专题18.2 分式的乘法与除法（讲义：考点整理+题型归纳+探究式学习+课后检测）2026-2027学年人教版八年级数学上册

本讲义聚焦分式的乘法和除法核心知识点，系统梳理分式乘法法则（分子积为分子、分母积为分母）、除法法则（除式颠倒后相乘）、乘方运算（分子分母分别乘方）及混合运算顺序（先乘方再乘除后加减，有括号先算括号内），构建从基础法则到综合运算的学习支架。 资料亮点在于题型丰富（含8类题型，如基础运算、化简求值、规律探究等），结合探究式学习（如规律猜想与证明）和实际应用（如倒水问题），培养学生抽象能力、推理意识和应用意识。课中例题变式助教师分层教学，课后检测与复盘笔记帮学生查漏补缺，强化知识应用。

简一数理 初中专题讲义 专题18.2 分式的乘法和除法 （新教材人教版） 知识点一、分式的乘除法 . 2 知识点二、分式的混合运算 2 【题型1 分式乘法】 2 【题型2 分式除法】 3 【题型3 分式乘法、除法混合运算】 5 【题型4 分式乘方】 7 【题型5 含乘方的分式乘除混合运算】 9 【题型6 分式乘除化简后求值】 10 【题型7 整式与分式的乘除运算】 12 【题型8 分式乘除的规律探究与实际应用】 15 【探究式学习】 20 【课后检测】 23 【复盘笔记】 30 知识点一、分式的乘除法 （1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即. （2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即. （3）分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，即（n为正整数，b≠0） 知识点二、分式的混合运算 运算顺序：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 【题型1 分式乘法】 【例1】计算的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： ． 【变式1-1】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据合并同类项法则，同底数幂乘除法法则，分式乘法法则，分别计算各选项后判断正误即可． 【详解】解：选项A：，∴A计算正确； 选项B：，∴B计算错误； 选项C：，∴C计算错误； 选项D：，∴D计算错误． 【变式1-2】下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B错误； C、，故C正确； D、，故D错误． 【变式1-3】下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的乘除与乘方运算，需依据分式相关运算法则逐一计算各选项并判断正误． 【详解】分式乘法法则为分子相乘作分子、分母相乘作分母，再约分， 选项A：，运算正确； 分式乘方需分子、分母分别乘方， 选项B：，运算错误； ， 选项C：，运算错误； 分式除法需转化为乘法，即除以一个分式等于乘它的倒数， 选项D：，运算错误； 综上，正确答案为A． 【题型2 分式除法】 【例2】化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对多项式因式分解，再将除法转化为乘法，约分后即可得到结果． 【详解】解： ． 【变式2-1】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：原式， 故选：B． 【变式2-2】在计算时，下列数中x能取的值是(     ) A．1 B． C．0 D．2 【答案】D 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式分母不为0、除法中除数不为0，列出限制条件，排除不符合要求的选项，即可得到答案． 【详解】解：∵分式运算中，分母不能为0，除数不能为0， ∴原式需满足以下条件： ， 解得：且且， 选项A的，选项B的，选项C的都不满足条件，只有选项D的符合要求，因此选D． 【变式2-3】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别利用完全平方公式、合并同类项法则、积的乘方及幂的乘方法则、分式除法法则对各选项计算即可判断． 【详解】解：A．， 原计算错误，故此选项不符合题意； B．， 原计算错误，故此选项不符合题意； C．， 原计算正确，故此选项符合题意； D．当时，， 原计算错误，故此选项不符合题意． 【题型3 分式乘法、除法混合运算】 【例3】下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：对选项A，根据同底数幂除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减．，A错误． 对选项B，根据积的乘方与幂的乘方法则．，B错误． 对选项C，根据完全平方公式展开．，C错误． 对选项D，根据分式乘除从左到右依次计算．，与等式右边相等，D正确． 【变式3-1】化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的乘除运算，因式分解，掌握分式乘除运算的步骤是解题的关键． 将除法转化为乘法，并对各多项式进行因式分解，然后约分化简． 【详解】解： 原式 = = ∵ ，， ∴ 原式 = =   =   = ∴ 化简结果为，对应选项A． 故选：A． 【变式3-2】化简后的结果为，则“△”所表示的代数式是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】先对原式括号内的部分通分合并，再将除法转化为乘法，然后把每个选项代入“”的位置，化简后检验结果是否为． 【详解】解：∵ 原式 = = 又 ∵ ∴ 原式 = = = ． 又 ∵ 化简结果为 ． ∴ ∴ ． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，解题关键是熟练掌握分式的通分、约分及乘除运算法则，通过化简原式建立关于“”的等式来求解． 【变式3-3】下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的运算，乘法公式． 根据分式的运算法则结合乘法公式逐一计算后判断即可． 【详解】解：对于A：，错误； 对于B：，错误； 对于C：，正确； 对于D：，，错误； 故选：C． 【题型4 分式乘方】 【例4】下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查幂的运算法则及完全平方公式的应用，根据相关法则逐一计算各选项判断正误即可． 【详解】解：∵同底数幂相除，底数不变，指数相减， ∴，故A选项正确； ∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴，故B选项错误； ∵完全平方公式为， ∴，故C选项错误； ∵分式的乘方，分子分母分别乘方， ∴，故D选项错误． 故选：A． 【变式4-1】已知，则的值为（    ） A．36 B．12 C．6 D．3 【答案】C 【分析】先根据分式的乘方法则和幂的运算法则化简已知等式左边的表达式，再通过指数运算得出结果，从而求出的值. 【详解】解：， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查分式的乘方和除法运算，在进行分式运算时，要牢记分式乘方、除法的运算法则，注意符号的处理. 【变式4-2】下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方、分式乘方，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键．根据运算法则逐一计算判断即可． 【详解】解：A. ，故选项A不符合题意； B. ，故选项B符合题意； C. 与，故选项C不符合题意； D. ，故选项D不符合题意． 故选：B． 【变式4-3】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了分式的乘方运算，合并同类项，以及同底数幂的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．各项计算得到结果，即可作出判断． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意；     D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【题型5 含乘方的分式乘除混合运算】 【例5】下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的乘方运算，运用指数运算法则：及幂的运算性质是解题的关键． 逐个选项运用分式乘方法则和幂的运算性质计算，判断结果是否正确，注意符号和指数的运算． 【详解】解：A、∵，∴A错误，不符合题意； B、∵， ∴B错误，不符合题意； C、∵，∴C错误，不符合题意； D、∵，∴ ， 与右边相等，∴ D正确，符合题意． 故选：D． 【变式5-1】化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了含乘方的分式乘除法混合运算．先乘方，再根据分式乘除混合运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：A． 【变式5-2】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的混合运算．先运算乘方，然后把除法转化为乘法，再约分即可解题． 【详解】解：， 故选：C． 【变式5-3】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查含乘方的分式乘除混合运算．原式先计算乘方运算，再计算乘除法运算即可得到结果． 【详解】解： ． 故选：A． 【题型6 分式乘除化简后求值】 【例6】先化简，再选取一个合适的数作为a的值代入求值． 【答案】；当时，原式（答案不唯一） 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则． 先对分子分母进行因式分解，然后将除法化为乘法，再进行分式的乘法计算，最后代入合适的数值求解即可． 【详解】解：原式 ， ∵时分式无意义， ∴a取2， 当时，原式（答案不唯一）． 【变式6-1】化简求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题主要考查了分式化简求值，熟练掌握分式除法运算法则，是解题的关键．先根据分式除法运算法则进行化简，再代入求值即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 【变式6-2】先化简，再求值：．其中，，． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的乘法和分式乘方，掌握分式的乘法法则和分式乘方是解题的关键．根据分式乘法法则和分式乘方化简后代入求值即可． 【详解】解： ， 当，，原式． 【变式6-3】化简，再从，1，3中选择一个合适的数代入求值． 【答案】，选择，式子的值为 【分析】本题考查了分式的化简求值、分式有意义的条件，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．先将分式的除法转化为乘法，再计算分式的乘法，然后根据分式有意义的条件选择的值，代入计算即可得． 【详解】解：原式 ， ∵，， ∴，， ∴选择代入得：原式． 【题型7 整式与分式的乘除运算】 【例7】计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 【变式7-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ． 【变式7-2】计算及化简 (1)计算：； (2)化简：． 【答案】(1)2026 (2)x 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式7-3】计算、化简 (1)计算：； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【详解】解：（1）原式． （2）原式． 【题型8 分式乘除的规律探究与实际应用】 【例8】小刚在学习分式的运算时，探究出了一个分式的运算规律： ． 反过来，有 运用这个运算规律可以计算： ． 请你运用这个运算规律计算： ； 小刚尝试应用这个数学运算规律解决下面的问题： 一个容器装有水，按照如下要求把水倒出：第次倒出水，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的．．．．．第次倒出的水量是的．按照这种倒水的方法，这水能倒完吗? 请你补充解决过程： ①列出倒次水倒出的总水量的式子并计算； ②根据①的计算结果回答问题“按照这种倒水的方法，这水能倒完吗”，并说明理由． 【答案】（1）； （2）① = = =(L) ②按这种方法，这水不能倒完， 因为，所以无论倒水次数有多大，倒出的总水量总小于． 因此，按这种方法，容器中的水是倒不完的． 【分析】（1）根据材料中的运算规律，把写成直接运算即可． （2）①先列出式子，再根据材料中的运算规律，直接计算和化简． ②根据①的计算结果可判断始终是小于1的，由此可判断容器中的水是倒不完的． 【详解】 = = =； ①略 ②略 【点睛】本题主要考查阅读材料的能力，分式的运算，读懂材料并理解材料中的运算规律是解决本题的关键． 【变式8-1】《见微知著》中说到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂；从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法． 请观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第7个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并加以证明； (3)应用运算规律，计算： ． 【答案】(1) (2) 解：由（1）知， 第n个等式可表示为：． 证明如下： 左边右边， 所以此等式成立； (3)1 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及列代数式，能根据题意得出第n个等式可表示为是解题的关键． （1）根据所给等式，观察各部分的变化，发现规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）根据（2）中的结论进行计算即可． 【详解】（1）解：由题知， 因为第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …， 所以第n个等式可表示为：． 当时， 第7个等式为：． 故答案为：； （2）略 （3）解：由（2）知， 当时， ， 所以， 则原式． 故答案为：1． 【变式8-2】观察以下等式： ，，，， (1)依此规律进行下去，第5个等式为______，猜想第n个等式为______； (2)请利用分式的运算证明你的猜想． 【答案】(1)， (2) 证明：左边， 右边， 左边右边， 故猜想正确． 【分析】（1）根据题目中给出的等式，即可写出第5个等式，并写出第的等式； （2）根据分式的乘法和加法可以证明猜想的正确性． 【详解】（1）解：由题目中的等式可得， 第5个等式为：，第个等式是， 故答案为：，； （2）略． 【点睛】本题考查分式的混合运算、数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，写出相应的等式，并证明猜想的正确性． 【变式8-3】阅读下面材料并解答问题材料：在处理某些分式问题时，“分离常数法”是常用的变形技巧之一．分离常数法是将分式分成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式．通过分式分离常数法可以将复杂的分式简化为一个更简单的形式． 如：若分式的值为整数，求整数x的值． 我们先将该分式变形：，因为的值为整数，所以只要的值为整数，而分子是个常数，所以只要是1的约数即可，即，所以或． (1)将下列分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式： ① ，② (2)应用：①若分式的值为整数，求整数x的值； ②设，，，其中，比较m、n、p的大小． (3)拓展：已知x、y满足，且x、y为正整数，求x、y的值． 【答案】(1)， (2)①或2或或4；② (3)或 【分析】（1）利用“分离常数法”求解即可； （2）①先利用“分离常数法”得，再根据分式值为整数得或，求解即可； ②先利用“分离常数法”得，，，再根据，得出，从而得，即可得出结论； （3）先将方程变形为，再根据x、y为正整数，得到或，求解即可． 【详解】（1）解：①； ② 故答案为：①；②． （2）解：①， ∵分式值为整数，x为整数， ∴或， ∴或2或或4； ②∵， ， ， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）解： ∵x、y为正整数 ∴或 解得： 或． 【点睛】本题考查分式运算，新定义问题，因式分解的应用，比较分式的大小，属材料阅读题目，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算，属于中等题型． 【探究式学习】 1．小红根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面算式的运算规律． 下面是小红的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． ；；；…… 特例：______（填写一个符合上述运算特征的例子）． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果n为正整数，用含n的式于表示上述的运算规律为：______． (3)证明你的猜想． (4)应用运算规律：计算＝______． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) (3)见解析 (4) 【分析】（1）仿照题意进行求解即可； （2）根据题意得到规律即可得到答案； （3）根据异分母分式减法和分式的乘法分别计算出左右两边的结果即可得到答案； （4）先证明，然后根据（2）的规律进行求解即可． 【详解】（1）解：根据规律可得：， 故答案为：（答案不唯一）； （2）解：第1个式子为：； 第2个式子为：； 第3个式子为：； 第4个式子为：； …… ∴第n个式子为：； 故答案为：； （3）证明：∵左边， 右边， ∴； （4）解：∵ ∴原式 ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式有关的规律问题，正确理解题意找到规律是解题的关键． 2．某净水装置，将杂质含量为的水用单位量的净水材料过滤一次后，水中的杂质含量为．利用此净水装置，小亮进行了进一步的探究： 现有杂质含量为1的水． (1)用2单位量的净水材料将水过滤一次后，水中杂质含量为 ； (2)小亮共准备了单位量的净水材料，设计了如下的三种方案：方案是将单位量的净水材料一次性使用，对水进行过滤；方案和方案均为将单位量的净水材料分成两份，对水先后进行两次过滤．三种方案的具体操作及相关数据如下表所示： 方案编号 第一次过滤用净水材料的单位量 水中杂质含量 第二次过滤用净水材料的单位量 第二次过滤后水中杂质含量 / / ①请将表格中方案的数据填写完整； ②通过计算回答：在这三种方案中，哪种方案的最终过滤效果最好？ 【答案】(1) (2)①，；②方案的最终过滤效果最好 【分析】本题主要考查了分式的应用，涉及分式的混合运算， （1）根据水中的杂质含量为计算即可； （2）①根据（1）中的方法，列式即可作答；②利用分式的简化运算比较两个分数的大小即可作答． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：① 根据题意：第一次过滤后水中杂质含量为：， 第二次过滤后水中杂质含量为：， 故答案为：，； ②=． ∵， ∴，． ∴． ∴． 同理，可得． ∴． ∴方案C的最终过滤效果最好． 【课后检测】 1．若运算的结果不是分式，则括号内的式子可能是（   ） A． B．b C． D．a 【答案】D 【分析】先设括号内的式子为，根据分式除法法则化简原式，分解因式后约分得到结果，再根据结果不是分式即可判断正确选项． 【详解】解：设括号内的式子为， 原式 ， 当时，原式，是分式，故A不符合题意； 当时，原式，是分式，故B不符合题意； 当时，原式，是分式，故C不符合题意； 当时，原式，不是分式，故D符合题意． 2．若的运算结果为整式，则“□”中的式子可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的化简，解题思路是先利用分式除法法则和平方差公式化简原式，再根据“结果为整式”的条件判断□内的式子． 【详解】解：设□中的式子为， ∵原式 ， ∵运算结果为整式，需要分子能约去分母， ∴需包含因式，将选项代入，只有当时，原式，是整式，符合要求． 3．化简分式：，则“”部分的整式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．如图，设（），则有（两图中，分别相同）（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的乘除法的应用，不等式的运算．分别计算出甲图中阴影部分面积及乙图中阴影部分面积，然后计算比值即可． 【详解】解：甲图中阴影部分面积为， 乙图中阴影部分面积为， 则， ， ， ， ， 故选：B． 5．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题考查了合并同类项、单项式除以单项式、积的乘方、分式乘除法，根据相关运算法则逐项验证运算即可． 【详解】解：A：∵中没有同类项，不能合并，∴原运算错误． B：∵，∴原运算正确． C：∵，∴原运算错误． D：∵，∴原运算错误． 故选：B． 6．的计算结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的乘法运算，熟知运算法则和因式分解是解题的关键．通过因式分解分母并利用符号变化简化表达式． 【详解】解：原式 = ， 故选： C． 7．化简的结果为整式，其中是含有的一次二项式，则不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的除法，化简原式，利用平方差公式分解分子和分母，约分后得到表达式 ．要求结果为整式，则必须能被分子中的某个因子约掉，即 必须是、 或之一进行判断即可． 【详解】解：原式 ， ∵结果为整式， ∴必为分子因子之一，即、 或． ∵不是分子因子， 故不可能是； 故选A． 8．淇淇利用计算机设计了一个循环程序如下，输入一个式子经过运算后会在显示屏上显示结果，并将本次显示结果作为输入的式子再次输入程序中，已知淇淇最初输入，则第1次显示结果为，第2次显示结果为，…，若将第2024次显示结果记为M，2025次显示结果记为N，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了程序流程图、分式的混合运算，能通过计算发现从第1次显示的结果开始按循环是解题的关键．根据题意，依次求出每次显示的结果，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知，因为最初输入， 所以第1次显示结果为； 第2次显示结果为； 第3次显示结果为； 第4次显示结果为； ， 由此可见，从第1次显示的结果开始按循环． 又因为，， 所以，， 则． 故选：B． 9．如图，老师设计了一个接力游戏，甲、乙、丙、丁四位同学用合作的方式完成分式化简，其中出现错误的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题考查了分式的混合运算，根据分式的混合运算法则分析即可得解，熟练掌握分式的混合运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故其中出现错误的同学是乙， 故选：B． 10．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了分式的乘除运算，掌握分式的乘除法运算法则是解题的关键． 利用分式的乘除法运算法则进行计算即可． 【详解】解：． 故选：B． 11．化简的结果为________． 【答案】 【分析】先对二次多项式因式分解，再约去分子分母的公因式得到化简结果． 【详解】解：． 12．计算：_________． 【答案】 【详解】解：原式 ． 13．计算：=________． 【答案】 【详解】解：． 14．计算的结果是___． 【答案】 【分析】先把分子分母因式分解，然后约分即可求解． 【详解】解：原式． 15．_________． 【答案】 【分析】先算乘方，再利用分式的乘除混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 16．计算： 【答案】 【详解】解：原式. 17．化简：． 【答案】 【分析】本题先对原式的分子分母分别因式分解．再将分式除法转化为乘法．约分后即可得到化简结果．用到平方差公式和分式的运算法则． 【详解】解：原式 ． 18．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【复盘笔记】 化繁为简，一通百通 第 2 页 共 30 页 第 1 页 共 30 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 专题18.2 分式的乘法和除法 （新教材人教版） 知识点一、分式的乘除法 . 2 知识点二、分式的混合运算 2 【题型1 分式乘法】 2 【题型2 分式除法】 3 【题型3 分式乘法、除法混合运算】 3 【题型4 分式乘方】 3 【题型5 含乘方的分式乘除混合运算】 4 【题型6 分式乘除化简后求值】 4 【题型7 整式与分式的乘除运算】 5 【题型8 分式乘除的规律探究与实际应用】 7 【探究式学习】 10 【课后检测】 12 【复盘笔记】 15 知识点一、分式的乘除法 （1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即. （2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即. （3）分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，即（n为正整数，b≠0） 知识点二、分式的混合运算 运算顺序：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 【题型1 分式乘法】 【例1】计算的结果为（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型2 分式除法】 【例2】化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】在计算时，下列数中x能取的值是(     ) A．1 B． C．0 D．2 【变式2-3】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型3 分式乘法、除法混合运算】 【例3】下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】化简后的结果为，则“△”所表示的代数式是（   ） A．1 B． C． D． 【变式3-3】下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型4 分式乘方】 【例4】下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】已知，则的值为（    ） A．36 B．12 C．6 D．3 【变式4-2】下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型5 含乘方的分式乘除混合运算】 【例5】下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【题型6 分式乘除化简后求值】 【例6】先化简，再选取一个合适的数作为a的值代入求值． 【变式6-1】化简求值：，其中． 【变式6-2】先化简，再求值：．其中，，． 【变式6-3】化简，再从，1，3中选择一个合适的数代入求值． 【题型7 整式与分式的乘除运算】 【例7】计算：． 【变式7-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【变式7-2】计算及化简 (1)计算：； (2)化简：． 【变式7-3】计算、化简 (1)计算：； (2)化简：． 【题型8 分式乘除的规律探究与实际应用】 【例8】小刚在学习分式的运算时，探究出了一个分式的运算规律： ． 反过来，有 运用这个运算规律可以计算： ． 请你运用这个运算规律计算： ； 小刚尝试应用这个数学运算规律解决下面的问题： 一个容器装有水，按照如下要求把水倒出：第次倒出水，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的．．．．．第次倒出的水量是的．按照这种倒水的方法，这水能倒完吗? 请你补充解决过程： ①列出倒次水倒出的总水量的式子并计算； ②根据①的计算结果回答问题“按照这种倒水的方法，这水能倒完吗”，并说明理由． 【变式8-1】《见微知著》中说到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂；从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法． 请观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第7个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并加以证明； (3)应用运算规律，计算： ． 【变式8-2】观察以下等式： ，，，， (1)依此规律进行下去，第5个等式为______，猜想第n个等式为______； (2)请利用分式的运算证明你的猜想． 【变式8-3】阅读下面材料并解答问题材料：在处理某些分式问题时，“分离常数法”是常用的变形技巧之一．分离常数法是将分式分成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式．通过分式分离常数法可以将复杂的分式简化为一个更简单的形式． 如：若分式的值为整数，求整数x的值． 我们先将该分式变形：，因为的值为整数，所以只要的值为整数，而分子是个常数，所以只要是1的约数即可，即，所以或． (1)将下列分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式： ① ，② (2)应用：①若分式的值为整数，求整数x的值； ②设，，，其中，比较m、n、p的大小． (3) 拓展：已知x、y满足，且x、y为正整数，求x、y的值． 【探究式学习】 1．小红根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面算式的运算规律． 下面是小红的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． ；；；…… 特例：______（填写一个符合上述运算特征的例子）． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果n为正整数，用含n的式于表示上述的运算规律为：______． (3)证明你的猜想． (4)应用运算规律：计算＝______． 2．某净水装置，将杂质含量为的水用单位量的净水材料过滤一次后，水中的杂质含量为．利用此净水装置，小亮进行了进一步的探究： 现有杂质含量为1的水． (1)用2单位量的净水材料将水过滤一次后，水中杂质含量为 ； (2)小亮共准备了单位量的净水材料，设计了如下的三种方案：方案是将单位量的净水材料一次性使用，对水进行过滤；方案和方案均为将单位量的净水材料分成两份，对水先后进行两次过滤．三种方案的具体操作及相关数据如下表所示： 方案编号 第一次过滤用净水材料的单位量 水中杂质含量 第二次过滤用净水材料的单位量 第二次过滤后水中杂质含量 / / ①请将表格中方案的数据填写完整； ②通过计算回答：在这三种方案中，哪种方案的最终过滤效果最好？ 【课后检测】 1．若运算的结果不是分式，则括号内的式子可能是（   ） A． B．b C． D．a 2．若的运算结果为整式，则“□”中的式子可能是（   ） A． B． C． D． 3．化简分式：，则“”部分的整式为（   ） A． B． C． D． 4．如图，设（），则有（两图中，分别相同）（   ） A． B． C． D． 5．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．的计算结果为（   ） A． B． C． D． 7．化简的结果为整式，其中是含有的一次二项式，则不可能是（   ） A． B． C． D． 8．淇淇利用计算机设计了一个循环程序如下，输入一个式子经过运算后会在显示屏上显示结果，并将本次显示结果作为输入的式子再次输入程序中，已知淇淇最初输入，则第1次显示结果为，第2次显示结果为，…，若将第2024次显示结果记为M，2025次显示结果记为N，则的值为（    ） A． B． C． D． 9．如图，老师设计了一个接力游戏，甲、乙、丙、丁四位同学用合作的方式完成分式化简，其中出现错误的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 10．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 11．化简的结果为________． 12．计算：_________． 13．计算：=________． 14．计算的结果是___． 15．_________． 16． 计算： 17．化简：． 18．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【复盘笔记】 化繁为简，一通百通 第 2 页 共 30 页 第 1 页 共 30 页 学科网（北京）股份有限公司 $