专题02一元二次方程的应用知题通关讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题02一元二次方程的应用知题通关讲义 知识点01：列一元二次方程解应用题 通用六步法（必考规范） ⚠️本节最大考点：一元二次方程解出来通常两个根，必须舍去不合题意的根。 知识点02：两类检验的区别 1.数学检验：检验未知数的值是不是所列一元二次方程的根； 2.实际意义检验（重中之重） (1)满足要求：长度、人数、价格、时间等数值＞0； (2)限制要求：数值不能超出题目给定范围； (3)取舍规则：若根为负数、超出取值范围，直接舍去。 补充提醒：分式方程必须检验分母，一元二次方程应用题重点侧重实际意义检验，考试扣分高频点。 知识点03：五大必考应用模型（全书核心，配标准公式） 模型一：增长率 / 下降率问题（考试最高频） 1.适用场景 连续两年、两次、两次以上涨价、降价、增产、减产。 2.核心公式 设：基数为 a，增长率为 x，增长次数 n，最终量 b a(1+x)n=b 下降率公式： a(1-x)n=b 3.关键说明 （1）每年增长率保持不变才可用公式； （2）n 为增长次数（不是年份）； （3）解出 (x>0)，负值舍去。 模型二：面积问题（几何应用题） 1.常见题型 矩形空地修路、边框、花圃、折叠、裁剪、靠墙围栏。 2.解题核心 （1）平移法：小路、过道统一平移到边上，拼成规则矩形； （2）用含 x 的式子表示新长、新宽； （3）根据面积公式列方程。 3.易错点 修路问题：横竖路重叠部分面积不要重复减去。 模型三：传播、分裂、循环问题（病毒、握手、比赛） 1. 病毒传播模型 一人感染，每轮每人感染 x 人，两轮后总感染人数： (1+x)2=总人数 2. 握手 / 单循环比赛模型 n 个人每两人握手一次，总次数： =总次数 3. 双循环（互赠礼物、互发消息） n(n-1)=总次数 模型四：销售利润问题（中考大题必考） 1.核心三大公式 单件利润 = 售价 − 进价 销量变化：涨价减销量、降价增销量 总利润 = 单件利润 销售总量 2.标准模板 设涨价 / 降价 x 元 新售价 = 原售价 x 新单件利润 =原利润 x 新销量 = 原销量变化量 x 代入：总利润 = 新利润 新销量，列二次方程。 模型五：动点几何问题（拔高压轴） 三角形、矩形中动点运动，设运动时间 t， 用 t 表示线段长，利用： 1.面积公式 2.勾股定理 列一元二次方程求解时间。 知识点04：五大模型汇总对比表（预习必背） 1. 审题时等量关系找错或遗漏条件 提醒：先梳理题干数量关系再列方程，不可机械套用题型模板，避免题意误判。 2. 设未知数不带单位，作答漏写单位 提醒：设元、作答应标注对应单位；设增长率时，应设为不带百分号的数值。 3. 平均增长率模型指数书写错误 提醒：平均增长率模型：a(1+x)2=b，不能写成 a(1+2x)=b。 4. 传播问题误将初始数量作为固定基数 提醒：每一轮全部感染者均可参与下一轮传播，基数动态变化，不可固定取初始传染源数量。 5. 道路、边框型面积问题线段长度计算错误 提醒：计算有效长、宽时，应同时减去两侧道路宽度，不可仅减去单侧宽度，可画图辅助分析。 6. 求出方程的根后未检验实际意义 提醒：方程的解满足等式，未必符合实际背景；长度、时间、人数不能取负值。 7. 仅依据根为正数就判定解有效 提醒：部分正数解仍会受到实际条件约束（如超出给定长度、人数不为整数），必须检验后舍去。 8. 利润问题混淆单件利润与总利润 提醒：总利润＝单件利润×销售量，不可直接使用售价或进价代替单件利润列式。 9. 价格变动时销售量增减关系写反 提醒：涨价对应销售量减少，降价对应销售量增加，列式时注意不要颠倒变化方向。 10. 作答没有完整回应全部设问 提醒：当题干含有多个问题时，需要逐一作答，不可只回答其中一问。 题型 考察方向 难度 题型一 传播问题 ★★ 题型二 增长率问题 ★★ 题型三 与图形有关的问题 ★★★ 题型四 数字问题 ★★ 题型五 营销问题 ★★ 题型六 动态几何问题 ★★★ 题型七 工程问题 ★★ 题型八 行程问题 ★★ 题型九 图表信息题 ★★★ 题型十 握手、循环赛问题 ★★ 题型十一 其他问题 ★★★ 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★压轴 题型一：传播问题 1．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有人患流感，若每轮传染中，平均一人传染人，根据题意，可列方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列出方程即可． 【详解】解：∵初始有人患流感，每轮平均人传染人， ∴第一轮传染后总患病人数为， ∵第二轮中每名患者传染人， ∴第二轮新增患病人数为，两轮后总患病人数为， ∵两轮后共有人患流感， ∴可列方程． 2．某种传染病在羊群中传播迅猛，平均一头羊每隔5小时能传染x头羊，现一养羊场有1头羊感染此病，若不及时控制，经过10小时后会有100头羊感染上此病，依题意可列方程________． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确得到等量关系是解题的关键． 根据题意，每5小时每头感染羊传染头羊，经过10小时，感染羊数量从1头开始，经过两次传染后达到100头，由此列出方程． 【详解】解：初始有1头羊感染。 经过第一个5小时，这1头羊传染头羊，此时总感染羊数为， 经过第二个5小时，现有头感染羊每头传染x头羊，新感染羊数为， 故总感染羊数变为， 根据题意，经过10小时后总感染羊数为100头， 故列方程可得， 故答案为：． 3．近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有91人有此短信． (1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ (2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 【答案】(1)这个短信要求收到短信的人必须转发给9人 (2)从小王开始计算，三轮后会有820人有此短信． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，含乘方的有理数混合计算的实际应用： （1）设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人，则第一轮小王会发给x人，第一轮被转发的x人每个人又要转发x人，据此列出方程求解即可； （2）根据（1）所求列式求解即可． 【详解】（1）解：设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：这个短信要求收到短信的人必须转发给9人； （2）解：人， 答：从小王开始计算，三轮后会有820人有此短信． 4．数学活动课上，同学们与智能体进行数字传播闯关游戏．智能体给出规则：游戏开始时有6名同学拥有通关密码，在每一轮传播中，每名拥有密码的同学都会传给相同数量的新同学，但每一轮传播结束后，都会随机有6名同学失去密码，不再参与下一轮传播．经过两轮完整传播后，场上共有114名同学持有通关密码．求每一轮传播中，1名同学传给多少名新同学． 【答案】4名 【分析】先设每一轮传播中，1名同学传给x名新同学，根据题意列出一元二次方程，求出解，舍去不合题意的即可． 【详解】解：设每一轮传播中，1名同学传给x名新同学， 根据题意，得． 解得，（不合题意，舍去）． 答：每一轮传播中，1名同学传给4名新同学． 题型二：增长率问题 5．为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了个充电桩，第三个月新建了个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，根据题意，列出方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定第一个月到第三个月的增长次数为，结合月平均增长率列方程． 【详解】解：∵第一个月新建个充电桩，月平均增长率为， ∴第二个月新建充电桩个数为， ∴第三个月新建充电桩个数为， ∵第三个月新建个充电桩， ∴可列方程为． 6．新能源汽车具有环保节能、经济性高、驾驶体验佳等等优点，深受消费者的青睐．据统计到2024年底全国新能源汽车保有量约为2020万辆，预计2026年底将达到4000万辆，若设新能源汽车的年平均增长率为x，则可列方程为_________． 【答案】 【分析】设新能源汽车的年平均增长率为，从2024年底到2026年底共经过2年，结合已知的2026年底预计保有量即可列出方程． 【详解】解：设新能源汽车的年平均增长率为，则2025年底全国新能源汽车保有量为万辆，2026年底全国新能源汽车保有量为万辆， 根据题意可列方程为． 7．根据素材完成任务． (1)【素材1】生产某款零部件的一间工厂因引入一体化加工，生产效率提升，4月份生产100个零部件，同年6月份生产144个．求4月份到6月份生产数量的平均增长率； (2)【素材2】该零部件成本为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为600个，售价每上涨1元，月销售量减少10个．批发商为使月销售利润达到10000元，且尽可能让消费者得到实惠，实际售价应定为每个多少元？ 【答案】(1)平均增长率为 (2)实际售价应定为每个元 【分析】（1）设该工厂4月份到6月份生产数量的平均增长率为，根据题意列方程，解方程即可； （2）设涨价元，则售价为元，销量为个，根据题意列出方程，解方程，再结合要尽可能让购买方得到实惠，确定的值，即可． 【详解】（1）解：设平均增长率为 ． 解得或（不合实际，舍去）， 答：4月份到6月份生产数量的平均增长率为； （2）解：设涨价元，则售价为元，销量为个， 每个利润为元， 由题意得， 整理得， 解得或， 尽可能让消费者得到实惠， ， ， 答：实际售价应定为每个元． 8．某市是全国旅游胜地，2020年受新冠疫情的影响，外来游客在逐年下降．某景区外来游客人数从2019年的2.25万下降到2021年的1.44万． (1)求2019年到2021年该景区外来游客人数平均每年降低的百分率； (2)在该景区需要建造篱笆花圃，如图，用长为34米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为20米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门（如图）， ①设花圃垂直于墙的边长为x米，则________（用含x的代数式表示）； ②当为多少米时，所围成花圃面积为105平方米？ ③当________米时，花圃的面积达到最大，最大为________平方米． 【答案】(1) (2)①米；②米；③， 【分析】（1）设平均每年降低的百分率为，根据“游客人数从2019年的2.25万下降到2021年的1.44万”列方程求解即可； （2）①由题意可知垂直于墙的边总长为，上有两个宽1米的门，根据总篱笆长列方程求解即可； ②根据花圃面积列方程求出x的值，根据墙的最大可用长度取合适的值即可； ③先求出x的取值范围，根据花圃面积求出花圃面积，根据平方的非负性作答即可． 【详解】（1）解：设平均每年降低的百分率为， 根据题意可知， 整理得， 即， 解得：（负值舍去）； （2）解：①垂直于墙的边共3段，总长为米，上有两个宽1米的门，门不用篱笆， ∵总篱笆长为34米， ∴， 解得：米； ②由①知米，米， ∵所围成花圃面积为105平方米， ∴， 解得，． 根据墙的最大可用长度可知：， 解得， 即； ③由题意可知， 解得：， 花圃面积平方米， ∵， ∴， ∴当时，取得最大值108平方米． 题型三：与图形有关的问题 9．在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？也就是说，一块长方形田地的面积为平方步，宽比长小步，问：这块长方形田地的长和宽各为多少步？设这块长方形田地的长为步，则根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设长方形田地的长为步，宽比长小步， 宽为步， 长方形田地的面积为平方步， 可得方程． 10．如图，一块长12米、宽8米的长方形户外草坪，规划了两横两纵等宽的石板小径（阴影部分），石板小径的总面积占草坪总面积的，则石板小径的宽度为_______米． 【答案】1 【分析】设石板小径的宽度为米，利用平移法将剩余草坪拼成一个长方形，根据剩余草坪面积等于总面积乘以剩余比例列出一元二次方程，求解并取合适的值即可． 【详解】解：设石板小径的宽度为米， 根据题意，利用平移法，剩余草坪可视为长为米，宽为米的长方形， 草坪总面积为平方米， 石板小径的总面积占草坪总面积的，则剩余草坪面积占总面积的， 列方程得： ， 解得： ， 当时，，不合题意，舍去， 所以． 即石板小径的宽度为1米． 11．某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分绿化，绿化的面积为．已知整个长方形空地的长为30m、宽为，求道路的宽． 【答案】 【分析】通过平移，可得绿化图形拼成长方形，其长，宽．再根据长方形面积的计算方法列式即可求解． 【详解】解：设道路宽为．依题意得： 整理得： ∴或 （宽为） 不合实际，舍去． 答：道路的宽为． 12．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为，停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为，求停车场内车道的宽度？ 【答案】停车场内车道的宽度为 【分析】设停车场内车道的宽度为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出结果． 【详解】解：设停车场内车道的宽度为， 由题意可得：， 整理可得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴停车场内车道的宽度为． 题型四：数字问题 13．小明在算一个数的2倍时，误算成了这个数的平方，他发现两个结果的和为8，则这个数为（    ） A．2 B．2或4 C．2或 D．或4 【答案】C 【详解】解：设这个数为， ∵根据题意，这个数的平方与这个数的2倍的和为8， ∴， 整理得，， 因式分解得，， 解得，或， 故选：C． 14．如图是嘉嘉和某AI软件的部分对话截图，则该AI软件最终给出的x的值为________ 【答案】1 【分析】设这个数是，根据题意建立一元二次方程，求解即可得． 【详解】解：设这个数是， 由题意得：， 整理得：， 解得， 即这个数是1． 15．（1）一个两位数，个位数字比十位数字少1，且个位数字与十位数字的乘积等于72，则这个两位数是_______； （2）三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，则这三个数分别是___________． 【答案】 98 8，9，10或 【分析】（1）设个位数字为x，则得十位数字为，根据个位数字与十位数字的乘积等于72，列出一元二次方程，求解即可； （2）设三个连续整数里中间的整数为x，则可表示出两边的整数，列出方程即可求解． 【详解】解：（1）设个位数字为x，则得十位数字为， 由题意得， 整理得， 解得（舍去）， 则十位数字为，所求的两位数为98； （2）设三个连续整数里中间的整数为x，则较小的整数为，较大的整数为， 由题意得， 整理得， 解得， 所以三个连续整数分别为8，9，10或． 16．如图所示的是2025年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请解答下列问题． (1)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． (2)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为80吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)最小数为10 (2) 方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80，理由如下： 设最小数为，则另外三个数分别是，，， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），， 在最后一列， 假设不成立， 即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设最小数是，则最大数是，根据“最大数与最小数的乘积为180”，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）设最小数为，则另外三个数分别是，，，根据最大数与最小数的乘积与这四个数的和为80，列出一元二次方程，解之可得出的值，即可解决问题． 【详解】（1）解：设最小数为，则最大数为， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），， 从日历表中可以看出10是第二行第6个数，符合要求， 答：最小数为10； （2）略 题型五：营销问题 17．某商品的进价为每件元，当售价为每件元时，每周可卖出件．现需做降价处理，且经市场调查发现：该商品的售价每降价元，每周可多卖出件，店里每周的利润可达到元．若设店主把该商品每件的售价降低元，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程的实际应用（利润问题），理清“利润、售价、进价、销量”之间的关系是解题的关键．根据利润单件利润销量，先得出降价后每件的利润为元，销量为件，进而列出总利润为元的方程． 【详解】解：每件售价降低元，则每件利润为元， 销量为件， 总利润方程为． 故选：． 18．新世纪百货某款童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经市场调查发现：如果每件童装降价2元，那么平均每天就可多售出5件．要想平均每天销售这种童装的盈利为1400元，则每件童装应降价________元． 【答案】12或20 【分析】设每件童装降价元，分别表示出降价后每件的盈利和每天的总销售量，根据总盈利等于每件盈利乘以销售量列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设每件童装应降价元， ∵ 降价后每件盈利为元，每降价元多售出件， 因此降价元后每天多售出件，总销售量为件， 根据总盈利为元，列方程得：， 解得，，两个解均符合实际意义， 因此每件童装应降价12元或20元． 19．某商场将进货价为元的台灯以元售出，平均每月能售出个．调查表明：这种台灯的售价每上涨元，其月销售量就减少个． 要实现每月元的销售利润目标，且售价不能低于元/个． (1)求这种台灯的定价； (2)商场应进货多少个？ 【答案】(1) 元 (2) 个 【分析】（1）设每个台灯涨价元，由“总利润单件商品利润销售量”列方程即可求出台灯的定价，注意题目的限制条件； （2）将台灯定价代入销售量代数式求出进货数量． 【详解】（1）解：设每个台灯涨价元，则售价为元，销量为 个，每个利润为元， 根据题意，得 或 当 时，售价为，不合题意； 当 时，售价为，符合题意． 台灯的定价为元． （2）解：当台灯的定价为元时，月销售量为（个）， 商场应进货个． 20．根据以下素材，探索完成任务． 13度的甜，14度的鲜，夏季的兰溪杨梅，不仅是自然的馈赠，更是交织成初夏最让人心动的味道，但由于“泡药风波”，使得杨梅的销售较往年增加了一些难度，为了促进销售，某农户决定采取网上和实体店同步销售，请你帮助一起设计兰溪杨梅的销售方案． 素材1 某农户在网上和实体店同时销售兰溪杨梅（以下简称杨梅），成本价为20元/千克． 素材2 杨梅的网上销售价定为30元/千克时，当天网上销售量是100千克，实体店的销售价定为40元/千克时，当天实体店销售量是50千克．一天内实体店的销售价保持不变，网上销售价可按实际情况进行适当调整，需确保网上销售价始终高于成本价． 素材3 据调查，网上销售价每降低1元，当天网上多售出20千克，实体店少售出2千克． 问题解决： (1)任务1：当杨梅网上销售价为25元/千克时，求农户在网上销售杨梅当天的毛利润（毛利润=销售总额-成本）与实体店销售该杨梅当天的毛利润各是多少元？ (2)任务2：杨梅的网上单价每千克降多少元时，农户一天的总毛利润（总毛利润=网上毛利润+实体店毛利润）为2040元？ (3)任务3：你觉得该农户一天的总毛利润能否达到3000元，若能，请求出杨梅的网上单价是每千克多少元？若不能，请说明理由． 【答案】(1)网店毛利润为1000元，实体店毛利润为800元 (2)网店单价每千克降低1元或2元时，总毛利润为2040元 (3)不能，理由： 设网店售价每千克降低元，假设总毛利润能达到3000元， 根据任务2的计算可得： 整理得： 可得： 由根的判别式得方程无解 所以该农户一天的总毛利润不能达到3000元． 【分析】（1）根据毛利润单件毛利润销售数量求解即可； （2）设网店售价每千克降低元，分别求得网店毛利润和实体店毛利润，根据题意列方程，解方程，即可求解． （3）设网店售价每千克降低元，假设总毛利润能达到3000元，根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）当网店售价为25元时，相比初始价30元降低了元． 网店情况：销量（千克） 单件毛利润（元/千克） 网店毛利润（元） 实体店情况：销量（千克） 单件毛利润（元/千克） 实体店毛利润（元） 答：网店毛利润为1000元，实体店毛利润为800元． （2）解：设网店售价每千克降低元， 则网店毛利润； 实体店毛利润 根据题意列方程： 化简可得： ∴ 解得：， 答：网店单价每千克降低1元或2元时，总毛利润为2040元． （3）略 题型六：动态几何问题 21．如图，已知在中，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当的面积等于时，共需的时间为（　　） A．1s B．2s或4s C．3s D．3.5s 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用——几何问题，用运动路程表示相关线段的长度是解题的关键． 运动x秒后，，，根据三角形的面积公式建立一元二次方程，求解即可． 【详解】解：设x秒后的面积等于，由题意得， ， 解得：，， 故选：B． 22．如图中，，点 P 从点A 开始向点B 以速度移动，同时点Q 从点 B开始向点C以的速度移动，当点Q运动到点C时，两点都停止移动，经过_______秒，的面积是 ？ 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据题意得，，根据题意列出一元二次方程解题即可． 【详解】解：，， 当运动时间为时，， ，， 根据题意可得， 即， 整理得：， 解得（舍去）， 所以经过，的面积是． 故答案为：1． 23．如图，中，，，．点P从点A开始，沿边向点B以每秒的速度移动，点Q从点B开始，沿着边向点C以每秒的速度移动．如果P，Q同时出发，当点Q移动到点C后停止，点P也随之停止．问： (1)经过几秒钟后，P、Q两点间的距离为． (2)经过几秒钟后，四边形的面积是？ 【答案】(1)2秒或秒 (2)3秒 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，勾股定理， 对于（1），设经过x秒钟后，P、Q两点间的距离为，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； 对于（2），设经过t秒钟后，四边形的面积是，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设经过x秒钟后，P、Q两点间的距离为， 由题意，得，则， 由勾股定理得： ， 解得：或， 答：经过2秒钟或秒钟后，P、Q两点间的距离为； （2）设经过t秒钟后，四边形的面积是， 由题意，得，则， 由题意得：， 解得：或（不符合题意舍去）， ∴， 答：经过3秒钟后，四边形的面积是. 24．如图，中，，一动点P从点C出发沿着方向以的速度运动到达B时停止，另一动点Q从A出发沿着边以的速度运动到达时停止，P，Q两点同时出发，运动时间为． (1)若的面积是面积的，求的值； (2)的面积能否与四边形面积相等？若能，求出的值；若不能，说明理由． (3)线段的长度能否达到？说明理由． 【答案】(1) (2) 解：的面积不能与四边形面积相等．理由如下： 当的面积与四边形面积相等时， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴此方程没有实数根， ∴的面积不能与四边形面积相等． (3) 解：线段的长度能达到，理由如下： 当时， 在中，由勾股定理得， ∴， 整理得， 解得（舍去）或， ∴当时，线段的长度能达到． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、根的判别式和勾股定理，根据题意正确得到一元二次方程成为解题的关键． （1）利用面积公式表示出和的面积，再根据题意列出关于t的方程求解即可； （2）假设的面积与四边形面积相等，则，利用面积列出方程，方然后根据方程解的情况即可解答； （3）根据“线段的长度能达到”，结合勾股定理列出方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， 解得； ∴当时，的面积是面积的． （2）略 （3）略 题型七：工程问题 25．某花木园，计划在园中栽96棵桂花树，开工后每天比原计划多栽2棵，结果提前4天完成任务．问原计划每天栽多少棵？ 【答案】6 【分析】本题主要考查了可化为一元二次方程的分式方程的应用，正确的找出等量关系列出方程是解题的关键．利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，在本题中“开工后每天比原计划多栽2棵”和“提前4天完成任务”，就是两个相等关系．根据题目所要解决的问题，选择第二个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数． 【详解】解：设原计划每天栽x棵，那么原计划完成任务所需的天数为，实际每天栽棵树棵，实际完成任务所需的天数为， 依题意列方程得： ， 整理得： 解方程得：（舍去） 故原计划每天栽6棵桂花树． 26．列方程解下列问题： 某大型腊肉加工厂只加工甲、乙两种腊肉礼盒，已知每名工人每天加工甲种腊肉礼盒数量是加工乙种腊肉礼盒数量的1.5倍．某天，当分配加工甲种腊肉礼盒的工人比加工乙种腊肉礼盒的工人少20人时，当天加工出厂的甲、乙种腊肉礼盒数量均为14400个． (1)求每名工人每天加工甲、乙两种腊肉礼盒数量各多少个？ (2)春节将至，订单激增．该厂一方面对所有工人重新分配：名加工乙种腊肉礼盒，其余的工人加工甲种腊肉礼盒：另一方面提高生产效率：每名工人每天加工乙种腊肉礼盒比以前增加个，每名工人每天加工甲种腊肉礼盒比以前增加个．已知该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共36000个，求的值． 【答案】(1)360个；240个 (2)80 【分析】本题考查分式方程和一元二次方程的实际应用： （1）设每名工人每日加工乙种腊肉礼盒个，则每名工人每日加工甲种腊肉礼盒个，根据题意列分式方程，解方程即可． （2）先根据（1）中结论求出工人总数，再根据该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共36000个，列一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设每名工人每日加工乙种腊肉礼盒个，则每名工人每日加工甲种腊肉礼盒个． 根据题意，得． 化为整式方程，得， 解方程，得． 经检验，是原方程的解． 则． 答：每名工人每日加工甲种腊肉礼盒360个，每名工人每日加工乙种腊肉礼盒240个． （2）解：工人总数为：（人）． 根据题意，得． 整理得． 解得，（舍去）． 答：的值为80． 27．随着农业技术的现代化，节水型灌溉得到逐步推广．喷灌和滴灌是比漫灌更节水的灌溉方式，喷灌和滴灌时每亩用水量分别是漫灌时的和．去年，新丰收公司用各100亩的三块试验田分别采用喷灌、滴灌和漫灌的灌溉方式，共用水15000吨． （1）请问用漫灌方式每亩用水多少吨？去年每块试验田各用水多少吨？ （2）今年该公司加大对农业灌溉的投入，喷灌和滴灌试验田的面积都增加了，漫灌试验田的面积减少了．同时，该公司通过维修灌溉输水管道，使得三种灌溉方式下的每亩用水量都进一步减少了．经测算，今年的灌溉用水量比去年减少，求的值． （3）节水不仅为了环保，也与经济收益有关系．今年，该公司全部试验田在灌溉输水管道维修方面每亩投入30元，在新增的喷灌、滴灌试验田添加设备所投入经费为每亩100元．在（2）的情况下，若每吨水费为2.5元，请判断，相比去年因用水量减少所节省的水费是否大于今年的以上两项投入之和？ 【答案】（1）漫灌方式每亩用水100吨，漫灌、喷灌、滴灌试验田分别用水10000、3000、2000吨；（2）20；（3）节省水费大于两项投入之和 【分析】（1）根据题意，设漫灌方式每亩用水吨，列出方程求解即可； （2）由（1）结果，结合题意列出方程，求解方程； （3）分别求出节省的水费，维修费，添加设备费，比较大小即可． 【详解】（1）解：设漫灌方式每亩用水吨，则 ， ， 漫灌用水：， 喷灌用水：， 滴灌用水：， 答：漫灌方式每亩用水100吨，漫灌、喷灌、滴灌试验田分别用水10000、3000、2000吨． （2）由题意得， ， 解得（舍去），，所以． （3）节省水费：元， 维修投入：元， 新增设备：元， ， 答：节省水费大于两项投入之和． 【点睛】本题考查一元一次方程，一元二次方程实际应用，解一元二次方程，掌握题中等量关系正确列式计算是解题关键． 题型八：行程问题 28．2026年4月，北京举办了全球首场大规模人形机器人半程马拉松赛事．机器人“闪电”完成比赛，最终用时50分26秒，打破了人类男子半程马拉松世界纪录．已知机器人初始速度为，经过两次速度调整后，速度提升至．设这两次调整中，速度的平均增长率为．根据题意列出方程，正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平均增长率的增长规律求出第二次调整后的速度，根据调整后最终速度为即可列出正确方程． 【详解】解：∵初始速度为，两次调整的平均增长率为， ∴第一次调整后速度为， 第二次调整是在第一次调整后的速度基础上再次增长， 因此第二次调整后速度为， 又∵调整后最终速度为， ∴可列方程． 29．数学老师设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了______秒． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，利用甲乙的路程之和等于，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， 整理得： ， 解得： (不符合题意，舍去)， 故答案为：． 30．如图，甲、乙从直径的两端点、分别按顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间之间满足关系式，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为。 (1)甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多长时间？ (2)甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多长时间？ 【答案】(1)甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了; (2)甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了. 【分析】根据题意：甲乙第一次相遇时，二者的路程之和为半圆长度21cm，列方程计算即可； 甲乙第二次相遇时，二者的路程之和为三个半圆长度，列方程计算即可. 【详解】解：（1）由图可知，甲、乙第一次相遇时，走过的总路程为半圆的长度21cm. ， 解得，（不合题意，舍去）. 答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了. （2）由图可知，甲、乙第二次相遇时，走过的总路程为三个半圆的长度. ， 解得，（不合题意，舍去）. 答：甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了. 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键. 31．周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体若两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小明的跑步速度是小红跑步速度的1.2倍，那么小明比小红早5分钟到达B地． (1)求小明、小红的跑步速度； (2)若从A地到达B地后，小明以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息），据了解，在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从A地到C地锻炼共用多少分钟． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）分别设小红和小明的速度，根据等量关系（小明比小红早5分钟到达B地）列出等量关系式，按照分式方程即可求解，求解后检验所求解是不是方程解． （2）先求出小明前30分钟中的5分钟是从B地到C地，然后按照小明共消耗2300卡里的热量列方程，最后求解． 【详解】（1）解：设小红的速度为，则小明的速度为， 依据题意列方程得，， ， ， 经检验，是原式方程的解． ． 小红的速度为，小明的速度为． 故答案为：；． （2）解：小明的速度为， 小明从A地道B地需要的时间为：． 小明在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里， ． 设B地到C地的距离为，依据题意列方程得， ， ， ， ， 或（舍去）． A地到C地所需要时间为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用．解题的关键在于是否能根据题意列出等量关系式，解题的重点在于是否能了解小明的前30分钟内的最后5分钟是属于B地到C地时间． 题型九：图表信息题 32．如图是今年某月的日历表，小欧用一个平行四边形，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是264，求小欧框出的最小数． 【答案】12 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据日历中的数字规律，确定最大数与最小数是解题的关键．设最小数为x，根据题意，得到最大数为，列出方程为，解方程即可． 【详解】设最小数为x，则最大数为， ， ， 解得（舍去）， 所以小欧框出的最小数是12． 33．某电厂规定，该厂家属区每户居民如果一个月的用电量不超过a度，那么这居民这个月只需缴30元电费；如果超过a度，那么这个月除了仍要缴30元的用电费以外，超过的部分还要每度按元缴费． (1)若该厂某户居民2月份用电度，超过了规定的a度，则超过的部分应缴电费多少元（用a表示）； (2)如表是这户居民3月、4月用电情况和缴费情况： 月份 用电量（度） 缴电费总数（元） 3 120 62 4 65 30 请根据如表数据，求出电厂规定的a的值． 【答案】(1)元 (2) 【分析】此题考查了一元二次方程的应用． （1）由题意列出代数式即可得出结论； （2）由3月份的用电量、缴电费总数，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：由题意可知，超过a度的电费为元； （2）由表格可知3月份的用电量超过a度，故：， 整理得：， 解得：， ∵4月份用电量度，交费元， ∴， ∴不符合题意，舍去， ∴， 答：电厂规定的a的值为． 34．请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务： 人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月．一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明．我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法．赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程即得方法.首先构造了如图1所示得图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得． 　 　　　　 任务： （1）参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够说明方程的正确构图是 （从序号①②③中选择）． （2）请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求解方程（写出必要的思考过程）． 【答案】（1）②；（2）． 【分析】（1）仿照案例构造图形，即可判断正确构图； （2）仿照案例构造图形即可求得x的值． 【详解】解：（1）应构造面积是的大正方形，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形的面积为，所以大正方形的面积又可表示为，进一步可知大正方形的边长为8，所以，得．故正确构图的是②． 故答案为：②； （2）首先构造了如图2所示的图形． 图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，进一步可知大正方形的边长为8，所以，得． 【点睛】本题是材料阅读题，考查了构造图形解一元二次方程，关键是读懂材料中提供的构图方法，并能正确构图解一元二次方程．体现了数形结合的思想． 题型十：握手、循环赛问题 35．在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场，设有x个队参赛，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据x个队参赛，每队与其余个队各赛1场，每两队仅赛1场，总场数为36，列出方程即可． 【详解】解：设有x个队参赛，根据题意可列方程为： ， 整理得：． 36．某数学小组共有若干人，元旦时每个人各送一张自己制作的贺卡给组内其他人，全组一共送了72张贺卡，则这个数学小组共有__________人． 【答案】 【分析】设小组人数为，每个人给除自身外的成员送贺卡，总贺卡数等于人数乘以每人送出的贺卡数，列一元二次方程求解后舍去不合题意的负解即可． 【详解】解：设这个数学小组共有人， ∵每个人需要给组内除自己以外的人送贺卡， ∴总贺卡数可表示为， 据此列方程，得 ， 整理，得 ， 解得，． ∵人数不能为负数， ∴舍去， 即这个数学小组共有人． 37．绿茵争锋，“足”够精彩！2015年教育部下发《关于公布2015年全国青少年校园足球特色学校及试点县（区）名单的通知》，认定福清西山学校等校为全国青少年校园足球特色学校．若学校体艺办要组织一次足球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，问应邀请多少支球队参赛？ 【答案】6支 【分析】单循环赛制中，若有x支球队参赛，每支球队需要和其余支球队各赛一场，但这样会重复计算（例如甲队与乙队的比赛和乙队与甲队的比赛是同一场）．因此，总比赛场数为． 【详解】解：设应邀请x支球队参赛，则由题意得 解得：，（舍去） 答：应邀请6支球队参赛． 38．为庆祝五四青年节，某校组织八年级男子班级篮球赛，为达到活动效果又节省比赛时间，先分A、B两个小组，由所有参赛班级随机抽签，再分别进行小组赛．当参赛队伍总数为偶数个时，A组、B组队伍数一样多；当参赛队伍总数为奇数个时，B组比A组队伍数多1个．小组赛采取单循环赛制（即每支队伍与组内其他队伍各打一场），按积分排名，取每组前2名晋级半决赛，最后进行决赛．积分规则：胜一场得2分，负一场得0分．小组赛结束后，某数学学习小组针对全部队伍累计总得分开展数学讨论．具体如下： (1)已知该校八年级共有10个班级参加比赛．小组赛结束后，全部队伍累计总得分共 分； (2)若当参赛队伍总数为偶数个时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分为112分．求本次比赛参赛队伍个数； (3)当参赛队伍总数为奇数个时．小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分吗？若能，请求出此时参赛的队伍数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)40 (2)本次比赛参赛队伍个数为16队 (3)能，参赛的队伍数为19队时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分 【分析】（1）先求出A组、B组队伍数同为5个班级，且每个小组内场次为场，进而求出结论； （2）设A组、B组队伍数均为x队，列方程求解即可； （3）设A组有y队，则B组有队，列方程求解即可； 【详解】（1）解：∵该校八年级共有10个班级参加比赛， ∴A组、B组队伍数一样多，同为5个班级， ∴每个小组内场次为场， ∴小组赛结束后，全部队伍累计总得分共分； （2）解：因为参赛队伍总数为偶数个， 所以A组，B组队伍数一样多． 所以设A组、B组队伍数均为x队．则， 解得，（不符合题意，舍去）， 则队， 答：本次比赛参赛队伍个数为16队； （3）解：能，理由如下： 因为参赛队伍总数为奇数，所以设A组有y队，则B组有队． 所以， 解得，（不符合题意，舍去）， 所以， 则队， 答：参赛的队伍数为19队时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分． 题型十一：其他问题 39．用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板．随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子的长度后一次为前一次的倍．已知一个钉子受击次后恰好全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的．设铁钉的长度为，那么符合这一事实的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据每次钉入木板的长度关系，求出三次钉入的长度，利用三次长度和等于铁钉总长度列方程即可． 【详解】解：∵第一次受击后进入木板的长度为，且每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的倍， ∴第二次钉入木板的长度为，第三次钉入木板的长度为， 又∵钉子受击次后恰好全部进入木板，总钉长为，即三次钉入长度和为， ∴列方程得． 40．如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，摆第个图案需要331枚棋子．则________．    【答案】10 【分析】本题考查图形的变化规律，一元二次方程的应用，找出第n个图案中棋子的数量是解题的关键． 根据前3个图案需要的棋子枚数找出规律，得到第n个图案需要的棋子枚数，再根据摆第个图案需要331枚棋子列出方程，求解即可． 【详解】解：摆第1个图案需要7枚棋子，而； 摆第2个图案需要19枚棋子，而； 摆第3个图案需要37枚棋子，而； ……； 摆第n个图案需要棋子数量为（枚）． ∴当摆第个图案需要331枚棋子时，， 解得，（不合题意，舍去）． 故答案为：10． 41．根据以下素材，探索完成任务． 课题：游乐园收益大揭秘 素材1 2026年五一长假即将来临，各游乐园将迎来客流高峰．某游乐园的游客上限为5万人，门票价格规定如下：平日票200元/张；假日票（比平日多玩1小时）240元/张；快速通道票：60元/张． 素材2 国家法定节假日售卖假日票，如5月1日-5月5日，其余日期售卖平日票．游客都需购买门票入园，玩项目时可以使用快速通道票，减少排队时间，一张快速通道票只能用于一个项目使用． 素材3 由以往数据统计得出：若设游客人数为万人，购买快速通道票的人数为万人，这万人平均每人购买张快速通道票，则当时，购买快速通道票的人可忽略不计；当时，有，且． 问题解决： (1)任务1：计算平日票务收入，预计4月30日游客人数有3万人，则当天该游乐园票务收入为多少万元？ (2)任务2：计算人数，若假期最后一天5月5日票务收入为1200万元，则游客人数有多少？ 【答案】(1)750万元 (2)4万人 【分析】（1）根据题意，列出代数式，将数值直接代入即可． （2）先判断的取值范围，再根据范围列出票务收入的代数式，根据票务收入等于票务收入代数式列一元二次方程求解． 【详解】（1）解：∵4月30日为平日票， ∴门票为200元/张， ∴票务收入为： ， 将代入（万元）， （2）解：∵5月5日为假期， ∴门票价格为240元/张， 若每位游客都没有购买快速通道票，则（万人），与题意不符， 所以游客人数大于等于万人， 此时票务收入为：， 则，解得或， ∵游客上限是5万人， ∴， 即5月5日游客人数为4万人． 42．某购物商场的地面停车场为矩形，其面积为，共设计了如图所示的56个停车位，每个停车位的尺寸都一样，且长比宽多，通车道的宽度都相等，求停车位的宽． 【答案】停车位的宽为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 设停车位的宽为，则停车位的长为，车道宽为，根据题意得，解方程即可得到答案． 【详解】解：设停车位的宽为，则停车位的长为，车道宽为， 根据题意得，， 解得或（舍去）， 答：停车位的宽为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02一元二次方程的应用知题通关讲义 知识点01：列一元二次方程解应用题 通用六步法（必考规范） ⚠️本节最大考点：一元二次方程解出来通常两个根，必须舍去不合题意的根。 知识点02：两类检验的区别 1.数学检验：检验未知数的值是不是所列一元二次方程的根； 2.实际意义检验（重中之重） (1)满足要求：长度、人数、价格、时间等数值＞0； (2)限制要求：数值不能超出题目给定范围； (3)取舍规则：若根为负数、超出取值范围，直接舍去。 补充提醒：分式方程必须检验分母，一元二次方程应用题重点侧重实际意义检验，考试扣分高频点。 知识点03：五大必考应用模型（全书核心，配标准公式） 模型一：增长率 / 下降率问题（考试最高频） 1.适用场景 连续两年、两次、两次以上涨价、降价、增产、减产。 2.核心公式 设：基数为 a，增长率为 x，增长次数 n，最终量 b a(1+x)n=b 下降率公式： a(1-x)n=b 3.关键说明 （1）每年增长率保持不变才可用公式； （2）n 为增长次数（不是年份）； （3）解出 (x>0)，负值舍去。 模型二：面积问题（几何应用题） 1.常见题型 矩形空地修路、边框、花圃、折叠、裁剪、靠墙围栏。 2.解题核心 （1）平移法：小路、过道统一平移到边上，拼成规则矩形； （2）用含 x 的式子表示新长、新宽； （3）根据面积公式列方程。 3.易错点 修路问题：横竖路重叠部分面积不要重复减去。 模型三：传播、分裂、循环问题（病毒、握手、比赛） 1. 病毒传播模型 一人感染，每轮每人感染 x 人，两轮后总感染人数： (1+x)2=总人数 2. 握手 / 单循环比赛模型 n 个人每两人握手一次，总次数： =总次数 3. 双循环（互赠礼物、互发消息） n(n-1)=总次数 模型四：销售利润问题（中考大题必考） 1.核心三大公式 单件利润 = 售价 − 进价 销量变化：涨价减销量、降价增销量 总利润 = 单件利润 销售总量 2.标准模板 设涨价 / 降价 x 元 新售价 = 原售价 x 新单件利润 =原利润 x 新销量 = 原销量变化量 x 代入：总利润 = 新利润 新销量，列二次方程。 模型五：动点几何问题（拔高压轴） 三角形、矩形中动点运动，设运动时间 t， 用 t 表示线段长，利用： 1.面积公式 2.勾股定理 列一元二次方程求解时间。 知识点04：五大模型汇总对比表（预习必背） 1. 审题时等量关系找错或遗漏条件 提醒：先梳理题干数量关系再列方程，不可机械套用题型模板，避免题意误判。 2. 设未知数不带单位，作答漏写单位 提醒：设元、作答应标注对应单位；设增长率时，应设为不带百分号的数值。 3. 平均增长率模型指数书写错误 提醒：平均增长率模型：a(1+x)2=b，不能写成 a(1+2x)=b。 4. 传播问题误将初始数量作为固定基数 提醒：每一轮全部感染者均可参与下一轮传播，基数动态变化，不可固定取初始传染源数量。 5. 道路、边框型面积问题线段长度计算错误 提醒：计算有效长、宽时，应同时减去两侧道路宽度，不可仅减去单侧宽度，可画图辅助分析。 6. 求出方程的根后未检验实际意义 提醒：方程的解满足等式，未必符合实际背景；长度、时间、人数不能取负值。 7. 仅依据根为正数就判定解有效 提醒：部分正数解仍会受到实际条件约束（如超出给定长度、人数不为整数），必须检验后舍去。 8. 利润问题混淆单件利润与总利润 提醒：总利润＝单件利润×销售量，不可直接使用售价或进价代替单件利润列式。 9. 价格变动时销售量增减关系写反 提醒：涨价对应销售量减少，降价对应销售量增加，列式时注意不要颠倒变化方向。 10. 作答没有完整回应全部设问 提醒：当题干含有多个问题时，需要逐一作答，不可只回答其中一问。 题型 考察方向 难度 题型一 传播问题 ★★ 题型二 增长率问题 ★★ 题型三 与图形有关的问题 ★★★ 题型四 数字问题 ★★ 题型五 营销问题 ★★ 题型六 动态几何问题 ★★★ 题型七 工程问题 ★★ 题型八 行程问题 ★★ 题型九 图表信息题 ★★★ 题型十 握手、循环赛问题 ★★ 题型十一 其他问题 ★★★ 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★压轴 题型一：传播问题 1．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有人患流感，若每轮传染中，平均一人传染人，根据题意，可列方程是（     ） A． B． C． D． 2．某种传染病在羊群中传播迅猛，平均一头羊每隔5小时能传染x头羊，现一养羊场有1头羊感染此病，若不及时控制，经过10小时后会有100头羊感染上此病，依题意可列方程________． 3．近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有91人有此短信． (1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ (2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 4．数学活动课上，同学们与智能体进行数字传播闯关游戏．智能体给出规则：游戏开始时有6名同学拥有通关密码，在每一轮传播中，每名拥有密码的同学都会传给相同数量的新同学，但每一轮传播结束后，都会随机有6名同学失去密码，不再参与下一轮传播．经过两轮完整传播后，场上共有114名同学持有通关密码．求每一轮传播中，1名同学传给多少名新同学． 题型二：增长率问题 5．为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了个充电桩，第三个月新建了个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，根据题意，列出方程为（     ） A． B． C． D． 6．新能源汽车具有环保节能、经济性高、驾驶体验佳等等优点，深受消费者的青睐．据统计到2024年底全国新能源汽车保有量约为2020万辆，预计2026年底将达到4000万辆，若设新能源汽车的年平均增长率为x，则可列方程为_________． 7．根据素材完成任务． (1)【素材1】生产某款零部件的一间工厂因引入一体化加工，生产效率提升，4月份生产100个零部件，同年6月份生产144个．求4月份到6月份生产数量的平均增长率； (2)【素材2】该零部件成本为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为600个，售价每上涨1元，月销售量减少10个．批发商为使月销售利润达到10000元，且尽可能让消费者得到实惠，实际售价应定为每个多少元？ 8．某市是全国旅游胜地，2020年受新冠疫情的影响，外来游客在逐年下降．某景区外来游客人数从2019年的2.25万下降到2021年的1.44万． (1)求2019年到2021年该景区外来游客人数平均每年降低的百分率； (2)在该景区需要建造篱笆花圃，如图，用长为34米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为20米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门（如图）， ①设花圃垂直于墙的边长为x米，则________（用含x的代数式表示）； ②当为多少米时，所围成花圃面积为105平方米？ ③当________米时，花圃的面积达到最大，最大为________平方米． 题型三：与图形有关的问题 9．在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？也就是说，一块长方形田地的面积为平方步，宽比长小步，问：这块长方形田地的长和宽各为多少步？设这块长方形田地的长为步，则根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 10．如图，一块长12米、宽8米的长方形户外草坪，规划了两横两纵等宽的石板小径（阴影部分），石板小径的总面积占草坪总面积的，则石板小径的宽度为_______米． 11．某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分绿化，绿化的面积为．已知整个长方形空地的长为30m、宽为，求道路的宽． 12．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为，停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为，求停车场内车道的宽度？ 题型四：数字问题 13．小明在算一个数的2倍时，误算成了这个数的平方，他发现两个结果的和为8，则这个数为（    ） A．2 B．2或4 C．2或 D．或4 14．如图是嘉嘉和某AI软件的部分对话截图，则该AI软件最终给出的x的值为________ 15．（1）一个两位数，个位数字比十位数字少1，且个位数字与十位数字的乘积等于72，则这个两位数是_______； （2）三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，则这三个数分别是___________． 16．如图所示的是2025年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请解答下列问题． (1)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． (2)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为80吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 题型五：营销问题 17．某商品的进价为每件元，当售价为每件元时，每周可卖出件．现需做降价处理，且经市场调查发现：该商品的售价每降价元，每周可多卖出件，店里每周的利润可达到元．若设店主把该商品每件的售价降低元，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 18．新世纪百货某款童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经市场调查发现：如果每件童装降价2元，那么平均每天就可多售出5件．要想平均每天销售这种童装的盈利为1400元，则每件童装应降价________元． 19．某商场将进货价为元的台灯以元售出，平均每月能售出个．调查表明：这种台灯的售价每上涨元，其月销售量就减少个． 要实现每月元的销售利润目标，且售价不能低于元/个． (1)求这种台灯的定价； (2)商场应进货多少个？ 20．根据以下素材，探索完成任务． 13度的甜，14度的鲜，夏季的兰溪杨梅，不仅是自然的馈赠，更是交织成初夏最让人心动的味道，但由于“泡药风波”，使得杨梅的销售较往年增加了一些难度，为了促进销售，某农户决定采取网上和实体店同步销售，请你帮助一起设计兰溪杨梅的销售方案． 素材1 某农户在网上和实体店同时销售兰溪杨梅（以下简称杨梅），成本价为20元/千克． 素材2 杨梅的网上销售价定为30元/千克时，当天网上销售量是100千克，实体店的销售价定为40元/千克时，当天实体店销售量是50千克．一天内实体店的销售价保持不变，网上销售价可按实际情况进行适当调整，需确保网上销售价始终高于成本价． 素材3 据调查，网上销售价每降低1元，当天网上多售出20千克，实体店少售出2千克． 问题解决： (1)任务1：当杨梅网上销售价为25元/千克时，求农户在网上销售杨梅当天的毛利润（毛利润=销售总额-成本）与实体店销售该杨梅当天的毛利润各是多少元？ (2)任务2：杨梅的网上单价每千克降多少元时，农户一天的总毛利润（总毛利润=网上毛利润+实体店毛利润）为2040元？ (3)任务3：你觉得该农户一天的总毛利润能否达到3000元，若能，请求出杨梅的网上单价是每千克多少元？若不能，请说明理由． 题型六：动态几何问题 21．如图，已知在中，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当的面积等于时，共需的时间为（　　） A．1s B．2s或4s C．3s D．3.5s 22．如图中，，点 P 从点A 开始向点B 以速度移动，同时点Q 从点 B开始向点C以的速度移动，当点Q运动到点C时，两点都停止移动，经过_______秒，的面积是 ？ 23．如图，中，，，．点P从点A开始，沿边向点B以每秒的速度移动，点Q从点B开始，沿着边向点C以每秒的速度移动．如果P，Q同时出发，当点Q移动到点C后停止，点P也随之停止．问： (1)经过几秒钟后，P、Q两点间的距离为． (2)经过几秒钟后，四边形的面积是？ 24．如图，中，，一动点P从点C出发沿着方向以的速度运动到达B时停止，另一动点Q从A出发沿着边以的速度运动到达时停止，P，Q两点同时出发，运动时间为． (1)若的面积是面积的，求的值； (2)的面积能否与四边形面积相等？若能，求出的值；若不能，说明理由． (3)线段的长度能否达到？说明理由． 题型七：工程问题 25．某花木园，计划在园中栽96棵桂花树，开工后每天比原计划多栽2棵，结果提前4天完成任务．问原计划每天栽多少棵？ 26．列方程解下列问题： 某大型腊肉加工厂只加工甲、乙两种腊肉礼盒，已知每名工人每天加工甲种腊肉礼盒数量是加工乙种腊肉礼盒数量的1.5倍．某天，当分配加工甲种腊肉礼盒的工人比加工乙种腊肉礼盒的工人少20人时，当天加工出厂的甲、乙种腊肉礼盒数量均为14400个． (1)求每名工人每天加工甲、乙两种腊肉礼盒数量各多少个？ (2)春节将至，订单激增．该厂一方面对所有工人重新分配：名加工乙种腊肉礼盒，其余的工人加工甲种腊肉礼盒：另一方面提高生产效率：每名工人每天加工乙种腊肉礼盒比以前增加个，每名工人每天加工甲种腊肉礼盒比以前增加个．已知该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共36000个，求的值． 27．随着农业技术的现代化，节水型灌溉得到逐步推广．喷灌和滴灌是比漫灌更节水的灌溉方式，喷灌和滴灌时每亩用水量分别是漫灌时的和．去年，新丰收公司用各100亩的三块试验田分别采用喷灌、滴灌和漫灌的灌溉方式，共用水15000吨． （1）请问用漫灌方式每亩用水多少吨？去年每块试验田各用水多少吨？ （2）今年该公司加大对农业灌溉的投入，喷灌和滴灌试验田的面积都增加了，漫灌试验田的面积减少了．同时，该公司通过维修灌溉输水管道，使得三种灌溉方式下的每亩用水量都进一步减少了．经测算，今年的灌溉用水量比去年减少，求的值． （3）节水不仅为了环保，也与经济收益有关系．今年，该公司全部试验田在灌溉输水管道维修方面每亩投入30元，在新增的喷灌、滴灌试验田添加设备所投入经费为每亩100元．在（2）的情况下，若每吨水费为2.5元，请判断，相比去年因用水量减少所节省的水费是否大于今年的以上两项投入之和？ 题型八：行程问题 28．2026年4月，北京举办了全球首场大规模人形机器人半程马拉松赛事．机器人“闪电”完成比赛，最终用时50分26秒，打破了人类男子半程马拉松世界纪录．已知机器人初始速度为，经过两次速度调整后，速度提升至．设这两次调整中，速度的平均增长率为．根据题意列出方程，正确的是（    ）． A． B． C． D． 29．数学老师设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了______秒． 30．如图，甲、乙从直径的两端点、分别按顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间之间满足关系式，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为。 (1)甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多长时间？ (2)甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多长时间？ 31．周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体若两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小明的跑步速度是小红跑步速度的1.2倍，那么小明比小红早5分钟到达B地． (1)求小明、小红的跑步速度； (2)若从A地到达B地后，小明以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息），据了解，在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从A地到C地锻炼共用多少分钟． 题型九：图表信息题 32．如图是今年某月的日历表，小欧用一个平行四边形，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是264，求小欧框出的最小数． 33．某电厂规定，该厂家属区每户居民如果一个月的用电量不超过a度，那么这居民这个月只需缴30元电费；如果超过a度，那么这个月除了仍要缴30元的用电费以外，超过的部分还要每度按元缴费． (1)若该厂某户居民2月份用电度，超过了规定的a度，则超过的部分应缴电费多少元（用a表示）； (2)如表是这户居民3月、4月用电情况和缴费情况： 月份 用电量（度） 缴电费总数（元） 3 120 62 4 65 30 请根据如表数据，求出电厂规定的a的值． 34．请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务： 人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月．一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明．我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法．赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程即得方法.首先构造了如图1所示得图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得． 　 　　　　 任务： （1）参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够说明方程的正确构图是 （从序号①②③中选择）． （2）请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求解方程（写出必要的思考过程）． 题型十：握手、循环赛问题 35．在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场，设有x个队参赛，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 36．某数学小组共有若干人，元旦时每个人各送一张自己制作的贺卡给组内其他人，全组一共送了72张贺卡，则这个数学小组共有__________人． 37．绿茵争锋，“足”够精彩！2015年教育部下发《关于公布2015年全国青少年校园足球特色学校及试点县（区）名单的通知》，认定福清西山学校等校为全国青少年校园足球特色学校．若学校体艺办要组织一次足球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，问应邀请多少支球队参赛？ 38．为庆祝五四青年节，某校组织八年级男子班级篮球赛，为达到活动效果又节省比赛时间，先分A、B两个小组，由所有参赛班级随机抽签，再分别进行小组赛．当参赛队伍总数为偶数个时，A组、B组队伍数一样多；当参赛队伍总数为奇数个时，B组比A组队伍数多1个．小组赛采取单循环赛制（即每支队伍与组内其他队伍各打一场），按积分排名，取每组前2名晋级半决赛，最后进行决赛．积分规则：胜一场得2分，负一场得0分．小组赛结束后，某数学学习小组针对全部队伍累计总得分开展数学讨论．具体如下： (1)已知该校八年级共有10个班级参加比赛．小组赛结束后，全部队伍累计总得分共 分； (2)若当参赛队伍总数为偶数个时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分为112分．求本次比赛参赛队伍个数； (3)当参赛队伍总数为奇数个时．小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分吗？若能，请求出此时参赛的队伍数；若不能，请说明理由． 题型十一：其他问题 39．用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板．随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子的长度后一次为前一次的倍．已知一个钉子受击次后恰好全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的．设铁钉的长度为，那么符合这一事实的方程是（     ） A． B． C． D． 40．如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，摆第个图案需要331枚棋子．则________．    41．根据以下素材，探索完成任务． 课题：游乐园收益大揭秘 素材1 2026年五一长假即将来临，各游乐园将迎来客流高峰．某游乐园的游客上限为5万人，门票价格规定如下：平日票200元/张；假日票（比平日多玩1小时）240元/张；快速通道票：60元/张． 素材2 国家法定节假日售卖假日票，如5月1日-5月5日，其余日期售卖平日票．游客都需购买门票入园，玩项目时可以使用快速通道票，减少排队时间，一张快速通道票只能用于一个项目使用． 素材3 由以往数据统计得出：若设游客人数为万人，购买快速通道票的人数为万人，这万人平均每人购买张快速通道票，则当时，购买快速通道票的人可忽略不计；当时，有，且． 问题解决： (1)任务1：计算平日票务收入，预计4月30日游客人数有3万人，则当天该游乐园票务收入为多少万元？ (2)任务2：计算人数，若假期最后一天5月5日票务收入为1200万元，则游客人数有多少？ 42．某购物商场的地面停车场为矩形，其面积为，共设计了如图所示的56个停车位，每个停车位的尺寸都一样，且长比宽多，通车道的宽度都相等，求停车位的宽． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $