第10讲 乘法公式优等生讲义 (知识梳理+典例+压轴+练习) 2026-2027学年人教版八年级数学上册

第10讲 乘法公式 优等生讲义 (知识梳理+典例+压轴+练习) 2026-2027学年人教版八年级数学上册 📌 思维导图 · 课程内容总览 🎯 课程目标 · 精准把握学习方向 掌握平方差公式，能正确运用公式计算 掌握完全平方公式，能正确展开和变形 理解乘法公式的几何背景 能灵活运用乘法公式进行巧算和化简 能利用乘法公式变形求代数式的值 📚 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1.平方差公式 (a+b)(a-b)=a²-b² 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差 公式中的a、b可以是数、字母或代数式 关键：找到相同项和相反项 概念辨析例题：概念辨析：(-2x+3y)(2x+3y)等于什么？ 解析：把3y看作相同项，2x看作相反项：(3y-2x)(3y+2x)=(3y)²-(2x)²=9y²-4x²。 ☆ 2.完全平方公式 (a+b)²=a²+2ab+b² (a-b)²=a²-2ab+b² 首平方，尾平方，首尾两倍在中央 注意中间项的符号 概念辨析例题：概念辨析：已知a+b=5，ab=6，求a²+b² 解析：a²+b²=(a+b)²-2ab=25-12=13。 ☆ 3.乘法公式的变形 a²+b²=(a+b)²-2ab=(a-b)²+2ab (a+b)²-(a-b)²=4ab (a+b)²+(a-b)²=2(a²+b²) 灵活变形是解题关键 概念辨析例题：概念辨析：已知(m+n)²=36，(m-n)²=16，求mn 解析：两式相减：4mn=20，mn=5。 ☆ 4.乘法公式的几何背景 平方差：大正方形减小正方形=长方形面积 完全平方：大正方形=两个小正方形+两个长方形 用面积法验证代数恒等式 数形结合理解公式 概念辨析例题：概念辨析：从边长a的正方形剪去边长b的小正方形，拼成什么图形验证平方差？ 解析：剩余面积a²-b²，拼成长(a+b)宽(a-b)的长方形，面积(a+b)(a-b)，验证a²-b²=(a+b)(a-b)。 📋 知识总结表 公式 展开形式 变形应用 平方差 (a+b)(a-b)=a²-b² a²-b²=(a+b)(a-b) 完全平方和 (a+b)²=a²+2ab+b² a²+b²=(a+b)²-2ab 完全平方差 (a-b)²=a²-2ab+b² a²+b²=(a-b)²+2ab 和差关系 (a+b)²-(a-b)²=4ab ab=[(a+b)²-(a-b)²]/4 对称和 (a+b)²+(a-b)²=2(a²+b²) 已知和差求平方和 巧算 凑整用公式 100.5×99.5=(100+0.5)(100-0.5) ⚠️ 核心考点 · 典型例题精讲 【考点1】平方差公式（第1-13题） 识别相同项和相反项 相同项平方减相反项平方 注意符号和整体思想 1．（2025秋•兰山区期末）下列式子中，能用平方差公式计算的是（　　） A．（a+4）（4+a） B．（﹣2x﹣y）（﹣2x+y） C．（m﹣1）（m+2） D．（﹣p﹣q）（p+q） 2．（2026•莲湖区校级模拟）下列运算错误的是（　　） A．x﹣（2x﹣3y）＝﹣x+3y B．﹣2x（x﹣y）＝﹣2x2﹣2xy C．（a+3b）（a﹣3b）＝a2﹣9b2 D．（x3y2+x2y）÷x2y＝xy+1 3．（2025秋•东川区期末）下列算式不能用平方差公式计算的是（　　） A．（a+b）（a﹣b） B．（﹣a+b）（a﹣b） C．（﹣a+b）（﹣a﹣b） D．（﹣a+b）（a+b） 4．（2026•兰州一模）计算：（3a+2b）（3a﹣2b）＝（　　） A．3a2﹣2b2 B．3a2﹣4b2 C．9a2+4b2 D．9a2﹣4b2 5．（2026•高青县一模）若a2﹣b2＝8，a﹣b＝4，则a+b的值为_____ ． 6．（2025春•扬州期末）计算：（﹣2x+3y）（2x+3y）＝ ____________ ． 7．（2024秋•叙州区校级期中）设a＝73×1412，b＝9322﹣4802，c＝5152﹣1912，则数a，b，c的大小关系是__________ ． 8．（2025春•兴化市期末）计算：5002﹣498×502＝_____ ． 9．（2025秋•扎兰屯市期末）已知a2﹣b2＝14，a+b＝2，则a﹣b＝_____ ． 10．（2026春•莱州市期末）图1为某校八（1）（2）两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m、n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分S1、S2分别表示八（1）（2）两个班级的基地面积．若m+n＝8，m﹣n＝2，则S1﹣S2＝_______ ． 11．（2025春•三原县期中）计算：（2x+5y﹣1）（2x+5y+1）． 12．（2024秋•西峰区期末）计算：（2x+3y）2﹣4（x+y）（x﹣y）． 13．（2026•瑶海区校级三模）化简：（a+1）2+（a+1）（a﹣1）． 【考点2】完全平方公式（第14-25题） 首平方尾平方，首尾两倍在中央 常用变形：a²+b²=(a+b)²-2ab 两式相加求平方和，相减求积 14．（2025秋•祁东县期末）已知a+b＝5，ab＝6，则a2+b2＝（　　） A．13 B．19 C．26 D．31 15．（2025秋•阳新县期末）若多项式a2+1+△能直接用完全平方公式进行因式分解，则“△”所代表的单项式不可以是（　　） A．2a B．﹣2a C． D． 16．（2026春•海宁市校级期中）已知（m+n）2＝36，（m﹣n）2＝16，则m2n2的值为（　　） A．5 B．13 C．20 D．25 17．（2025秋•望奎县期末）若a+b＝8，a2+b2＝74，则ab的值为（　　） A．﹣10 B．﹣5 C．5 D．10 18．（2025秋•饶平县期末）已知a＝x+2026，b＝x+2024，c＝x+2025，当a2+b2＝8，则c2的值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．8 19．（2026春•临渭区期末）若a﹣b＝2，a2+b2＝16，则ab的值等于 _____ ． 20．（2026春•高新区期末）已知（x+y）2＝30，（x﹣y）2＝6，则xy＝ _____ ． 21．（2026春•无锡期中）若（2x+m）2＝4x2+4mx+1，则m的值是 _______ ． 22．（2025秋•朝阳区校级期末）已知（a﹣b）2＝7，（a+b）2＝13，则ab＝__________________ ． 23．（2024•渭城区校级开学）计算： （1）； （2）（x+2y）2﹣（x+y）（3x﹣y）﹣5y2． 24．若a+b＝5，ab＝3． （1）求a2+b2的值； （2）求（a﹣b）2的值． 25．（2023秋•南平期末）化简：（a+1）2+（a﹣1）2﹣2． 【考点3】乘法公式与图形（第26-30题） 用面积法验证代数恒等式 数形结合，从图形提炼公式 拼图前后面积不变 26．（2024秋•越秀区校级期中）小林和小明在信息技术课上设计了一个小游戏程序：如图，开始时两人的屏幕上显示的数分别是9和4．每按一次屏幕，小林的屏幕上的数就会加上a2，同时小明的屏幕上的数就会减去2a，且均显示化简后的结果．如下表，就是按一次后及两次后屏幕显示的结果． 开始数 按一次后 按两次后 按三次后 按四次后 小林 9 9+a2 9+2a2 小明 4 4﹣2a 4﹣4a 根据以上的信息回答问题： （1）从开始起按三次后，两人屏幕上显示的结果分别是：①小林：__________ ；②小明：_________ ； （2）几轮游戏之后，小林对小明说：“我发现，不管a的值是多少，从开始起按四次后，我们两个人的屏幕上显示的结果的和不可能是负数．”请判断他的说法是否正确，并说明理由． 27．（2025秋•渝水区校级期末）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． （1）上述操作能验证的等式是_____ ．（请选择正确的一个） A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 C．a2+ab＝a（a+b） （2）若x2﹣y2＝16，x+y＝8，求x﹣y的值． （3）计算：． 28．（2026春•扬中市期中）如图，某中学校园内有一个长为（4a+b）米，宽为（3a+b）米的长方形小广场，学校计划在中间留一块边长为（a+b）米的正方形场地修建一座雕像，并将空余场地（阴影部分）进行绿化． （1）请用含a，b的代数式表示绿化面积； （2）当a＝2，b＝3时，求绿化面积． 29．（2025秋•沙依巴克区校级期末）如图（1）所示，边长为a的正方形中有一个边长为b（b＜a）的小正方形，如图（2）所示是由图（1）中的阴影部分拼成的一个长方形． （1）设图（1）中阴影部分的面积为S1，图（2）中阴影部分的面积为S2，请直接写出上述过程所揭示的等式：____________________ （用a，b表示） （2）直接应用：利用这个等式计算： ①102×98；②（x﹣10）（x+10）； （3）拓展应用：试利用这个公式求下面代数式的结果：（2+1）×（22+1）×（24+1）×（28+1）×（216+1）． 30．（2025秋•黄埔区期末）【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为（a+b）2＝a2+2ab+b2． 【类比探究】 （1）观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为 ____________________ ． 【应用】 （2）根据图②所得的公式，若a+b＝7，ab＝4，求a2+b2的值． （3）若x满足（5﹣x）（x﹣1）＝3，求（5﹣x）2+（x﹣1）2的值． 【拓展】 （4）如图③，某学校有一块梯形空地ABCD，AC⊥BD于点E，AE＝DE，BE＝CE，该校计划在△AED和△BEC区域内种花，在△CDE和△ABE的区域内种草，经测量种花区域的面积和为102平方米，AC＝18米，求种草区域的面积和． 【考点4】乘法公式与巧算（第31-35题） 凑整：100.5×99.5写成(100+0.5)(100-0.5) 整体思想：把某部分看作a或b 连续平方差：(2-1)(2+1)(2²+1)...=2³²-1 31．（2026•伍家岗区模拟）计算：（2m+n）（2m﹣n）+n2． 32．（2025秋•浦东新区校级期中）（4x+3y+z）（4x﹣3y﹣z）． 33．（2026春•同步）运用平方差公式计算： （1）； （2）（y2+1）（y2﹣1）； （3）（2a﹣3b）（3b+2a）； （4）（﹣2b﹣5）（2b﹣5）； （5）100.5×99.5； （6）998×1002． 34．（2026春•金水区校级期中）阅读：在计算（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+⋯+x+1）的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： [观察] ①（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1； ②（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1； ③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1； ⋯ [归纳]由此可得：（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+⋯+x+1）＝___________ ； [应用] （1）22026+22025+⋯+2+1＝____________ ； （2）计算：218﹣217+⋯﹣23+22﹣2+1． 35．（2026春•沭阳县月考）（1）已知（a+b）2＝25，ab＝10，求a2+b2的值． （2）已知（a+b）2＝17，（a﹣b）2＝13，求ab的值． 【创新及压轴题】综合应用（第36-42题） 换元法：把重复部分看作整体 作差法比较大小 立方和公式：a³+b³=(a+b)³-3ab(a+b) 36．（2024•镜湖区校级自主招生）求所有的整数n，使n4+6n3+11n2+3n+31是平方数． 37．（2025秋•长春校级月考）如图1，将长为2a，宽为2b的长方形对折后再对折，展开得到如图1所示的图形，沿图中虚线用剪刀平均剪成四个小长方形，然后用这四个小长方形拼成如图2所示的图形． （1）通过两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，可得到关于a、b的等量关系为____________________ ； （2）根据（1）中的等量关系，解决下列问题： ①若m+n＝6，mn＝3，求m﹣n的值； ②将边长分别为x、y的正方形ABCD、正方形CEFG按图3摆放，若xy＝12，BG＝1，求图3中阴影部分面积的和． 38．（2026春•绿园区校级期中）观察图1，用等式表示图中图形的面积的运算为（a+b）2＝a2+2ab+b2． （1）观察图2，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为____________________ ； （2）根据图2所得的公式： ①若a+b＝6，ab＝4，则a2+b2的值是_______ ； ②若，求的值； （3）如图3，某学校有一块四边形空地ABCD，AC⊥BD于点E，AE＝DE，BE＝CE，该校计划在△AED和△BEC区域内种花，在△CDE和△ABE的区域内种草，经测量种草区域的面积和为50平方米，AC＝18米，则种花区域的面积和是_____ ． 【问题呈现】 39．（2026•武侯区校级开学）（1）我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，例如：从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形如图1，然后将剩余部分拼成一个长方形如图2．图1中阴影部分面积为 __________ ，图2中阴影部分面积为 _______________ ，请写出这个乘法公式 ____________________ ； （2）应用（1）中的公式，完成下面任务： 若m是不为0的有理数，已知P＝（m2+2m+1）（m2﹣2m+1）， Q＝（m2+m+1）（m2﹣m+1），比较P、Q大小． （3）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图3表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小正方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图3中图形的变化关系，写出一个代数恒等式 ____________________ ． 40．（2026•开封校级开学）阅读下列材料：已知实数m，n满足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，试求2m2+n2的值． 解：设2m2+n2＝t，则原方程变为（t+1）（t﹣1）＝80，整理得t2﹣1＝80，t2＝81， ∴t＝±9．∵2m2+n2≥0，∴2m2+n2＝9． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． （1）已知实数x，y满足（2x2+2y2+3）（2x2+2y2﹣3）＝27，求x2+y2的值． （2）设a，b满足等式（2a2+b2）（2a2+b2+2）＝80，求2a2+b2+1的值． 41．（2026春•东台市月考）图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，对于一个图形，通过不同方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． （1）观察图1、图2，用等式表示图1和图2的面积运算为____________________ ；（用含a，b的式子表示） （2）嘉琪想用这三种纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）的大长方形，需要图2中的A，B，C三种纸片各多少张？ （3）如图3，将两个正方形如图摆放，点H与点C重合，点E、G分别在DC、BC的延长线上，若它们边长之和为16，阴影部分面积为60，求这两个正方形的面积之差． 42．（2026春•苏州校级月考）理解图形，完成下列各题： （1）【知识生成】将一个大正方形分割成如图1的四部分，两个边长分别为a，b的正方形和两个长方形．用两种方法表示该大正方形的面积，可得数学等式是____________________ ；若a2+b2＝40，ab＝12，则该大正方形的边长为_____ ； （2）【能力提升】我们还可以利用（1）中的关系解决一些更复杂的问题，例如，若x满足（2﹣x）（x﹣5）＝1，可设2﹣x＝a，x﹣5＝b，则ab＝1，a+b＝﹣3．则a2+b2＝_____ ． 仿照这个方法，请你尝试解决： 若（2025﹣x）2+（2026﹣x）2＝17，求（2025﹣x）（2026﹣x）的值； （3）【解决问题】如图2，△ABC是直角三角形，∠C＝90°，分别以边AC，BC为直径向三角形外部作半圆，已知AC+BC＝12，两半圆的面积和S1+S2＝15π，求△ABC的面积． （4）【思维拓展】如图3，观察棱长为a+b的大正方体的分割，若已知a+b＝5，ab＝2，则a3+b3＝_______ ． 💯 课后巩固 ❤复习建议 平方差：相同项平方减相反项平方 完全平方：首平方尾平方，首尾两倍在中央 常用变形：a²+b²=(a+b)²-2ab 巧算要凑整，注意整体思想 【作业 1】（2026春•茂南区期中）已知x+y＝5，x﹣y＝2，则x2﹣y2等于（　　） A．12 B．7 C．10 D．6 【作业 2】（2025秋•瑞金市期末）下列各式计算正确的是（　　） A．（x﹣2）（x+2）＝x2﹣2 B．（a﹣b）2＝a2+2ab﹣b2 C．（a+b）2＝a2+b2 D．（a3）2＝a6 【作业 3】（2025秋•浦东新区校级期末）下列各式可以利用平方差公式计算的是（　　） A．（4p+q）（4q﹣p） B．（m+1）（﹣m﹣1） C．（﹣a+b）（a﹣b） D．（x+2y）（﹣x+2y） 【作业 4】（2024秋•嘉定区期中）若a＝2023×2024+1，b＝20232﹣2023×2024+20242，在下列判断结果正确的是（　　） A．a＜b B．a＝b C．a＞b D．无法判断 【作业 5】（2025秋•西宁期末）计算：20252﹣2026×2024＝ _____ ． 【作业 6】（2026春•渠县校级期末）已知m+n＝﹣5，mn＝3，则m2﹣mn+n2的值为 _______ ． 【作业 7】（2026春•同步）若（2a+2b﹣1）（2a+2b+1）＝63，则a+b的值为_______ ． 【作业 8】（2026春•天宁区校级期中）计算： （1）﹣b•b2； （2）（2x﹣3）（2x+3）； （3）（p﹣2q）2； （4）（a2）3﹣a8÷a2； （5）（﹣3x2）（4x﹣3）； （6）（2a+b）2﹣（2a+3b）（2a﹣3b）． 【作业 9】（2025秋•大庆校级期末）化简： （1）4（x+1）2﹣（2x+5）（2x﹣5）； （2）（2x+y+3）（2x﹣y+3）． 【作业 10】（2025•海淀区校级开学）已知x﹣y＝7，xy＝12，求x2+y2，（x+y）2，x3﹣y3的值． 【作业 11】（2026春•高邮市期中）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值． 解：∵a+b＝3，ab＝1， ∴（a+b）2＝9，2ab＝2， ∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝9， ∴a2+b2＝7． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若x+y＝8，xy＝12，求x2+y2的值； 类比应用： （2）若x+y＝4，x2+y2＝10，求xy的值． 【作业 12】（2025秋•崆峒区校级期末）已知x3． （1）求x2的值； （2）求x4的值． 【作业 13】（2025秋•丰满区期末）计算：（x+y）（x﹣y）+y2． 【作业 14】（2024秋•闵行区校级期中）（1）已知a+b＝3，ab＝2，可得：a2+b2＝ _____ ，（a﹣b）2＝ _____ ； （2）已知a+b+c＝6，ab+bc+ac＝11，求a2+b2+c2的值． 【作业 15】（2026•通川区校级开学）先化简，再求值：（x+y）2﹣x（x+y）+（x﹣y）（x+y），其中x＝﹣2，y＝﹣1． 【作业 16】（2026春•沈阳期末）“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，如图1，一个长为2a、宽为2b的长方形，分成四块完全相同的小长方形，再拼成如图2的正方形． （1）根据图1和图2，直接写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的一个等量关系____________________ ． （2）利用（1）中的结论解决下列问题： ①若2x﹣y＝8，xy＝10，求2x+y的值． ②如图3，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形ACDE和BCFG，延长GB和ED交于点H，那么四边形DCBH为长方形，设AB＝14.5，图中阴影部分面积为51，求BC﹣CD的值（BC＞CD）． 【作业 17】（2025秋•红花岗区期末）阅读下列材料 若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值． 设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5， ∴（4﹣x）2+（x﹣9）2＝（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17． 请仿照上面的方法求解下面问题： （1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值； （2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF为边作正方形． ①MF＝________ ，DF＝________ ；（用含x的式子表示） ②求阴影部分的面积． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 乘法公式 优等生讲义 (知识梳理+典例+压轴+练习) 2026-2027学年人教版八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 · 课程内容总览 🎯 课程目标 · 精准把握学习方向 掌握平方差公式，能正确运用公式计算 掌握完全平方公式，能正确展开和变形 理解乘法公式的几何背景 能灵活运用乘法公式进行巧算和化简 能利用乘法公式变形求代数式的值 📚 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1.平方差公式 (a+b)(a-b)=a²-b² 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差 公式中的a、b可以是数、字母或代数式 关键：找到相同项和相反项 概念辨析例题：概念辨析：(-2x+3y)(2x+3y)等于什么？ 解析：把3y看作相同项，2x看作相反项：(3y-2x)(3y+2x)=(3y)²-(2x)²=9y²-4x²。 ☆ 2.完全平方公式 (a+b)²=a²+2ab+b² (a-b)²=a²-2ab+b² 首平方，尾平方，首尾两倍在中央 注意中间项的符号 概念辨析例题：概念辨析：已知a+b=5，ab=6，求a²+b² 解析：a²+b²=(a+b)²-2ab=25-12=13。 ☆ 3.乘法公式的变形 a²+b²=(a+b)²-2ab=(a-b)²+2ab (a+b)²-(a-b)²=4ab (a+b)²+(a-b)²=2(a²+b²) 灵活变形是解题关键 概念辨析例题：概念辨析：已知(m+n)²=36，(m-n)²=16，求mn 解析：两式相减：4mn=20，mn=5。 ☆ 4.乘法公式的几何背景 平方差：大正方形减小正方形=长方形面积 完全平方：大正方形=两个小正方形+两个长方形 用面积法验证代数恒等式 数形结合理解公式 概念辨析例题：概念辨析：从边长a的正方形剪去边长b的小正方形，拼成什么图形验证平方差？ 解析：剩余面积a²-b²，拼成长(a+b)宽(a-b)的长方形，面积(a+b)(a-b)，验证a²-b²=(a+b)(a-b)。 📋 知识总结表 公式 展开形式 变形应用 平方差 (a+b)(a-b)=a²-b² a²-b²=(a+b)(a-b) 完全平方和 (a+b)²=a²+2ab+b² a²+b²=(a+b)²-2ab 完全平方差 (a-b)²=a²-2ab+b² a²+b²=(a-b)²+2ab 和差关系 (a+b)²-(a-b)²=4ab ab=[(a+b)²-(a-b)²]/4 对称和 (a+b)²+(a-b)²=2(a²+b²) 已知和差求平方和 巧算 凑整用公式 100.5×99.5=(100+0.5)(100-0.5) 【考点1】平方差公式（第1-13题） 识别相同项和相反项 相同项平方减相反项平方 注意符号和整体思想 1．（2025秋•兰山区期末）下列式子中，能用平方差公式计算的是（　　） A．（a+4）（4+a） B．（﹣2x﹣y）（﹣2x+y） C．（m﹣1）（m+2） D．（﹣p﹣q）（p+q） 【分析】判断各选项是否符合（a+b）（a﹣b）的形式即可． 【解答】解：根据平方差公式的形式为（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2可得： A．（a+4）（4+a）＝（a+4）（a+4），不符合（a+b）（a﹣b）的形式； B．（﹣2x﹣y）（﹣2x+y），符合（a+b）（a﹣b）的形式； C．（m﹣1）（m+2），不符合（a+b）（a﹣b）的形式； D．（﹣p﹣q）（p+q）＝﹣（p+q）（p+q），不符合（a+b）（a﹣b）的形式； 故选：B． 【点评】本题考查了平方差公式，平方差公式的形式为（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2． 2．（2026•莲湖区校级模拟）下列运算错误的是（　　） A．x﹣（2x﹣3y）＝﹣x+3y B．﹣2x（x﹣y）＝﹣2x2﹣2xy C．（a+3b）（a﹣3b）＝a2﹣9b2 D．（x3y2+x2y）÷x2y＝xy+1 【分析】根据整式的加减运算法则、平方差公式、单项式乘多项式法则、多项式除以单项式法则分别计算判断即可． 【解答】解：A、x﹣（2x﹣3y）＝x﹣2x+3y＝﹣x+3y，原计算正确，故此选项不符合题意； B、﹣2x（x﹣y）＝﹣2x2+2xy，原计算错误，故此选项符合题意； C、（a+3b）（a﹣3b）＝a2﹣9b2，原计算正确，故此选项不符合题意； D、（x3y2+x2y）÷x2y＝xy+1，原计算正确，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了平方差公式、整式的加减、单项式乘多项式、整式的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 3．（2025秋•东川区期末）下列算式不能用平方差公式计算的是（　　） A．（a+b）（a﹣b） B．（﹣a+b）（a﹣b） C．（﹣a+b）（﹣a﹣b） D．（﹣a+b）（a+b） 【分析】根据平方差公式、完全平方公式计算判断即可． 【解答】解：A、（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，能用平方差公式计算，故此选项不符合题意； B、（﹣a+b）（a﹣b）＝﹣（a﹣b）（a﹣b）＝﹣（a﹣b）2＝﹣a2+2ab﹣b2，不能用平方差公式计算，故此选项符合题意； C、（﹣a+b）（﹣a﹣b）＝（﹣a+b）（﹣a﹣b）＝（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2，能用平方差公式计算，故此选项不符合题意； D、（﹣a+b）（a+b）＝（b﹣a）（b+a）＝b2﹣a2，能用平方差公式计算，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了平方差公式、完全平方公式，熟记这两个公式是解题的关键． 4．（2026•兰州一模）计算：（3a+2b）（3a﹣2b）＝（　　） A．3a2﹣2b2 B．3a2﹣4b2 C．9a2+4b2 D．9a2﹣4b2 【分析】利用平方差公式进行计算即可． 【解答】解：原式＝（3a）2﹣（2b）2 ＝9a2﹣4b2． 故选：D． 【点评】本题主要考查平方差公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 5．（2026•高青县一模）若a2﹣b2＝8，a﹣b＝4，则a+b的值为　2　 ． 【分析】根据a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）进行计算即可． 【解答】解：∵a2﹣b2＝8，a﹣b＝4， ∴（a+b）（a﹣b）＝8， ∴a+b＝8÷4＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了平方差公式，熟知两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2是解题的关键． 6．（2025春•扬州期末）计算：（﹣2x+3y）（2x+3y）＝ 　9y2﹣4x2 ． 【分析】根据平方差公式进行计算即可． 【解答】解：原式＝（3y）2﹣（2x）2 ＝9y2﹣4x2． 故答案为：9y2﹣4x2． 【点评】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 7．（2024秋•叙州区校级期中）设a＝73×1412，b＝9322﹣4802，c＝5152﹣1912，则数a，b，c的大小关系是b＞c＞a ． 【分析】将b，c利用平方差公式进行因式分解后，再根据乘法法则，比较大小即可． 【解答】解：将b，c利用平方差公式进行因式分解可得： b＝9322﹣4802＝（932+480）×（932﹣480）＝1412×452， c＝5152﹣1912＝（515+191）（515﹣191）＝706×324＝1412×162， ∵73＜162＜452， ∴b＞c＞a； 故答案为：b＞c＞a． 【点评】本题考查因式分解，熟练掌握该知识点是关键． 8．（2025春•兴化市期末）计算：5002﹣498×502＝　4　 ． 【分析】将原式化为5002﹣（500﹣2）（500+2），再根据平方差公式计算即可． 【解答】解：原式＝5002﹣（500﹣2）（500+2）， ＝5002﹣5002+4 ＝4． 【点评】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提． 9．（2025秋•扎兰屯市期末）已知a2﹣b2＝14，a+b＝2，则a﹣b＝　7　 ． 【分析】根据平方差公式求解即可． 【解答】解：∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 由题意可得： ， 故答案为：7． 【点评】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式是解题的关键． 10．（2026春•莱州市期末）图1为某校八（1）（2）两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m、n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分S1、S2分别表示八（1）（2）两个班级的基地面积．若m+n＝8，m﹣n＝2，则S1﹣S2＝　16　 ． 【分析】先根据已知求出S1﹣S2，并进行分解因式，把m+n与m﹣n的值代入计算即可． 【解答】解：∵m+n＝8，m﹣n＝2， ∴S1﹣S2 ＝（S1+SB）﹣（S2+SB） ＝m2﹣n2 ＝（m+n）（m﹣n） ＝8×2 ＝16， 故答案为：16． 【点评】本题主要考查了平方差公式的应用，解题关键是灵活应用平方差公式解决问题． 11．（2025春•三原县期中）计算：（2x+5y﹣1）（2x+5y+1）． 【分析】先利用平方差公式进行运算，再利用完全平方公式进行计算即可． 【解答】解：原式＝（2x+5y）2﹣1＝4x2+20xy+25y2﹣1． 【点评】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式，熟知以上知识是解题的关键． 12．（2024秋•西峰区期末）计算：（2x+3y）2﹣4（x+y）（x﹣y）． 【分析】先利用完全平方和及平方差公式计算，再去括号，最后由整式加减运算法则求解即可得到答案． 【解答】解：（2x+3y）2﹣4（x+y）（x﹣y） ＝（4x2+12xy+9y2）﹣（4x2﹣4y2） ＝4x2+12xy+9y2﹣4x2+4y2 ＝12xy+13y2． 【点评】本题考查整式的混合运算，涉及完全平方和公式、平方差公式及整式加减运算等知识，熟练掌握整式混合运算法则是解决问题的关键． 13．（2026•瑶海区校级三模）化简：（a+1）2+（a+1）（a﹣1）． 【分析】直接用公式将原式展开，去掉括号后合并同类项． 【解答】解：原式＝a2+2a+1+a2﹣1 ＝2a2+2a． 【点评】本题考查了完全平方公式和平方差公式，熟练掌握该知识点是关键． 【考点2】完全平方公式（第14-25题） 首平方尾平方，首尾两倍在中央 常用变形：a²+b²=(a+b)²-2ab 两式相加求平方和，相减求积 14．（2025秋•祁东县期末）已知a+b＝5，ab＝6，则a2+b2＝（　　） A．13 B．19 C．26 D．31 【分析】由a+b＝5求得（a+b）2＝25，将其展开后代入数值计算即可． 【解答】解：∵a+b＝5， ∴（a+b）2＝25， ∴a2+2ab+b2＝25， ∵ab＝6， ∴a2+b2＝25﹣2×6＝13， 故选：A． 【点评】本题考查完全平方公式，结合已知条件求得（a+b）2＝25是解题的关键． 15．（2025秋•阳新县期末）若多项式a2+1+△能直接用完全平方公式进行因式分解，则“△”所代表的单项式不可以是（　　） A．2a B．﹣2a C． D． 【分析】根据完全平方式的特点，首平方，尾平方，首尾的2倍在中间，进行判断即可． 【解答】解：A、a2+1+2a＝（a+1）2，选项符合“△”所代表的单项式，不符合题意； B、a2+1﹣2a＝（a﹣1）2，选项符合“△”所代表的单项式，不符合题意； C、，选项符合“△”所代表的单项式，不符合题意； D、，无法用完全平方公式进行因式分解，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了完全平方式，掌握完全平方式的定义是关键． 16．（2026春•海宁市校级期中）已知（m+n）2＝36，（m﹣n）2＝16，则m2n2的值为（　　） A．5 B．13 C．20 D．25 【分析】利用完全平方公式展开已知条件，通过加减运算求出mn的值，再求其平方即可得出答案． 【解答】解：因为（m+n）2＝36， 所以m2+2mn+n2＝36①， 因为（m﹣n）2＝16， 所以m2﹣2mn+n2＝16②， ①﹣②得：4mn＝20， ∴mn＝5， ∴m2n2＝（mn）2＝52＝25． 故选：D． 【点评】本题考查了完全平方公式的应用，解决本题的关键是熟练运用完全平方公式解决问题． 17．（2025秋•望奎县期末）若a+b＝8，a2+b2＝74，则ab的值为（　　） A．﹣10 B．﹣5 C．5 D．10 【分析】根据完全平方公式得到a2+2ab+b2＝64，再由a2+b2＝74即可得到答案． 【解答】解：由条件可知：（a+b）2＝82， ∴a2+2ab+b2＝64， ∴2ab＝﹣10， ∴ab＝﹣5， 故选：B． 【点评】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是关键． 18．（2025秋•饶平县期末）已知a＝x+2026，b＝x+2024，c＝x+2025，当a2+b2＝8，则c2的值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．8 【分析】由题意可得（x+2026）2+（x+2024）2＝8，将其变形为[（x+2025）+1]2+[（x+2025）﹣1]2＝8，利用完全平方公式展开并求得（x+2025）2的值即可． 【解答】解：∵a＝x+2026，b＝x+2024，a2+b2＝8， ∴（x+2026）2+（x+2024）2＝8， ∴[（x+2025）+1]2+[（x+2025）﹣1]2＝8， ∴（x+2025）2+2（x+2025）+1+（x+2025）2﹣2（x+2025）+1＝8， ∴2（x+2025）2+2＝8， ∴（x+2025）2＝3， 即c2＝3， 故选：A． 【点评】本题考查完全平方公式，熟练掌握该公式是解题的关键． 19．（2026春•临渭区期末）若a﹣b＝2，a2+b2＝16，则ab的值等于 　6　 ． 【分析】注意到题中有平方和出现，可先考虑用完全平方公式进行解题． 【解答】解：∵a2+b2＝16，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝4， ∴16﹣2ab＝4， 得ab＝6， 故答案为：6． 【点评】此题主要考查完全平方公式的转化．通常题中出现平方和，可以优先考虑使用完全平方公式，但要熟记并会运用完全平方公式，完全平方公式为：（a±b）2＝a2±2ab+b2． 20．（2026春•高新区期末）已知（x+y）2＝30，（x﹣y）2＝6，则xy＝ 　6　 ． 【分析】把已知的两式相减，从而可求解． 【解答】解：∵（x+y）2＝30，（x﹣y）2＝6， ∴（x+y）2﹣（x﹣y）2＝30﹣6， x2+2xy+y2﹣x2+2xy﹣y2＝24， 4xy＝24， xy＝6． 故答案为：6． 【点评】本题主要考查完全平方公式，解答的关键是对完全平方公式的掌握． 21．（2026春•无锡期中）若（2x+m）2＝4x2+4mx+1，则m的值是 　±1　 ． 【分析】利用完全平方公式展开后即可求得答案． 【解答】解：（2x+m）2＝4x2+4mx+m2＝4x2+4mx+1， 则m2＝1， 那么m＝±1， 故答案为：±1． 【点评】本题考查完全平方公式，熟练掌握该公式是解题的关键． 22．（2025秋•朝阳区校级期末）已知（a﹣b）2＝7，（a+b）2＝13，则ab＝　　 ． 【分析】利用完全平方公式，即可求出ab的值． 【解答】解：（a+b）2＝a2+2ab+b2＝13， （a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝7， 将两式相减得4ab＝13﹣7＝6， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了完全平方公式的应用，熟记公式结构是解题的关键． 23．（2024•渭城区校级开学）计算： （1）； （2）（x+2y）2﹣（x+y）（3x﹣y）﹣5y2． 【分析】（1）根据实数的运算法则进行计算即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【解答】解：（1）原式＝﹣89 ＝﹣16； （2）原式＝x2+4xy+4y2﹣（3x2﹣xy+3xy﹣y2）﹣5y2 ＝x2+4xy+4y2﹣3x2+xy﹣3xy+y2﹣5y2 ＝﹣2x2+2xy． 【点评】本题主要考查完全平方公式、多项式乘多项式，熟练掌握以上运算法则是解题的关键． 24．若a+b＝5，ab＝3． （1）求a2+b2的值； （2）求（a﹣b）2的值． 【分析】（1）依据完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2，进行移项，得到a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，代入求值即可； （2）依据完全平方公式（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，进行移项，得到（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，借助（1）的结果和已知，代入求值即可． 【解答】解：（1）∵（a+b）2＝a2+2ab+b2， ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab， ∵a+b＝5，ab＝3， ∴a2+b2＝52﹣2×3＝25﹣6＝19； （2）∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2， a2+b2＝19，ab＝3， ∴（a﹣b）2＝19﹣2×3＝19﹣6＝13． 【点评】本题考查了完全平方公式的灵活运用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，并能进行灵活变形． 25．（2023秋•南平期末）化简：（a+1）2+（a﹣1）2﹣2． 【分析】根据完全平方公式展开计算即可． 【解答】解：原式＝a2+2a+1+a2﹣2a+1﹣2 ＝2a2． 【点评】此题考查完全平方公式，正确记忆完全平方公式是解题关键． 【考点3】乘法公式与图形（第26-30题） 用面积法验证代数恒等式 数形结合，从图形提炼公式 拼图前后面积不变 26．（2024秋•越秀区校级期中）小林和小明在信息技术课上设计了一个小游戏程序：如图，开始时两人的屏幕上显示的数分别是9和4．每按一次屏幕，小林的屏幕上的数就会加上a2，同时小明的屏幕上的数就会减去2a，且均显示化简后的结果．如下表，就是按一次后及两次后屏幕显示的结果． 开始数 按一次后 按两次后 按三次后 按四次后 小林 9 9+a2 9+2a2 小明 4 4﹣2a 4﹣4a 根据以上的信息回答问题： （1）从开始起按三次后，两人屏幕上显示的结果分别是：①小林：　9+4a2 ；②小明：　4﹣8a ； （2）几轮游戏之后，小林对小明说：“我发现，不管a的值是多少，从开始起按四次后，我们两个人的屏幕上显示的结果的和不可能是负数．”请判断他的说法是否正确，并说明理由． 【分析】（1）根据题干所述规律即可解答； （2）先表示出从开始起按四次后小林和小明的结果，然后求和，再化成含完全平方的形式判断即可． 【解答】解：（1）按4次，小明的屏幕上的数等于4减4个﹣2a为4﹣8a，小林的屏幕上的数等于9加4个a2为9+4a2， 故答案为：9+4a2，4﹣8a． （2）小林的说法正确，理由如下： 由题意可得：开始起按四次后，小林的屏幕上的数等于9+4a2，小明的屏幕上的数等于4﹣8a， ∴9+4a2+4﹣8a ＝4（a2﹣2a+1﹣1）+13 ＝4（a﹣1）2﹣4+13 ＝4（a﹣1）2+9． ∵4（a﹣1）2≥0，9＞0， ∴4（a﹣1）2+9＞9， ∴小林的说法正确． 【点评】本题主要考查完全平方公式的应用、列代数式等知识点．能用完全平方公式给代数式适当变形是解题关键． 27．（2025秋•渝水区校级期末）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． （1）上述操作能验证的等式是A ．（请选择正确的一个） A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 C．a2+ab＝a（a+b） （2）若x2﹣y2＝16，x+y＝8，求x﹣y的值． （3）计算：． 【分析】（1）用两种方法表示从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形所剩余部分的面积即可； （2）根据x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）进行计算即可； （3）根据平方差公式将原式化为（1）（1）（1）（1）（1）（1）×…×（1）（1）（1）（1）即即可． 【解答】解：（1）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形，剩余部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，拼成的图2是长为a+b，宽为a﹣b的长方形，所以面积为（a+b）（a﹣b）， 因此有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 故答案为：A； （2）∵x2﹣y2＝16，即（x+y）（x﹣y）＝16，而x+y＝8， ∴x﹣y＝16÷8＝2； （3）原式＝（1）（1）（1）（1）（1）（1）×…×（1）（1）（1）（1） ． 【点评】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． 28．（2026春•扬中市期中）如图，某中学校园内有一个长为（4a+b）米，宽为（3a+b）米的长方形小广场，学校计划在中间留一块边长为（a+b）米的正方形场地修建一座雕像，并将空余场地（阴影部分）进行绿化． （1）请用含a，b的代数式表示绿化面积； （2）当a＝2，b＝3时，求绿化面积． 【分析】（1）根据S绿化＝S长方形﹣S正方形进行计算即可； （2）把a＝2，b＝3代入（1）中代数式求值即可． 【解答】解：（1）S绿化＝S长方形﹣S正方形 ＝（4a+b）（3a+b）﹣（a+b）2 ＝12a2+7ab+b2﹣a2﹣2ab﹣b2 ＝11a2+5ab； （2）当a＝2，b＝3时， 11a2+5ab ＝11×4+5×2×3 ＝44+30 ＝74． 【点评】本题考查完全平方公式，多项式成多项式，掌握完全平方公式的结构特征，多项式成多项式的计算方法是正确解答的关键． 29．（2025秋•沙依巴克区校级期末）如图（1）所示，边长为a的正方形中有一个边长为b（b＜a）的小正方形，如图（2）所示是由图（1）中的阴影部分拼成的一个长方形． （1）设图（1）中阴影部分的面积为S1，图（2）中阴影部分的面积为S2，请直接写出上述过程所揭示的等式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）　 （用a，b表示） （2）直接应用：利用这个等式计算： ①102×98；②（x﹣10）（x+10）； （3）拓展应用：试利用这个公式求下面代数式的结果：（2+1）×（22+1）×（24+1）×（28+1）×（216+1）． 【分析】（1）用代数式表示图1，图2中阴影部分的面积即可； （2）①102×98写成（100+2）（100﹣2），利用平方差公式进行计算即可； ②利用平方差公式进行计算即可； （3）配上因数（2﹣1），连续利用平方差公式进行计算即可． 【解答】解：（1）图1中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，拼成的图2是长为a+b，宽为a﹣b的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b）， 所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）； （2）①102×98 ＝（100+2）（100﹣2） ＝1002﹣22 ＝10000﹣4 ＝9996； ②（x﹣10）（x+10） ＝x2﹣102 ＝x2﹣100； （3）原式＝（2﹣1）×（2+1）×（22+1）×（24+1）×（28+1）×（216+1） ＝（22﹣1）×（22+1）×（24+1）×（28+1）×（216+1） ＝（24﹣1）×（24+1）×（28+1）×（216+1） ＝（28﹣1）×（28+1）×（216+1） ＝（216﹣1）×（216+1） ＝232﹣1． 【点评】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． 30．（2025秋•黄埔区期末）【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为（a+b）2＝a2+2ab+b2． 【类比探究】 （1）观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为 a2+b2＝（a+b）2﹣2ab ． 【应用】 （2）根据图②所得的公式，若a+b＝7，ab＝4，求a2+b2的值． （3）若x满足（5﹣x）（x﹣1）＝3，求（5﹣x）2+（x﹣1）2的值． 【拓展】 （4）如图③，某学校有一块梯形空地ABCD，AC⊥BD于点E，AE＝DE，BE＝CE，该校计划在△AED和△BEC区域内种花，在△CDE和△ABE的区域内种草，经测量种花区域的面积和为102平方米，AC＝18米，求种草区域的面积和． 【分析】（1）根据图②中“阴影部分两个正方形的面积之和＝大正方形的面积﹣两个长方形的面积”得a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，据此即可得出答案； （2）由（1）的结论得a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，将a+b＝7，ab＝4代入计算即可得出答案； （3）设5﹣x＝a，x﹣1＝b，则（5﹣x）2+（x﹣1）2＝a2+b2，进而得a+b＝4，ab＝3，由（1）的结论得a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，由此即可得出答案； （4）设AE＝DE＝a，BE＝CE＝b，则种花区域的面积S△AED+S△BECa2b2＝102，a+b＝18（米），由此得a2+b2＝204，由（1）的结论得a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，据此得ab＝60，进而得种草区域的面积和为S△AEB+S△CEDabab＝ab＝60（平方米）． 【解答】解：（1）∵图②中大正方形的边长为（a+b），阴影部分两个正方形的边长分别为a，b，两个长方形的宽进和长分别为a，b， ∴大正方形的面积为（a+b）2，阴影部分两个正方形的面积分别为a2，b2，长方形的面积为ab， 又∵阴影部分两个正方形的面积之和＝大正方形的面积﹣两个长方形的面积， ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab， 故答案为：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab； （2）由（1）的结论得：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab， 又∵a+b＝7，ab＝4， ∴a2+b2＝72﹣2×4＝41； （3）设5﹣x＝a，x﹣1＝b，则（5﹣x）2+（x﹣1）2＝a2+b2， ∴a+b＝5﹣x+x﹣1＝4， ∵（5﹣x）（x﹣1）＝3， ∴ab＝3， 由（1）的结论得：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab， ∴a2+b2＝42﹣2×3＝10， ∴（5﹣x）2+（x﹣1）2＝a2+b2＝10； （4）设AE＝DE＝a，BE＝CE＝b， ∵AC⊥BD于点E，AC＝18米， ∴S△AEDa2（平方米），S△BECb2（平方米），S△AEBab（平方米），S△CEDab（平方米），a+b＝18（米）， ∵种花区域的面积和为102平方米， ∴S△AED+S△BECa2b2＝102， ∴a2+b2＝204， 由（1）的结论得：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab， ∴204＝182﹣2ab， ∴ab＝60， ∴种草区域的面积和为：S△AEB+S△CEDabab＝ab＝60（平方米）． 答：种草区域的面积和为60平方米． 【点评】此题主要考查了几何背景下的完全平方公式，准确识图，熟练掌握完全平方公式的结构特征，图形的面积公式是解决问题的关键． 【考点4】乘法公式与巧算（第31-35题） 凑整：100.5×99.5写成(100+0.5)(100-0.5) 整体思想：把某部分看作a或b 连续平方差：(2-1)(2+1)(2²+1)...=2³²-1 31．（2026•伍家岗区模拟）计算：（2m+n）（2m﹣n）+n2． 【分析】利用平方差公式展开，然后合并同类项即可． 【解答】解：原式＝4m2﹣n2+n2 ＝4m2． 【点评】本题考查平方差公式，熟练掌握该公式是解题的关键． 32．（2025秋•浦东新区校级期中）（4x+3y+z）（4x﹣3y﹣z）． 【分析】根据平方差公式和完全平方公式计算即可． 【解答】解：原式＝[4x+（3y+z）][4x﹣（3y+z）] ＝（4x）2﹣（3y+z）2 ＝16x2﹣9y2﹣6yz﹣z2． 【点评】本题考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 33．（2026春•同步）运用平方差公式计算： （1）； （2）（y2+1）（y2﹣1）； （3）（2a﹣3b）（3b+2a）； （4）（﹣2b﹣5）（2b﹣5）； （5）100.5×99.5； （6）998×1002． 【分析】（1）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，据此求解即可； （2）同（1）求解即可； （3）同（1）求解即可； （4）同（1）求解即可； （5）把原式变形为（100+0.5）×（100﹣0.5），再利用平方差公式求解即可； （6）把原式变形为（1000﹣2）×（1000+2），再利用平方差公式求解即可． 【解答】解：（1）原式； （2）原式＝（y2）2﹣12＝y4﹣1； （3）原式＝（2a）2﹣（3b）2＝4a2﹣9b2； （4）原式＝（﹣5）2﹣（2b）2＝25﹣4b2； （5）原式＝（100+0.5）×（100﹣0.5） ＝1002﹣0.52 ＝10000﹣0.25 ＝9999.75； （6）原式＝（1000﹣2）×（1000+2） ＝10002﹣22 ＝1000000﹣4 ＝999996． 【点评】本题主要考查了平方差公式，熟知平方差公式是解题的关键． 34．（2026春•金水区校级期中）阅读：在计算（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+⋯+x+1）的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： [观察] ①（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1； ②（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1； ③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1； ⋯ [归纳]由此可得：（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+⋯+x+1）＝xn+1﹣1　 ； [应用] （1）22026+22025+⋯+2+1＝　22027﹣1　 ； （2）计算：218﹣217+⋯﹣23+22﹣2+1． 【分析】（1）认真分析题干过程，进行总结归纳，即可作答． （2）充分理解题意，运用（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+⋯+x+1）＝xn+1﹣1进行分析，即可作答． （3）先把218﹣217+⋯﹣23+22﹣2+1整理得出（﹣2）18+（﹣2）17+⋯+（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）+1，再结合前面的结论进行分析，即可作答． 【解答】解：（1）依题意，（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+⋯+x+1）＝xn+1﹣1； 故答案为：xn+1﹣1； （2）由（1）得（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+⋯+x+1）＝xn+1﹣1 22026+22025+⋯+2+1 ＝（2﹣1）×（22026+22025+⋯+2+1） ＝22027﹣1； 故答案为：22027﹣1； （3）原式＝（﹣2）18+（﹣2）17+⋯+（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）+1 ． 【点评】本题考查了平方差公式，熟练掌握该知识点是关键． 35．（2026春•沭阳县月考）（1）已知（a+b）2＝25，ab＝10，求a2+b2的值． （2）已知（a+b）2＝17，（a﹣b）2＝13，求ab的值． 【分析】利用完全平方公式解答各题即可． 【解答】解：（1）∵（a+b）2＝25， ∴a2+2ab+b2＝25， ∵ab＝10， ∴a2+b2＝25﹣2×10＝5； （2）∵（a+b）2＝17，（a﹣b）2＝13， ∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4， ∴a2+2ab+b2﹣a2+2ab﹣b2＝4， 即4ab＝4， 则ab＝1． 【点评】本题考查完全平方公式，熟练掌握此公式是解题的关键． 【创新及压轴题】综合应用（第36-42题） 换元法：把重复部分看作整体 作差法比较大小 立方和公式：a³+b³=(a+b)³-3ab(a+b) 36．（2024•镜湖区校级自主招生）求所有的整数n，使n4+6n3+11n2+3n+31是平方数． 【分析】首先使用完全平方公式对原式进行化简变形，分类讨论n的值是否符合平方数即可确定n的值． 【解答】解：令n4+6n3+11n2+3n+31＝A， 则A＝n4+6n3+11n2+3n+31 ＝（n2+3n）2+2n2+3n+31 ＝（n2+3n+1）2﹣3（n﹣10）． 当n＝10时，A是平方数； 当n＞10时，因为（n2+3n+1）2﹣（n2+3n）2＝2n2+6n+1＞3（n﹣10）， 所以（n2+3n）2＜（n2+3n+1）2﹣3（n﹣10）＝A＜（n2+3n+1）2． A在两个相邻平方数之间，A不是平方数； 当3≤n≤9或n≤﹣7时，（n2+3n+2）2﹣A＝2n2+9n﹣27＞0． 所以（n2+3n+1）2＜（n2+3n+1）2﹣3（n﹣10）＝A＜（n2+3n+2）2． A在（n2+3n+1）2与（n2+3n+2）2之间，不是平方数； 在n＝﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2时， A＝409，166，67，40，37，34，31，52，145，都不是平方数． 综上，n＝10． 【点评】本题考查了完全平方数的概念，以及通过对多项式进行变形，分析和代入整数验证，解决本题的关键是使多项式变形并运用不等式． 37．（2025秋•长春校级月考）如图1，将长为2a，宽为2b的长方形对折后再对折，展开得到如图1所示的图形，沿图中虚线用剪刀平均剪成四个小长方形，然后用这四个小长方形拼成如图2所示的图形． （1）通过两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，可得到关于a、b的等量关系为　（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab ； （2）根据（1）中的等量关系，解决下列问题： ①若m+n＝6，mn＝3，求m﹣n的值； ②将边长分别为x、y的正方形ABCD、正方形CEFG按图3摆放，若xy＝12，BG＝1，求图3中阴影部分面积的和． 【分析】（1）用两种方法分别用代数式表示图2中阴影部分的面积即可； （2）①由（1）可知（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn，把m+n＝6和mn＝3代入计算即可求出（m﹣n）2的值，进而即可求解； ②根据（x+y）2＝（x﹣y）2+4xy以及x﹣y＝1，xy＝12可求出x+y，再根据S阴影（S大正方形﹣S小正方形）（x2﹣y2）（x+y）（x﹣y）代入计算即可． 【解答】解：（1）图2中阴影部分是边长为a﹣b的正方形，因此面积为（a﹣b）2，图2中阴影部分的面积也可以看作大正方形面积与空白部分的面积差，即（a+b）2﹣4ab， 所以有（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab， 故答案为：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab； （2）①由（1）可知（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn， ∵m+n＝6，mn＝3， ∴（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn＝62﹣4×3＝36﹣12＝24， ∴m﹣n＝±±2； ②∵四边形ABCD和四边形CEFG为正方形，且边长分别为x和y， ∴AB＝BC＝CD＝DA＝x，EC＝CG＝EF＝FG＝y， ∵GB＝1，即x﹣y＝1，而xy＝12， ∴（x+y）2＝（x﹣y）2+4xy＝12+4×12＝49， ∵x＞y＞0， ∴x+y7， ∴S阴影（S大正方形﹣S小正方形） （x2﹣y2） （x+y）（x﹣y） 7×1 ． 【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何意义，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 38．（2026春•绿园区校级期中）观察图1，用等式表示图中图形的面积的运算为（a+b）2＝a2+2ab+b2． （1）观察图2，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为　（a+b）2﹣2ab＝a2+b2 ； （2）根据图2所得的公式： ①若a+b＝6，ab＝4，则a2+b2的值是　28　 ； ②若，求的值； （3）如图3，某学校有一块四边形空地ABCD，AC⊥BD于点E，AE＝DE，BE＝CE，该校计划在△AED和△BEC区域内种花，在△CDE和△ABE的区域内种草，经测量种草区域的面积和为50平方米，AC＝18米，则种花区域的面积和是　7　 ． 【问题呈现】 【分析】（1）根据图2中“阴影部分两个正方形的面积之和＝大正方形的面积﹣两个长方形的面积”即可得出答案； （2）①由（1）的结论即可得出答案；②由，再整体代入计算即可得出答案； （3）设AE＝DE＝a，BE＝CE＝b，则a+b＝18，再表示出种草区域的面积和，最后代入后整体求值即可． 【解答】解：（1）∵图2中大正方形的边长为（a+b），阴影部分两个正方形的边长分别为a，b，两个长方形的宽和长分别为a，b， ∴大正方形的面积为（a+b）2，阴影部分两个正方形的面积分别为a2，b2，长方形的面积为ab， 又∵阴影部分两个正方形的面积之和等于大正方形的面积减去两个长方形的面积， ∴用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为：（a+b）2﹣2ab＝a2+b2； 故答案为：（a+b）2﹣2ab＝a2+b2； （2）①∵a+b＝6， ∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝36， ∵ab＝4， ∴a2+b2＝28； ②∵， ∴； （3）设AE＝DE＝a，BE＝CE＝b， ∵AC⊥BD，AC＝18， ∴a+b＝18． ∵在△CDE和△ABE的区域内种草，经测量种草区域的面积和为50平方米， ∴， ∴种花区域的面积和为， 即种花区域的面积和是112平方米． 【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 39．（2026•武侯区校级开学）（1）我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，例如：从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形如图1，然后将剩余部分拼成一个长方形如图2．图1中阴影部分面积为 a2﹣b2 ，图2中阴影部分面积为 　（a+b）（a﹣b）　 ，请写出这个乘法公式 　（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 ； （2）应用（1）中的公式，完成下面任务： 若m是不为0的有理数，已知P＝（m2+2m+1）（m2﹣2m+1）， Q＝（m2+m+1）（m2﹣m+1），比较P、Q大小． （3）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图3表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小正方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图3中图形的变化关系，写出一个代数恒等式 x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）　 ． 【分析】（1）根据图1中阴影部分的面积看作成两个正方形的面积差，图2中的阴影部分是长为（a+b），宽为（a﹣b）的长方形，即可求得阴影部分的面积，从而可得到乘法公式； （2）利用作差法可得P﹣Q＝﹣3m2，根据﹣3m2＜0，即可得出结果； （3）分别求出图3左右两侧图形的体积，即可求得恒等式． 【解答】解：（1）由图可得，图1中，图2中S阴影＝（a+b）（a﹣b）， 因此，乘法公式为a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b），a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）； （2）∵P﹣Q＝（m2+2m+1）（m2﹣2m+1）﹣（m2+m+1）（m2﹣m+1） ＝（m2+1）2﹣4m2﹣（m2+1）2+m2 ＝﹣3m2， ∵若m是不为0的有理数， ∴﹣3m2＜0，即P﹣Q＜0， ∴P＜Q； （3）∵图3左图的体积为x•x•x﹣1×1•x＝x3﹣x， 图3右图的体积为（x+1）•x•（x﹣1）， ∴x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）， 故答案为：x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）． 【点评】本题考查列代数式的应用，理解题意，正确列出代数式是解题的关键． 40．（2026•开封校级开学）阅读下列材料：已知实数m，n满足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，试求2m2+n2的值． 解：设2m2+n2＝t，则原方程变为（t+1）（t﹣1）＝80，整理得t2﹣1＝80，t2＝81， ∴t＝±9．∵2m2+n2≥0，∴2m2+n2＝9． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． （1）已知实数x，y满足（2x2+2y2+3）（2x2+2y2﹣3）＝27，求x2+y2的值． （2）设a，b满足等式（2a2+b2）（2a2+b2+2）＝80，求2a2+b2+1的值． 【分析】（1）观察等式左边为平方差结构，将两个括号中共有的2x2+2y2视为整体换元，结合平方的非负性求解； （2）观察所求式子与等式中两个括号内式子的关系，将2a2+b2+1视为整体换元，利用平方差公式简化计算，结合非负性求解． 【解答】解：（1）设2x2+2y2＝t， ∵（2x2+2y2+3）（2x2+2y2﹣3）＝27， ∴（t+3）（t﹣3）＝27， t2﹣9＝27， t2＝36， ∴t＝±6， ∵x2≥0，y2≥0， ∴2x2+2y2≥0，即t≥0， ∴t＝6， ∴； （2）设2a2+b2+1＝t，则2a2+b2＝t﹣1，2a2+b2+2＝t+1， ∵（2a2+b2）（2a2+b2+2）＝80， ∴（t﹣1）（t+1）＝80， t2﹣1＝80， t2＝81， ∴t＝±9， ∵2a2≥0，b2≥0， ∴2a2+b2≥0， ∴2a2+b2+1≥1，即t≥1， ∴t＝9， 即2a2+b2+1的值为9． 【点评】本题考查了平方差公式，多项式乘多项式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 41．（2026春•东台市月考）图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，对于一个图形，通过不同方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． （1）观察图1、图2，用等式表示图1和图2的面积运算为　（a+b）2＝a2+2ab+b2 ；（用含a，b的式子表示） （2）嘉琪想用这三种纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）的大长方形，需要图2中的A，B，C三种纸片各多少张？ （3）如图3，将两个正方形如图摆放，点H与点C重合，点E、G分别在DC、BC的延长线上，若它们边长之和为16，阴影部分面积为60，求这两个正方形的面积之差． 【分析】（1）根据等积法，列出等式即可； （2）将（2a+b）（a+2b）利用多项式乘以多项式的法则展开，即可得出结果； （3）设BC＝a，HG＝b，根据题意易得a+b＝16，ab＝60，再根据完全平方公式和平方差公式进行求解即可． 【解答】解：（1）大正方形的面积等于两个小正方形的面积加上两个长方形的面积， 故（a+b）2＝a2+2ab+b2； 故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2； （2）（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2， 故需要图2中的A种纸片2张，B种纸片2张，C种纸片5张； （3）设BC＝a，HG＝b，不妨设a＞b，将图形补成边长为a+b的大正方形，如图： 由题意可知a+b＝16，， ∴a2+2ab+b2﹣a2﹣ab﹣b2＝ab＝60， ∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝256﹣240＝16， ∴a﹣b＝4， ∴两个正方形的面积之差为a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝16×4＝64． 【点评】本题考查了完全平方公式、平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是关键． 42．（2026春•苏州校级月考）理解图形，完成下列各题： （1）【知识生成】将一个大正方形分割成如图1的四部分，两个边长分别为a，b的正方形和两个长方形．用两种方法表示该大正方形的面积，可得数学等式是　（a+b）2＝a2+2ab+b2 ；若a2+b2＝40，ab＝12，则该大正方形的边长为　8　 ； （2）【能力提升】我们还可以利用（1）中的关系解决一些更复杂的问题，例如，若x满足（2﹣x）（x﹣5）＝1，可设2﹣x＝a，x﹣5＝b，则ab＝1，a+b＝﹣3．则a2+b2＝　7　 ． 仿照这个方法，请你尝试解决： 若（2025﹣x）2+（2026﹣x）2＝17，求（2025﹣x）（2026﹣x）的值； （3）【解决问题】如图2，△ABC是直角三角形，∠C＝90°，分别以边AC，BC为直径向三角形外部作半圆，已知AC+BC＝12，两半圆的面积和S1+S2＝15π，求△ABC的面积． （4）【思维拓展】如图3，观察棱长为a+b的大正方体的分割，若已知a+b＝5，ab＝2，则a3+b3＝　95　 ． 【分析】（1）整体图形是一个边长为（a+b）的正方形，其面积为（a+b）2；图形有一个边长为a的正方形，一个边长为b的正方形，两个长为a，宽为b的长方形组成，根据图形的面积性质，列代数式表示解答即可；利用公式解答即可； （2）a2+b2＝（a+b）2﹣2ab求解即可； （3）设AC＝b，BC＝a，则a+b＝12，由两半圆的面积和S1+S2＝15π，根据圆的面积公式，得b2+a2＝120，利用完全平方公式变形求解即可； （4）根据题意，得整个立方体的体积为（a+b）3，其体积可以有a3，3a2b，3ab2，b3组成，变形求解即可． 【解答】解：（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2， 由a2+b2＝40，ab＝12， 得（a+b）2＝40+2×12＝64， 故a+b＝8，a+b＝﹣8（不符合要求，舍去）； 故答案为：8； （2）根据题意，得x满足（2﹣x）（x﹣5）＝1， 设2﹣x＝a，x﹣5＝b，则ab＝1，a+b＝﹣3． ∵（a+b）2＝a2+2ab+b2， ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab， ∴a2+b2＝（﹣3）2﹣2×1＝9﹣2＝7； ∵（2025﹣x）2+（2026﹣x）2＝17， 设2025﹣x＝a，2026﹣x＝b， 则a2+b2＝17，a﹣b＝（2025﹣x）﹣（2026﹣x）＝2025﹣x﹣2026+x＝﹣1． ∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2， ∴2ab＝（a2+b2）﹣（a﹣b）2， ∴； ∴（2025﹣x）（2026﹣x）＝8； 故答案为：﹣1； （3）△ABC是直角三角形，∠C＝90°，分别以边AC，BC为直径向三角形外部作半圆，已知AC+BC＝12，两半圆的面积和S1+S2＝15π， 设AC＝b，BC＝a， 则a+b＝12， 由两半圆的面积和S1+S2＝15π， ∴， ∴， ∴b2+a2＝120， ∵（a+b）2＝a2+2ab+b2， ∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）， ∴； ∴， ∴△ABC的面积为6． （4）根据题意，得（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2， ∴a3+b3＝（a+b）3﹣3a2b﹣3ab2， ∵a+b＝5，ab＝2， ∴a3+b3＝（a+b）3﹣3ab（a+b） ＝53﹣3×2×5＝125﹣30＝95． 故答案为：95． 【点评】本题考查完全平方式的几何背景，正确进行计算是解题关键． 💯 课后巩固 ❤复习建议 平方差：相同项平方减相反项平方 完全平方：首平方尾平方，首尾两倍在中央 常用变形：a²+b²=(a+b)²-2ab 巧算要凑整，注意整体思想 【作业 1】（2026春•茂南区期中）已知x+y＝5，x﹣y＝2，则x2﹣y2等于（　　） A．12 B．7 C．10 D．6 【分析】根据平方差公式 运算即可． 【解答】解：根据平方差公式 可知： x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝5×2＝10． 故选：C． 【点评】本题考查了平方差公式，熟练掌握该知识点是关键． 【作业 2】（2025秋•瑞金市期末）下列各式计算正确的是（　　） A．（x﹣2）（x+2）＝x2﹣2 B．（a﹣b）2＝a2+2ab﹣b2 C．（a+b）2＝a2+b2 D．（a3）2＝a6 【分析】根据平方差公式、完全平方公式及幂的乘方法则，对四个式子逐一分析即可． 【解答】解：A、（x﹣2）（x+2）＝x2﹣22＝x2﹣4≠x2﹣2，原计算错误，不符合题意； B、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，原计算错误，不符合题意； C、（a+b）2＝a2+2ab+b2，原计算错误，不符合题意； D、（a3）2＝a3×2＝a6，正确，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了平方差公式，完全平方公式，幂的乘方与积的乘方法则，解题的关键是熟练掌握运算法则． 【作业 3】（2025秋•浦东新区校级期末）下列各式可以利用平方差公式计算的是（　　） A．（4p+q）（4q﹣p） B．（m+1）（﹣m﹣1） C．（﹣a+b）（a﹣b） D．（x+2y）（﹣x+2y） 【分析】根据平方差公式的形式为（a+b）（a﹣b）逐一判断即可． 【解答】解：A、（4p+q）（4q﹣p），无相同项和相反项，不可用平方差公式计算，不符合题意； B、（m+1）（﹣m﹣1）＝﹣（m+1）（m+1）不可用平方差公式计算，不符合题意； C、（﹣a+b）（a﹣b）＝﹣（a﹣b）（a﹣b）不可用平方差公式计算，不符合题意； D、（x+2y）（﹣x+2y）＝（2y+x）（2y﹣x）可用平方差公式计算，符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查了平方差公式，熟知平方差公式适用于形式为（a+b）（a﹣b）是解题的关键． 【作业 4】（2024秋•嘉定区期中）若a＝2023×2024+1，b＝20232﹣2023×2024+20242，在下列判断结果正确的是（　　） A．a＜b B．a＝b C．a＞b D．无法判断 【分析】先利用完全平方公式计算b，即可得出比较结果． 【解答】解：∵a＝2023×2024+1， b＝20232﹣2023×2024+20242＝（2023﹣2024）2+2023×2024＝1+2023×2024， ∴a＝b， 故选：B． 【点评】本题考查了完全平方公式，有理数大小比较，熟练掌握完全平方公式以及有理数大小比较的方法是解题的关键． 【作业 5】（2025秋•西宁期末）计算：20252﹣2026×2024＝ 　1　 ． 【分析】先把原式变形为20252﹣（2025+1）（2025﹣1），然后利用平方差公式计算，即可得出答案． 【解答】解：20252﹣2026×2024 ＝20252﹣（2025+1）（2025﹣1） ＝20252﹣（20252﹣1） ＝20252﹣20252+1 ＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式是解题的关键． 【作业 6】（2026春•渠县校级期末）已知m+n＝﹣5，mn＝3，则m2﹣mn+n2的值为 　16　 ． 【分析】根据m+n＝﹣5，mn＝3，利用完全平方公式把式子m2﹣mn+n2变形，可以求得所求式子的值． 【解答】解：∵m+n＝﹣5，mn＝3， ∴m2﹣mn+n2 ＝m2+2mn+n2﹣3mn ＝（m+n）2﹣3mn ＝（﹣5）2﹣3×3 ＝25﹣9 ＝16， 故答案为：16． 【点评】本题考查了完全平方公式．解答本题的关键是明确题意，利用完全平方公式把式子m2﹣mn+n2变形为（m+n）2﹣3mn． 【作业 7】（2026春•同步）若（2a+2b﹣1）（2a+2b+1）＝63，则a+b的值为　±4　 ． 【分析】先将（2a+2b）当作一个整体，按照平方差公式计算，再开平方计算即可． 【解答】解：∵（2a+2b﹣1）（2a+2b+1）＝63， ∴[（2a+2b）﹣1）][（2a+2b）+1]＝63， ∴（2a+2b）2﹣1＝63， ∴（2a+2b）2＝64， ∴2a+2b＝±8， ∴a+b＝4或﹣4． 故答案为：±4． 【点评】本题考查了平方差公式在计算中的应用，熟练掌握平方差公式并运用整体思想是解题的关键．属于基础知识的考查，比较简单． 【作业 8】（2026春•天宁区校级期中）计算： （1）﹣b•b2； （2）（2x﹣3）（2x+3）； （3）（p﹣2q）2； （4）（a2）3﹣a8÷a2； （5）（﹣3x2）（4x﹣3）； （6）（2a+b）2﹣（2a+3b）（2a﹣3b）． 【分析】（1）根据整式的运算法则化简即可； （2）根据整式的运算法则化简即可； （3）根据整式的运算法则化简即可； （4）根据整式的运算法则化简即可； （5）根据整式的运算法则化简即可； （6）根据整式的运算法则化简即可． 【解答】解：（1）﹣b•b2＝﹣b3； （2）（2x﹣3）（2x+3）＝4x2﹣9； （3）（p﹣2q）2＝p2﹣4pq+4q2； （4）原式＝a6﹣a6 ＝0； （5）原式＝﹣12x3+9x2； （6）原式＝4a2+4ab+b2﹣（4a2﹣9b2） ＝4a2+4ab+b2﹣4a2+9b2 ＝4ab+10b2． 【点评】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是关键． 【作业 9】（2025秋•大庆校级期末）化简： （1）4（x+1）2﹣（2x+5）（2x﹣5）； （2）（2x+y+3）（2x﹣y+3）． 【分析】（1）利用完全平方公式和平方差公式去括号，再合并同类项即可得到答案； （2）把原式变形为[（2x+3）+y][（2x+3）﹣y]，再利用平方差公式和完全平方公式求解即可． 【解答】解：（1）原式＝4（x2+2x+1）﹣（4x2﹣25） ＝4x2+8x+4﹣4x2+25 ＝8x+29； （2）原式＝[（2x+3）+y][（2x+3）﹣y] ＝（2x+3）2﹣y2 ＝4x2+12x+9﹣y2． 【点评】本题主要考查了乘法公式，熟知乘法公式是解题的关键． 【作业 10】（2025•海淀区校级开学）已知x﹣y＝7，xy＝12，求x2+y2，（x+y）2，x3﹣y3的值． 【分析】运用完全平方公式和多项式乘多项式运算法则将式子变形求解． 【解答】解：∵x﹣y＝7，xy＝12， ∴x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝72+2×12＝49+24＝73； ∴（x+y）2＝x2+y2+2xy＝（x﹣y）2+4xy＝72+4×12＝49+48＝97； ∵（x﹣y）（x2+xy+y2）＝x3+x2y+xy2﹣x2y﹣xy2﹣y3＝x3﹣y3， ∴x3﹣y3＝（x﹣y）（x2+xy+y2）＝7×（73+12）＝595． 【点评】本题考查了完全平方公式，多项式乘多项式，代数式求值的能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行计算． 【作业 11】（2026春•高邮市期中）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值． 解：∵a+b＝3，ab＝1， ∴（a+b）2＝9，2ab＝2， ∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝9， ∴a2+b2＝7． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若x+y＝8，xy＝12，求x2+y2的值； 类比应用： （2）若x+y＝4，x2+y2＝10，求xy的值． 【分析】（1）根据完全平方公式变形即可求解； （2）根据完全平方公式变形即可求解． 【解答】解：（1）∵x+y＝8，xy＝12， ∴（x+y）2＝64，2xy＝24， ∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝64， ∴x2+y2＝64﹣24＝40． （2）由条件可得（x+y）2＝16， ∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝16， ∴2xy＝16﹣10＝6， ∴xy＝3． 【点评】本题考查了完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【作业 12】（2025秋•崆峒区校级期末）已知x3． （1）求x2的值； （2）求x4的值． 【分析】（1）在x3，的基础上，左右平方，易x2的值； （2）在x27的基础上左右平方可求x4的值． 【解答】解：（1）∵x3， ∴（x）2＝x2+29， ∴x27； （2）由（1）可知x27， ∴x4（x2）2﹣2＝49﹣2＝47． 【点评】本题考查了完全平方公式及变形．解题的关键是掌握完全平方公式及变形． 【作业 13】（2025秋•丰满区期末）计算：（x+y）（x﹣y）+y2． 【分析】将原式利用平方差公式展开后合并同类项即可． 【解答】解：（x+y）（x﹣y）+y2 ＝x2﹣y2+y2 ＝x2． 【点评】本题考查平方差公式，熟练掌握该公式是解题的关键． 【作业 14】（2024秋•闵行区校级期中）（1）已知a+b＝3，ab＝2，可得：a2+b2＝ 　5　 ，（a﹣b）2＝ 　1　 ； （2）已知a+b+c＝6，ab+bc+ac＝11，求a2+b2+c2的值． 【分析】（1）利用完全平方公式进行变形得到a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab进行求解，即可解题； （2）利用完全平方公式进行变形得到（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，结合a+b+c＝6，ab+bc+ac＝11进行求解，即可解题． 【解答】解：（1）∵a+b＝3，ab＝2， ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝9﹣4＝5， （a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝5﹣2×2＝1， 故答案为：5，1； （2）由条件可知：（a+b+c）2＝36， （a+b）2+2（a+b）c+c2＝36， a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2＝36， a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc＝36， ∴2ab+2bc+2ac＝22， ∴a2+b2+c2+22＝36， ∴a2+b2+c2＝14． 【点评】本题考查代数式求值，完全平方公式，解题的关键在于利用完全平方公式进行变形． 【作业 15】（2026•通川区校级开学）先化简，再求值：（x+y）2﹣x（x+y）+（x﹣y）（x+y），其中x＝﹣2，y＝﹣1． 【分析】利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式法则将原式化简后代入数值计算即可． 【解答】解：原式＝x2+2xy+y2﹣x2﹣xy+x2﹣y2 ＝x2+xy； 当x＝﹣2，y＝﹣1时， 原式＝（﹣2）2+（﹣2）×（﹣1）＝4+2＝6． 【点评】本题考查整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【作业 16】（2026春•沈阳期末）“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，如图1，一个长为2a、宽为2b的长方形，分成四块完全相同的小长方形，再拼成如图2的正方形． （1）根据图1和图2，直接写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的一个等量关系　（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab ． （2）利用（1）中的结论解决下列问题： ①若2x﹣y＝8，xy＝10，求2x+y的值． ②如图3，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形ACDE和BCFG，延长GB和ED交于点H，那么四边形DCBH为长方形，设AB＝14.5，图中阴影部分面积为51，求BC﹣CD的值（BC＞CD）． 【分析】（1）用代数式表示图形中各个部分的面积，再根据各个部分面积之间的关系进行解答即可； （2）①利用（1）的结论进行解答即可；②设BC＝m，CD＝n，则AC＝CD＝n，根据AB＝14.5，图中阴影部分面积为51，可得m+n＝14.5，mn＝51，由（1）可得（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn，然后代入即可求解． 【解答】解：（1）图2整体上是边长为（a+b）的正方形，面积为（a+b）2，中间小正方形的边长为（a﹣b），面积为（a﹣b）2，4个长方形的面积为4ab， ∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab； 故答案为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab； （2）①由（1）可得，（2x+y）2＝（2x﹣y）2+8xy， ∵2x﹣y＝8，xy＝10， ∴（2x+y）2＝82+8×10＝144， ∴2x+y＝±12； ②设CD＝n，BC＝m，则AC＝CD＝n， ∵AB＝14.5，图中阴影部分面积为51， ∴mn＝51，m+n＝14.5， 由（1）可得，（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn， ∴（m﹣n）2＝14.52﹣4×51＝6.25， ∵m＞n， ∴m﹣n＝2.5，即BC﹣CD＝2.5， ∴BC﹣CD的值为2.5． 【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业 17】（2025秋•红花岗区期末）阅读下列材料 若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值． 设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5， ∴（4﹣x）2+（x﹣9）2＝（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17． 请仿照上面的方法求解下面问题： （1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值； （2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF为边作正方形． ①MF＝x﹣1　 ，DF＝x﹣3　 ；（用含x的式子表示） ②求阴影部分的面积． 【分析】（1）设（5﹣x）＝a，（x﹣2）＝b，根据已知等式确定出所求即可； （2）①由正方形ABCD边长为x，即可表示出MF与DF； ②根据矩形的面积公式以及正方形的面积公式以及完全平方公式求解即可． 【解答】解：（1）设5﹣x＝a，x﹣2＝b，则（5﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，a+b＝（5﹣x）+（x﹣2）＝3， ∴（5﹣x）2+（x﹣2）2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5； （2）①MF＝DE＝x﹣1，DF＝x﹣3， 故答案为：x﹣1；x﹣3； ②（x﹣1）（x﹣3）＝48， 阴影部分的面积＝FM2﹣DF2＝（x﹣1）2﹣（x﹣3）2． 设x﹣1＝a，x﹣3＝b，则（x﹣1）（x﹣3）＝ab＝48，a﹣b＝（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2， ∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝22+4×48＝196， ∴a+b＝±14， 又∵a+b＞0， ∴a+b＝14， ∴（x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝14×2＝28． 即阴影部分的面积是28． 【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景．应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $