵， ∴ ，即． ∵， ∴ ． ∴ 小虫爬行的最短距离为． 故选：D 44．如图，将一个圆锥的侧面展开后得到一个圆心角为、面积为的扇形，一只蚂蚁从圆锥的底部边缘爬行到顶部，那么它爬行的最短路线长是________． 【答案】 /3厘米 【分析】蚂蚁从圆锥底部边缘爬行到顶部的最短路线长即为圆锥的母线长，也就是侧面展开图扇形的半径，利用扇形面积公式列方程求解即可． 【详解】解：设圆锥的母线长为，， ∴圆锥侧面展开图扇形的半径为 ， 将，，代入扇形面积公式， 可得，， 解得， ∴蚂蚁爬行的最短路线长为． 45．如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6，如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的最短长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出的长，再利用勾股定理求出以及的长即可． 【详解】连接，过B作于D， 设圆锥侧面展开图的圆心角为， 圆锥底面圆周长为，， 则， ∵，， ∴， 由，可求得， ∴，， 即这根绳子的最短长度是． 解答题 1．工地上有一堆沙子，形状近似于一个圆锥（如图）．这堆沙子的体积大约是多少？ 【答案】 【分析】根据圆锥的体积为，求解即可； 【详解】解：根据题意，得圆锥底面圆的半径为：，高为， 根据题意，得； 答：这堆沙子的体积大约是； 2．在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着长为的绳子，绳子的另一端拴着一只狗． 问题： （1）这只狗的最大活动区域有多大？这个区域的边缘的长是多少？ （2）如果这只狗拴在夹角为的墙角，那么它最大的活动区域有多大？这个区域的边缘的长是多少？ （3）如果这只狗拴在夹角为的墙角，那么它最大的活动区域有多大？这个区域的边缘的长是多少？ 小结：在半径为R的圆中，圆心角为，其所对的弧长的计算公式： ；在半径为R的圆中，圆心角为，其所对的扇形的面积公式： ． 思考：根据以上公式，你发现弧长与扇形的面积具有怎样的关系呢？ ． 【答案】（1）这只狗的最大活动区域有，这个区域的边缘的长是； （2）这只狗的最大活动区域有，这个区域的边缘的长是； （3）这只狗的最大活动区域有，这个区域的边缘的长是；；； 【分析】本题考查了扇形面积的计算和弧长的计算，解题关键是熟练运用扇形面积和弧长的计算公式． （1）这只狗的最大活动区域是半径为的圆的面积，这个区域的边缘的长是半径为的圆的周长； （2）这只狗的最大活动区域是半径为，圆心角为的扇形的面积，这个区域的边缘的长是半径为，圆心角为的扇形的弧长； （3）这只狗的最大活动区域是半径为，圆心角为的扇形的面积，这个区域的边缘的长是半径为，圆心角为的扇形的弧长；小结：根据弧长和扇形的面积公式即可填空． 【详解】解：（1），， 答：这只狗的最大活动区域有，这个区域的边缘的长是； （2），， 答：这只狗的最大活动区域有，这个区域的边缘的长是； （3），， 答：这只狗的最大活动区域有，这个区域的边缘的长是； 小结：在半径为R的圆中，圆心角为所对的弧长的计算公式：； 在半径为R的圆中，圆心角为，其所对的扇形的面积公式：． 思考：根据以上公式可知， 发现弧长与扇形的面积的关系为． 3．如图，扇形的圆心角为，其弧长是． (1)求此弧所在圆的半径长； (2)若将这个扇形制作成圆锥的侧面，则该圆锥的高是_______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了弧长公式、求圆锥的高、勾股定理等知识， （1）设此弧所在圆的半径长为，根据弧长公式可得，求解即可； （2）结合（1）可知，设这个扇形制作成的圆锥底面半径为，根据圆的周长公式解得的值，进而可得，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：设此弧所在圆的半径长为， 根据题意，可得， 解得； （2）如图，结合（1）可知， 设这个扇形制作成的圆锥底面半径为， 则有，解得，即， ∴． 故答案为：． 4．如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为1，若一小虫P从A点开始绕着圆锥表面爬行一圈到的中点C，求小虫爬行的最短距离是多少?    【答案】 【分析】圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．将圆锥的侧面展开如图所示，取的中点C，连接，则是小虫爬行的最短路线． 【详解】如图，将圆锥侧面沿母线展开，取的中点C，连接，则是小虫爬行的最短路线．    ∵  ， ∴  ，即． ∵， ∴  ． ∴  小虫爬行的最短距离为． 5．【材料阅读】有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫做这个三角形的“等弦圆”． 【问题解决】如图，是的“等弦圆”，是截得的三条弦． (1)求证：平分． (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，，由，，，可得，得出，即可得证； （2）连接，，由平分，可得，由可得，进而得出，从而得出是等腰直角三角形，可求出，最后由即可求出结果． 【详解】（1）证明：连接，，如图所示， ∵， 又，， ， ， 平分． （2）解：由（1）得平分， ∵ ， ， ， ， 连接，，如图所示， ， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， 又∵， ， ． 6．已知扇形的半径为6，圆心角为，若将此扇形围成一个圆锥，求： (1)围成的圆锥的侧面积； (2)围成的圆锥的全面积． 思考1：求圆锥的侧面积就是求　　　． 思考2：要求圆锥的全面积，还需要求出圆锥的底面圆的面积，这就需要求出底面圆的　　　，而扇形的弧长是圆锥底面圆的　　　，所以可以先求出扇形的弧长． 【答案】(1) (2)围成的圆锥的全面积是；思考1：扇形的面积；思考2：半径，周长 【分析】本题考查了圆锥的有关计算； （1）根据扇形的面积公式进行计算； （2）分别利用弧长公式，圆的周长和面积公式计算即可． 【详解】（1）解：圆锥的侧面积是：； （2）思考1：求圆锥的侧面积就是求扇形的面积． 思考2：要求圆锥的全面积，还需要求出圆锥的底面圆的面积，这就需要求出底面圆的半径，而扇形的弧长是圆锥底面圆的周长，所以可以先求出扇形的弧长． 扇形的弧长是：， 则底面圆的周长是，底面圆的半径是2， 所以底面圆的面积是：， 则围成的圆锥的全面积是． 7．草帽：是用水草、席草、麦秸、竹蔑等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品．如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、高为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． (1)计算这顶锥形草帽的侧面积．（结果保留） (2)计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 【答案】(1) (2)216度 【分析】本题考查了圆锥的计算，勾股定理，关键是扇形弧长公式的应用． （1）利用勾股定理可求得圆锥的底面半径，利用圆锥的侧面积公式即可求解； （2）根据扇形的弧长公式得到，求出n即可． 【详解】（1）解：∵母线长为、高为， ∴底面半径为， 侧面积为； （2）解：设扇形卡纸的圆心角的度数为， 由题意得， ∴， 答：所需扇形卡纸的圆心角的度数为216度． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $