专题09分式及其基本性质知题通关讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年人教版八年级数学上册

专题09分式及其基本性质知题通关讲义 1 知识梳理 分式的民念 一个式子是分式需要满足的三个条件 一 分式有息义的条件一分式的分母不等于0 分式无息义的条件一分式的分母博于0 分式有、无息义的条件 分式的值力正数的条件一分子、分母同号 分式的值为负数的条件一分子、分母异号 分试式及其基本性质 当分式的分子为0，分母不为0时，分式的值为0 分式的值为0的条件 分式的值是在分式有息义的前提下才可以考的，所以便分式AVB的值为0的条件是A=0且BO,两者缺一不可 分式的分子与分母乘（或称以）同一个不薄于0的整式，分式的值不变 分式的基本性版 用式子表示为AVB=AC/BC,AVB=A+C/B+C(C≠0)，其中A,B,C是式 分式的的分 调分式的基本性质，把一个分式的分子与分西的公园式的去 约分、最面分式 是宽分式 一分子与分母设有公因式的分式 知识点01分式的概念与有理式分类 1.分式定义 如果A、B都表示整式，并且分母B中含有字母，那么式子君叫做分式， 组成说明：A是分子，B是分母： 判定核心两条标准：①分子、分母必须都是整式；②分母内必须含 有字母，二者缺一不可。 2.整式与分式区分表 试卷第1页（共3页） 代数式 类型 判断依据 X 2 整式（单项式） 分母无字母 2 分式 分母含字母x x a+b 整式 分母是常数 3 x-1 分式 分母含字母 x+2 5、3a-1 整式 无分母 3有理式整体分类框架 整式 单项式（数字、单个字母、数字字母积） 有理式 多项式（多个单项式加减） 分式 (分母含有字母的4型整式除法式子) B 4基础判断题高频陷阱 只看分子不看分母、把π当作字母、把分子分母含加减的多项式直接判 定，都是常错点。 知识点02与分式有关的条件问题 要求 表示 分式有意义 分母≠0 B≠0 分式无意义 分母=0 B=0 分式值为0 分子为0且分母不为0 A=0,B≠0 ①A>0,B>0 分式值为正或大于0 分子分母同号 ②A<0,B<0 ①A>0,B<0 分式值为负或小于0 分子分母异号 ②A<0,B>0 分式值为1 分子分母值相等 A=B 分式值为-1 分子分母值互为相反数 A+B=0 试卷第2页（共3页） 知识点03分式的基本性质 1.文字法则 分式的分子与分母同时乘以（或除以）同一个不等于0的整式，分式的 值不变。 2.字母公式 AA·M A÷M B-B.M' 公 B:M (M≠0，A、B、M均为整式) 3.核心三点注意 1分子、分母同时乘/除，不能只单独变分子或分母： 2乘除的整式M不能为0，否则分式无意义： 3性质是分式约分、通分的理论依据。 知识点04：分式的变号法则（性质延伸） 1.法则内容 分式的分子、分母、分式本身这三个符号中，改变其中任意两个，分式 的值不变：改变其中一个或三个，分式变为原分式的相反数。 2.字母表示 -A-A A.-A-A B-B B -BB 3.应用 用于统一分式符号、化简分式，是分式运算的基础。 知识点05约分（分式基本性质直接应用） 试卷第3页（共3页） 1.约分定义 把分式分子、分母的公因式同时约去，这种变形叫约分。 2.最简分式 分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。分式化简最终结果必须 化为最简分式。 3.约分完整步骤 步骤1：因式分解 一一分子、分母分别完整分解（单项式提公因式： 多项式提公因式、平方差、完全平方)： 步骤2：确定公因式 一一系数取最大公约数，相同字母/多项式因式 取最低次幂： 步骤3：分子分母同时除以公因式： 步骤4：检验剩余分子分母是否还有公因式，无则为最简分式。 举例 x2-4 化简2+4r+4 解：原式= (x+2)(x-2)x-2 x+2 (x十2为公因式，约去) (x+2)2 4.找分子分母公因式方法 (1)系数：取分子分母系数最大公因数： (2)字母/多项式因式：取相同因式最低次幂。 知识点06通分（分式基本性质拓展应用） 1.通分定义 试卷第4页（共3页） 把几个异分母分式，利用分式基本性质化为同分母分式，分母取各分母 的最简公分母。 2.最简公分母确定方法 组成部分 选取规则 系数 取各分母系数的最小公倍数 字母/因式 所有分母中出现的不同字母、因式全部选取 相同字母/因式取最高次幂 举例 分式2x3x 最简公分母：系数最小公倍数6，字母最高次x2,即6x 3.标准通分解题三步 步骤1：分解所有分母的因式： 步骤2：计算最简公分母： 步骤3：每一个分式分子分母同乘对应因式，统一分母为最简公分母。 2 高频易错点 1. 判断分式依据化简后的形式，而非原式 提醒：判定分式必须观察原始解析式，以原式分母是否含有字母为依 据，不能约分后再判断。 2. 确定分式有意义时，错误限制分子取值 提醒：分式有意义的充要条件是分母≠0，分子取值不受约束。 试卷第5页（共3页） 3. 求分式值为0，仅令分子等于0，未检验分母 提醒：分式值为0，需要同时满足分子=0、分母≠0，必须验证分母不为 零。 4. 将常数π误当作字母来判定分式 提醒：π代表固定常数，不是字母：分母仅含π时，该代数式不是分式。 5. 应用分式基本性质，只对分子或分母单方变形 提醒：分子、分母必须同时乘（或除以）同一个不为0的整式，不可仅 改变其中一边。 6. 应用分式基本性质，忽略所乘除的整式不为0 提醒：乘、除的整式不能等于0，否则会造成原式隐含条件丢失。 7. 对分式符号变形时，仅改变局部项的符号 提醒：可改变的是分子整体、分母整体、分式本身这三处符号；不可只 改动分子或分母内某一项的符号。 8. 约分约去分子、分母中不是公因式的项 提醒：约分只能约去分子与分母整体的公因式，不能直接消去单独的 项。 9. 约分前未对分子、分母进行因式分解 提醒：应先将分子、分母因式分解，再确定公因式，不可直接对各项进 行约分。 10. 误认为分式化简的结果必须是整式 提醒：约分结果可以是整式，也可以是最简分式，无须强制化为整式。 试卷第6页（共3页） 3 题型通关 题型 考察方向 难痕 题型一 分式的判断 题型二 分式无意义的条件 题型三 分式有意义的条件 ★★ 题型四 分式值为零的条件 ★★ 题型五 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 ★★ 题型六 判断分式变形是否正确 ★★ 题型七 求使分式变形成立的条件 题型八 ★★ 利用分式的基本性质判断分式值的变化 ★★ 题型九 将分式的分子分母各项系数化为整数 ★★★ 题型十 求使分式值为整数时未知数的整数值 题型十一 ★★ 约分 题型十二 最简分式 ★★ 题型十三 最简公分母 ★★ 题型十四 通分 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★压轴 试卷第7页（共3页） 4 分题型精讲 题型一：分式的判断 1.下列式子中，是分式的是() A年 5 B.元 x+3y D. 2 1 x+y 3 x 2.下列代数式：x3元’x-2属于分式的有(） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3手，阳 m,a,元中，是分式的有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 题型二：分式无意义的条件 2 4.若分式a一无意义，则a的值为() A.0 B.2 C.-1 D.1 x-C x-c 5.已知当x=2时，分式x+b无意义：当x=5时，分式x+b的值为0，则b+c的值是 6.根据下列表格中的信息，y代表的分式可能是() -3 -2 0 3 无意 y 0 ☆ 无意义 ☆ 义 x+3 x+3 x-3 x+3 A x-2 B x+2 C.x-4 D.2-4 题型三：分式有意义的条件 x-3 7.若分式x+2有意义，则x的取值范围是(） A.x≠3 B.x≠-2 C.x=3 D.x=-2 试卷第8页（共3页） 1 8.当x取何值时，分式x2-4有意义() A.x≠4 B.x≠-2 C.x≠2且x≠-2 D.x≠2 a 9.若不论x取何实数时，分式-2x+a总有意义，则a的取值范围是（） A.a≥1 B.a>1且a≠0 C.a>1 D.a<1 题型四：分式值为零的条件 x2-4 10.若分式x-2的值为0，则x=」 10,则x+3一 1 11.若x-2x+1 x2-1 12.若分式x2+x-2的值为0，则x的值是(). A.1或-1 B.1 C.-1 D.-2 题型五：求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 13.若分式x一2的值为负数，则x的取值范围是 2x+1 14.若分式x2的值为正，则x的取值范围为(）· 1 A.x2-2 B.x≤-2 C.x>一2且x0 D.x≤-2 1+c1 A=1+e1 15.由(3+c3)值的正负可以比较”3+c与3的大小，下列正确的是() 1 A.当c=-3时，A=3 B当c=0时，A≠ 3 C.当c<3时，4写 D当c<0时4<写 试卷第9页（共3页） 题型六：判断分式变形是否正确 mn 2m'n 16.已知m-nA,且m≠0，则A代表的整式是 b bc a a2 aa(x2+1 17.下列变形：@：②b:回，=-”6 a =-a:④66x+1:@ 2m2-2mn_2m (n-m) m-n.其中不正确的是一.（请填写序号） 18.下面三个式子：c -a-b__a-b-a+b__a-b-a+b__a+b cc 其中正确的有— 个 19.根据分式的基本性质，下列各式从左到右的变形正确的是() a。a+1 a 1 A.bb+l B. a+b 1+b -a+b-1 a a C.a-b D.a+b a+b 题型七：求使分式变形成立的条件 y2 20.如果3ax9x,那么m为() A32 B32 C.32 D.3ax 2引者号则46的张为 22.若四条均不相等线段的长度分别为m,n,e,∫，且满足mn=e叶，则下列各式不正 确的是() A.m:n=e:f B.m:f=e:n 试卷第10页（共3页） f n mte e C.m-f e-n D.f+nn 题型八：利用分式的基本性质判断分式值的变化 ab 23.分式a+b中的4，b的值都扩大为原来的3倍，则分式的值(） 1 A.不变 B.缩小为原来的6 C.缩小为原来的3 D.扩大为 原来的3倍 m n -n 24.若32，则 +n 25.将下列分式中a,b的值同时扩大为原来的2倍，分式的值保持不变的是() 2a a 3ab A. B. C. D ab2 a2+b2 a+2b a+b a+b 题型九：将分式的分子分母各项系数化为整数 1.3x-1 26.不改变分式 2x-0.7y的值，把它的分子与分母中各项的系数化为整数，其结果正确 的是() 13x-1 13x-10 13x-10 13x-1 A.2x-7y B.2x-7y C.20x-7yD.20x-7y 27.某连锁超市有甲，乙两家分店，某天的销售记录显示，甲店笔交易中，手机支付笔 数占80%：乙店笔交易中，手机支付笔数占90%.该连锁超市这一天的交易中，手机支 付笔数所占的比例是 0.2x+1 28.不改变分式5-0.3x的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数，所得结果正确的是 () 2x+10 2x+1 2x+10 x+5 A. 5-3x B.5-3x C. 50-3x D. 25-x 题型十：求使分式值为整数时未知数的整数值 试卷第11页（共3页） 6 29.若分式a+1的值为正整数，则整数a的值有(） A.3个 B.4个 C.6个 D.8个 x2-3x+8 30.使得x+1为整数的自然数x的个数为一个. 31.我们可以将一些只含有一个字母且分子、分母的次数都为一次的分式变形，转化为整 数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如： a+3_a-0+4=1+4.2a-1-2a+0-3=2-3 a-1a-1 a-1’a+1a+1 a+1· 参考上面的方法，解决下列问题： a (1)将a+i变形为满足以上结果要求的形式：a+1 3a+2 (2)若a-1为正整数，且a也为正整数，则a的值为 题型十一：约分 1-2x 32.化简：4x-2 (a-a2-2aj12-a-a2） 33.约分：(d-2a-3(a-8a2+2a) 34.定义：如果一个分式能化成一个整数与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个 x+1=x-1+2=x-1+2 分武为“威整分式”.例如：①】x--xr-1+::回 3x-2_3x+)-5_30x+D+-5=3+-5 4x+1 x+1 x+1 x+1x+1 +x+1:将“赋整分式”2x一i化为一个整数与一 个分子为常数的分式的和的形式是 题型十二：最简分式 35.下列分式为最简分式的是() 试卷第12页（共3页） 2 -a b a+1 A.14a B. C.2a D.(a+)2 2x2y 36.将分式6xy2化成最简分式的结果是() x 2x 炒 A.3y B.6y C.3 D 36 a2+b2 m2-n2 x2+xy a+b-c 37.在分式3+3a,a2-b,m+n,2x,c-a-b中，最简分式有_个. 题型十三：最简公分母 3 5 1 38.分式4ab,6ab,3a的最简公分母是（） A.12ab2 B.24a3b3 C.12a2b2 D.36a3b2 2x2y 2 39.分式(x+y)2与(x+)x-y)的最简公分母是() A.(x+) B (x+y)3(x-y) C.(x+y)(x-y)2 D (x+y)2(x-y) 、1 1 1 40.a+1-2a+1+-a的最简公分母是(） A.(a+(a-) B.(a+l(a2-2a+1)(a-1） C. (a-10(a2-2a+l D.(a+10(a-1) 题型十四：通分 3a 41,分式a-b的分母经过通分后变成2(a-b)2(b),那么分子应变为() A.6a(a-b)2(a+b) B.2(a-b) 试卷第13页（共3页） C.6a (a-b) D.6a (a+b) 3a 42.分式ad二的分母经过通分后变成2(a-b(a+b),那么分子应变为一 3m 3n 3m 43.若将分式m+n与2(m-n)通分，则分式m+n的分子应变为() A.6m2-6mn B 6m-6n 2(m-n) D.2(m-n)(m+n) 解答题 1.约分、通分 Aab2c (1)12a2b3c; 1 1 (②)x2-2x和x-4· 3 2.定义：对于分式a-1,若存在整数4，使得该分式的值为整数，则称整数a是该分式的 巧数.例如：若a=2时，分式a-1的值为3，则称a=2是分式a一i的巧数. 3 (1)a=-2是分式。-的巧数”，该说法是否正确？请说明理由： (②)求分式a-2所有的巧数： a-5 13 a-5_a-2-3_ 3)对于分式。-2，小华通过整理得出。-24-2=1a2,借助问题(2)的结论即 可得出 a-5 a2-a 。-2的巧数.类比小华的做法，求分式。-一所有的巧数. 1_1=1(y+0) 3.多多在一本数学课外书上看到这样一道题，已知xy 求分式 6x-9xy-6y x+4y-y的值.该题没有给出x’y的值，怎样求出分式的值？数学课外书上介绍了两 试卷第14页（共3页） 种方法： 11=1,y=x=1, 方法：xy y y-x=xy’x-y=-y' 6(x-y）-9g_6×(-y)=9w=-5 :原式=x-y)+40 -xy+4xy 方法2：：y≠0，将分式的分子、分母同时除以少，得： 原式=（6x=9gy-6y （x+4x灯y-y)÷xy (1)“方法1”中运用了“分式与分式方程”这一章的数学依据是 (2)请你将“方法2”中剩余的解题过程补充完整. 4.下面是三位同学学完分式后所做的三道题，请判断他们的解答是否正确，若不正确，给 予改正 a+6a+9 甲：a为何值时，分式d2二9有意义？ a+3 解：原式=a-3; 当a≠3时，分式有意义. 人：式7是分式还是g式？ ,x2-4x+4 解“原式=x-2:故x-2是整式。 x2-2x+1 丙：化简分式1-x2· x2-2x+1(x-12x-1 解：1-x2(（1+x)(1-x)x+1. 2x+1 5.阅读下面的材料：当x满足什么条件时，分式2-x的值为正？ 根据有理数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，瑶瑶的解题思路如 下.原式可转化为下面两个不等式组： 试卷第15页（共3页） [2x+1>0 2x+1<0 ①2-x>0或②2-x<0, 解不等式组①，得」 解不等式组②，得 2x+1 故当x满足 时，分式2-x的值为正. 解答问题： (1)请将瑶瑶的解题思路补充完整： 2x-4 (②)若分式x+5的值为负，求x的取值范围. 试卷第16页（共3页） 专题09分式及其基本性质知题通关讲义 知识点 01 分式的概念与有理式分类 1.分式定义 如果A、B都表示整式，并且分母B中含有字母，那么式子叫做分式。 组成说明：A是分子，B是分母； 判定核心两条标准： ① 分子、分母必须都是整式； ② 分母内必须含有字母，二者缺一不可。 2. 整式与分式区分表 3 有理式整体分类框架 4 基础判断题高频陷阱 只看分子不看分母、把当作字母、把分子分母含加减的多项式直接判定，都是常错点。 知识点02与分式有关的条件问题 知识点 03 分式的基本性质 1. 文字法则 分式的分子与分母同时乘以（或除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变。 2. 字母公式 3. 核心三点注意 1.分子、分母同时乘 / 除，不能只单独变分子或分母； 2.乘除的整式M不能为 0，否则分式无意义； 3.性质是分式约分、通分的理论依据。 知识点04:分式的变号法则（性质延伸） 1. 法则内容 分式的分子、分母、分式本身这三个符号中，改变其中任意两个，分式的值不变；改变其中一个或三个，分式变为原分式的相反数。 2. 字母表示 ​ 3. 应用 用于统一分式符号、化简分式，是分式运算的基础。 知识点 05约分（分式基本性质直接应用） 1. 约分定义 把分式分子、分母的公因式同时约去，这种变形叫约分。 2. 最简分式 分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。 分式化简最终结果必须化为最简分式。 3. 约分完整步骤 步骤 1：因式分解 —— 分子、分母分别完整分解（单项式提公因式；多项式提公因式、平方差、完全平方）； 步骤 2：确定公因式 —— 系数取最大公约数，相同字母 / 多项式因式取最低次幂； 步骤 3：分子分母同时除以公因式； 步骤 4：检验剩余分子分母是否还有公因式，无则为最简分式。 举例 4. 找分子分母公因式方法 （1）系数：取分子分母系数最大公因数； （2）字母 / 多项式因式：取相同因式最低次幂。 知识点 06通分（分式基本性质拓展应用） 1. 通分定义 把几个异分母分式，利用分式基本性质化为同分母分式，分母取各分母的最简公分母。 2. 最简公分母确定方法 举例 分式、 最简公分母：系数最小公倍数6，字母最高次x2，即6x2 3.标准通分解题三步 步骤 1：分解所有分母的因式； 步骤 2：计算最简公分母； 步骤 3：每一个分式分子分母同乘对应因式，统一分母为最简公分母。 1. 判断分式依据化简后的形式，而非原式 提醒：判定分式必须观察原始解析式，以原式分母是否含有字母为依据，不能约分后再判断。 2. 确定分式有意义时，错误限制分子取值 提醒：分式有意义的充要条件是分母≠0，分子取值不受约束。 3. 求分式值为0，仅令分子等于0，未检验分母 提醒：分式值为0，需要同时满足分子＝0、分母≠0，必须验证分母不为零。 4. 将常数π误当作字母来判定分式 提醒：π代表固定常数，不是字母；分母仅含π时，该代数式不是分式。 5. 应用分式基本性质，只对分子或分母单方变形 提醒：分子、分母必须同时乘（或除以）同一个不为0的整式，不可仅改变其中一边。 6. 应用分式基本性质，忽略所乘除的整式不为0 提醒：乘、除的整式不能等于0，否则会造成原式隐含条件丢失。 7. 对分式符号变形时，仅改变局部项的符号 提醒：可改变的是分子整体、分母整体、分式本身这三处符号；不可只改动分子或分母内某一项的符号。 8. 约分约去分子、分母中不是公因式的项 提醒：约分只能约去分子与分母整体的公因式，不能直接消去单独的项。 9. 约分前未对分子、分母进行因式分解 提醒：应先将分子、分母因式分解，再确定公因式，不可直接对各项进行约分。 10. 误认为分式化简的结果必须是整式 提醒：约分结果可以是整式，也可以是最简分式，无须强制化为整式。 题型 考察方向 难度 题型一 分式的判断 ★ 题型二 分式无意义的条件 ★ 题型三 分式有意义的条件 ★ 题型四 分式值为零的条件 ★★ 题型五 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 ★★ 题型六 判断分式变形是否正确 ★★ 题型七 求使分式变形成立的条件 ★★ 题型八 利用分式的基本性质判断分式值的变化 ★★ 题型九 将分式的分子分母各项系数化为整数 ★★ 题型十 求使分式值为整数时未知数的整数值 ★★★ 题型十一 约分 ★★ 题型十二 最简分式 ★ 题型十三 最简公分母 ★★ 题型十四 通分 ★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★压轴 题型一：分式的判断 1．下列式子中，是分式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的定义判断即可． 【详解】解：，，的分母均为常数，不是分式，的分母含字母，是分式． 2．下列代数式： 属于分式的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据分式定义逐个判断，即分式的定义为：若是整式，且中含有字母，，则是分式．需注意是常数，不是字母． 【详解】解：∵的分母含有字母，∴是分式； ∵的分母是常数，∴是整式，不是分式； ∵中是常数，分母为常数，∴是整式，不是分式； ∵的分母含有字母，∴是分式, 因此符合条件的分式共个． 3．在，，，，，中，是分式的有（    ）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据分式的定义判断即可． 【详解】解：，，的分母中都含有字母，都是分式， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的判断，如果、表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式，其中叫做分子，叫做分母．特别注意：判断一个代数式是不是分式，不能将原代数式进行变形后再判断，而必须按照原来的形式进行判断，不能认为分母含有的式子是分式． 题型二：分式无意义的条件 4．若分式无意义，则的值为（     ） A．0 B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】根据分母等于0时分式无意义求解即可． 【详解】解：∵分式无意义， ∴分式的分母为，即 解得． 5．已知当时，分式无意义；当时，分式的值为0，则的值是________． 【答案】 【分析】根据分式无意义时分母为0，分式值为0时分子为0且分母不为0，分别求出和的值，再计算． 【详解】解：∵时，分式无意义， ∴，解得 ． ∵时，分式的值为， ∴， 解得 ． ∴． 6．根据下列表格中的信息，代表的分式可能是（     ） … 0 2 3 … … 0 无意义 ☆ 无意义 ☆ … A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式无意义时分母为0，分式值为0时分子为0且分母不为0，结合表格提取条件，逐一判断选项即可． 【详解】解：根据表格信息可得三个条件∶①当时，无意义，即时分母为； ②当时，无意义，即时分母为； ③当时，，即时分子为且分母不为． A选项：，时，分母，有意义，不符合条件①，排除A． B选项：，时，分母，有意义，不符合条件②，排除B． C选项：，时，分子，，不符合条件③，排除C． D选项：，时，分母，无意义，符合条件①；时，分母，无意义，符合条件②； 时，分子，分母，，符合条件③，故D符合题意． 题型三：分式有意义的条件 7．若分式有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意，得， 解得． 8．当取何值时，分式有意义（     ） A． B． C．且 D． 【答案】C 【分析】根据分式的分母不等于0可得，即，再结合平方根的性质求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴，即， ∴且． 9．若不论取何实数时，分式总有意义，则的取值范围是（   ） A． B．且 C． D． 【答案】C 【分析】分式总有意义，则分母永远不等于0，即的最小值大于0，据此解题即可． 【详解】解：∵分式总有意义， ∴的最小值，解得． 故选C． 【点睛】本题主要考查分式有意义的条件及二次函数的最值问题，能够熟练利用条件列不等式是解题关键． 题型四：分式值为零的条件 10．若分式的值为0，则___________． 【答案】 【分析】分式值为0的条件是分子为0，且分母不为0，据此求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得． 11．若，则_______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了分式的值为的条件，分子等于，且分母不等于．熟练掌握分式的值为的条件是解题的关键． 根据分式的值为的条件，先求出的值，再代入中计算即可． 【详解】解：由， 得， ∴， 由①得， 由②得， 综上，， ∴． 故答案为：． 12．若分式的值为0，则x的值是(    )． A．1或 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】分式的值为0的条件：分子为0，分母不为0，再建立方程与不等式解题即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，， ∵， ∴，解得：， 当时，，舍去， 当时，，符合题意， ∴， 故选C 【点睛】本题考查的是分式的值为0的条件，利用平方根的含义解方程，熟记分式的值为0的条件是解本题的关键． 题型五：求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 13．若分式的值为负数，则x的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据分式的值为负数的条件，结合分子为正数，得到分母小于零，列出不等式求解即可． 【详解】解：由题意得， ， 解得． 14．若分式的值为正，则x的取值范围为（  ）． A．x≥－ B．x≤－ C．x＞－且x≠0 D．x＜－ 【答案】C 【分析】根据题意，因为任何实数的平方都是非负数，分母不能为0，所以分母是正数，主要分子的值是正数则可，从而列出不等式． 【详解】解：由题意得，x2>0，且x≠0， ∵分式的值为正， ∴2x+1＞0， ∴x＞-， 所以x＞-且x≠0． 故选：C． 【点睛】本题考查不等式的解法和分式值的正负条件．解不等式时当未知数的系数是负数时，两边同除以未知数的系数需改变不等号的方向，当未知数的系数是正数时，两边同除以未知数的系数不需改变不等号的方向． 15．由值的正负可以比较与的大小，下列正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】将c=−3和0分别代入A中计算求值即可判断出选项A，B的对错；当c<−3和c<0时计算的正负，即可判断出选项C，D的对错． 【详解】解：A选项，当c=−3时，分式无意义，故该选项不符合题意； B选项，当c=0时，，故该选项不符合题意； C选项， ∵c<−3， ∴3+c<0，c<0， ∴3(3+c)<0， ∴， ∴，故该选项符合题意； D选项，当c<0时， ∵3(3+c)的正负无法确定， ∴A与的大小就无法确定，故该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的求值，分式的加减法，通过作差法比较大小是解题的关键． 题型六：判断分式变形是否正确 16．已知，且，则代表的整式是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，利用分式的基本性质，分子分母同乘一个不为0的数，分式的值不变，求解即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴． 故答案为：． 17．下列变形：①；②；③；④；⑤．其中不正确的是______．（请填写序号） 【答案】①②③ 【分析】此题考查分式的性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变，据此依次判断即可，正确理解分式的性质是解题的关键． 【详解】解：当时，，故①不正确，符合题意； ，故②不正确，符合题意； ，故③不正确，符合题意； ，故④正确，不符合题意； ，故⑤正确，不符合题意． 故答案为：①②③． 18．下面三个式子：，其中正确的有_____个． 【答案】1 【分析】此题考查了利用分式的基本性质进行符号的变形，通过分式的化简和比较，判断每个等式的正确性． 【详解】解：对于第一个等式，，故不正确； 对于第二个等式，左边，等于右边，故正确； 对于第三个等式，（除非，但一般情况不成立），故不正确． 因此正确的有1个． 故答案为：1． 19．根据分式的基本性质，下列各式从左到右的变形正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分式的基本性质为：分式的分子与分母同乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A、当时，左边为，右边为，左右不相等，故该选项错误； B、当时，左边为，右边为，左右不相等，故该选项错误； C、原式分式有意义， ， 又， ，故该选项正确； D、，故该选项错误． 题型七：求使分式变形成立的条件 20．如果，那么为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的性质可将左边的等式分子分母同时乘以，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 21．若，则的值为__________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了分式的基本性质、代数式求值等知识点，掌握等式的基本性质成为解题的关键． 由可得，然后代入运用分式的基本性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 22．若四条均不相等线段的长度分别为，，，，且满足，则下列各式不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的性质，利用分式的性质逐一进行判断即可，灵活运用分式的性质是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴不能说明，原选项不正确，符合题意； 、∵， ∴，原选项正确，不符合题意； 、∵， ∴ ∴， ∴， ∴，原选项正确，不符合题意； 、∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 题型八：利用分式的基本性质判断分式值的变化 23．分式中的a，b的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（     ） A．不变 B．缩小为原来的 C．缩小为原来的 D．扩大为原来的3倍 【答案】D 【分析】将扩大3倍后的a、b代入分式，化简后与原分式比较得到倍数关系． 【详解】解：把a、b都扩大为原来的3倍，代入分式得， 故分式的值扩大为原来的3倍． 24．若，则________． 【答案】 【分析】根据已知的比例关系，设参数表示出和，再代入所求分式化简计算即可得到结果． 【详解】解：设，其中， 则，， ∴． 25．将下列分式中a，b的值同时扩大为原来的2倍，分式的值保持不变的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将扩大后的，替换原分式中的，，化简后与原分式比较，值相等的即为正确选项． 【详解】解：A、，分式值变为原来的，不符合要求； B、，与原分式值相等，符合要求； C、，分式值变为原来的倍，不符合要求； D、，分式值变为原来的倍，不符合要求． 题型九：将分式的分子分母各项系数化为整数 26．不改变分式 的值，把它的分子与分母中各项的系数化为整数，其结果正确的是(    ) A． B．   C． D． 【答案】C 【分析】观察分子分母，将分子分母同时乘以10，可得结果． 【详解】． 故答案为：C． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题的关键熟练运用分式的基本性质． 27．某连锁超市有甲，乙两家分店，某天的销售记录显示，甲店m笔交易中，手机支付笔数占；乙店n笔交易中，手机支付笔数占．该连锁超市这一天的交易中，手机支付笔数所占的比例是______． 【答案】 【分析】先分别求出甲店和乙店的手机支付笔数，再计算两店总的手机支付笔数与总交易笔数，最后根据比例的定义，用总手机支付笔数除以总交易笔数得到结果． 【详解】解：根据题意，甲店手机支付笔数为 ， 乙店手机支付笔数为 ， 两店总手机支付笔数为 ， 两店总交易笔数为 ， 因此手机支付笔数所占比例为． 28．不改变分式的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数，所得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的基本性质，进行计算即可解答． 【详解】解：， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 题型十：求使分式值为整数时未知数的整数值 29．若分式的值为正整数，则整数a的值有(　　) A．3个 B．4个 C．6个 D．8个 【答案】B 【分析】分式的值为正整数，则a+1的值是6的正整数约数，据此即可求出a的值． 【详解】解：分式的值为正整数，且a为整数， 所以a+1=1或2或3或6． 则a=0或1或2或5． 故选B． 【点睛】本题考查了分式的值．理解分式的值为正整数，则a+1的值是6的正整数约数是关键． 30．使得为整数的自然数的个数为________个． 【答案】6 【分析】本题考查了分式的值，将分式变形为，即可得出，再根据的值为整数且x为自然数计算即可． 【详解】解： ， ∵分式的值为整数且x为自然数， ∴或2或3或4或6或12， ∴或1或2或3或5或11， 共6个， 故答案为：6． 31．我们可以将一些只含有一个字母且分子、分母的次数都为一次的分式变形，转化为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如： ，． 参考上面的方法，解决下列问题： （1）将变形为满足以上结果要求的形式：_______； （2）若为正整数，且也为正整数，则的值为_______． 【答案】 2或6 【分析】此题考查了分式的加减及求分式的值等知识，理解题意并熟练掌握分式的基本性质及运算法则是解本题的关键． （1）根据材料中分式转化变形的方法，即可把变形为满足要求的形式； （2）首先根据材料中分式转化变形的方法，即可把变形为满足要求的形式，然后根据整数概念求解即可； 【详解】解：（1）由题意可得， ， 故答案为：； （2）由题意可得， ， ∵为正整数，且也为正整数， ∴或5， ∴或6， 故答案为：2或6； 题型十一：约分 32．化简：_________． 【答案】/ 【详解】解：． 33．约分：________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的约分、因式分解，熟练掌握分式的运算法则和利用十字相乘法分解因式是解题关键．先分解因式，再进行约分即可得． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 34．定义：如果一个分式能化成一个整数与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“赋整分式”．例如：①；②；将“赋整分式”化为一个整数与一个分子为常数的分式的和的形式是_______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的拆分． 根据“赋整分式”的定义，将分子化为分母的倍数与常数的和，然后进行分式拆分即可． 【详解】解：． 故答案为：． 题型十二：最简分式 35．下列分式为最简分式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】选项A：的分子分母有公因式，可约分为， 不是最简分式，不符合题意； 选项B：的分子分母有公因式，可约分为， 不是最简分式，不符合题意； 选项C：的分子分母没有公因式， 是最简分式，符合题意； 选项D：的分子分母有公因式，可约分为， 不是最简分式，不符合题意． 36．将分式化成最简分式的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， ∴将分式化成最简分式的结果是． 37．在分式，，，，中，最简分式有__个． 【答案】1 【分析】本题考查分式的应用，熟练掌握最简分式的意义和正确进行分式约分的方法是解题关键． 根据最简分式的意义对每项进行检验判断． 【详解】解：由=，得到此分式不是最简分式； 由，得到此分式不是最简分式； 由=，得到此分式不是最简分式； 由，得到此分式不是最简分式； 而分子分母没有公因式，是最简分式． 故答案为：1 ． 题型十三：最简公分母 38．分式，，的最简公分母是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出系数的最小公倍数和各字母的最高次幂，再相乘得到结果． 【详解】三个分母的系数分别为，，，它们的最小公倍数是， 相同字母的最高次幂为，相同字母的最高次幂为， ∴三个分式的最简公分母为． 39．分式与的最简公分母是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先确定两个分式的分母，第一个分式分母为，第二个分式分母为， 找最简公分母时，相同因式取最高次幂，所有不同因式都要保留，本题中相同因式的最高次幂是，单独出现的因式为，次数为，它们的积即为最简公分母． 【详解】解： 最简公分母是． 40．的最简公分母是(     ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定最简公分母的一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各项系数的最小公倍数和所有字母的最高次幂的积，②如果各分母都是多项式，先把它们分解因式，然后把每个因式当做一个字母，再从系数、相同字母求最简公分母． 【详解】解：的最简公分母为：． 故选：D． 【点睛】本题考查了最简公分母，掌握求最简公分母的方法是解题的关键． 题型十四：通分 41．分式的分母经过通分后变成2（a﹣b）2（a+b），那么分子应变为（　　） A．6a（a﹣b）2（a+b） B．2（a﹣b） C．6a（a﹣b） D．6a（a+b） 【答案】C 【分析】分式 的分母a2﹣b2=（a﹣b）（a+b），经过通分后变成2（a﹣b）2（a+b），那么分母乘以了2（a﹣b），根据分式的基本性质，将分子3a乘以2（a﹣b），计算即可得解． 【详解】解：． 故选C． 42．分式的分母经过通分后变成，那么分子应变为_______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，是基础知识，需熟练掌握． 分式的分母，经过通分后变成，那么分母乘以了，根据分式的基本性质，将分子乘以，计算即可得解． 【详解】解：， 故答案为：． 43．若将分式与通分，则分式的分子应变为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的通分，关键是确定最简公分母，根据分式的基本性质将分子同乘相应式子得到结果即可． 【详解】解：∵两个分式的分母分别为和， ∴最简公分母为， ∵要将通分，需给分子分母同乘， ∴分子变为， 故选：A． 解答题 1．约分、通分 (1)； (2)和． 【答案】(1) (2)通分后分别为和 【详解】（1）解： （2）解：最简公分母为， 通分后分别为和 2．定义：对于分式，若存在整数a，使得该分式的值为整数，则称整数a是该分式的巧数．例如：若时，分式的值为3，则称是分式的巧数． (1)“是分式的巧数”，该说法是否正确？请说明理由； (2)求分式所有的巧数； (3)对于分式，小华通过整理得出，借助问题（2）的结论即可得出的巧数．类比小华的做法，求分式所有的巧数． 【答案】(1)正确，把代入，得，是整数，所以是分式的巧数 (2)，，，是分式的巧数 (3)分式的巧数为， 【分析】（1）将代入分式计算出结果为整数，结合巧数定义即可判断说法正确； （2）根据分式值为整数推出分母是分子的因数，找出的所有整数因数，依次算出对应的值即为全部巧数； （3）先对分式因式分解约分并确定的取值限制，再拆分变形分式，根据分式值为整数得到是1的因数，求出对应值并检验，即可得到该分式所有巧数． 【详解】（1）略 （2）解：∵分式值为整数， ∴是的因数， ∴，，则的值为，，，， ∴，，，是分式的巧数； （3）解：由题意得：，且且， 又∵， ∵的值为整数， ∴为整数，则是的因数， ∴， ∴或， ∴分式的巧数为，． 3．多多在一本数学课外书上看到这样一道题，已知，求分式的值．该题没有给出，的值，怎样求出分式的值？数学课外书上介绍了两种方法： 方法：，，，， ． 方法：，将分式的分子、分母同时除以，得： … (1)“方法”中运用了“分式与分式方程”这一章的数学依据是____ (2)请你将“方法”中剩余的解题过程补充完整． 【答案】(1)分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变 (2)原式 ， ， 原式． 【分析】（1）根据分式的基本性质进行求解即可； （2）根据分式基本性质进行化简，然后代入数值，计算即可． 【详解】（1）解：“方法”中运用了“分式与分式方程”这一章的数学依据是：分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． （2）略 4．下面是三位同学学完分式后所做的三道题，请判断他们的解答是否正确，若不正确，给予改正． 甲：a为何值时，分式有意义？ 解：∵原式＝， ∴当时，分式有意义． 乙：式子是分式还是整式？ 解：∵原式，故是整式． 丙：化简分式． 解：． 【答案】甲、乙、丙三位同学回答错误，过程如下： 为何值时，分式有意义？ 根据题意，得， 解得且， 即当且时，分式有意义，所以甲同学的解答错误； 式子是分式，所以乙同学的解答错误； 化简分式， 原式，所以丙同学的解答错误． 【分析】本题考查了分式的定义和分式有意义的条件，准确分析判断是解题的关键． 分式的分母表示除数，由于除数不能为，所以分式的分母不能为，即当时，分式才有意义，当时，分式无意义，即可得解； 【详解】略 5．阅读下面的材料：当x满足什么条件时，分式的值为正？ 根据有理数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，瑶瑶的解题思路如下．原式可转化为下面两个不等式组： ①或②， 解不等式组①，得_________， 解不等式组②，得_________， 故当x满足______时，分式的值为正． 解答问题： (1)请将瑶瑶的解题思路补充完整； (2)若分式的值为负，求x的取值范围． 【答案】(1)，不等式组无解， (2) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）分别求出两个不等式组的解集，即可解答； （2）先根据有理数的除法法则得出③或④，分别求解即可得出答案． 【详解】（1）解：解不等式组①，得， 解不等式组②，得不等式组无解， 故当x满足时，分式的值为正． 故答案为：；不等式组无解；； （2）解：∵分式的值为负， ∴分子、分母异号， 原式可转化为③或④， 解不等式组③： 由，得，由，得， ∴不等式组③无解； 解不等式组④： 由，得，由，得， ∴不等式组④的解集为． 综上所述，若分式的值为负，则x的取值范围为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $