重难点培优03 拓展不等式：柯西、权方和不等式考点梳理（培优讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

该高中数学高考复习讲义聚焦柯西不等式、权方和不等式两大拓展不等式考点，按“基础公式-变式拓展-多维应用”逻辑梳理知识体系，通过知识精讲、题型深研、分层训练三阶教学环节，帮助学生构建不等式求最值的解题框架，突破高考难点。 讲义创新采用“公式推导-通法总结-变式迁移”教学模式，如柯西不等式求分式最值时结合权方和对比训练，培养学生数学思维与运算能力。设置巩固过关、创新提升分层练习，精准对接高考要求，助力学生高效掌握解题技巧，为教师把控复习节奏提供实用教学工具。

重难点培优03 拓展不等式：柯西、权方和不等式考点梳理内容导航 知识精讲·重难聚焦讲技巧 1 知识点01 柯西不等式 1 知识点02 权方和不等式 2 题型深研·通法变式提能力 2 题型1 利用柯西不等式求整式的最值 2 题型2 利用柯西不等式求分式的最值 3 题型3 利用柯西不等式求根式的最值 4 题型4 利用柯西不等式求三角函数式的最值 5 题型5 直接利用权方和不等式求最值 5 题型6 权方和不等式的变形 6 分层进阶·双阶训练验成效 6 巩固过关 6 创新提升 7 知识精讲·重难聚焦讲技巧 知识点01 柯西不等式 1、二维形式的柯西不等式是基础常用公式，表达式为，式中均为实数，当且仅当时，不等式取到等号。 2、二维柯西不等式衍生出三类常用变式，每一类都有对应的适用条件与等号成立要求，做题时可根据所求式子结构灵活选用。 第一类变式，式中均为实数，在时取等； 第二类变式，式中均为实数，满足时等号成立； 第三类变式，要求，时取等。 3、柯西不等式可以拓展到组实数的一般形式，公式为，当且仅当存在实数，使得时，等号成立，多用于多变量最值求解。 4、柯西不等式的向量表达形式，，等号成立分为两种情况，一是其中一个向量为零向量，二是两个向量存在实数倍数关系，也就是，该形式常用来结合向量模长、数量积综合出题。 知识点02 权方和不等式 1、权方和不等式二维形式：已知，则有（当且仅当时，等号成立），常用来快速处理分式求和最小值问题。 2、权方和不等式能够推广到项通用形式：设（…，），实数，则，当且仅当…时等号成立。 该不等式核心特征十分鲜明，分子未知数的幂次比分母未知数的幂次多1，看到这类分式求和题型，可优先考虑使用权方和简化运算。 题型深研·通法变式提能力 题型1 利用柯西不等式求整式的最值 例1．已知a，b，c均为正数，且，证明： (1)； (2). 变式1-1．设不等式的解集为，且，. (1)求的值； (2)若、、为正实数，且，求的最小值. 变式1-2．已知a，b，c均为正数，且，证明： (1)若，则； (2). 变式1-3．已知函数，m∈R，且的解集为． （1）求的值； （2）若+，且，求的最小值. 题型2 利用柯西不等式求分式的最值 例2．(1)已知均为正实数，求证：； (2)已知，求证：. 变式2-1．已知正实数x、y、z的和为1，则的最小值为______． 变式2-2．已知函数，且的解集为. (1)求的值； (2)若正实数，满足.求的最小值. 变式2-3．已知，，均为正数 (1)求证：； (2)若，求证：． 题型3 利用柯西不等式求根式的最值 例3．我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：，当且仅当时，等号成立．我们从不等式出发，可以得到一个非常优美的不等式——柯西不等式，柯西不等式的一般形式为：，且，，当且仅当时，等号成立． (1)若，求的最小值； (2)已知，且恒成立，求的取值范围； (3)求的最大值． 变式3-1．已知：若均为实数，则，当且仅当时等号成立．试运用上述知识，分析以下问题：函数在___________时取最大值___________． 变式3-2．求函数的值域． 变式3-3．已知，则的最小值是_____． 题型4 利用柯西不等式求三角函数式的最值 例4．若α,β为锐角,且 A． B． C． D． 变式4-1．求的最小值． 变式4-2．已知为正数，且满足，求证：． 变式4-3．已知，求证：. 题型5 直接利用权方和不等式求最值 例5．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时，等号成立.根据权方和不等式，函数（）的最小值为（   ） A．1 B． C． D．25 变式5-1．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为（   ） A．39 B．52 C．49 D．36 变式5-2．“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初命名的．其具体内容为：设，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，若，当取得最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 变式5-3．（1）若，且，则的最小值为________． （2）已知正实数满足，则的最小值为________． 题型6 权方和不等式的变形 例6．已知，，为非负实数，且满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式6-1．若锐角满足，则的最小值是_____. 变式6-2．已知正数，，满足，则的最小值为______________ 分层进阶·双阶训练验成效 巩固过关 1．已知且，a，b，c为常数，则的最小值为（    ） A． B． C． D．前三个答案都不对 2．若，则的最大值为______． 3．已知是一个锐角，那么的最小值是_____. 4．若，满足，则函数的最大值是_____． 5．求函数的最大值． 6．已知正实数a，b，c满足. (1)求的最小值； (2)证明：. 7．已知正数，，，求证：． 8．设正数，，满足． (1)求的最小值； (2)求证：． 9．已知x，y，z为正数，证明： (1)若，则； (2)若，则． 创新提升 1．（多选）函数的值可以是（    ） A． B． C．3 D．5 2．已知证明： 3．已知，求的最大值． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优03 拓展不等式：柯西、权方和不等式考点梳理内容导航 知识精讲·重难聚焦讲技巧 1 知识点01 柯西不等式 1 知识点02 权方和不等式 2 题型深研·通法变式提能力 2 题型1 利用柯西不等式求整式的最值 2 题型2 利用柯西不等式求分式的最值 4 题型3 利用柯西不等式求根式的最值 7 题型4 利用柯西不等式求三角函数式的最值 9 题型5 直接利用权方和不等式求最值 11 题型6 权方和不等式的变形 13 分层进阶·双阶训练验成效 15 巩固过关 15 创新提升 15 知识精讲·重难聚焦讲技巧 知识点01 柯西不等式 1、二维形式的柯西不等式是基础常用公式，表达式为，式中均为实数，当且仅当时，不等式取到等号。 2、二维柯西不等式衍生出三类常用变式，每一类都有对应的适用条件与等号成立要求，做题时可根据所求式子结构灵活选用。 第一类变式，式中均为实数，在时取等； 第二类变式，式中均为实数，满足时等号成立； 第三类变式，要求，时取等。 3、柯西不等式可以拓展到组实数的一般形式，公式为，当且仅当存在实数，使得时，等号成立，多用于多变量最值求解。 4、柯西不等式的向量表达形式，，等号成立分为两种情况，一是其中一个向量为零向量，二是两个向量存在实数倍数关系，也就是，该形式常用来结合向量模长、数量积综合出题。 知识点02 权方和不等式 1、权方和不等式二维形式：已知，则有（当且仅当时，等号成立），常用来快速处理分式求和最小值问题。 2、权方和不等式能够推广到项通用形式：设（…，），实数，则，当且仅当…时等号成立。 该不等式核心特征十分鲜明，分子未知数的幂次比分母未知数的幂次多1，看到这类分式求和题型，可优先考虑使用权方和简化运算。 题型深研·通法变式提能力 题型1 利用柯西不等式求整式的最值 例1．已知a，b，c均为正数，且，证明： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）证明： ，         当且仅当，，时，等号成立. 所以. （2）证明：由柯西不等式得： ， 当且仅当，即，，时，等号成立.     所以. 变式1-1．设不等式的解集为，且，. (1)求的值； (2)若、、为正实数，且，求的最小值. 【答案】(1) (2)的最小值为 【分析】 【详解】（1）因为，，所以，，即， 因为，则. （2）由（1）可知，， 由柯西不等式可得， 当且仅当时，即当，时，等号成立， 所以，，当且仅当时，即当，时，等号成立， 因此，的最小值为. 变式1-2．已知a，b，c均为正数，且，证明： (1)若，则； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1），，， ， 当且仅当，时取等号， ，即； （2）∵a，b，c均为正数，且，由柯西不等式得， ， ， ，当且仅当时取等号． 变式1-3．已知函数，m∈R，且的解集为． （1）求的值； （2）若+，且，求的最小值. 【答案】（1）.（2）的最小值为9. 【详解】试题分析：（1）由已知，得到 所以 根据的解集是，得到. （2）由(1)知，，由柯西不等式即得所求. 试题解析：（1）因为，所以. 所以 又的解集是，故. 5分 （2）由(1)知，，由柯西不等式得 ∴的最小值为9 10分 考点：绝对值不等式解法，柯西不等式. 题型2 利用柯西不等式求分式的最值 例2．(1)已知均为正实数，求证：； (2)已知，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）因为均为正实数， 所以（当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， 以上三式相加，得（当且仅当时等号成立）， 所以（当且仅当时等号成立）， 即（当且仅当时等号成立）． （2）因为, 则， 因为，，由得 当且仅当时等号成立. 所以. 变式2-1．已知正实数x、y、z的和为1，则的最小值为______． 【答案】/ 【详解】解法一：（柯西不等式）∵x，y，，， ∴ ， 则．当且仅当时取等号． 解法二：（均值不等式），，， 所以． 当且仅当时取等号． 解法三：（权方和不等式）． 当且仅当时取等号． 故答案为： 变式2-2．已知函数，且的解集为. (1)求的值； (2)若正实数，满足.求的最小值. 【答案】（1）（2）9 【详解】试题分析：（1）由得，解得其解集为，即可得到实数的值； （2）由(1)知，又是正实数，利用柯西不等式，即可求解其最小值. 试题解析：（1）因为 所以由得 由有解，得，且其解集为 又不等式解集为，故 （2）由(1)知，又是正实数， 由柯西不等式得 当且仅当时取等号 故的最小值为9 变式2-3．已知，，均为正数 (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）∵，，均为正数， ∴，，均为正数， ∴由三个正数的均值定理，有，当且仅当时等号成立． 又∵，，均为正数， ∴由三个正数的均值定理， 有，当且仅当时等号成立． ∴， 当且仅当时等号成立． ∴. （2）,同理可得, ∴, 设有 则原式=     由可得， ∴ ，当且仅当时等号成立， ∴. 题型3 利用柯西不等式求根式的最值 例3．我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：，当且仅当时，等号成立．我们从不等式出发，可以得到一个非常优美的不等式——柯西不等式，柯西不等式的一般形式为：，且，，当且仅当时，等号成立． (1)若，求的最小值； (2)已知，且恒成立，求的取值范围； (3)求的最大值． 【答案】(1)3； (2)； (3)9. 【分析】 【详解】（1）由及柯西不等式，得， 则，当且仅当，即取等号， 所以的最小值为3. （2）由及柯西不等式得， 则，即，当且仅当，即时取等号， 又不等式恒成立，则， 所以的取值范围是. （3）由柯西不等式得 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为9. 变式3-1．已知：若均为实数，则，当且仅当时等号成立．试运用上述知识，分析以下问题：函数在___________时取最大值___________． 【答案】 【详解】由题意，可得 ， 当且仅当时，即时，等号成立，所以， 即的最大值为. 故答案为：；. 变式3-2．求函数的值域． 【答案】 【详解】根据题意，由柯西不等式法 ． 当时，， 当时，， 所以, 即函数的值域为. 变式3-3．已知，则的最小值是_____． 【答案】 【详解】由于， 同理可得．三式相加得 等号成立时．所以的最小值为． 故答案为： 题型4 利用柯西不等式求三角函数式的最值 例4．若α,β为锐角,且 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意：.当且仅当，时等号成立， 即，. 故选：A. 【点睛】本题主要考查柯西不等式求最值，三角方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 变式4-1．求的最小值． 【答案】 【详解】由柯西不等式得： ． 所以，且当且仅当时等号成立． 故． 变式4-2．已知为正数，且满足，求证：． 【答案】详见解析 【详解】由柯西不等式，得 ≤＝． 【点睛】本题考查了柯西不等式证明不等式的方法，属于基础题． 变式4-3．已知，求证：. 【答案】证明见解析 【详解】由柯西不等式：， 当且仅当， 即， 即，即， 即，即， 即时等号成立， 因为， 则， ∴左边右边， ∴. 题型5 直接利用权方和不等式求最值 例5．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时，等号成立.根据权方和不等式，函数（）的最小值为（   ） A．1 B． C． D．25 【答案】C 【详解】因为，所以. ， 当且仅当，即（在范围内）时，等号成立. 变式5-1．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为（   ） A．39 B．52 C．49 D．36 【答案】B 【详解】因为， 因为，所以，， 根据权方和不等式有：， 当且仅当时，即时等号成立. 所以函数的最小值为. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据权方和不等式定义将函数解析式变形，从而利用权方和不等式求最值. 变式5-2．“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初命名的．其具体内容为：设，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，若，当取得最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，， 则， 当且仅当，即时等号成立，所以． 故选：C． 变式5-3．（1）若，且，则的最小值为________． （2）已知正实数满足，则的最小值为________． 【答案】 27 【详解】二元形式的权方和不等式：已知，则有：(当且仅当时取等号)； 一般形式的权方和不等式：设，实数，则(当且仅当时取等号)． （1），，则， 因此，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. （2）是正实数，，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为27. 故答案为： ；27 题型6 权方和不等式的变形 例6．已知，，为非负实数，且满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由权方和不等式，可知 ， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为2. 故选：B 变式6-1．若锐角满足，则的最小值是_____. 【答案】 【详解】 ， 等号成立时． 附：权方和不等式的证明． (Hölder不等式)设， 则． 取，代入Hölder不等式得 ． 故答案为：. 变式6-2．已知正数，，满足，则的最小值为______________ 【答案】 【详解】因为正数，满足， 所以， 当且仅当即时取等号. 故答案为：. 分层进阶·双阶训练验成效 巩固过关 1．已知且，a，b，c为常数，则的最小值为（    ） A． B． C． D．前三个答案都不对 【答案】D 【详解】根据柯西不等式，有 ， 等号当时取得，因此所求最小值为． 故选：D. 2．若，则的最大值为______． 【答案】6 【详解】， 当且仅当，即时取“=”. 所以的最大值为6. 故答案为:6 3．已知是一个锐角，那么的最小值是_____. 【答案】 【详解】应用权方和不等式，有 等号成立时． 所以的最小值是． 故答案为：. 4．若，满足，则函数的最大值是_____． 【答案】 【详解】由柯西不等式得 ，等号成立时． 所以函数的最大值是． 故答案为： 5．求函数的最大值． 【答案】 【详解】函数的定义域是，且，根据柯西不等式， 得． 当且仅当时等号成立，即时函数取最大值． 6．已知正实数a，b，c满足. (1)求的最小值； (2)证明：. 【答案】(1) (2)证明过程见解析. 【分析】 【详解】（1）因为，， 所以有， 当且仅当时取等号，即取等号； （2）因为， 所以，当且仅当时取等号， 同理，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， 于是有，当且仅当时取等号. 7．已知正数，，，求证：． 【答案】证明见解析 【详解】因为，，是正数，根据柯西不等式，有 ， 所以，． 8．设正数，，满足． (1)求的最小值； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）由三维形式的柯西不等式知： ． ，， 当且仅当，即，时，取最小值． （2）由柯西不等式知： ， 所以． 9．已知x，y，z为正数，证明： (1)若，则； (2)若，则． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）因为，所以， 同理可得，， 所以，故， 当且仅当时等号成立． （2）， 因为，所以，当且仅当时等号成立． 创新提升 1．（多选）函数的值可以是（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】AB 【详解】由函数可知， 故 当且仅当，即时，取等号， 则， 令， 则，而， 其中为锐角，， 结合，则， 则在上单调递增，在上单调递减， 而，故的最小值为1， 即得， 结合选项可知，符合题意， 故选：AB 2．已知证明： 【答案】证明见解析 【详解】证明： ， . 3．已知，求的最大值． 【答案】最大值为1 【详解】法一：（三角换元）令，，（，）， ， 当且仅当，或者，时等号成立，故最大值为1． 法二：（柯西不等式） ， 当且仅当，或时等号成立． 的最大值为1． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $