4.1 指数课件-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

高一数学●2024苏教版必修一 第四章 指数与对数 本节理解 n 次根式与分数指数幂的含义，能完成根式与分数指数幂互化，掌握有理数指数幂运算性质，体会指数幂拓展过程，发展数学抽象与数学运算核心素养 4.1 指数 致读者 1.使用：本课件为高质量课件，内容较为全面丰富，资源比较大，包括65张PPT。 2.应用：本课件包含梳理知识的基础部分，例题讲解，对点练习，对接高考的难度模式，依次按照：基础，中档，拔高难度训练（著名的数学思维方法） 3.本课件包含思维导图，例题，最后的培优练习等方便老师一体化教学。 图解课标要点 3 理知识 新知课丨必备知识解读 知识点1 根式 1 次方根的概念与性质 概念 一般地，如果，那么称为的 次方根. 性质 （1）当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的 次方根是一个负 数.这时，的次方根只有一个，记为 . （2）当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数.这时，正数 的正的次方根用符号 表示，负的次方根用符号 表示,它们可以合 并写成 的形式. （3）负数没有偶次方根(原因是当为偶数时, 无实根). （4）0的次方根等于0，记为 . . . 4 2 根式的概念与性质 概念 式子 叫作根式，其中叫作根指数， 叫作被开方数. 性质 ,其中,为奇数时,，为偶数时, ； 辨析比较 与 的区别 是实数的次方根，是一个恒有意义的式子，不受 的奇偶限制，但这 个式子的值受的奇偶限制.其算法是对先乘方，再开方（都是 次）,结果不一定等 于 . 是实数的次方根的次幂，其中实数的取值由 的奇偶决定.其算法 是对先开方，再乘方（都是次），结果恒等于 . . . 5 学思用·典例详解 例1-1 ［多选题］下列说法正确的是( ) AD A.是16的4次方根 B.正数的 次方根有两个 C.的次方根就是 D. 【解析】因为，所以 是16的4次方根，故A正确；正数的奇次方根只有 一个，偶次方根才有两个，故B错误；的次方根未必是，若是偶数，则正数 的次方根有两个，即，故C错误；是非负数，故 , 故D正确. 6 【想一想丨问题质疑】 如何确定根式 的符号？ 根式的符号由根指数的奇偶及被开方数的符号共同确定：①当 为偶数时， ，为非负实数；②当为奇数时，的符号与的符号一致， 时， ；时，；时， . 7 知识点2 分数指数幂 1 指数幂中指数的扩充 幂指数 定义 整数指数 正整数指数 零指数 且 负整数指数 且, 有理数指 数 正数的正分数指数 正数的负分数指数 无理数指数 当且 是无理数时， 也是一个确定的实数 由上表知，指数幂中的指数从整数扩充到了有理数,进而扩充到了无理数.#1.1 8 特别提醒 （1）0的0次方没有意义；非零实数的0次方都等于1. （2）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. （3）把根式化成分数指数幂的形式时，不要轻易对进行约分.如 约 分后为,而 无意义. （4）在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂,如 有意义，但 就没有意义. （5）0的正无理数指数幂等于0，0的负无理数指数幂没有意义.#1.6 9 2 实数指数幂的运算性质 整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，区别只有指数的取值范围. 整数指数幂运算性 质 指数、底数取值范 围 实数指数幂运算性 质 指数、底数取值范 围 ,,且 ,,且 ,, ,且 , 说明 在本书中，若无特殊说明，底数中的字母均为正数. 10 学思用·典例详解 【想一想丨问题质疑】 有理数指数幂中为什么要规定 ？ 提示 指数概念扩充到有理数后，若，则 有时有意义，有时无意义.如 ,但就没有意义了，为了保证在取任何有理数时， 都有 意义，规定 . 11 例2-2 [教材改编P84例3]将下列根式写成分数指数幂的形式: （1） ; 【解析】 . （2） ; 【解析】 . （3） ; 【解析】 . （4） ; 【解析】.（【关键点】必须注意 中的幂指 数不能随意约分） . . 12 （5） ; 【解析】 . （6） . 【解析】 . 13 例2-3 [教材改编P85 T4]化简（式中各字母均为正数）： （1） ; 【解析】原式 . （2） ; 【解析】原式 . 14 （3） . 【解析】 （从里向外化） . （从外向里化） . 15 方法帮 解题课丨关键能力构建 题型1 化简与求值 1 根式的化简与运算 例4 化简下列各式： （1）,且 ; 【解析】当为奇数时（注意对奇偶性的讨论）， ; 当为偶数时， . . . . . 16 （2） ; 【解析】 . 当时， ; 当时， . （3） . 【解析】，， ． 当为偶数时，原式 . 当为奇数时，原式 . 原式 . . . . . . 17 名师点评 在根式的学习中，要特别注意根指数是偶数的情况，因为在 中，要求被开方数，否则无意义，所以根式 本身也 是非负的. 例5 求下列各式的值: （1） ;（【敲黑板】该形式的被开方数，一般都可以变形为 “完全平方式”） 【解析】 原式 . 令,两边平方得 .因为 ,所以 . （2） . 【解析】原式 . 19 本题根号下仍旧有根号，要想化简，需考虑将根号下的部分化归为完全平方式. 20 根式化简的思想和注意点 1.根式的化简思想是将根式有理化，利用根式的性质和乘法公式（完全平方公式、 立方和（差）公式等），将所求代数式进行恰当的变形，达到化繁为简的目的. 2. 化简根式时需注意： （1）在根式计算中，含有为正偶数的形式中要求，而中 可以是任 何实数. （2）对于形如的双重根式，当满足, , 时，有 . 21 2 分数指数幂与根式的互化 例6 (2026·江苏省淮安市淮阴区调研)下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确 的是( ) C A. B. C. D. 思路点拨 利用分数指数幂和根式的转化公式逐一进行判断即可. 【解析】对于A, ,故A错误; 对于B,当时，, ，故B错误; 对于C, ,故C正确; 对于D, ,故D错误. . . 22 名师点评 分数指数幂与根式互化时要注意： （1）分清分子、分母的位置,不能将写为 ； （2）熟记公式, . 23 例7 用分数指数幂可表示为_______. 【解析】 （由里向外化） 原式 . （由外向里化） 原式 . 24 【学会了吗丨变式题】 1.化简： ____.（用分数指数幂表示） 【解析】 . 25 3 指数幂的运算 例8 计算下列各式的值： （1） ; 【解析】原式（小数化成分数） . （2） . 【解析】原式 . . . 26 例9 化简下列各式： （1） ; 【解析】原式 .（【破题点】将系数与系数 相乘，同底数幂与同底数幂相乘，再利用指数幂的运算性质求解） （2） ; 【解析】原式 . 27 （3） . 【解析】原式-（巧用“1”代换,即, ,然后进行化 简） . . . . . 名师点评 计算结果一般用分数指数幂的形式表示，如果有特殊要求，需根据要求给 出结果，但结果不能出现既有根式又有分数指数幂的形式，也不能出现既有分母又 有负指数幂的形式. 29 化简求值的常用方法和技巧 （1）指数幂混合运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括 号里面的.在混合运算中，运用乘法公式进行化简，能起到化繁为简的作用，要注意 的是： ①要把指数幂作为一个整体（即一个字母或一个数）来看待； ②要注意幂指数间的倍数关系，如 ， ； ③注意运算过程中不能随意扩大或缩小底数的范围. 30 （2）对幂和根式化简结果的要求: ①结果不能同时含有根式和分数指数幂; ②结果为最简形式. （3）常用的变换方法： ①把小数化为分数，把根式化为分数指数幂； ②若指数是负数，则对调底数的分子和分母并将负指数化为正指数； ③把分数指数幂、负指数幂看成一个整体，借助整式中的乘法公式及因式分解进行变形. （4）常用指数幂的变换技巧:① ； ②, ； ③1的代换，如， 等. 31 （5）化简分式的方法和技巧: ①把分子、分母分解因式，可约分的先约分; ②利用分式的基本性质化繁分式为简分式，化异分母为同分母; ③逐个化简分式，各个击破; ④用换元法，简化分式. （6）常用的乘法公式. 完全平方公式：及 . 平方差公式： . 立方和公式： . 立方差公式： . 完全立方公式： , . 32 题型2 带有附加条件的求值问题 例10（1）若，则 ____. （2）若 ，则 的值是( ) D A.2 B.0 C. D.1 33 例11 [教材改编P99 T11]已知 ，求下列各式的值： （1） ； 【解析】将 两边平方（将已知式向待求式转变），得 ，故 . （2） ； 【解析】由（1）知，两边平方，得，故 . （3） . 【解析】 . . . 34 35 例12 已知,是方程的两个根，且,求 的值. 思路一 给什么得什么 由，为方程的两根得，, . 求什么想什么 求,想：能否用与 表示? 差什么找什么 用平方去掉根号 . 36 思路二 给什么得什么 由，为方程的两根得，, . 求什么想什么 求,想:平方差 . 差什么找什么 由，得 , . 37 【解析】,是方程 的两个根， ， . , . , . , , . 38 名师点评 求解条件求值问题应注意分析已知条件，从已知式子和待求式子的特征分 析，通过对已知式子或待求式子进行变形（如平方、因式分解等），寻找已知式子 和待求式子的关系. 39 解决条件求值问题的一般方法——整体代入法 对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母取值代入求值.但有时字母的取值 不知道或不易求出，这时可将所求代数式进行适当变形，构造出能用已知条件表示 的结构，从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值. 利用“整体代入法”求值常用的变形公式如下： ; ; ; . 40 【学会了吗丨变式题】 2.(2026·河南省开封市检测)若，则 ( ) C A.5 B.7 C. D. 【解析】因为，两边平方得，即 ，所以原式 .（对原式进行变形，将 视为整体，是解决本题的关键） 41 题型3 求解含幂的方程 例13 [教材改编P86 T9]解下列方程： （1） ; 【解析】, , （先将方程两边化成同底数的指数式） ,解得 . （利用指数相等解方程） 42 （2） . 【解析】方程可化为 . （将已知方程化成关于 的方程） 令,则,即 , （利用换元法注意 的取值范围） 解得,即，故 . （解关于的方程，进而求出 的值） 43 44 解决此类问题的关键是通过指数运算，进行等价代换. 指数方程常见的类型有： （1）；（2） . 类型（1）一般通过同底法求解,类型（2）一般利用换元法求解. 45 【学会了吗丨变式题】 3.若，则 的值是( ) D A.2 B.3 C.2或3 D.非上述答案 【解析】①当时，由非零实数的0次幂为1，得 解得 ； ②当时，则 符合题意. 综上，或 . 46 题型4 指数幂等式的证明 例14 已知,均为正数，且，求证： . 【解析】由，得，则 . 47 例15 已知,且 ,求证： . 给什么得什么 由引入参数，可令,, ， 已知 为定值. 求什么想什么 由,想：,, . 则 . 48 给什么得什么 由引入参数，可令,, ， 已知 为定值. 差什么找什么 要证,寻找与 的关系, 则 . 续表 对于指数幂等式的证明问题,常常是将指数幂化为同底的形式，利用同底数指数幂相 等时指数相等进行证明.解决此类问题的关键是通过指数运算进行等价代换，以及利 用参数找到已知条件与结论的联系. 50 新考法 学科综合 例16 新情境 哲学著作 (2026·四川省广安中学月考)我国古代著名哲学著作《庄 子·天下》中有这样一段话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：“一尺长 的棍棒，每天截一半，永远截不完．”第一天截去后剩下，第二天截去后剩下 （1）第五天截去后，剩下_ __; 【解析】第五天截去后，剩下 . （2）第 天截去后，剩下_ __. 【解析】第天截去后，剩下 . 51 思路点拨 每一次截取都是前一次剩余的，所以每次截取后剩下的分别是,, , ， ，如图4.1-1. 图4.1-1 52 练习帮 习题课丨学业质量测评 A 基础练丨知识测评 建议时间：25分钟 1.式子 的值为( ) A A. B. C. D.1 【解析】 . 53 2.下列各式正确的是( ) A A. B. C. D. 【解析】， ，故A正确； ，故B错误； ，故C错误； ，故D错误.故选A. 3.若，那么等式 成立的条件是( ) C A.， B.， C.， D.， 【解析】由题可知， 54 4.[多选题] 下列各式中正确的是( ) ABD A. B. C. D. 【解析】对于A, ，正确； 对于B，显然正确； 对于C, ，错误； 对于D， ，正确. 55 5.[多选题] (2026·广东省佛山市月考) 以下化简结果正确的是( ) ABD A. B. C. D. 【解析】根据分数指数幂的运算性质，可知A,B,D都正确，而C选项等式的右边应为 ，故C错误. 6.已知，，则 _ _. 【解析】因为，，所以 . 56 7.已知，，则 ______. 【解析】 . 8.计算下列各式. （1） ; 【答案】原式 . （2） . 【答案】原式 . 57 B 综合练丨高考模拟 建议时间：30分钟 9.(2026·安徽省马鞍山中加双语学校期中)已知正数，满足 ，则 的最小值为( ) D A.10 B.12 C.18 D.24 【解析】由题意，, , , 当且仅当即 时，等号成立.故选D. 58 10.已知，则 ( ) C A.120 B.210 C.336 D.504 【解析】因为 , 所以,所以 , 所以,所以,所以 , 所以 . 59 11.德国天文学家约翰尼斯·开普勒根据丹麦天文学家第谷·布拉赫等人的观测资料和 星表，通过本人的观测和分析后，于1619年在《宇宙和谐论》中提出了行星运动第 三定律——绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其椭圆轨道的长半轴长 与 公转周期有如下关系：，其中为太阳质量， 为引力常量．已知火星 的公转周期约为水星的8倍，则火星的椭圆轨道的长半轴长约为水星的( ) B A.2倍 B.4倍 C.6倍 D.8倍 60 【解析】设火星的公转周期为, 长半轴长为, 水星的公转周期为, 长半轴长为 , 则 , 且 ①， ②， 得 , 所以, 即 . 故选B． 61 13.对于正整数,,和非零实数,,, ,若 , ,求,, 的值. 【答案】 ，且, 为非零实数， . 同理,可得, , , 即 . 又,,, 为正整数， . ,,, . 63 C 培优练丨能力提升 14.(2026·山东省枣庄市第三中学测试)借助信息技术计算 的值，我们 发现当,2,3,10,100,, 时， 的底数越来越小，而指数越来越大， 随着越来越大，会无限趋近于常数 ．根据以上知识判断， 当越来越大时， 会趋近于____. 64 【解析】由题意知 ， 由越来越大时，会无限趋近于 , 可知越来越大时，会无限趋近于，则会无限趋近 ,故 会无限趋近于 . $