6.3 第2课时　对数函数图象与性质的综合应用课件 -2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

该高中数学课件聚焦对数函数图象与性质的综合应用，涵盖图象变换、反函数、值域单调性及实际应用等核心知识点，通过链接教材例题导入，从基础图象平移入手，搭建从对数函数基本性质到综合应用的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于采用“通性通法”结构化总结（如图象变换规律、求值域四步法）和“母题探究”变式训练，结合数学思维（逻辑推理、批判性思考）与数学语言（模型表达），例如用对数函数模型解决销售奖金问题。助力学生掌握解题方法、提升数学思维，教师可借助系统例题与分层训练优化教学流程。

第2课时　 对数函数图象与性质的综合应用 典型例题·精研析 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 与对数函数有关的图象变换 【例1】　（1）（链接教科书第155页例3）画出函数 y ＝log2（ x ＋ 1）与 y ＝log2（ x －1）的图象，并指出这两个函数的图象与函数 y ＝ log2 x 的图象的关系； 目录 数学·必修第一册（SJ） 解：由函数 y ＝log2 x 的图象向左平移1个单位长度得到函数 y ＝log2 （ x ＋1）的图象， 由函数 y ＝log2 x 的图象向右平移1个单位长度得到函数 y ＝log2（ x － 1）的图象， 图象如图所示. 目录 数学·必修第一册（SJ） （2）（链接教科书第156页例4）已知 f （ x ）＝log a ｜ x ｜（ a ＞0， a ≠1）满足 f （－5）＝1，试画出函数 f （ x ）的图象，并根据图 象写出函数 f （ x ）的单调区间. 解：因为 f （－5）＝1，所以log a 5＝1，即 a ＝5，所以 f （ x ）＝log5｜ x ｜. 由于函数 f （ x ）＝log5｜ x ｜满足对任意的 x ∈（－∞，0）∪（0，＋∞）都有 f （－x ）＝log5｜－ x ｜＝log5｜ x ｜＝ f （ x ），所以函数 f （ x ）＝log5｜ x ｜是偶函数，它的图象关于 y 轴对称. 目录 数学·必修第一册（SJ） 当 x ＞0时，log5｜ x ｜＝log5 x .因此，我们先画出函数 f （ x ）＝log5 x （ x ＞0）的图象 C1， 再作出 C1关于 y 轴对称的图象 C2. C1和 C2构成函数 f （ x ）＝log5｜ x ｜的图象，如图所示. 由图象可以知道，函数 f （ x ）＝log5｜ x ｜ 的减区间是（－∞，0），增区间是（0， ＋∞）. 目录 数学·必修第一册（SJ） 【母题探究】 （变设问）若本例（2）条件不变，试画出函数 h （ x ）＝｜log ax ｜的 图象，并根据图象写出函数 h （ x ）的单调区间. 解：因为 a ＝5，所以 h （ x ）＝｜log5 x ｜. h （ x ）的 图象如图所示. 由图象可以知道，函数 h （ x ）＝｜log5 x ｜的减区间 是（0，1），增区间是（1，＋∞）. 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 对数函数图象的变换方法 （1）有关对数函数图象的平移也符合“左加右减，上加下减”的 规律； （2）作 y ＝ f （｜ x ｜）的图象时，保留 y ＝ f （ x ）（ x ≥0）图象不 变，当 x ＜0时， y ＝ f （｜ x ｜）的图象与 y ＝ f （ x ）（ x ＞0） 的图象关于 y 轴对称； （3）作 y ＝｜ f （ x ）｜的图象时，保留 y ＝ f （ x ）的 x 轴及上方图象 不变，把 x 轴下方图象以 x 轴为对称轴翻折上去即可. 目录 数学·必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 1. 函数 f （ x ）＝log a ｜ x ｜＋1（ a ＞1）的图象大致为（　　） 解析： 　因为函数 f （ x ）＝log a ｜ x ｜＋1（ a ＞1）是偶函 数，所以 f （ x ）的图象关于 y 轴对称，当 x ＞0时， f （ x ）＝ log ax ＋1是增函数；当 x ＜0时， f （ x ）＝log a （－ x ）＋1是 减函数，又因为图象过（1，1），（－1，1）两点，结合选项 可知C正确.故选C. 目录 数学·必修第一册（SJ） 2. 画出函数 y ＝｜log2（ x ＋1）｜的图象，并写出函数的值域及单调 区间. 解：函数 y ＝｜log2（ x ＋1）｜的图象如图所示.由 图象知，其值域为[0，＋∞），减区间是（－1， 0]，增区间是[0，＋∞）. 目录 数学·必修第一册（SJ） 题型二 反函数 【例2】　若函数 f （ x ）与 g （ x ）的图象关于直线 y ＝ x 对称，函数 f （ x ）＝（ ）－ x ，则 f （2）＋ g （4）＝（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 解析： 　因为函数 f （ x ）与 g （ x ）的图象关于直线 y ＝ x 对称， f （ x ）＝（ ）－ x ＝2 x ，所以 g （ x ）＝log2 x ，所以 f （2）＋ g （4） ＝22＋log24＝6. 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 反函数的性质 （1）同底数的指数函数与对数函数互为反函数； （2）互为反函数的两个函数的定义域与值域互换； （3）互为反函数的两个函数的图象关于直线 y ＝ x 对称. 目录 数学·必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 若函数 y ＝ f （ x ）是函数 y ＝2 x 的反函数，则 f （ f （2））＝（　　） A. 16 B. 0 C. 1 D. 2 解析： 　函数 y ＝2 x 的反函数是 y ＝log2 x ，即 f （ x ）＝log2 x .所以 f （ f （2））＝ f （log22）＝ f （1）＝log21＝0.故选B. 目录 数学·必修第一册（SJ） 题型三 对数型函数的性质及应用 角度1　对数型函数的值域（最值） 【例3】　求下列函数的值域： （1） y ＝log3（2 x －1）， x ∈[1，2]； 解：∵1≤ x ≤2，∴1≤2 x －1≤3，∴0＝log31≤log3（2 x －1） ≤log33＝1. ∴函数 y ＝log3（2 x －1）， x ∈[1，2]的值域是[0，1]. 目录 数学·必修第一册（SJ） （2） f （ x ）＝log2 ·log2 （1≤ x ≤4）. 解：∵ f （ x ）＝log2 ·log2 ＝（log2 x －2）·（log2 x －1） ＝ － ， 又∵1≤ x ≤4，∴0≤log2 x ≤2， ∴当log2 x ＝ ，即 x ＝ ＝2 时， f （ x ）取最小值－ ； 当log2 x ＝0，即 x ＝1时， f （ x ）取得最大值2， ∴函数 f （ x ）的值域是 . 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 求对数型函数值域（最值）的方法 　　对于形如 y ＝log af （ x ）（ a ＞0，且 a ≠1）的复合函数，其值域 （最值）的求解步骤如下： （1）分解成 y ＝log au ， u ＝ f （ x ）两个函数； （2）求 f （ x ）的定义域； （3）求 u 的取值范围； （4）利用 y ＝log au 的单调性求解. 目录 数学·必修第一册（SJ） 角度2　对数型函数的单调性 【例4】　（链接教科书第157页练习3题）求函数 f （ x ）＝lo （ x2 －2 x －3）的单调区间. 解：设 t ＝ x2－2 x －3＞0，得 x ＞3或 x ＜－1， 由于 t ＝（ x －1）2－4在（3，＋∞）上单调递增，在（－∞，－1） 上单调递减， 又 y ＝lo t 在定义域内是减函数， 因而函数 f （ x ）＝lo （ x2－2 x －3）的单调递增区间为（－∞，－ 1），单调递减区间为（3，＋∞）. 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 1. 解决对数型复合函数的单调性问题的关键：一是看底数是大于1还 是大于0小于1，当底数未明确给出时，则应对底数进行分类讨论； 二是运用复合函数的单调性法则来判断其单调性；三是要注意其定 义域. 2. 对数型复合函数一般可分为两类：一类是对数函数为外函数，即 y ＝log af （ x ）（ a ＞0，且 a ≠1）型；另一类是对数函数为内函 数，即 y ＝ f （log ax ）（ a ＞0，且 a ≠1）型. 目录 数学·必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 1. 函数 f （ x ）＝ln（ x2－4 x ＋5）的减区间为（　　） A. （－∞，－1） B. （－∞，2） C. （2，＋∞） D. （5，＋∞） 解析： 　由题意 y ＝ln t 在定义域内是增函数，若要 f （ x ）＝ln （ x2－4 x ＋5）单调递减，只需 t ＝ x2－4 x ＋5＝（ x －2）2＋1＞0 关于 x 单调递减，所以函数 f （ x ）＝ln（ x2－4 x ＋5）的减区间为 （－∞，2）.故选B. 目录 数学·必修第一册（SJ） 2. 若函数 f （ x ）＝ ax ＋log a （ x ＋1）在[0，1]上的最大值和最小值 之和为 a ，则 a ＝（　　） C. 2 D. 4 解析： 　由题意得 f （ x ）在[0，1]上单调递增或单调递减，∴ f （ x ）的最大值或最小值在端点处取得，即 f （0）＋ f （1）＝ a ， 即1＋ a ＋log a 2＝ a ，∴log a 2＝－1，解得 a ＝ . 目录 数学·必修第一册（SJ） 题型四 对数函数模型的实际应用 【例5】　（链接教科书第164页复习题8题）某公司制定了一个激励 销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的 15%进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出 A 万元，则超出部 分按2log5（ A ＋1）进行奖励.记奖金为 y （单位：万元），销售利润 为 x （单位：万元）. 目录 数学·必修第一册（SJ） （1）写出奖金 y 关于销售利润 x 的解析式； 解：由题意知 y ＝ （2）如果业务员老江获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少 万元？ 解：由题意知1.5＋2log5（ x －9）＝5.5， 即log5（ x －9）＝2， 所以 x －9＝52，解得 x ＝34. 所以老江的销售利润是34万元. 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 对数函数应用题的解题思路 （1）依题意，找出或建立对数增长型数学模型； （2）依实际情况确定解析式中的参数； （3）依题设及对数函数知识解决数学问题； （4）得出结论. 目录 数学·必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 某种动物的数量 y （单位：只）与时间 x （单位：年）的函数关系式 为 y ＝ a log2（ x ＋1），若这种动物第1年有100只，则第7年它们的数 量为（　　） A. 300只 B. 400只 C. 500只 D. 600只 解析： 　由题意，知100＝ a log2（1＋1），得 a ＝100，则当 x ＝7 时， y ＝100log2（7＋1）＝100×3＝300.故选A. 目录 数学·必修第一册（SJ） 1. 函数 y ＝log a （ x －1）（0＜ a ＜1）的图象可能是（　　） 解析： 　函数 y ＝log a （ x －1）的图象是由 y ＝log ax 的图象向右 平移1个单位长度得到的，因为0＜ a ＜1，所以 y ＝log a （ x －1）在 （1，＋∞）上单调递减，故A图象符合.故选A. 目录 数学·必修第一册（SJ） 2. “每天进步一点点”可以用数学知识来诠释，假如你今天的数学水 平是1，以后每天比前一天增加千分之五，则经过 y 天之后，你的 数学水平 x 与 y 之间的函数关系式是（　　） A. y ＝log1.05 x B. y ＝log1.005 x C. y ＝log0.95 x D. y ＝log0.995 x 解析： 　由题意得 x ＝（1＋5‰） y ＝1.005 y ，化为对数函数得 y ＝log1.005 x . 目录 数学·必修第一册（SJ）   解析：因为 y ＝log5 x 与 y ＝2 x ＋1均为增函数，故函数 f （ x ）＝ log5（2 x ＋1）是其定义域上的增函数，所以函数 f （ x ）的单调增 区间是 . 　 目录 数学·必修第一册（SJ） 4. 若函数 y ＝ f （ x ）是函数 y ＝ ax （ a ＞0，且 a ≠1）的反函数，其 图象经过点（ ， ），则 a ＝ 　 　. 解析：由题意得 f （ x ）＝log ax （ a ＞0，且 a ≠1， x ＞0），因为 f （ x ）的图象过点（ ， ），所以log a ＝ ，所以 ＝ ， 所以 a2＝2，所以 a ＝ （负值舍去）. 　 目录 数学·必修第一册（SJ） 谢 谢 观 看！ $