1.1 线段的比 同步训练 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

1.1 线段的比 同步训练 一、选择题 1．已知是线段的黄金分割点，且，则下列比例式能成立的是（　　） A． B． C． D． 2．某校要举办国庆联欢会，主持人站在舞台中轴线AB的黄金分割点C处（如图1）最自然得体．即，在数轴（如题图2）上最接近的点是（　　） A． B． C． D． 3．我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献，优选法中有一种0.618法应用了（　　） A．黄金分割数 B．平均数 C．众数 D．中位数 4．如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，若AD：BD=2：1，点G在DE上，DG：GE=1：2，连接BG并延长交AC于点F，则AF：EF等于（　　） A．1：1 B．4：3 C．3：2 D．2：3 5．下列各组数中，成比例的是（　　）. A．1，，， B．1，4，2， C．5，6，2，3 D．，，1， 6．已知非负数 x，y，z 满足. .，设 ，则 W 的最大值与最小值的和为（　　） A．-2 B．-4 C．-6 D．-8 7．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段 分为两线段 ， ，使得其中较长的一段 是全长 与较短的段 的比例中项，即满足 ，后人把 这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段 的“黄金分割”点．如图，在 中，已知 ， ，若D，E是边 的两个“黄金分割”点，则 的面积为（　　） A． B． C． D． 8．设 ，且 ，则 （　　） A．673 B． C． D．674 二、填空题 9．已知P点为线段的黄金分割点，，且，则　 　 10．一个比例中，两内项互为倒数，一个外项是3.5，另一个外项是　 　. 11．同学们学习了线段的黄金分割之后，曾老师提出了一个新的定义：点C是线段AB上一点，若＝kn，则称点C为线段AB的“近A，n阶黄金分割点”．例如：若＝k2，则称点C为线段AB的“近A，2阶黄金分割点”；若＝k3，则称点C为线段AB的“近A，3阶黄金分割点”．若点C为线段AB的“近A，6阶黄金分割点”时，k6＝　 　． 12．如图，在黄金矩形ABCD中，四边形ABFG、GHED均为正方形， ，现将矩形ABCD沿AE向上翻折，得四边形 ，连接BB′，若AB＝2，则线段 的长度为　 　. 13．若 ， 则 的值为　 　． 三、解答题 14．已知，且，求的值。 15．阅读下列解题过程，然后解题： 题目：已知 互不相等)，求 的值. 解：设 ，则 ， ， ， . 依照上述方法解答下列问题： 已知 ，其中 ，求 的值. 四、综合题 16．定义：如图1，点P为线段AB上一点，如果 =k，那么我们称点P是线段AB的黄金分割点， 叫做黄金分割数. （1）理解：利用图1，运用一元二次方程的知识，求证：黄金分割数 ； （2）应用：如图2，抛物线y＝x2+nx＋2n（n<0）的图象与x轴交于A、B两点（OA<OB），若原点O是线段AB的黄金分割点，①求线段AB的长；②直接写出点A和点B的坐标. 答案解析部分 1．【答案】C 【知识点】黄金分割 【解析】【解答】解：∵是线段的黄金分割点，且， ∴， ∴， 故答案为：C. 【分析】根据黄金分割的定义计算求解即可。 2．【答案】C 【知识点】无理数在数轴上表示；黄金分割 【解析】【解答】解：根据点P、Q、M、N的位置可得=，则最接近的是点M. 故答案为：C. 【分析】根据点P、Q、M、N的位置可得=，据此解答. 3．【答案】A 【知识点】黄金分割 【解析】【解答】解：我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献，优选法中有一种0.618法应用了黄金分割数. 故答案为：A 【分析】利用黄金分割的定义，可得答案. 4．【答案】C 【知识点】比例的性质；比例线段 【解析】【解答】解： 作DH//BF交AC于H 设HF=a，则AH=2a 故答案为C 【分析】作平行线，利用相似三角形等比例关系即可求出答案。 5．【答案】D 【知识点】比例线段 【解析】【解答】解：A.，不符合题意； B.，不符合题意； C.，不符合题意； D.，符合题意； 故答案为：D. 【分析】利用四条线段成比例的性质，对各选项逐一判断. 6．【答案】C 【知识点】代数式求值；比例的性质 【解析】【解答】解：设 ， 则 ， ， ， ， ， 均为非负实数， ， 解得 ， 于是 ， ， 即 ． 的最大值是-2，最小值是-4， 的最大值与最小值的和为-6， 故答案为：C． 【分析】利用设k法，将x、y、z用含k的表示式表示，代入，再根据k的取值范围求解即可。 7．【答案】A 【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；黄金分割 【解析】【解答】解：过点A作AF⊥BC， ∵AB=AC， ∴BF= BC=2， 在Rt ,AF= ， ∵D是边 的两个“黄金分割”点， ∴ 即 ， 解得CD= ， 同理BE= ， ∵CE=BC-BE=4-( -2)=6- ， ∴DE=CD-CE=4 -8， ∴S△ABC= = = ， 故答案为：A. 【分析】作AF⊥BC，根据等腰三角形ABC的性质求出AF的长，再根据黄金分割点的定义求出BE、CD的长度，得到 中DE的长，利用三角形面积公式即可解题. 8．【答案】B 【知识点】代数式求值；比例的性质 【解析】【解答】解：设 则 将x，y，z的值代入 可得： 解得： 故答案为：B. 【分析】令 ，可将x、z的值用y与a表示，利用 求出a的值，然后将所求的式子化简成只含有y与a的式子，再代入求解即可. 9．【答案】/ 【知识点】黄金分割 【解析】【解答】解：∵P点为线段的黄金分割点，，且， ∴， ∵， ∴， 故答案为：. 【分析】根据黄金分割的定义求出，再根据计算求解即可。 10．【答案】 【知识点】有理数的倒数；比例的性质 【解析】【解答】解：∵一个比例中，两内项互为倒数， ∴两内项之积为1， ∴两外项之积为1. ∵一个外项为3.5， ∴另一个外项为. 故答案为：. 【分析】由题意可得：两内项之积为1，根据比例的性质可得两外项之积为1，据此求解. 11．【答案】 【知识点】黄金分割 【解析】【解答】解：由题意，点C为线段AB的“近A，6阶黄金分割点”时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即：， 整理得：， 解得：或， 经检验，或是上述分式方程的解， ∵， ∴， 故答案为：． 【分析】由题意得，则，再由=，即得，整理得，再解方程即可. 12．【答案】 【知识点】勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；黄金分割 【解析】【解答】解：BB'交AE于M，作E ⊥AB'于 ，连接B'E，如图， ∵四边形ABCD为黄金矩形， ∴AB＝ BC， ∴BC＝ ×2＝ ＋1， ∵四边形ABFG、GHED均为正方形， ∴AG＝AB＝2，DE＝DG＝ ＋1−2＝ −1， 在 中，AE＝ ＝2 ， ∵矩形ABCD沿AE向上翻折，得四边形AEC'B'， ∴C'B'＝CB＝ ＋1，EC'＝EC＝3− ，AB'＝AB＝2，BB'⊥AE，B'M＝BM， 易得四边形B'C'E 为矩形，则E ＝C'B'＝ ＋1， ∵ B'M×AE＝ AB'×E ， ∴B'M＝ ， ∴BB'＝2B'M＝ . 故答案为： . 【分析】BB交：4E于M，作EH⊥AB于H'，连接BE，利用黄金矩形的定义求出BC的长，再利用正方形的性质得到AG、DE和DG长，在 中，利用勾股定理求出AE，然后利用折叠的性质得到CB'、C'E和AB'的长， BB'⊥AE， B'M=BM，则EH'=C'B'，然后利用面积法求出B'M，从而求出BB的长. 13．【答案】-1或2 【知识点】比例的性质 【解析】【解答】解：由 ,得 b+c=ak①，a+c=bk②，a+b=ck③， ①+②+③，得 2（a+b+c）=k（a+b+c）， 移项，得 2（a+b+c）-k（a+b+c）=0， 因式分解，得 （a+b+c）（2-k）=0 a+b+c=0或k=2， 当 时， ， ， ∴ 或2． 故答案为：-1或2． 【分析】将 进行变形，求出k的值即可。 14．【答案】解：∵==， ∴3a=2b，4a=2c， ∵2a-b+c=10， ∴2a-1.5a+2a=10， 解得：a=4， ∴b=6，c=8， ∴a+2b-3c=4+2×6-3×8=-8. 【知识点】比例的性质 【解析】【分析】由比例性质可得3a=2b，4a=2c，再结合2a-b+c=10，可得到2a-1.5a+2a=10，解得a=4，从而求得b=6，c=8，再代入式中计算即可. 15．【答案】解：设 ， 则 ① +②+③得2x+2y+2z=k(x+y+z)， ， ， 原式 . 【知识点】分式的化简求值；比例的性质 【解析】【分析】按照题干中的例题思路，设 ，将这一式子变形可得 y+z=kx， x+z=ky，x+y=kz，再将这三个式子相加，即可求出k的值，从而可以用z表示（x+y）的值，再代入到所求式子中约分化简，即可求解. 16．【答案】（1）证明：设 ， ，则 ， 由 得： ， 即 ， 解得 ， ∵ ， ∴ ， ； （2）解：①设 ， ，则 ， ， ， 由二次函数与一元二次方程的联系得： ， 是方程 的两根， ∴ ， ， ∵原点 是线段 的黄金分割点，且 ， ∴ ，即 ， ∴ ， 整理得： ， ∴ ， ∴ ， 即 ；② ， . 【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系；黄金分割 【解析】【解答】（2）②由（2）①得： ， 由黄金分割点的定义得： ， 解得 ， 则 ， 故 ， . 【分析】（1）设 ， ，从而可得 ，再根据黄金分割点的定义建立方程，然后利用公式法解一元二次方程即可得； （2）①设 ， ，从而可得 ， ， ，再根据一元二次方程根与系数的关系可得 ， ，然后根据黄金分割点的定义可得 ，从而可得 ，由此化简即可得；②根据①的结论，利用黄金分割点的定义分别求出OA、OB的长，由此即可得. 1 学科网（北京）股份有限公司 $