拓展培优3 柯西不等式（整式类型、分式类型、待定系数类型）培优讲义 - 2027届高三数学一轮复习

该高中数学柯西不等式培优讲义，系统覆盖整式、分式、待定系数三种类型柯西不等式，按“笃学新知-典例探究-新学检测”逻辑架构，通过考点分类梳理、解题方法归纳、高考真题演练，帮助学生构建知识网络，突破应用难点，体现复习教学的系统性与针对性。 资料以数学思维培养为核心，创新设计待定系数法解题流程，引导学生通过参数引入、方程联立、取等验证深化逻辑推理，结合分式类型“和与倒数和配对”模型训练，规范数学语言表达。设置分层练习与易错提醒，确保高效突破考点，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供实用指导。

2027届高三数学人教A版拓展培优 高三数学备课组 2027届高三第一轮复习 培优微专题 培优微专题3 柯西不等式 培优讲义 笃 学 新 知 汲新知 · 赋新能 1. 整式类型柯西不等式 （1）二维形式 设均为实数 取等条件：（不为 0），向量与共线。 证明： ①向量法：，展开得到，平方即得不等式； ②代数作差：。 （2）维形式 取等条件：。 （3）适用题型 · 已知的值，求取值范围； · 已知的值，求最值； · 型最值求解。 2. 分式类型柯西不等式 · 核心是 “和与倒数和配对”，构造柯西乘积。 模型一 经典： 模型二 · 适用题型 条件为变量和为定值，求解含分式、倒数和的最值问题。 3. 待定系数类型柯西不等式 · 直接套用柯西，系数不匹配时，引入参数构造。 解题流程： · 引入参数，用柯西展开式子； · 使用取等条件，联立已知等式，解出参数； · 回代求出最值，验证取等条件。 · 适用题型 条件等式与目标式系数不匹配，直接柯西无法对齐系数，需要引入参数配凑。 · 通用易错提醒 · 柯西不等式一定要写取等条件，求最值必须验证等号可以取到； · 分清左右结构：平方和相乘和的平方； · 分式柯西，变量必须为正数。 典 例 探 究 研典例 · 悟方法 模块 1：整式类型 例 1 设，，则的最小值是（ ） A.  B.   C.   D. 解析 由柯西不等式： 代入 取等条件：，结合可以取到。 最小值为，答案。 例 2若为实数，且，求的最小值。 解析 取等条件，联立，可取等。 答案。 例 3设，则的最小值为__________。 解析 二维柯西： 取等条件：，可以成立。 答案。 模块 2：分式类型 例 4设为正数，则的最小值为（） A.  B.   C.   D. 解析 由柯西不等式 取等条件：，正数条件可以实现。 答案。 例 5 已知正实数满足，求最小值。 解析 所以。 取等条件：，满足。 答案。 模块 3：待定系数类型 例 6 已知正数满足，求的最小值。 解析 对使用带参数柯西 目标式： 条件，要求系数成比例 解得，代入 取等条件，解得，满足正数条件。 答案。 例 7已知正数满足，求最小值。 解析 引入参数： 与系数对齐： 两边平方，，解得（）。 代入 最小值。 取等条件：，联立，可以求出，等号可取 新 学 检 测 学以用 · 知以行 1．（2026高三·全国·专题练习）柯西不等式的三元形式如下：对实数和，有，当且仅当等号成立，已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（ ） A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】A 【分析】根据柯西不等式的三元形式，构造求解即可. 【详解】因为， 根据题目中柯西不等式的三元形式可知， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值是， 故选：A 2．（24-25高二下·广东·期中）已知正实数x、y、z的和为1，则的最小值为______． 【答案】/ 【分析】利用不等式构造定值求解即可. 【详解】解法一：（柯西不等式）∵x，y，，， ∴ ， 则．当且仅当时取等号． 解法二：（均值不等式），，， 所以． 当且仅当时取等号． 解法三：（权方和不等式）． 当且仅当时取等号． 故答案为： 3．（2026高三·全国·专题练习）设点在椭圆上移动，则的最大值等于________． 【答案】 【详解】由柯西不等式得,所以,所以,所以的最大值是. 4．已知平面向量满足.记向量在方向上的投影的数量分别为x，y，在方向上的投影的数量为z，则的最小值为___________. 【答案】 【分析】设，由平面向量的知识可得，再结合柯西不等式即可得解. 【详解】由题意，设， 则，即， 又向量在方向上的投影的数量分别为x，y，所以， 所以在方向上的投影的数量， 即, 所以， 当且仅当即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 5．（25-26高三下·黑龙江·期中）已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，设椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最大值为_________ 【答案】 【分析】由题，根据椭圆和双曲线的定义可表示出，再利用余弦定理可得，最后再利用柯西不等式可的结果. 【详解】由题，设椭圆为：，双曲线为： 由定义可得 在三角形中，由余弦定理可得： 整理可得： 由柯西不等式： 所以，当且仅当时取等号. 故答案为 6．（25-26高三上·辽宁沈阳·阶段检测）柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.根据柯西不等式，已知，，且，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变形给定等式可得，再将目标式化为并利用二维柯西不等式求出最大值. 【详解】由，得，即， 由，得，则， 由，，得， 由柯西不等式得， 因此，当，即时取等号， 所以的最大值为. 故选：C 7．（2025·河南·二模）已知正实数a，b满足，则的最小值为___________. 【答案】/ 【分析】将目标式转化为，应用柯西不等式求的取值范围，进而可得目标式的最小值，注意等号成立条件. 【详解】由题设，，则， 又， ∴，当且仅当时等号成立， ∴，当且仅当时等号成立. ∴的最小值为. 故答案为：. 8．（2027高二·全国·专题练习）点A在抛物线上运动，点B在椭圆上运动，O为原点，求面积最小值． 【答案】 【分析】先设出点的坐标，再把的面积用点的坐标表示，结合导数求面积最小值． 【详解】设，，，． ，因为 ， 故，即． 令．由柯西不等式得，又，所以，即．且该式为正，所以固定t时．令，或， 则，或． 求导：．令，得， 解得，所以当或时，单调递增， 当时，单调递减，此时．故． 9．（2025·四川·二模）点均在抛物线上，若直线分别经过两定点，则经过定点，直线分别交轴于，为原点，记，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用条件，用表示出两点坐标，从而求出直线的方程，进而求出定定点，再根据条件得到，再利用柯西不等式即可求出结果. 【详解】如图，由题易知直线斜率均存在， 设直线方程为，， 由，消得，即， 由韦达定理得，所以，代入，得到，所以， 设直线方程为，， 由，消得， 即，由韦达定理得， 所以，又因为，所以， 代入，得到，所以， 所以直线的斜率为， 所以的方程为， 即 所以，即， 故直线过定点，令，得到，所以， 所以，，又因为，所以， 所以，，又，所以， 又由柯西不等式知， 当且仅当，即时，取等号， 所以，即， 故选：D. 10．（25-26高三下·河南·阶段检测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，P是内部一点，点P到AB，BC，AC的距离分别为，记． (1)求A； (2)已知对任意的正数，，，，，，恒有，当且仅当时，等号成立，证明，并求当T取得最小值时的面积． 【答案】(1) (2) 的面积为，由分为三个小三角形得. 因为，所以.又，所以， 因此.已知，根据题意，， 即. 因为，所以. 【分析】（1）根据正弦定理以及三角恒等变换求解即可. （2）利用面积关系建立等式，再根据题目中不等式证明即可.根据，以及余弦定理、基本不等式得到时取最小值，进而得到三角形面积. 【详解】（1）， 化简得. 根据正弦定理，. 在中，化简得. 又，故，得. 因为，解得. （2）证明略，. 根据余弦定理以及基本不等式，， 即，当且仅当时等号成立. 因为，， 所以. 令，因为，所以，令. 当，即时，取得最小值. 即时，取最小值，对应取最小值. 此时为边长为的等边三角形，面积. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高三数学人教A版拓展培优 高三数学备课组 2027届高三第一轮复习 培优微专题 培优微专题3 柯西不等式 培优讲义 笃 学 新 知 汲新知 · 赋新能 1. 整式类型柯西不等式 （1）二维形式 设均为实数 取等条件：（不为 0），向量与共线。 证明： ①向量法：，展开得到，平方即得不等式； ②代数作差：。 （2）维形式 取等条件：。 （3）适用题型 · 已知的值，求取值范围； · 已知的值，求最值； · 型最值求解。 2. 分式类型柯西不等式 · 核心是 “和与倒数和配对”，构造柯西乘积。 模型一 经典： 模型二 · 适用题型 条件为变量和为定值，求解含分式、倒数和的最值问题。 3. 待定系数类型柯西不等式 · 直接套用柯西，系数不匹配时，引入参数构造。 解题流程： · 引入参数，用柯西展开式子； · 使用取等条件，联立已知等式，解出参数； · 回代求出最值，验证取等条件。 · 适用题型 条件等式与目标式系数不匹配，直接柯西无法对齐系数，需要引入参数配凑。 · 通用易错提醒 · 柯西不等式一定要写取等条件，求最值必须验证等号可以取到； · 分清左右结构：平方和相乘和的平方； · 分式柯西，变量必须为正数。 典 例 探 究 研典例 · 悟方法 模块 1：整式类型 例 1 设，，则的最小值是（ ） A.  B.   C.   D. 例 2若为实数，且，求的最小值。 例 3设，则的最小值为__________。 模块 2：分式类型 例 4设为正数，则的最小值为（） A.  B.   C.   D. 例 5 已知正实数满足，求最小值。 模块 3：待定系数类型 例 6 已知正数满足，求的最小值。 例 7已知正数满足，求最小值。 新 学 检 测 学以用 · 知以行 1．（2026高三·全国·专题练习）柯西不等式的三元形式如下：对实数和，有，当且仅当等号成立，已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（ ） A．14 B．12 C．10 D．8 2．（24-25高二下·广东·期中）已知正实数x、y、z的和为1，则的最小值为______． 3．（2026高三·全国·专题练习）设点在椭圆上移动，则的最大值等于________． 4．已知平面向量满足.记向量在方向上的投影的数量分别为x，y，在方向上的投影的数量为z，则的最小值为___________. 5．（25-26高三下·黑龙江·期中）已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，设椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最大值为_________ 6．（25-26高三上·辽宁沈阳·阶段检测）柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.根据柯西不等式，已知，，且，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 7．（2025·河南·二模）已知正实数a，b满足，则的最小值为___________. 8．（2027高二·全国·专题练习）点A在抛物线上运动，点B在椭圆上运动，O为原点，求面积最小值． 9．（2025·四川·二模）点均在抛物线上，若直线分别经过两定点，则经过定点，直线分别交轴于，为原点，记，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高三下·河南·阶段检测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，P是内部一点，点P到AB，BC，AC的距离分别为，记． (1)求A； (2)已知对任意的正数，，，，，，恒有，当且仅当时，等号成立，证明，并求当T取得最小值时的面积． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $