专题03全等三角形知题通关讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年人教版八年级数学上册

专题03全等三角形知题通关讲义 知识点01:全等三角形基本概念 1. 全等形定义 能够完全重合的两个图形叫做全等形；全等图形形状、大小全部相同，仅位置不同。 2. 全等三角形定义 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 3. 对应元素 对应顶点：重合的顶点；对应边：重合的边；对应角：重合的角。 4.表示方法： ABC≌DEF，书写时对应顶点写在对应位置，以此确定对应边、对应角。 5.快速找对应边、对应角技巧 (1)公共边一定是对应边，公共角、对顶角一定是对应角； (2)最长边对最长边，最短边对最短边；最大角对最大角，最小角对最小角； (3)翻折、旋转、平移前后重合的边角为对应元素。 知识点02图形变换与全等 一个三角形经过平移、翻折、旋转后，位置发生改变，但形状、大小不变，变换前后的两个三角形全等。 知识点03:全等三角形的性质（重点） 基本性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。 若 △ABC △DEF则： 对应边相等：AB=DE BC=EF AC=DF 对应角相等： ∠A=∠D,∠B=∠ E, ∠C=∠F 知识点04:全等三角形的判定 1.判定基本思路 判定两个三角形全等，无需验证所有 6 组边角关系，满足部分特定条件即判定。 2.三角形全等的五种判定定理（核心考点） 重要提醒：AAA、SSA 不能作为三角形全等判定依据。 3.不能判定全等的两种情况（高频易错） (1)AAA（三角分别相等） 三个角对应相等，只能说明两个三角形形状相同（相似），大小不一定相等，不能判定全等。 (2)SSA（两边及其中一边的对角相等） 两边和其中一边的对角对应相等，无法保证三角形完全重合，不能判定全等。 4.判定方法选择技巧 (1)已知两边：优先选 SSS 或 SAS； (2)已知一边一角：优先选 SAS、ASA、AAS； (3)已知两角：优先选 ASA 或 AAS。 知识点05:已知三边作三角形 已知三角形的三条边，求作这个三角形是利用三角形全等的条件 “边边边” 来作图的，具体作图的步骤如下： 已知：线段 a，b，c 求作：△ABC，使 AB=c，AC=b，BC=a。 作法与图形： 知识点06:角平分线 1.定义 把一个角分成两个相等角的射线，叫做这个角的角平分线。 性质定理+判定定理（重点） 2.尺规作图：作已知角的平分线 已知：∠AOB。作法： 1.以 O 为圆心，任意长为半径画弧，交 OA,OB 于 M,N； 2.分别以 M,N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧在角内交于点 C； 3.作射线 OC，即为 ∠AOB 的平分线。 1. 全等符号书写不规范 提醒：书写△ABC≌△DEF时，对应顶点必须按顺序书写，保证对应边、对应角匹配，不可随意调换顶点顺序。 2. 全等对应元素识别错误 提醒：相等的边、角不一定是对应边、对应角；遵循长边对长边，大角对大角；公共边、公共角、对顶角通常为对应元素。 3. 全等判定定理误用 提醒：SSA、AAA不能判定三角形全等；有效判定方法为SSS、SAS、ASA、AAS；直角三角形可额外使用HL。 4. SAS判定条件理解疏漏 提醒：SAS中相等的角必须是两组对应边的夹角，不能是其中一条边的对角。 5. HL定理适用范围误判 提醒：HL只适用于直角三角形，要求斜边与一条直角边对应相等，一般三角形不能使用HL证明全等。 6. 全等证明推理跳步 提醒：证明全等需要完整列出全部条件，不可缺失条件直接判定全等，推理过程严谨。 7. 全等三角形性质误用 提醒：全等三角形仅对应边相等、对应角相等，非对应边、非对应角不存在相等关系，不可随意套用。 8. 图形隐含条件遗漏 提醒：审题注意挖掘公共边、公共角、对顶角等图形自带的相等条件。 9. 全等证明条件重复使用 提醒：同一个条件不能既用来证明三角形全等，又在全等结论之后重复推导，避免逻辑错误。 10. 全等性质应用范围混淆 提醒：全等三角形周长相等、面积相等；但周长或面积相等的两个三角形，不一定全等。 题型 考察方向 难度 题型一 图形的全等 ★ 题型二 全等三角形的概念 ★ 题型三 全等三角形的性质 ★★ 题型四 用 SAS 证明三角形全等 ★★ 题型五 全等的性质和 SAS 综合 ★★★ 题型六 用 ASA (AAS) 证明三角形全等 ★★ 题型七 全等的性质和 ASA (AAS) 综合 ★★★ 题型八 用 SSS 证明三角形全等 ★★ 题型九 全等的性质和 SSS 综合 ★★★ 题型十 用 HL 证全等 (HL) ★★★ 题型十一 全等的性质和 HL 综合 ★★★ 题型十二 添加条件使三角形全等 ★★ 题型十三 灵活选用判定方法证全等 ★★★ 题型十四 倍长中线模型 ★★★★ 题型十五 旋转模型 ★★★★ 题型十六 全等三角形综合问题 ★★★★ 题型十七 尺规作一个角等于已知角 ★ 题型十八 尺规作一个角等于已知角 ★★ 题型十九 作角平分线 ★ 题型二十 角平分线的性质定理 ★★ 题型二十一 角平分线的判定定理 ★★ 题型二十二 角平分线性质的实际应用 ★★★ 拔高题 9题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★压轴 题型一 图形的全等 1．如图（1）~（12）中全等的图形是_____和______；_____和______；_____和______；_____和______；_____和______；_____和______；(填图形的序号) 【答案】 （1） （11） （2） （10） （3） （6） （4） （7） （5） （8） （9） （12） 【分析】本题主要考查了全等图形的识别，熟知全等图形的概念是解题的关键． 【详解】解：如图（1）~（12）中全等的图形是（1）和（11），（2）和（10），（3）和（6），（4）和（7），（5）和（8），（9）和（12）， 故答案为：（1），（11），（2），（10），（3），（6），（4），（7），（5），（8），（9），（12）， 2．下列各组图形中，属于全等图形的是（     ） A．两个面积相等的长方形 B．两个周长相等的等腰三角形 C．能够完全重合的两个图形 D．两个大小相近的正方形 【答案】C 【分析】全等图形的定义是能够完全重合的两个图形，面积、周长相等不一定全等，据此求解即可． 【详解】解：A.两个面积相等的长方形不一定是全等图形； B.两个周长相等的等腰三角形不一定是全等图形； C.能够完全重合的两个图形是全等图形； D.两个大小相近的正方形不一定是全等图形. 3．下列图形中，是全等图形的是（　　） A．a，b，c，d B．a与b C．b，c，d D．a与c 【答案】D 【分析】本题考查了全等图形的定义，掌握全等的定义是解题的关键．根据全等形的定义：能够完全重合的两个图形是全等形对各图形进行判断． 【详解】解：考虑三角形的阴影，图形顺时针旋转可得到图形， 因此，与是全等图形， 故选：D． 题型二 全等三角形的概念 4．下列说法正确的是（   ） A．周长相等的三角形是全等三角形 B．形状相同大小相等的三角形是全等三角形 C．面积相等的三角形是全等三角形 D．所有的等边三角形都是全等三角形 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的概念，牢记概念，要从形状和大小两个方面来考虑两个三角形是否完全重合是解题的关键． 根据全等三角形的定义“能够完全重合的两个三角形”对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A. 周长相等的三角形，形状不一定相同，大小不一定相等，所以不一定是全等三角形，原说法错误，故选项不符合题意； B. 形状相同大小相等的三角形能够完全重合，是全等三角形，原说法正确，故选项符合题意； C. 面积相等的三角形，形状不一定相同，所以不一定完全重合，原说法错误，故选项不符合题意； D. 所有的等边三角形形状相同，但是大小和边长有关，边长不相等，则不能够重合，原说法错误，故选项不符合题意； 故选：． 5．如图，，点和是对应点，点和是对应点，则的对应角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的概念，根据全等三角形的概念即可判断，正确找出对应边，对应角是解题的关键． 【详解】解：∵，点和是对应点，点和是对应点， ∴的对应角是， 故选：． 6．如图，在四边形中，，点为上的点（不与重合），观察下列图形中全等三角形的对数． 其中，图1中有3对全等三角形，图2中有6对全等三角形，图3中有10对全等三角形，…． 按此规律，第5个图中有（    ）对全等三角形．      A．15 B．16 C．18 D．21 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形以及图形规律探索，结合题意得出规律，确定第个图中可有对全等三角形，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，图1中有3对全等三角形， 图2中有6对全等三角形， 图3中有10对全等三角形， … 第个图中，有对全等三角形， ∴第5个图中有对全等三角形． 故选：D． 题型三 全等三角形的性质 7．如图，已知，若，则的长是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴． 8．如图，两个三角形全等，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵两个三角形全等，对应的角是边的夹角， ∴． 9．如图，中，厘米，厘米，点为的中点．如果点在线段上以2厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若点的运动速度为厘米/秒，则当与全等时，的值为（ ） A．或 B．或2 C．或2 D．或 【答案】C 【分析】此题考查了全等三角形的性质．熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 分两种情况讨论：①，②，继而可解． 【详解】解：设两点所用的时间为，则，，， 中，厘米，点为的中点， 厘米， 若，则，， 则，解得； 若，则 则， 解得， 的值为：或2； 故选：C． 题型四 用 SAS 证明三角形全等 10．如图，两根钢条、的中点O连在一起，使、 可以绕着点 O自由转动，就做成一个测量工具，的长等于内槽宽 ，那么判定的理由是（     ） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边 【答案】A 【分析】由是、的中点， 可得：，，再由，可以根据全等三角形的判定方法，判定． 【详解】解：∵是 、的中点， ∴，， 在和 中， ， ∴． 11．在中，平分，则_____． 【答案】9 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质；此题利用了全等三角形中常用辅助线－截长补短法构造全等三角形，然后利用全等三角形解题，这是解决线段和差问题最常用的方法，注意掌握． 在上截取，连接，证明，得到，再证明，进而代入数值解答即可． 【详解】解：在上截取，连接，如图： ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 从而， 又， ∴，从而， ∴， ∴， 故答案为：9． 12．如图，中，，是角平分线，点是上一点，下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一、三角形全等的判定，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题关键．根据等腰三角形的三线合一可得，，则选项A和C正确；先求出，再根据定理可得，则选项B正确；根据不一定是的角平分线可得与不一定相等，则选项D错误． 【详解】解：∵在中，，是角平分线， ∴，（等腰三角形的三线合一），则选项A和C正确，不符合题意； ∴， 在和中， ， ∴，则选项B正确，不符合题意； ∵点是上一点，不一定是的角平分线， ∴与不一定相等，则选项D错误，符合题意； 故选：D． 题型五 全等的性质和 SAS 综合 13．如图，在四边形中，，，下列结论正确的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的面积，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 根据题意证得，根据全等三角形的性质得到，进而得到，计算四边形的面积，由此判断即可． 【详解】解：在和中， 四边形的面积为， 综上所述，选项B正确，选项D错误，无法判断A，C选项， 故选：B． 14．如图，在中，为边上的中线，延长到点，使得，连接．若，，，则的周长为_________． 【答案】12 【分析】先利用“”SAS定理证明，于是得到，然后求的周长即可． 【详解】解：∵为边上的中线， ∴， ∵，， ∴， ∴， 则的周长为． 15．山东潍坊是中国风筝之乡，匠人在制作过程中采用了全等的相关知识．在如图所示的风筝“龙骨”图案中，．则不一定能得到以下哪个结论（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，灵活运用全等三角形的判定定理证明三角形全等是解题的关键． 根据已知条件分析和易得可判断A选项；由得出，再由全等三角形的判定和性质即可判定B、C选项即可解答． 【详解】解：在和中， ， ∴，故选项A不符合题意； ∴， ∴，即， ∵、， ∴，故选项B不符合题意； ∴， ∴，即，故选项C不符合题意； 无法证明，故选项D符合题意． 故选：D． 题型六 用 ASA (AAS) 证明三角形全等 16．如图，小红练习本上三角形被墨水污染了一部分，她根据所学的知识画出了一个与它全等的三角形，那么小红画出全等三角形的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定；根据图形可知两角及夹边是已知条件即可判断． 【详解】解：由图可知，左上角和左下角可测量，为已知条件，两角的夹边也可测量，为已知条件， 故可据此得到与原图形全等的三角形， 即小红画图的依据是两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（）， 故选：D． 17．如图，在中，平分，且于点，交于点，，．那么的周长为______． 【答案】 【分析】利用角平分线、垂直的性质以及平行线的性质，得出线段相等关系，进而将的周长转化为的长度．本题主要考查了等腰三角形的判定与性质以及平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵，平分， ∴，， ∵， ∴（） ∴，． 的周长为 故答案为：． 18．如图，在与中，点，，，在同一条直线上，，，．若，，则的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，证明，得到，进而计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 题型七 全等的性质和 ASA (AAS) 综合 19．如图，，，是过A的一条直线，且B、C在异侧，于D，于E．若，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先证明，然后证明，得到，最后利用得出答案． 【详解】解：∵于D，于E， ∴， ∵， ， ， ， ， ， ∵，， ∴， 故选：B． 20．学习完《利用三角形全等测距离》后，七年级数学兴趣小组就“测量河两岸、两点间的距离”设计了如下方案：如图，在点所在河岸同侧的平地上取点和点，使得点、、在同一直线上，且；在的延长线上确定一点，借助测角仪测得，测得，，则的长为______． 【答案】 6 【分析】根据条件利用角边角证明三角形全等，得出相等的边，然后利用线段的和差进行求解． 【详解】解：在与中， ∴， ∴， ∴． 21．如图，在中，为中线，过作，垂足为，过作，垂足为．在延长线上取一点，连接，使． 给出下面四个结论： ①； ②； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有（     ） A．③④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据题意证明，得到，，，可判断①，证明得到，，可判断②③，根据全等三角形的性质可得，，可判断④． 【详解】解：在中，为中线， ， ，， ， ， ， ，，，故①正确； ，，， ， ，即，， ，，故③正确； ， ，故②正确； ，， ，， ， ，故④正确； 综上，正确结论的序号有①②③④， 题型八 用 SSS 证明三角形全等 22．如图，，，则可判定，判定的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定，已知两组对边相等，隐藏条件是，可知根据可判定． 【详解】解：在和中， ， ， 判定的依据是． 故选：D． 23．如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A、C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是__________．                   【答案】 【分析】由“SSS”可证△ABC≌△ADC，可得∠BAC=∠DAC，可证AE就是∠PRQ的平分线，即可求解． 【详解】解：在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴∠BAC=∠DAC， ∴AE就是∠PRQ的平分线， 故答案为：SSS． 【点睛】本题考查了全等三角形判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是本题的关键． 24．如图，，下列条件中，添加后仍不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用证明三角形全等（），用证明三角形全等（），用证全等（）等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据，可判断A； 根据，可判断B； 根据，可判断C； 没有符合的判定定理，可推得，由此可判断D． 【详解】解：添加， 在与中， ， 所以， 故A不符合； 添加， 在与中， ， 所以， 故B不符合； 添加， 在与中， ， 所以， 故C不符合； 添加，再结合，，不能推得， 故D符合， 故选：D． 题型九 全等的性质和 SSS 综合 25．如图，有一个简易平分角的仪器，其中，将点放在角的顶点处，和沿着角的两边张开，沿对角线画线，就是的平分线．这个平分角的仪器的制作原理是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键；由题意易证，则有，进而问题可求解． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴，即是的平分线； 故选：D． 26．如图，在与中，点、、、在同一条直线上，连接，，，，．若，则的度数为_________． 【答案】125 【分析】根据“”说明，从而，计算即可求解． 【详解】解：， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ． 27．如图，在中，点D、E分别在、上，已知，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用证明，得出对应角相等，结合平角定义和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：在和中， ， ， ，， 点在上， ， ， ， ， 在中，． 题型十 用 HL 证全等 (HL) 28．如图，在和中，，，则可直接判断的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定，掌握定理是解题的关键． 观察两个直角三角形，已知斜边相等且有一条公共直角边，符合定理的条件． 【详解】解：在和中： ∵ ∴和是直角三角形 在和 ∴ ． 故选：C． 29．如图，已知是直角三角形，垂直平分于点，则___________． 【答案】5 【分析】连接，过点D作于点G，证明,再证明，解答即可．本题考查了等腰直角三角形判定和性质，线段的垂直平分线的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：连接，过点D作于点G， ∵，，， ∴, ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 30．在和中，，，D、分别是、上一点，且，有如下三个判断（　　） ①若，则和一定全等； ②若，则和一定全等； ③若，则和一定全等． A．②对①③错 B．②③对①错 C．全对 D．全错 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理．根据全等三角形的判定定理，不能根据①的条件证明和全等；根据②的条件可证明，但无法判定与全等，就无法判定与全等；根据③的条件能证明，但无法判定与全等，就无法判定与全等． 【详解】解：①若，即，，， 此时，形状不能唯一确定， ∴不能证明与是全等三角形， 故①错误； ②若，即，，， 则． ∴． ∴． ∴无法判定与全等． ∴无法判定与全等． 故②错误． ③，即，，， 分别过点B，作,，交，反向延长线于E，，则， ∵， ∴． ∵． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴无法判定与全等． ∴无法判定与全等． 故③错误． 综上，①②③错误． 故选：D． 题型十一 全等的性质和 HL 综合 (HL) 31．如图，在四边形中，，，垂足分别是，，．求证：．以下是排乱的证明过程： ①； ②； ③； ④在和中，； ⑤，． 证明步骤正确的顺序是（   ） A．⑤②④①③ B．③①④⑤② C．④①⑤②③ D．①③④⑤② 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据垂直定义得出，再根据判定三角形全等即可． 【详解】解：⑤，， ②， ④在和中，， ①， ③， 证明步骤正确的顺序是⑤②④①③， 故选：A． 32．如图，，垂足为点，射线，垂足为点，，，动点从点出发以的速度沿射线运动，动点在射线上，随着点运动而运动，始终保持，若点的运动时间为，则当______ 秒时，与全等． 【答案】或或 【分析】本题考查直角三角形全等的判定及动点问题的分类讨论，根据动点的位置分情况讨论，结合全等条件列出方程求解． 【详解】解：∵动点的速度为，运动时间为， ∴． ∵，， ∴， 又， ∴与全等有两种对应情况： ①当时，需． 若在线段上，则， 由，解得； 若在的延长线上，则， 由，解得； ②当时，需． 若在线段上，则，解得(舍去)； 若在的延长线上，则，解得； 综上，当或或秒时，与全等． 故答案为：4或8或． 33．如图，在中，，是上一点，过点作于点，且，连接．若，则的长为（    ） A．2 B．7 C．9 D．11 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴ ∴， 故选：D ． 题型十二 添加条件使三角形全等 34．如图，已知，，再添加一个条件仍无法证明，这个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全等三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：在和中， ，， 当时，满足“”判定定理，可证明； 当时，属于“”，不能证明； 当时，，即，满足“”判定定理，可证明； 当时，满足“”判定定理，可证明． 35．如图，在和中，，，点A、E、C、F在同一条直线上，若要用“”直接证明，则还需要添加的条件是______． 【答案】 【分析】“”判定定理仅适用于直角三角形，判定规则为：若两个直角三角形的斜边和其中一条直角边分别对应相等，则两个直角三角形全等，据此解答即可． 【详解】解：∵在和中，，， ∴要用“”直接证明，则还需要添加的条件是． 36．如图，已知 ，添加下列条件不能判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ ，， ∴， 故A能判定，不符合题意； ∵， ， ∴， 故B能判定，不符合题意； ∵， ∴， 又∵ ， ∴， 故D能判定，不符合题意； 不能判定的是． 题型十三 灵活选用判定方法证全等 37．判定两个直角三角形全等，不能使用的方法是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵仅能保证形状相同，无法保证大小相等，因此不能用于全等判定， ∴不能判定三角形全等． 38．如图，一块三角形模具不慎被打碎为三块．若只带其中一块去商店配一块与原来一样的三角形模具，应带________（填序号①②③）． 【答案】① 【分析】根据全等三角形的判定方法结合图形即可得出答案． 【详解】解：由图形可知，只带①的一块碎片到商店去合适，①有完整的两角与夹边，由“”可以作出与原三角形全等的三角形； ②没有完整的边或角，③只有一个完整的角，由全等三角形的判定方法，②和③都不可以作出与原三角形全等的三角形． 39．根据下列已知条件，能画出唯一的的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定以及三角形三边关系，逐个选项判断即可． 【详解】解：A、，不满足三角形的三边关系，本选项不符合题意． B、边边角，三角形不能唯一确定，本选项不符合题意． C、角角边，三角形唯一确定，本选项符合题意． D、一边一角无法确定三角形，本选项不符合题意． 题型十四 倍长中线模型 40．已知是的边上的中线，，，则边及中线的取值范围分别是(　　) A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形的三边关系问题，边的取值范围可在中利用三角形的三边关系进行求解，而对于中线的取值范围可延长至点，使，得出，进而在中利用三角形三边关系求解． 【详解】如图所示， 在中，则， 即，， 延长至点，使，连接， 是的边上的中线， ， 又， ， ， 在中，，即， ，即， ． 故选：D． 41．如图已知中，为边上的中线，平分交边于点，，，则_____． 【答案】10 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线和中线，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键．延长至点，使得，连接，则，证明，得到，，再推出，从而得到，即可得解． 【详解】解：如图，延长至点，使得，连接， ， ， 为边上的中线， ， 在和中， ， ， ，， 平分 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：10． 42．如图，AD是的中线，E是AD上一点，BE的延长线交AC于点F．若，，，则EF的长度为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 延长，使，连接，由“”可证，可得，，由等腰三角形的性质可得，即可求的长． 【详解】解：如图，延长，使，连接， ∵是的中线， ∴，且，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 故选：B. 题型十五 旋转模型 43．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AEF，延长BC交EF于点D，若BD＝5，BC＝4，则DE＝___．    【答案】3 【分析】如图，连接AD．证明Rt△ADF≌Rt△ADC（HL），推出DF＝DC＝1，可得结论． 【详解】解：如图，连接AD．    在Rt△ADF和Rt△ADC中， ， ∴Rt△ADF≌Rt△ADC（HL）， ∴DF＝DC， ∵BD＝5，BC＝4， ∴CD＝DF＝5﹣4＝1， ∵EF＝BC＝4， ∴DE＝EF﹣DF＝4﹣1＝3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 44．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°至AB′，连接B'C，则△AB′C的面积为 _____． 【答案】 【分析】根据题意过点B'作B'H⊥AC于H，由全等三角形的判定得出△ACB≌△B'HA（AAS），得AC＝B'H＝4，则有S△AB'C＝AC•B′H即可求得答案． 【详解】解：过点B'作B'H⊥AC于H， ∴∠AHB'＝90°，∠BAB'=90°， ∴∠HAB'+∠HB'A＝90°，∠BAC+∠CAB'＝90°， ∴∠HB'A＝∠CAB， 在△ACB和△B'HA中， ， ∴△ACB≌△B'HA（AAS）， ∴AC＝B'H， ∵∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3， ∴AC＝＝＝4， ∴AC＝B'H＝4， ∴S△AB'C＝AC•B′H＝×4×4＝8． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定与性质和旋转的性质以及勾股定理，根据题意利用全等三角形的判定证明△ACB≌△B'HA是解决问题的关键． 45．如图，中，，，，点是边上的一个动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则在点运动过程中，线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，取AB的中点T，连接PT，过点T作TH⊥AC于H．证明△TBP≌△CBQ（SAS），推出CQ=PT，根据垂线段最短可知，当点P与H重合时，PT的值最小，最小值=TH=AT=5． 【详解】解：如图，取AB的中点T，连接PT，过点T作TH⊥AC于H． ∵∠ACB=90°，∠A=30°， ∴AB=2BC，∠ABC=60°， ∵AT=TB， ∴BC=BT， ∵BP=BQ，∠CBT=∠PBQ， ∴∠CBT-∠PBC=∠PBQ-∠PBC，即∠TBP=∠CBQ， ∴△TBP≌△CBQ（SAS）， ∴CQ=PT， 根据垂线段最短可知，当点P与H重合时，PT的值最小，最小值=TH=AT=AB=5， ∴CQ的最小值为5． 故选A 【点睛】本题考查旋转变换，垂线段最短，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 题型十六 全等三角形综合问题 46．如图，已知，点是边上一点，根据尺规作图的痕迹，能确定线段是的（   ） A．中线 B．中垂线 C．角平分线 D．高线 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．证明，得出，证明，得出，证明，得出，即可得出结论． 【详解】解：根据作图可知：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分， 即线段是的角平分线． 故选：C． 47．如图，在四边形中，，，，动点从点向点运动，速度为，同时点从点沿射线方向运动，当和全等时，则点运动速度为________． 【答案】或 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．根据题意，分类讨论：当，，时；当，，时；根据全等三角形的性质，行程问题的数量关系即可求解． 【详解】解：分以下两种情况讨论： 如图所示， 当，，时，， ， 点运动的时间为， 点运动的速度为； 如图所示， 当，，时，， ， 点运动的时间为， 点运动的速度为； 综上所述，点运动速度为或． 故答案为：或． 48．如图，在中，高和交于点，且，下列结论：①；②；③；④若于点，则．其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据同角的余角相等可证，又因为，可得；利用可证，根据全等三角形的性质可证，证明，根据全等三角形的性质可证，根据可证结论成立；根据全等三角形的性质可证，根据可知，；过点作，可知四边形是矩形，证明，根据全等三角形的性质可证，，根据可证结论成立． 【详解】解：，， ， ，， ， 又， ， 故①正确； ， ， ， ， ， ， ，， 在和中，， ， ， ， 且， ， 在和中，， ， ， 故②正确； 由②可知， ， 由②可知， ， ， ， ， ， 故③不成立； 如下图所示，过点作， 则四边形是矩形， 由②可知， ， ， 在和中，， ， ，， 四边形是正方形， ， 由②可知， ， ， ； 综上所述，结论正确的有①②④． 题型十七 尺规作一个角等于已知角 49．在学习完尺规作等角之后，老师让小唯利用所学的知识在三角形中过点作边的平行线，小唯的思路和作法如下：如图，以为顶点，为一边作，则与平行，他这样作图的依据是（     ）． A．两直线平行，内错角相等 B．内错角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．同位角相等，两直线平行 【答案】B 【详解】解：由作图可知 ，与是直线和被直线所截形成的内错角， ∴ 根据“内错角相等，两直线平行”可得． 50．如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点，；以点为圆心，长为半径画弧，分别交边，于点，；再以点为圆心，长为半径画弧，与弧交于点；作射线交边于点．则的度数为________度． 【答案】 【分析】根据“作一个角等于已知角”的尺规作图可得，，再计算即可求解． 【详解】解：由题可知，， ， ． 51．如图，直线a，b相交于点A，B为直线b上一点．按下列步骤画图：①分别以点A，B为圆心，相同的长为半径画弧，两弧分别交直线a，b于点C，D，E；②以点E为圆心，的长为半径画弧交前弧于点F；③作射线．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由作图可知， ． 题型十八 尺规作图 —— 作三角形 52．如图是作的作图痕迹，则此作图的已知条件是（    ）    A．已知三角形的三边 B．已知三角形的两边及夹角 C．已知三角形的两角及夹边 D．已知三角形的两角及一角的对边 【答案】A 【分析】本题主要考查三角行作图，解题的关键是理解题意． 【详解】解：观察的作图痕迹，可得此作图的条件为：知线段，，．即的三边． 故选：A． 53．为锐角，，点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为d，，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】当x＝d时，BC⊥AM，C点唯一；当x≥a时，能构成△ABC的C点唯一，可确定取值范围． 【详解】解：若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则C点唯一即可， 当x＝d时，BC⊥AM，C点唯一； 当x>a时，以B为圆心，BC为半径的作弧，与射线AM只有一个交点， x=a时，以B为圆心，BC为半径的作弧，与射线AM只有两个交点，一个与A重合， 所以，当x≥a时，能构成△ABC的C点唯一， 故选为：A． 【点睛】本题考查了三角形的画法，根据题意准确作图并且能够分类讨论是解题关键． 54．如图，的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，称这样的三角形为格点三角形．那么图中与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理，按公共边的不同情况分类寻找全等格点三角形． 分别以、、为公共边，依据全等三角形判定条件，找出与全等的格点三角形，统计数量． 【详解】如图： 共7个点符合， 故选：C． 题型十九 作角平分线 55．如图，点A在射线上，以点O为圆心，长为半径作弧，交射线于点B；再分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点C，作射线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查尺规作图——作角平分线．根据作图痕迹可知射线是的平分线，利用角平分线的定义即可求解． 【详解】解：由作图痕迹可知，射线是的平分线， ． ， ． 故选：A． 56．如图，在中，，．按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点；②分别以为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P；③作射线交于点D．则的度数为________． 【答案】/度 【分析】根据三角形的内角和为和角平分线的性质求解． 【详解】解：∵在中，， ∴， 由作图可知，是的角平分线， ∴， 在中，， ∴． 57．如图，在中，，在和上分别截取，使，分别以点为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点，连接射线与相交于点，过点作于点．若，则的面积为（   ）． A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】B 【分析】由作图步骤可知，是的角平分线，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边距离相等．过作，则；的面积可拆分为与面积之和，分别用底、和高、计算相加即可． 【详解】解：过点作于． 由尺规作图过程可得：平分， ，，根据角平分线性质： ． 的面积， ， ， ． 题型二十 角平分线的性质定理 58．在中，，是上一点，平分．若，，则点到的距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：过点作于点，如图， 则有的长为点到的距离， ∵， ∴， ∵平分，且，， ∴， ∴点到的距离是 ． 59．如图，是的角平分线，于点，是的中线，动点在边上，连接．若，的面积是3，则的最小值为______________． 【答案】2 【分析】因为是的中线，所以和面积相等，可先求出的面积．已知的面积和的长度，结合，用三角形面积公式可求出的长度．因为是角平分线，根据角平分线的性质，点D到和的距离相等，可得D到的距离等于．因为G在上，根据垂线段最短，的最小值即为D到的距离． 【详解】解：∵是的中线，， ∴． ∵ ，，， ∴ ， 解得． ∵ 是的角平分线， ∴点到的距离等于． 又∵点在上， ∴的最小值就是点到的距离， 即． 60．如图，四边形中，平分，过点作于点，若，则的值为（    ） A．7 B． C． D．9 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形．熟练掌握角平分线性质，全等三角形的性质与判定，是解题的关键． 过点D作交延长线于E，证明，得到，，再证明，得到，据此根据线段的和差关系求解即可． 【详解】解：过点D作交延长线于E， ∵平分，过点作于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 题型二十一 角平分线的判定定理 61．两把相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，记两把直尺的接触点为 P，其中一把直尺边缘和射线重合，另把直尺的下边缘与射线 重合，连接并延长．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的判定，根据题意，易得点到射线和射线的距离相等，均为长方形直尺的宽，进而得到平分，得到，即可． 【详解】解：由图和题意，得点到射线和射线的距离相等，均为长方形直尺的宽， ∴平分， ∴； 故选：B． 62．如图，的外角的平分线与内角平分线交于点P，若，则___________ 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质定理，三角形外角的性质． 过P点作 于F，于N，于M，根据角平分线的性质定理得到，，，根据角平分线的判定定理得到，最后根据三角形外角的性质计算即可． 【详解】解：过P点作 于F，于N，于M， 设， ∵平分， ∴，， ∵平分， ∴，， ∴， 又∵于F，于M， ∴ ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 63．如图，已知，，，，和交于O点，下列结论错误的是（   ） A． B． C．平分 D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型――“手拉手”模型．证即可判断AB；在上截取，证即可判断D；根据可推出平分，无法推出平分，即可判断C． 【详解】解：∵， ∴ 即： ∵，， ∴ ∴，故选项A正确，不符合题意； ∵， ∴ ∵ ∴ ∴，故选项B正确，不符合题意； 在上截取，如图所示： ∵， ∴ ∴是等边三角形 ∴， ∵，， ∴是等边三角形 ∴， ∴， ∴ ∴ ∴，故D正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴点到边的距离相等， ∴平分 没理由能证明平分，故C错误，符合题意； 故选：C． 题型二十二 角平分线性质的实际应用 64．如图是某校的局部平面图，学校有三条小路和，已知与相交．学校计划修建一个亭子，使其到小路的距离均相等，则亭子可以选择的修建位置有（   ） A．4处 B．3处 C．2处 D．1处 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等成为解题的关键． 由角平分线的交点到角边的距离相等，则两同旁内角平分线的交点满足条件；据此作图即可解答． 【详解】解：如图所示： ∵和的平分线的交点到距离相等， ∴这两个角的平分线的交点满足条件； ∵和的平分线的交点到AB、MN、PQ距离相等， ∴这两个角的平分线的交点满足条件； ∴满足这条件的点有2个． 故选：C． 65．如图，在中，，平分交于点D．若，且，，则的面积是 _____． 【答案】 【分析】作于点E，如图所示，根据角平分线的性质，可以得到，然后根据，且，可以得到的长，从而可以得到的长，再根据的长，即可计算出的面积． 【详解】解：作于点E，如图所示， ∵平分，， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∵，， ∴的面积是：， 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线的性质，解答本题的关键是求出的长，利用数形结合的思想解答． 66．如图1，这是一个平板电脑支架，图2是其侧面结构示意图，现量得恰好是的中点．当，且射线恰好是的平分线时，此时点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 如图：过点作，垂足为点F，根据C是的中点可求的长度，再根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：如图：过点作，垂足为点F， ∵C是的中点，， ∴， ∵，，射线是的平分线， ． 故选：B． 解答题 1．如图，在和中，点、、、在同一条直线上，已知，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：在和中， ， ． (2) 【详解】（1）略 （2）解：，， ． 2．解决以下问题 (1)如图，，，，交于点，交于点求证： ① ； ② ． (2)将（1）中条件“”改为“”，如图． ①（1）中的结论①____填“成立”或“不成立”． ②（1）中的结论②是否仍然成立若不成立，请求出与的夹角的度数． 【答案】(1)①证明∶ ， ， 即， 在和中 ， ． ； ②证明∶， ． ， ， ． (2)①成立；②不一定成立， 【分析】（1）①证明，即可证明，推出； ②根据全等三角形的性质和角度的转换即可解答； （2）①根据（1）中证明方法即可解答； ②利用全等三角形的性质和角度的转换即可解答． 【详解】（1）略 （2）成立，理由如下： ， ， 即， 在和中 ， ． ； ②不一定成立， 同（1）可得， ． ， ． 3．如图1，在中，，，直线经过点，过作，垂足为，过作，垂足为． (1)求证：． (2)如图2，延长至，连接，过点作，且，连接交直线于点，连接． ①求证：． ②若，求的长． 【答案】(1)证明：如图1， ∵， ， ∴ ， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴． (2)①证明：如图2， 过作于， ∵， ∴， ∴， 又∵ ， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）得：， ∴， ∵，， ． ② 【分析】（1）根据， ，得，再根据同角的余角相等，即可证明，再根据已知，结合全等三角形判定定理即可证明． （2）①过作于，根据条件，结合“一线三垂直模型”即可证明，进而可证明，再根据全等三角形性质得，由（1）得，即可得，再根据，，即可证明． ②过作于，根据（1）得，，即可得，，根据（2）①得：，即可得，，进而得，，结合条件即可证明，根据全等三角形的性质得，再根据，等量代换得，进一步代换推理得，代入数据求解即可得的长． 【详解】（1）略 （2）解：①略 ②如图2，     由（1）得： ，， ∴，， 由（2）①得：， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ． 4．如图，，以点为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交，于，两点，再分别以，为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点，作射线，交于点． (1)求证：平分； (2)若，求的度数； (3)若，垂足为，求证：． 【答案】(1)证明：连接、，如图， 由作法得，， 而， ， ， 即平分； (2) (3)证明：， ， ， ， ， ， ， 在和中 ． 【分析】（1）作图步骤给出三组相等线段，思路是连接辅助线、，利用证明与全等，通过全等三角形对应角相等，直接证出平分； （2）已知，同旁内角互补，可先由算出的度数；再结合第一问结论是角平分线，所求就是的一半，代入数值即可求出角度． （3）先由平行线内错角相等得到，结合角平分线推出，等角对等边得；又垂直，有两组直角相等，再搭配一组等角与一组等边，用即可证明两个直角三角形全等． 【详解】（1）略 （2）， ， ， 平分， ； （3）略 5．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求度数． 【答案】(1) 证明：∵，即， 在与中， ， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）证明，即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，，再由三角形内角和定理可得的度数，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴，， ∴， ∴． 6．如图，点在线段上，，请只添加一个合适的条件，使． (1)根据“”，需添加的条件是 ；根据“”，需添加的条件是 ． (2)请从（1）中选择一种加以证明． 【答案】(1) (2) 选择“”，添加， 证明过程如下： ， ，即， 在和中， ； 选择“”，添加， 证明过程如下： ，， ，即， 在和中， ． 【分析】本题考查添加条件使两个三角形全等，并证明，熟记两个三角形全等的判定定理是解决问题的关键． （1）由题中条件可知，按照“”，“”，使所缺的条件添加即可得到答案； （2）由（1）中不同的判定定理及添加的条件，利用两个三角形全等的判定定理证明即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： ，， ， 根据“”，使，需添加的条件是； 根据“”，使，需添加的条件是； 故答案为：； （2）略 7．解决下列问题： (1)阅读理解：为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小曲在组内做了如下尝试：如图，是的中线，延长至点，使，连接．利用全等将边转化到．在这个过程中小曲同学证三角形全等，用到的全等判定方法是________，另外他还得到了和的位置关系是________；若，，他还求出了的取值范围为________； (2)问题解决：如图，是的中线，，点在的延长线上，，求证：； (3)问题拓展：如图，中，，，点在线段上，连接，，．若点为中点，交于点，请直接写出和的数量关系． 【答案】(1)；；； (2)证明：如图所示，延长至点，使， 同（1）可得 ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）根据已知条件证明，得出，则，由得到，，然后利用三角形三边关系求解； （2）延长至点，使，同（1）可得，，证明，进而证明，即可得证； （3）延长至点，使，由（1）可得，，证明，进而证明，即可得证． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴； （2）略； （3）解：如图所示，延长至点，使， 由（1）可得， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 8．如图，已知与线段a，请用尺规作图法作，使得，，．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图，即为所求．（作法不唯一） 【分析】根据作一个角等于已知角、作一条线段等于已知线段及线段的和的作法即可完成． 【详解】解：略． 9．在四边形中，点F在边上，，连接，于E，连接交于点M． (1)求证：； (2)若，，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，求． 【答案】(1)证明：∵，， ； (2)证明：作于点N， ， ， ， ∵， ， ， ，， ∴平分， ； (3) 【分析】（1）根据等腰三角形性质证明结论即可； （2）作于点N，证明，得出，进而得出平分，即可得出结论； （3）作于点P，作于点Q，证明，证明得出，得出，设，求出，结合，求出k值即可求出结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：作于点P，作于点Q， ∵平分， ， ， 同理：， ， 由（2）知，， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， 则， ， ， ， ． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03全等三角形知题通关讲义 知识点01:全等三角形基本概念 1. 全等形定义 能够完全重合的两个图形叫做全等形；全等图形形状、大小全部相同，仅位置不同。 2. 全等三角形定义 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 3. 对应元素 对应顶点：重合的顶点；对应边：重合的边；对应角：重合的角。 4.表示方法： ABC≌DEF，书写时对应顶点写在对应位置，以此确定对应边、对应角。 5.快速找对应边、对应角技巧 (1)公共边一定是对应边，公共角、对顶角一定是对应角； (2)最长边对最长边，最短边对最短边；最大角对最大角，最小角对最小角； (3)翻折、旋转、平移前后重合的边角为对应元素。 知识点02图形变换与全等 一个三角形经过平移、翻折、旋转后，位置发生改变，但形状、大小不变，变换前后的两个三角形全等。 知识点03:全等三角形的性质（重点） 基本性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。 若 △ABC △DEF则： 对应边相等：AB=DE BC=EF AC=DF 对应角相等： ∠A=∠D,∠B=∠ E, ∠C=∠F 知识点04:全等三角形的判定 1.判定基本思路 判定两个三角形全等，无需验证所有 6 组边角关系，满足部分特定条件即判定。 2.三角形全等的五种判定定理（核心考点） 重要提醒：AAA、SSA 不能作为三角形全等判定依据。 3.不能判定全等的两种情况（高频易错） (1)AAA（三角分别相等） 三个角对应相等，只能说明两个三角形形状相同（相似），大小不一定相等，不能判定全等。 (2)SSA（两边及其中一边的对角相等） 两边和其中一边的对角对应相等，无法保证三角形完全重合，不能判定全等。 4.判定方法选择技巧 (1)已知两边：优先选 SSS 或 SAS； (2)已知一边一角：优先选 SAS、ASA、AAS； (3)已知两角：优先选 ASA 或 AAS。 知识点05:已知三边作三角形 已知三角形的三条边，求作这个三角形是利用三角形全等的条件 “边边边” 来作图的，具体作图的步骤如下： 已知：线段 a，b，c 求作：△ABC，使 AB=c，AC=b，BC=a。 作法与图形： 知识点06:角平分线 1.定义 把一个角分成两个相等角的射线，叫做这个角的角平分线。 性质定理+判定定理（重点） 2.尺规作图：作已知角的平分线 已知：∠AOB。作法： 1.以 O 为圆心，任意长为半径画弧，交 OA,OB 于 M,N； 2.分别以 M,N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧在角内交于点 C； 3.作射线 OC，即为 ∠AOB 的平分线。 1. 全等符号书写不规范 提醒：书写△ABC≌△DEF时，对应顶点必须按顺序书写，保证对应边、对应角匹配，不可随意调换顶点顺序。 2. 全等对应元素识别错误 提醒：相等的边、角不一定是对应边、对应角；遵循长边对长边，大角对大角；公共边、公共角、对顶角通常为对应元素。 3. 全等判定定理误用 提醒：SSA、AAA不能判定三角形全等；有效判定方法为SSS、SAS、ASA、AAS；直角三角形可额外使用HL。 4. SAS判定条件理解疏漏 提醒：SAS中相等的角必须是两组对应边的夹角，不能是其中一条边的对角。 5. HL定理适用范围误判 提醒：HL只适用于直角三角形，要求斜边与一条直角边对应相等，一般三角形不能使用HL证明全等。 6. 全等证明推理跳步 提醒：证明全等需要完整列出全部条件，不可缺失条件直接判定全等，推理过程严谨。 7. 全等三角形性质误用 提醒：全等三角形仅对应边相等、对应角相等，非对应边、非对应角不存在相等关系，不可随意套用。 8. 图形隐含条件遗漏 提醒：审题注意挖掘公共边、公共角、对顶角等图形自带的相等条件。 9. 全等证明条件重复使用 提醒：同一个条件不能既用来证明三角形全等，又在全等结论之后重复推导，避免逻辑错误。 10. 全等性质应用范围混淆 提醒：全等三角形周长相等、面积相等；但周长或面积相等的两个三角形，不一定全等。 题型 考察方向 难度 题型一 图形的全等 ★ 题型二 全等三角形的概念 ★ 题型三 全等三角形的性质 ★★ 题型四 用 SAS 证明三角形全等 ★★ 题型五 全等的性质和 SAS 综合 ★★★ 题型六 用 ASA (AAS) 证明三角形全等 ★★ 题型七 全等的性质和 ASA (AAS) 综合 ★★★ 题型八 用 SSS 证明三角形全等 ★★ 题型九 全等的性质和 SSS 综合 ★★★ 题型十 用 HL 证全等 (HL) ★★★ 题型十一 全等的性质和 HL 综合 ★★★ 题型十二 添加条件使三角形全等 ★★ 题型十三 灵活选用判定方法证全等 ★★★ 题型十四 倍长中线模型 ★★★★ 题型十五 旋转模型 ★★★★ 题型十六 全等三角形综合问题 ★★★★ 题型十七 尺规作一个角等于已知角 ★ 题型十八 尺规作一个角等于已知角 ★★ 题型十九 作角平分线 ★ 题型二十 角平分线的性质定理 ★★ 题型二十一 角平分线的判定定理 ★★ 题型二十二 角平分线性质的实际应用 ★★★ 拔高题 9题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★压轴 题型一 图形的全等 1．如图（1）~（12）中全等的图形是_____和______；_____和______；_____和______；_____和______；_____和______；_____和______；(填图形的序号) 2．下列各组图形中，属于全等图形的是（     ） A．两个面积相等的长方形 B．两个周长相等的等腰三角形 C．能够完全重合的两个图形 D．两个大小相近的正方形 3．下列图形中，是全等图形的是（　　） A．a，b，c，d B．a与b C．b，c，d D．a与c 题型二 全等三角形的概念 4．下列说法正确的是（   ） A．周长相等的三角形是全等三角形 B．形状相同大小相等的三角形是全等三角形 C．面积相等的三角形是全等三角形 D．所有的等边三角形都是全等三角形 5．如图，，点和是对应点，点和是对应点，则的对应角是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在四边形中，，点为上的点（不与重合），观察下列图形中全等三角形的对数． 其中，图1中有3对全等三角形，图2中有6对全等三角形，图3中有10对全等三角形，…． 按此规律，第5个图中有（    ）对全等三角形．      A．15 B．16 C．18 D．21 题型三 全等三角形的性质 7．如图，已知，若，则的长是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．如图，两个三角形全等，则的度数是（    ） A． B． C． D． 9．如图，中，厘米，厘米，点为的中点．如果点在线段上以2厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若点的运动速度为厘米/秒，则当与全等时，的值为（ ） A．或 B．或2 C．或2 D．或 题型四 用 SAS 证明三角形全等 10．如图，两根钢条、的中点O连在一起，使、 可以绕着点 O自由转动，就做成一个测量工具，的长等于内槽宽 ，那么判定的理由是（     ） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边 11．在中，平分，则_____． 12．如图，中，，是角平分线，点是上一点，下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 题型五 全等的性质和 SAS 综合 13．如图，在四边形中，，，下列结论正确的是（　　）    A． B． C． D． 14．如图，在中，为边上的中线，延长到点，使得，连接．若，，，则的周长为_________． 15．山东潍坊是中国风筝之乡，匠人在制作过程中采用了全等的相关知识．在如图所示的风筝“龙骨”图案中，．则不一定能得到以下哪个结论（    ） A． B． C． D． 题型六 用 ASA (AAS) 证明三角形全等 16．如图，小红练习本上三角形被墨水污染了一部分，她根据所学的知识画出了一个与它全等的三角形，那么小红画出全等三角形的依据是（   ） A． B． C． D． 17．如图，在中，平分，且于点，交于点，，．那么的周长为______． 18．如图，在与中，点，，，在同一条直线上，，，．若，，则的长度是（    ） A． B． C． D． 题型七 全等的性质和 ASA (AAS) 综合 19．如图，，，是过A的一条直线，且B、C在异侧，于D，于E．若，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 20．学习完《利用三角形全等测距离》后，七年级数学兴趣小组就“测量河两岸、两点间的距离”设计了如下方案：如图，在点所在河岸同侧的平地上取点和点，使得点、、在同一直线上，且；在的延长线上确定一点，借助测角仪测得，测得，，则的长为______． 21．如图，在中，为中线，过作，垂足为，过作，垂足为．在延长线上取一点，连接，使． 给出下面四个结论： ①； ②； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有（     ） A．③④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 题型八 用 SSS 证明三角形全等 22．如图，，，则可判定，判定的依据是（    ） A． B． C． D． 23．如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A、C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是__________．                   24．如图，，下列条件中，添加后仍不能判定的是（   ） A． B． C． D． 题型九 全等的性质和 SSS 综合 25．如图，有一个简易平分角的仪器，其中，将点放在角的顶点处，和沿着角的两边张开，沿对角线画线，就是的平分线．这个平分角的仪器的制作原理是（   ） A． B． C． D． 26．如图，在与中，点、、、在同一条直线上，连接，，，，．若，则的度数为_________． 27．如图，在中，点D、E分别在、上，已知，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 题型十 用 HL 证全等 (HL) 28．如图，在和中，，，则可直接判断的依据是（    ） A． B． C． D． 29．如图，已知是直角三角形，垂直平分于点，则___________． 30．在和中，，，D、分别是、上一点，且，有如下三个判断（　　） ①若，则和一定全等； ②若，则和一定全等； ③若，则和一定全等． A．②对①③错 B．②③对①错 C．全对 D．全错 题型十一 全等的性质和 HL 综合 (HL) 31．如图，在四边形中，，，垂足分别是，，．求证：．以下是排乱的证明过程： ①； ②； ③； ④在和中，； ⑤，． 证明步骤正确的顺序是（   ） A．⑤②④①③ B．③①④⑤② C．④①⑤②③ D．①③④⑤② 32．如图，，垂足为点，射线，垂足为点，，，动点从点出发以的速度沿射线运动，动点在射线上，随着点运动而运动，始终保持，若点的运动时间为，则当______ 秒时，与全等． 33．如图，在中，，是上一点，过点作于点，且，连接．若，则的长为（    ） A．2 B．7 C．9 D．11 题型十二 添加条件使三角形全等 34．如图，已知，，再添加一个条件仍无法证明，这个条件是（    ） A． B． C． D． 35．如图，在和中，，，点A、E、C、F在同一条直线上，若要用“”直接证明，则还需要添加的条件是______． 36．如图，已知 ，添加下列条件不能判定的是（     ） A． B． C． D． 题型十三 灵活选用判定方法证全等 37．判定两个直角三角形全等，不能使用的方法是（    ） A． B． C． D． 38．如图，一块三角形模具不慎被打碎为三块．若只带其中一块去商店配一块与原来一样的三角形模具，应带________（填序号①②③）． 39．根据下列已知条件，能画出唯一的的是（     ） A． B． C． D． 题型十四 倍长中线模型 40．已知是的边上的中线，，，则边及中线的取值范围分别是(　　) A．， B．， C．， D．， 41．如图已知中，为边上的中线，平分交边于点，，，则_____． 42．如图，AD是的中线，E是AD上一点，BE的延长线交AC于点F．若，，，则EF的长度为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 题型十五 旋转模型 43．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AEF，延长BC交EF于点D，若BD＝5，BC＝4，则DE＝___．    44．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°至AB′，连接B'C，则△AB′C的面积为 _____． 45．如图，中，，，，点是边上的一个动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则在点运动过程中，线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型十六 全等三角形综合问题 46．如图，已知，点是边上一点，根据尺规作图的痕迹，能确定线段是的（   ） A．中线 B．中垂线 C．角平分线 D．高线 47．如图，在四边形中，，，，动点从点向点运动，速度为，同时点从点沿射线方向运动，当和全等时，则点运动速度为________． 48．如图，在中，高和交于点，且，下列结论：①；②；③；④若于点，则．其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④ 题型十七 尺规作一个角等于已知角 49．在学习完尺规作等角之后，老师让小唯利用所学的知识在三角形中过点作边的平行线，小唯的思路和作法如下：如图，以为顶点，为一边作，则与平行，他这样作图的依据是（     ）． A．两直线平行，内错角相等 B．内错角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．同位角相等，两直线平行 50．如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点，；以点为圆心，长为半径画弧，分别交边，于点，；再以点为圆心，长为半径画弧，与弧交于点；作射线交边于点．则的度数为________度． 51．如图，直线a，b相交于点A，B为直线b上一点．按下列步骤画图：①分别以点A，B为圆心，相同的长为半径画弧，两弧分别交直线a，b于点C，D，E；②以点E为圆心，的长为半径画弧交前弧于点F；③作射线．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 题型十八 尺规作图 —— 作三角形 52．如图是作的作图痕迹，则此作图的已知条件是（    ）    A．已知三角形的三边 B．已知三角形的两边及夹角 C．已知三角形的两角及夹边 D．已知三角形的两角及一角的对边 53．为锐角，，点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为d，，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 54．如图，的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，称这样的三角形为格点三角形．那么图中与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 题型十九 作角平分线 55．如图，点A在射线上，以点O为圆心，长为半径作弧，交射线于点B；再分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点C，作射线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 56．如图，在中，，．按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点；②分别以为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P；③作射线交于点D．则的度数为________． 57．如图，在中，，在和上分别截取，使，分别以点为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点，连接射线与相交于点，过点作于点．若，则的面积为（   ）． A．10 B．9 C．8 D．7 题型二十 角平分线的性质定理 58．在中，，是上一点，平分．若，，则点到的距离是（     ） A． B． C． D． 59．如图，是的角平分线，于点，是的中线，动点在边上，连接．若，的面积是3，则的最小值为______________． 60．如图，四边形中，平分，过点作于点，若，则的值为（    ） A．7 B． C． D．9 题型二十一 角平分线的判定定理 61．两把相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，记两把直尺的接触点为 P，其中一把直尺边缘和射线重合，另把直尺的下边缘与射线 重合，连接并延长．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 62．如图，的外角的平分线与内角平分线交于点P，若，则___________ 63．如图，已知，，，，和交于O点，下列结论错误的是（   ） A． B． C．平分 D． 题型二十二 角平分线性质的实际应用 64．如图是某校的局部平面图，学校有三条小路和，已知与相交．学校计划修建一个亭子，使其到小路的距离均相等，则亭子可以选择的修建位置有（   ） A．4处 B．3处 C．2处 D．1处 65．如图，在中，，平分交于点D．若，且，，则的面积是 _____． 66．如图1，这是一个平板电脑支架，图2是其侧面结构示意图，现量得恰好是的中点．当，且射线恰好是的平分线时，此时点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 解答题 1．如图，在和中，点、、、在同一条直线上，已知，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 2．解决以下问题 (1)如图，，，，交于点，交于点求证： ① ； ② ． (2)将（1）中条件“”改为“”，如图． ①（1）中的结论①____填“成立”或“不成立”． ②（1）中的结论②是否仍然成立若不成立，请求出与的夹角的度数． 3．如图1，在中，，，直线经过点，过作，垂足为，过作，垂足为． (1)求证：． (2)如图2，延长至，连接，过点作，且，连接交直线于点，连接． ①求证：． ②若，求的长． 4．如图，，以点为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交，于，两点，再分别以，为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点，作射线，交于点． (1)求证：平分； (2)若，求的度数； (3)若，垂足为，求证：． 5．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求度数． 6．如图，点在线段上，，请只添加一个合适的条件，使． (1)根据“”，需添加的条件是 ；根据“”，需添加的条件是 ． (2)请从（1）中选择一种加以证明． 7．解决下列问题： (1)阅读理解：为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小曲在组内做了如下尝试：如图，是的中线，延长至点，使，连接．利用全等将边转化到．在这个过程中小曲同学证三角形全等，用到的全等判定方法是________，另外他还得到了和的位置关系是________；若，，他还求出了的取值范围为________； (2)问题解决：如图，是的中线，，点在的延长线上，，求证：； (3)问题拓展：如图，中，，，点在线段上，连接，，．若点为中点，交于点，请直接写出和的数量关系． 8．如图，已知与线段a，请用尺规作图法作，使得，，．（保留作图痕迹，不写作法） 9．在四边形中，点F在边上，，连接，于E，连接交于点M． (1)求证：； (2)若，，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，求． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $