专题11整数指数幂与分式方程知题通关讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年人教版八年级数学上册

专题11整数指数幂与分式方程知题通关讲义 知识点 01 整数指数幂 1.正整数指数幂基础法则 设a≠0，b≠0，m、n为正整数 2.零指数幂 规定a0=1，限制条件a≠0，00无数学意义； 示例：50=1，(x-3)0=1（x≠3）。 3.负整数指数幂 核心规则：a-p=（a≠0，p为正整数）\)，指数随分数线上下移动互换正负。 易混对比表 4.通用整数指数运算法则 五条法则对正、零、负整数全部适用： 知识点02：小于 1 的小数科学记数法 判定方法：小数点右移至首个非零数字，移动位数为n；混合运算分开计算系数与 10 的幂。 知识点 03 分式方程的定义 1.概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 2.区分整式方程与分式方程 关键判定：只看分母是否带未知数，常数分母不算分式方程。 知识点 04 分式方程的解法 1.解分式方程的基本思路 去分母，把分式方程转化为整式方程。 解分式方程的一般步骤 3.检验方程解的方法 (1) 将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。 (2) 也可以将整式方程的解代入原分式方程，这种方法不仅能检验出该解是否适合原分式方程，还能检验所得的解是否正确。 4. 解分式方程高频错误 (1)去分母时，常数项漏乘最简公分母； (2)分子为多项式时未加括号，引发符号错误； (3)省略检验步骤，直接判定方程的解。 知识点05 增根 1.定义：去分母后得到的整式方程的解，但代入原分式方程会使分母为 0，导致原分式无意义，这样的根叫做增根。 2.产生原因：等式性质 2 要求乘的式子不能为 0，去分母时无法提前限制未知数取值，因此会多出无效根。 ① 是去分母后整式方程的解； ② 代入原方程任意分母，结果等于 0。 4. 增根与无解（难点、填空 / 解答压轴） 无解两种情况对比 专题06分式方程的应用 1.列分式方程解应用题的一般步骤 （1）审：即审题，根据题意找出已知量和未知量，并找出等量关系 （2）设：即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设，注意单位要统一，选择一个未知量用未知数表示，并用含未知数的式子表示相关量. （3）列：即列方程，根据等量关系列出分式方程. （4）解：即解所列的分式方程，求出未知数的值. （5）验：即验根，既要检验所求的未知数的值是否适合分式方程，还要检验此解是否符合实际意义. （6）答：即写出答案，注意单位和答案要完整. 2.应用题核心等量关系 1. 将负整数指数幂错误理解为结果为负数 提醒：a-p=(a≠0，p为正整数)，负指数表示取倒数，并不代表结果为负。 2. 运用整数指数幂法则时，忽略底数不能为0 提醒：0的负整数次幂、0^0均无意义，运算时必须满足底数不等于0。 3. 计算负指数幂仅改变指数符号，未对底数整体取倒数 提醒：应将非零底数整体取倒数后再乘正指数，不可只把指数化为正数而底数不变。 4. 用科学记数法表示小于1的正数时，10的负指数取值错误 提醒：形式为10-n (1 a<10)，n等于第一个非零数字前面所有0的个数，注意指数不要写错。 5. 解分式方程去分母时，遗漏不含分母的常数项 提醒：方程两边同乘最简公分母，所有项都要相乘，不可漏掉不含分母的项。 6. 去分母时，多项式形式的分子未添加整体括号 提醒：若分子为多项式，去分母时需给分子整体加括号，避免出现符号错误。 7. 解分式方程后省略检验步骤 提醒：分式方程必须检验；将根代入最简公分母，若公分母等于0，则该根为增根，应予舍去。 8. 误将增根当作分式方程的解 提醒：增根是去分母后所得整式方程的根，但它使原方程分母为0，不是原分式方程的解。 9. 把分式方程无解与存在增根等同看待 提醒：分式方程无解包含两种情形：①整式方程的根全部是增根；②得到的整式方程本身无解，二者不能等价。 10. 由解的正负求参数，只考虑整式方程，未排除增根 提醒：求出参数后，既要保证解符合正负要求，还要保证解不会使最简公分母等于0。 11. 分式方程解应用题，只检验是否为增根，未检验实际意义 提醒：除检验是否为增根，还需验证结果是否符合题意的实际背景，不符合则舍去。 题型 考察方向 难度 题型一 负整数指数幂 ★ 题型二 整数指数幂的运算 ★★ 题型三 用科学记数法表示绝对值小于 1 的数 ★ 题型四 还原用科学记数法表示的小数 ★ 题型五 分式方程的定义 ★ 题型六 解分式方程 ★★ 题型七 根据分式方程解的情况求值 ★★★ 题型八 分式方程无解问题 ★★★ 题型九 列分式方程 ★★ 题型十 分式方程的行程问题 ★★★ 题型十一 分式方程的工程问题 ★★★ 题型十二 分式方程的经济问题 ★★★ 题型十三 分式方程和差倍分问题 ★★★ 题型十四 分式方程的其它实际问题 ★★★★ 拔高题 8题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★压轴 题型一：负整数指数幂 1．的值为（     ） A． B． C． D． 2．如图是一数值转换机，若输入的为，则输出的结果为（     ） A．9 B． C． D． 3．若等式对任意实数都成立，那么的值为（     ） A． B． C． D． 题型二：整数指数幂的运算 4．计算：______． 5．下列各式正确的是（　　） A． B． C． D．（，n为正整数） 6．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型三：用科学记数法表示绝对值小于 1 的数 7．现在市面上流行的折叠屏手机，其中有一种关键材料是由山西太钢王天翔团队主导研发的“手撕钢”，正因为它比纸还薄，折叠屏才能承受数十万次的使用而不变形、不断裂．据悉，该材料的厚度仅有米．将米用科学记数法表示为（　　　） A． B． C． D． 8．我国“嫦娥六号”探测器携带的微型激光测距仪，对月球表面测量的精度可达（）．用科学记数法表示这一测量的精度是________．蜂鸟是世界上最小的鸟，某只蜂鸟从头到尾的长度大约仅为，问最大的蜂鸟的长度相当于该测量的精度的_______倍． 9．方框中所示的是小颖作业中的一道题目，“”处都是但发生破损，小颖查阅后发现本题答案为，则破损处“”的个数为（     ） A． B． C． D． 题型四：还原用科学记数法表示的小数 10．中国芯片技术已实现多项重大突破，其中最引人注目的是芯片工艺的量产，这一成就标志着中国在全球半导体领域的竞争力显著提升．已知用科学记数法表示为，则用小数表示为（     ） A． B． C． D． 11．一粒大米的质量约为，用小数表示为_______． 12．某种生物基因的分子直径为，其中这个数写成小数是（    ） A． B． C． D． 题型五：分式方程的定义 13．下列方程中，属于分式方程的是（   ） A． B． C． D． 14．给出下列方程：①；②；③；④．其中是分式方程的是（   ） A．②③ B．①② C．①③ D．②④ 15．已知方程：①，②，③，④，⑤，⑥，其中分式方程有_________________． 题型六：解分式方程 16．分式方程的解为_______． 17．解分式方程，去分母后正确的整式方程是（     ） A． B． C． D． 18．若关于的方程有增根，则的值为________． 题型七：根据分式方程解的情况求值 19．关于x的分式方程有增根，则增根为________． 20．若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 21．若关于x的分式方程的解是负数，则实数m的最大整数值是_______． 22．对于实数x、y定义一种新运算“*”：，例如：，则分式方程有增根时，m的值是________． 题型八：分式方程无解问题 23．若分式方程 有增根，则增根为（     ） A． B． C．3 D． 24．若关于x的分式方程无解，那么实数m的值是______ 25．关于x的分式方程无解，则的值为（   ） A． B． C． D． 26．若关于x的分式方程无解，则m的值为（     ） A． B． C．或 D．或 题型九：列分式方程 27．津潍高铁2027年通车后，东营正式融入首都“2小时经济圈”．由东营南站到北京南站，高铁线路总长约，自驾线路总长约，预计乘坐高铁比自驾少用．已知高铁列车的平均速度约是自驾平均速度的3倍．设自驾的平均速度为，依题意所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 28．某健身器械厂急需生产一批健身器械共360台送往A、B两个销售点出售．当生产150台后，接到通知，要求提前完成，因而在接下来的时间里每天生产的台数提高到了原来的1.4倍，已知一共用了6天刚好完成了360台的生产任务，问原来每天生产健身器械多少台？设原来每天生产健身器械x台，根据题意，可列方程为______． 29．如图，《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？（椽，装于屋顶以支持屋顶盖材料的木杆）设这批椽有x株，则符合题意的方程是（     ） A． B． C． D． 题型十：分式方程的行程问题 30．甲、乙两人沿着总长度为的道路匀速行走，甲的速度是乙的倍，甲走完全程比乙少用．设乙的速度为，根据题意，可列方程为________． 31．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马送到，所需时间比规定时间少2天，已知快马速度是慢马速度的倍，求规定时间．设规定时间为天，则由题意可列分式方程为（     ） A． B． C． D． 32．某地铁线路全长约，若选择地上交通，私家车行驶同样的路线比乘坐地铁多耗时约分钟，地铁的平均速度是私家车平均速度的倍，问地铁和私家车的平均速度分别是多少？ 33．某物流配送点使用甲、乙两款无人机开展同城配送服务，工作人员对这两款无人机进行飞行测试，（规定每架无人机单次执行的固定飞行距离称为一个航段），甲、乙两款无人机的单个航段的飞行距离不相同，现收集到如下信息： 信息1：两款无人机各飞行一个航段，合计用时21秒；甲飞行3个航段总用时与乙飞行4个航段总用时相等． 信息2：甲无人机单个航段距离比乙无人机的单个航段距离多10米，甲飞行200米所用的航段数与乙飞行160米所用的航段数相等． (1)求甲、乙两款无人机飞行单个航段所需时间． (2)求乙无人机单个航段距离． (3)由于配送环境限制，在一次长度为480米的配送任务中，需要甲、乙两款无人机合作完成配送，已知甲、乙两款无人机的飞行航段数都是整数，且途中货物交接时间为10秒，求完成本次配送任务的时间是多少秒． 题型十一：分式方程的工程问题 34．甲、乙两人分别加工300个零件，甲每天比乙多加工10个，结果甲提前5天完成．设乙每天加工x个零件，所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 35．古代民间有“碾米筹量”的数学趣题，改编如下：某农户用石碾碾稻谷，若单独用甲碾，若干小时可碾完；若单独用乙碾，完成的时间比单独用甲碾多3小时．已知甲碾每小时碾米量是乙碾的倍，若设单独用甲碾碾完需小时，则可列方程为_________________． 36．解决问题 (1)有160个零件，平均分配给甲、乙两个车间加工，乙车间因另有紧急任务，所以在甲车间加工3小时后才开始加工，因此比甲车间迟20分钟完成，已知甲、乙两车间的生产效率的比是，则甲、乙两车间每小时各能加工多少零件？ (2)如果零件总数为a件，其它条件不变，你能求出甲、乙两个车间的生产时间吗？并用含a的代数式表示甲、乙两车间每小时各能加工多少零件． 题型十二：分式方程的经济问题 37．书店正在销售文学类和科技类的书籍，已知科技类单价是文学类单价的1.5倍，用700元和900元分别购买文学类和科技类，文学类可以比科技类多买5本．设文学类书籍的单价为元，由已知可列方程（     ） A． B． C． D． 38．奉节脐橙是重庆的特色时令水果．脐橙一上市，水果店的小李就用3000元购进了一批脐橙，前两天以高于进价的价格共卖出，第三天她发现市场上脐橙数量陡增，而自己的脐橙卖相已不大好，于是果断地将剩余脐橙以低于进价的价格全部售出，前后一共获利750元，则小李所进脐橙的数量是 _____千克． 39．某商场改造部分停车位为充电停车位，分别花费万元和万元购进，两款充电桩，已知款充电桩的单价比款充电桩的单价高万元，且购进款充电桩的数量是款充电桩的数量的倍． (1)分别求，两款充电桩的单价； (2)该商场调研发现，现有改造的充电停车位已不能满足新能源汽车的充电需求，决定再用不多于万元的资金购进，两款充电桩共个，求此次可购进款充电桩的数量的最大值． 题型十三：分式方程和差倍分问题 40．智能机器人产业发展迅猛，某公司研制出A、B两种搬运机器人，A型机器人比B型机器人每小时多搬运材料，且A型机器人搬运材料所用的时间与B型机器人搬运材料所用的时间相同．则A型机器人每小时搬运的材料为（   ） A． B． C． D． 41．某物流仓储公司用A，B两种型号的机器人搬运物品，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运，A型机器人搬运所用时间与B型机器人搬运所用时间相等，则A型机器人每小时搬运物品___________． 42．列方程解下列问题： 瓷器是中华民族对世界物质文明的一项重大贡献，在英文中“瓷器（）”与“中国（）”同为一词．端午将至，某瓷器厂将制作一批茶具投放市场，共有名工人负责生产该批茶具，每套茶具由只茶杯和只茶壶组成．已知每名工人平均每天可以制作只茶杯或只茶壶，且每人每天只能制作一种产品． (1)该瓷器厂应安排多少人生产茶壶，才能使得每天生产的茶壶和茶杯正好配套？ (2)按第（1）问的人员安排生产天后，该批茶具全部完成，并分两次投放市场．第一次投放的茶具的总利润为元；第二次投放的每套茶具的利润是第一次投放的每套茶具利润的倍，第二次投放的茶具的总利润为元，两次投放刚好销售完所有茶具．那么第一次和第二次投放市场的茶具的套数分别为多少？ 题型十四：分式方程的其它实际问题 43．学校 “930” 艺术节需用红纸花 3000 朵，某班全体同学自愿承担这批红纸花的制作任务，在实际制作时，有10名同学因排练节目而没有参加，这样参加劳动的同学平均每人制花的数量比原定全班同学平均每人要完成的数量多15朵，设这个班级共有x名同学，根据题意可得方程_____． 44．“五一”劳动节，某游乐园举行旅游文化节，几个同学合租一辆大巴车去游览，大巴车的租价是1200元．出发时，有6个同学临时有事去不了，结果每名同学比原来多分摊了10元租车费．若由已知信息列出方程，则方程中表示（     ） A．实际参加游览每名同学需要分摊的车费（单位：元） B．实际参加游览的同学人数（单位：个） C．原来每名同学需要分摊的车费（单位：元） D．原来参加游览的同学人数（单位：个） 45．榫（sǔn）、卯（mǎo）构件是中国古代建筑中常用的结合构件．如图是一种特定的榫卯结合构件，其中，每个榫构件所需的圆木比每个卯构件所需的圆木短．已知用的圆木制作的榫构件数量与用的圆木制作的卯构件数量相同．求制作个榫构件需要的圆木长度． 解答题 1．计算：． 2．解方程： (1)； (2)． 3．已知关于x的分式方程． (1)若该方程的增根为，求m的值 ； (2)若该方程有增根，求m的值 ； (3)若该方程无解，求m的值 ． 4．为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为． (1)去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲、乙两组同学进行采摘．已知甲组每分钟采摘量是乙组的倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜． (2)该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加，宽增加．若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数的值． 5．某人形机器人半程马拉松赛分为自主组与遥控组，总赛程均为．赛事规则如下表：    自主组 最终成绩净用时站外换电罚时违规干预罚时 遥控组 最终成绩净用时站外换电罚时违规干预罚时 备注：①站外换电罚时：第1次罚时5分钟，第2次10分钟，逐次累加． ②违规干预罚时：每次罚时2分钟． ③自主组违规干预超过3次将强制转为遥控组，按遥控组计算最终成绩．例如：某自主组机器人全程净用时小时，站外换电1次，违规干预5次，则最终成绩为小时． 已知自主组的“天行号”机器人后半赛程的平均速度比前半赛程的平均速度快，后半赛程所用的时间是前半赛程所用时间的． (1)求“天行号”前半赛程的平均速度及赛完全程的净用时． (2)比赛中“天行号”有1次站外换电与次违规干预，最终成绩比净用时多，求的值． (3)在（2）的条件下，自主组的“跃动号”机器人在比赛中有2次站外换电与1次违规干预，它在第一段赛程的平均速度为，第二段赛程的平均速度为，第三段赛程的平均速度为．已知前两段赛程净用时之和为，后两段赛程净用时之和为．问：“跃动号”与“天行号”的最终成绩哪个更好？为什么？ 6．信诚超市销售甲、乙两种商品，3月份该超市同时购进甲、乙两种商品共100件，其中甲种商品用去300元，乙种商品用去1200元，已知甲、乙两种商品每件的进价相同． (1)求两种商品购进的数量分别是多少件？ (2)由于商品受到市民欢迎，超市4月份决定再次购进甲、乙两种商品共100件，但甲商品进价在原基础上降了，乙商品进价在原基础上涨了，甲种商品每件售价20元，乙种商品每件售价30元，若4月份购进的商品全部售出后获得的总利润不少于950元，那么该超市最多购进甲种商品多少件？ 7．随着新能源汽车普及，某小区和某商场均配备了充电桩．小区新能源汽车充电桩收费标准按照“电费=充电量×电价”计费，表1为该小区充电桩不同时段的电价标准．商场新能源充电桩的收费标准按照“总费用=电费+服务费”计费，表2为该商场充电桩的收费标准，则“峰时”充10度电的总费用为：（元）． 表1： 项目 某小区新能源汽车分时电价方案 时段划分 峰时 17:00-22:00 平时 8:00-17:00 谷时 22:00-次日8:00 电价（元/度） a b 0.34 表2： 某商场新能源充电桩收费公示牌 收费时段 峰时 16:00-22:00 平时 10:00-16:00 谷时 22:00-次日10:00 电价（元/度） 0.56 c 服务费（元/度） 0.5 0.4 0.3 请根据以上素材解决下列问题： (1)小明爸爸第一天在小区“峰时”充了6度电，“平时”充了9度电，花费了7.8元；第二天在小区“峰时”充了12度电，“平时”充了15度电，花费了14.1元，求a，b的值； (2)小明爸爸发现在某商场充电时，“平时”花18元充电的度数与在“谷时”花14元充电的度数一样，求“谷时”的电价c为多少元/度？ (3)小明爸爸在小区“平时”充了m度电，又在某商场“平时”充了n度电，一共支付了20元．若充电的度数m、n均为正整数，则满足条件的m，n有几种情况？ 8．请同学们根据以下表格中的素材，探索完成任务： 合理规划校园活动区域 素材一 学校科创社团举办活动，规划出一块长方形场地，划分为游戏区和表演区，如图所示，其中游戏区是边长为米的正方形．      素材二 据活动现场统计，第一轮活动期间共有100名学生参与活动，其中60名学生选择了游戏区．两区域的学生排队入场，入场时，游戏区比表演区每分钟多进4人，且两区域的所有学生从入场到入场完毕所花费的时间恰好相等．所有人进入区域后不再进出． 素材三 已知表演区的宽比游戏区的边长少1米．为了更好优化后续区域分配，需知道区域的人员密集程度． 角度一：平均单位面积人流量数值越大，人员越密集； 角度二：人均面积，数值越大，人均空间越充足． (1)求游戏区平均每分钟入场多少人？ (2)①游戏区的平均单位面积人流量：__________；游戏区人均面积：_________；（用含的代数式表示） ②请从平均单位面积人流量或人均面积中任选一个角度，比较两个区域的人员密集程度，并说明理由． (3)为保障安全，学校要求游戏区的人均面积不能低于5平方米，则游戏区的边长最少是_________米．（精确到整数） 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11整数指数幂与分式方程知题通关讲义 知识点 01 整数指数幂 1.正整数指数幂基础法则 设a≠0，b≠0，m、n为正整数 2.零指数幂 规定a0=1，限制条件a≠0，00无数学意义； 示例：50=1，(x-3)0=1（x≠3）。 3.负整数指数幂 核心规则：a-p=（a≠0，p为正整数）\)，指数随分数线上下移动互换正负。 易混对比表 4.通用整数指数运算法则 五条法则对正、零、负整数全部适用： 知识点02：小于 1 的小数科学记数法 判定方法：小数点右移至首个非零数字，移动位数为n；混合运算分开计算系数与 10 的幂。 知识点 03 分式方程的定义 1.概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 2.区分整式方程与分式方程 关键判定：只看分母是否带未知数，常数分母不算分式方程。 知识点 04 分式方程的解法 1.解分式方程的基本思路 去分母，把分式方程转化为整式方程。 解分式方程的一般步骤 3.检验方程解的方法 (1) 将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。 (2) 也可以将整式方程的解代入原分式方程，这种方法不仅能检验出该解是否适合原分式方程，还能检验所得的解是否正确。 4. 解分式方程高频错误 (1)去分母时，常数项漏乘最简公分母； (2)分子为多项式时未加括号，引发符号错误； (3)省略检验步骤，直接判定方程的解。 知识点05 增根 1.定义：去分母后得到的整式方程的解，但代入原分式方程会使分母为 0，导致原分式无意义，这样的根叫做增根。 2.产生原因：等式性质 2 要求乘的式子不能为 0，去分母时无法提前限制未知数取值，因此会多出无效根。 3.增根两个特征 ① 是去分母后整式方程的解； ② 代入原方程任意分母，结果等于 0。 4. 增根与无解（难点、填空 / 解答压轴） 无解两种情况对比 专题06分式方程的应用 1.列分式方程解应用题的一般步骤 （1）审：即审题，根据题意找出已知量和未知量，并找出等量关系 （2）设：即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设，注意单位要统一，选择一个未知量用未知数表示，并用含未知数的式子表示相关量. （3）列：即列方程，根据等量关系列出分式方程. （4）解：即解所列的分式方程，求出未知数的值. （5）验：即验根，既要检验所求的未知数的值是否适合分式方程，还要检验此解是否符合实际意义. （6）答：即写出答案，注意单位和答案要完整. 2.应用题核心等量关系 1. 将负整数指数幂错误理解为结果为负数 提醒：a-p=(a≠0，p为正整数)，负指数表示取倒数，并不代表结果为负。 2. 运用整数指数幂法则时，忽略底数不能为0 提醒：0的负整数次幂、0^0均无意义，运算时必须满足底数不等于0。 3. 计算负指数幂仅改变指数符号，未对底数整体取倒数 提醒：应将非零底数整体取倒数后再乘正指数，不可只把指数化为正数而底数不变。 4. 用科学记数法表示小于1的正数时，10的负指数取值错误 提醒：形式为10-n (1 a<10)，n等于第一个非零数字前面所有0的个数，注意指数不要写错。 5. 解分式方程去分母时，遗漏不含分母的常数项 提醒：方程两边同乘最简公分母，所有项都要相乘，不可漏掉不含分母的项。 6. 去分母时，多项式形式的分子未添加整体括号 提醒：若分子为多项式，去分母时需给分子整体加括号，避免出现符号错误。 7. 解分式方程后省略检验步骤 提醒：分式方程必须检验；将根代入最简公分母，若公分母等于0，则该根为增根，应予舍去。 8. 误将增根当作分式方程的解 提醒：增根是去分母后所得整式方程的根，但它使原方程分母为0，不是原分式方程的解。 9. 把分式方程无解与存在增根等同看待 提醒：分式方程无解包含两种情形：①整式方程的根全部是增根；②得到的整式方程本身无解，二者不能等价。 10. 由解的正负求参数，只考虑整式方程，未排除增根 提醒：求出参数后，既要保证解符合正负要求，还要保证解不会使最简公分母等于0。 11. 分式方程解应用题，只检验是否为增根，未检验实际意义 提醒：除检验是否为增根，还需验证结果是否符合题意的实际背景，不符合则舍去。 题型 考察方向 难度 题型一 负整数指数幂 ★ 题型二 整数指数幂的运算 ★★ 题型三 用科学记数法表示绝对值小于 1 的数 ★ 题型四 还原用科学记数法表示的小数 ★ 题型五 分式方程的定义 ★ 题型六 解分式方程 ★★ 题型七 根据分式方程解的情况求值 ★★★ 题型八 分式方程无解问题 ★★★ 题型九 列分式方程 ★★ 题型十 分式方程的行程问题 ★★★ 题型十一 分式方程的工程问题 ★★★ 题型十二 分式方程的经济问题 ★★★ 题型十三 分式方程和差倍分问题 ★★★ 题型十四 分式方程的其它实际问题 ★★★★ 拔高题 8题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★压轴 题型一：负整数指数幂 1．的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ ， ∴ ． 2．如图是一数值转换机，若输入的为，则输出的结果为（     ） A．9 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数值转换机，输出的结果为 ，将输入 代入计算即可． 【详解】解：根据数值转换机，输出的结果为 ， 将输入 代入可得． 3．若等式对任意实数都成立，那么的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用多项式乘多项式法则展开等式左边，根据多项式恒等，对应项系数相等求出和的值，再代入计算即可． 【详解】解：， 又等式对任意实数都成立，即左右对应项系数相等， ∴， 解得， 将，代入得： ． 题型二：整数指数幂的运算 4．计算：______． 【答案】 【分析】根据单项式除以单项式的法则以及同底数幂的除法法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了整数指数幂的运算，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． 5．下列各式正确的是（　　） A． B． C． D．（，n为正整数） 【答案】D 【分析】本题考查的是负整数指数幂的含义，熟记是解题的关键；根据，再计算即可； 【详解】解：，故原选项计算错误，不合题意； B、，故原选项计算错误，不合题意； C、，故原选项计算错误，不合题意； D、（，，n为正整数），故原选项计算正确，符合题意． 故选：D． 6．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用整数指数幂的运算法则，可得，进一步即可求出n的值. 【详解】解：∵ ，， ∴， ∴， 解得. 题型三：用科学记数法表示绝对值小于 1 的数 7．现在市面上流行的折叠屏手机，其中有一种关键材料是由山西太钢王天翔团队主导研发的“手撕钢”，正因为它比纸还薄，折叠屏才能承受数十万次的使用而不变形、不断裂．据悉，该材料的厚度仅有米．将米用科学记数法表示为（　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 8．我国“嫦娥六号”探测器携带的微型激光测距仪，对月球表面测量的精度可达（）．用科学记数法表示这一测量的精度是________．蜂鸟是世界上最小的鸟，某只蜂鸟从头到尾的长度大约仅为，问最大的蜂鸟的长度相当于该测量的精度的_______倍． 【答案】 /90000 【分析】先根据单位换算关系将换算为米，并用科学记数法表示，再计算蜂鸟体长与测量精度的倍数关系． 【详解】解：∵， ∴． 蜂鸟体长为， 倍数． 9．方框中所示的是小颖作业中的一道题目，“”处都是但发生破损，小颖查阅后发现本题答案为，则破损处“”的个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据科学记数法的表示方法求解即可． 【详解】解：本题答案为， ， 根据题意可得， ， ∴， 则破损处“0”的个数为． 题型四：还原用科学记数法表示的小数 10．中国芯片技术已实现多项重大突破，其中最引人注目的是芯片工艺的量产，这一成就标志着中国在全球半导体领域的竞争力显著提升．已知用科学记数法表示为，则用小数表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对于（，为正整数）形式的数，还原为原数只需把的小数点向左移动位即可，解题关键是明确小数点移动的位数． 【详解】 需将还原为小数，指数为，即要把的小数点向左移动位， ． 11．一粒大米的质量约为，用小数表示为_______． 【答案】 【分析】本题考查了还原用科学记数法表示的小数，熟记科学记数法的定义是解题关键．根据科学记数法中的指数的绝对值可得将小数中的小数点向左移动5位即可得． 【详解】解：， 故答案为：． 12．某种生物基因的分子直径为，其中这个数写成小数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将科学计数法转化为一般计数法即可． 【详解】， 故选：A． 【点睛】本题考查了还原用科学记数法表示的小数，明确负整数指数幂的含义是解题的关键． 题型五：分式方程的定义 13．下列方程中，属于分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的定义，掌握知识点是解题的关键． 分式方程是指分母中含有未知数的方程，根据此定义判断各选项即可． 【详解】解：分式方程需满足分母中含有未知数， 选项A：，分母无未知数，不是分式方程； 选项B：，分母x是未知数，是分式方程； 选项C：，分母2是常数，不是分式方程； 选项D：，分母无未知数，不是分式方程． 故选：B． 14．给出下列方程：①；②；③；④．其中是分式方程的是（   ） A．②③ B．①② C．①③ D．②④ 【答案】B 【分析】分式方程是分母中含有未知数的方程，判断每个方程是否含有分母且分母中含有未知数． 本题考查了分式方程的概念，熟练掌握相关内容是解题的关键． 【详解】解：∵ 方程① 中，右边分式分母含有未知数 ， ∴ ①是分式方程． ∵ 方程② 中，左边分式分母 含有未知数 ， ∴ ②是分式方程． ∵ 方程③ 中没有分式，是整式方程， ∴ ③不是分式方程． ∵ 方程④ 中， 是常数系数，没有分母含有未知数， ∴ ④不是分式方程． ∴ 是分式方程的是①②． 故选：B． 15．已知方程：①，②，③，④，⑤，⑥，其中分式方程有_________________． 【答案】③④⑤ 【分析】本题考查分式方程的定义，熟练掌握“分母中含有未知数的方程叫做分式方程”是解题的关键．根据分式方程的定义，逐个判断即可，要注意分式方程中分母是关于未知数的整式． 【详解】解：①②分母中不含未知数，不是分式方程；③④⑤分母中含有未知数，是分式方程；⑥根号下含有未知数，是无理方程，不是分式方程， 故答案为：③④⑤． 题型六：解分式方程 16．分式方程的解为_______． 【答案】 【分析】将分式方程去分母转化为一元一次方程，求解一元一次方程后检验，即可得到分式方程的解． 【详解】解：， 方程两边同乘，得， 去括号，得， 移项合并同类项，得， 系数化为，得， 检验：当时，， 所以原分式方程的解为． 17．解分式方程，去分母后正确的整式方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， 两边同乘以，得：． 18．若关于的方程有增根，则的值为________． 【答案】 【分析】分式方程有增根，说明增根使原方程分母为，先确定增根，再代入去分母后的整式方程即可求出． 【详解】解：， 方程两边同乘得：， 整理得， ∵原方程有增根， ∴分母，解得， 把代入，得， 解得． 题型七：根据分式方程解的情况求值 19．关于x的分式方程有增根，则增根为________． 【答案】 2 【分析】本题考查分式方程增根的概念，增根是使分式方程的最简公分母为零的未知数的值，据此计算即可． 【详解】解：分式方程的分母分别为和，因此最简公分母为． 因为分式方程有增根，所以最简公分母为，即 ， 解得． 故答案为． 20．若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的解，解题的关键是把字母m看作一个常数来解，本题是常见的题型要求掌握．按照一般步骤解方程，用含有m的代数式表示x，然后根据x的取值，求m的范围． 【详解】解：方程去分母得， ∴， ∵关于的方程的解为正数， ∴， 解得． 又， ∴， 则m的取值范围是且． 故选：D． 21．若关于x的分式方程的解是负数，则实数m的最大整数值是_______． 【答案】 【分析】先将分式方程化为整式方程，得到x关于m的表达式，再根据解为负数且分式有意义，确定m的取值范围，即可求出m的最大整数值． 【详解】解：分式方程，两边同乘得：， 移项合并同类项得：． ∵方程的解为负数， ∴， 解得． 又∵分式有意义，分母不能为，即， ∴， 解得． ∴的取值范围是且， 则的最大整数值是． 22．对于实数x、y定义一种新运算“*”：，例如：，则分式方程有增根时，m的值是________． 【答案】 【分析】根据新运算法则得到分式方程，去分母化简求解得，再根据分式方程有增根，得到，即可得解． 【详解】解：由得，， 整理得：， 解得：， 分式方程有增根， ， ， ， 解得：． 题型八：分式方程无解问题 23．若分式方程 有增根，则增根为（     ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据分式方程增根的定义，增根是使分式方程分母为零的未知数的值，先结合分母得到增根的可能，再解方程验证即可． 【详解】解：∵原分式方程的分母为，增根会使分式分母为零， ∴令，得． 给方程两边同乘去分母，得， 展开计算得， 移项解得， ∵当时，原分式的分母为，分式无意义， ∴原分式方程的增根为． 24．若关于x的分式方程无解，那么实数m的值是______ 【答案】 或 【分析】分式方程无解分为两种情况，一是去分母后所得整式方程本身无解；二是整式方程的解是原分式方程的增根，分两种情况计算的值即可． 【详解】解：原方程两边同乘最简公分母， 去分母，得，整理得：， 情况1：若整式方程无解， ∵当一次项系数为时，整式方程无解， ∴，解得，此时原分式方程无解； 情况2：若整式方程有解，且解为原分式方程的增根， ∵原分式方程的增根满足，即， ∴把代入，得， 解得，此时原分式方程无解； 综上，的值为或． 25．关于x的分式方程无解，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分式方程无解包括去分母后的整式方程无解或整式方程的解为增根两种情况，本题去分母后的整式方程有解，故无解说明方程存在增根，增根是使原分式方程的最简公分母为0的未知数的值，先确定增根为，再将分式方程化为整式方程，代入增根即可求出的值． 【详解】解：，即 方程两边同乘最简公分母，去分母得： 整理得：， 即 ∵原分式方程无解， ∴方程的解为增根，满足分母，即增根为 令 解得． 26．若关于x的分式方程无解，则m的值为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分式方程无解包含两种情况，一是去分母后的整式方程无解，二是整式方程的解是原分式方程的增根，本题先将分式方程化为整式方程，再结合无解的条件计算的值． 【详解】解：方程两边同乘得， 解得， ，是整式方程，始终有解， ∴当或时，原方程分母为零，无解． 令，则，解得； 令，则，解得． ∴或时，原方程无解． 题型九：列分式方程 27．津潍高铁2027年通车后，东营正式融入首都“2小时经济圈”．由东营南站到北京南站，高铁线路总长约，自驾线路总长约，预计乘坐高铁比自驾少用．已知高铁列车的平均速度约是自驾平均速度的3倍．设自驾的平均速度为，依题意所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出高铁列车的平均速度，再根据预计乘坐高铁比自驾少用列出方程即可． 【详解】解：设自驾的平均速度为，则高铁列车的平均速度为 由题意，可列方程为． 28．某健身器械厂急需生产一批健身器械共360台送往A、B两个销售点出售．当生产150台后，接到通知，要求提前完成，因而在接下来的时间里每天生产的台数提高到了原来的1.4倍，已知一共用了6天刚好完成了360台的生产任务，问原来每天生产健身器械多少台？设原来每天生产健身器械x台，根据题意，可列方程为______． 【答案】 【分析】分别求出原效率生产150台的时间和提速后生产剩余台数的时间，根据两段时间之和等于总天数6天，建立等量关系列方程． 【详解】解：设原来每天生产健身器械台，则提高效率后每天生产台， 则原效率生产150台的用时为， 剩余生产任务的台数为， 则提高效率后生产剩余任务的用时为． 已知总用时为6天，因此可得方程：． 29．如图，《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？（椽，装于屋顶以支持屋顶盖材料的木杆）设这批椽有x株，则符合题意的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，列出方程即可. 【详解】解：设这批椽有x株，由题意，得. 题型十：分式方程的行程问题 30．甲、乙两人沿着总长度为的道路匀速行走，甲的速度是乙的倍，甲走完全程比乙少用．设乙的速度为，根据题意，可列方程为________． 【答案】 【分析】根据“甲走完全程比乙少用．”列出方程，即可求解． 【详解】解：设乙的速度为，则甲的速度是，根据题意，可列方程为 ． 31．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马送到，所需时间比规定时间少2天，已知快马速度是慢马速度的倍，求规定时间．设规定时间为天，则由题意可列分式方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设规定时间为天，先分别表示出慢马和快马走完全程的用时，再根据“快马速度是慢马速度的倍”，结合速度=路程÷时间的关系，即可列出正确的分式方程． 【详解】解：设规定时间为天，根据题意可得：． 32．某地铁线路全长约，若选择地上交通，私家车行驶同样的路线比乘坐地铁多耗时约分钟，地铁的平均速度是私家车平均速度的倍，问地铁和私家车的平均速度分别是多少？ 【答案】地铁的平均速度为，私家车的平均速度为 【分析】根据速度=路程时间，设未知数，找等量关系，列分式方程求解． 【详解】解：设私家车速度为． . 解得.                                                    经检验是原方程的解，且符合题意． 地铁速度为． 答：地铁的平均速度为，私家车的平均速度为． 【点睛】分式方程的解要注意检验，要符合实际意义． 33．某物流配送点使用甲、乙两款无人机开展同城配送服务，工作人员对这两款无人机进行飞行测试，（规定每架无人机单次执行的固定飞行距离称为一个航段），甲、乙两款无人机的单个航段的飞行距离不相同，现收集到如下信息： 信息1：两款无人机各飞行一个航段，合计用时21秒；甲飞行3个航段总用时与乙飞行4个航段总用时相等． 信息2：甲无人机单个航段距离比乙无人机的单个航段距离多10米，甲飞行200米所用的航段数与乙飞行160米所用的航段数相等． (1)求甲、乙两款无人机飞行单个航段所需时间． (2)求乙无人机单个航段距离． (3)由于配送环境限制，在一次长度为480米的配送任务中，需要甲、乙两款无人机合作完成配送，已知甲、乙两款无人机的飞行航段数都是整数，且途中货物交接时间为10秒，求完成本次配送任务的时间是多少秒． 【答案】(1)甲无人机飞行单个航段需秒，乙无人机飞行单个航段需秒 (2)乙无人机单个航段距离为米 (3)完成本次配送任务的时间是或秒 【分析】（1）设甲无人机飞行单个航段需秒，乙无人机飞行单个航段需秒，根据题意列出关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出结果； （2）设乙无人机单个航段距离为米，则甲无人机单个航段距离为米，根据题意列出分式方程，解方程即可得出结果； （3）由（2）可得甲无人机单个航段距离为米，设甲飞行个航段，乙飞行个航段，由题意得，整理得，求出或，再分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：设甲无人机飞行单个航段需秒，乙无人机飞行单个航段需秒， 由题意可得， 解得， ∴甲无人机飞行单个航段需秒，乙无人机飞行单个航段需秒； （2）解：设乙无人机单个航段距离为米，则甲无人机单个航段距离为米， 由题意得， 解得， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， ∴乙无人机单个航段距离为米； （3）解：由（2）可得甲无人机单个航段距离为米， 设甲飞行个航段，乙飞行个航段， 由题意得， 整理得， ∵，为正整数， ∴或， 当时，（秒）， 当时，（秒）， ∴完成本次配送任务的时间是或秒． 题型十一：分式方程的工程问题 34．甲、乙两人分别加工300个零件，甲每天比乙多加工10个，结果甲提前5天完成．设乙每天加工x个零件，所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件表示出甲的工作效率，再结合“工作时间工作总量工作效率”得到甲、乙两人的工作时间，最后根据甲提前5天完成的等量关系列方程即可． 【详解】∵设乙每天加工个零件，甲每天比乙多加工10个， ∴甲每天加工个零件， 乙加工300个零件的总时间为天， 甲加工300个零件的总时间为天， ∵甲提前5天完成，即乙的总时间比甲多5天， ∴， 故选：A． 35．古代民间有“碾米筹量”的数学趣题，改编如下：某农户用石碾碾稻谷，若单独用甲碾，若干小时可碾完；若单独用乙碾，完成的时间比单独用甲碾多3小时．已知甲碾每小时碾米量是乙碾的倍，若设单独用甲碾碾完需小时，则可列方程为_________________． 【答案】 【分析】将总工作量看作单位，根据题意表示出甲、乙的工作时间与工作效率，根据甲、乙工作效率的倍数关系列出方程即可． 【详解】解：∵设单独用甲碾完需小时，乙完成时间比甲多小时， ∴乙单独完成需要小时； 将总工作量看作单位，可得甲的工作效率为，乙的工作效率为， ∵甲每小时碾米量是乙的倍，即甲的工作效率乙的工作效率， ∴，整理得． 36．解决问题 (1)有160个零件，平均分配给甲、乙两个车间加工，乙车间因另有紧急任务，所以在甲车间加工3小时后才开始加工，因此比甲车间迟20分钟完成，已知甲、乙两车间的生产效率的比是，则甲、乙两车间每小时各能加工多少零件？ (2)如果零件总数为a件，其它条件不变，你能求出甲、乙两个车间的生产时间吗？并用含a的代数式表示甲、乙两车间每小时各能加工多少零件． 【答案】(1)甲每小时加工20个零件，乙每小时加工60个零件 (2)甲需要4小时，乙要小时． 甲每小时加工零件个，乙每小时加工零件个 【分析】（1）根据有160个零件，平均分给甲、乙两车间加工，得出每个车间加工80个零件，再利用甲车间加工3小时后，乙才开始加工，因此比甲车间迟20分钟完成，根据时间得出等式方程求出即可； （2）根据有a个零件，平均分给甲、乙两车间加工，得出每个车间加工个零件，再利用甲车间加工3小时后，乙才开始加工，因此比甲车间迟20分钟完成，根据时间得出等式方程求出即可． 【详解】（1）解：设甲每小时加工x个零件，乙每小时加工个零件，由题意，得 ， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴乙每小时加工60个零件． 答：甲每小时加工20个零件，乙每小时加工60个零件； （2）解：设甲每小时加工y个零件，乙每小时加工个零件，由题意，得 ， 解得：， 经检验，是原方程的解． ∴乙每小时加工个零件． ∴甲的生产时间为：小时， 乙的生产时间为：小时， 答：甲需要4小时，乙要小时；甲每小时加工零件个，乙每小时加工零件个． 题型十二：分式方程的经济问题 37．书店正在销售文学类和科技类的书籍，已知科技类单价是文学类单价的1.5倍，用700元和900元分别购买文学类和科技类，文学类可以比科技类多买5本．设文学类书籍的单价为元，由已知可列方程（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据设出的未知数表示出两类书籍的单价与购买数量，再根据两类书籍的数量差关系列出方程． 【详解】解：∵设文学类书籍的单价为元，科技类单价是文学类单价的倍， ∴科技类书籍的单价为元. 根据数量等于总价除以单价，可得：购买文学类书籍的数量为本，购买科技类书籍的数量为本. ∵文学类比科技类多买本，即文学类数量减去科技类数量等于， ∴列方程得． 38．奉节脐橙是重庆的特色时令水果．脐橙一上市，水果店的小李就用3000元购进了一批脐橙，前两天以高于进价的价格共卖出，第三天她发现市场上脐橙数量陡增，而自己的脐橙卖相已不大好，于是果断地将剩余脐橙以低于进价的价格全部售出，前后一共获利750元，则小李所进脐橙的数量是 _____千克． 【答案】200 【分析】设小李所进脐橙的数量为，根据前后一共获利750元列分式方程，求解后检验即可得到结果. 【详解】解：设小李所进脐橙的数量为，根据题意得： ， 去分母得， 整理计算得， ， 解得， 经检验是原方程的解，且符合实际意义.， 所以，小李所进脐橙的数量是． 39．某商场改造部分停车位为充电停车位，分别花费万元和万元购进，两款充电桩，已知款充电桩的单价比款充电桩的单价高万元，且购进款充电桩的数量是款充电桩的数量的倍． (1)分别求，两款充电桩的单价； (2)该商场调研发现，现有改造的充电停车位已不能满足新能源汽车的充电需求，决定再用不多于万元的资金购进，两款充电桩共个，求此次可购进款充电桩的数量的最大值． 【答案】(1)款充电桩单价为万元，款充电桩单价为万元 (2)此次可购进款充电桩的数量的最大值为 【分析】（1）设款充电桩的单价为万元，则款充电桩的单价为万元，根据款充电桩数量是款数量倍的等量关系列出分式方程，解方程求出的值，即可得出答案； （2）设购进款充电桩个，则购进款充电桩个，根据总购进资金不多于万元列出一元一次不等式，结合正整数条件求出A款充电桩数量的最大值即可． 【详解】（1）解：设款充电桩的单价为万元，则款充电桩的单价为万元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ∴（万元）， 答：款充电桩单价为万元，款充电桩单价为万元． （2）解：设购进款充电桩个，则购进款充电桩个， 根据题意，得， 解得， ∵为正整数， ∴的最大值为， ∴此次可购进款充电桩的数量的最大值为． 题型十三：分式方程和差倍分问题 40．智能机器人产业发展迅猛，某公司研制出A、B两种搬运机器人，A型机器人比B型机器人每小时多搬运材料，且A型机器人搬运材料所用的时间与B型机器人搬运材料所用的时间相同．则A型机器人每小时搬运的材料为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“时间相等”建立等量关系，利用公式“时间=搬运总重量÷每小时搬运重量”列方程求解即可． 【详解】解：设A型机器人每小时搬运材料，则B型机器人每小时搬运材料，根据题意得， ， 解得， 检验：当时，，故是原方程的解， 即A型机器人每小时搬运材料． 41．某物流仓储公司用A，B两种型号的机器人搬运物品，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运，A型机器人搬运所用时间与B型机器人搬运所用时间相等，则A型机器人每小时搬运物品___________． 【答案】100 【分析】设B型机器人每小时搬运物品，表示出A型机器人每小时的搬运量，根据A型机器人搬运所用时间与B型机器人搬运所用时间相等，列出分式方程，求解检验后即可得到A型机器人每小时的搬运量． 【详解】解：设B型机器人每小时搬运物品，则A型机器人每小时搬运物品． 根据题意列方程得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合实际意义． 则． 即A型机器人每小时搬运物品． 42．列方程解下列问题： 瓷器是中华民族对世界物质文明的一项重大贡献，在英文中“瓷器（）”与“中国（）”同为一词．端午将至，某瓷器厂将制作一批茶具投放市场，共有名工人负责生产该批茶具，每套茶具由只茶杯和只茶壶组成．已知每名工人平均每天可以制作只茶杯或只茶壶，且每人每天只能制作一种产品． (1)该瓷器厂应安排多少人生产茶壶，才能使得每天生产的茶壶和茶杯正好配套？ (2)按第（1）问的人员安排生产天后，该批茶具全部完成，并分两次投放市场．第一次投放的茶具的总利润为元；第二次投放的每套茶具的利润是第一次投放的每套茶具利润的倍，第二次投放的茶具的总利润为元，两次投放刚好销售完所有茶具．那么第一次和第二次投放市场的茶具的套数分别为多少？ 【答案】(1)安排人生产茶壶 (2)第一次投放市场的茶具的套数为套，第二次投放市场的茶具的套数为套 【分析】（1）设安排人生产茶壶，根据每套茶具由只茶杯和只茶壶组成，列方程求解即可； （2）由（1）先求出全部茶具数量，设第一次投放市场的茶具的套数为套，根据两次投放的每套茶具的利润关系，列方程求解即可． 【详解】（1）解：设瓷器厂应安排人生产茶壶． 由题意可得，， 解得． 答：瓷器厂应安排人生产茶壶，才能使得每天生产的茶壶和茶杯正好配套． （2）解：由（1）得，安排人生产茶壶， 则天该瓷器厂共生产的茶具数量为：（套） 设第一次投放市场的茶具的套数为套，则第二次投放市场的茶具的套数为套． 由题意可得，×， 解得， 经检验：是原方程的解，且符合题意． 第二次投放市场的茶具的套数为：（套） 答：第一次投放市场的茶具的套数为套，第二次投放市场的茶具的套数为套． 题型十四：分式方程的其它实际问题 43．学校 “930” 艺术节需用红纸花 3000 朵，某班全体同学自愿承担这批红纸花的制作任务，在实际制作时，有10名同学因排练节目而没有参加，这样参加劳动的同学平均每人制花的数量比原定全班同学平均每人要完成的数量多15朵，设这个班级共有x名同学，根据题意可得方程_____． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 设班级共有名同学，根据实际平均每人制花数量比原定多15朵，列出分式方程即可． 【详解】解：设这个班级共有名同学，则原定全班平均每人制作朵红纸花．实际有10名同学因排练节目未参加，因此实际参加劳动的同学有人，平均每人制作朵． 根据题意，实际平均每人制花数量比原定全班平均每人数量多15朵，故可得方程 ． 故答案为：． 44．“五一”劳动节，某游乐园举行旅游文化节，几个同学合租一辆大巴车去游览，大巴车的租价是1200元．出发时，有6个同学临时有事去不了，结果每名同学比原来多分摊了10元租车费．若由已知信息列出方程，则方程中表示（     ） A．实际参加游览每名同学需要分摊的车费（单位：元） B．实际参加游览的同学人数（单位：个） C．原来每名同学需要分摊的车费（单位：元） D．原来参加游览的同学人数（单位：个） 【答案】C 【分析】根据方程中常数项6的实际意义，判断分式表示的量，推导x的含义． 【详解】解：方程中常数6为人数，故与均表示人数， 由总费用与每人分摊费用、人数的关系，可知x和表示每人分摊的车费， ∵实际每名同学比原来多分摊10元， ∴为实际每人分摊的车费，x为原来每人分摊的车费． 45．榫（sǔn）、卯（mǎo）构件是中国古代建筑中常用的结合构件．如图是一种特定的榫卯结合构件，其中，每个榫构件所需的圆木比每个卯构件所需的圆木短．已知用的圆木制作的榫构件数量与用的圆木制作的卯构件数量相同．求制作个榫构件需要的圆木长度． 【答案】制作个榫构件需要的圆木长度为 【分析】设制作个榫构件需要的圆木长度为，则制作个卯构件需要的圆木长度为，根据“用的圆木制作的榫构件数量与用的圆木制作的卯构件数量相同”列分式方程，求解即可． 【详解】解：设制作个榫构件需要的圆木长度为，则制作个卯构件需要的圆木长度为， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解， 答：制作个榫构件需要的圆木长度为． 解答题 1．计算：． 【答案】 【详解】解： 2．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)无解 (2) 【分析】本题考查了解分式方程．去分母，将分式方程化为一元一次方程，解一元一次方程，再检验即可． 【详解】（1）解：原方程去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 则是分式方程的增根， 故原方程无解； （2）解：原方程去分母得：， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为． 3．已知关于x的分式方程． (1)若该方程的增根为，求m的值 ； (2)若该方程有增根，求m的值 ； (3)若该方程无解，求m的值 ． 【答案】(1) (2)或 (3)或或 【分析】（1）先对原方程去分母得到整式方程，再把代入计算即可； （2）根据增根的定义得到，解得或，然后代入（1）化简后的方程求解； （3）根据方程无解的两种情况（整式方程无解、整式方程的根都是原方程的增根），分别代入计算得到的值． 【详解】（1）解：原方程可写为， 方程两边同乘去分母，得， 整理得． 该方程的增根为， 把代入，得， 解得． （2）解： 原方程有增根， ， 解得增根为或， 当时，代入得，解得， 当时，代入得，解得， 的值为或． （3）解：原方程无解分两种情况：当，即时，整式方程变为，等式不成立，整式方程无解，因此原方程无解； 当整式方程有解，但解为原方程的增根时，原方程无解，由（2）得此时或； 综上所述，的值为或或． 4．为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为． (1)去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲、乙两组同学进行采摘．已知甲组每分钟采摘量是乙组的倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜． (2)该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加，宽增加．若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数的值． 【答案】(1)甲组每分钟采摘千克蔬菜，乙组每分钟采摘千克蔬菜 (2)整数的值为或 【分析】（1）设乙组每分钟采摘千克蔬菜，则甲组每分钟采摘千克蔬菜，再根据两组的时间差列分式方程，求解检验后即可得到结果； （2）设扩建后的基地面积是原来的倍（为正整数），根据长方形面积公式列出等式，整理得到关于的表达式，结合，和都是正整数的条件，求出的值． 【详解】（1）解：设乙组每分钟采摘千克蔬菜，则甲组每分钟采摘千克蔬菜， 根据题意可得， 解得， 当，， 则是原方程的解， 故甲组每分钟采摘千克蔬菜，乙组每分钟采摘千克蔬菜． （2）解：设扩建后的基地面积是原来的倍（为正整数）， 已知劳动基地长为，宽为， 则扩建后的基地长为，宽为， 则扩建后的基地面积为， 根据题意可知， 由为整数且，可得， 若为正整数，可得且为的正约数， 则或， 可得或． 5．某人形机器人半程马拉松赛分为自主组与遥控组，总赛程均为．赛事规则如下表：    自主组 最终成绩净用时站外换电罚时违规干预罚时 遥控组 最终成绩净用时站外换电罚时违规干预罚时 备注：①站外换电罚时：第1次罚时5分钟，第2次10分钟，逐次累加． ②违规干预罚时：每次罚时2分钟． ③自主组违规干预超过3次将强制转为遥控组，按遥控组计算最终成绩．例如：某自主组机器人全程净用时小时，站外换电1次，违规干预5次，则最终成绩为小时． 已知自主组的“天行号”机器人后半赛程的平均速度比前半赛程的平均速度快，后半赛程所用的时间是前半赛程所用时间的． (1)求“天行号”前半赛程的平均速度及赛完全程的净用时． (2)比赛中“天行号”有1次站外换电与次违规干预，最终成绩比净用时多，求的值． (3)在（2）的条件下，自主组的“跃动号”机器人在比赛中有2次站外换电与1次违规干预，它在第一段赛程的平均速度为，第二段赛程的平均速度为，第三段赛程的平均速度为．已知前两段赛程净用时之和为，后两段赛程净用时之和为．问：“跃动号”与“天行号”的最终成绩哪个更好？为什么？ 【答案】(1)“天行号”前半赛程的平均速度为，赛完全程的净用时为 (2) (3)解：“跃动号”的最终成绩更好， 理由：由题意得， 解得：， ∴，． 由题意得，解得， ∴． 经检验得是所列方程组的根，且符合题意． ∴“跃动号”的净用时为．             ∴“跃动号”的最终成绩为．         由（2）得“天行号”的最终成绩为． ∵， ∴“跃动号”的最终成绩更好． 【分析】（1）一半赛程为，设“天行号”前半赛程的平均速度为，则后半赛程的平均速度为，根据题意列方程求解即可； （2）分当时，当时，分别求解即可； （3）列方程求出“跃动号”的净用时间，从而求出“跃动号”的最终成绩，与“天行号”的最终成绩比较即可解答； 【详解】（1）解：设“天行号”前半赛程的平均速度为， 由题意得， 解得， 经检验得是所列方程的根，且符合题意， 跑完全程的净用时为， 答：“天行号”前半赛程的平均速度为，赛完全程的净用时为． （2）解：当时，由题意得， 解得（不符，舍去）， 当时，由题意得， 解得， 综上所述：． （3）略 6．信诚超市销售甲、乙两种商品，3月份该超市同时购进甲、乙两种商品共100件，其中甲种商品用去300元，乙种商品用去1200元，已知甲、乙两种商品每件的进价相同． (1)求两种商品购进的数量分别是多少件？ (2)由于商品受到市民欢迎，超市4月份决定再次购进甲、乙两种商品共100件，但甲商品进价在原基础上降了，乙商品进价在原基础上涨了，甲种商品每件售价20元，乙种商品每件售价30元，若4月份购进的商品全部售出后获得的总利润不少于950元，那么该超市最多购进甲种商品多少件？ 【答案】(1)甲种商品购进20件，乙种商品购进80件 (2)该超市最多购进甲种商品62件 【分析】（1）设甲种商品购进x件，则乙种商品购进件，根据购进甲、乙两种商品的进价相同，列方程求解； （2）设超市购进甲种商品m件，根据（1）求出甲乙两商品的进价，表示出4月份甲乙两商品的进价，然后根据总利润不小于950，列不等式求解． 【详解】（1）解：设甲种商品购进x件，则乙种商品购进件， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：甲种商品购进20件，乙种商品购进80件． （2）解：3月份甲、乙两种商品的进价为（元）． 设该超市购进甲种商品m件，则购进乙种商品件， 依题意得：， 解得：， 又∵为正整数， ∴的最大值为62． 答：该超市最多购进甲种商品62件． 7．随着新能源汽车普及，某小区和某商场均配备了充电桩．小区新能源汽车充电桩收费标准按照“电费=充电量×电价”计费，表1为该小区充电桩不同时段的电价标准．商场新能源充电桩的收费标准按照“总费用=电费+服务费”计费，表2为该商场充电桩的收费标准，则“峰时”充10度电的总费用为：（元）． 表1： 项目 某小区新能源汽车分时电价方案 时段划分 峰时 17:00-22:00 平时 8:00-17:00 谷时 22:00-次日8:00 电价（元/度） a b 0.34 表2： 某商场新能源充电桩收费公示牌 收费时段 峰时 16:00-22:00 平时 10:00-16:00 谷时 22:00-次日10:00 电价（元/度） 0.56 c 服务费（元/度） 0.5 0.4 0.3 请根据以上素材解决下列问题： (1)小明爸爸第一天在小区“峰时”充了6度电，“平时”充了9度电，花费了7.8元；第二天在小区“峰时”充了12度电，“平时”充了15度电，花费了14.1元，求a，b的值； (2)小明爸爸发现在某商场充电时，“平时”花18元充电的度数与在“谷时”花14元充电的度数一样，求“谷时”的电价c为多少元/度？ (3)小明爸爸在小区“平时”充了m度电，又在某商场“平时”充了n度电，一共支付了20元．若充电的度数m、n均为正整数，则满足条件的m，n有几种情况？ 【答案】(1)， (2)“谷时”的电价c为元/度； (3)种 【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组，据此求解即可； （2）根据题意列出分式方程，据此求解即可； （3）根据题意列出二元一次方程，据此求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得， ∴，； （2）解：商场平时每度总费用：， 商场谷时每度总费用：， 根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：“谷时”的电价c为元/度； （3）解：小区平时电费单价元/度，小区平时总支付：， 商场平时电价，服务费， 商场平时每度总费用元/度，商场平时总支付：， 总费用方程：， 整理得， ∵m、n均为正整数，， ∴， ∴，； ，； ，； ，； ∴满足条件的m，n有种情况． 8．请同学们根据以下表格中的素材，探索完成任务： 合理规划校园活动区域 素材一 学校科创社团举办活动，规划出一块长方形场地，划分为游戏区和表演区，如图所示，其中游戏区是边长为米的正方形．      素材二 据活动现场统计，第一轮活动期间共有100名学生参与活动，其中60名学生选择了游戏区．两区域的学生排队入场，入场时，游戏区比表演区每分钟多进4人，且两区域的所有学生从入场到入场完毕所花费的时间恰好相等．所有人进入区域后不再进出． 素材三 已知表演区的宽比游戏区的边长少1米．为了更好优化后续区域分配，需知道区域的人员密集程度． 角度一：平均单位面积人流量数值越大，人员越密集； 角度二：人均面积，数值越大，人均空间越充足． (1)求游戏区平均每分钟入场多少人？ (2)①游戏区的平均单位面积人流量：__________；游戏区人均面积：_________；（用含的代数式表示） ②请从平均单位面积人流量或人均面积中任选一个角度，比较两个区域的人员密集程度，并说明理由． (3)为保障安全，学校要求游戏区的人均面积不能低于5平方米，则游戏区的边长最少是_________米．（精确到整数） 【答案】(1)12人 (2)①；；②选择角度一：平均单位面积人流量． 表演区的总人数为（人）， 表演区的平均单位面积人流量为， ， ， ， ， ， 数值越大，人员越密集， 游戏区的人员更密集． 选择角度二：人均面积． 表演区的总人数为（人）， 表演区的人均面积为， ， ， ， ， 数值越大，人均空间越充足， 游戏区的人员更密集 (3)18 【分析】（1）先算出表演区参与人数，设游戏区每分钟入场人数为未知数，利用两区入场总时间相等建立分式方程，解方程后检验分母不为零，得到每分钟入场人数． （2）先根据正方形面积公式和题目给出的两个定义式写出游戏区对应代数式，再求出表演区相关分式，通过作差通分比较分式大小，结合判断差值正负，对照题干判定规则得出哪个区域人员更密集． （3）依据人均面积不低于5平方米列出不等式，化简后求出a的取值范围，估算根式数值并验证相邻整数平方，向上取整得到符合要求的最小整数边长． 【详解】（1）解：设游戏区平均每分钟入场人，则表演区平均每分钟入场人． 表演区人数为人，根据两区域入场时间相等列方程： 解得． 检验：时分母不为0，是原方程的解． （2）游戏区是边长为的正方形，面积为，接待总人数60人： ∴平均单位面积人流量， 人均面积， ②略 （3）求游戏区的最小边长 由题意得游戏区人均面积， 即，． ，， 因此精确到整数，边长最少为18米． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $