2.2 基本不等式 9种高频考点 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

基本不等式9种高频考点讲义 基本不等式9种高频考点讲义 基本不等式的定义及其使用 利用基本不等式求最值----凑项与凑系数 利用基本不等式求最值----负数型 利用基本不等式求最值----二次商式型 利用基本不等式求最值----“”的妙用 利用基本不等式求最值----联立消元法与设“”法 利用基本不等式求最值----条件等式求最值 利用基本不等式证明不等关系 基本不等式的实际应用 考点一 基本不等式的定义及其使用 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 两个核心不等式 · 重要不等式（全体实数适用）：对任意实数 ，有 · 当且仅当 时，等号成立。 · 基本不等式（均值不等式，正数适用）：若 ，则 · 其中 叫算术平均数， 叫几何平均数；当且仅当 时，等号成立。 1. 使用三大原则：一正、二定、三相等 · 一正：参与运算的两项必须都是正数，这是基本不等式的前提；负项需先提负号转化为正项。 · 二定：两项的和为定值时，积有最大值（和定积最大）；两项的积为定值时，和有最小值（积定和最小）。必须存在定值才能用基本不等式求最值。 · 三相等：必须验证等号成立的条件在定义域内，若等号取不到，则不能用基本不等式，需改用函数单调性。 1. 常用变形结论 · 积的最大值：（）； · 和的最小值：（）； · 倒数型：（ 同号），当且仅当 时取等号。 二、解题思路 1. 先判断两项是否为正，不满足则先转化； 1. 观察式子结构，构造“和定”或“积定”的结构； 1. 代入基本不等式放缩，得到最值； 1. 验证等号成立的条件是否成立，确认最值可取。 【例题分析】 例1．（26-27高三上·四川南充·阶段检测）若，则的最大值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】由题设，则，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 例2．（25-26高一上·江苏南通·期末）若正数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式求最值. 【详解】因为正数a，b满足，所以， 即，当且仅当时取“＝”，所以的最大值为. 故选： 例3．（25-26高一下·青海海东·期末）已知，则的最小值为________． 【答案】 【详解】因为，所以，当且仅当即时取等号. 例4．（2026·北京昌平·一模）当时，函数的最小值为_____． 【答案】 【分析】由基本不等式进行求解． 【详解】因为，所以，等号成立时，， 故函数的最小值为． 【变式训练】 变式1．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）若正实数满足，则的最大值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】直接根据基本不等式的变形不等式可得. 【详解】因为正实数满足，由基本不等式， 当且仅当时等号成立，将代入得. 所以时，的最大值为4. 故选：B 变式2．（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）求的最大值（    ） A．5 B．6 C．3 D．4 【答案】A 【分析】法一：根据二次函数的性质计算可得，法二：利用基本不等式计算可得. 【详解】法一：因为， 所以当时取得最大值. 法二：因为，当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 故选：A 变式3．（26-27高一上·湖北随州·阶段检测）已知，则的最小值是________． 【答案】 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】因，则，， 当且仅当时等号成立，即当时，的最小值是. 变式4．（25-26高一下·河北邢台·开学考试）若，则的最小值为_________，此时_________. 【答案】 【详解】由，得， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值. 考点二 利用基本不等式求最值----凑项与凑系数 【知识点解析】 一、核心知识点 · 题型特征：代数式本身不满足“和定”或“积定”，通过拆分项、配凑系数，使两项的和/积为常数，满足“二定”。 · 凑项：针对多项式，通过加、减常数项，构造互为倒数的项，使积为定值。 · 凑系数：针对乘积形式，给其中一项乘除常数，使两项的和为定值，最后还原系数。 二、解题示例 · 凑项：已知 ，求 的最小值。 解：， 原式 ， 当且仅当 即 时取等号，最小值为 。 · 凑系数：已知 ，求 的最大值。 解：， 原式 ， 当且仅当 即 时取等号，最大值为 。 【例题分析】 例1．（25-26高一上·天津河东·阶段检测）(其中)的最大值是 （   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】因为)，所以, sy ， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：B. 例2．（26-27高一上·江西九江·开学考试）已知 ，则代数式 的最小值为（    ） A．2 B．4 C．3 D．无最小值 【答案】B 【详解】因为， 所以， 当且仅当 ，即 时取等号， 则代数式 的最小值为4. 例3．（25-26高一上·河北张家口·期中）当时，的最大值为______． 【答案】 【分析】利用基本不等式求解最值即可. 【详解】因为， 当且仅当，即时，等号成立， 故所求函数的最大值为. 故答案为：． 例4．（25-26高一上·湖北黄冈·阶段检测）求的最小值为__________． 【答案】 【分析】变形得出，结合基本不等式可求其最小值. 【详解】因为，则，则 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 【变式训练】 变式1．（25-26高一下·云南文山·阶段检测）已知在处取得最小值，则的值为（    ） A． B． C．1 D．5 【答案】B 【详解】， 当且仅当时等号成立， 因为， 所以解得时等号成立，取最小值，即. 变式2．（25-26高二下·福建福州·期末）设实数x满足，则函数的最小值为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】因为，所以， 则， s时，等号成立， 故函数的最小值为5. 变式3．（25-26高二下·天津和平·期末）若，则的最大值为________． 【答案】 【分析】根据题意，利用基本不等式，即可求解. 【详解】因为，可得， 则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最大值为. 变式4．（25-26高三上·贵州贵阳·阶段检测）当时，的最小值为15，则______ 【答案】 【分析】根据基本不等式求得最小值为，然后列方程直接求解即可. 【详解】因为，则， ， 当且仅当时，等号成立， 即，故. 故答案为：1 考点三 利用基本不等式求最值----负数型 【知识点解析】 一、核心知识点 · 题型特征：变量为负数，或代数式中的项为负值，不满足“一正”前提。 · 核心方法：提取负号，将负项转化为正项，对正项用基本不等式，再还原符号，不等号方向同步反转。 二、解题示例 已知 ，求 的最大值。 解：，令 ，则原式 。 由基本不等式，，当且仅当 即 时取等号。 因此原式 ，即最大值为 。 【例题分析】 例1．（25-26高一上·山东济宁·阶段检测）已知，则的最大值为（     ） A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【分析】利用基本不等式进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 即，当且仅当时取等号， 所以当时，有最大值. 例2．（25-26高一下·广东佛山·开学考试）已知，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过变形将原式转化为含正数项的形式，再利用基本不等式求最值，最后验证等号成立条件. 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立. 例3．（25-26高一上·广东汕头·期中）若，则的最大值是______. 【答案】 【分析】根据已知化为，应用基本不等式求最大值即可. 【详解】由题设，则， 当且仅当，即时取等号，故的最大值是. 故答案为： 【变式训练】 变式1．（25-26高一上·宁夏银川·阶段检测）当时，的最大值是__________． 【答案】 【分析】根据已知条件对进行变形，再利用基本不等式求解． 【详解】，， ，当且仅当，即时等号成立， 的最大值为． 故答案为：． 变式2．（25-26高一上·福建莆田·期中）已知，则的最大值______. 【答案】0 【分析】将式子构造成可以使用均值不等式的形式，然后求出最大值. 【详解】因为，所以，那么. 将变形为. 对于，这里，因为，， 所以，当且仅当时取等号. 则. 故答案为：0. 考点四 利用基本不等式求最值----二次商式型 【知识点解析】 一、核心知识点 · 题型特征：目标式为分式，分子是二次多项式、分母是一次多项式（或反之），形如 （）。 · 核心方法：换元法：令分母的一次式为 ，将分子用 表示，拆分为“一次项 + 常数/”的形式，满足积定，再用基本不等式。 二、解题示例 已知 ，求 的最小值。 解：令 ，，则 。 代入分子：。 原式 。 当且仅当 即 ， 时取等号，最小值为 。 【例题分析】 例1．（25-26高一上·河北承德·期末）已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】令，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】令，则，因为，可得， 可得， 当且仅当时，即时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 例2．（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）已知，则 的最大值是（    ） A． B． C．2 D．7 【答案】A 【分析】化简  为，利用均值不等式求解即可. 【详解】 ， ，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以  的最大值为 故选：A 例3．（25-26高一上·上海·阶段检测）若对恒有，则的取值范围是_____ 【答案】 【分析】问题化为恒成立，讨论的符号确定代数式的范围，即可得参数范围. 【详解】由， 令，则， 当时，，当且仅当，即时取等号， 若时，，则，此时代数式的范围为， 当时，， 当时，，当且仅当，即时取等号， 若时，，则，此时代数式的范围为， 综上，， 所以对恒有，只需，即. 故答案为： 例4．（25-26高三上·吉林松原·阶段检测）若存在，使成立，则的取值范围是___________. 【答案】 【分析】依题意，再利用基本不等式计算可得； 【详解】解：依题意存在，使成立，即存在，使得，即，因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以，即的最大值为，所以，即； 故答案为： 【变式训练】 变式1．（25-26高一上·辽宁沈阳·阶段检测）已知正实数x，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式可求，当且仅当时等号成立，化简已知即可求解. 【详解】解：因为， 又因为，所以， 所以，当且仅当时，即时等号成立， 所以， 即y的最大值是. 故选：D. 变式2．（25-26高一上·广东梅州·阶段检测）若，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将所求的代数式整理为，再利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：B. 变式3．（25-26高一上·山东潍坊·阶段检测）若，则的最小值为______. 【答案】4 【分析】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式求出最小值即可得解. 【详解】当时，， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4. 故答案为：4 变式4．（25-26高一上·广西玉林·阶段检测）当时，函数的最小值是________． 【答案】 【分析】先将函数变形为，再利用基本不等式即可求出． 【详解】， ，当且仅当，即时取等号． 函数的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，属于基础题． 考点五 利用基本不等式求最值----“”的妙用 【知识点解析】 一、核心知识点 · 题型特征：已知两个正数的线性和为定值（如 ），求两个分式的和的最小值（如 ）。 · 核心原理：将目标式乘以“1”（即定值和除以自身），展开后得到互为倒数的两项，积为定值，用基本不等式求最值。 二、解题示例 已知 ，且 ，求 的最小值。 解：，。 由基本不等式，，当且仅当 即 时取等号。 原式 ，即最小值为 。 这是二元条件最值的两种通用转化方法，核心是将二元问题降为一元问题。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·陕西西安·开学考试）已知正数满足，则的最小值为（    ） A．5 B．8 C．9 D．11 【答案】C 【详解】， 当且仅当时，取等号， 即的最小值为9. 例2．（25-26高一上·广东广州·期末）已知实数，满足，则的最小值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】B 【详解】因为实数，满足，所以， . 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为. 例3．（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）已知，则的最小值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由，得，则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是4. 故选：A 例4．（2026·山东泰安·二模）当时，的最小值是（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】由配凑法结合换1法得出，再使用基本不等式即可求解. 【详解】由题意得， 则 ， 当且仅当即时等号成立. 例5．（2026·天津红桥·一模）已知，若，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，且，所以， 所以， 当且仅当即、时等号成立． 所以的最小值为. 例6．（2026·山西临汾·二模）已知，，且，则的最小值为（   ） A． B．5 C．4 D．3 【答案】B 【详解】已知，，且， ， 当且仅当，结合得时等号成立， 的最小值为5． 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知，，，则的最小值是________. 【答案】4 【分析】由基本不等式乘“1”法即可求解. 【详解】所以， 当且仅当时取等号. 则的最小值是4. 变式2．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知 ，且 ，则 的最小值是________. 【答案】4 【分析】由已知可得，然后由展开后利用基本不等式即可求得答案. 【详解】由，， 可得：， 故， 当且仅当，即时取等号. 故答案为：4 变式3．（25-26高一下·内蒙古鄂尔多斯·阶段检测）已知均为正数，满足，当取最小值时，的值为______． 【答案】 【详解】由正数满足，得， 当且仅当时取等号，由，得， 所以当取最小值时，的值为. 变式4．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知正实数x，y满足，则的最小值为________． 【答案】 【分析】根据基本不等式“1”的妙用即可求解． 【详解】设，则， 因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即， 所以当时，的最小值． 变式5．（25-26高一上·江苏南通·期末）已知，，，则的最小值为______. 【答案】 【分析】利用基本不等式求和的最小值. 【详解】因为 ， 当且仅当，又，，，即时取等号. 故答案为： 变式6．（24-25高一上·上海·阶段检测）已知实数满足，则的最小值为____________. 【答案】 【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为，则， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故答案为：. 变式7．（25-26高一上·山东青岛·阶段检测）已知，，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】从中解出，代入整理得到，利用基本不等式求解即可. 【详解】，，， ， ，， ， 当且仅当时，即时，等号成立， 的最小值为. 故选：C. 考点六 利用基本不等式求最值----联立消元法与设“”法 【知识点解析】 一、联立消元法 · 适用场景：条件等式容易解出一个变量用另一个变量表示。 · 思路：从条件等式中解出 ，代入目标式，得到关于 的一元函数，再用基本不等式求最值。 二、设“k”法（比值换元法） · 适用场景：条件式和目标式均为齐次式（各项次数相同），或便于用比值表示的代数式。 · 思路：设两个变量的比值为 （如设 ，即 ），代入条件和目标式，全部转化为关于 的一元函数，再用基本不等式。 【例题分析】 例1．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试·多选）已知，，，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】因为，所以，即，当且仅当时等号成立，故B正确， 又，即，当且仅当时等号成立，故D正确， 由，得，当且仅当时等号成立，故A错误， 因为，由，得， 即，，当且仅当时等号成立，故C正确． 例2．（26-27高三上·江苏南通·阶段检测·多选）若正实数，满足，则（   ） A． B．有序数对有4个 C．的最大值为 D．的最小值为24 【答案】ABD 【分析】A选项，利用，即可；B选项，利用及即可写出全部有序数对；C选项，利用即可计算的最小值；D选项利用即可计算的最小值. 【详解】由正实数，满足，得. 对于选项A，由，得，则，所以，所以，故A正确； 对于选项B，由得，因为，所以是的正约数.因为的正约数为，所以的值对应为.所以有序数对为共4个，故B正确； 对于选项C，，当且仅当即时等号成立，故C错误； 对于选项D，因为，当且仅当即时等号成立，所以，得，故D正确. 例3．（25-26高一上·福建福州·期中·多选）已知正数满足，下列结论正确的是（    ） A． B．的最小值为1 C．的最小值为12 D．的最小值为14 【答案】ABC 【分析】根据题设条件，利用基本不等式和消元转化等方法逐一分析判断各选项即可. 【详解】对于A，因为，由可得，解得，故A正确； 对于D，由，可得，解得， 此时， 当且仅当，即当，时，等号成立，即的最小值为，故D错误； 对于B，由，得， 由， 由D项知当，时，取得最小值13，此时的最小值为，故B正确； 对于C，由可得，解得， 此时， 当且仅当，即，时等号成立，故的最小值为12，即C正确. 故选：ABC. 【变式训练】 变式1．（25-26高一上·江苏南京·期中·多选）已知正数满足，则下列说法正确的是（    ） A．的取值范围为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据已知条件，利用消元法可得且，再利用基本不等式即可判断. 【详解】对于A，因为为正数，，所以，所以，故A正确； 对于B，，则， 当且仅当时取等号，所以，即， 解得，即，故B正确； 对于C，因为，所以 ， 当且仅当时取等号， 由于，所以等号不成立，故C错误； 对于D，， 令，则，且， 则 ， 当且仅当，即，时取等号，故D正确. 故选：ABD 变式2．（25-26高一上·黑龙江·期中·多选）已知为正实数，且，则（　　） A．的最大值为3 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最小值为28 【答案】ABC 【分析】选项A利用基本不等式得出关于的二次不等式解出即可，B选项结合A选项的结论即可得出，C选项由已知条件变形得出利用基本不等式求出即可，直接利用基本不等式即可得出D选项. 【详解】因为为正实数，由基本不等式得： ， ， 令，且， 则， 解得：， 又，所以， 即 即，当且仅当， 即时取等号， 所以的最大值为3，故A正确； 由，， 即时取等号， 所以的最小值为6，故B正确； 因为， 所以，又为正实数， 所以， 由基本不等式得， 所以4， 当且仅当， 即时取等号，C正确； ， 当且仅当时取等号，D错误． 故选：ABC． 变式3．（25-26高一上·四川成都·阶段检测·多选）已知正实数、满足，则下列说法正确的有（   ） A．的最大值为18 B．的最小值为12 C．的最小值为13 D．的最小值为 【答案】BCD 【分析】利用基本不等式，结合等式求最值可判断A，B；令，换元后再利用均值不等式求最小值，即可判断C，D. 【详解】对于A，，∴， 则，当且仅当，时取等，即的最小值为，故A错误； 对于B，由选项A知，所以，故的最小值为，则B正确； 对于C，， 由得，故， 令，则，，所以， 则， 当且仅当，，即，时取等号， 即的最小值为，故C正确； 对于D，由选项C得 ， 当且仅当时取等，故D正确. 故选：BCD. 考点七 利用基本不等式求最值----条件等式求最值 【知识点解析】 这是对以上方法的综合应用，核心是根据条件形式选择最优方法： · 线性和定 + 分式和 优先“1”的妙用； · 乘积式条件 + 和的最值 消元法，或直接用“积定和最小”； · 齐次条件/齐次目标 设 法； · 复杂条件 消元法转化为单变量函数。 通用步骤：① 确定变量范围（满足一正）；② 变形构造“定”的结构；③ 用基本不等式放缩求最值；④ 验证等号成立条件。 【例题分析】 例1．（25-26高三上·广西桂林·阶段检测·多选）已知，为正实数，，则（    ） A．的最大值为1 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为5 【答案】AC 【分析】利用基本不等式计算可判断AB；利用常数“1”的妙用计算可判断C；利用二次函数求得的范围可判断D. 【详解】对于A选项，因为为正实数，，则， 当且仅当时取等号，故A正确； 对于B选项，， 当且仅当时取等号，所以，所以的最大值为2，故B错误； 对于C选项，， 当且仅当，即时取等号，故C正确； 对于D选项，， 因为，所以， 当时，的最小值为4，故D错误. 故选：AC. 例2．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测·多选）已知正数x，y满足则下列说法正确的是（    ） A．xy的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】AD 【分析】根据条件，利用基本不等式，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于A：，，， ，， 当且仅当，即，时等号成立，所以A正确； 对于B：，由A知，， ，当且仅当，即，时等号成立，所以B错误； 对于C：， 当且仅当，即，时等号成立， ，所以C错误； 对于D：， 当且仅当，即，解得：时取等号，所以D正确. 故选：AD 例3．（25-26高一上·贵州安顺·阶段检测·多选）设正实数满足，则（    ） A．有最小值1 B．有最小值2 C．有最小值7 D．有最小值 【答案】AC 【分析】对于A，利用乘“1”可判断；对于B，直接利用基本不等式判断；对于C，消元配方求解；对于D，利用不等式判断. 【详解】因为正实数满足，所以， 当且仅当时取等号，A正确； ，所以有最大值2，B错误； 正实数满足，则， ，当时，，C正确； 由，可得，当且仅当时取等号，D错误. 故选：AC 【变式训练】 变式1．（25-26高一上·浙江杭州·期中·多选）已知，且，则（    ） A．的最小值是4 B．的最小值是 C．的最小值是8 D．的最小值是2 【答案】ABD 【分析】根据基本不等式，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】选项A：因为，则，所以， 当且仅当，即时取等号，故A正确； 选项B：因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号，故B正确； 选项C：由得，所以， 当且仅当时取等号，但与（1）中时，矛盾， 所以的最小值不是8，故C错误； 选项D：由可得，则， 所以， 当且仅当，即时取等号，故D正确； 故选：ABD 变式2．（25-26高一上·湖北襄阳·期中·多选）若，且，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最大值为4 C．的最小值为 D．的最小值为2 【答案】AC 【分析】根据基本不等式计算即可判断ABD；根据二次函数的图象与性质即可判断C. 【详解】A：，当且仅当，即时等号成立， 所以，即的最大值为，故A正确； B：， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为4，故B错误； C：， 即的最小值为，故C正确； D： ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，故D错误. 故选：AC 变式3．（25-26高一上·江苏南京·期中·多选）若正实数，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据，将等式合理变形可知，解不等式可得，因此A正确；由解不等式可得，即B正确；易知，再利用基本不等式可得，即C错误；根据已知得，利用基本不等式得，所以D正确. 【详解】对于A，由可得，即； 可得，解得，即， 当且仅当时，等号成立；所以A正确； 对于B，由可得， 即可得， 所以，解得， 当且仅当时，等号成立；可知B正确； 对于C，由可知，由可得； 所以， 当且仅当，即时，等号成立，C错误； 对于D，由可得，， 则， 当且仅当时，等号成立，即D正确. 故选：ABD 考点八 利用基本不等式证明不等关系 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 核心思路：利用基本不等式及变形，对不等式的一边进行放缩，通过累加、累乘、分组配对，推导出另一边。 1. 常用技巧 · 对称式分组：将不等式中的项两两配对，每对套用基本不等式，再相加。 例：求证 （）。 证明：，，，三式相加除以 2 得证。 · 条件放缩：结合已知条件，将目标式变形后套用基本不等式。 二、解题思路 1. 观察不等式的结构，判断是否对称、能否分组配对； 1. 选择合适的基本不等式形式进行放缩； 1. 对放缩后的式子进行累加/累乘/化简，得到目标不等式； 1. 说明等号成立的条件。 【例题分析】 例1．（26-27高一上·河南南阳·阶段检测）完成下列证明： (1)已知，，都是正数，求证：； (2)已知，，．求证：． 【答案】(1) ，当且仅当“”时取“=”； (2)因为，，所以，当且仅当时取等号，解得； 于是得，所以成立． 【详解】（1）略 （2）略 例2．（26-27高一上·河南新乡·开学考试）（1）设，，均为正实数．证明：成立的充要条件是； （2）已知，求的最大值． 【答案】（1）证明：必要性：因为，，均为正实数， 所以，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号． 所以， 即，当且仅当时取等号， 所以若，则，必要性成立． 充分性：若， 则，， 所以若，则，充分性成立． 所以成立的充要条件是． （2）1 【分析】（1）证明必要性利用三组基本不等式相加，等号同时成立推出；证明充分性直接代入验证等式成立； （2）先对式子变形凑出，由判断为负，提取负号构造正数，再使用基本不等式求最大值． 【详解】（1）略 （2）因为，所以，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为1． 例3．（25-26高一上·四川广安·阶段检测）（1）比较和的大小. （2）已知，都是正数，求证：. 【答案】 （1） （2）∵，由均值不等式得，. 由不等式的性质，得，当且仅当且时，等号成立，即证. 【分析】（1）利用作差法比较大小即可； （2）根据基本不等式及不等式性质证明即可. 【详解】（1）， 所以 （2）略 【变式训练】 变式1．（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）已知，. (1)若，求证：； (2)若，不等式恒成立，求的取值范围； (3)若，求的最大值. 【答案】(1) 由， ，，得， 所以， 当且仅当，即、时等号成立， 所以． (2)； (3). 【分析】（1）根据等式条件，依次对待证式消元，配凑项运用基本不等式即可证明； （2）构造得，再利用“”的妙用即可求得； （3）配凑项后利用，即可求得. 【详解】（1）略 （2）由得，，则， 则 ，当且仅当时等号成立， 由题意可知，，整理得， 解得或（舍去），所以， 故实数的取值范围为． （3）因为， ，，所以， ， 故， 当且仅当时取等，故的最大值为． 变式2．（25-26高一上·四川达州·阶段检测）已知实数，满足下列条件： (1)当时，比较与的大小； (2)当，且时，证明：； (3)当，且时，求的最小值. 【答案】(1) 当时， 当时，． (2)证明: 已知，且， 则 ， 即，得，当且仅当时取等号， 所以． (3) 【分析】（1）利用作差法判断即可； （2）通过立方和公式展开，结合已知条件化简，再利用基本不等式推导不等关系，从而证明结论； （3）由已知条件化简，再利用基本不等式求出结果． 【详解】（1） ∵， ∴当时， 当时，． （2）略； （3）已知，且， 则 ， 当且仅当，即时等号成立． 所以，的最小值为． 变式3．（25-26高一上·云南·阶段检测）已知都是正数． (1)求的最小值； (2)证明：． 【答案】(1) (2) 要证，即证， 即证， 由， 当且仅当时，等号成立，所以． 【分析】（1）根据题意，利用基本不等式，即可求解； （2）根据题意，转化为证明，结合基本不等式，即可得证. 【详解】（1）解：因为都是正数，则， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为. （2）略 考点九 基本不等式的实际应用 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 常见题型：面积最大、周长最小、用料最省、造价最低、容积最大等优化问题。 1. 核心思想：将实际问题转化为数学函数，再用基本不等式求最值。 二、解题步骤 1. 设变量：根据题意设出自变量，明确变量的实际意义和取值范围（正数）； 1. 建函数：将要求最值的量表示为自变量的函数，建立目标函数； 1. 求最值：变形目标函数，构造定值结构，用基本不等式求出最值； 1. 验实际：验证等号成立的条件符合实际约束，给出最终答案。 【例题分析】 例1．（26-27高一上·江苏徐州·开学考试）徐州是两汉文化发源地.汉文化旅游节期间，徐州东站向汉文化景区和云龙湖景区两个方向发送游客接驳车．设向汉文化景区发x车，向云龙湖景区发y车（）．调度中心每天在两个方向投入固定管理费：汉文化景区方向每天3万元．云龙湖景区方向每天5万元．这些固定管理费按各方向车次平均分摊．已知两个方向每车平均分摊的固定管理费之和为1万元． (1)求总车次的最小值，并写出此时x，y的值． (2)为保障游客体验，每车需配备志愿者：汉文化景区每车配2名志愿者，云龙湖景区每车配3名志愿者．设志愿者总数为． （ⅰ）求两方向车次乘积xy的最小值． （ⅱ）求志愿者总数T的最小值，并写出此时x，y的值． 【答案】(1)最小值为，，. (2)(i)60， (ii)的最小值为，，. 【分析】根据题意列出关系式，利用不等式与“1”的代换进行求解。 【详解】（1）由题意可得汉文化景区每车分摊固定管理费为万元，云龙湖景区每车分摊固定管理费为万元，且 ， 当且仅当时等号成立，此时，. 因此的最小值为，，. （2）(i)由于，， 则，整理得， 当且仅当，时等号成立. 因此的最小值为60. (ii)， 当且仅当时等号成立，此时，. 因此的最小值为，，. 例2．（25-26高一上·山东济宁·阶段检测）如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱．设箱体的长度为米，高度为米．现有制箱材料60平方米． (1)问当，各为多少米时，该沉淀箱的体积最大，并求体积的最大值． (2)求的最小值． 【答案】(1)当，各为6米，3米时，该沉淀箱的体积最大，最大为36立方米． (2) 【分析】（1）建立，的关系式，使用基本不等式求解； （2）通过，的关系式消元，使用基本不等式求解. 【详解】（1）由题意，，即，，， 所以，即， 解得，当且仅当，即，时等号成立， 因为，所以． 即当，各为6米，3米时，该沉淀箱的体积最大，最大为36立方米． （2）由得 所以 当且仅当即时，等号成立． 所以的最小值是 法二：由得， ，当且仅当 即时，等号成立． 所以的最小值是 例3．（25-26高一上·广东珠海·阶段检测）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米． (1)若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ (2)若使用的篱笆总长为30米，则，为何值时，菜园面积最大？ (3)若使用的篱笆总长为30米，求的最小值． 【答案】(1)长为，宽为时，所用篱笆总长最小． (2)菜园的长为15，宽为时，菜园面积最大． (3)． 【分析】（1）明确，在此条件下求的最小值，并明确等号成立的条件即可. （2）明确，在此条件下，求的最大值，并明确等号成立的条件即可. （3）结合，求的最小值. 【详解】（1）由题意得，，所用篱笆总长为． 因为， 当且仅当时，即，时等号成立． 所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小． （2）由题意得，，菜园面积为． 因为， 当且仅当时，即，时等号成立． 所以菜园的长为15，宽为时，菜园面积最大． （3）由题意得，， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是． 例4．（25-26高一上·山东滨州·期末）现有一家物流公司计划租地建造仓储物流中心，设仓储物流中心到车站的距离为（单位：千米，），经过市场调查了解到以下信息：仓储物流中心每月土地占地费（单位：万元）与成反比；每月储存货物费（单位：万元）与成正比.已知在距离车站1千米处建造仓储物流中心时，和分别为16万元和2万元. (1)分别求，关于的函数表达式； (2)当这家公司把仓储物流中心建在距离车站多少千米处时，才能使两项费用之和最小？最小值是多少？ 【答案】(1)，；，. (2)建在距离车站千米处才能使两项费用之和最小，最小费用是万元 【分析】（1）设，，其中，根据所给数据得到方程，求出、，即可得解； （2）设两项费用之和为（单位：万元），利用基本不等式计算可得. 【详解】（1）依题意设，，其中， 当时，，， 解得，， 所以，， （2）设两项费用之和为（单位：万元）， 则， 当且仅当，即时“”成立， 所以这家公司把仓储物流中心建在距离车站千米处才能使两项费用之和最小，最小费用是万元． 【变式训练】 变式1．（25-26高一上·广东惠州·阶段检测）某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为，深度为3m．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元．设底面的某一边长为x（单位：米），无盖长方体水池总造价为y（单位：元）． (1)求y关于x的函数表达式； (2)怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价为多少元? 【答案】(1), (2)当水池底面设计成边长为40m的正方形时，总造价最低，为198400元． 【分析】（1）根据题意列式得出总造价； （2）结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）池底的一边长为，则另一边长为，总造价为元， 则,. （2）， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当水池底面设计成边长为40m的正方形时，总造价最低，最低为198400元． 变式2．（25-26高一上·湖北襄阳·期中）2025年某家具厂准备生产一种大办公桌，经市场分析，全月需投入固定成本3万元，每生产（张）（，）办公桌需另投入成本（元），且.由市场调研知，每张办公桌售价元，且每月生产的办公桌当月能全部销售完. (1)求出每月销售这种办公桌的利润（元）关于月产量（张）的函数关系式（利润销售额成本）； (2)当这种办公桌月产量为多少张时，家具厂因此所获利润最大？ 【答案】(1)； (2)当这种办公桌月产量为74张时，家具厂因此所获利润最大. 【分析】（1）分且和且两种情况，求出函数解析式； （2）在（1）基础上，利用函数单调性和基本不等式求出最值，比较后得到答案. 【详解】（1）当且时， ， 当且时， ， 综上，； （2）当且时， ， 当时，取得最大值，最大值为； 当且时，， 当且仅当，即时，等号成立， 由于，故当这种办公桌月产量为74张时，家具厂因此所获利润最大. 变式3．（25-26高一上·云南昆明·期中）Labubu已然成为2025年年轻人的新宠，它为年轻人提供了情绪价值，成为了很多人的精神寄托．现有国内一家工厂决定在国内专项生产销售此款玩具，已知生产这种玩具的年固定成本为15万元，每生产千件需另投入万元．其中与之间的关系为：．通过市场分析，公司决定每千件Labubu售价定为12万元，且该厂年内生产的此款玩具能全部销售完． (1)写出年利润（万元）关于年产量的（千件）的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，该厂所获年利润最大？并求出最大年利润． 【答案】(1)； (2)年产量为42千件，最大年利润为115万元. 【分析】（1）根据题目条件，进而求出的表达式． （2）由（1）按与分段利用二次函数的性质及基本不等式求出最大值，再比较大小即得． 【详解】（1）依题意，. （2）由（1） 当时，， 则当时，取得最大值60万元； 当时，， 当且仅当时，即时取得等号， 此时取得最大值，且最大值为115万元， 所以当年产量为42千件时，该厂所获年利润最大，最大年利润115万元． 变式4．（25-26高一上·河南·阶段检测）如图，矩形的对角线经过矩形的顶点，且．    (1)设，矩形的面积为，请写出关于的关系式，并说明理由； (2)求矩形面积的最小值． 【答案】(1)，理由如下： 方法一：根据相似的性质可得， 所以，解得， 所以. 方法二：根据相似的性质可得，则，得， 所以. (2)240 【分析】（1）方法一：根据相似的性质可得，由此可求，结合矩形面积公式求， 方法二：根据相似的性质可得，由此可求，结合矩形面积公式求， （2）由（1）可得，利用基本不等式求其最小值即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）得，当且仅当，即时，等号成立， 故矩形面积的最小值为240. 2 学科网（北京）股份有限公司 $基本不等式9种高频考点讲义 基本不等式9种高频考点讲义 基本不等式的定义及其使用 利用基本不等式求最值----凑项与凑系数 利用基本不等式求最值----负数型 利用基本不等式求最值----二次商式型 利用基本不等式求最值----“”的妙用 利用基本不等式求最值----联立消元法与设“”法 利用基本不等式求最值----条件等式求最值 利用基本不等式证明不等关系 基本不等式的实际应用 考点一 基本不等式的定义及其使用 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 两个核心不等式 · 重要不等式（全体实数适用）：对任意实数 ，有 · 当且仅当 时，等号成立。 · 基本不等式（均值不等式，正数适用）：若 ，则 · 其中 叫算术平均数， 叫几何平均数；当且仅当 时，等号成立。 1. 使用三大原则：一正、二定、三相等 · 一正：参与运算的两项必须都是正数，这是基本不等式的前提；负项需先提负号转化为正项。 · 二定：两项的和为定值时，积有最大值（和定积最大）；两项的积为定值时，和有最小值（积定和最小）。必须存在定值才能用基本不等式求最值。 · 三相等：必须验证等号成立的条件在定义域内，若等号取不到，则不能用基本不等式，需改用函数单调性。 1. 常用变形结论 · 积的最大值：（）； · 和的最小值：（）； · 倒数型：（ 同号），当且仅当 时取等号。 二、解题思路 1. 先判断两项是否为正，不满足则先转化； 1. 观察式子结构，构造“和定”或“积定”的结构； 1. 代入基本不等式放缩，得到最值； 1. 验证等号成立的条件是否成立，确认最值可取。 【例题分析】 例1．（26-27高三上·四川南充·阶段检测）若，则的最大值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 例2．（25-26高一上·江苏南通·期末）若正数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一下·青海海东·期末）已知，则的最小值为________． 例4．（2026·北京昌平·一模）当时，函数的最小值为_____． 【变式训练】 变式1．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）若正实数满足，则的最大值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 变式2．（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）求的最大值（    ） A．5 B．6 C．3 D．4 变式3．（26-27高一上·湖北随州·阶段检测）已知，则的最小值是________． 变式4．（25-26高一下·河北邢台·开学考试）若，则的最小值为_________，此时_________. 考点二 利用基本不等式求最值----凑项与凑系数 【知识点解析】 一、核心知识点 · 题型特征：代数式本身不满足“和定”或“积定”，通过拆分项、配凑系数，使两项的和/积为常数，满足“二定”。 · 凑项：针对多项式，通过加、减常数项，构造互为倒数的项，使积为定值。 · 凑系数：针对乘积形式，给其中一项乘除常数，使两项的和为定值，最后还原系数。 二、解题示例 · 凑项：已知 ，求 的最小值。 解：， 原式 ， 当且仅当 即 时取等号，最小值为 。 · 凑系数：已知 ，求 的最大值。 解：， 原式 ， 当且仅当 即 时取等号，最大值为 。 【例题分析】 例1．（25-26高一上·天津河东·阶段检测）(其中)的最大值是 （   ） A． B． C．1 D．2 例2．（26-27高一上·江西九江·开学考试）已知 ，则代数式 的最小值为（    ） A．2 B．4 C．3 D．无最小值 例3．（25-26高一上·河北张家口·期中）当时，的最大值为______． 例4．（25-26高一上·湖北黄冈·阶段检测）求的最小值为__________． 【变式训练】 变式1．（25-26高一下·云南文山·阶段检测）已知在处取得最小值，则的值为（    ） A． B． C．1 D．5 变式2．（25-26高二下·福建福州·期末）设实数x满足，则函数的最小值为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 变式3．（25-26高二下·天津和平·期末）若，则的最大值为________． 变式4．（25-26高三上·贵州贵阳·阶段检测）当时，的最小值为15，则______ 考点三 利用基本不等式求最值----负数型 【知识点解析】 一、核心知识点 · 题型特征：变量为负数，或代数式中的项为负值，不满足“一正”前提。 · 核心方法：提取负号，将负项转化为正项，对正项用基本不等式，再还原符号，不等号方向同步反转。 二、解题示例 已知 ，求 的最大值。 解：，令 ，则原式 。 由基本不等式，，当且仅当 即 时取等号。 因此原式 ，即最大值为 。 【例题分析】 例1．（25-26高一上·山东济宁·阶段检测）已知，则的最大值为（     ） A．8 B．6 C．5 D．4 例2．（25-26高一下·广东佛山·开学考试）已知，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一上·广东汕头·期中）若，则的最大值是______. 【变式训练】 变式1．（25-26高一上·宁夏银川·阶段检测）当时，的最大值是__________． 变式2．（25-26高一上·福建莆田·期中）已知，则的最大值______. 考点四 利用基本不等式求最值----二次商式型 【知识点解析】 一、核心知识点 · 题型特征：目标式为分式，分子是二次多项式、分母是一次多项式（或反之），形如 （）。 · 核心方法：换元法：令分母的一次式为 ，将分子用 表示，拆分为“一次项 + 常数/”的形式，满足积定，再用基本不等式。 二、解题示例 已知 ，求 的最小值。 解：令 ，，则 。 代入分子：。 原式 。 当且仅当 即 ， 时取等号，最小值为 。 【例题分析】 例1．（25-26高一上·河北承德·期末）已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 例2．（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）已知，则 的最大值是（    ） A． B． C．2 D．7 例3．（25-26高一上·上海·阶段检测）若对恒有，则的取值范围是_____ 例4．（25-26高三上·吉林松原·阶段检测）若存在，使成立，则的取值范围是___________. 【变式训练】 变式1．（25-26高一上·辽宁沈阳·阶段检测）已知正实数x，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高一上·广东梅州·阶段检测）若，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一上·山东潍坊·阶段检测）若，则的最小值为______. 变式4．（25-26高一上·广西玉林·阶段检测）当时，函数的最小值是________． 考点五 利用基本不等式求最值----“”的妙用 【知识点解析】 一、核心知识点 · 题型特征：已知两个正数的线性和为定值（如 ），求两个分式的和的最小值（如 ）。 · 核心原理：将目标式乘以“1”（即定值和除以自身），展开后得到互为倒数的两项，积为定值，用基本不等式求最值。 二、解题示例 已知 ，且 ，求 的最小值。 解：，。 由基本不等式，，当且仅当 即 时取等号。 原式 ，即最小值为 。 这是二元条件最值的两种通用转化方法，核心是将二元问题降为一元问题。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·陕西西安·开学考试）已知正数满足，则的最小值为（    ） A．5 B．8 C．9 D．11 例2．（25-26高一上·广东广州·期末）已知实数，满足，则的最小值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 例3．（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）已知，则的最小值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 例4．（2026·山东泰安·二模）当时，的最小值是（    ） A．3 B．4 C． D． 例5．（2026·天津红桥·一模）已知，若，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 例6．（2026·山西临汾·二模）已知，，且，则的最小值为（   ） A． B．5 C．4 D．3 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知，，，则的最小值是________. 变式2．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知 ，且 ，则 的最小值是________. 变式3．（25-26高一下·内蒙古鄂尔多斯·阶段检测）已知均为正数，满足，当取最小值时，的值为______． 变式4．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知正实数x，y满足，则的最小值为________． 变式5．（25-26高一上·江苏南通·期末）已知，，，则的最小值为______. 变式6．（24-25高一上·上海·阶段检测）已知实数满足，则的最小值为____________. 变式7．（25-26高一上·山东青岛·阶段检测）已知，，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 考点六 利用基本不等式求最值----联立消元法与设“”法 【知识点解析】 一、联立消元法 · 适用场景：条件等式容易解出一个变量用另一个变量表示。 · 思路：从条件等式中解出 ，代入目标式，得到关于 的一元函数，再用基本不等式求最值。 二、设“k”法（比值换元法） · 适用场景：条件式和目标式均为齐次式（各项次数相同），或便于用比值表示的代数式。 · 思路：设两个变量的比值为 （如设 ，即 ），代入条件和目标式，全部转化为关于 的一元函数，再用基本不等式。 【例题分析】 例1．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试·多选）已知，，，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 例2．（26-27高三上·江苏南通·阶段检测·多选）若正实数，满足，则（   ） A． B．有序数对有4个 C．的最大值为 D．的最小值为24 例3．（25-26高一上·福建福州·期中·多选）已知正数满足，下列结论正确的是（    ） A． B．的最小值为1 C．的最小值为12 D．的最小值为14 【变式训练】 变式1．（25-26高一上·江苏南京·期中·多选）已知正数满足，则下列说法正确的是（    ） A．的取值范围为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 变式2．（25-26高一上·黑龙江·期中·多选）已知为正实数，且，则（　　） A．的最大值为3 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最小值为28 变式3．（25-26高一上·四川成都·阶段检测·多选）已知正实数、满足，则下列说法正确的有（   ） A．的最大值为18 B．的最小值为12 C．的最小值为13 D．的最小值为 考点七 利用基本不等式求最值----条件等式求最值 【知识点解析】 这是对以上方法的综合应用，核心是根据条件形式选择最优方法： · 线性和定 + 分式和 优先“1”的妙用； · 乘积式条件 + 和的最值 消元法，或直接用“积定和最小”； · 齐次条件/齐次目标 设 法； · 复杂条件 消元法转化为单变量函数。 通用步骤：① 确定变量范围（满足一正）；② 变形构造“定”的结构；③ 用基本不等式放缩求最值；④ 验证等号成立条件。 【例题分析】 例1．（25-26高三上·广西桂林·阶段检测·多选）已知，为正实数，，则（    ） A．的最大值为1 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为5 例2．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测·多选）已知正数x，y满足则下列说法正确的是（    ） A．xy的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 例3．（25-26高一上·贵州安顺·阶段检测·多选）设正实数满足，则（    ） A．有最小值1 B．有最小值2 C．有最小值7 D．有最小值 【变式训练】 变式1．（25-26高一上·浙江杭州·期中·多选）已知，且，则（    ） A．的最小值是4 B．的最小值是 C．的最小值是8 D．的最小值是2 变式2．（25-26高一上·湖北襄阳·期中·多选）若，且，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最大值为4 C．的最小值为 D．的最小值为2 变式3．（25-26高一上·江苏南京·期中·多选）若正实数，满足，则（   ） A． B． C． D． 考点八 利用基本不等式证明不等关系 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 核心思路：利用基本不等式及变形，对不等式的一边进行放缩，通过累加、累乘、分组配对，推导出另一边。 1. 常用技巧 · 对称式分组：将不等式中的项两两配对，每对套用基本不等式，再相加。 例：求证 （）。 证明：，，，三式相加除以 2 得证。 · 条件放缩：结合已知条件，将目标式变形后套用基本不等式。 二、解题思路 1. 观察不等式的结构，判断是否对称、能否分组配对； 1. 选择合适的基本不等式形式进行放缩； 1. 对放缩后的式子进行累加/累乘/化简，得到目标不等式； 1. 说明等号成立的条件。 【例题分析】 例1．（26-27高一上·河南南阳·阶段检测）完成下列证明： (1)已知，，都是正数，求证：； (2)已知，，．求证：． 例2．（26-27高一上·河南新乡·开学考试）（1）设，，均为正实数．证明：成立的充要条件是； （2）已知，求的最大值． 例3．（25-26高一上·四川广安·阶段检测）（1）比较和的大小. （2）已知，都是正数，求证：. 【变式训练】 变式1．（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）已知，. (1)若，求证：； (2)若，不等式恒成立，求的取值范围； (3)若，求的最大值. 变式2．（25-26高一上·四川达州·阶段检测）已知实数，满足下列条件： (1)当时，比较与的大小； (2)当，且时，证明：； (3)当，且时，求的最小值. 变式3．（25-26高一上·云南·阶段检测）已知都是正数． (1)求的最小值； (2)证明：． 考点九 基本不等式的实际应用 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 常见题型：面积最大、周长最小、用料最省、造价最低、容积最大等优化问题。 1. 核心思想：将实际问题转化为数学函数，再用基本不等式求最值。 二、解题步骤 1. 设变量：根据题意设出自变量，明确变量的实际意义和取值范围（正数）； 1. 建函数：将要求最值的量表示为自变量的函数，建立目标函数； 1. 求最值：变形目标函数，构造定值结构，用基本不等式求出最值； 1. 验实际：验证等号成立的条件符合实际约束，给出最终答案。 【例题分析】 例1．（26-27高一上·江苏徐州·开学考试）徐州是两汉文化发源地.汉文化旅游节期间，徐州东站向汉文化景区和云龙湖景区两个方向发送游客接驳车．设向汉文化景区发x车，向云龙湖景区发y车（）．调度中心每天在两个方向投入固定管理费：汉文化景区方向每天3万元．云龙湖景区方向每天5万元．这些固定管理费按各方向车次平均分摊．已知两个方向每车平均分摊的固定管理费之和为1万元． (1)求总车次的最小值，并写出此时x，y的值． (2)为保障游客体验，每车需配备志愿者：汉文化景区每车配2名志愿者，云龙湖景区每车配3名志愿者．设志愿者总数为． （ⅰ）求两方向车次乘积xy的最小值． （ⅱ）求志愿者总数T的最小值，并写出此时x，y的值． 例2．（25-26高一上·山东济宁·阶段检测）如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱．设箱体的长度为米，高度为米．现有制箱材料60平方米． (1)问当，各为多少米时，该沉淀箱的体积最大，并求体积的最大值． (2)求的最小值． 例3．（25-26高一上·广东珠海·阶段检测）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米． (1)若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ (2)若使用的篱笆总长为30米，则，为何值时，菜园面积最大？ (3)若使用的篱笆总长为30米，求的最小值． 例4．（25-26高一上·山东滨州·期末）现有一家物流公司计划租地建造仓储物流中心，设仓储物流中心到车站的距离为（单位：千米，），经过市场调查了解到以下信息：仓储物流中心每月土地占地费（单位：万元）与成反比；每月储存货物费（单位：万元）与成正比.已知在距离车站1千米处建造仓储物流中心时，和分别为16万元和2万元. (1)分别求，关于的函数表达式； (2)当这家公司把仓储物流中心建在距离车站多少千米处时，才能使两项费用之和最小？最小值是多少？ 【变式训练】 变式1．（25-26高一上·广东惠州·阶段检测）某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为，深度为3m．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元．设底面的某一边长为x（单位：米），无盖长方体水池总造价为y（单位：元）． (1)求y关于x的函数表达式； (2)怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价为多少元? 变式2．（25-26高一上·湖北襄阳·期中）2025年某家具厂准备生产一种大办公桌，经市场分析，全月需投入固定成本3万元，每生产（张）（，）办公桌需另投入成本（元），且.由市场调研知，每张办公桌售价元，且每月生产的办公桌当月能全部销售完. (1)求出每月销售这种办公桌的利润（元）关于月产量（张）的函数关系式（利润销售额成本）； (2)当这种办公桌月产量为多少张时，家具厂因此所获利润最大？ 变式3．（25-26高一上·云南昆明·期中）Labubu已然成为2025年年轻人的新宠，它为年轻人提供了情绪价值，成为了很多人的精神寄托．现有国内一家工厂决定在国内专项生产销售此款玩具，已知生产这种玩具的年固定成本为15万元，每生产千件需另投入万元．其中与之间的关系为：．通过市场分析，公司决定每千件Labubu售价定为12万元，且该厂年内生产的此款玩具能全部销售完． (1)写出年利润（万元）关于年产量的（千件）的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，该厂所获年利润最大？并求出最大年利润． 变式4．（25-26高一上·河南·阶段检测）如图，矩形的对角线经过矩形的顶点，且．    (1)设，矩形的面积为，请写出关于的关系式，并说明理由； (2)求矩形面积的最小值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $