第7讲 柯西不等式与权方和不等式讲义-2027届高三数学一轮复习

第7讲柯西不等式与权方和不等式 目录■ Contents Part1考点突破 【考点1：柯西不等式】 【考点2：Acze|不等式（反柯西不等式）】 【考点3：权方和不等式】 Part2题型探究 题型1：柯西不等式之直接套公式型 题型2：柯西不等式之根式下有正负型 题型3：柯西不等式之高次定求低次型 题型4：柯西不等式之低次定求高次型 题型5：柯西不等式之整式与分式型 题型6：柯西不等式之多变量型 题型7：柯西不等式之根式求和型 题型8：Aczel不等式（反柯西不等式) 题型9：权方和不等式之整式与分式综合型 题型10：权方和不等式之三角函数型 题型11：权方和不等式之杂合型 Part3分层通关 Part1 考点突破 【考点1：柯西不等式】 (1)二元柯西不等式：对于任意的a6,c,d∈R,都有(ac+bd,(a2+)(c2+d)】 (2)n元柯西不等式：(a+a+…+a+++b(ah+ah,+…+ab,, 取等条件：4=b或6=a(i=l,2,,n). 用的时候先看等号能不能取到，取等条件不成立，算出来的最小值就是假的。 【考点2：Aczel不等式（反柯西不等式）】 设4,4，…，0；b,b,…,b均为实数，a---a>0或-号--b>0,则有 (a-a--aG-b--bm(a6-a,b,--a.b}.当且仅当{ax},,}成比例时 取等. 目标式里出现根号，且根号下是两个平方差，就往这个方向配。 【考点3：权方和不等式】 (1)二维形式的权方和不等式 ab (a+b) a_b 对于任意的a,bx,)>0,都有xy“x+y.当且仅当xy时，等号成立. (2)一般形式的权方和不等式 +…+04+a,+…a 若a>0,b>≥0，m>0,则公+G++6“6+6+…b,当4=边 时等号成立 认准一点：分子的幂比分母的幂多一次。是齐次分式就先把分子配成平方。 Part2 题型探究 【题型1：柯西不等式之直接套公式型】 【例1】(2025秋·昆都仑区校级期中)实数x,y满足(x-2)2+(y-1)2=1,则x2+y的 最大值是() A.4+2/3 B.4-2V3 c.6+2V5 D.6-2V5 【变式1】(2025秋·浙江月考)已知x,y,zR,且满足2x+y+5z=2,求x2+y+2的 最小值为 【题型2：柯西不等式之根式下有正负型】 【例2】(2026内蒙古竞赛)柯西不等式是法国著名的数学家，物理学家柯西发现的，故 命名为柯西不等式.柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式，其二维形式为 (a+a(b+b)上(ab,+a,b,P:当且仅当0-a时等号成立.则函数 b1 b2 f(x)=2X+x+12+4-12x+40的最大值为 【变式2】已知函数f(x)=x+3+10-2x的最小值为m. (1)求的值； (2)若a,b为正数，且a+b=,求3a+1+只3b+2的最大值. 【题型3：柯西不等式之高次定求低次型】 【例3】（选修4-5：不等式选讲) 己知正数x,y,z满足x2+y2+z2=1. (I)求x+2y+2z的最大值： (IⅡ)若不等式la-32x+2+2z对一切正数x,y,z恒成立，求实数a的取值范围. 【变式3)已知X>-1,y>-1月x+1(y+1)=9 ,且 则y的最大值是 【题型4：柯西不等式之低次定求高次型】 【例4】已知3x+2+2=3,则x+y+2z的取最小值时，Y为() A. V7 B. C.3 D. 3 【变式4】己知x2+y2+z2≤1，则x2+2y-2z+3的取值范围是 【题型5：柯西不等式之整式与分式型】 【例5】x,yER,且X +16=1,则(x+yan x y 【变式5】已知0<a<1,则a m(+9) a 1-a min 【题型6：柯西不等式之多变量型】 【例6】若x,y,z>0,且x2+x叶2xz+2yz=4,则2x+y叶2z的最小值是 【变式6】己知正实数x,y,z满足x2+x叶yz+xz+x+z=6,则3x+2y+z的最小值是 【题型7：柯西不等式之根式求和型】 【例7】设a>0,b>0,a+b=5,则Va+1+Vb+3的最大值为 【题型8：Aczel不等式（反柯西不等式）】 f(x)=5x-4-√x-4的最小值为 【例8】 【变式8】为提高学生的数学核心素养和学习数学的兴趣，学校在高一年级开设了《数学 探究与发现》选修课.在某次主题是“向量与不等式”的课上，学生甲运用平面向量的数 量积知识证明了普名的柯西不等式《二维)：当向量=(，)6=(6，”)时，有 a-≤时，即G5+了≤(G+(+),当且仅当=x时等号成立：学 生乙从这个结论出发，作一个代数变换，得到了一个新不等式： (-≥(-)（号-月）.当且仅当为=时等号成立，并取名为“类柯西不 12 等式”·根据前面的结论可知：当x∈R时，2x2+1x+1的最小值是 【题型9：权方和不等式之整式与分式综合型】 一十 【例9】x,y为正实数，且x+y=1,则x+2y+1的最小值是 【变式9】若x>0,y>0,x+2y=1,则，y 的最大值为 2x+y 【题型10：权方和不等式之三角函数型】 5 【例10】求fx)= 8 的最小值为 2sin x+3 5cosx+6 1 8 【变式10】已知θ为锐角，则sin日+cos6的最小值为 【题型11：权方和不等式之杂合型】 【例1】若正数a,b满足2a+b=1,则，0+b 的最小值是 2-2a2-b 【变式1】已知正实数a,b满足2a+b=3,则2a2+1+b2-2 的最小值是。 a b+2 Part3分层通关 【基础通关练】 1.已知a,b,c均为正数，且a+2b+4c=1,证明： 21+1218: (1)a"b"2e (2)4a2+b2+c2≥4 81 2设不等式r+>aaeN)的解集为A,且2e4, 3 (1)求a的值： 2)若m、”、“为正实数，且m+n+v2s=a,求m+m+ 的最小值 3.已知a,b,c均为正数，且a2+2b2+3c2=4,证明： abs② (1)若a=c,则2： (20+2b+3c≤2V6 4.已知函 f0=m-k-2,mR,且f(x+2)20的解集为- (1)求m的值： 1,1,1 (2)若a6,c∈R*,且。26+c=m,求a+26+3c的最小值 5.(1)已知a,b,c均为正实数，求证： 2b+3c-a+a+3c-2b+a+2b-3c≥3. a 2b 3c (2)已知a>0,b>0,a+b=1,求证： 1+4 6.已知a>0,b>0,a+b=2,则y= 的最小值是()。 a b 1 B.4 c D.5 1 .4 7己知0<a<1,则a+1-a的最小值是()。 A.4 B.8 c.9 D.10 C -+b、3 8.若△ABC三边对应分别为Q,b,C.求证：a+bb+cc+a2. 9已知a>0,b>0,a+b=3,则y吾+b7的敬小值为() 9 B.4 c D.9 10.若正数x,y满足+3y=5y,则3x+4y的最小值是() 24 28 A.5 B.5 C.5 D.6 11设×，’均为正数，且4 ,4x2+y2+xy=5 2x+y ，则 的最大值为() y1 12.若存在正实数y,使得y-X5x+4y,则实数x的最大值为 【提升通关练】 13.已知函数()=m-2-,且(+2列>0的 的解集为(-1,1) (1)求m的值： 1,11 (2)若正实数a,b,C,满足a+2b+3c=m求a+2b3c的最小值 14.已知a,b,c均为正数 )求证.（a+历+vE)(va历+c+a)≥9Wa bc ac 111 nab≥1 a若a+b+。1,求证：ab+ob(c+ac2a+2. a,beR,a2+b2≥2ab 15.我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式： 当且仅当 a=b 2+b2≥2ab 时，等号成立.我们从不等式 出发，可以得到一个非常优美的不等式 a,a2,…,a,b,b,…,b,ERbb,…bn≠0 一柯西不等式，柯西不等式的一般形式为： ,且 4=4==0 (a+a+…+a2+b吲+…+b)≥(a,6+a,b+…+ab尸，当且仅当6b, bn时， 等号成立 1)若x+2+22=35 ,求+2+2 的最小值： (②已知>0y>0,且2F+F≤m+V恒成立，求m的取值范国， 6)求近+v3x-2+7-的最大值 16,已知：若a,6c,d均为实数，则a+be+dr）上≥(ac+bd,当且仅当d=bc时等号 成立。试运用上述知识，分析以下向圈：函数（四=④-+2x-7在x= 时 取最大值 y= 17.求 sina 0<a< cosa 2的最小值. 1og。3+log69+log。27=12 18.已知a,b,c均大于1， ，则4b 的最小值为( A.243 B.27 C.81 D.9 9 1g.设p、geR0,2.则sinx cos的最小值是。 a.(i n.i 20.已知：a+b=1x2+y2= ，则r+ 的取值范围是( A.[0,2] B【-1, c.[-2,2] D.[0, 【培优通关练】 21.若实数+2y+32=1 x2+y2+22 ，则 的最小值为() 1 1 A.14 B.14 C.29 D.29 22.函数y=Vr-5+2V6-x 的最大值是() A⑤ B.v5 C.3 D.5 23.己知x,y,2>0,且x+y+2=9, x2+4y2+z2 ,则 的最小值为一 24已知实数0，b,C满足a+b+c=0则0+b+c=1,测口的最大值为一 第7讲 柯西不等式与权方和不等式 目录 Part 1 考点突破 【考点1：柯西不等式】 【考点2：Aczel不等式（反柯西不等式）】 【考点3：权方和不等式】 Part2 题型探究 题型1：柯西不等式之直接套公式型 题型2：柯西不等式之根式下有正负型 题型3：柯西不等式之高次定求低次型 题型4：柯西不等式之低次定求高次型 题型5：柯西不等式之整式与分式型 题型6：柯西不等式之多变量型 题型7：柯西不等式之根式求和型 题型8：Aczel不等式（反柯西不等式） 题型9：权方和不等式之整式与分式综合型 题型10：权方和不等式之三角函数型 题型11：权方和不等式之杂合型 Part3 分层通关 Part 1 考点突破 【考点1：柯西不等式】 （1）二元柯西不等式：对于任意的，都有． （2）元柯西不等式： ，取等条件：或（）． 用的时候先看等号能不能取到，取等条件不成立，算出来的最小值就是假的。 【考点2：Aczel不等式（反柯西不等式）】 设；均为实数，或，则有．当且仅当，成比例时取等． 目标式里出现根号，且根号下是两个平方差，就往这个方向配。 【考点3：权方和不等式】 （1）二维形式的权方和不等式 对于任意的，都有．当且仅当时，等号成立． （2）一般形式的权方和不等式 若，，，则，当时等号成立． 认准一点：分子的幂比分母的幂多一次。是齐次分式就先把分子配成平方。 Part 2 题型探究 【题型1：柯西不等式之直接套公式型】 【例1】（2025秋•昆都仑区校级期中）实数x，y满足（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1，则x2+y2的最大值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】法一：令，（θ为参数），代入x2+y2利用三角恒等变换即可求解； 法二：由题意有x2+y2﹣4x﹣2y+4＝0，利用柯西不等式得，令得，解一元二次不等式即可求解． 【解答】解：法一：由题意令，（θ为参数）， 所以x2+y2＝（2+cosθ）2+（1+sinθ）2＝6+4cosθ+2sinθ ， 所以x2+y2的最大值是， 法二：由（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1有x2+y2﹣4x﹣2y+4＝0， 所以， 当且仅当时，等号成立， 令，所以，即， 所以，所以， 所以，即， 所以x2+y2的最大值是． 故选：C． 【变式1】（2025秋•浙江月考）已知x，y，z∈R，且满足，求x2+y2+z2的最小值为　　 ． 【答案】． 【分析】利用柯西不等式，通过合理构造系数，直接推导得出x2+y2+z2的最小值． 【解答】解：由柯西不等式， 令a1＝x，a2＝y，a3＝z，b1＝2，b2＝1，， 则， 因为，所以（x2+y2+z2）×10≥4， 解得， 当且仅当，即，，时取等号． 故答案为：． 【题型2：柯西不等式之根式下有正负型】 【例2】（2026•内蒙古竞赛）柯西不等式是法国著名的数学家，物理学家柯西发现的，故命名为柯西不等式．柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式，其二维形式为，当且仅当时等号成立．则函数的最大值为　6　 ． 【答案】6． 【分析】由已知结合柯西不等式即可求解． 【解答】解：由二维柯西不等式可得， f（x）定义域解得 x∈[﹣3，2]， ∴ ， 当且仅当，即，x时等号成立， 所以f（x）最大值为6， 【变式2】已知函数f（x）＝|x+3|+|10﹣2x|的最小值为m． （1）求m的值； （2）若a，b为正数，且a+b＝m，求的最大值． 【答案】（1）8；（2）． 【分析】（1）利用绝对值不等式的性质即可得解； （2）由（1）得a+b＝8，再由柯西不等式即可得解． 【解答】解：（1）f（x）＝|x+3|+2|5﹣x|＝|x+3|+|5﹣x|+|5﹣x|≥|x+3+5﹣x|+|5﹣x|≥8+|5﹣x|≥8， 当且仅当x＝5时等号成立， 故f（x）的最小值为8，即m＝8； （2）由（1）可知，a+b＝8， 由柯西不等式可知，， 即， 则，当且仅当时等号成立， 则的最大值为． 【题型3：柯西不等式之高次定求低次型】 【例3】（选修4﹣5：不等式选讲） 已知正数x，y，z满足x2+y2+z2＝1． （Ⅰ）求x+2y+2z的最大值； （Ⅱ）若不等式|a﹣3|≥x+2y+2z对一切正数x，y，z恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【分析】（Ⅰ）分析题目已知x2+y2+z2＝1，求x+2y+3z的最大值．考虑到应用柯西不等式（ax+by+cz）2≤（a2+b2+c2）（x2+y2+z2），首先构造出柯西不等式求出（x+2y+2z）2的最大值，开平方根即可得到答案； （Ⅱ）由（Ⅰ）得，不等式|a﹣3|≥x+2y+2z对一切正数x，y，z恒成立，当且仅当|a﹣3|≥3成立， 【解答】解：（Ⅰ）因为已知x2+y2+z2＝1根据柯西不等式： （ax+by+cz）2≤（a2+b2+c2）（x2+y2+z2）构造得： （x+2y+2z）2≤（x2+y2+z2）（12+22+22）≤1×9＝9 故x+2y+2z．当且仅当x时取等号． 则当x，y＝z时x+2y+2z的最大值是3； （Ⅱ）由（Ⅰ）得，不等式|a﹣3|≥x+2y+2z对一切正数x，y，z恒成立， 当且仅当|a﹣3|≥3成立， 即或，解得a≤0，或a≥6， 所以实数a的取值范围是（﹣∞，0]∪[6，+∞）． 【变式3】已知，且，则的最大值是 ． 解：同次和积配凑模型 ,故的最大值是4． 【题型4：柯西不等式之低次定求高次型】 【例4】已知3x+2y+z＝3，则x2+y2+2z2的取最小值时，为（　　） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据已知条件，结合柯西不等式，即可求解． 【解答】解：由柯西不等式得：3＝3x+2y+z， 则x2+y2+2z2．则根据等号成立条件知，x，y，z， 所以． 故选：B． 【变式4】已知x2+y2+z2≤1，则x2+2y﹣2z+3的取值范围是 　[3﹣2，3+2]　 ． 【答案】[3﹣2，3+2]． 【分析】根据柯西不等式可得，即可得，根据不等式性质结合两点间距离公式可得，即可得出结果． 【解答】解：因为[y+（﹣z）]2≤（1+1）[y2+（﹣z）2]≤2（x2+y2+z2）≤2， 则，且x2≥0，可得， 当且仅当x＝0，，时，等号成立； 又因为x2+y2+z2≤1，则x2≤1﹣y2﹣z2， 可得x2+2y﹣2z+3≤4﹣（y2+z2﹣2y+2z）． 且y2+z2﹣2y+2z＝（y﹣1）2+（z+1）2﹣2， 设点A（﹣1，1）和标准单位圆面内点P（y，z），则（y﹣1）2+（z+1）2﹣2＝|PA|2﹣2， 又因为，可得， 则， 当且仅当时，等号成立； 综上所述：所求的取值范围是． 故答案为：． 【题型5：柯西不等式之整式与分式型】 【例5】，且，则 ． 解：一次与分式模型 ,又，． 【变式5】已知，则 ． 解：分式与分式模型（分母和为定值） ，故 【题型6：柯西不等式之多变量型】 【例6】若x，y，z＞0，且x2+xy+2xz+2yz＝4，则2x+y+2z的最小值是 　4　 ． 【答案】4． 【分析】根据题意，求出（2x+y+2z）2的最小值，即可求出2x+y+2z的最小值． 【解答】解：因为x，y，z＞0，且x2+xy+2xz+2yz＝4，所以2x+y+2z＞0， 所以（2x+y+2z）2＝4x2+y2+4z2+4xy+4yz+8xz＝4（x2+xy+2xz+2yz）﹣4yz+y2+4z2＝4×4+（y﹣2z）2≥16， 当且仅当y＝2z时取“＝”， 所以2x+y+2z的最小值是4． 故答案为：4． 【变式6】已知正实数x，y，z满足x2+xy+yz+xz+x+z＝6，则3x+2y+z的最小值是 　　 ． 【答案】． 【分析】因式分解得到，变形后得到，利用基本不等式求出最小值． 【解答】解：因为x，y，z为正实数， 故x2+xy+yz+xz+x+z＝6⇒（x2+xz）+（xy+yz）+（x+z）＝6， 即， ， 当且仅当，即，此时， 所以3x+2y+z的最小值为． 故答案为：． 【题型7：柯西不等式之根式求和型】 【例7】设 ，，，则 的最大值为________。 【答案】 【解析】方法一：，，，当且仅当 且 ，即 ， 时，取得等号； 方法二：由权方和不等式得 ，当且仅当 ，即 ， 时，取得等号； 方法三：由柯西不等式得 ，当且仅当 且 ，即 ， 时，取得等号， 的最大值为 。 【题型8：Aczel不等式（反柯西不等式）】 【例8】的最小值为 ． 【答案】 【解析】 当且仅当即时取等号， 故的最小值为． 【变式8】为提高学生的数学核心素养和学习数学的兴趣，学校在高一年级开设了《数学探究与发现》选修课．在某次主题是“向量与不等式”的课上，学生甲运用平面向量的数量积知识证明了著名的柯西不等式（二维）；当向量时，有，即，当且仅当时等号成立；学生乙从这个结论出发．作一个代数变换，得到了一个新不等式：，当且仅当时等号成立，并取名为“类柯西不等式”．根据前面的结论可知：当时，的最小值是 ． 【答案】 【解析】由题意得， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 即，则， 所以，最小值为，此时． 故答案为：. 【题型9：权方和不等式之整式与分式综合型】 【例9】为正实数，且，则的最小值是 . 解： 【变式9】若 ，，，则 的最大值为________。 【答案】 【解析】方法一：，又 ，当且仅当 ，，即 时，取得等号，故 的最大值为 ； 方法二：，因此求 的最大值，就是在求 的最小值，由权方和不等式得 ，当且仅当 ，且 ，即 时，取得等号，故 的最大值为 。 【题型10：权方和不等式之三角函数型】 【例10】求 的最小值为________． 【答案】 【解析】，当且仅当 且 ，即 ， 时，取得等号． 【变式10】已知为锐角，则的最小值为 . 【答案】 【解析】 当且仅当即，时取“”. 故答案为： 【题型11：权方和不等式之杂合型】 【例11】若正数 ， 满足 ，则 的最小值是__________。 【答案】 【解析】设 ，解得 ，，又 ，即有 ，当且仅当 ，且 ，即 ， 时，取得等号。 【变式11】已知正实数 ， 满足 ，则 的最小值是______。 【答案】 【解析】， 正实数 满足 ，，当且仅当 且 ，即 ， 时，取得等号，即 的最小值是 。 Part 3 分层通关 【基础通关练】 1．已知a，b，c均为正数，且，证明： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）证明： ，         当且仅当，，时，等号成立. 所以. （2）证明：由柯西不等式得： ， 当且仅当，即，，时，等号成立.     所以. 2．设不等式的解集为，且，. (1)求的值； (2)若、、为正实数，且，求的最小值. 【答案】(1) (2)的最小值为 【分析】 【详解】（1）因为，，所以，，即， 因为，则. （2）由（1）可知，， 由柯西不等式可得， 当且仅当时，即当，时，等号成立， 所以，，当且仅当时，即当，时，等号成立， 因此，的最小值为. 3．已知a，b，c均为正数，且，证明： (1)若，则； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1），，， ， 当且仅当，时取等号， ，即； （2）∵a，b，c均为正数，且，由柯西不等式得， ， ， ，当且仅当时取等号． 4．已知函数，m∈R，且的解集为． （1）求的值； （2）若+，且，求的最小值. 【答案】（1）.（2）的最小值为9. 【详解】试题分析：（1）由已知，得到 所以 根据的解集是，得到. （2）由(1)知，，由柯西不等式即得所求. 试题解析：（1）因为，所以. 所以 又的解集是，故. 5分 （2）由(1)知，，由柯西不等式得 ∴的最小值为9 10分 考点：绝对值不等式解法，柯西不等式. 5．(1)已知均为正实数，求证：； (2)已知，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）因为均为正实数， 所以（当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， 以上三式相加，得（当且仅当时等号成立）， 所以（当且仅当时等号成立）， 即（当且仅当时等号成立）． （2）因为, 则， 因为，，由得 当且仅当时等号成立. 所以. 6．已知 ，，，则 的最小值是（　　）。 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】方法一：，，当且仅当 ，即 时，等号成立； 方法二：由权方和不等式得 ，当且仅当 ，即 ， 时，取得等号； 方法三：由柯西不等式知 ，当且仅当 且 ，即 ， 时取得等号。 7．已知 ，则 的最小值是（　　）。 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】方法一：，，当且仅当 ，即 时取等号， 的最小值是 ； 方法二：由权方和不等式得 ，当且仅当 ，即 时，取得等号。 8．若三边对应分别为.求证：. 证明：权方和不等式 当等号成立 注意：（同时乘2移项转化成完全平方式） 9．已知 ，，，则 的最小值为（　　）。 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】方法一：由 ，可得 ，则 ，当且仅当 ，且 ，即 ， 时，取得等号； 方法二：由权方和不等式得 ，当且仅当 ，且 ，即 ， 时，取得等号。 10．若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是( ) A． B． C．5 D．6 解：第一步：令 整理得： 第二步：根据 解得 故答案为 11．设，均为正数，且，则的最大值为（ ） 解：第一步：令 整理得： 第二步：根据 解得 故答案为 12．若存在正实数，使得，则实数的最大值为_______ 解：第一步：令 整理得： 第二步：根据 解得 故答案为 【提升通关练】 13．已知函数，且的解集为. (1)求的值； (2)若正实数，满足.求的最小值. 【答案】（1）（2）9 【详解】试题分析：（1）由得，解得其解集为，即可得到实数的值； （2）由(1)知，又是正实数，利用柯西不等式，即可求解其最小值. 试题解析：（1）因为 所以由得 由有解，得，且其解集为 又不等式解集为，故 （2）由(1)知，又是正实数， 由柯西不等式得 当且仅当时取等号 故的最小值为9 14．已知，，均为正数 (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）∵，，均为正数， ∴，，均为正数， ∴由三个正数的均值定理，有，当且仅当时等号成立． 又∵，，均为正数， ∴由三个正数的均值定理， 有，当且仅当时等号成立． ∴， 当且仅当时等号成立． ∴. （2）,同理可得, ∴, 设有 则原式=     由可得， ∴ ，当且仅当时等号成立， ∴. 15．我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：，当且仅当时，等号成立．我们从不等式出发，可以得到一个非常优美的不等式——柯西不等式，柯西不等式的一般形式为：，且，，当且仅当时，等号成立． (1)若，求的最小值； (2)已知，且恒成立，求的取值范围； (3)求的最大值． 【答案】(1)3； (2)； (3)9. 【分析】 【详解】（1）由及柯西不等式，得， 则，当且仅当，即取等号， 所以的最小值为3. （2）由及柯西不等式得， 则，即，当且仅当，即时取等号， 又不等式恒成立，则， 所以的取值范围是. （3）由柯西不等式得 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为9. 16．已知：若均为实数，则，当且仅当时等号成立．试运用上述知识，分析以下问题：函数在___________时取最大值___________． 【答案】 【详解】由题意，可得 ， 当且仅当时，即时，等号成立，所以， 即的最大值为. 故答案为：；. 17．求的最小值． 【答案】 【详解】由柯西不等式得： ． 所以，且当且仅当时等号成立． 故． 18．已知a，b，c均大于1，，则的最小值为（    ） A．243 B．27 C．81 D．9 【答案】B 【解析】由得， 所以 ， 当且仅当时取等， 所以， 所以， 即的最小值为27， 故选：B 19．设、，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，因为，则且， 因为，构造数字式 ， 所以，，故， 当且仅当，即当时，等号成立， 因此，的最小值是. 故选：B. 20．已知：，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用柯西不等式，可得,解不等式即可.解:利用柯西不等式，得, ， 解得. 故选:B 【培优通关练】 21．若实数，则的最小值为（    ） A．14 B． C．29 D． 【答案】B 【解析】根据柯西不等式：，即， 当且仅当，，时等号成立. 故选：B. 22．函数 的最大值是( ) A． B． C．3 D．5 【答案】B 【解析】利用柯西不等式求解.因为 当且仅当，即时，取等号. 故选：B 23．已知x，y，，且，则的最小值为 ． 【答案】36 【解析】由柯西不等式可得， 所以，即， 当且仅当即也即时取得等号， 故答案为:36. 24．已知实数满足则，则的最大值为___ 解：第一步：令 整理得： 第二步：根据 解得 故答案为 学科网（北京）股份有限公司 $