1.1线段的比（分层作业·练题型）数学新教材湘教版九年级上册

**基本信息** 以“线段的比”为核心，通过A/B/C组+中考拓展的四层设计，实现从比例性质基础应用到黄金分割综合探究的梯度进阶，培养运算能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|比例性质判断、求值、参数计算、比例尺、成比例线段|基础题型为主，如比例式正误判断、代数求值，强化概念理解| |B组能力进阶|比例性质综合应用、成比例线段推理|含多步运算题，如已知比例求线段长，发展推理能力| |C组思维拔高|黄金分割拓展探究、跨知识综合题|结合阅读理解，如证明分比性质，培养创新意识| |拓展链接中考|黄金分割实际应用、中考真题|对接真实情境，如舞台黄金分割点计算，体现模型意识|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 1.1线段的比 目录 A组巩固过关 题型01由比例的性质判断结论正误 题型02由比例的性质求代数的值 题型03由比例的性质求参数的值 题型04比例的应用 题型05比例尺 题型06成比例线段 题型07由黄金分割求值 题型08黄金分割的应用 B组能力进阶 C组思维拔高 拓展链接中考 A组 巩固过关 颗型01 由比例的性质判断结论正误 1.若y3,则下列等式成立的是() 34 A.x y x y B.34 C.3x=4y D.4x=3y 2.(25-26九年级上湖南益阳期中)已知四个非零实数ab,c,d满足ad=bc,那么下列比例式成立的 是() a c b d A.bd D.c a 1/12 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(2425九年级上湖南永州期末)已知y=b(a,b,x,y均不为零)，则把它改写成比例式后，正确 () A.上 b a 8=y a b c-8 x a D.b y 4.已知实数，n(mn≠0)，且2m=3n,则下列结论一定正确的是() A.m=2,n=3 B. D. m=3 m+n 5 5.已知y=4,那么下列等式中，不成立的是(） x=3 x+3_3 A.xty 7 B= C.y+44 D.4x=3y a c 6.已知四条线段a,b,c,d满足6-a,则下列等式一定成立的是() A.db a+c a B.b+d b a2 c2 C.b 2a+c a D.2d+bd 颗型02 由比例的性质求代数的值 _2 a-b 1.(25-26九年级上湖南常德·期未)已知6=3，则b的值为（） A.2 1 B.-3 C.3 2.若63，则 +6() 2 1 5 A.5 B.5 C.3 D.3 a-b 3 3.(2025湖南永州模拟预测)若6=5，则方=（） 3 A .2 c. 5 D.2 b_3 a+b 4.若。4：则。-b的值为（） 2/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.-7 B.7 D 知：=9o+d*0),则8+后的值为《） a+c 5.己知bd6 25 5 5 A.36 B.6 C.1 3 0=C=4目a+cte=16:则6++/的值是( 6.若bdf A.4 B.8 C.32 D.2 a_c_e 。a+2c-3e(b+2d-3f≠0)的值为 7.(25-26九年级上湖南郴州阶段检测)若万a了5，则b+2d-3f a b c 8.(24-25九年级上湖南永州-阶段检测)已知2-3=5，且3a-2c=-8,求2c-3b+2a的值. 2x-3y+4z 9.已知：y:2=3:5:7,求5x+3y-22的值. 颗型03 由比例的性质求参数的值 1.若a:b:c=2:3:7,且a-b+3=c-2b,则c值为何？() 21 1 A.7 B.63 C.2 D.4 果2=二-号=k(b+d+∫≠0)，且a+c+e=3b+d+f)那么k的值是（） 2.如果6a了 1 A.2 B.3 C.3 D.2 a b C 3.已知x b+ca+ca+b,则x的值为() 1 A.-1 B.-1或1 C.-1或2 D.2 4已知k=a+h-c--b+c-a+b+c b a ，且Vm+5+n2+9=6m·则关于自变量x的一次函数y=在+m+n 的图像一定经过 象限. 颗型04 比例的应用 1.嘉嘉周末到沧州博物馆观看沧州诗经文化展，他想了解一本古籍的长度，在古籍旁放了一支笔拍下照片 3/12 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图所示.回家后量出照片上笔和古籍的长度分别为7cm和l3cm,笔的实际长度为l4cm,则该古籍的实 际长度为() 诗 经 A.6.5cm B.13cm C.18cm D.26cm 2.(24-25九年级上河南焦作期末)同一时刻的太阳光下，身高1.6米的小颖同学在地面上的影长为0.4米， 学校的科技楼在同一水平地面上的影长为4米，科技楼的实际高度为()米 A.13 B.14 C.15 D.16 3如图，以O为支点，木棍OA所受的重力为G.根据杠杆原理，在A处需一竖直向上的拉力F才能保持木 棍不动，若向上的拉力F与重力G大小之比为3：7，OD=6Cm,则CD的长为. AF 7777777777 YG 4.国家会展中心上海坐落于虹桥商务区核心区西部，与虹桥机场的直线距离仅有2.5公里，总建筑面积 147万平方米，地上建筑面积127万平方米，是目前世界上面积第二大的建筑单体和会展综合体.小明在地 图上量得国家会展中心（上海）距离虹桥机场的直线距离为0.5厘米，而量得国家会展中心上海)与浦东机场 的直线距离为97厘米，那么国家会展中心上海)与浦东机场的实际直线距离有多少公里？（运用比例解 答) 颗型05 比例尺 1.A、B两地的实际距离AB=5千米，画在地图上的距离A'B'=2cm,这张地图的比例尺是() A.2:5 B.1:25000 C.25000:1 D.1:250000 2.在比例尺为l:50000的图纸上长度为10cm的线段表示实际长为() A.50km B.10km C.5km D.1km 3.一个运动场的实际面积是6400m,那么它在比例尺1：1000的地图上的面积是() 4/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.6.4m2 B.640m2 C.0.0064m2 D.0.064m2 4.第七届中国国际进口博览会（简称“进博会”）于2024年11月5日至10日在国家会展中心（上海）隆 重举办.以“新时代、共享未来”为主题，是世界上首个以进口为主题的国家级博览会.小海在地图上 (如图1)测量他家与国家会展中心（上海）的距离为2.6厘米，那么请帮小海计算出他家与国家会展中心 (上海)的实际距离为. 千米。 太仓市 宝山区 真定区 国家会展中心（上海) 横沙 上海 青浦区四 松这 奉贤区 S4 小海家。 1:2000000 题型06 成比例线段 1.已知线段a=2cm;b=4.lcm;c=4cm:d=8.2cm下面选项正确的是() A.d,b,a,c成比例线段 B.a,d,b,c成比例线段 C.a,c,b,d成比例线段 D.a,dc,b成比例线段 2.(25-26九年级上湖南衡阳期中)下列各组中的四条线段成比例的是(） A.a=2,b=3,c=4,d=1 B.a=2,b=5,c=4,d=10 C.a=4,b=6,c=5,d=10 D.a=2,b=3,c=2,d=V5 3.(25-26九年级上湖南衡阳期中)已知按顺序排列的四条线段ab、c是成比例线段，其中 a=3cm,b=2cm,c=6cm,d=() A.1cm B.3cm C.4cm D.8cm 4.(1)已知线段a=2,b=9,求线段a,b的比例中项. y-x (2)已知x:y=4:3,求y的值. 5.已知线段a=3,b=6,c=12. (1)求线段4与线段b的比 5/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如果线段a、b、c、d成比例，求线段d的长. (3)b是4和c的比例中项吗？为什么？ a b c 6.已知线段a、b、c满足3=26，且a+2b+c=26. (1)求a、b、c的值： (2)若线段x是线段a、b的比例中项，求线段x的长： (3)若四条线段a、b、c、d为成比例线段，求线段d的长. 颗型07 由黄金分割求值 1.已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP,下列命题说法错误的是() A P B AAP2=PB·AB B.AP:AB=PB:AP C.BP2=AB·AP D.AP:PB=AB:AP 2已知点P是线段AB的一个黄金分割点，且AP>BP,那么AP:AB的比值为 3已知线段AB=1,C是线段AB的黄金分割点，则AC的长度为() A.5-1 B3-5 c.5-1成3-5 2 2 2或2 D.以上都不对 4,勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比珠玉，后者堪称黄金，生活中到处可见黄金分割的美。 如图，点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC,若C1表示以AC为一边的正方形的周长，C2表示长为 C=() AC,宽为BC的矩形的周长，则 C A.5+1 B.V5-2 c.3-V5 D.V5-1 颗型08 黄金分割的应用 1.如图，若雕像的上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全身的高度比，可增强视 觉美感.按照这一比例，若雕像的总高度为2米，则雕像下部的高度为() 6/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.1m B.√5m c.（5+1m o.（5-1)m 2.(25-26九年级上湖南常德·期末)如图，生活中到处可见黄金分割的美，在设计人体雕像时，使雕像的 腰部以下a与全身b的高度比值接近黄金比，可以增加视觉美感，若图中b是2米，则a大约是(). A1.84米 B.1.24米 c.0.76米 D.1.42米 3.两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割.如图，点P是线段AB上一点(AP>BP),若 BPAP 满足PAB,则称点p是线段4B的黄金分割点，世界上很多有名建筑物几乎都包含“黄金分割”的设 计理念.若图中AB=4,则BP的长是() 希腊巴特农神庙 A.6-2√5 B.2+2√5 c.2W5-2 D.6+25 4.(25-26九年级上江苏盐城期末)大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美 感的黄金比.如图，点B为AC的黄金分割点(AB>BC),若BC=100cm,则AC长为()cm. 7/12 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A.(150-50W5B.(1005+100) c.(255+125) D.(50W5+150)） 5.(2526九年级上河北唐山期末)主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，己知舞 台长AB=4米，则主持人应走到离A点多远处效果最好（保留一位小数）() A.2.4米 B.2.5米 c.2.4米或1.6米D.2.5米或1.5米 6.(2026辽宁阜新二模)如图，社区为了打造“便民休闲角”，计划将一块闲置空地改造成如图所示的集 阅读区、健身区和绿植区的小型休闲广场.已知阅读区(ABCE)和健身区(CHGD)均为正方形，且点 E、G分别为AF、FH的黄金分割点（其中AE>EF,GH>GF),若AF长为2O0m,则CD的长为 G H A.100(5-1)m B.100(3-5)m c.200(N5-1）m D.200(W5-2）m B组 能力进阶 025亡东深圳一模)数学家定义：若点C把线段®分成两部分，清足C,(AC>69. 为线段AB的白银分割点.已知点C是线段AB的白银分割点(4C>BC),且BC=4,则AC= A C B 2有三条长度分别为lcm,4cm,8cm的线段，再添一条长度为 的线段，能使这四条线段是 成比例线段 8112 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B若8-片=且b+2:试求 a+4b+3c+8 4.已知，a'b,c是。4BC的三边，且3=2=4，a+b+c=12:求△ABC的面积. b+c_c+a-a+b=k 5.(25-26九年级上湖南怀化：期中)己知：a=b=c (1)求k的值： (2)则直线y=x-k一定经过第一 6已知：8a=) (1)如果a=1,b=2,c+d=6,求c、d的值： b-a b (2)求证：d-cd1 7.如图，线段AB、BC、AB2、B,C2的端点都在边长为1的小正方形的顶点上，这四条线段是成比例线 段吗？为什么？ C组 思维拔高 1.阅读理解，并解决问题： a c 小明同学在一次教学活动中发现，存在一组都不为0的数a,b,c,d,使得方=a成立（即a,b,c,d成 a c ma-b-c-d 比例)·小明同学还有新的发现：若方a,则b=d(分比性质)· a_bb-d 已知①。d:② ac· 问题解决： 9/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)仿照上例，从①②中选一组数据写出分比性质等式： (2)证明(1)中的分比性质等式成立 2.(25-26八年级上福建福州期末)综合与实践 某校八年级数学课外活动小组在一次课外活动时进行了以下探究活动： 活动目 探究比例的性质 的 1.在同一长度单位下，两条线段长度的比叫做这两条线段的比.例如，如果 先用同一个长度单位测量得两条线段AB,CD的长度分别为，n,那么这两 AB m 条线段的比就是它们长度的比，即AB:CD=m:n或CDF刀：其中，线段AB, AB CD分别叫做这个线段比的前项和后项.如果把n表示成比值飞，那么CD k 知识储 备 即AB=kCD.两条线段的比实际上就是两个数值的比. 2.四条线段a,b,c,d中，如果a与b的比等于c与d的比，即方d,那 么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段，简称比例线段.反过来，如果四 a c 条线段a,b,c,d成比例，那么bd一定成立 该数学课外活动小组经过反复讨论，得出以下四个命题(a,b,c,d都是不 为0的数)： @如果君-行郭么d=c 猜想性 a c a b 质 ②如果6=d,那么。a: atcte-k: =-号=k(其中6+d+f≠0)，那么b+d+f ③如果bdf a+b c+d @如果6号，那么ba (1)该数学课外活动小组的甲同学借助小学已有知识经验判断出①，②是真 证明猜 命题并进行了证明，通过查阅资料知③，④也是真命题，但在证明上他遇到了 想 困难.请你帮助甲同学从③和④中选择一个证明它是真命题； 10/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)四个数a,b,c,d成比例，其中a=3,d=6,且b=c,求b的值： 解决问 ABBCAC 2 题 (3)△ABC和ADEF中，己知DEEF=DF=3,ADEF的周长与△ABC的 周长的差为6，求aDEF的周长. 3.阅读下面的材料： 如图1，在线段AB上找一点C(AC>BC),若BC:AC=AC:AB,则称点C为线段AB的黄金分割点，这 时比值为2 0.618,人们把5，称为黄金分割数，长期以来，很多人都认为黄金分制数是 别的数，我国著名数学家华罗庚先生所推广的优选法中，就有一种0.618法应用了黄金分割数. 图1 图2 我们可以这样作图找到已知线段的黄金分割点：如图2，在aOEF中，OE的长为2，过点E作EF⊥OE, 且EF=2OE,连接OF:以P为圆心，EF长为半径作弧，交OF于，再以O为圆心，OH长为半径作 弧，交OE于点P. 根据材料回答下列问题： (1)根据作图，写出图中相等的线段： (2)求OP的长： (3)求证：点P是线段OE的黄金分割点. 拓展 链接中考 1.(2022陕西·中考真题)在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选 法”，在全国大规模推广，取得了很大成果.如图，利用黄金分割法，所做EF将矩形窗框ABCD分为上 下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，即BE2=AE·AB.已知AB为2米，则线段BE的长为米. 11/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E 2.(2024山西·中考真题)黄金分割是汉字结构最基本的规律.借助如图的正方形习字格书写的汉字清的 边MN, P卫上，且ABIINP,“远”字的笔画“、”的位置在AB的黄金分割点C处，且 BC5-1 AB 2 若NP=2cm' 则 BC的长为— cm (结果保留根号) C B 3.(2023四川达州中考真题)如图，乐器上的一根弦AB=80cm,两个端点4B固定在乐器板面上，支 撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，C,D之间的距离为 D C B 12/12函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 1.1线段的比 参考答案 A组 巩固过关 瓶型01 由比例的性质判断结论正误 1. 2.A 3.D4.D5.B6.B 题型0 由比例的性质求代数的值 7 1B2.A3.C4B5B6.A7. 8【详1解：准托肛流，段号-9写。 则a=2k,b=3k,c=5k 代入3a-2c=-8,得6k-10k=-8, 解得k=2, 故a=4,b=6,c=10 故2c-3b+2a=20-18+8=10 9.【详解】，x:y:z=3:5:7, ∴.设x=3k、y=5k、z=7水， 2x-3y+4z .…5x+3y-2z 2×3k-3×5k+4×7k 5×3k+3×5k-2×7k 19 16 1/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型03 由比例的性质求参数的值 1.C2.B3.C4.第三、四 题型04 比例的应用 1.D2.D3.8cm 4解：设国家会展中心上海)与浦东机场的实际直线距离有X公里，依题意有： 2.5:0.5=x:9.7, 解得x=48.5 答：国家会展中心上海)与浦东机场的实际直线距离有48.5公里. 题型05 比例尺 1.D2.C3.C4.52 15.【答案】(I)刹车时车速：刹车距离： (2)10: (3)当刹车时车速每增加10kmh时，刹车距离增加2.5m;该型号汽车某次的刹车距离为20m,测刹车时的 车速是80km/h。 题型06k 成比例线段 1.C2.B3.C 4.【详解】解：(1)设线段x是线段a,b的比例中项， .a=3,b=6, x2=3×6=18, x=3√2（负值舍去）. ∴.线段a,b的比例中项是3√2 (2)设x=4k,y=3k, ,y-x3k-4k1 :.y =3h=-3 5.【详解】(1)解：，a=3,b=6, 218 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a:b=3:6=1:2, 线段a与线段b的比为1：2」 (2)解：，线段a、b、c、d成比例， ∴.a:b=cd, ad =bc, d=6x12 3 24,即线段d的长为24. (3)解：是的，理由如下： 62=3×12, .b2=ac, .b是a和c的比例中项. 8-名-6-k,则a=3k:b=2k’c=6k 6.【详解】(1)解：设3-26 .a+2b+c=26」 .3k+2×2k+6k=26, 解得k=2, .a=6,b=4,c=12: (2)解：，线段x是线段a、b的比例中项， ..x2=ab, 把a=6,b=4代入可得： x2=6×4=24, x=±2W6 线段长度不能为负， .x=2W6: (3)解：，四条线段a、b、c、d为成比例线段， a c i.bd' 把a=6,b=4,c=12代入可得： 612 4d, 解得d=8 318 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型07 由黄金分割求值 1.c251 3.C4.D5 2 题型0A 黄金分割的应用 1.D2.B3.A4.D5.D6.B B组 能力进阶 1.4√22.0.5cm或2cm或32cm a+2_b_c+ 3.【详解】解：设4=56 =k,则a=4k-2b=5k,c=6k-5 .3a-b+2c=22, .3(4k-2)-5k+2(6k-5)=22. 解得k=2, ∴.a=8-2=6,b=10c=7, :b:c=6l0:7. 4.【详解】解：设3 a+4_b+3-c+8=k, 24 .a=3k-4,b=2k-3,c=4k-8. 又.a+b+c=12, .3k-4+2k-3+4k-8=12. ∴.k=3 .a=5,b=3,c=4 又a2=25,b2+c2=25 .a2=b2+c2,b、c为两条直角边 ÷S4c=2×3×4=6,即A4BC的面积为6 418 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.【详解】(1)分两种情况讨论： 情况一：a+b+c≠0 由等比性质，k=b+©+++(o+=20+b+9=2 a+b+c a+b+c 情况二：a+b+c=0 则+e=4代入言得=日=-1 、b+C a 综上，k的值为2或-1. (2)当k=2时，直线方程为y=2x-2,斜率2>0，截距-2<0，经过第一、三、四象限. 当k=-1时，直线方程为y=-x+1,斜率-1<0，截距1>0，经过第一、二、四象限. 综上，直线一定经过第一、四象限. 故答案为：一、四象限。 a c 6【详解】(1)解：6a,且a=16=2 1_c 2' d=2c, 又，c+d=6, ∴c=2,d=4: (2) a c 证明：“6 -1=9-1, :b d a-b c-d .b=d’ a-b b i.c-dd' b-a b .d-ed' 7.【详解】解：成比例.理由如下： 4B=V2+2=22,BC=V2+62=20, 5/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4B,=2+F=V2,B,C2=P+32=10, .48=25 2 ·4,B2 BG-210-2 C.C2 10 ABBC A,B2B,C,’ ∴线段AB、BC、AB2、B,C2成比例. C组 思维拔高 a=b ma-c_b-d 1【详解】(1)解：①若。a,则cd： b d mb-a_d-c ②若。，则a=c a b a-cb-d (2)解：①若。a,则c=d· :设号- =k,则a=kc'b=kd' gg-,号1， c a-c b-d cd· b_d mb-a_d-c ②若 c,则 a c b d 证明：设 =n,则b=na’d=nc, a c .b-a na-a=n-1 4-c-nc-c=n-l, a a b-a d-c 2.【详解】解：(1)③④都真命题， a_c=e-k, ③证明：·6d7 .a=bk,c=dk,e=fk 618 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 b+d+f≠0. a+c+e bk+dk+fk (b+d+f)k b+d+f b+d+f b+d+f k ④证明：“6a' a +1 .+1=9 b d a b c d bb dd a+b c+d bd· (2)四个数a,b,c,d成比例， ∴.bc=ad」 .a=3,d=6,且b=c, b2=ad=3×6=18 .b=32」 AB BC AC 2 (3)“DE-EF DF3' AB+BC+AC_2 ·DE+EF+DF3 片l8+c,4c-oe+r+D) ,△DEF的周长与△ABC的周长的差为6， .(DE+EF+DF)-(AB+BC+AC)=6. EFDF)(DEEF+DF)EFDF)6 .DE+EF+DF=18.即△DEF的周长为18 3.【详解】(1)解：由题意知，EF=FH,OH=OP, 故答案为：EF=FH,OH=OP: (2)解：EF⊥OE, .∠OEF=90° 718 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0E=2, :F-0E=1 由勾股定理得0F=VOE2+EF2=√5， FH=EF=1 ..OP=OH=OF-FH=5-1. .0P=V5-1. (3)证明：OP=V5-1, 0P2=(5-=6-25,PE=0E-0P=2-(W5-1)=3-V5,0EPE=23-5)=6-25, ..OP2=OE-PE,PE:OP=OP:OE, ∴点P是线段OE的黄金分割点 拓展 链接中考 1.(5-l)/(-1+5)2.V5-1/-1+V53.(80W5-160jcm(-160+80W5)cm 818 分层作业 1.1线段的比 目 录 A组 巩固过关 题型01 由比例的性质判断结论正误 题型02 由比例的性质求代数的值 题型03 由比例的性质求参数的值 题型04 比例的应用 题型05 比例尺 题型06 成比例线段 题型07 由黄金分割求值 题型08 黄金分割的应用 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 由比例的性质判断结论正误题型01 1.若，则下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质，利用比例的性质逐一判断即可．熟练掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：A．因为，所以，，故A不符合题意； B．因为，所以，，故B不符合题意； C．因为，所以，故C符合题意； D．因为，所以，，故D不符合题意； 故选：C． 2.（25-26九年级上·湖南益阳·期中）已知四个非零实数a，b，c，d满足，那么下列比例式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例的变形； 根据比例的基本性质，由已知条件，且，可直接推出比例式． 【详解】解：∵ ，且， ∴ 两边同时除以，得，即，故A正确，符合题意； 其他选项不一定成立，例如取，满足， 但验证选项B、C、D均不成立，不符合题意； 故选：A． 3.（24-25九年级上·湖南永州·期末）已知（a，b，x，y均不为零），则把它改写成比例式后，正确（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据比例性质，两外项之积等于内项之积，解答即可． 本题考查了比例性质，是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 只有得到，其余都不成立， 故选：D． 4.已知实数m，，且，则下列结论一定正确的是（   ） A．， B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比例的性质，根据比例的性质进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，， ∴， 当，时，， 故选D． 5.已知，那么下列等式中，不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质(内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质)是解决问题的关键． 根据比例的性质对各选项进行判断． 【详解】解：，，，， 不成立的是B． 故答案为：B． 6.已知四条线段a，b，c，d满足，则下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例线段，比例的性质，熟练掌握比例线段的定义是解题的关键． 已知比例式，利用比例的基本性质和合比定理分析各选项是否成立． 【详解】解：A、， 交叉相乘得，但原式交叉相乘为，两者不一定相等，故A不成立，不符合题意； B、， 若，设，则，，代入得，等式成立，故B正确，符合题意； C、， 需满足，即或，但原式无法推出，故C不成立，不符合题意； D、， 若，假设，，，，得，故D不成立，不符合题意； 故选：B． 由比例的性质求代数的值题型02 1.（25-26九年级上·湖南常德·期末）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了比例的基本性质，分式化简求值，熟练掌握比例的基本性质，是解题的关键．将所求分式拆分为已知比例与1的差，直接代入计算即可． 【详解】解：方法一： ∵ 又∵ ∴ 原式 方法二： ∵ ∴ 设，（） 则 故选：B． 2.若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查比例的性质，由已知条件可得，然后求得的值后即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3.（2025·湖南永州·模拟预测）若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查比例，根据比例的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 4.若，则的值为（   ） A． B．7 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例的性质，根据设，，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴令，， ∴． 故选：B． 5.已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例的性质，分式的化简求值，根据比例关系，将 和分别用和表示，然后代入所求分式化简即可求值，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故选：． 6.若，且，则的值是（   ） A．4 B．8 C．32 D．2 【答案】A 【分析】根据给出的条件得出，再代入，然后进行整理即可得出答案． 【详解】解：， ， 则， ． 7.（25-26九年级上·湖南郴州·阶段检测）若，则的值为______． 【答案】 【分析】设，则，，，据此代入所求式子求值即可． 【详解】解：设，则，，． 将，，代入中，得： ∵， ∴分子分母可约去，结果为． 又∵， ∴． 8.（24-25九年级上·湖南永州·阶段检测）已知，且，求的值． 【答案】10 【分析】根据题意，设，则，代入，确定k值，继而确定a，b，c的值，求代数式的值即可． 本题考查了等比性质，求代数式的值，解方程，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，设， 则， 代入，得， 解得， 故， 故． 9.已知x：y：z＝3：5：7，求的值． 【答案】 【分析】根据x：y：z＝3：5：7设x＝3k、y＝5k、z＝7k，然后代入化简求解即可． 【详解】∵x：y：z＝3：5：7， ∴设x＝3k、y＝5k、z＝7k， ∴ ＝ ＝ 【点睛】此题考查了比例的性质，解题的关键是根据比例的性质转化成含同一字母的式子． 由比例的性质求参数的值题型03 1.若，且，则c值为何？（    ） A．7 B．63 C． D． 【答案】C 【分析】先设，再由得出x的值，最后代入即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， 解得， ∴， 故选：C． 【点睛】此题主要考查线段的比，解题的关键是根据题意设． 2.如果，且，那么k的值是（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键．根据比例的性质求得，代入，即可求解． 【详解】解：， ， ． ， ， 故选：B． 3.已知，则x的值为（   ） A．-1 B．-1或1 C．-1或 D． 【答案】C 【分析】分和两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当时， ∵，，， ； 当时， ． 故选C． 【点睛】本题主要考查了比例的性质，解题的关键在于能够熟练掌握若则． 4.已知，且．则关于自变量x的一次函数的图像一定经过________象限． 【答案】第三、四 【分析】先根据推出，再讨论当时，，当时，，再由得到，利用非负数的性质求出，据此结合一次函数的性质进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 当时，则， ∴， 当时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，一次函数经过第二、三、四象限， 当时，一次函数经过第一、三、四象限， ∴一次函数的图像一定经过第三、四象限， 故答案为：第三、四． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象的性质，比例的性质，因式分解的应用，非负数的性质，正确求出k、m、n的值是解题的关键． 比例的应用题型04 1.嘉嘉周末到沧州博物馆观看沧州诗经文化展．他想了解一本古籍的长度，在古籍旁放了一支笔拍下照片如图所示．回家后量出照片上笔和古籍的长度分别为和，笔的实际长度为，则该古籍的实际长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例线段的应用（或相似图形的性质）．根据照片中的物体长度与实际物体长度成比例（即比例尺固定），列出比例式求解即可． 【详解】解：设该古籍的实际长度为 照片上物体的长度与实际物体的长度成正比 ∴ 解得 该古籍的实际长度为故选D． 2.（24-25九年级上·河南焦作·期末）同一时刻的太阳光下，身高1.6米的小颖同学在地面上的影长为0.4米，学校的科技楼在同一水平地面上的影长为4米，科技楼的实际高度为（　　）米 A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】D 【分析】本题考查平行投影，根据同一时刻，同一地点，物高与影长对应成比例，进行求解即可． 【详解】解：设科技楼的实际高度为米，由题意，得：， 解得：； 故选：D． 3.如图，以O为支点，木棍所受的重力为G．根据杠杆原理，在A处需一竖直向上的拉力F才能保持木棍不动，若向上的拉力F与重力G大小之比为，，则的长为 ．    【答案】 【分析】根据杠杆平衡原理可得，则，求得，即可得到的长． 【详解】解：∵，， 根据杠杆平衡原理，可得， ∴， 解得 ， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查了比例的基本性质、杠杆平衡原理，正确列式和计算是解题的关键． 4.国家会展中心上海坐落于虹桥商务区核心区西部，与虹桥机场的直线距离仅有公里，总建筑面积万平方米，地上建筑面积万平方米，是目前世界上面积第二大的建筑单体和会展综合体小明在地图上量得国家会展中心上海距离虹桥机场的直线距离为厘米，而量得国家会展中心上海与浦东机场的直线距离为厘米，那么国家会展中心上海与浦东机场的实际直线距离有多少公里？运用比例解答） 【答案】解：设国家会展中心上海与浦东机场的实际直线距离有公里，依题意有： ：：， 解得． 答：国家会展中心上海与浦东机场的实际直线距离有公里．  【解析】根据比例尺图上距离：实际距离，列出比例式，求解即可得出国家会展中心上海与浦东机场的实际直线距离有多少公里． 此题主要考查了比例线段，掌握比例尺是本题的关键，注意单位的统一． 比例尺题型05 1.A、B两地的实际距离千米，画在地图上的距离cm，这张地图的比例尺是 （  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了比例尺，掌握比例尺的计算方法，注意在求比的过程中，单位要统一．根据比例尺图上距离：实际距离，直接求出即可． 【详解】解：5千米=500000厘米， 比例尺； 故选D． 2.在比例尺为的图纸上长度为的线段表示实际长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据比例尺图上距离实际距离进行求解即可． 【详解】解：， 故选C． 【点睛】本题主要考查了比例尺，熟知比例尺图上距离实际距离是解题的关键． 50．（21-22九年级上·安徽六安·期末） 3.一个运动场的实际面积是，那么它在比例尺的地图上的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】相似图形的面积比等于相似比（比例尺）的平方，计算即可得到结果． 【详解】解：∵比例尺为， ∴图上面积与实际面积的比为比例尺的平方，即， ∵实际面积为， ∴图上面积为． 4.第七届中国国际进口博览会（简称“进博会”）于2024年11月5日至10日在国家会展中心（上海）隆重举办．以“新时代、共享未来”为主题，是世界上首个以进口为主题的国家级博览会．小海在地图上（如图1）测量他家与国家会展中心（上海）的距离为厘米，那么请帮小海计算出他家与国家会展中心（上海）的实际距离为__________千米． 【答案】52 【分析】本题考查了成比例线段，熟练掌握“比例尺图上距离实际距离”是解题的关键，注意单位的统一．设小海家与国家会展中心（上海）的实际距离为厘米，根据“比例尺图上距离实际距离”列出比例式，由此即可得出小海家与国家会展中心（上海）的实际距离． 【详解】解：设小海家与国家会展中心（上海）的实际距离为厘米， 解得 厘米千米， 故答案为：52． 成比例线段题型06 1.已知线段下面选项正确的是（   ） A．d，b，a，c成比例线段 B．a，d，b，c成比例线段 C．a，c，b，d成比例线段 D．a，d，c，b成比例线段 【答案】C 【分析】本题主要考查了成比例线段的应用，准确计算是解题的关键． 根据成比例线段的定义得到，计算即可． 【详解】解：∵ ∴ 故选：C. 2.（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）下列各组中的四条线段成比例的是(    ) A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】线段成比例强调的是线段之间的数量关系，即两条线段的长度之比是否相等，由此计算即可求解． 【详解】解：选项A、 ， ∴ 四条线段不成比例，A错误； 选项B 、，则， ∴ 四条线段成比例，B正确； 选项C 、， ∴ 四条线段不成比例，C错误； 选项D 、， ∴ 四条线段不成比例，D错误； 故选：B． 3.（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）已知按顺序排列的四条线段是成比例线段，其中，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了成比例线段，理解成比例线段的定义和性质是解题关键．根据题意可得，然后代入数值并求解，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，线段，，，是成比例线段，且，，， 则有，即， 解得． 故选：C． 4.（1）已知线段a＝2，b＝9，求线段a，b的比例中项． （2）已知x：y＝4：3，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）设线段x是线段a，b的比例中项，根据比例中项的定义列出等式，利用两内项之积等于两外项之积即可得出答案． （2）设x＝4k，y＝3k，代入计算，于是得到结论． 【详解】解：（1）设线段x是线段a，b的比例中项， ∵a＝3，b＝6， x2＝3×6＝18， x＝（负值舍去）． ∴线段a，b的比例中项是3． （2）设x＝4k，y＝3k， ∴＝＝． 【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 5.已知线段，，． (1)求线段a与线段b的比． (2)如果线段a、b、c、d成比例，求线段d的长． (3)是a和c的比例中项吗？为什么？ 【答案】(1) (2) (3)是的，理由见解析 【分析】本题主要考查了成比例线段，熟知比例线段的定义是解题的关键． （1）根据所给长度进行计算即可； （2）根据成比例线段的定义进行计算即可； （3）根据比例中项的定义进行判断即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴线段a与线段b的比为． （2）解：∵线段a、b、c、d成比例， ∴， ∴， ∴，即线段d的长为24． （3）解：是的，理由如下： ∵， ∴， ∴b是a和c的比例中项． 6.已知线段、、满足，且 (1)求、、的值； (2)若线段是线段、的比例中项，求线段的长； (3)若四条线段、、、为成比例线段，求线段的长． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题主要考查知识点比例的性质、比例中项的定义、成比例线段的性质等相关知识点．解题关键在于利用设法将等比形式转化为用表示、、，再结合已知条件求出的值，进而得到、、的值；根据比例中项和成比例线段的性质列出方程求解． （1）设，用分别表示出、、，代入，求出的值，从而得到、、的值． （2）根据比例中项的定义得到，将（1）中求得的、的值代入，求出的值，注意线段长度不能为负． （3）根据成比例线段的性质得到，将、、的值代入，求出的值． 【详解】（1）解：设，则，，． ∵， ∴， 解得， ∴，，； （2）解：∵线段是线段、的比例中项， ∴， 把，代入可得： ， ∵线段长度不能为负， ∴； （3）解：∵四条线段、、、为成比例线段， ∴， 把，，代入可得： ， 解得． 由黄金分割求值题型07 1.已知点P是线段的黄金分割点，且，下列命题说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据黄金分割点的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：∵点P是线段的黄金分割点，且， ∴， ∴，， ∴A、B、D说法正确，不符合题意，C说法错误，符合题意. 故选C． 【点睛】本题考查了黄金分割、比例性质，理解黄金分割点的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解题的关键． 2.已知点P是线段的一个黄金分割点，且，那么的比值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值是解题的关键． 根据黄金分割的定义即可得出答案． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，且， ， ， 故答案为：． 3.已知线段，是线段的黄金分割点，则的长度为（    ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】C 【分析】根据黄金分割公式即可求出. 【详解】∵线段，是线段的黄金分割点， 当， ∴； 当， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】此题考查黄金分割的公式，熟记公式是解题的关键. 4.勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比珠玉，后者堪称黄金，生活中到处可见黄金分割的美．如图，点是线段的黄金分割点，且，若表示以为一边的正方形的周长，表示长为，宽为的矩形的周长，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了黄金分割，比例线段，理解和熟练掌握黄金分割定理是解题的关键． 根据黄金分割点，可得，根据比例的性质，得到，将代入，即可求解． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，且， ， ， 根据题意可知， ． 故选：D． 黄金分割的应用题型08 1.如图，若雕像的上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全身的高度比，可增强视觉美感．按照这一比例，若雕像的总高度为2米，则雕像下部的高度为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设雕像的下部的高度为，由黄金分割的定义得，即可求解． 【详解】解：设雕像的下部的高度为， ∵雕像的上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全身的高度比， ∴， 解得：， 即雕像的下部的高度为． 2.（25-26九年级上·湖南常德·期末）如图，生活中到处可见黄金分割的美，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近黄金比，可以增加视觉美感，若图中是米，则大约是（    ）． A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查黄金分割的定义与应用．熟悉黄金分割比的数值为： ，是解题的关键． 根据雕像腰部以下高度与全身高度的比值接近黄金比，即，代入已知条件得到的值． 【详解】解：∵米，且， ∴， ． 故选：． 3.两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割．如图，点是线段上一点（），若满足，则称点是线段的黄金分割点．世界上很多有名建筑物几乎都包含“黄金分割”的设计理念．若图中，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查比例的基本性质和解一元二次方程，设，则，可得到． 【详解】设，则． 根据题意，得 ． 根据比例的基本性质，得 ． 变形，得 ． 解得 (舍去)，． 所以，． 故选：A． 4.（25-26九年级上·江苏盐城·期末）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点B为的黄金分割点，若，则长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割中的比例关系是解题的关键． 根据黄金分割点的定义，列出比例式，进行求解即可． 【详解】解：由题意可知，， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 5.（25-26九年级上·河北唐山·期末）主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，已知舞台长米，则主持人应走到离点多远处效果最好（保留一位小数）（    ） A．米 B．米 C．米或米 D．米或米 【答案】D 【分析】本题考查了黄金分割比，舞台的黄金分割点有两个位置，分别靠近点和点，设主持人站在离点的距离为米的点处，则米，根据黄金分割点满足或，即可求解． 【详解】解：设主持人站在离点的距离为米的点处，则米， 黄金分割点满足或， 或， 解得或， 即主持人应走到离A点米或米处， 故选：D． 6.（2026·辽宁阜新·二模）如图，社区为了打造“便民休闲角”，计划将一块闲置空地改造成如图所示的集阅读区、健身区和绿植区的小型休闲广场．已知阅读区（）和健身区（）均为正方形，且点、分别为、的黄金分割点（其中，），若长为，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据黄金分割点的定义求解即可． 【详解】解：∵长为，且点为的黄金分割点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵点为的黄金分割点，四边形是正方形， ∴点为的黄金分割点， ∴， 即的长为． 1.（2025·广东深圳·一模）数学家定义：若点C把线段分成两部分，满足，则点C为线段的白银分割点．已知点C是线段的白银分割点，且，则________． 【答案】 【分析】根据白银分割点的定义得到，由即可求出的长． 【详解】解：点C是线段的白银分割点， ， ， ， 故答案为： ． 2.有三条长度分别为，，的线段，再添一条长度为___________的线段，能使这四条线段是成比例线段． 【答案】或或 【分析】设添加的线段为，根据四条线段成比例，分别求出即可得． 【详解】解：设再添一条长度为的线段． 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得（舍去）； 当时，，解得． 综上，再添一条长度为或或的线段，能使这四条线段是成比例线段． 故答案为：或或. 【点睛】本题考查比例线段，解题的关键是找出所有成比例的情况分别求解． 3.若，且．试求． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，利用“设k法”表示出a、b、c可以使计算更加简便，设比值为k，然后用表示出a、b、c，再代入等式求出k值，然后相比即可． 【详解】解：设，则，， ， ， 解得， ， ． 4.已知，，，是的三边，且，，求的面积． 【答案】6 【分析】根据，可以设=k，然后根据a+b+c=12，可以求得k的值，进而求得a、b、c的值，再根据勾股定理的逆定理，即可判断△ABC的形状，最后算出的面积． 【详解】解：设， ∴，，， 又∵， ∴， ∴ ∴，， 又∵， ∴，、为两条直角边 ∴，即的面积为． 【点睛】本题主要考查的就是比例的性质以及直角三角形的判定和面积的计算．对于这种题型，我们一般设已知等式的值为k，然后根据等式的值求出k的值，从而得出题目中未知数的值，然后进行计算．如果三边的长度满足较小两边的平方和等于较大边的平方，则这个三角形就是直角三角形． 5.（25-26九年级上·湖南怀化·期中）已知： (1)求k的值； (2)则直线一定经过第_____． 【答案】(1) 或 (2)一，四象限 【分析】考查等比性质、一次函数图象性质．关键是分和求k，易错点是漏情况；再根据k的取值分析一次函数象限． （1）当，由等比性质得；当，得，故或． （2）当，直线过一、三、四象限；当，直线过一、二、四象限．综上，一定过第一、四象限． 【详解】（1）分两种情况讨论： 情况一： 由等比性质，． 情况二： 则，代入得． 综上，k的值为2或． （2）当时，直线方程为，斜率，截距，经过第一、三、四象限． 当时，直线方程为，斜率，截距，经过第一、二、四象限． 综上，直线一定经过第一、四象限． 故答案为：一、四象限． 6.已知： (1)如果，，，求c、d的值； (2)求证：． 【答案】(1)， (2) 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查比例， （1）根据题意得出，再结合即可解决问题； （2）在等式两边都减去，再进行变形即可解决问题； 解题的关键是掌握比例的基本性质：比例的内项之积与外项之积相等．也考查了恒等变形． 【详解】（1）解：∵，且，， ∴， ∴， 又∵， ∴，； （2）略 7.如图，线段、、、的端点都在边长为1的小正方形的顶点上，这四条线段是成比例线段吗？为什么？ 【答案】成比例，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理，运用勾股定理求出各边的长，判断即可解答． 【详解】解：成比例．理由如下： ， ， ， ， ∴， ∴， ∴线段、、、成比例． 1.阅读理解，并解决问题： 小明同学在一次教学活动中发现，存在一组都不为0的数a，b，c，d，使得成立（即a，b，c，d成比例）．小明同学还有新的发现：若，则（分比性质）． 已知①；②． 问题解决： (1)仿照上例，从①②中选一组数据写出分比性质等式； (2)证明（1）中的分比性质等式成立． 【答案】(1)①若，则；②若，则 (2)见解析 【分析】本题考查了比例的基本性质． （1）根据题意写出答案即可； （2）运用设参法，证明①时，设设，则，，求出，即可得出结论．同理可证明②． 【详解】（1）解：①若，则； ②若，则． （2）解：①若，则． 证明：设，则，， ∴，， ∴． ②若，则． 证明：设，则，， ∴，， ∴． 2.（25-26八年级上·福建福州·期末）综合与实践 某校八年级数学课外活动小组在一次课外活动时进行了以下探究活动： 活动目的 探究比例的性质 知识储备 1．在同一长度单位下，两条线段长度的比叫做这两条线段的比．例如，如果先用同一个长度单位测量得两条线段AB，CD的长度分别为m，n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即或．其中，线段AB，CD分别叫做这个线段比的前项和后项．如果把表示成比值k，那么，即．两条线段的比实际上就是两个数值的比． 2．四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．反过来，如果四条线段a，b，c，d成比例，那么一定成立． 猜想性质 该数学课外活动小组经过反复讨论，得出以下四个命题（a，b，c，d都是不为0的数）： ①如果，那么； ②如果，那么； ③如果（其中），那么； ④如果，那么． 证明猜想 （1）该数学课外活动小组的甲同学借助小学已有知识经验判断出①，②是真命题并进行了证明，通过查阅资料知③，④也是真命题，但在证明上他遇到了困难．请你帮助甲同学从③和④中选择一个证明它是真命题； 解决问题 （2）四个数a，b，c，d成比例，其中，，且，求b的值； （3）和中，已知，的周长与的周长的差为6，求的周长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）18． 【分析】本题主要考查了比例线段、比例的性质、三角形的周长等知识点，熟练掌握比例的性质是解题的关键 ． （1）根据比例的性质即可解答； （2）由四个数a，b，c，d成比例，得到，求得，然后代入相关数值计算即可； （3）由，根据比例的性质得到．求得，再结合题意列方程求解即可． 【详解】解：（1）③④都真命题． ③证明：∵， ． ∵， ． ④证明：∵， ． ． ． （2）四个数a，b，c，d成比例， ∴． ∴， ∵，，且， ． ． （3）∵， ∴． ∴． ∵的周长与的周长的差为6， ， ． ．即的周长为18． 3.阅读下面的材料： 如图1，在线段上找一点C，若，则称点C为线段的黄金分割点，这时比值为，人们把称为黄金分割数，长期以来，很多人都认为黄金分割数是一个很特别的数，我国著名数学家华罗庚先生所推广的优选法中，就有一种0.618法应用了黄金分割数．    我们可以这样作图找到已知线段的黄金分割点：如图2，在中，的长为2，过点E作，且，连接；以F为圆心，长为半径作弧，交于H；再以O为圆心，长为半径作弧，交于点P． 根据材料回答下列问题： (1)根据作图，写出图中相等的线段：________； (2)求的长； (3)求证：点P是线段的黄金分割点． 【答案】(1)， (2) (3)见解析 【分析】（1）由题意知，，，然后作答即可； （2）由勾股定理得，根据，计算求解即可； （3）由，可得，，，则，即，进而结论得证． 【详解】（1）解：由题意知，，， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴ ∵， ∴， 由勾股定理得， ∵ ∴， ∴． （3）证明：∵， ∴，，， ∴，即， ∴点P是线段的黄金分割点． 【点睛】本题考查了画线段，勾股定理，黄金分割．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 1．（2022·陕西·中考真题）在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即．已知为2米，则线段的长为______米． 【答案】/ 【分析】根据点E是AB的黄金分割点，可得，代入数值得出答案． 【详解】∵点E是AB的黄金分割点， ∴． ∵AB=2米， ∴米． 故答案为：（）． 【点睛】本题主要考查了黄金分割的应用，掌握黄金比是解题的关键． 2．（2024·山西·中考真题）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字清的边 ， 上，且，“远”字的笔画“、”的位置在 的黄金分割点处，且 若，则 的长为_______(结果保留根号)． 【答案】/ 【分析】先证明四边形是矩形，根据黄金分割的定义可得，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 又∵， ∴． 3.（2023·四川达州·中考真题）如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点A的黄金分割点，之间的距离为__________． 【答案】/ 【分析】此题考查了黄金分割点的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．根据黄金分割的概念和黄金比值计算即可． 【详解】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点， ∴， ∴． 故答案为：． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $