专题01三角形的概念及与三角形有关的线段知题通关讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年人教版八年级数学上册

专题01三角形的概念及与三角形有关的线段知题通关讲义 知识点01:三角形基本概念与分类（基础必背） 1.三角形定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 三要素：3 个顶点、3 条边、3 个内角 表示方法：顶点为A、B、C的三角形记作△ ABC 2.三角形两种分类 1.按边分类 2.按角分类 直角三角形记作Rt △ABC，直角两边为直角边，对边为斜边。 知识点02:三角形三边关系（超级重点） · 定理：三角形任意两边之和 大于 第三边。a+b>c,a+c>b,b+c>a · 推论：任意两边之差 小于 第三边。 |a-b|<c 高频易错点 1.必须同时满足两边和、两边差； 2.周长取值范围考题必考； 3.等腰三角形边长需分类讨论，并检验三边关系。 知识点03:三角形的重要线段定义整理 三角形的高线：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段； 三角形的中线：联结三角形一个顶点与对边中点的线段； 三角形的角平分线：三角形的一个内角的角平分线与对边相交于一点，顶点与交点之间的线段； “三线的交点”一个三角形有3条中线.3条角平分线.3条高 知识点04:三角形的稳定性 特性：三角形三边固定，形状、大小唯一确定，不易变形； 对比：四边形无稳定性，边长不变形状可改变； 生活应用：自行车车架、屋顶三角支架；伸缩门利用四边形不稳定性。 知识点05:三角形的重心 1. 定义 三角形的三条中线交于一点，这个交点叫做三角形的重心。 重心一定在三角形内部 重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2 倍（即重心分中线为2:1）。 在△ABC 中，∵ O 是△ABC 的重心，AD、BE、CF 是中线， ∴ AO=2OD，BO=2OE，CO=2OF（或 AO:OD=BO:OE=CO:OF=2:1）。 提醒：构成三角形要求三条线段首尾顺次相接，且三个端点不共线；共线的三条线段不能组成三角形。 提醒：等边三角形属于特殊等腰三角形；三角形按边分为等腰三角形、不等边三角形，不可将等边、等腰、不等边并列。 提醒：判断能否构成三角形，只需验证较短两边之和大于最长边；已知两边求第三边范围，需满足两边之差＜第三边＜两边之和，不能只写单侧不等式。 提醒：等腰三角形边长分情况计算后，必须代入三边关系检验，舍去不能构成三角形的解。 提醒：三角形的高、中线、角平分线都是线段，不是直线或射线。 提醒：锐角三角形三条高均在内部；直角三角形两条直角边本身是高；钝角三角形有两条高在三角形外部。 提醒：画钝角三角形外部的高，需要先延长对应边，再作垂线段，作图必须标注直角符号。 提醒：三角形中线平分三角形面积，但不平分周长。 提醒：三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性，两类性质的实际应用场景不可混淆。 提醒：数图中三角形，要按固定顺序枚举，避免重复计数、漏数。 题型 考察方向 难度 题型一 三角形的识别与有关概念 ★ 题型二 三角形的个数问题 ★★ 题型三 三角形的分类 ★ 题型四 等腰三角形的定义 ★ 题型五 构成三角形的条件 ★ 题型六 确定第三边的取值范围 ★★ 题型七 三角形三边关系的应用 ★★ 题型八 三角形的稳定性及应用 ★ 题型九 根据三角形中线求长度 ★★ 题型十 根据三角形中线求面积 ★★★ 题型十一 重心的概念 ★ 题型十二 三角形角平分线的定义 ★ 题型十三 画三角形的高 ★ 题型十四 与三角形的高有关的计算问题 ★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★压轴 题型一 三角形的识别与有关概念 1．观察下列图形，其中是三角形的是（ ） A． B． C．D． 2．，若，，则下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以为公共边的“共边三角形”有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．6对 题型二 三角形的个数问题 4．如图，以为边的三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，图中三角形的个数为（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 6．根据下图所示的形⑴、⑵、⑶三个图所表示的规律，依次下去第n个图中的三角形的个数是(    ) A．6(n-1) ； B．6n； C．6(n+1) ； D．12n； 题型三 三角形的分类 7．下列“将三角形按边的相等关系分类”正确的是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，垂足为D，是钝角，E是上一点，且是锐角，，垂足为F．图中有_____个直角三角形，有_____个钝角三角形． 9．如图，小亮所拿三角形被遮住了一部分，只露出一个锐角．则三角形的形状是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 题型四 等腰三角形的定义 10．在中，如果，那么是（   ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 11．如图，已知在中，，，，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可以画（  ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 12．如图，在的正方形网格中，点、都在格点处，若以线段为腰的等腰三角形另一顶点也在格点处，则点所处的位置个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型五 构成三角形的条件 13．以下列各组长度的线段为边长，其中能组成三角形的是（     ）． A． B． C． D． 14．给出四组线段：①、、；②三边之比为；③、、；④、、；其中能组成三角形的有_________． 15．下列各组线段，无法构成三角形的是（     ） A． B． C． D． 题型六 确定第三边的取值范围 16．已知三角形的三边长分别为2，7，x，则可能是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 17．一个三角形的三边长分别为5，9，m，则m的取值范围是_________． 18．在中，三边长分别为a，b，c，且都是整数，，，则满足条件的三角形的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 19．已知三角形的三边的长都是整数，且， 如果，则这样的三角形共有（     ） A．12个 B．14个 C．15个 D．21个 题型七 三角形三边关系的应用 20．一个三角形的两边长分别为和，则此三角形第三边长可能是（     ） A． B． C． D． 21．一个三角形的三边长分别为3，9，x，若x为偶数，则x的值为________．（写出一个即可） 22．若，，是的三边，化简：（     ） A．0 B． C． D． 23．如图，是边长为的正三角形内的一点，到三边的距离分别是，，，若以，，为边可以组成三角形，则应该满足的条件是（     ） A． B． C． D． 题型八 三角形的稳定性及应用 24．如图，工人师傅经常站在人字梯上安全地工作，这里面蕴含的数学道理是（     ） A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．三角形的稳定性 D．两点确定一条直线 25．如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这种做法的依据是（     ） A．两点之间线段最短 B．矩形的对称性 C．矩形的四个角都是直角 D．三角形的稳定性 26．（1）四边形不具有稳定性，要使四边形木架不变形，至少要再钉上__________根木条； （2）五边形不具有稳定性，要使五边形木架不变形，至少要再钉上__________根木条； （3）六边形不具有稳定性，要使六边形木架不变形，至少要再钉上__________根木条； （4）边形不具有稳定性，要使边形木架不变形，至少要再钉上__________根木条． 题型九 根据三角形中线求长度 27．如图，是的中线，的周长为，比长．则的周长为________． 28．如图，是的中线，是的中线，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 29．如图，在中，，，是的中线，且把的周长分为两部分，若两部分的差为，则的长度为__________． 30．如图，中，________，，，要使和的周长的差是，则横线上加的条件为（    ） A．是边上的中线 B．是的平分线 C．是边上的垂线 D．以上说法都不对 题型十 根据三角形中线求面积 31．如图，是的中线，若，则_____． 32．如图，在中，点为边的中点，点为边的中点，交于点，若图中阴影部分图形的面积为4，则四边形的面积为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 33．已知：如图所示，在中，点D，E，F分别为，，的中点，且，则阴影部分的面积为 __ ． 34．如图，在中，已知点D，E，F，G分别是线段的中点．若的面积为3，则的面积为（     ） A．42 B．36 C．28 D．30 题型十一 重心的概念 35．如图中的每个小方格都是边长为1的正方形，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的格点上，则表示三条中线的交点是_______．    36．如图，点是的重心，，则阴影部分的面积之和为__________． 37．如图，有一块质地均匀的的长方形硬纸片上，沿实线剪下一个三角形，在三角形硬纸片上选一点，在这个点处用细绳将其提起来，如果该三角形纸片处于平衡状态，那么这一点是(     ) A．点 B．点 C．点 D．点 题型十二 三角形角平分线的定义 38．如图，在中，，则的一条角平分线为（   ） A． B． C． D． 39．如图，是的边上的高，平分，若，，则______ 40．如图，中，，下列说法不正确的是（   ） A．是的中线 B．若，则 C．若，则互相重合 D． 题型十三 画三角形的高 41．下列各图中，正确画出的边边上的高的是（     ） A．B． C．D． 42．一个等腰三角形一腰上的高与另一腰上的高的夹角为50度，则底角的度数为______________． 43．如图，，以下说法不正确的是（） A．是的边上的高 B．是的边上的高 C．是的边上的高 D．是的边上的高 题型十四 与三角形的高有关的计算问题 44．一个直角三角形的三条边分别是6、8、10，则这个三角形最长边上的高是______． 45．如图，，是的高，，则（   ） A． B． C． D． 46．某村计划在一块周长为的三角形闲置土地上挖一口水井，使得水井到土地边沿的距离相等，已知这块土地的面积是200，那么这口水井到土地边沿的距离是_______米． 47．如图，在梯形中，，对角线与相交于点，若的面积是，的面积是，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 解答题 1．一个三角形的两边，． (1)当各边均为整数时，可以组成 个不同的三角形． (2)若此三角形是等腰三角形，求其周长． 2．如图，在中，画出的平分线、边上的中线及边上的高． 3．如图，的边上的高为，中线为，边上的高为，已知，，． (1)求的面积； (2)求的长． 4．如图，在中，是边上的高，． (1)若是的平分线，求的度数； (2)若是边上的中线，求的长． 5．【课本重现】 三角形三条中线的交点叫作这个三角形的重心．反之，连接三角形的任一顶点与重心，将该线段延长并与顶点的对边相交，所得交点即为这条对边的中点．如图①，取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细线绳从重心处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平平衡状态． 【解决问题】 (1)利用图①，求的值； (2)如图②，的重心为点，的面积为，点是的中点，连接交的延长线于点，求的面积； (3)如图③，在（2）的条件下，点为线段上一点，连接并延长交于点，若是的中点，求的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01三角形的概念及与三角形有关的线段知题通关讲义 知识点01:三角形基本概念与分类（基础必背） 1.三角形定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 三要素：3 个顶点、3 条边、3 个内角 表示方法：顶点为A、B、C的三角形记作△ ABC 2.三角形两种分类 1.按边分类 2.按角分类 直角三角形记作Rt △ABC，直角两边为直角边，对边为斜边。 知识点02:三角形三边关系（超级重点） · 定理：三角形任意两边之和 大于 第三边。a+b>c,a+c>b,b+c>a · 推论：任意两边之差 小于 第三边。 |a-b|<c 高频易错点 1.必须同时满足两边和、两边差； 2.周长取值范围考题必考； 3.等腰三角形边长需分类讨论，并检验三边关系。 知识点03:三角形的重要线段定义整理 三角形的高线：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段； 三角形的中线：联结三角形一个顶点与对边中点的线段； 三角形的角平分线：三角形的一个内角的角平分线与对边相交于一点，顶点与交点之间的线段； “三线的交点”一个三角形有3条中线.3条角平分线.3条高 知识点04:三角形的稳定性 特性：三角形三边固定，形状、大小唯一确定，不易变形； 对比：四边形无稳定性，边长不变形状可改变； 生活应用：自行车车架、屋顶三角支架；伸缩门利用四边形不稳定性。 知识点05:三角形的重心 1. 定义 三角形的三条中线交于一点，这个交点叫做三角形的重心。 重心一定在三角形内部 2. 重心定理（性质） 重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2 倍（即重心分中线为2:1）。 在△ABC 中，∵ O 是△ABC 的重心，AD、BE、CF 是中线， ∴ AO=2OD，BO=2OE，CO=2OF（或 AO:OD=BO:OE=CO:OF=2:1）。 核心总结表 1. 三角形定义判定疏漏 提醒：构成三角形要求三条线段首尾顺次相接，且三个端点不共线；共线的三条线段不能组成三角形。 2. 三角形按边分类认知错误 提醒：等边三角形属于特殊等腰三角形；三角形按边分为等腰三角形、不等边三角形，不可将等边、等腰、不等边并列。 3. 三角形三边关系运用不严谨 提醒：判断能否构成三角形，只需验证较短两边之和大于最长边；已知两边求第三边范围，需满足两边之差＜第三边＜两边之和，不能只写单侧不等式。 4. 等腰三角形边长分类讨论不检验 提醒：等腰三角形边长分情况计算后，必须代入三边关系检验，舍去不能构成三角形的解。 5. 三角形三线概念混淆 提醒：三角形的高、中线、角平分线都是线段，不是直线或射线。 6. 三角形高线位置认知片面 提醒：锐角三角形三条高均在内部；直角三角形两条直角边本身是高；钝角三角形有两条高在三角形外部。 7. 钝角三角形高线作图不规范 提醒：画钝角三角形外部的高，需要先延长对应边，再作垂线段，作图必须标注直角符号。 8. 三角形中线分割图形性质误解 提醒：三角形中线平分三角形面积，但不平分周长。 9. 图形稳定性应用混淆 提醒：三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性，两类性质的实际应用场景不可混淆。 10. 三角形图形计数出错 提醒：数图中三角形，要按固定顺序枚举，避免重复计数、漏数。 题型 考察方向 难度 题型一 三角形的识别与有关概念 ★ 题型二 三角形的个数问题 ★★ 题型三 三角形的分类 ★ 题型四 等腰三角形的定义 ★ 题型五 构成三角形的条件 ★ 题型六 确定第三边的取值范围 ★★ 题型七 三角形三边关系的应用 ★★ 题型八 三角形的稳定性及应用 ★ 题型九 根据三角形中线求长度 ★★ 题型十 根据三角形中线求面积 ★★★ 题型十一 重心的概念 ★ 题型十二 三角形角平分线的定义 ★ 题型十三 画三角形的高 ★ 题型十四 与三角形的高有关的计算问题 ★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★压轴 题型一 三角形的识别与有关概念 1．观察下列图形，其中是三角形的是（ ） A． B． C．D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形是三角形．据此即可解答． 【详解】 解：图形中是三角形的是 故选：B． 2．，若，，则下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的边角关系，实数的大小比较，熟练掌握大边对大角是解题的关键． 根据题意得到，即可得到，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， 故选：B． 3．如图，若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以为公共边的“共边三角形”有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．6对 【答案】B 【详解】解：以BC为公共边的“共边三角形”有：△BDC与△BEC、△BDC与△BAC、△BEC与△BAC三对． 故选：B． 题型二 三角形的个数问题 4．如图，以为边的三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的认识，根据观察图形，得出以为边的三角形有即可作答． 【详解】解：观察图形，以为边的三角形有 ∴以为边的三角形有3个， 故选：C 5．如图，图中三角形的个数为（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查三角形的个数． 找出图中所有的三角形，即可得三角形的个数． 【详解】解：图中的三角形有：，，，，， ∴图中共有个三角形， 故选：． 6．根据下图所示的形⑴、⑵、⑶三个图所表示的规律，依次下去第n个图中的三角形的个数是(    ) A．6(n-1) ； B．6n； C．6(n+1) ； D．12n； 【答案】C 【分析】从这三个图中找规律，可以先分别找出每个图形中三角形的个数，再分析三个数字之间的关系，从而得出第n个图形中三角形的个数． 【详解】图（1）中，三角形的个数是 , 图（2）中，三角形的个数是 , 图（3）中，三角形的个数是 , 第n个图形中三角形的个数是， 故选：C． 【点睛】本题考查了图形的变化规律，利用图形之间的练习，得出数字间的运算规律，从而解决问题，体现了从特殊到一般的数学思想． 题型三 三角形的分类 7．下列“将三角形按边的相等关系分类”正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形的分类，掌握按边的相等关系的分类方法是解题的关键． 将三角形按边的相等关系可以分为：不等边三角形和等腰三角形，其中等腰三角形中包括等边三角形，据此即可解答． 【详解】解：将三角形按边的相等关系可以分为：不等边三角形和等腰三角形，其中等腰三角形中包含等边三角形，即A选项符合题意． 故选：A． 8．如图，在中，，垂足为D，是钝角，E是上一点，且是锐角，，垂足为F．图中有_____个直角三角形，有_____个钝角三角形． 【答案】 5 2 【分析】本题考查了三角形及其分类．根据三角形按角分类的定义判断． 【详解】解：直角三角形：，，，，，共5个； 钝角三角形：，，共2个． 故答案为：5；2． 9．如图，小亮所拿三角形被遮住了一部分，只露出一个锐角．则三角形的形状是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 【答案】D 【分析】根据三角形按角分类的定义，仅凭一个锐角无法确定另外两个角的度数，从而无法确定三角形的具体形状，分情况讨论即可求解． 【详解】解：∵ 三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形 ， ∴确定三角形形状需看其最大内角是锐角、直角还是钝角， ∵图中只露出一个锐角，另外两个角未知 ， ∴另外两个角可能均为锐角，此时为锐角三角形 ；另外两个角中可能有一个为直角，此时为直角三角形 ；另外两个角中可能有一个为钝角，此时为钝角三角形， 综上所述，该三角形的形状以上三种都有可能． 题型四 等腰三角形的定义 10．在中，如果，那么是（   ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，根据等腰三角形的定义，有两边相等的三角形是等腰三角形，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，， ∴是等腰三角形， 故选：B． 11．如图，已知在中，，，，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可以画（  ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键． 根据题意画图即可． 【详解】解：如图，腰为3的等腰三角形有3种情况， 底为3的有一种情况， 故选：D． 12．如图，在的正方形网格中，点、都在格点处，若以线段为腰的等腰三角形另一顶点也在格点处，则点所处的位置个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想． 根据网格结构，分别以、为圆心，为半径作圆与网格线的交点即为点，即可得到点的个数． 【详解】解：如图，以为等腰其中的一条腰时，符合条件的点有6个． 故选：． 题型五 构成三角形的条件 13．以下列各组长度的线段为边长，其中能组成三角形的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，选取每组线段中较小的两条边求和，与最长边比较大小，可快速判断能否组成三角形． 【详解】解：A选项，，不能组成三角形，不符合题意． B选项， ，不能组成三角形，不符合题意． C选项，，不能组成三角形，不符合题意． D选项，，能组成三角形，符合题意． 14．给出四组线段：①、、；②三边之比为；③、、；④、、；其中能组成三角形的有_________． 【答案】①②④ 【分析】根据三角形三边关系，只需判断每组中较短两条线段的和是否大于最长线段，即可判断能否组成三角形． 【详解】解：①对于线段、、，且，较短两边的和为， ∵， ∴，满足三边关系，可以组成三角形， ②三边比为，设三边长分别为、、（），较短两边的和为， ∵， ∴，满足三边关系，可以组成三角形， ③对于线段、、，较短两边的和为， ∵， ∴不满足三边关系，不能组成三角形， ④对于线段、、，且，较短两边的和为， ∵， ∴，满足三边关系，可以组成三角形， 综上所述：能组成三角形的是①②④． 15．下列各组线段，无法构成三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】只需比较较小两条边的和与最长边的大小，即可判断能否构成三角形． 【详解】解：A、∵ ，∴ 可以构成三角形. B、∵ ，，∴ 可以构成三角形. C、∵ ，，∴ 可以构成三角形. D、∵ ，不满足三边关系，∴ 无法构成三角形． 题型六 确定第三边的取值范围 16．已知三角形的三边长分别为2，7，x，则可能是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】利用三角形三边关系确定的取值范围，再对照选项判断． 【详解】解：∵三角形三边长为，，， ∴，即， 选项中只有符合该范围． 17．一个三角形的三边长分别为5，9，m，则m的取值范围是_________． 【答案】 【分析】本题考查求三角形第三边的取值范围，根据三角形的三边关系即可得出结果． 【详解】解：由三角形的三边关系，得，即； 故答案为：． 18．在中，三边长分别为a，b，c，且都是整数，，，则满足条件的三角形的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，结合已知边长的大小关系和整数条件，枚举所有可能的边长即可得到结果． 【详解】解：∵，，且为整数， ∴，的可能取值为． ∵是最长边，因此只需满足即可构成三角形， 当时，得，结合，可得整数，共2种， 当时，得，结合，没有符合条件的整数， 当时，得，结合，没有符合条件的， 综上，满足条件的三角形共2个． 19．已知三角形的三边的长都是整数，且， 如果，则这样的三角形共有（     ） A．12个 B．14个 C．15个 D．21个 【答案】C 【分析】根据题目给出的边长关系，结合三角形三边关系，即两边之和大于第三边，对的所有可能取值分类计数，统计每个对应的符合条件的的个数，求和得到总三角形个数． 【详解】已知三边均为整数，满足，， ，且为正整数， 的可能取值为 由三角形三边关系得， 又， 因此得 , 对每个计算符合条件的整数的个数： 当时，，无符合条件的，共个； 当时，，仅符合，共个； 当时，，符合，共个； 当时，，符合，共个； 当时，，符合，共个； 当时，，符合，共个； 总个数为， 即这样的三角形共有个． 题型七 三角形三边关系的应用 20．一个三角形的两边长分别为和，则此三角形第三边长可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形三边关系求解即可． 【详解】解：设第三边长为， ∵三角形两边长分别为和， ∴，即， 各选项中只有符合取值范围． 21．一个三角形的三边长分别为3，9，x，若x为偶数，则x的值为________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据三角形三边关系确定的取值范围，再根据为偶数确定符合要求的的值． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为，，， ∴， ∴， ∵为偶数， ∴的值为或． 22．若，，是的三边，化简：（     ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角形三边关系确定绝对值内式子的符号，再去绝对值号化简，最后合并同类项即可． 【详解】解：∵是的三边， ∴，， ∴，， ∴， ， ∴原式 ． 23．如图，是边长为的正三角形内的一点，到三边的距离分别是，，，若以，，为边可以组成三角形，则应该满足的条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，求出正三角形的高，连接、、 ，根据，得出，，的关系即可，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系． 【详解】∵正三角形的边长为， ∴正三角形的高， 如图， 连接、、 ， 设，，， ∵， ∴ ， ∵为正三角形， ∴， ∴， ∵以，，为边可以组成三角形，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 题型八 三角形的稳定性及应用 24．如图，工人师傅经常站在人字梯上安全地工作，这里面蕴含的数学道理是（     ） A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．三角形的稳定性 D．两点确定一条直线 【答案】C 【详解】解：人字梯与地面组成一个三角形．这样做所蕴含的数学原理是三角形的稳定性． 25．如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这种做法的依据是（     ） A．两点之间线段最短 B．矩形的对称性 C．矩形的四个角都是直角 D．三角形的稳定性 【答案】D 【分析】根据加上窗钩，可以构成三角形的形状，故可用三角形的稳定性解释． 【详解】解：用窗钩可将其固定，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性． 26．（1）四边形不具有稳定性，要使四边形木架不变形，至少要再钉上__________根木条； （2）五边形不具有稳定性，要使五边形木架不变形，至少要再钉上__________根木条； （3）六边形不具有稳定性，要使六边形木架不变形，至少要再钉上__________根木条； （4）边形不具有稳定性，要使边形木架不变形，至少要再钉上__________根木条． 【答案】 【分析】本题考查三角形具有稳定性，解题的关键是找对角线的条数；根据三角形具有稳定性，把四边形、五边形、六边形分成三角形，然后根据从同一个顶点出发可以作出的对角线的条数解答． 【详解】解：(1)四边形不具有稳定性，要使四边形木架不变形，至少要再钉上根木条。 (2)五边形不具有稳定性，要使五边形木架不变形，至少要再钉上根木条。 (3)六边形不具有稳定性，要使六边形木架不变形，至少要再钉上根木条。 (4) 边形不具有稳定性，要使边形木架不变形，至少要再钉上根木条， 故答案为：， ，， 题型九 根据三角形中线求长度 27．如图，是的中线，的周长为，比长．则的周长为________． 【答案】21 【分析】先由三角形的中线得到，再得到和周长的差，进而由已知求解即可． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∴和周长的差， ∵的周长为，比长， ∴周长为：． 28．如图，是的中线，是的中线，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查中线的性质，解题的关键是熟练掌握中线的相关知识．根据是的中线，是的中线，得到，再根据，即可得到答案． 【详解】解：∵是的中线，是的中线， ∴， ∴． ∵， ∴ 故选：B． 29．如图，在中，，，是的中线，且把的周长分为两部分，若两部分的差为，则的长度为__________． 【答案】 【详解】解：∵是的中线， ∴ ， ∵把的周长分为两部分，两部分的差为，， ∴， ∴ ， 解得． 30．如图，中，________，，，要使和的周长的差是，则横线上加的条件为（    ） A．是边上的中线 B．是的平分线 C．是边上的垂线 D．以上说法都不对 【答案】A 【分析】先表示出和的周长，再根据其差为，可得，进而可得，从而求解． 【详解】解：的周长为，的周长为， ∵，，要使和的周长的差是， ∴， 即， ∴， ∴， ∴是边上的中线． 题型十 根据三角形中线求面积 31．如图，是的中线，若，则_____． 【答案】3 【分析】根据三角形的中线的性质即可求解． 【详解】解：∵是的中线，， ∴． 32．如图，在中，点为边的中点，点为边的中点，交于点，若图中阴影部分图形的面积为4，则四边形的面积为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据题意可知、为的中线，可得，即，得出，即可求出四边形的面积． 【详解】解：点为边的中点，点为边的中点， 、为的中线， ， ， 阴影部分图形（即）的面积为4， 四边形的面积为4． 33．已知：如图所示，在中，点D，E，F分别为，，的中点，且，则阴影部分的面积为 __ ． 【答案】1 【分析】根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”计算即可． 【详解】解：如图，连接， 是的中点， ， 是的中点， ，， ， 是的中点， ． 【点睛】本题考查三角形的面积，掌握“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”是解题的关键． 34．如图，在中，已知点D，E，F，G分别是线段的中点．若的面积为3，则的面积为（     ） A．42 B．36 C．28 D．30 【答案】A 【分析】连接，，根据三角形的中线将三角形的面积平分，可分别求得，，，可得的值，再根据点D是线段的中点，即可求得答案． 【详解】解：连接，， 点G是线段的中点， ，， 点F是线段的中点， ，， 点E是线段的中点， ，， ， 点D是线段的中点， ． 题型十一 重心的概念 35．如图中的每个小方格都是边长为1的正方形，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的格点上，则表示三条中线的交点是_______．    【答案】D 【分析】分别确定边与边的中点，然后连接中线，其交点D就是三条中线的交点． 【详解】如图，设的中点是点M，的中点为点N，则均是的中线，中线与中线的交点D即为三条中线的交点．    故答案为：D． 【点睛】本题考查了三角形三条中线的交点（即三角形的“重心”）的画法，解题的关键是熟知三角形的三条中线相交于一点． 36．如图，点是的重心，，则阴影部分的面积之和为__________． 【答案】8 【分析】根据三角形重心的定义可知是的中线，再利用三角形中线的性质即可求解． 【详解】解：∵点是的重心， ∴是的中线， ∴，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴，，， ∴阴影部分的面积之和． 37．如图，有一块质地均匀的的长方形硬纸片上，沿实线剪下一个三角形，在三角形硬纸片上选一点，在这个点处用细绳将其提起来，如果该三角形纸片处于平衡状态，那么这一点是(     ) A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】物体处于平衡状态被提起，说明提起的点是三角形的重心，即三条中线的交点，判断四个点中哪个点在中线上即可． 【详解】解：如图，由网格特点可得，点N是的中点，则是的中线， ∴的重心在上， ∴重心是点， 即在三角形硬纸片上选点C，在这个点处用细绳将其提起来，该三角形纸片处于平衡状态． 题型十二 三角形角平分线的定义 38．如图，在中，，则的一条角平分线为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的角平分线的定义，根据已知可得，即可得出角平分线为，即可求解． 【详解】解：因为 所以，即 所以的一条角平分线为 故选：B． 39．如图，是的边上的高，平分，若，，则______ 【答案】 【分析】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，直角三角形的两个锐角互余． 由三角形的内角和定理可得，由角平分线的定义可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，减去即可得的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵是的边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 40．如图，中，，下列说法不正确的是（   ） A．是的中线 B．若，则 C．若，则互相重合 D． 【答案】A 【分析】此题考查了三角形的角平分线、中线和高， 根据三角形的角平分线、中线和高的定义，逐项分析判断即可． 【详解】解：∵， ∴是的中线， ∴，不一定是的中线； 故A选项错误，D选项正确． ∵，， ∴点C到的距离为5， ∴． 故B正确； ∵，， ∴是的角平分线， 是的中线， ∵，是的中线， ∴是的角平分线；则互相重合， ∴互相重合， 即互相重合． 故C正确． 综上所述，只有A错误． 故选：A． 题型十三 画三角形的高 41．下列各图中，正确画出的边边上的高的是（     ） A．B． C．D． 【答案】D 【分析】根据高的定义，过三角形一个顶点向对边作垂线，垂线段即为三角形的高． 【详解】 解：根据题意，是符合题意的． 42．一个等腰三角形一腰上的高与另一腰上的高的夹角为50度，则底角的度数为______________． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的高，然后根据三角形的形状分情况讨论，画出图形即可解答． 【详解】解：当是等腰锐角三角形时，如图： 由题意可得，，，， ， ∴，， ， ， ，即底角度数为； 当是等腰钝角三角形时，由于三角形的高是线段，钝角三角形的高不相交，没有交点，不符合题意； 当是等腰直角三角形时，两腰上的高是对应直角边，夹角为，不合题意； 综上所述：底角的度数为； 故答案为：． 43．如图，，以下说法不正确的是（） A．是的边上的高 B．是的边上的高 C．是的边上的高 D．是的边上的高 【答案】B 【分析】根据三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴是的边上的高，故该选项说法正确，不符合题意； B、∵， ∴， ∴是的边上的高，不是边上的高，故该选项说法错误，符合题意； C、∵， ∴， ∴是的边上的高，故该选项说法正确，不符合题意； D、∵， ∴， ∴是的边上的高，故该选项说法正确，不符合题意． 题型十四 与三角形的高有关的计算问题 44．一个直角三角形的三条边分别是6、8、10，则这个三角形最长边上的高是______． 【答案】 【分析】直角三角形中最长边为斜边，两条较短边为直角边，先利用直角边求出三角形面积，再根据面积不变，求出最长边上的高． 【详解】解：由题意知，长度为和的边是直角边， ， 设最长边上的高为， ∴，解得． 45．如图，，是的高，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的高； 利用等面积法列式求解即可． 【详解】解：∵，且， ∴，即， ∴， 故选：C． 46．某村计划在一块周长为的三角形闲置土地上挖一口水井，使得水井到土地边沿的距离相等，已知这块土地的面积是200，那么这口水井到土地边沿的距离是_______米． 【答案】5 【详解】解：设这口水井到土地边沿的距离为，原三角形三边长分别为，，，由题意得， 原三角形面积为， ∵原三角形面积等于三个小三角形面积之和，每个小三角形的高都为， ∴， 整理得 ， 代入，得到 ， 解得， 即这口水井到土地边沿的距离是米． 47．如图，在梯形中，，对角线与相交于点，若的面积是，的面积是，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据等底等高的三角形面积相等，得出，从而得出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 解答题 1．一个三角形的两边，． (1)当各边均为整数时，可以组成 个不同的三角形． (2)若此三角形是等腰三角形，求其周长． 【答案】(1) (2)周长为或 【分析】（1）根据三角形的三边关系，得出第三边的取值范围，再结合整数得到第三边的可能取值，即可得解； （2）根据等腰三角形的定义以及三角形的三边关系分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：一个三角形的两边，， 第三边的取值范围为，即， 各边均为整数， 第三边的可能取值为2、3、4、5、6， 可以组成5个不同的三角形． （2）解：当等腰三角形的腰长为，底边为时，满足三角形的三边关系，可以组成三角形， 此时周长为； 当等腰三角形的腰长为，底边为时，满足三角形的三边关系，可以组成三角形， 此时周长为； 综上可知，等腰三角形的周长为或． 2．如图，在中，画出的平分线、边上的中线及边上的高． 【答案】如图，即为所求的平分线，即为所求边上的中线，即为所求边上的高． 【分析】根据角平分线的定义、中线的定义、三角形的高的定义作图即可． 【详解】略． 3．如图，的边上的高为，中线为，边上的高为，已知，，． (1)求的面积； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的面积公式求解即可； （2）根据三角形的中线平分三角形的面积可求出的面积，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：的边上的高为，，， ．     （2）解：是的中线， ，     的边上的高为， ， ∵， ． 4．如图，在中，是边上的高，． (1)若是的平分线，求的度数； (2)若是边上的中线，求的长． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、中线以高线，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）根据三角形内角和定理得，根据角平分线定义求出，再由三角形的内角和定理求得； （2）根据三角形面积公式求出，再由中线的性质求出． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∵是的平分线， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵是边上的高，， ∴，即， ∴， ∵是边上的中线， ∴． 5．【课本重现】 三角形三条中线的交点叫作这个三角形的重心．反之，连接三角形的任一顶点与重心，将该线段延长并与顶点的对边相交，所得交点即为这条对边的中点．如图①，取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细线绳从重心处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平平衡状态． 【解决问题】 (1)利用图①，求的值； (2)如图②，的重心为点，的面积为，点是的中点，连接交的延长线于点，求的面积； (3)如图③，在（2）的条件下，点为线段上一点，连接并延长交于点，若是的中点，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）设，，利用三角形中线的性质求得，根据等高的两个三角形面积的比等于底边的比得到，据此计算即可求解； （2）延长交于点，延长交于点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，如图，利用（1）的结论求得，设，求得，根据的面积为，求得，再证明的重心为点，再利用（1）的结论求解即可； （3）连接，，，，延长交于点，如图，设，，求得，，得到，根据，求得，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：设，， ∵分别为的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：延长交于点，延长交于点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，如图， ∵的重心为点，由（1）知，，， 设， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， 解得， ∴， ∵点是的中点，点是的中点， ∴的重心为点， ∴，， ∴； （3）解：连接，，，，延长交于点，如图， 设，， ∵是的中点， ∴，， ∴，， ∵点是的中点， ∴， 同理， ∵的重心为点， ∴， ∴， ∴， ∵的重心为点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $