2.2基本不等式讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学基本不等式核心知识点，构建从概念辨析到求最值方法（直接应用、配凑法、“1”的妙用等），再到恒成立问题、综合运用及实际应用的递进式学习支架。 资料通过分层题型（如“1”的妙用分基础与进阶）、数学史融入（《几何原本》无字证明）及实际问题（菜园篱笆、场馆造价）设计，提升学生抽象能力、推理意识与应用意识，课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺。

2.2基本不等式 目录 题型01 基本不等式内容及辨析 1 题型02 利用基本不等式直接求最值 3 题型03 配凑法求最值 5 题型04 “1”的妙用 7 题型05 “1”的妙用（进阶） 8 题型06 换元法求最值 11 题型07 二次与一次之比求最值 13 题型08 和、积、平方之间关系求最值 15 题型09 利用基本不等式解决恒成立问题 18 题型10 基本不等式综合运用 20 题型11 基本不等式实际应用 24 题型01 基本不等式内容及辨析 1. 下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由完全平方公式的非负性可知，对任意实数,有， 展开整理得，移项后可得， 由于该不等式对全体实数都成立，故A正确，B错误； 再由不等式成立的前提是均为非负数， 若都为负数，根号内有意义且不等式显然不成立，故C错误； 若都为正数，则可得，故D错误. 2. “”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用基本不等式即可判断选项. 【详解】若，根据基本不等式可得，当且仅当时等号成立，所以由可得成立， 若，取，满足，但不满足，所以由推不出， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 3. 下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式成立的条件依次判断各选项即可得答案. 【详解】当时，不等式显然不成立，故选项A错误； 因为，故选项B正确； ，不等式显然不成立，故选项C错误； 不等式成立的条件为，，故选项D错误. 故选：B. 4. 《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用图象结合勾股定理计算即可. 【详解】易知， 显然，故D正确. 故选：D 5. 《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法是后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，可以直接通过比较线段与线段的长度完成的无字证明为（  ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题图可知，，. 在中，由勾股定理可得. ，. 题型02 利用基本不等式直接求最值 6. 已知、都是正数，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因、都是正数，， 则由，可得. 当且仅当，即，时取等号. 所以的最大值为. 7. 已知正数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设可得，，进而得到，再根据基本不等式求解即可. 【详解】由题意，为正数，且，则，即， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 则的最大值为. 故选：A 8. 若，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若，，则，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为12. 9. 已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】D 【详解】由，，，得， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故的最小值为9. 10. 已知正数，满足，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据基本不等式“”的代换可得最值. 【详解】由已知，满足， 即， 则， 当且仅当，即时等号成立， 故选：A. 题型03 配凑法求最值 11. 函数的最小值是（    ） A．8 B．6 C．9 D．4 【答案】A 【分析】利用配凑法结合基本不等式即可求解. 【详解】， ，，， 由基本不等式可得：， 当且仅当，即时，等号成立，故选A. 12. 函数 的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值即可. 【详解】由，得，则， 当且仅当，即时取等号， 所以所求最小值为. 故选：D 13. 设实数x满足，则函数的最小值为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】因为，所以， 则， s时，等号成立， 故函数的最小值为5. 14. 函数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，利用基本不等式求最小值即可. 【详解】因为，所以，当且仅当，即时等号成立. 所以函数的最小值是. 故选：D. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 15. 已知，则的最小值为（   ） A． B．0 C．4 D．8 【答案】B 【分析】由，利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为0. 故答案为：B. 题型04 “1”的妙用 16. 已知a，b均为正数，，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】利用可得，结合基本不等式即可求解最小值. 【详解】因为a，b均为正数，且，所以， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为6. 17. 已知，且，则的最小值为（    ） A．64 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】由且，两边同除以得到.利用“1”的代换方法，将与相乘展开，运用基本不等式求最小值，最后需要验证等号成立即可. 【详解】已知，且，对等式两边同除以，可变形得到： . . 由基本不等式，得：. 因此，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 18. 若正实数、满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，且，， 所以, 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为. 19. 若，，，则的最小值为（   ） A．26 B．25 C．19 D．13 【答案】B 【详解】因为，，，所以， 当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为25. 20. 已知，，且，则的最小值为（     ） A． B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】利用常值代换法和基本不等式即可求得. 【详解】已知，，且， ， 当且仅当，结合得时等号成立， 的最小值为． 题型05 “1”的妙用（进阶） 21. 若，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合基本不等式及“”的代换，两次利用基本不等式可得最值. 【详解】已知，，， 则， 又，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 故， 由，当且仅当，即时等号成立， 则， 当且仅当，，时等号成立， 即的最小值为. 22. 已知，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件可得，再利用基本不等式求的最小值，由此可得结论. 【详解】因为， 因为，，，所以， 所以. 又因为， 当且仅当即时取等号. 所以. 故选：D 23. 已知，，，，则的最小值为（   ） A．4 B． C．18 D．20 【答案】C 【分析】利用常数代换，凑齐次，即可利用基本不等式先求得相关的最小值，再配凑利用基本不等式求得相关的最小值即可. 【详解】因为，，，，所以， 当且仅当，时等号成立， 所以原式， 当且仅当时等号成立， 故选：C. 24. 已知正数，，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】令，，则得，，利用“1”的代换及基本不等式求最值. 【详解】正数满足，则， 令，，则有，，， 则， 由， 当且仅当时等号成立，由解得， 即当，时，，即的最小值为. 故选：C. 25. ，，c，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化简，利用基本不等式可得，再利用基本不等式即可求解. 【详解】 ， 当且仅当，即，所以，时等号成立， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：. 【点睛】方法点睛：利用基本不等式求解最值问题，方法灵活，式子不能直接使用基本不等式时，常常需要变形，比如凑项法，“1”的妙用，消元法，多次使用基本不等式等. 题型06 换元法求最值 26. 已知，若，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，且，所以， 所以， 当且仅当即、时等号成立． 所以的最小值为. 27. 若，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】， ， 当且仅当，即时取等号， 所以. 28. 已知，，，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】由题意可得，再利用基本不等式求解即可. 【详解】 ， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为1. 故选：D. 29. 已知实数满足，且，则的最小值为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由得，变形，展开，利用基本不等式即可求最值. 【详解】因为，所以，即， ， 当且仅当即时取等号. 故选：C. 【点睛】本题考查基本不等式，考察转化与规划思想，应用基本不等式时，由和为定值，求其他和的最值，须两和相乘，化为基本不等式应用的模型. 30．设正实数满是 ，则的最小值为（　　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据可得，利用“1”的用法，结合基本不等式计算即可求解. 【详解】由，得，所以， 因为，所以， 则 ， 即， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：A. 题型07 二次与一次之比求最值 31．已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】令，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】令，则，因为，可得， 可得， 当且仅当时，即时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 32．已知，则的最大值是（    ）． A． B． C．5 D．8 【答案】A 【分析】化简变形利用基本不等式计算即可． 【详解】易知． 因为，所以，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故，则的最大值是． 故选：A 33．已知，则 的最大值是（    ） A． B． C．2 D．7 【答案】A 【分析】化简  为，利用均值不等式求解即可. 【详解】 ， ，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以  的最大值为 故选：A 34．函数的最大值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．-1 【答案】D 【解析】将函数的解析式进行变形，再利用基本不等式，即可得答案； 【详解】 ， 当且仅当,即等号成立. 故选：D. 【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查运算求解能力，求解时注意等号成立的条件. 35．若，则有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2 【答案】D 【分析】构造基本不等式即可得结果. 【详解】∵，∴， ∴， 当且仅当，即时，等号成立，即有最小值2. 故选：D. 【点睛】本题主要考查通过构造基本不等式求最值，属于基础题. 题型08 和、积、平方之间关系求最值 36．若，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式判断A、B、C；特殊值法判断D. 【详解】由，则， 当且仅当时等号成立，所以， 时左侧等号成立，时右侧等号成立，故A错，B对； 由，当且仅当时等号成立， 所以，C错； 当时满足，此时，D错. 故选：B 37．已知实数x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用重要不等式及其变形即可作出判断. 【详解】由，可得，故A错误； 由，可得， 根据，，， ，解得：．故BC错误； 由，可得， 即，故D正确. 故选：D 38．若实数a，b满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定的等式，利用均值不等式建立不等式，再求解不等式判断作答. 【详解】，由，得， 于是，整理得，当且仅当时取等号， 解得，A错误，B正确； 又，即，当且仅当时取等号，CD错误. 故选：B 39．（多选）已知实数满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用已知条件结合基本不等式计算判断选项A；利用有解，由判别式构造不等式，解不等式，判断选项B；由已知条件得出，进而求解判断选项C；由求出，结合已知条件计算求解． 【详解】已知，由基本不等式， 当时，，解得，当且仅当时取等号， 当时，，解得，当且仅当时等号成立， ，故A正确； 因为关于的方程有解，所以 因此，故B错误； 由，即由上可得， 所以，， 所以，故C正确； 因为，由选项A知， 由，得，故D正确． 40．已知实数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件，结合基本不等式计算即可判断AB；根据，结合基本不等式计算即可判断C；根据，基本不等式计算即可判断D． 【详解】A：由，得， 即，得， 解得，当且仅当时等号成立，故A错误； B：由选项A的分析知，故B错误； C：由，得，即， 所以， 得，当且仅当时等号成立，故C正确； D：由，得，即， 所以，得， 当且仅当时等号成立，故D错误； 故选：C． 题型09 利用基本不等式解决恒成立问题 41．已知正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将恒成立问题转化为求的最小值，再借助均值不等式即可求得结果. 【详解】因为对于正实数，不等式恒成立，即即可. 因为正实数满足， 所以， 当且仅当，即时等号成立，此时取到最小值为9， 所以. 42．已知正实数满足，若恒成立，则实数的最大值为（   ） A．8 B．16 C．24 D．36 【答案】C 【分析】根据题意，得到，结合基本不等式，求得，得到，进而求得实数的范围，得到答案. 【详解】由正实数满足，可得， 所以， 当且仅当时等号成立，所以， 所以的最小值为， 因为恒成立，可得，解得. 故选：C. 43．已知实数，，，且恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由乘1法，求得的最小值，即可求解. 【详解】， 当且仅当，即时，取等号， 所以， 故选：B 44．若任意正实数x，y满足，使得恒成立，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】由，得到，化简，结合基本不等式，即可求解． 【详解】由两个正实数满足， 即，， 所以， 当且仅当时等号成立， 又恒成立， 所以，解得． 故选：C． 45．已知，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】首先利用基本不等式求出的最小值，依题意，即可得到关于的一元二次不等式，解得即可. 【详解】因为，，且， 所以，当且仅当时等号成立， 所以或（舍去）， 即，当且仅当时取得， 因为不等式恒成立，所以， 即，解得，即实数的取值范围是. 故选：B 题型10 基本不等式综合运用 46．已知，，，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为3 【答案】BC 【分析】根据基本不等式及不等式等号成立的条件，逐项判断即可. 【详解】对于A，，当且仅当时，等号成立，故A错误； 对于B，，当且仅当时，等号成立，所以，故B正确； 对于C， ，当且仅当， 即，时，等号成立，故C正确； 对于D， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 与已知矛盾，所以等号不成立，故D错误. 综上所述，选项BC正确. 47．已知，且，下列结论正确的是（   ） A．xy的最大值为2 B．最小值为 C．最小值为 D．最小值为8 【答案】ABC 【详解】对于A：由基本不等式，代入得，化简得， 当且仅当时取等号，A正确； 对于B:（法一）：因为， 所以，且． 所以，当时，． （法二）由柯西不等式，则，所以， 当且仅当，即时取等号，所以B正确． 对于C: ， 当且仅当，即时取等号，所以C正确； D.，当且仅当，由A选项可知， 所以最小值为，D错误． 48．若，，且，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为6 D．的最大值为1 【答案】ABC 【分析】根据基本不等式即可判断ABC，根据二次函数的性质判断D. 【详解】对于A，由，得，即，所以，当且仅当时，等号成立，A正确； 对于B，，当且仅当时，等号成立，B正确； 对于C，由，则， 当且仅当，即，时，等号成立，C正确； 对于D，由，则，所以，即， ，无最大值，D错误． 49．已知，，，下列说法正确的是（   ） A．的最大值为1 B．的最小值为2 C．ab的最大值为 D．的最小值为2 【答案】BD 【分析】A直接利用基本不等式；B利用基本不等式求的最值；C对利用基本不等式；D利用消元法求解. 【详解】对于A，因为，，， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 此时是最小值不是最大值，故A不正确； 对于B，， 当且仅当，即，时，等号成立，故B正确； 对于C，因为，所以， 因为，，所以，所以， 令，所以，即，所以， 所以，所以， 当且仅当，即，时，等号成立，故C不正确； 对于D，因为，所以， 所以， 令，所以， 所以， 当且仅当，即，所以时，等号成立，故D正确. 50．已知正数，，满足，则（   ） A．的最大值为2 B．的最小值为3 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】BCD 【分析】对于ABC，利用基本不等式即可判断；对于D，根据消元，结合二次函数的最值即可判断. 【详解】对于A，， 当且仅当时，等号成立，故A错误； 对于B，， 当且仅当时，等号成立，故B正确． 对于C，， ， 当且仅当即时，等号成立，故C正确． 对于D，， ，， 当时有最小值，故D正确． 故选：BCD. 题型11 基本不等式实际应用 51．如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为．设总造价为S（单位：元），则当总造价S最小时，AD的长度为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设根据十字形地域的面积，得出的关系式，进而求出各个图形的面积，将各个区域造价相加，求得总造价，结合基本不等式，即可求得总造价最小值和取最小值时的长. 【详解】设 则，所以， 所以， 因为，即且，解得， 所以. 故 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时， 该休闲场所的总造价最小，最小值为 元. 故选：B 52．某食品加工厂生产某种食品，第一年产量为，第二年的增长率为，第三年的增长率为，这两年的平均增长率为（均大于零），则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意有，进而有，再应用基本不等式，即可比较大小. 【详解】由题意且， 则由基本不等式可得， 当且仅当，即时取等号，故. 故选：B 53．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设菜园的长为米，宽为米. (1)若菜园面积为49平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？最小值为多少？ (2)若使用的篱笆总长为40米，当，为多少时，有最小值？并求出最小值. 【答案】(1)为，为时，所用篱笆总长最小，最小值为 (2)当时有最小值，最小值是 【分析】（1）由题意可知，再根据基本不等式即可得解； （2）由题意可知，再根据基本不等式即可得解. 【详解】（1）由题意得，所用篱笆总长为. 因为， 当且仅当时，即，时等号成立， 所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小，最小值为； （2）由题意得， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，有最小值，最小值是. 答（1）菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小，最小值为， （2）当时，有最小值，最小值是. 54．某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米（）. (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的报价最低？最低为多少？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围. 【答案】(1)米，元 (2) 【分析】（1）先求得总报价的表达式，然后利用基本不等式求得最低报价. （2）根据整体报价列不等式，然后分离参数，利用基本不等式求得的取值范围. 【详解】（1）设甲工程队的总报价为y元， 则， 又， 当且仅当，即时等号成立. 即当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为元. （2）由题意可得，对任意的恒成立， 即， 所以， 又， 当且仅当，即时等号成立. 所以，所以的取值范围为. 55．已知一矩形纸片的周长为，如图，将沿向折叠，折过去后交于点．    (1)证明：． (2)若改变的长度矩形的周长保持不变，设，的面积为. ①试用表示面积； ②是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明：设折叠后点变成， 在与中，因为，，所以． 因为，，所以， 又，所以，所以． (2)①； ②存在，且最大值为. 【分析】（1）证明出，即可证得结论成立； （2）①设，，则，，，在中，利用勾股定理可得出，再由三角形的面积公式可得出关于的函数关系式，由求出函数的定义域，即可得出答案； ②利用基本不等式可求出的最大值，利用等号成立的条件求出的值，再验证成立，即可得出结论. 【详解】（1）设折叠后点变成， 在与中，因为，，所以． 因为，，所以， 又，所以，所以．    （2）①由题意可知矩形的周长为． 设，，则，，． 因为为直角三角形，所以，即， 解得， 从而， 所以， 由得可得， 因此，； ②因为， 当且仅当时，即当时，等号成立， 此时，，满足， 故当时，的面积取得最大值，最大值为. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2基本不等式 目录 题型01 基本不等式内容及辨析 1 题型02 利用基本不等式直接求最值 3 题型03 配凑法求最值 5 题型04 “1”的妙用 7 题型05 “1”的妙用（进阶） 8 题型06 换元法求最值 11 题型07 二次与一次之比求最值 13 题型08 和、积、平方之间关系求最值 15 题型09 利用基本不等式解决恒成立问题 18 题型10 基本不等式综合运用 20 题型11 基本不等式实际应用 24 题型01 基本不等式内容及辨析 1. 下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 2. “”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3. 下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 4. 《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 5. 《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法是后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，可以直接通过比较线段与线段的长度完成的无字证明为（  ）    A． B． C． D． 题型02 利用基本不等式直接求最值 6. 已知、都是正数，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 7. 已知正数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 8. 若，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 9. 已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．9 10. 已知正数，满足，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 题型03 配凑法求最值 11. 函数的最小值是（    ） A．8 B．6 C．9 D．4 12. 函数 的最小值为（    ） A． B． C． D． 13. 设实数x满足，则函数的最小值为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 14. 函数的最小值是（    ） A． B． C． D． 15. 已知，则的最小值为（   ） A． B．0 C．4 D．8 题型04 “1”的妙用 16. 已知a，b均为正数，，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 17. 已知，且，则的最小值为（    ） A．64 B．8 C． D． 18. 若正实数、满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 19. 若，，，则的最小值为（   ） A．26 B．25 C．19 D．13 20. 已知，，且，则的最小值为（     ） A． B．5 C．4 D．3 题型05 “1”的妙用（进阶） 21. 若，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 22. 已知，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 23. 已知，，，，则的最小值为（   ） A．4 B． C．18 D．20 24. 已知正数，，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 25. ，，c，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型06 换元法求最值 26. 已知，若，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 27. 若，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 28. 已知，，，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．1 29. 已知实数满足，且，则的最小值为 A． B． C． D． 30．设正实数满是 ，则的最小值为（　　　） A． B． C． D． 题型07 二次与一次之比求最值 31．已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 32．已知，则的最大值是（    ）． A． B． C．5 D．8 33．已知，则 的最大值是（    ） A． B． C．2 D．7 34．函数的最大值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．-1 35．若，则有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2 题型08 和、积、平方之间关系求最值 36．若，满足，则（    ） A． B． C． D． 37．已知实数x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 38．若实数a，b满足，则（    ） A． B． C． D． 39．（多选）已知实数满足，则（ ） A． B． C． D． 40．已知实数满足，则（   ） A． B． C． D． 题型09 利用基本不等式解决恒成立问题 41．已知正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 42．已知正实数满足，若恒成立，则实数的最大值为（   ） A．8 B．16 C．24 D．36 43．已知实数，，，且恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 44．若任意正实数x，y满足，使得恒成立，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 45．已知，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 题型10 基本不等式综合运用 46．已知，，，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为3 47．已知，且，下列结论正确的是（   ） A．xy的最大值为2 B．最小值为 C．最小值为 D．最小值为8 48．若，，且，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为6 D．的最大值为1 49．已知，，，下列说法正确的是（   ） A．的最大值为1 B．的最小值为2 C．ab的最大值为 D．的最小值为2 50．已知正数，，满足，则（   ） A．的最大值为2 B．的最小值为3 C．的最小值为 D．的最小值为 题型11 基本不等式实际应用 51．如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为．设总造价为S（单位：元），则当总造价S最小时，AD的长度为（   ）    A． B． C． D． 52．某食品加工厂生产某种食品，第一年产量为，第二年的增长率为，第三年的增长率为，这两年的平均增长率为（均大于零），则（    ） A． B． C． D． 53．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设菜园的长为米，宽为米. (1)若菜园面积为49平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？最小值为多少？ (2)若使用的篱笆总长为40米，当，为多少时，有最小值？并求出最小值. 54．某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米（）. (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的报价最低？最低为多少？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围. 55．已知一矩形纸片的周长为，如图，将沿向折叠，折过去后交于点．    (1)证明：． (2)若改变的长度矩形的周长保持不变，设，的面积为. ①试用表示面积； ②是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $