18.5 分式方程 讲义 2026-2027学年人教版数学八年级上册

本讲义聚焦分式方程核心知识点，系统梳理从实际问题抽象分式方程概念，通过去分母转化为整式方程的解法，深入剖析增根产生原因及验根必要性，最终应用于工程、行程等实际问题。以预习填空、课内活动、分层训练为支架，衔接分式与整式方程知识脉络。 资料以情境引入（如轮船航行问题）培养数学眼光，通过“一化二解三检验”口诀和找错活动提升数学思维（推理意识、运算能力），结合工程问题建模强化数学语言（模型意识、应用意识）。课中辅助教师高效授课，课后学生可借分层训练与答案查漏补缺，夯实知识。

人教版数学八年级上册 · 第十八章 分式 · 18.5 分式方程(学生用书) 18.5 分式方程 学生用书 · 2026—2027学年 人教版数学八年级上册(2024版) 姓名: ____________ 班级: ____________ 学号: ____________ 第十八章 分式 · 2课时 · 配套《教师讲义》使用 一、学习目标 1. 我能从实际问题中抽象出分式方程, 说出分式方程的概念, 会判断一个方程是不是分式方程。 2. 我会用去分母的方法把分式方程化为整式方程, 能规范写出"去分母、解整式方程、检验、写根"的完整过程。 3. 我能说出增根产生的原因, 理解验根的必要性, 会把增根舍去并写出原分式方程无解。 4. 我能找出实际问题中的相等关系, 列出分式方程并求解, 会对结果做双重检验, 最后写出答案。 【学习重点】 分式方程的解法(去分母转化为整式方程)与分式方程的实际应用。 【学习难点】 增根产生的原因与验根的必要性; 从实际问题中提炼相等关系并列方程。 二、预习导航(先读课本 P164-P169, 再填空) 1. 分母中含________的方程叫做分式方程。判断时只看分母中是否含未知数, 与分子是否含字母________。 2. 解分式方程的基本思路是把分式方程化为________方程, 具体做法是________, 即方程两边同乘各分母的________。 3. 解分式方程的一般步骤: ①________; ②________; ③________。 4. 把整式方程的解代入最简公分母, 值不为 0 的是原方程的解; 值为 0 的是原方程的________, 必须________, 此时原分式方程________。 5. 去分母时两边乘的是含未知数的式子, 它的值可能为 0, 这时变形不是________变形, 未知数的取值 范围被________了, 于是产生增根。 6. 列分式方程解应用题的一般步骤是审、设、列、解、验、答; 其中检验要做________检验: 既检验 是不是分式方程的解, 又检验是否符合________。 7. 工程问题中常把总工作量记为________; 例3 解得 x = ________, 说明________队的施工速度快。 8. 例4 中 v, s 表示________(填"已知数"或"未知数"), 解方程 = 得 x = ________。 我的作答: 三、课内探究 第 1 课时 · 分式方程的概念及其解法(课本 P164-P166) 活动一 情境引入与概念形成(课本 P164) 图18.5-1 18.5 分式方程 · 情境引入 1. 课本 P164 问题: 一艘轮船在静水中的最大航速为 30 km/h, 它以最大航速沿江顺流航行 90 km 所用 时间, 与以最大航速逆流航行 60 km 所用时间相等, 江水的流速为多少? 设江水的流速为 v km/h, 顺流速度 = 静水速度 + 水流速度 = ________, 逆流速度 = 静水速度 - 水流速度 = ________, 由时间相等得方程 ____________________ … ① 2. 方程 ① 的分母中________(填"含"或"不含")未知数, 它不同于整式方程, 我们把它叫做________方程。 图18.5-2 分式方程的概念 3. 即时判断: 下列各式中, 哪些是分式方程? (1) 3x - 1 = 5; (2) = 7; (3) = 2; (4) = 1。 答: ________________。想一想, (3) 为什么不是: ______________________________________。 概念: 分母中含未知数的方程叫做分式方程。判断的两个特征: 一是方程, 二是分母中含未知数。 我的作答: 活动二 探究解法: 化分式方程为整式方程(课本 P164-P165) 图18.5-3 探究: 用去分母解分式方程 1. 以前解含分母的一元一次方程, 第一步是去分母, 依据是等式的性质 2。类比到这里: 方程 ① 中各分母 30 + v 与 30 - v 的最简公分母是________。 2. 方程两边同乘 (30+v)(30-v), 得 ________; 去括号、移项、合并同类项, 解得 v = ________。 3. 检验: 当 v = 6 时, 最简公分母 (30+v)(30-v) = 36×24 ≠ 0, 所以 v = 6 是________。 4. 由此归纳: 解分式方程的关键是________, 把分式方程化为________方程。 我的作答: 活动三 增根的产生与验根的必要性(课本 P165) 图18.5-4 增根的产生与验根的必要性 1. 课本 P165 探究: 解分式方程 = 。 方程两边乘________, 得 x + 5 = 10, 解得 x = ________。 2. 检验: 当 x = 5 时, (x-5)(x+5) = 0, 相应的分式________, 所以 x = 5 ________(填"是"或"不是") 原分式方程的解, 原分式方程________。 图18.5-5 对比两个方程: 为什么一个无解 3. 说出增根产生的原因: 去分母时方程两边乘的是含未知数的式子, 它的值可能为________, 使变形 不再是同解变形, 未知数的取值范围被扩大了。 4. 增根的定义: 去分母后所得整式方程的根, 若使________为 0, 这样的根叫做原分式方程的增根。 5. 验根的方法: 把整式方程的解代入________, 值________0 才是原方程的解, 值________0 就是增根。 图18.5-6 解分式方程的一般步骤 6. 解分式方程的一般步骤(简记"一化二解三检验"): ①________; ②________; ③________; ④ 写出原分式方程的根(若解是增根, 写原方程无解)。 我的作答: 活动四 例1、例2 与课堂练习(课本 P165-P166) 图18.5-7 例1(课本 P165) 解方程 1. 例1 解方程 = 。最简公分母是________; 去分母得________, 解得 x = ________; 检验后原分式方程的解为________。 图18.5-8 例2(课本 P166) 解方程 2. 例2 解方程 - 1 = 。最简公分母是________; 去分母得 x(x+2) - (x-1)(x+2) = 3, 化简得 x + 2 = 3, 解得 x = ________; 检验: 当 x = 1 时, 最简公分母为 0, 所以 x = 1 是________, 原分式方程________。 图18.5-9 第1课时课堂练习(课本 P166 练习) 3. 课堂练习(课本 P166 练习) 解下列方程: (1) = ; (2) = ; (3) = ; (4) = + 1; (5) = ; (6) - = 0。 提示: 第(5)小题的解是增根, 最后要写"原分式方程无解"。 我的作答: 活动五 找错活动(第1课时) 【找错活动】 下面三道解法各有一处错误, 请指出错在哪里并改正: 错例1 解 - 1 = 时, 只把含分母的项乘 2(x-1), 漏乘了常数项 1。 错因: ________; 正解: ________。 错例2 解 + 2 = 得 x = 2, 就直接写原方程的解为 x = 2。 错因: ________; 正解: ________。 错例3 由 - 1 = 去分母得 2x - 1 = 3。 错因: ________; 正解: ________。 我的作答: 第 2 课时 · 分式方程的应用(课本 P167-P169) 活动六 例3 工程问题(课本 P167) 图18.5-10 例3(课本 P167) 工程问题 1. 例3 两个工程队共同参与一项筑路工程, 甲队单独施工 1 个月完成总工程的 , 这时增加了乙队, 两队又共同工作了半个月, 总工程全部完成。哪个队的施工速度快? 记总工程量为________, 设乙队单独施工 1 个月能完成总工程的 。 甲队 1 个月完成 , 又半月完成________; 乙队半月完成________。 列方程: ____________________; 解得 x = ________。检验后答: ________队的施工速度快。 我的作答: 活动七 例4 行程问题(课本 P168) 图18.5-11 例4(课本 P168) 行程问题 1. 例4 某次列车平均提速 v km/h。在相同的时间内, 列车提速前行驶 s km, 提速后比提速前多行驶 50 km, 提速前列车的平均速度为多少? 设提速前列车的平均速度为 x km/h。提速前速度________, 路程 s, 时间________; 提速后速度________, 路程________, 时间________。由时间相等列方程 ____________________, 解得 x = ________。 想一想: 这里的 v, s 表示________, 所以整理方程时把它们按已知数对待。 我的作答: 活动八 归纳步骤与课堂练习(课本 P169) 图18.5-12 列分式方程解应用题的一般步骤 1. 列分式方程解应用题的一般步骤是审、设、列、解、验、答; 其中检验要双重: 既检验是不是分式方程 的解, 又检验是否符合实际意义。 图18.5-13 第2课时课堂练习(补充) 2. 课堂练习(补充): (1) 八年级学生去距学校 30 km 的纪念馆参观, 一部分学生乘大巴先出发, 过了 5 min, 其余学生乘中巴 出发, 结果他们同时到达。已知中巴的平均速度是大巴平均速度的 1.2 倍, 求大巴的平均速度。 (2) 甲每小时比乙多做 6 个零件, 甲做 90 个所用的时间与乙做 60 个所用的时间相等, 求甲、乙每小时 各做多少个零件。 我的作答: 活动九 易错辨析(找错活动) 图18.5-14 四个真实错例 请指出下面各题的错因并改正: 错例1 去分母时只乘含分母的项, 忘了常数项也要乘最简公分母。错因: ________。 错例2 解完方程就写答案, 没有把解代入最简公分母检验。错因: ________。 错例3 分子是多项式却忘记加括号, 去括号时符号出错。错因: ________。 错例4 把增根当成原方程的解, 写出 x = 增根。错因: ________。 我的作答: 四、分层训练(与《教师讲义》完全一致) A 组(基础达标, 必做) 1. 下列各式中, 哪些是分式方程? (1) 3x - 1 = 5; (2) = 7; (3) = 2; (4) = 1; (5) - 1 = 0。 2. 解下列方程: (1) = ; (2) = 。 3. 解下列方程: (1) = ; (2) = 。 4. 解下列方程: (1) = 3; (2) - 1 = 。 5. 解下列方程: (1) = 1 + ; (2) = 3。 6. 一项工作, 甲单独做 10 天完成, 乙单独做 x 天完成, 两人合作 6 天完成, 求 x 的值。 我的作答: B 组(能力提高, 选做) 7. 解下列方程: (1) + 3 = ; (2) - = 0。 8. 若关于 x 的分式方程 = 有增根, 求 m 的值。 9. 若关于 x 的分式方程 = 2 + 无解, 求 m 的值。 10. 解方程: - 1 = 。 11. 某人骑自行车比步行每小时快 9 km, 他骑自行车行 30 km 与步行 15 km 所用的时间相同, 求他步行的速度。 我的作答: C 组(拓展挑战, 挑战) 12. 若关于 x 的分式方程 = 3 + 的解为正数, 求 a 的取值范围。 13. 已知 + = 5 (x ≠ 0, y ≠ 0), 求 的值。 14. 一项工程, 甲队单独做 20 天完成, 乙队单独做 x 天完成。甲队先做 8 天, 再与乙队合作 4 天恰好完成 全部工程, 求 x 的值。 我的作答: 五、课堂小结(填空) 图18.5-15 课堂小结 · 18.5 分式方程 1. 分母中含________的方程叫做分式方程; 判断时只看分母中是否含未知数。 2. 解分式方程的一句话口诀是"一化二解三检验": "化"指________, "解"指________, "检验"指________。 3. 使最简公分母为 0 的根叫做原分式方程的________; 若原方程只有这样的根, 则原分式方程________。 4. 列分式方程解应用题的步骤是审、设、列、解、验、答; 检验要双重: 既检验是不是分式方程的解, 又检验是否符合________。 我的作答: 六、课后作业(课本《习题18.5》P169, 完整还原) 复习巩固 第 1 题 解下列方程: (1) = ; (2) = - 2; (3) = ; (4) - = 0; (5) = ; (6) + 1 = ; (7) = ; (8) - = 。 我的作答: 综合运用 第 2 题 解下列关于 x 的方程: (1) + a = 1 (a ≠ 1); (2) - = 0 (m ≠ 0, m ≠ 1)。 第 3 题 甲、乙两人分别从距目的地 6 km 和 10 km 的两地同时出发, 甲、乙的速度比是 3:4, 结果甲比乙提前 20 min 到达目的地。求甲、乙的速度。 第 4 题 A、B 两种机器都被用来搬运化工原料, A 型机器比 B 型机器每小时多搬运 30 kg, A 型机器搬运 900 kg 所用时间与 B 型机器搬运 600 kg 所用时间相等。 两种机器每小时分别搬运多少化工原料? 第 5 题 王芳 3 h 清点完一批图书的一半, 刘伟加入清点另一半图书的工作, 两人合作 1.2 h 清点完另一半图书。刘伟单独清点这批图书需要几小时? 第 6 题 一个圆柱形容器的容积为 V , 开始用一根小水管向容器内注水, 水面高度达到容器 高度一半后, 改用一根口径为小水管 2 倍的大水管注水, 向容器中注满水的全过程 共用时间 t min。求两根水管各自的注水速度。(提示: 先想清楚大水管的注水速度是小 水管注水速度的多少倍。) 我的作答: 拓广探索 第 7 题 改良玉米品种后, 迎春村玉米平均每公顷增加产量 a t, 原来产 m t 玉米的一块土地, 现在的总产量增加了 20 t。原来和现在平均每公顷玉米的产量各是多少? 第 8 题 两个小组同时开始攀登一座 450 m 高的山, 第一组的平均登高速度是第二组的 1.2 倍, 他们比第二组早 15 min 到达顶峰。两个小组的平均登高速度各是多少? 如果山高为 h m, 第一组的平均登高速度是第二组的 a 倍, 并比第二组早 t min 到达顶峰, 则两组的平均 登高速度各是多少? 图18.5-16 《习题18.5》第1题与综合运用解答 我的作答: 【完成要求】 ① 每题按"去分母、解整式方程、检验、写根"四步书写, 缺一步扣分; ② 检验要写明把解代入最简公分母, 并写清是否等于 0; ③ 第 3 至 8 题先写"设", 再列方程, 解完加验, 最后写"答"并带单位; ④ 答案若为增根, 必须写"原分式方程无解"。 七、参考答案 【填空类】预习导航 题号 参考答案 1 未知数; 无关 2 整式; 去分母; 最简公分母 3 去分母(两边同乘最简公分母); 解整式方程; 检验 4 增根; 舍去; 无解 5 同解; 扩大 6 双重; 实际意义 7 1; 1; 乙 8 已知数; 【填空类】课内探究 题号 参考答案 活动一 1 30 + v; 30 - v; = 活动一 2 含; 分式 活动一 3 (2)(4); 因为 (3) 的分母 3 中不含未知数, 它是整式方程 活动二 1 (30+v)(30-v) 活动二 2 90(30-v) = 60(30+v); 6 活动二 3 原分式方程的解 活动二 4 去分母; 整式 活动三 1 (x-5)(x+5); 5 活动三 2 无意义; 不是; 无解 活动三 3 0 活动三 4 最简公分母 活动三 5 最简公分母; 不为; 为 活动三 6 去分母(两边同乘最简公分母)化为整式方程; 解这个整式方程; 把解代入最简公分母检验 活动四 2 (x-1)(x+2); 1; 增根; 无解 活动五 找错 错例1: 去分母时漏乘不含分母的项, 正解 2x - 2(x-1) = 3, 解得 x = ; 错例2: 忘记验根, 正解 x = 2 使 x - 2 = 0, 是增根, 原分式方程无解; 错例3: 去分母时符号出错, 常数项 -1 也要乘 2(x-1), 正解 2x - 2(x-1) = 3 活动六 1 1; ; ; + + = 1; 1; 乙 活动七 1 x; ; x + v; s + 50; ; = ; ; 已知数 活动九 找错 错例1: 漏乘不含分母的项; 错例2: 忘记验根; 错例3: 分子是多项式未加括号致符号出错; 错例4: 把增根当成原方程的解, 应写原分式方程无解 【练习类】课内探究(活动四 · 活动八) 题号 参考答案 活动四 1 x(x-3); 2x = 3(x-3); 9; x = 9 活动四 3(1) 两边乘 x(x-2): 5(x-2) = 7x, 得 x = -5 活动四 3(2) 两边乘 (x+3)(x-1): 2(x-1) = x+3, 得 x = 5 活动四 3(3) 两边乘 2x(x+3): x+3 = 4x, 得 x = 1 活动四 3(4) 两边乘 3(x+1): 3x = 2x + 3(x+1), 得 x = - 活动四 3(5) 两边乘 (x-1)(x+1): 2(x+1) = 4, 得 x = 1, 公分母为 0, 是增根, 原分式方程无解 活动四 3(6) 两边乘 x(x+1)(x-1): 5(x-1) - (x+1) = 0, 得 x = 活动八 2(1) 设大巴的平均速度为 x km/h, 由 = + , 得 x = 60, 经检验符合题意, 大巴平均速度 60 km/h 活动八 2(2) 设乙每小时做 x 个, 则甲每小时做 (x+6) 个, 由 = 得 x = 12, 故甲每小时做 18 个, 乙每小时做 12 个 【填空类】课堂小结 题号 参考答案 1 未知数 2 去分母化为整式方程; 解整式方程; 把解代入最简公分母检验 3 增根; 无解 4 实际意义 【练习类】分层训练 A / B / C 题号 参考答案 A1 (2) 与 (4) 是分式方程; (1)(3)(5) 的分母中不含未知数, 是整式方程 A2 (1) 两边乘 x(x+2): 3(x+2) = 2x, 得 x = -6; (2) 两边乘 x(x-2): 5x = 3(x-2), 得 x = -3 A3 (1) 两边乘 (x+3)(x-1): 4(x-1) = 2(x+3), 得 x = 5; (2) 两边乘 (x+2)(x-2): 5(x-2) = 2(x+2), 得 x = A4 (1) 两边乘 x: x + 2 = 3x, 得 x = 1; (2) 两边乘 (x-1): 2 - (x-1) = 5, 得 x = -2 A5 (1) 两边乘 (x-3): 3 = (x-3) + x, 得 x = 3, 公分母为 0, 是增根, 原方程无解; (2) 两边乘 (x-1): x + 1 = 3(x-1), 得 x = 2 A6 两边乘 10x: 6x + 60 = 10x, 得 x = 15, 经检验符合题意, 故 x = 15 B7 (1) 两边乘 (x-2): 1 + 3(x-2) = x - 1, 得 x = 2, 公分母为 0, 原方程无解; (2) 两边乘 (x+1)(x-1): 2(x-1) - (x+1) = 0, 得 x = 3 B8 两边乘 (x-2): x + 1 = m; 增根为 x = 2, 代入得 m = 3 B9 两边乘 (x-3): x = 2(x-3) + m, 得 x = 6 - m; 无解即解是增根, 令 6 - m = 3, 得 m = 3 B10 两边乘 (x+2)(x-2): - (x+2)(x-2) = 3, 得 -4x + 8 = 3, 所以 x = B11 设步行的速度为 x km/h, 则骑自行车为 (x+9) km/h; 由 = 得 x = 9, 经检验符合题意, 步行速度为 9 km/h C12 两边乘 (x-4): x = 3(x-4) + a, 得 x = ; 由解为正数且 x ≠ 4, 得 > 0 且 ≠ 4, 所以 a < 12 且 a ≠ 4 C13 由 + = 5 得 = 5, 即 x + y = 5xy; 原式 = = = = 1 C14 由 + + = 1, 即 + = 1, 得 = , 所以 x = 10 【练习类】课后作业(课本《习题18.5》) 题号 参考答案 1(1) 两边乘 x(x+3): x + 3 = 5x, 得 x = 1(2) 两边乘 2(x-1): 2x = 3 - 4(x-1), 得 x = 1(3) 两边乘 (2x+1)(2x-1): 2(2x+1) = 4, 得 x = , 公分母为 0, 是增根, 原方程无解 1(4) 两边乘 x(x+2)(x-2): 3(x-2) - (x+2) = 0, 得 x = 4 1(5) 两边乘 (x-1)(x-3): x(x-1) = (x+1)(x-3), 得 x = -3 1(6) 两边乘 (x-2): x - 3 + x - 2 = -3, 得 x = 1 1(7) 两边乘 6x(x+1): 6(2x+1) = 5x, 得 x = - 1(8) 两边乘 2(3x-1): 3(3x-1) - 2 = 5, 得 x = 2(1) 两边乘 x-1: 1 + a(x-1) = x - 1, 得 (a-1)x = a - 2; 因为 a ≠ 1, 所以 x = 2(2) 两边乘 x(x+1): m(x+1) - x = 0, 得 (m-1)x = -m; 因为 m ≠ 1, 所以 x = - 3 设甲、乙速度分别为 3x, 4x km/h, 由 + = 得 x = , 故甲 km/h, 乙 6 km/h 4 设 B 型每小时搬运 x kg, 由 = 得 x = 60, 故 A 型 90 kg, B 型 60 kg 5 设刘伟单独清点需 x h, 由 1.2 = 得 x = 4, 即需 4 h 6 大水管横截面积是小水管的 4 倍, 注水速度也是 4 倍; 设小水管速度为 x, 由 + = t 得 x = , 故小水管 /min, 大水管 /min 7 设原来平均每公顷产量为 x t, 由 = 得 x = , 故原来 t, 现在 t 8 设第二组速度为 x m/min, 由 - = 15 得 x = 5, 故第一组 6 m/min, 第二组 5 m/min; 推广: 设第二组 y m/min, 由 - = t 得 y = , 第一组为 m/min 【自查要点】 ① 去分母时最简公分母找准了吗? 每一项(含常数项)都乘了吗? ② 分子是多项式时, 去分母后有没有补上括号? ③ 检验写了吗? 代的是最简公分母吗? ④ 若解是增根, 答案写的是原分式方程无解吗? ⑤ 实际问题的解符合题意吗 (时间、人数、速度不能为负或 0)? 学科网（北京）股份有限公司 $人教版数学八年级上册 · 第十八章 分式 · 18.5 分式方程(教师讲义) 18.5 分式方程 教师讲义 · 2026—2027学年 人教版数学八年级上册(2024版) 第十八章 分式 · 2课时 · 本书配套《学生用书》使用 一 教学导航 【教材分析】 18.5 分式方程是人教版(2024)八年级上册第十八章"分式"的最后一节新授课(课本 P164-P169), 也是全章的收口与出口。前三节研究分式的概念、性质与运算, 本节转向方程, 把分式与方程两条线索合在一起, 并在第 2 课时用分式方程解决实际问题。 教材(P164)从章引言的实际问题出发: 一艘轮船在静水中的最大航速为 30 km/h, 它以最大航速沿江顺流航行 90 km 所用时间, 与以最大航速逆流航行 60 km 所用时间相等, 江水的流速为多少? 设江水的流速为 v km/h, 由顺流时间等于逆流时间, 得 = ①。观察 ①, 学生发现它的分母中含未知数 v, 与以前学的整式方程不同, 于是引出分式方程的概念: 分母中含未知数的方程叫做分式方程。 紧接着(P164)提出核心问题: 怎样解分式方程? 由解含分母的一元一次方程要先去掉分母的经验类比, 得到解分式方程的基本思路 —— 把分式方程化为整式方程, 具体做法是去分母, 即方程两边同乘最简公分母。解 ① 得 v = 6, 代回最简公分母 (30+v)(30-v) 不为 0, 所以 v = 6 是原方程的解。教材随后(P165)安排探究: 用同样的方法解 = , 去分母后得 x + 5 = 10, 解得 x = 5; 但 x = 5 使最简公分母为 0, 相应的分式无意义, 因此它不是原方程的解, 原分式方程无解。两个方程的对比, 让学生看到增根是怎么产生的: 去分母时两边乘的是一个含未知数的式子, 它的值可能等于 0, 这时变形不是同解变形, 未知数的取值范围被扩大了。由此归纳解分式方程的一般步骤(去分母、解整式方程、检验)与验根的方法。例1(P165)、例2(P166)分别示范有解与解是增根(原方程无解)两种情况, P166 练习紧跟巩固。 第 2 课时(P167-P169)把分式方程用于解决实际问题。例3 是工程问题: 两个工程队共同参与一项筑路工程, 甲队单独施工 1 个月完成总工程的 , 这时增加了乙队, 两队又共同工作了半个月, 总工程全部完成, 哪个队的施工速度快? 教材用记总工程量为 1 的办法, 设乙队单独施工 1 个月完成总工程的 , 得 + + = 1, 解得 x = 1, 从而判定乙队施工速度快。例4 是行程问题: 某次列车平均提速 v km/h, 在相同的时间内, 列车提速前行驶 s km, 提速后比提速前多行驶 50 km, 提速前列车的平均速度为多少? 这里 v, s 是用字母表示的已知数据, 体现了字母不仅表示未知数, 也可以表示已知数; 由 = 解得 x = 。最后归纳列分式方程解应用题的一般步骤: 审、设、列、解、验、答, 其中验要做双重检验 —— 既检验是不是分式方程的解, 又检验是否符合实际意义。 【学情分析】 学生已掌握分式的概念与基本性质、分式的乘除与加减运算, 会解一元一次方程, 具备用方程表示等量关系的初步经验, 也能进行代入检验。可能出现的困难有三: 一是去分母时漏乘不含分母的项(特别是常数项), 或者去分母时符号出错; 二是解完就交卷, 忘记验根, 忽略使分母为 0 的根; 三是把增根与无解混为一谈, 或者在实际问题中留下不符合题意的解(时间为负、人数不是整数等)。教学中应当让学生亲手经历漏乘、出错、对照、改正的完整过程, 让验根成为自觉动作。 【教学目标】 1. 经历从实际情境中抽象出分式方程的过程, 理解分式方程的概念, 能识别分式方程。2. 掌握用去分母的方法解可化为一元一次方程的分式方程, 理解验根的必要性, 能规范写出"去分母、解整式方程、检验"的完整过程。3. 能根据实际问题中的相等关系列出分式方程并求解, 会根据实际意义与分式方程的特点进行双重检验。 【教学重点】 分式方程的解法(去分母转化为整式方程)与分式方程的实际应用。 【教学难点】 增根产生的原因与验根的必要性; 从实际问题中提炼相等关系并列分式方程。 【课时安排】 本节共 2 课时。第 1 课时: 分式方程的概念及其解法(课本 P164-P166); 第 2 课时: 分式方程的应用(课本 P167-P169)。 图18.5-1 18.5 分式方程 · 情境引入 二 教学过程 第 1 课时 · 分式方程的概念及其解法(课本 P164-P166) 环节一 情境引入与概念形成(约 8 分钟) 【教师活动】 出示课本 P164 章引言问题: 一艘轮船在静水中的最大航速为 30 km/h, 它以最大航速沿江顺流航行 90 km 所用时间, 与以最大航速逆流航行 60 km 所用时间相等, 江水的流速为多少? 请学生独立读题, 再口述题中的相等关系。 【学生活动】 读题、圈画数据, 说出相等关系为顺流航行时间等于逆流航行时间, 并尝试把文字关系翻译成含未知数的等式。 【预设与对策】 部分学生列不出方程, 原因是没有分清顺流速度、逆流速度与静水速度、水流速度的关系。对策: 用表格梳理 —— 顺流速度 = 静水速度 + 水流速度 = 30 + v, 逆流速度 = 静水速度 - 水流速度 = 30 - v; 时间 = 路程 ÷ 速度。于是顺流用时 h, 逆流用时 h, 得方程 = 。 板书 设江水的流速为 v km/h; 顺流速度 30 + v, 逆流速度 30 - v; 方程 = ① 图18.5-2 分式方程的概念 【教师活动】 追问: 这个方程与以前学的方程有什么不同? 未知数在哪里? 引导学生发现分母中含未知数, 从而给出定义: 分母中含未知数的方程叫做分式方程。并强调判断分式方程的两个特征: 一是方程, 二是分式的分母中含未知数, 与分子是否含字母无关。 板书 分式方程: 分母中含未知数的方程。 例: = ; = 。 【即时判断】 下列各式中, 哪些是分式方程? (1) 3x - 1 = 5; (2) = 7; (3) = 2; (4) = 1。答案: (2)(4)。让学生说明(3)为什么不是 —— 分母 3 中不含未知数, 它是整式方程。 环节二 探究解法: 化分式方程为整式方程(约 12 分钟) 图18.5-3 探究: 用去分母解分式方程 【教师活动】 提问: 以前解含分母的一元一次方程时, 第一步做了什么? 依据是什么? 由此引导学生回忆去分母的依据是等式的性质 2 (等式两边乘同一个不为 0 的数或式子, 结果仍是等式), 并类比到分式方程: 要消去分母, 就要在方程两边同乘各分母的最简公分母。 【学生活动】 找出方程 ① 中各分母 30 + v 与 30 - v 的最简公分母是 (30+v)(30-v), 并动手在方程两边同乘它。 解: 方程两边乘 (30+v)(30-v), 得 90(30-v) = 60(30+v), 去括号, 得 2700 - 90v = 1800 + 60v, 移项、合并同类项, 得 900 = 150v, 解得 v = 6。 检验: 当 v = 6 时, (30+v)(30-v) = 36×24 ≠ 0, 所以 v = 6 是原分式方程的解。 【预设与对策】 学生容易在去分母时只乘含分母的项而漏乘不含分母的项, 或在约去分母时不加括号导致符号出错。对策: 要求学生去分母前先在最简公分母外写上括号, 并在每一步回看"每一项都乘了吗"。此处可先埋下伏笔, 待环节五的找错活动再集中纠正。 环节三 增根的产生与验根的必要性(约 12 分钟) 图18.5-4 增根的产生与验根的必要性 【教师活动】 出示课本 P165 探究: 运用上述去分母化为整式方程的方法解分式方程 = 。请学生独立完成后交流。 解: 方程两边乘 (x-5)(x+5), 得 x + 5 = 10, 解得 x = 5。 检验: 当 x = 5 时, (x-5)(x+5) = 0, 相应的分式无意义, 因此 x = 5 不是原分式方程的解, 原分式方程无解。 【追问】 x = 5 明明是整式方程的解, 为什么不是原分式方程的解? 让学生比较两个方程的求解过程, 自己说出原因: 两个方程在去分母时乘的都是含未知数的式子; 第一个方程乘的 (30+v)(30-v) 在 v = 6 时不为 0, 是有效的同解变形; 第二个方程乘的 (x-5)(x+5) 在 x = 5 时恰为 0, 这一步把未知数的取值范围扩大了, 多出来的解不满足原方程。 图18.5-5 对比两个方程: 为什么一个无解 板书 增根: 去分母后所得整式方程的根, 若使最简公分母为 0, 这样的根叫做原分式方程的增根。 产生原因: 去分母时两边乘的是含未知数的式子, 它的值可能为 0, 使变形不再是同解变形。 检验方法: 把整式方程的解代入最简公分母, 不为 0 才是原方程的解; 为 0 就是增根, 必须舍去。 图18.5-6 解分式方程的一般步骤 【归纳】 解分式方程的一般步骤简记为"一化二解三检验": ① 去分母, 方程两边同乘最简公分母, 把分式方程化为整式方程; ② 解这个整式方程; ③ 把整式方程的解代入最简公分母检验, 值不为 0 的是原方程的解, 值为 0 的是增根; ④ 写出原分式方程的根, 若解是增根, 则写原分式方程无解。 环节四 例1、例2 与课堂练习(约 12 分钟) 图18.5-7 例1(课本 P165) 解方程 【例1】(课本 P165) 解方程 = 。请一名学生板演, 其余学生独立完成, 教师巡视。讲评时重点突出两点: 最简公分母是 x(x-3); 检验要写出来。 解: 方程两边乘 x(x-3), 得 2x = 3(x-3), 即 2x = 3x - 9, 解得 x = 9。 检验: 当 x = 9 时, x(x-3) = 9×6 ≠ 0, 所以原分式方程的解为 x = 9。 图18.5-8 例2(课本 P166) 解方程 【例2】(课本 P166) 解方程 - 1 = 。先请学生说出最简公分母, 再独立求解, 最后对照课本过程。这道题与例1 形成对照: 去分母后整式方程的解恰好使最简公分母为 0, 是增根, 因此原方程无解。 解: 方程两边乘 (x-1)(x+2), 得 x(x+2) - (x-1)(x+2) = 3, 去括号、合并同类项得 x + 2 = 3, 解得 x = 1。 检验: 当 x = 1 时, (x-1)(x+2) = 0, 因此 x = 1 不是原分式方程的解, 所以原分式方程无解。 图18.5-9 第1课时课堂巩固(课本 P166 练习) 【课堂练习】(课本 P166 练习) 解下列方程: (1) = ; (2) = ; (3) = ; (4) = + 1; (5) = ; (6) - = 0。六道小题由学生独立完成后同桌互查, 第(5)小题的解是增根, 要提醒学生最后的写法。 环节五 找错活动与课时小结(约 6 分钟) 【找错活动】 下面三道解法各有一处错误, 请指出错在哪里并改正: 错例1 解 - 1 = 时, 只把含分母的项乘 2(x-1), 漏乘了常数项 1。 错因: 去分母时漏乘不含分母的项。正解: 2x - 2(x-1) = 3, 解得 x = 。 错例2 解 + 2 = 得 x = 2, 就直接写原方程的解为 x = 2。 错因: 忘记验根。正解: x = 2 使 x - 2 = 0, 是增根, 原分式方程无解。 错例3 由 - 1 = 去分母得 2x - 1 = 3。 错因: 去分母时符号出错, 常数项 -1 也要乘 2(x-1)。正解: 2x - 2(x-1) = 3。 【小结】 第 1 课时我们学习了分式方程的概念与解法: 分母中含未知数的方程是分式方程; 解法的关键是去分母, 把分式方程化为整式方程; 得到整式方程的解后必须检验, 把解代入最简公分母, 不为 0 才是原方程的解。课后完成《习题18.5》第 1、2 题。 第 2 课时 · 分式方程的应用(课本 P167-P169) 环节一 复习引入(约 5 分钟) 【复习提问】 解分式方程的基本思路是什么? 有哪些步骤? 为什么要验根? 请学生用一两句话回答, 教师板书复习链条: 分式方程 —— 去分母 —— 整式方程 —— 解整式方程 —— 检验 —— 得解。 【引入】 我们已经会解分式方程, 那么列方程解应用题的方法和步骤有哪些? 请学生回忆列一元一次方程解应用题的一般过程, 为学习列分式方程解应用题作准备。 环节二 例3 工程问题(约 12 分钟) 图18.5-10 例3(课本 P167) 工程问题 【例3】(课本 P167) 两个工程队共同参与一项筑路工程, 甲队单独施工 1 个月完成总工程的 , 这时增加了乙队, 两队又共同工作了半个月, 总工程全部完成。哪个队的施工速度快? 【学生活动】 先独立思考三个小问题: 要比较甲、乙两队的施工速度, 需要知道哪些量? 题中哪个相等关系可以用来列方程? 怎样列方程? 再小组交流。 【预设与对策】 学生对工作总量为什么要设为 1 不理解。对策: 说明工程问题中常把总工作量看作单位 1, 这样各队的工作效率就可以用完成总工程的几分之一来表示, 从而使各部分工作量之和等于 1 成为天然的相等关系。 解: 记总工程量为 1, 设乙队单独施工 1 个月能完成总工程的 。 甲队 1 个月完成 , 又半月完成 ; 乙队半月完成 。根据工程实际进度, 得 + + = 1。 方程两边乘 6x, 得 2x + x + 3 = 6x, 解得 x = 1。 检验: 当 x = 1 时, 6x ≠ 0, 所以原分式方程的解为 x = 1。 答: 乙队单独施工 1 个月就能完成全部任务, 而甲队 1 个月只完成总工程的 , 所以乙队的施工速度快。 环节三 例4 行程问题(约 12 分钟) 图18.5-11 例4(课本 P168) 行程问题 【例4】(课本 P168) 某次列车平均提速 v km/h。在相同的时间内, 列车提速前行驶 s km, 提速后比提速前多行驶 50 km, 提速前列车的平均速度为多少? 【教师活动】 引导学生把 v, s 当作已知数据, 设提速前列车的平均速度为 x km/h, 再梳理提速前后的速度、路程、时间: 提速前速度为 x, 路程为 s, 时间为 ; 提速后速度为 x + v, 路程为 s + 50, 时间为 。由时间相等列方程。 【预设与对策】 学生看到方程里既有 x 又有 s, v, 会不知所措。对策: 强调字母 v, s 表示已知数据, 方程 ① 是以 x 为未知数的分式方程; 整理时把它们按已知数对待。检验时因为 v, s 都是正数, 所以 x 与 x + v 都不为 0, 可直接说明。 解: 设提速前列车的平均速度为 x km/h。根据行驶时间相等, 得 = ① 方程两边乘 x(x+v), 得 s(x+v) = x(s+50), 即 sx + sv = sx + 50x, 所以 sv = 50x, 解得 x = 。 检验: 因为 v, s 都是正数, 所以 x(x+v) ≠ 0, 故 x = 是原分式方程的解。 答: 提速前列车的平均速度为 km/h。 环节四 归纳步骤与课堂练习(约 11 分钟) 图18.5-12 列分式方程解应用题的一般步骤 【归纳】 列分式方程解应用题的一般步骤是审、设、列、解、验、答: 审清题意找相等关系, 设出恰当的未知数, 列出分式方程, 求出方程的解, 检验(双重检验: 既检验是不是分式方程的解, 又检验是否符合实际意义), 最后写出答案并带单位。 图18.5-13 第2课时课堂巩固(补充) 【课堂练习(补充)】 1. 八年级学生去距学校 30 km 的纪念馆参观, 一部分学生乘大巴先出发, 过了 5 min, 其余学生乘中巴出发, 结果他们同时到达。已知中巴的平均速度是大巴平均速度的 1.2 倍, 求大巴的平均速度。2. 甲每小时比乙多做 6 个零件, 甲做 90 个所用的时间与乙做 60 个所用的时间相等, 求甲、乙每小时各做多少个零件。学生独立完成后交流, 教师重点讲评检验合题意这一步。 三 方法对比与易错辨析 1. 解分式方程与解一元一次方程的去分母对比 对比项 解一元一次方程(去分母) 解分式方程(去分母) 两边乘的式子 各分母的最小公倍数(不含未知数) 各分母的最简公分母(含未知数) 乘得是否可能为 0 不可能为 0, 一定是同解变形 可能为 0, 不一定是同解变形 解后的处理 直接写出解 必须检验: 代入最简公分母, 为 0 则舍去 可能的结果 一定有解(或恒等、矛盾) 可能有解, 也可能无解(解是增根) 2. 增根与无解的区别与联系 增根: 去分母后所得整式方程的根, 同时使最简公分母为 0 的根。增根一定满足整式方程, 但不满足原分式方程。 无解: 分式方程没有解。有两种情形 —— 一是整式方程本身无解(如化简后出现 0 与常数矛盾); 二是整式方程有解, 但解全是增根, 舍去后一个也不剩。 关系: 增根是无解的常见原因之一, 但无解不等于一定产生了增根; 反过来, 只要产生增根且没有别的解, 原方程就无解。 3. 易错点清单 图18.5-14 四个真实错例 ① 漏乘: 去分母时只乘含分母的项, 忘了常数项也要乘最简公分母。 ② 忘验根: 解完就写答案, 没有把解代入最简公分母检验。 ③ 符号错: 去分母时分子是多项式却没有加括号, 去括号时符号出错。 ④ 混概念: 把增根与无解当成同一件事, 或者把答案写成 x 等于增根。 ⑤ 不合题意: 实际问题中求出解后没有检验是否符合实际意义, 留下时间为负或人数不是整数的解。 四 分层巩固训练(原创题, 与《习题18.5》零重复) A 组(基础达标, 必做) 1. 下列各式中, 哪些是分式方程? (1) 3x - 1 = 5; (2) = 7; (3) = 2; (4) = 1; (5) - 1 = 0。 2. 解下列方程: (1) = ; (2) = 。 3. 解下列方程: (1) = ; (2) = 。 4. 解下列方程: (1) = 3; (2) - 1 = 。 5. 解下列方程: (1) = 1 + ; (2) = 3。 6. 一项工作, 甲单独做 10 天完成, 乙单独做 x 天完成, 两人合作 6 天完成, 求 x 的值。 B 组(能力提高, 选做) 7. 解下列方程: (1) + 3 = ; (2) - = 0。 8. 若关于 x 的分式方程 = 有增根, 求 m 的值。 9. 若关于 x 的分式方程 = 2 + 无解, 求 m 的值。 10. 解方程: - 1 = 。 11. 某人骑自行车比步行每小时快 9 km, 他骑自行车行 30 km 与步行 15 km 所用的时间相同, 求他步行的速度。 C 组(拓展挑战, 挑战) 12. 若关于 x 的分式方程 = 3 + 的解为正数, 求 a 的取值范围。 13. 已知 + = 5 (x ≠ 0, y ≠ 0), 求 的值。 14. 一项工程, 甲队单独做 20 天完成, 乙队单独做 x 天完成。甲队先做 8 天, 再与乙队合作 4 天恰好完成全部工程, 求 x 的值。 五 课堂小结 图18.5-15 课堂小结 · 18.5 分式方程 1. 概念: 分母中含未知数的方程叫做分式方程。判断时只看分母中是否含未知数。 2. 解法: 一化二解三检验 —— 去分母(两边同乘最简公分母)把分式方程化为整式方程, 解整式方程, 把解代入最简公分母检验; 不为 0 是原方程的解, 为 0 是增根(原方程无解)。 3. 应用: 审、设、列、解、验、答; 检验要双重 —— 既检验是不是分式方程的解, 又检验是否符合实际意义。 4. 三个必须: 去分母时每一项都要乘; 解完必须验根; 结果是增根时写原分式方程无解。 六 板书设计 第 1 课时板书(分三区) 【左区 · 概念】 分式方程: 分母中含未知数的方程。 例: = ; = 。 判断要点: 是方程 + 分母含未知数。 【中区 · 探究与增根】 ① 去分母: 90(30-v) = 60(30+v) → v = 6, 公分母 ≠ 0, 是解。 ② 去分母: x + 5 = 10 → x = 5, 公分母 = 0, 是增根 → 原方程无解。 增根定义与产生原因。 【右区 · 解法与例题】 步骤: 去分母 → 解整式方程 → 检验 → 写根。 例1 = → 2x = 3x - 9 → x = 9。 例2 - 1 = → x = 1 是增根 → 无解。 【副区 · 易错提示】 漏乘常数项 / 忘验根 / 去括号符号错 —— 三处红线, 每步回看。 第 2 课时板书(分两区) 【左区 · 步骤】 审 → 设 → 列 → 解 → 验(双重) → 答。 常用关系: 工作总量 = 工作效率 × 工作时间(总量设为 1); 路程 = 速度 × 时间(顺流 = 静水 + 水流, 逆流 = 静水 - 水流)。 【右区 · 例题】 例3 + + = 1 → 2x + x + 3 = 6x → x = 1(乙队快)。 例4 = → sx + sv = sx + 50x → x = 。 七 作业布置(真实还原课本《习题18.5》P169) 【必做】 课本 P169 习题18.5 第 1、3、4、5 题。 【选做】 第 2、7、8 题。 【探究】 第 6 题。 复习巩固 第 1 题 解下列方程: (1) = ; (2) = - 2; (3) = ; (4) - = 0; (5) = ; (6) + 1 = ; (7) = ; (8) - = 。 综合运用 第 2 题 解下列关于 x 的方程: (1) + a = 1 (a ≠ 1); (2) - = 0 (m ≠ 0, m ≠ 1)。 第 3 题 甲、乙两人分别从距目的地 6 km 和 10 km 的两地同时出发, 甲、乙的速度比是 3:4, 结果甲比乙提前 20 min 到达目的地。求甲、乙的速度。 第 4 题 A、B 两种机器都被用来搬运化工原料, A 型机器比 B 型机器每小时多搬运 30 kg, A 型机器搬运 900 kg 所用时间与 B 型机器搬运 600 kg 所用时间相等。 两种机器每小时分别搬运多少化工原料? 第 5 题 王芳 3 h 清点完一批图书的一半, 刘伟加入清点另一半图书的工作, 两人合作 1.2 h 清点完另一半图书。刘伟单独清点这批图书需要几小时? 第 6 题 一个圆柱形容器的容积为 V , 开始用一根小水管向容器内注水, 水面高度达到容器 高度一半后, 改用一根口径为小水管 2 倍的大水管注水, 向容器中注满水的全过程 共用时间 t min。求两根水管各自的注水速度。(提示: 先想清楚大水管的注水速度是小 水管注水速度的多少倍。) 拓广探索 第 7 题 改良玉米品种后, 迎春村玉米平均每公顷增加产量 a t, 原来产 m t 玉米的一块土地, 现在的总产量增加了 20 t。原来和现在平均每公顷玉米的产量各是多少? 第 8 题 两个小组同时开始攀登一座 450 m 高的山, 第一组的平均登高速度是第二组的 1.2 倍, 他们比第二组早 15 min 到达顶峰。两个小组的平均登高速度各是多少? 如果山高为 h m, 第一组的平均登高速度是第二组的 a 倍, 并比第二组早 t min 到达顶峰, 则两组的平均 登高速度各是多少? 图18.5-16 《习题18.5》第1题与综合运用解答 【完成要求】 ① 每题按去分母、解整式方程、检验、写根四步书写, 缺一步扣分; ② 检验要写明把解代入最简公分母, 并写清是否等于 0; ③ 第 3 至 8 题先写设, 再列方程, 解完加验, 最后写答并带单位; ④ 答案若为增根, 必须写原分式方程无解。 八 教学反思 本节的两个抓手是去分母与检验。去分母是技术, 检验是意识。第 1 课时的成功之处在于用 ① ② 两个分式方程的对比让学生自己发现增根是怎么来的 —— 把解代回最简公分母, 一个不为 0 一个为 0, 分水岭一目了然; 这比教师直接给出检验的方法更有说服力。不足之处是练习中仍有学生漏乘常数项, 说明去分母前的口头提醒还不够, 今后应当在板演时就写出最简公分母并把原方程每一项标上乘号, 让漏乘无处可藏。 第 2 课时的关键在找相等关系与双重检验。工程问题用记总工程量为 1 的办法把分数式的效率转成了各部分工作量之和等于 1, 学生掌握得较好; 例4 里出现字母表示的已知数据, 部分学生把它与未知数混淆, 今后要反复强调含字母系数的方程中谁是未知数、谁是已知数。实际问题的检验容易被忽视, 建议每次板演都把检验分成两行: 一行验分式方程, 一行验实际意义。 后续衔接方面, 本节把分式与方程联系起来, 解分式方程时去分母与化归的思想还会在后续学习中反复出现; 用分式方程解决实际问题的设、列、解、验、答的范式, 也会不断被复用。当前阶段要守住的是规范的书写格式与自觉的验根习惯。 九 参考答案 (一) 分层巩固训练 A 组 题号 参考答案 A1 (2) 与 (4) 是分式方程; (1)(3)(5) 的分母中不含未知数, 是整式方程 A2 (1) 两边乘 x(x+2): 3(x+2) = 2x, 得 x = -6; (2) 两边乘 x(x-2): 5x = 3(x-2), 得 x = -3 A3 (1) 两边乘 (x+3)(x-1): 4(x-1) = 2(x+3), 得 x = 5; (2) 两边乘 (x+2)(x-2): 5(x-2) = 2(x+2), 得 x = A4 (1) 两边乘 x: x + 2 = 3x, 得 x = 1; (2) 两边乘 (x-1): 2 - (x-1) = 5, 得 x = -2 A5 (1) 两边乘 (x-3): 3 = (x-3) + x, 得 x = 3, 公分母为 0, 是增根, 原方程无解; (2) 两边乘 (x-1): x + 1 = 3(x-1), 得 x = 2 A6 两边乘 10x: 6x + 60 = 10x, 得 x = 15, 经检验符合题意, 故 x = 15 (二) 分层巩固训练 B 组 题号 参考答案 B7 (1) 两边乘 (x-2): 1 + 3(x-2) = x - 1, 得 x = 2, 公分母为 0, 原方程无解; (2) 两边乘 (x+1)(x-1): 2(x-1) - (x+1) = 0, 得 x = 3 B8 两边乘 (x-2): x + 1 = m; 增根为 x = 2, 代入得 m = 3 B9 两边乘 (x-3): x = 2(x-3) + m, 得 x = 6 - m; 无解即解是增根, 令 6 - m = 3, 得 m = 3 B10 两边乘 (x+2)(x-2): - (x+2)(x-2) = 3, 得 -4x + 8 = 3, 所以 x = B11 设步行的速度为 x km/h, 则骑自行车为 (x+9) km/h; 由 = 得 x = 9, 经检验符合题意, 步行速度为 9 km/h (三) 分层巩固训练 C 组 题号 参考答案 C12 两边乘 (x-4): x = 3(x-4) + a, 得 x = ; 由解为正数且 x ≠ 4, 得 > 0 且 ≠ 4, 所以 a < 12 且 a ≠ 4 C13 由 + = 5 得 = 5, 即 x + y = 5xy; 原式 = = = = 1 C14 由 + + = 1, 即 + = 1, 得 = , 所以 x = 10 (四) 课后作业《习题18.5》参考答案 题号 参考答案 1(1) 两边乘 x(x+3): x + 3 = 5x, 得 x = 1(2) 两边乘 2(x-1): 2x = 3 - 4(x-1), 得 x = 1(3) 两边乘 (2x+1)(2x-1): 2(2x+1) = 4, 得 x = , 公分母为 0, 是增根, 原方程无解 1(4) 两边乘 x(x+2)(x-2): 3(x-2) - (x+2) = 0, 得 x = 4 1(5) 两边乘 (x-1)(x-3): x(x-1) = (x+1)(x-3), 得 x = -3 1(6) 两边乘 (x-2): x - 3 + x - 2 = -3, 得 x = 1 1(7) 两边乘 6x(x+1): 6(2x+1) = 5x, 得 x = - 1(8) 两边乘 2(3x-1): 3(3x-1) - 2 = 5, 得 x = 2(1) 两边乘 x-1: 1 + a(x-1) = x - 1, 得 (a-1)x = a - 2; 因为 a ≠ 1, 所以 x = 2(2) 两边乘 x(x+1): m(x+1) - x = 0, 得 (m-1)x = -m; 因为 m ≠ 1, 所以 x = - 3 设甲、乙速度分别为 3x, 4x km/h, 由 + = 得 x = , 故甲 km/h, 乙 6 km/h 4 设 B 型每小时搬运 x kg, 由 = 得 x = 60, 故 A 型 90 kg, B 型 60 kg 5 设刘伟单独清点需 x h, 由 1.2 = 得 x = 4, 即需 4 h 6 大水管横截面积是小水管的 4 倍, 注水速度也是 4 倍; 设小水管速度为 x, 由 + = t 得 x = , 故小水管 /min, 大水管 /min 7 设原来平均每公顷产量为 x t, 由 = 得 x = , 故原来 t, 现在 t 8 设第二组速度为 x m/min, 由 - = 15 得 x = 5, 故第一组 6 m/min, 第二组 5 m/min; 推广: 设第二组 y m/min, 由 - = t 得 y = , 第一组为 m/min 【自查要点】 ① 去分母时最简公分母找准了吗? 每一项(含常数项)都乘了吗? ② 分子是多项式时, 去分母后有没有补上括号? ③ 检验写了吗? 代的是最简公分母吗? ④ 若解是增根, 答案写的是原分式方程无解吗? ⑤ 实际问题的解符合题意吗 (时间、人数、速度不能为负或 0)? 学科网（北京）股份有限公司 $