第4章 4.1 4.1.1 n次方根与分数指数幂-【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步课件PPT（人教A版）

2026-08-17

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摘要：

该高中数学课件聚焦指数函数与对数函数的基础内容，核心涵盖n次方根、根式定义与性质、分数指数幂及其运算性质。课堂导入通过毕达哥拉斯学派发现√2的历史情境及正方形对角线计算问题，衔接初中勾股定理，搭建从具体实例到抽象概念的学习支架。其亮点在于以数学抽象和数学运算素养为导向，通过情境引入培养数学眼光，课堂互动按n次方根概念、根式化简、根式与分数指数幂互化、综合运算分题型设计，结合对比辨析（如(√[n]{a})^n与√[n]{a^n}的取值范围）提升逻辑推理能力。学生能系统掌握知识并提升运算技能，教师可直接使用完整的预习、课堂、练习资源，提高教学效率。

内容正文：

4．1　指数 4．1．1　n次方根与分数指数幂第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数课前预习学案课堂互动学案 01 02 随堂步步夯实 03 课后素养提升 04 第四章　指数函数与对数函数必修第一册数学下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数课前预习学案下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数课堂互动学案下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数　下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数随堂步步夯实下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数课时作业下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数课程标准素养解读 1.通过对有理数指数幂 (a>0，且a≠1，m，n为整数，且n>0)含义的认识，了解指数幂的拓展过程 2．掌握指数幂的运算性质 1.通过运用根式的性质应用提升数学抽象和数学运算素养 2．通过学习指数幂的运算性质，提升逻辑推理及数学运算素养 [情境引入] 公元前五世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数来表示，希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数eq \r(2)的诞生． [问题]　根据初中所学知识，思考一下边长为1的正方形的对角线长是如何计算出来的呢？提示：根据勾股定理正方形的对角线长为eq \r(12＋12)＝eq \r(2). [知识梳理] [知识点一]　方根与根式的定义　 1．a的n次方根定义如果　xn＝a　，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. 2．a的n次方根的表示 n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围 n为奇数 eq \r(n,a) a∈R n为偶数 ±eq \r(n,a) [0，＋∞) 3.根式式子eq \r(n,a)叫做根式，这里n叫做　根指数　，a叫做　被开方数　. [知识点二]　根式的性质　 1.eq \r(n,0)＝　0　(n∈N*，且n>1)． 2．(eq \r(n,a))n＝　a　(n∈N*，且n>1)． 3.eq \r(n,an)＝　a　(n为大于1的奇数)． eq \r(n,an)＝　|a|　＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(　a　a≥0,　－a　a<0))(n为大于1的偶数)． 1.正数a的n次方根一定有两个吗？提示：不一定．当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，且互为相反数；当n为奇数时，正数a的n次方根只有一个且仍为正数． 2．(eq \r(n,a))n与eq \r(n,an)中的字母a的取值范围是否一样？提示：取值范围不同．式子(eq \r(n,a))n中隐含a是有意义的，若n为偶数，则a≥0，若n为奇数，a∈R；式子eq \r(n,an)中，a∈R. [知识点三]　分数指数幂的意义(a>0，m，n∈N*，且n>1)　正分数指数幂负分数指数幂 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 [知识点四]　有理数指数幂的运算性质(a>0，b>0，r，s∈Q)　 (1)aras＝ar＋s.(2)(ar)s＝ars.(3)(ab)r＝arbr. 3.为什么分数指数幂的底数规定a>0? 提示：①当a<0时，若n为偶数，m为奇数，则无意义； ②当a＝0时，a0无意义． 4．同底数幂相除ar÷as，同次的指数相除eq \f(ar,br)分别等于什么？提示：①ar÷as＝ar－s；②eq \f(ar,br)＝eq \b\lc$\rc$(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))r. [预习自测] 1.eq \r(3,－8)的值是(　　) A．2　　　　　　　　 B．－2 C．±2 D．－8 答案：B 2．下列说法： ①eq \r(4,81)的运算结果是±3； ②16是4次方根是2； ③当n为大于1的偶数时，eq \r(n,a)只有当a≥0时才有意义； ④当n为大于1的奇数时，eq \r(n,a)对任意a∈R都有意义．正确的个数为(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 答案：C 3.eq \r(6 \f(1,4))－ eq \r(3,3 \f(3,8))＋eq \r(3,0.125)的值等于　________　. 答案：eq \f(3,2) n次方根的概念 [例1] (1)16的平方根为　________　，－27的5次方根为　________　. (2)已知x7＝6，则x＝　________　. (3)若eq \r(4,x－2)有意义，则实数x的取值范围是　________　. [思路点拨]　依a的n次方根的定义判断求解． [解析]　(1)∵(±4)2＝16， ∴16的平方根为±4.－27的5次方根为eq \r(5,－27). (2)∵x7＝6，∴x＝eq \r(7,6). (3)要使eq \r(4,x－2)有意义，则需x－2≥0，即x≥2. 因此实数x的取值范围是[2，＋∞)． [答案]　(1)±4　eq \r(5,－27)　 (2)eq \r(7,6)　(3)[2，＋∞) (1)正数的偶次方根有两个且互为相反数，任意实数的奇次方根只有一个． (2)根式eq \r(n,a)的符号由根指数n的奇偶性及被开方数a的符号共同确定：①当n为偶数时，eq \r(n,a)为非负实数；②当n为奇数时，eq \r(n,a)的符号与a的符号一致． [变式训练] 1．有下列说法： ①eq \r(3,－27)＝3； ②16的4次方根是±2； ③eq \r(4,81)＝±3； ④ eq \r(x＋y2)＝|x＋y|； ⑤若x＜2，则 eq \r(8,x－28)＋(eq \r(3,x－\r(2)))3＝2－eq \r(2). 其中正确的是　________　.(填正确说法的序号) 解析：当n是奇数时，负数的n次方根是一个负数，故eq \r(3,－27)＝－3，①错误；16的4次方根有两个，为±2，②正确；eq \r(4,81)＝3，③错误；eq \r(x＋y2)是正数，所以eq \r(x＋y2)＝|x＋y|，④正确．由题意知x－2＜0，故eq \r(8,x－28)＋(eq \r(3,x－\r(2)))3＝|x－2|＋x－eq \r(2)＝2－x＋x－eq \r(2)＝2－eq \r(2)，⑤正确．答案：②④⑤ 利用根式的性质化简与求值 [例2] 求下列各式的值： (1) eq \r(4,3－π4)； (2) eq \r(x2－2xy＋y2)＋ eq \r(7,y－x7). [思路点拨] 利用eq \r(n,an)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a，　n为奇数，,|a|，　n为偶数))，要注意n为奇数还是偶数及a的正负． [解]　(1)∵3－π＜0， ∴ eq \r(4,3－π4)＝|3－π|＝π－3. (2)原式＝eq \r(x－y2)＋y－x＝|x－y|＋y－x. 当x≥y时，原式＝x－y＋y－x＝0；当x＜y时，原式＝y－x＋y－x＝2(y－x)．即原式＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(0，　x≥y，,2y－x，　x＜y.)) 当n为奇数时，eq \r(n,an)＝a；当n为偶数时，eq \r(n,an)＝|a|，本题中要注意n的奇偶性对式子eq \r(n,an)的值的影响，做到理解，并能熟练应用． [变式训练] 2．求下列各式的值： (1) eq \r(3,－83)＋ eq \r(4,3－π4)； (2)eq \r(5,a－b5)＋eq \r(6,b－a6)(b＞a)； (3) eq \r(3,1＋\r(2)3)＋ eq \r(4,1－\r(2)4). 解：(1) eq \r(3,－83)＋ eq \r(4,3－π4) ＝－8＋π－3＝π－11. (2)eq \r(5,a－b5)＋eq \r(6,b－a6) ＝a－b＋b－a＝0. (3) eq \r(3,1＋\r(2)3)＋ eq \r(4,1－\r(2)4) ＝1＋eq \r(2)＋eq \r(2)－1 ＝2eq \r(2). 根式与分数指数幂的互化 [例3] 用根式或分数指数幂表示下列各式： [思路点拨]　依据根式与分数指数幂的转化规律求解．根式与分数指数幂互化的规律 (1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子． (2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题． [变式训练] 3．下列根式与分数指数幂的互化错误的是(　　) 分数指数幂的综合运算 [例4] (1)化简： eq \r(3,xy2·\r(xy－1))·eq \r(xy)·(xy)－1(xy≠0)； [思路点拨]　先化根式为分数指数幂，再利用分数指数幂的运算性质计算、化简． (1)幂的运算的常规方法 ①化负指数幂为正指数幂； ②化根式为分数指数幂； ③化小数为分数进行运算． (2)分数指数幂及根式化简结果的具体要求利用分数指数幂进行根式计算时，结果可化为根式形式或保留分数指数幂的形式，不强求统一用什么形式，但结果不能既有根式又有分数指数幂，也不能同时含有分母和负指数． [变式训练] 4．计算下列各式： 1．化简eq \f(\r(－x3),x)的结果是(　　) A．－eq \r(－x)　　　　　　　　 B.eq \r(x) C．－eq \r(x) D.eq \r(－x) 答案：A 2．下列等式成立的是(　　) 答案：D 3．根式aeq \r(－a)化成分数指数幂是　________　. 答案： 4．计算＝　________　. 答案：eq \f(1 801,18) 5．化简与求值： (1)eq \r(3,－53)； (2)eq \r(4,－92)； (3)eq \r(6,4a2－4a＋1) eq \b\lc$\rc$(\a\vs4\al\co1(a≤\f(1,2)))； (4)eq \r(x2－2xy＋y2)＋eq \r(5,y－x5). 解：(1)eq \r(3,－53)＝－5. (2)eq \r(4,－92)＝eq \r(4,81)＝eq \r(4,34)＝3. (3)∵a≤eq \f(1,2)，∴1－2a≥0， ∴eq \r(6,4a2－4a＋1)＝eq \r(6,2a－12)＝eq \r(6,1－2a2)＝eq \r(3,1－2a). (4)原式＝eq \r(x－y2)＋y－x＝|x－y|＋y－x. 当x≥y时，原式＝x－y＋y－x＝0；当x<y时，原式＝y－x＋y－x＝2(y－x)． ∴eq \r(x2－2xy＋y2)＋eq \r(5,y－x5) ＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(0，x≥y，,2y－x，x<y.)) $

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