4.2 对数课件-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

高一数学●2024苏教版必修一 第四章 指数与对数 本节理解对数的概念及其与指数的互化关系，掌握对数基本性质，会进行简单对数运算，感受指数与对数的内在联系，提升数学抽象与逻辑推理素养 4.2 对数 致读者 1.使用：本课件为高质量课件，内容较为全面丰富，资源比较大，包括70张PPT。 2.应用：本课件包含梳理知识的基础部分，例题讲解，对点练习，对接高考的难度模式，依次按照：基础，中档，拔高难度训练（著名的数学思维方法） 3.本课件包含思维导图，例题，最后的培优练习等方便老师一体化教学。 图解课标要点 3 理知识 新知课丨必备知识解读 知识点1 对数的概念 1 对数的概念 如果（,），（对数本身的限制条件是底数,且 ）那 么就称是以为底的对数，记作，其中，叫作对数的底数， 叫作真数. . . 4 2 对数与指数的关系 （对数式与指数式的互化是运用化归思想解决对数问题的桥 梁.） 由对数的定义可知，与两个等式所表示的是,, 这三个量之 间的同一个关系. 5 特别提醒 指数式，根式和对数式 是同一种数量 关系的三种不同表达形式.具体对应如下： 表达形式 对应的运算 底数 指数 幂 乘方，由,求 方根 根指数 被开方数 开方，由，求 底数 对数 真数 对数，由,求 由此可知，开方运算和对数运算都是乘方运算的逆运算. 6 3 对数的基本性质 （1）零和负数没有对数，即.（当，时,，即 ， 所以对数只有在 时才有意义） （2）1的对数为0，即 .（由 可得） （3）底数的对数等于1，即 .（由 可得） （4）对数恒等式：.（设,则 ①, 将代入①式，可得 ） . . . . . . . . 7 4 常用对数与自然对数 名称 定义 符号 常用对数 通常将以10为底的对数称为常用对数 简记为 自然对数 以 为底的对数称为自然对数， 是一个无理数 一般简记为 8 学思用·典例详解 【想一想丨问题质疑】 为什么规定， 呢？ 1.若，则当为某些值时，的值不存在,如 不存在. 2.若 ，则 （1）当时，的值不存在,如 不存在; （2）当时，可以是除零以外的任意实数，是不唯一的，即 有无数个值. 3.若 ，则 （1）当时，的值不存在,如 不存在； （2）当时，可以为任意实数，是不唯一的，即 有无数个值. 因此规定, . 9 例1-1 已知, ，则下列说法中正确的是( ) B A.若,则 B.若，则 C.若，则 D.若,则 【解析】对于A，当时，, 都没有意义，故不正确; 对于B，,则必有,, ，故正确; 对于C，当,互为相反数且不为0时，也有,但此时 ，故不 正确; 对于D，当时，, 都没有意义，故不正确. 10 例1-2 [教材改编P87例1]将下列指数式化成对数式： （1） ； 【解析】， . （2） . 【解析】， . 点评 并非任意式子都可以直接化为对数式，如 就不能直接写成 ，只有符合，且时，才有 . 11 知识点2 对数的运算性质 1 对数的运算性质 ；（积的对数等于对数的和.） ；（商的对数等于对数的差.） .（幂的对数变为“倍数”.） 其中,,,, . 证明：设,，由对数的概念可知,， .#2 12 对于性质①:,故 ,即 . 对于性质②:， ， 即 . 对于性质③:， ，即 . 性质②③的证明回答了教材第90页【思考】.#2.4 13 特别提醒 对数的运算性质的注意点 1.只有当式子中所有的对数式都有意义时，对数的运算性质才成立.如 是存在的，但与 均不存在，故不能写成 . 2.有时逆向运用对数的运算性质可以将几个对数式化为一个对数式,从而达到简 化运算的目的，如 . 3.， ， ， .#3.1.3 14 2 对数的运算性质与指数的运算性质的联系 式子 运算性质 15 3 对数的运算性质①的推广 可推广为 均大于 0，， . 16 学思用·典例详解 例2-3 已知，,, ，给出下列各式: ; ; ;;⑤ ; ;; . 其中式子恒成立的个数为( ) A A.3 B.4 C.5 D.6 17 【解析】对于①，取,,,则 ,而 ， 不恒成立; 对于②，取,, , 则, 不恒成立; 对于③，取,, , 则，而 , 不恒成立; 对于④，取，， ， 则， 不恒成立; 18 对于⑤，取，, ， 则 , 不恒成立; 对于⑥,由于 ，故⑥恒成立; 对于⑦,由于 ,故⑦恒成立; 对于⑧,由于 故⑧恒成立. 19 知识点3 换底公式 1 换底公式 ，其中,,,, .这个公式称为对数的换底公式. 特别提醒 （1）换底公式成立的条件是公式中的每一个对数式都有意义. （2）换底公式的意义在于改变对数式的底数，把不同底数的问题转化为同底数 的问题进行化简、计算或证明. （3）换底公式在实际应用中究竟换成以什么为底数，要由具体的已知条件来确 定，一般换成以10为底的常用对数. 20 2 几个常用的推论 （1）推论一: . （2）推论二： . （3）推论三： . 21 学思用·典例详解 例3-4 [多选题]下列等式成立的是( ) AB A. B. C. D. 【解析】由换底公式的定义知，A成立，C不成立． B中， ,B成立. D中,左边 ,D 不成立. 22 方法帮 解题课丨关键能力构建 题型1 指数式与对数式互化的应用 例5 求下解各式中的 . （1） ; 【解析】, ， . （2） . 【解析】,, , . 23 指数运算与对数运算互为逆运算，关系式“ ”常用于指数式与对 数式的互相转化. 特别地，有; . 24 题型2 对数运算性质的应用 例6 [教材改编P97 T6]计算下列各式： （1） ； 【解析】 原式 . 原式 . 25 （2） ； 【解析】原式 . （3） . 【解析】原式 . 26 对数式化简的常用方法和技巧 （1）对于同底数的对数式，化简的常用方法是： ①“收”，即逆用对数的运算性质,将同底对数的和（差）“收”成积（商）的对数，即 “收”为一个对数式; ②“拆”，即正用对数的运算性质,将对数式“拆”成真数的对数的和（差）. （2）对常用对数的化简要创设情境，要充分利用“ ”来解题. （3）对含有多重对数符号的对数，应从内向外逐层化简. （4）当真数是形如“ ”的式子时，常用方法是“先平方,后开方”或“取倒数”. 27 【学会了吗丨变式题】 1.[多选题]已知, 为正实数，则( ) CD A. B. C. D. 【解析】由对数的运算性质可知A,B错误. , .故C,D正确. 28 题型3 换底公式的应用 例7 [教材改编P91 T4](2026·上海市晋元高级中学期中)已知, ,则 可用, 表示为____. 【解析】 , ,（把指数式改写成对数式） 于是 （把所求对数式通过换底公 式换成同底数的对数式）. 29 ,,又, , .（将所给等式转化为以10为底的对数式） 故 （将所求对数式转化为以10为 底的对数式） .（运用对数的性质化简求值） , .（把对数式改写成指数式） 又,.（将所求对数式的真数用, 表示） 令，则 ,（将所求对数式转化为以18为底的指数式） 即,即 . , , 30 , . （利用指数幂的运算性质化简求值） 故 . 利用换底公式进行化简求值的原则和技巧 32 【学会了吗丨变式题】 2.化简并计算： . 【答案】原式 . 3.已知，，则用， 表示为( ) B A. B. C. D. 【解析】因为，所以，所以 .故选B. 33 题型4 对数方程的求解 例8 [教材改编P98 T11]解下列关于 的方程： （1） ; 【解析】 , ，即 , . 提示 去掉对数符号，将原方程转化为一元二次方程后，会扩大 的取值范围，因此要注意 对结果进行检验. 34 （2） ; 【解析】由得，即 ， 解得或 . 经检验知：当时，，,不满足真数大于0，舍去；当 时，,，符合题意.故 . （3） ； 【解析】原方程整理得 ， 即，或 ， 解得或 . . . 35 （4） . 【解析】可化为 ，（【关键点】 ） 则,,两边同时取常用对数得, ,解得 或 . . . 36 37 解对数方程的实质是转化，通过指数式与对数式的互化、换底公式、换元方法，将 对数方程转化为代数方程进行求解. 对数方程的题型与解法： 名称 题型 解法 基本型 将对数式转化为指数式,解出 将对数式化为指数式,解出 ，注意检验 且 同底数型 转化为求解必须检验,且 需代换型 换元，令,转化为关于的方程,得 , 再解方程,得到 ,注意检验 38 【学会了吗丨变式题】 4.解关于的方程： . 【答案】 , 解得 . 方程的解为 . 39 题型5 带有附加条件的求值问题 例9（1）(2026·天津市实验中学滨海育华学校质检)已知, ,则 ____. （2）已知,,则 的值为___. 12 2 40 （1） 给什么得什么 由得 , 由得 . 求什么想什么 求，想 . 差什么找什么 ， 因此 . 41 （2） 给什么得什么 由得 ， 由得 . 求什么想什么 求，想到, . 差什么找什么 . 42 例10 若,,都是不等于1的正数，且,,则 的值为___. 1 思路点拨 设,则,,,代入 并用对数运算法则可求得 的值；也可以用换底公式进行计算. 【解析】 ,,都是不等于1的正数，且 , 令,则且,,, , , . 43 ，，都是不等于1的正数，且, 令 ,则 且 ， ,, , . ,且 , ,故 . 44 名师点评 对于条件中的连等式，通常设它们等于一个参数，用含的式子表示,, ，然后和 题中的第二个条件结合，找到,,的关系，进而求出 . 求解带有附加条件的代数式求值问题时，要整体把握式子的结构特征，灵活运用指 数式与对数式的互化，对已知条件和所求式子进行化简和转化，最终化为同底数的 对数，再利用对数的运算性质求解. 45 【学会了吗丨变式题】 5.(浙江高考题)已知,,则 ( ) C A.25 B.5 C. D. 【解析】 46 题型6 指对数的实际应用 例11 新情境 安全驾驶(2026·贵州省华中师大一附中贵阳学校测试)酒驾是严重危害 交通安全的违法行为.为了保障交通安全,根据国家有关规定: 血液中酒精含量 达到的驾驶员即为酒后驾车， 及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员 喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了 .如果在停止喝酒以后， 他血液中酒精含量会以每小时 的速度减少，则他至少经过( )小时才能驾驶 机动车？（参考数据：, .结果取整数） C A.14 B.15 C.16 D.17 47 【解析】设至少经过 小时后才能驾驶机动车. 由题意知， , 即,即 , 故 取整数约为16. 故他至少经过16小时才能驾驶机动车. 48 例12 新情境 技术 中国的技术领先世界， 技术的数学原理之一便是著名的 香农公式： ．它表示：在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速 度取决于信道带宽、信道内信号的平均功率、信道内部的高斯噪声功率 的大 小，其中 叫作信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数里面的1可以忽略不计．按 照香农公式，若带宽增大到原来的1.1倍，信噪比从1 000提升到，则 大 约增加了（参考数据： ）( ) D A. B. C. D. 【解析】由题意得， ， 所以大约增加了 . 49 新考法 学科综合 例13 新考法 天文综合(2026·北京市育英中学月考)在天文学中，天体的明暗程度可 以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为 的星的亮度为.已知太阳的星等是，天狼星的星等是 ，则太阳 与天狼星的亮度的比值为( ) A A. B.10.1 C. D. 【解析】由题意可设太阳的星等为,太阳的亮度为,天狼星的星等为 ,天狼星的 亮度为,则由,得, , , . 50 例14 新考法 物理综合 朗伯比尔定律是分光光度法的基本定律，是描述物质对某一 波长光吸收的强弱与吸光物质的浓度及其液层厚度间的关系，其数学表达式为 ，其中为吸光度，为透光度，为摩尔吸光系数，为吸光物质 的浓度，单位为 ，为吸收层厚度，单位为．保持， 不变，当吸光物质 的浓度增加为原来的两倍时，透光度由原来的 变为( ) B A. B. C. D. 【解析】由，得，所以，若保持， 不变，当吸光 物质的浓度增加为原来的两倍时，则，所以 ，所以 ，所以透光度由原来的变为 ．故选B． 51 高考帮 考试课丨核心素养聚焦 考情揭秘 对数及其运算是研究对数函数的基础，高考主要考查指对互化及对数的实际应用， 考查题型为选择题，难度不大，重在对基础知识的考查. 核心素养：数学运算（指数式和对数式的互化求值、利用对数的运算性质求值）. 考向1 对数式的化简求值 例15 (天津高考题)化简 的值为( ) B A.1 B.2 C.4 D.6 【解析】原式 . 52 考向2 指数式与对数式的互化求值 例16 (2024·全国甲卷)已知且,则 ____. 【解析】根据题意有，即 ,设 ，则（转化为，因为，所以 ）,故 ，得舍去，所以，所以，所以 . . . 53 考向3 对数的实际应用问题 例17 (2025·北京)一定条件下，某人工智能大语言模型训练 个单位的数据量所需要 的时间（单位：），其中为常数．在此条件下，已知训练数据量 从 个单位增加到个单位时，训练时间增加；当训练数据量 从 个单位增加到 个单位时，训练时间增加( ) B A. B. C. D. 54 【解析】设当取个单位、个单位、 个单位时所需时间分 别为,, , 由题意， ， ， ， 因为，所以 ， 所以 ， 所以当训练数据量从个单位增加到 个单位时，训练时间增 加4小时. 55 高考新题型专练 1.［多选题］下列运算中，正确的是( ) AB A. B.若，则 C.若,,则 D.若，则 56 【解析】对于A， ，（利用对数的基本性质求 得 ）A正确； 对于B，因为，所以 ，B正确； 对于C，因为, ,则 ，C不正确； 对于D，当时，成立，但 无意义，D不正确.故选 . . . 57 2.［多选题］(2026·河北省石家庄市期中)已知，，且满足 ， ，则 的可能取值为( ) BD A. B.3 C. D.9 【解析】，，， . 设,则，即，或， 或 ，或，故选 . 58 练习帮 习题课丨学业质量测评 A 基础练丨知识测评 建议时间：25分钟 1.计算： ( ) C A.0 B.6 C. D. 【解析】 . 故选C. 59 2.若，则 ( ) B A. B. C. D. 【解析】,,,, . 3.(2026·山东省烟台市期中)已知，,, ，则下列等式一 定成立的是( ) B A. B. C. D. 【解析】由已知得, , ,, , 则 , . 60 4.设，则 的值是( ) D A. B.9 C.18 D.27 【解析】 （前一个对数的真数是后一个对数的底数,看到此类式 子时,考虑使用换底公式对对数进行变形,方便后续化简） ，则,即 .故选D. . . 61 5.(全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用 五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据 满足.已知某同学视力的五分记录法的数据为 ,则其视力的小数记录法 的数据约为 ( ) C A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6 【解析】 ,所以该同学 视力的小数记录法的数据约为0.8. 62 6.[多选题] (2026·贵州省铜仁市月考)下列指数式与对数式互化正确的是( ) ABD A.与 B.与 C.与 D.与 【解析】由对数与指数的关系易知正确. , ,故C不正确. 7.计算： ___. 1 【解析】原式 . 63 8.（1）计算: ； 【答案】原式 . （2）已知，,试用,表示 . 【答案】， . 又 ， . 则 . 64 B 综合练丨高考模拟 建议时间：25分钟 9.已知,，则 ( ) C A. B. C. D.100 【解析】,,,，代入 中得 ,,,则 .故选C. 65 10.[多选题] (2026·上海市闵行区六校联合教研调研)甲、乙两人解关于 的方程 ，甲写错了常数，得到根为，，乙写错了常数 ，得到根 为 ，64．则原方程正确的根是( ) BC A.2 B.4 C.8 D.9 【解析】原方程可变形为,因为甲写错了,得到根为, ,所 以.因为乙写错了,得到根为 ,64,所以 .所以原方程可化为 ,即 ,所以或,所以或 . 66 11.已知,为方程的两个根，则 ___. 【解析】根据换底公式，有 , 即 . 令,则,解得或 . 所以或,解得或 ,经验证,均满足题意.故 . 67 12.新定义 和谐数 (2026·江苏省宿迁市检测)设 ，若 是整数，则称数为“和谐数”，则在 内“和谐数”的个 数为___. 7 【解析】依题意，,则 … , 令,则,其中,又,于是 ,即 ,解得,所以满足条件的 共有7个. 68 13.已知，，,，求 的值. 【答案】， ， , , , , , , ,, , , . 69 C 培优练丨能力提升 14.新情境 高德纳箭头 (2026·浙江省杭州第二中学段考)高德纳箭头表示法是一种用 来表示很大的整数的方法，它的意义来自乘法是重复的加法，幂是重复的乘法．定 义： ， （从右往左计算）．已知可观测宇宙中普通物质的原子总数约为 ，则下列各数 中与最接近的是（参考数据： ）( ) C A. B. C. D. 【解析】 ， ，取对数得 ， 故，故最接近的是 ． 70 $