第9讲 整式的除法 优等生讲义(知识梳理+典例+压轴+练习) 2026-2027学年人教版八年级数学上册

第9讲 整式的除法 优等生讲义 (知识梳理+典例+压轴+练习) 2026-2027学年人教版八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌思维导图 · 课程内容总览 🎯 课程目标 · 精准把握学习方向 掌握同底数幂除法法则，会正用、逆用公式做幂的求值计算 掌握单项式除以单项式、多项式除以单项式运算法则，熟练整式除法运算 掌握带余整式除法关系：被除式、除式、商式、余式，求解参数 能够综合幂的乘方、积的乘方完成整式混合运算，会整体代入求值 读懂多项式竖式除法，理解“被除式 = 除式 × 商式 + 余式”数学模型 📚 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 同底数幂的除法 公式：am ÷ an = amn（a≠0，m、n为正整数） 逆用公式：amn = am ÷ an，多用于整体代入求值。 零指数幂：a0=1（a≠0）。 概念辨析类典型例题：下列计算正确的是（） A.a6 ÷ a2 = a3 B.a6 ÷ a2 = a4 C.a6 ÷ a2 = a8 D.a6 ÷ a2 = 3 解析：同底数幂相除，底数保持不变，指数相减。a6÷a2=a62=a4，答案选B。 ☆ 2. 单项式除以单项式 运算法则：系数之间相除；同底数幂分别相除；仅在被除式中出现的字母，连同它的指数直接作为商的因式。 运算步骤：①系数相除；②同底数幂做除法运算；③保留被除式独有的字母因式。 概念辨析类典型例题：计算8x3y÷(2x2)的结果是（） A.4y B.4xy C.4xy D.4x 解析：系数运算(8)÷(2)=4；x3÷x2=x；被除式独有字母y保留，最终结果4xy，答案选B。 ☆ 3. 多项式除以单项式 运算法则：把多项式的每一项分别除以单项式，再将所有得到的商相加。 公式表达：(a+b+c)÷m = a÷m + b÷m + c÷m。 注意要点：每一项都要参与除法运算，注意各项符号，不要漏掉常数项。 概念辨析类典型例题：计算(9x2y6xy2+3xy)÷ 3xy结果正确的是（） A.3x2xy+1 B.3x2y+1 C.3x2y D.3xy2y 解析：逐项相除，9x2y÷3xy=3x，6xy2÷3xy=2y，3xy÷3xy=1；合并得到3x2y+1，答案选B。 ☆ 4. 带余整式除法模型 核心关系式：被除式 = 除式 × 商式 + 余式； 约束条件：余式的次数必须低于除式的次数；余式等于0时，代表多项式可以被整除。 概念辨析类典型例题：多项式4x32x2+ax+3除以bx，商式为2x2x5，余3，请写出被除式的展开形式。 解析：根据关系式，被除式 = 除式 × 商式 + 余式，代入得到：bx(2x2x5)+3。 ☆ 5. 幂运算公式综合逆用 常用变形公式： akmln=(am)k ÷ (an)l；am+n=am·an；a2m=(am)2； 解题技巧：等式两边底数相同，则指数相等，建立方程求解未知数。 概念辨析类典型例题：已知am=2，an=3，求a3m2n的值。 解析：逆用幂运算公式：a3m2n=(am)3÷(an)2=23÷32=8/9，结果为8/9。 📚知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 同底数幂除法 am÷an=amn（a≠0） 底数不能为0；指数做减法运算；支持公式逆向使用 单项式÷单项式 系数相除；同底数幂相除；保留被除式独有字母因式 优先确定符号；独有字母直接保留，不要遗漏 多项式÷单项式 多项式各项分别除以单项式，商相加 不可漏项；每一项符号要跟随，常数项也要参与除法 带余整式除法 被除式 = 除式 × 商式 + 余式 余式次数小于除式次数；余式为零代表整除 幂运算逆用求值 akmln=(am)k ÷ (an)l 优先整体代入；统一底数后对比指数列方程 【考点1】同底数幂的除法（第18题） 牢记同底数幂除法法则，区分幂的乘方（指数相乘），不要混淆运算 高频题型：已知am、an，求amn、a2m3n+1，逆用幂公式做整体代入求值 幂方程题型：统一等式两边幂的底数，利用指数相等建立方程求未知数 综合变形：结合零指数幂、负整数指数幂，同时考察用x代数式表达y的变形题型 1．（2026•东海县二模）计算（m3）2÷m2的结果是（　　） A．m8 B．m7 C．m4 D．m3 【分析】先根据幂的乘方，底数不变，指数相乘计算，再根据同底数幂相除，底数不变，指数相减计算即可． 【解答】解：（m3）2÷m2＝m6÷m2＝m4， 故选：C． 【点评】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 2．（2026•鄞州区二模）下列各式计算正确的是（　　） A．a3•a2＝a6 B．（a3）4＝a7 C．a6÷a2＝a4 D．（2a2b）3＝2a6b3 【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方的运算法则，对每个选项逐一计算判断即可． 【解答】解：根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方的运算法则逐项分析判断如下： a3•a2＝a3+2＝a5≠a6，故A选项错误，不符合题意； （a3）4＝a3×4＝a12≠a7，故B选项错误，不符合题意； a6÷a2＝a6﹣2＝a4，故C选项正确，符合题意； （2a2b）3＝23a2×3b3＝8a6b3≠2a6b3，故D选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方．熟练掌握运算法则是关键． 3．（2026春•西安期末）若am＝6，an＝2，则am﹣n＝　3　 ． 【分析】利用同底数幂的除法的法则进行运算即可． 【解答】解：当am＝6，an＝2时， am﹣n ＝am÷an ＝6÷2 ＝3． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 4．（2025秋•衡阳县期末）已知xm＝2，xn＝3，则xm﹣2n＝　　 ． 【分析】根据同底数幂的除法和幂的乘方得到，然后利用整体代入的方法进行计算即可． 【解答】解：∵xm＝2，xn＝3， ∴， 即xm﹣2n， 故答案为：． 【点评】本题主要考查同底数幂的除法和幂的乘方，准确熟练地进行计算是解题的关键． 5．（2025秋•乌兰浩特市校级期中）若3m＝6，3n＝2，则32m﹣3n+1＝　　 ． 【分析】熟练逆用同底数幂的除法、乘法和幂的乘方公式，对代数式进行变形，即可整体代入求值． 【解答】解：32m﹣3n+1＝32m÷33n×3， ＝（3m）2÷（3n）3×3， 因为3m＝6，3n＝2， 所以原式， 故答案为：． 【点评】本题考查了同底数幂除法和幂的乘方，熟练掌握相关法则是解题关键． 6．（2026春•沭阳县月考）将幂的运算逆向思维可得am﹣n＝am÷an，amn＝（am）n，anbn＝（ab）n，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． （1）若am＝2，an＝3，求a3m﹣2n的值； （2）若2×4x×8x＝221，求x的值． 【分析】（1）逆用幂的乘方法则、逆用同底数幂的除法法则，可化为（am）3÷（an）2，再代入即可； （2）把4x，8x化为2为底数的幂，再利用同底数幂的乘法，最后根据幂相等且底数相等，则指数相等，即可求解． 【解答】解：（1）逆用幂的乘方法则、逆用同底数幂的除法法则可得： ； （2）∵2×4x×8x＝21+5x， 2×4x×8x＝221， ∴21+5x＝221， 即1+5x＝21， 解得：x＝4． 【点评】本题考查了幂的乘方法则正用与逆用、同底数幂的除法法则的逆用、同底数幂的乘法，掌握这些法则是解题的关键． 7．（2026春•同步）（1）已知3x＝2，3y＝4． ①求27x的值； ②求32x﹣y的值． （2）已知am＝2，an＝4，ak＝32，求a3m+2n﹣k的值． （3）已知x＝3m﹣3，y﹣4＝81m÷3m，用含x的代数式表示y． 【分析】（1）①根据幂的乘方进行变形，再代入求出即可； ②根据幂的乘方和同底数幂的除法进行变形，再代入求出即可； （2）先根据幂的乘方的逆运算进行变形，再整体代入可解答； （3）由已知条件可得3m＝x+3，利用幂的乘方法则将整式变形后整体代入即可． 【解答】（1）∵3x＝2，3y＝4． ①27x＝（3x）3＝23＝8； ②32x﹣y＝（3x）2÷3y＝4÷4＝1； （2）∵am＝2，an＝4，ak＝32， ∴a3m+2n﹣k＝a3m•a2n÷ak＝（am）3•（an）2÷ak＝23×42÷32＝4； （3）∵x＝3m﹣3， ∴3m＝x+3， ∴81m÷3m ＝（3m）4÷3m ＝（3m）3 ＝（x+3）3， ∴y﹣4＝（x+3）3， ∴y＝（x+3）3+4． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方和积的乘方等知识点，能灵活运用知识点进行变形是解此题的关键． 8．（2025秋•岳阳县期中）已知2m＝3，2n＝9，2p＝81． （1）求4m的值； （2）求4m+n﹣p的值； （3）字母m，n，p之间的数量关系为 p＝2m+n ． 【分析】（1）根据幂的乘方进行计算即可； （2）将原式化为（2m）2•（2n）2÷（2p）2代入计算即可； （3）根据幂的乘方得到22m+n＝2p即可． 【解答】解：（1）∵2m＝3， ∴4m＝（22）m＝（2m）2＝32＝9； （2）∵2m＝3，2n＝9，2p＝81， ∴4m+n﹣p＝4m•4n÷4p ＝（2m）2•（2n）2÷（2p）2 ＝32×92÷812 ； （3）∵32×9＝81，即（2m）2•2n＝2p， ∴22m+n＝2p， ∴2m+n＝p， 即字母m，n，p之间的数量关系为p＝2m+n， 故答案为：p＝2m+n． 【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方D的计算方法是正确解答的关键． 【考点2】单项式除以单项式（第917题） 运算优先级：先乘方（积的乘方、幂的乘方），再乘除，最后进行加减运算 带余数除法：利用被除式=除式×商+余式，对比多项式同类项系数求解参数a、b 看错运算符号题型：把除法抄作减法，逆向推导整式B，再计算正确除法结果 整式混合运算：多项式除以单项式搭配单项式乘法，重点注意每一项正负符号 9．（2025秋•鄂伦春自治旗校级月考）计算： （1）（4a3﹣6a2）÷2a； （2）﹣a3•a4•a+（a2）4+（﹣a4）2． 【分析】（1）利用多项式除单项式法则计算即可； （2）先利用同底数幂的乘法和幂的乘方计算，再合并同类项即可． 【解答】解：（1）原式＝4a3÷2a﹣6a2÷2a ＝2a2﹣3a； （2）原式＝﹣a8+a8+a8 ＝a8． 【点评】本题考查整式的混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键． 10．（2026•雁塔区校级模拟）计算（﹣2x3）2÷（﹣x）2的结果是（　　） A．4x3 B．4x4 C．﹣2x4 D．﹣2x3 【分析】依次运用积的乘方、幂的乘方及同底数幂的除法法则逐步计算． 【解答】解：原式＝4x6÷x2＝4x4， 故选：B． 【点评】本题考查幂的混合运算，解题的关键是掌握幂的混合运算法则． 11．（2026春•榕城区期中）[新考法]我们知道两个整数相除时会有除不尽（商不是整数）的情况，例如9÷2就除不尽，可以用余数表示，即：9除以2商4余1．同样两个整式相除时也有可能除不尽，若多项式4x3﹣2x2+ax+3除以bx，商式为2x2﹣x﹣5余3，则a+b的值为（　　） A．﹣8 B．8 C．12 D．﹣12 【分析】由被除式、除式、商、余式的关系可得（2x2﹣x﹣5）•bx+3＝4x3﹣2x2+ax+3，再展开对比得到关于a、b的方程组求得a、b的值，最后求和即可． 【解答】解：由条件可知：（2x2﹣x﹣5）•bx+3＝4x3﹣2x2+ax+3， 2bx3﹣bx2﹣5bx+3＝4x3﹣2x2+ax+3， ∴，解得：， ∴a+b＝﹣10+2＝﹣8．即A选项符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了整式的除法，熟练掌握该知识点是关键． 12．（2026春•通川区校级期末）计算（9x2y﹣6xy2+3xy）÷3xy的结果为（　　） A．3x﹣2xy+1 B．3xy﹣2y+1 C．3x﹣2y+1 D．3x﹣2y 【分析】利用整式的除法的法则进行运算即可． 【解答】解：（9x2y﹣6xy2+3xy）÷3xy ＝9x2y÷3xy﹣6xy2÷3xy+3xy÷3xy ＝3x﹣2y+1． 故选：C． 【点评】本题主要考查整式，解答的关键是运算法则的掌握． 13．（2025春•岑溪市校级月考）若﹣2x2•（　　）＝﹣8x3y，则括号内应填的代数式是（　　） A．﹣4y B．﹣4xy C．﹣4x2y D．4xy 【分析】利用两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数，转化为单项式除以单项式计算即可 【解答】解：根据两个因数的积与其中一个因数求另一个因数可得： ﹣8x3y÷（﹣2x2）＝4xy， ∴﹣2x2•（4xy）＝﹣8x3y， 故选：D． 【点评】本题考查单项式的乘法与单项式的除法的关系问题，掌握单项式的乘除是可以互相转化是解题关键． 14．（2026春•宣城期中）计算：（﹣2a2b3）2÷4a3b2＝ab4 ． 【分析】首先计算积的乘方和幂的乘方，然后计算单项式除以单项式运算． 【解答】解：（﹣2a2b3）2÷4a3b2 ＝4a4b6÷4a3b2 ＝ab4． 故答案为：ab4． 【点评】此题考查了积的乘方和幂的乘方，单项式除以单项式运算，解题的关键是掌握以上运算法则． 15．（2024秋•射洪市校级月考）计算： （1）（﹣a）8÷（﹣a2）＝　﹣a6 ； （2）35a7b3c÷7a4bc＝　5a3b2 ； （3）　　 ． 【分析】（1）先化为同底数幂，再运用同底数幂的除法公式计算即可； （2）运用单项式除以单项式运算法则计算即可； （3）运用完全平方公式计算即可． 【解答】解：（1）（﹣a）8÷（﹣a2） ＝a8÷（﹣a2） ＝﹣a6； 故答案为：﹣a6； （2）35a7b3c÷7a4bc ＝5a3b2； 故答案为：5a3b2； （3）， 故答案为：． 【点评】本题考查同底数幂的除法，单项式除以单项式，完全平方公式等知识，掌握相关运算法则和公式是解题的关键． 16．（2023秋•广安期末）计算：（2x2y4﹣7xy2）÷（﹣xy）+x3y•（﹣3x﹣2y2）． 【分析】根据多项式除以单项式法则和单项式乘单项式法则先算乘除，最后再利用合并同类项法则计算加减即可． 【解答】解：原式＝2x2y4÷（﹣xy）+7xy2÷xy﹣3x﹣2y2•x3y ＝﹣2xy3+7y﹣3xy3 ＝﹣2xy3﹣3xy3+7y ＝﹣5xy3+7y． 【点评】本题主要考查了整式的混合运算，解题关键是熟练掌握多项式除以单项式法则和单项式乘单项式法则． 17．（2024秋•上饶校级期中）已知A、B均为整式，A＝（xy+1）（xy﹣2）﹣2x2y2+2，小马在计算A÷B时，误把“÷”抄成了“﹣”，这样他计算的正确结果为﹣x2y2． （1）将整式A化为最简形式； （2）求整式B； （3）求A÷B的正确结果． 【分析】（1）根据整式混合运算的顺序和法则进行化简即可； （2）根据题意列出式子再根据整式混合运算的顺序和法则进行计算即可； （3）根据题意列出式子进行计算即可． 【解答】解：（1）A＝（xy+1）（xy﹣2）﹣2x2y2+2， ＝x2y2﹣2xy+xy﹣2﹣2x2y2+2， ＝﹣x2y2﹣xy， （2）由题意，得A﹣B＝﹣x2y2． 由（1）知A＝﹣x2y2﹣xy， ∴﹣x2y2﹣xy﹣B＝﹣x2y2， ∴B＝﹣xy． （3）由（1）知A＝﹣x2y2﹣xy， 由（2）知B＝﹣xy． ∴A÷B＝（﹣x2y2﹣xy）÷（﹣xy）＝xy+1． 故A÷B的正确结果xy+1． 【点评】本题考查整式的除法和多项式乘多项式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 【考点3】多项式除以单项式（第1825题） 实际模型：长方形面积÷长=宽，几何场景转化为整式除法计算 逆向计算：已知除式与商，利用乘法逆运算求被除式 复杂括号运算：先展开括号，合并同类项，之后再执行多项式除以单项式 综合计算：整式除法结合零指数幂、负整数指数幂混合运算 18．（2025秋•金乡县期末）一个长方形的面积是12a3﹣6a2+2a．若它的长是2a，则它的宽是（　　） A．12a2﹣6a+2 B．6a3﹣3a2+a C．6a2﹣3a D．6a2﹣3a+1 【分析】根据长方形的面积公式进行计算，即可解答． 【解答】解：由题意得：它的宽＝（12a3﹣6a2+2a）÷2a ＝12a3÷2a﹣6a2÷2a+2a÷2a ＝6a2﹣3a+1， 故选：D． 【点评】本题考查了整式的除法，准确熟练地进行计算是解题的关键． 19．（2025春•龙岗区期中）乐乐的作业本不小心被撕掉了一部分，留下一道残缺不全的题目，如图所示，请你帮他推测出等号左边被撕掉的内容是（　　） A．（x2﹣2x+6） B．（x2﹣3x2+6） C．（x2﹣3x+6） D．（x2﹣3x﹣6） 【分析】根据题意得到（x3﹣3x2+6x）÷x，计算即可得到等号左边被撕掉的内容． 【解答】解：根据题意可知，（x3﹣3x2+6x）÷x＝x2﹣3x+6． 故选：C． 【点评】此题考查了整式的除法，掌握整式的除法的运算法则是关键． 20．（2025春•兴平市期末）小辰与小辉在做游戏时，两人各报一个整式，若将小辰报的整式作为除式，小辉报的整式作为被除式，要求商必须为﹣3xy2．若小辉报的整式是9x4y3﹣6x3y2，则小辰应报的整式是（　　） A．﹣3xy3﹣2x2 B．﹣3x3y﹣2x2y C．3x3y+2xy D．﹣3x3y+2x2 【分析】根据被除式、除式和商的关系列出代数式，再利用多项式除以单项式计算即可． 【解答】解：小辰报的整式为（9x4y3﹣6x3y2）÷（﹣3xy2）， 根据多项式除以单项式计算可得： （9x4y3﹣6x3y2）÷（﹣3xy2） ＝﹣3x3y+2x2． 故选：D． 【点评】本题考查整式的除法，熟练掌握整式除法运算法则，正确列出代数式是解答的关键． 21．（2024秋•浦东新区校级期末）计算：（﹣a2b）3÷2a＝　　 ． 【分析】先根据积的乘方法则计算，再算单项式的除法即可得到结果． 【解答】解：， 故答案为：． 【点评】本题考查的是整式的混合运算，解答本题的关键是熟练掌握积的乘方法则． 22．（2024秋•广阳区校级月考）若■÷5ab＝2a2+ab﹣3b，则被除数等于　10a3b+5a2b﹣15ab ． 【分析】根据被除数＝除数乘以商，计算即可． 【解答】解：根据题意被除数＝（2a2+ab﹣3b）×5ab＝10a3b+5a2b﹣15ab， 故答案为：10a3b+5a2b﹣15ab． 【点评】本题考查整式的除法，掌握除法是乘法的逆运算是解题关键． 23．（2024春•顺义区期末）计算：（﹣6a2b4c2）÷（﹣2b3c）＝　3a2bc ． 【分析】直接利用单项式除以单项式法则得结论． 【解答】解：（﹣6a2b4c2）÷（﹣2b3c） ＝[﹣6÷（﹣2）]•a2•（b4÷b3）•（c2÷c） ＝3a2bc． 故答案为：3a2bc． 【点评】本题考查了整式的运算，掌握单项式除以单项式法则是解决本题的关键． 24．（2025秋•洛宁县期末）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，如图所示： ． （1）求被捂住的多项式； （2）若，，求被捂住的多项式的值． 【分析】（1）根据题意列式为（3x2y﹣xy2xy）÷（xy），然后利用多项式除以单项式的法则计算即可； （2）将已知数值代入（1）中求得的多项式中计算即可． 【解答】解：（1）由题意得（3x2y﹣xy2xy）÷（xy）＝﹣6x+2y﹣1， 即被捂住的多项式为﹣6x+2y﹣1； （2）当，y时， ﹣6x+2y﹣1＝﹣621＝﹣4+1﹣1＝﹣4． 【点评】本题考查整式的除法，代数式求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 25．（2025秋•苍溪县期末）计算： （1）[x（x2y2﹣xy）﹣y（x2﹣x3y）]÷3x2y； （2）． 【分析】（1）先去括号，再合并同类项，然后按照单项式除以单项式法则进行计算即可； （2）先根据零指数幂与负整数指数幂的性质计算乘方，再算乘法，最后计算减法即可． 【解答】解：（1）原式＝（x3y2﹣x2y﹣x2y+x3y2）÷3x2y ＝（2x3y2﹣2x2y）÷3x2y ； （2） ＝4﹣2 ＝2． 【点评】本题主要考查整式的乘除及零指数幂以及负指数幂，熟练掌握整式的乘除零指数幂以及负指数幂的运算是解题的关键． 【考点4】创新及压轴题（第2629题） 多项式竖式长除法：模仿整数竖式除法，缺项补充0，直到余式次数低于除式 规律探究公式：(xn1)÷(x1)=xn1+xn2+…+x+1，用于等比数列求和 综合计算：幂运算、零指数、负指数混合运算，符号为高频易错点，优先处理乘方 26．（2025秋•门头沟区期末）计算：（8a3b﹣4ab2+2ab）÷2ab． 【分析】运用法则将多项式的每一项分别除以单项式，再结合同底数幂的除法法则进行计算即可． 【解答】解：原式＝8a3b÷2ab﹣4ab2÷2ab+2ab÷2ab ＝4a2﹣2b+1 【点评】本题考查了多项式除以单项式运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 27．（2025秋•上海月考）计算： （1）﹣a6÷（﹣2a2）÷（﹣3a3）； （2）4m（m2n﹣mn2）﹣3mn（5m2+n2）． 【分析】（1）利用单项式除单项式法则得结论； （2）先算乘法，再合并同类项． 【解答】解：（1）﹣a6÷（﹣2a2）÷（﹣3a3） a4÷（﹣3a3） a； （2）4m（m2n﹣mn2）﹣3mn（5m2+n2） ＝4m3n﹣4m2n2﹣15m3n﹣3mn3 ＝﹣11m3n﹣4m2n2﹣3mn3． 【点评】本题考查了整式的运算，掌握整式的运算法则是解决本题的关键． 28．（2025春•吉州区校级月考）我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算，例如：计算（6x4﹣7x3﹣x2﹣1）÷（2x+1），可用竖式除法． 步骤如下： ①把被除式、除式按某个字母降幂排列，并把所缺的项用零补齐； ②用被除式的第一项6x4除以除式第一项2x，得到商式的第一项3x3； ③用商式的第一项3x3去乘除式（2x+1），把积（6x4+3x3）写在被除式下面（同类项对齐），再把两式相减； ④把相减所得的差（﹣10x3﹣x2）当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止． 被除式＝除式x商式+余式．若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除． ∵余式为0，∴6x4﹣7x3﹣x2﹣1可以整除2x+1． 请根据阅读材料，回答下列问题： （1）请在两个方框内分别填入正确的数或式子　2　 ，　﹣10x3﹣5x2 ； （2）请模仿材料中的方法计算多项式（4x3+8x2﹣3x﹣9）÷（x﹣1）． 【分析】（1）按照示例的除法竖式进行计算即可； （2）按照示例的除法竖式进行计算即可． 【解答】解：（1）如图： 故答案为：2；﹣10x3﹣5x2． （2）（4x3+8x2﹣3x﹣9）÷（x﹣1）＝4x2+12x+9， ． 【点评】本题考查了整式的除法、同类项、单项式乘多项式，解决本题的关键是按照示例的竖式进行计算． 29．（2025秋•阳新县期末）计算： （1）； （2）[x（x2y2﹣xy）﹣y（x2﹣x3y）]÷x2y． 【分析】（1）原式利用零指数幂、负整式指数幂法则，以及乘方运算法则计算即可求出值； （2）原式括号中利用单项式乘以多项式法则计算，再利用多项式除以单项式法则计算即可求出值． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式＝（x3y2﹣x2y﹣x2y+x3y2）÷x2y ＝（2x3y2﹣2x2y）÷x2y ＝2x3y2÷x2y﹣2x2y÷x2y ＝2xy﹣2． 【点评】此题考查了整式的混合运算，有理数的混合运算，负整数指数幂．熟练掌握以上知识点是关键． 📝随堂检测 30．（2025秋•西昌市期末）计算a10÷a5的结果为（　　） A．a5 B．a4 C．a2 D．a 【分析】根据同底数幂的除法法则，底数不变，指数相减进行计算即可． 【解答】解：原式＝a10﹣5＝a5． 故选：A． 【点评】本题考查了同底数幂的除法，掌握同底数幂的除法的运算法则是关键． 31．（2025秋•朝阳区校级期末）计算：（3m2n+5m）÷m＝　3mn+5　 ． 【分析】根据多项式除以单项式法则和单项式除以单项式法则进行计算即可． 【解答】解：原式＝3m2n÷m+5m÷m ＝3mn+5， 故答案为：3mn+5． 【点评】本题主要考查了整式的除法运算，解题关键是熟练掌握多项式除以单项式法则和单项式除以单项式法则． 32．（2025春•临潼区校级月考）若xa＝xb，则a＝b（x＞0且x≠1，a，b是正整数）． （1）如果22m+1＝64，那么m＝　　 ； （2）如果7m＝56，8n＝56，那么56mn﹣m﹣n＝　1　 ． 【分析】（1）将64化为26，从而得到关于m的方程，解方程即可； （2）由已知条件易得7，8，将两式相乘并利用同底数幂乘法法则易得1，从而可得mn＝m+n，将其代入原式计算即可． 【解答】解：（1）∵22m+1＝64， ∴22m+1＝26， ∴2m+1＝6， ∴m， 故答案为：； （2）∵7m＝56，8n＝56， ∴，， ∴7，8， 将两式相乘可得56， ∴1， ∴mn＝m+n， ∴原式＝56m+n﹣m﹣n＝560＝1， 故答案为：1． 【点评】本题考查同底数幂乘法及除法，幂的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 33．（2025秋•绵阳期末）（1）已知2x+3y﹣4＝0，求9x•27y的值； （2）已知9b＝4，3a＝2，求33a﹣2b的值． 【分析】（1）由2x+3y﹣4＝0，得2x+3y＝4，然后由9x•27y＝32x+3y，最后代入求解即可； （2）由33a﹣2b＝33a÷32b＝（3a）2÷9b，把9b＝4，3a＝2代入求解即可． 【解答】解：（1）根据题意可知，2x+3y＝4， ∴原式＝（32）x×（33）y ＝32x×33y ＝32x+3y ＝34 ＝81； （2）原式＝33a÷32b ＝（3a）3÷9b ＝（2）3÷4 ＝8÷4 ＝2． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，掌握相应的运算法则是关键． 💯课后巩固 ❤复习建议 1.熟记幂运算四条核心公式，区分指数做加、减、乘的不同场景，杜绝公式混淆。 2.整式除法完成后，可使用乘法反向验算；做题时刻留意每一项符号，不遗漏常数项。 3.幂求值类题目优先逆用公式，采用整体代入，不要强行单独求解底数。 4.带余除法题型牢记关系式，对比同类项系数，求解字母参数。 5.混合运算严格遵循顺序，先乘方，再乘除，后加减；括号内部优先运算。 【作业 1】（2024•项城市二模）下列运算正确的是（　　） A．3a2+4a2＝7a4 B．4a2÷a＝4a C．（a2）3＝a5 D．（﹣3ab）2＝6a2b2 【分析】利用合并同类项、单项式除以单项式、幂的乘方、积的乘方法则，逐个计算得结论． 【解答】解：A．3a2+4a2＝7a2≠7a4，故选项A运算错误； B．4a2÷a＝4a，故选项B运算正确； C．（a2）3＝a6≠a5，故选项C计算错误； D．（﹣3ab）2＝9a2b2≠6a2b2，故选项D计算错误． 故选：B． 【点评】本题考查了整式的运算，掌握整式的运算法则是解决本题的关键． 【作业 2】（2025•南阳模拟）下列计算正确的是（　　） A．a6÷a2＝a3 B．（﹣a2）5＝﹣a7 C．（a+1）（1﹣a）＝1﹣a2 D．（a+1）2＝a2+1 【分析】根据完全平方公式，平方差公式，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法的运算法则进行判断． 【解答】解：A、a6÷a2＝a4，选项计算错误，不符合题意； B、（﹣a2）5＝﹣a10，选项计算错误，不符合题意； C、（a+1）（1﹣a）＝1﹣a2，选项计算正确，符合题意； D、（a+1）2＝a2+2a+1，选项计算错误，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了完全平方公式，平方差公式，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，掌握相应的运算法则是关键． 【作业 3】下列各式，计算结果错误的是（　　） A．（3xy+y）÷y＝3x+1 B． C．（9x3y﹣6xy3）÷3xy＝3x2﹣2y2 D．（ma+mb+mc）÷m＝a+b+c 【分析】利用整式的除法法则计算． 【解答】解：（3xy+y）÷y＝3x+1，选项A正确，不符合题意； （5m3n2﹣6m2）÷3mm2n2﹣2m，选项B错误，符合题意； （9x3y﹣6xy3）÷3xy＝3x2﹣2y2，选项C正确，不符合题意； （ma+mb+mc）÷m＝a+b+c，选项D正确，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了整式的除法，解题的关键是掌握整式的除法法则． 【作业 4】阅读下列各等式，观察并总结规律： （x2﹣1）÷（x﹣1）＝x+1； （x3﹣1）÷（x﹣1）＝x2+x+1； （x4﹣1）÷（x﹣1）＝x3+x2+x+1； （x5﹣1）÷（x﹣1）＝x4+x3+x2+x+1． （1）则（x7﹣1）÷（x﹣1）＝x6+x5+x4+x3+x2+x+1　 ，那么（xn﹣1）÷（x﹣1）＝xn﹣1+xn﹣2+…+x4+x3+x2+x+1　 ； （2）利用（1）的结果计算1+2+22+23+24+…+22023＝　22024﹣1　 ． 【分析】（1）仔细观察题目所列的等式，特别是x的次数的变化情况，根据规律可解答； （2）逆用第（1）问的结论计算即可得到答案． 【解答】解：（1）由规律可得，（x7﹣1）÷（x﹣1）＝x6+x5+x4+x3+x2+x+1， （xn﹣1）÷（x﹣1）＝xn﹣1+xn﹣2+…+x4+x3+x2+x+1， 故答案为：x6+x5+x4+x3+x2+x+1；xn﹣1+xn﹣2+…+x4+x3+x2+x+1； （2）∵（22024﹣1）÷（2﹣1）＝22023+22022+…+24+23+22+2+1， ∴1+22+23+24+…+22023＝22024﹣1． 故答案为：22024﹣1． 【点评】本题考查了整式的除法以及有理数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键． 【作业 5】（2021春•海阳市期中）计算：（﹣2xy）3÷（﹣2xy）2＝ 　﹣2xy ． 【分析】先根据积的乘方化简，再根据单项式除以单项式的法则计算即可． 【解答】解：（﹣2xy）3÷（﹣2xy）2 ＝﹣8x3y3÷4x2y2 ＝﹣2xy． 故答案为：﹣2xy． 【点评】本题主要考查了同底数幂的除法，以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． 【作业 6】计算： （1）6a6÷3a2＝　2a4 ； （2）24a3b2÷3ab＝　8a2b ； （3）（2a3b）2÷ab＝　4a5b ； （4）（﹣4a2b3）÷（﹣2ab）2＝　﹣b ． 【分析】（1）根据整式的除法和幂的乘方与积的乘方的运算法则计算即可； （2）根据整式的除法和幂的乘方与积的乘方的运算法则计算即可； （3）根据整式的除法和幂的乘方与积的乘方的运算法则计算即可； （4）根据整式的除法和幂的乘方与积的乘方的运算法则计算即可． 【解答】解：（1）6a6÷3a2＝2a4； （2）24a3b2÷3ab＝8a2b； （3）（2a3b）2÷ab＝4a6b2÷ab＝4a5b； （4）（﹣4a2b3）÷（﹣2ab）2＝（﹣4a2b3）÷4a2b2＝﹣b． 【点评】本题考查的是整式的除法，幂的乘方与积的乘方，掌握其运算法则是解题的关键． 【作业 7】（2024秋•天峨县期末）计算：（2x+1）（x﹣3）﹣（4x4﹣6x3）÷2x2． 【分析】先根据多项式乘多项式，多项式除以单项式进行计算，再合并同类项即可解答． 【解答】解：（2x+1）（x﹣3）﹣（4x4﹣6x3）÷2x2 ＝2x2﹣6x+x﹣3﹣2x2+3x ＝﹣2x﹣3． 【点评】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是关键． 【作业 8】小亮在计算一个多项式除以单项式x时，不小心算成乘以x，得到的结果为6x4y3﹣x3y2+2x2y，你能帮他求出正确的结果吗？ 【分析】根据算错的结果倒推，再按原来的要求计算即可得出答案． 【解答】解：（6x4y3﹣x3y2+2x2y）÷（x）÷（x） ＝（6x4y3﹣x3y2+2x2y）÷[（x）•（x）] ＝（6x4y3﹣x3y2+2x2y）x2 ＝54x2y3﹣9xy2+18y， 故正确的结果为54x2y3﹣9xy2+18y． 【点评】本题考查的是整式的除法，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9讲 整式的除法 优等生讲义 (知识梳理+典例+压轴+练习) 2026-2027学年人教版八年级数学上册 📌思维导图 · 课程内容总览 🎯 课程目标 · 精准把握学习方向 掌握同底数幂除法法则，会正用、逆用公式做幂的求值计算 掌握单项式除以单项式、多项式除以单项式运算法则，熟练整式除法运算 掌握带余整式除法关系：被除式、除式、商式、余式，求解参数 能够综合幂的乘方、积的乘方完成整式混合运算，会整体代入求值 读懂多项式竖式除法，理解“被除式 = 除式 × 商式 + 余式”数学模型 📚 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 同底数幂的除法 公式：am ÷ an = amn（a≠0，m、n为正整数） 逆用公式：amn = am ÷ an，多用于整体代入求值。 零指数幂：a0=1（a≠0）。 概念辨析类典型例题：下列计算正确的是（） A.a6 ÷ a2 = a3 B.a6 ÷ a2 = a4 C.a6 ÷ a2 = a8 D.a6 ÷ a2 = 3 解析：同底数幂相除，底数保持不变，指数相减。a6÷a2=a62=a4，答案选B。 ☆ 2. 单项式除以单项式 运算法则：系数之间相除；同底数幂分别相除；仅在被除式中出现的字母，连同它的指数直接作为商的因式。 运算步骤：①系数相除；②同底数幂做除法运算；③保留被除式独有的字母因式。 概念辨析类典型例题：计算8x3y÷(2x2)的结果是（） A.4y B.4xy C.4xy D.4x 解析：系数运算(8)÷(2)=4；x3÷x2=x；被除式独有字母y保留，最终结果4xy，答案选B。 ☆ 3. 多项式除以单项式 运算法则：把多项式的每一项分别除以单项式，再将所有得到的商相加。 公式表达：(a+b+c)÷m = a÷m + b÷m + c÷m。 注意要点：每一项都要参与除法运算，注意各项符号，不要漏掉常数项。 概念辨析类典型例题：计算(9x2y6xy2+3xy)÷ 3xy结果正确的是（） A.3x2xy+1 B.3x2y+1 C.3x2y D.3xy2y 解析：逐项相除，9x2y÷3xy=3x，6xy2÷3xy=2y，3xy÷3xy=1；合并得到3x2y+1，答案选B。 ☆ 4. 带余整式除法模型 核心关系式：被除式 = 除式 × 商式 + 余式； 约束条件：余式的次数必须低于除式的次数；余式等于0时，代表多项式可以被整除。 概念辨析类典型例题：多项式4x32x2+ax+3除以bx，商式为2x2x5，余3，请写出被除式的展开形式。 解析：根据关系式，被除式 = 除式 × 商式 + 余式，代入得到：bx(2x2x5)+3。 ☆ 5. 幂运算公式综合逆用 常用变形公式： akmln=(am)k ÷ (an)l；am+n=am·an；a2m=(am)2； 解题技巧：等式两边底数相同，则指数相等，建立方程求解未知数。 概念辨析类典型例题：已知am=2，an=3，求a3m2n的值。 解析：逆用幂运算公式：a3m2n=(am)3÷(an)2=23÷32=8/9，结果为8/9。 📚知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 同底数幂除法 am÷an=amn（a≠0） 底数不能为0；指数做减法运算；支持公式逆向使用 单项式÷单项式 系数相除；同底数幂相除；保留被除式独有字母因式 优先确定符号；独有字母直接保留，不要遗漏 多项式÷单项式 多项式各项分别除以单项式，商相加 不可漏项；每一项符号要跟随，常数项也要参与除法 带余整式除法 被除式 = 除式 × 商式 + 余式 余式次数小于除式次数；余式为零代表整除 幂运算逆用求值 akmln=(am)k ÷ (an)l 优先整体代入；统一底数后对比指数列方程 ⚠️ 核心考点 · 典型例题精讲 【考点1】同底数幂的除法（第18题） 牢记同底数幂除法法则，区分幂的乘方（指数相乘），不要混淆运算 高频题型：已知am、an，求amn、a2m3n+1，逆用幂公式做整体代入求值 幂方程题型：统一等式两边幂的底数，利用指数相等建立方程求未知数 综合变形：结合零指数幂、负整数指数幂，同时考察用x代数式表达y的变形题型 1．（2026•东海县二模）计算（m3）2÷m2的结果是（　　） A．m8 B．m7 C．m4 D．m3 2．（2026•鄞州区二模）下列各式计算正确的是（　　） A．a3•a2＝a6 B．（a3）4＝a7 C．a6÷a2＝a4 D．（2a2b）3＝2a6b3 3．（2026春•西安期末）若am＝6，an＝2，则am﹣n＝_____ ． 4．（2025秋•衡阳县期末）已知xm＝2，xn＝3，则xm﹣2n＝__________________ ． 5．（2025秋•乌兰浩特市校级期中）若3m＝6，3n＝2，则32m﹣3n+1＝___________________ ． 6．（2026春•沭阳县月考）将幂的运算逆向思维可得am﹣n＝am÷an，amn＝（am）n，anbn＝（ab）n，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． （1）若am＝2，an＝3，求a3m﹣2n的值； （2）若2×4x×8x＝221，求x的值． 7．（2026春•同步）（1）已知3x＝2，3y＝4． ①求27x的值； ②求32x﹣y的值． （2）已知am＝2，an＝4，ak＝32，求a3m+2n﹣k的值． （3）已知x＝3m﹣3，y﹣4＝81m÷3m，用含x的代数式表示y． 8．（2025秋•岳阳县期中）已知2m＝3，2n＝9，2p＝81． （1）求4m的值； （2）求4m+n﹣p的值； （3）字母m，n，p之间的数量关系为 ___________ ． 【考点2】单项式除以单项式（第917题） 运算优先级：先乘方（积的乘方、幂的乘方），再乘除，最后进行加减运算 带余数除法：利用被除式=除式×商+余式，对比多项式同类项系数求解参数a、b 看错运算符号题型：把除法抄作减法，逆向推导整式B，再计算正确除法结果 整式混合运算：多项式除以单项式搭配单项式乘法，重点注意每一项正负符号 9．（2025秋•鄂伦春自治旗校级月考）计算： （1）（4a3﹣6a2）÷2a； （2）﹣a3•a4•a+（a2）4+（﹣a4）2． 10．（2026•雁塔区校级模拟）计算（﹣2x3）2÷（﹣x）2的结果是（　　） A．4x3 B．4x4 C．﹣2x4 D．﹣2x3 11．（2026春•榕城区期中）[新考法]我们知道两个整数相除时会有除不尽（商不是整数）的情况，例如9÷2就除不尽，可以用余数表示，即：9除以2商4余1．同样两个整式相除时也有可能除不尽，若多项式4x3﹣2x2+ax+3除以bx，商式为2x2﹣x﹣5余3，则a+b的值为（　　） A．﹣8 B．8 C．12 D．﹣12 12．（2026春•通川区校级期末）计算（9x2y﹣6xy2+3xy）÷3xy的结果为（　　） A．3x﹣2xy+1 B．3xy﹣2y+1 C．3x﹣2y+1 D．3x﹣2y 13．（2025春•岑溪市校级月考）若﹣2x2•（　　）＝﹣8x3y，则括号内应填的代数式是（　　） A．﹣4y B．﹣4xy C．﹣4x2y D．4xy 14．（2026春•宣城期中）计算：（﹣2a2b3）2÷4a3b2＝________ ． 15．（2024秋•射洪市校级月考）计算： （1）（﹣a）8÷（﹣a2）＝________ ； （2）35a7b3c÷7a4bc＝__________ ； （3）____________________ ． 16．（2023秋•广安期末）计算：（2x2y4﹣7xy2）÷（﹣xy）+x3y•（﹣3x﹣2y2）． 17．（2024秋•上饶校级期中）已知A、B均为整式，A＝（xy+1）（xy﹣2）﹣2x2y2+2，小马在计算A÷B时，误把“÷”抄成了“﹣”，这样他计算的正确结果为﹣x2y2． （1）将整式A化为最简形式； （2）求整式B； （3）求A÷B的正确结果． 【考点3】多项式除以单项式（第1825题） 实际模型：长方形面积÷长=宽，几何场景转化为整式除法计算 逆向计算：已知除式与商，利用乘法逆运算求被除式 复杂括号运算：先展开括号，合并同类项，之后再执行多项式除以单项式 综合计算：整式除法结合零指数幂、负整数指数幂混合运算 18．（2025秋•金乡县期末）一个长方形的面积是12a3﹣6a2+2a．若它的长是2a，则它的宽是（　　） A．12a2﹣6a+2 B．6a3﹣3a2+a C．6a2﹣3a D．6a2﹣3a+1 19．（2025春•龙岗区期中）乐乐的作业本不小心被撕掉了一部分，留下一道残缺不全的题目，如图所示，请你帮他推测出等号左边被撕掉的内容是（　　） A．（x2﹣2x+6） B．（x2﹣3x2+6） C．（x2﹣3x+6） D．（x2﹣3x﹣6） 20．（2025春•兴平市期末）小辰与小辉在做游戏时，两人各报一个整式，若将小辰报的整式作为除式，小辉报的整式作为被除式，要求商必须为﹣3xy2．若小辉报的整式是9x4y3﹣6x3y2，则小辰应报的整式是（　　） A．﹣3xy3﹣2x2 B．﹣3x3y﹣2x2y C．3x3y+2xy D．﹣3x3y+2x2 21．（2024秋•浦东新区校级期末）计算：（﹣a2b）3÷2a＝____________________ ． 22．（2024秋•广阳区校级月考）若■÷5ab＝2a2+ab﹣3b，则被除数等于____________________ ． 23．（2024春•顺义区期末）计算：（﹣6a2b4c2）÷（﹣2b3c）＝__________ ． 24．（2025秋•洛宁县期末）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，如图所示： ． （1）求被捂住的多项式； （2）若，，求被捂住的多项式的值． 25．（2025秋•苍溪县期末）计算： （1）[x（x2y2﹣xy）﹣y（x2﹣x3y）]÷3x2y； （2）． 【考点4】创新及压轴题（第2629题） 多项式竖式长除法：模仿整数竖式除法，缺项补充0，直到余式次数低于除式 规律探究公式：(xn1)÷(x1)=xn1+xn2+…+x+1，用于等比数列求和 综合计算：幂运算、零指数、负指数混合运算，符号为高频易错点，优先处理乘方 26．（2025秋•门头沟区期末）计算：（8a3b﹣4ab2+2ab）÷2ab． 27．（2025秋•上海月考）计算： （1）﹣a6÷（﹣2a2）÷（﹣3a3）； （2）4m（m2n﹣mn2）﹣3mn（5m2+n2）． 28．（2025春•吉州区校级月考）我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算，例如：计算（6x4﹣7x3﹣x2﹣1）÷（2x+1），可用竖式除法． 步骤如下： ①把被除式、除式按某个字母降幂排列，并把所缺的项用零补齐； ②用被除式的第一项6x4除以除式第一项2x，得到商式的第一项3x3； ③用商式的第一项3x3去乘除式（2x+1），把积（6x4+3x3）写在被除式下面（同类项对齐），再把两式相减； ④把相减所得的差（﹣10x3﹣x2）当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止． 被除式＝除式x商式+余式．若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除． ∵余式为0，∴6x4﹣7x3﹣x2﹣1可以整除2x+1． 请根据阅读材料，回答下列问题： （1）请在两个方框内分别填入正确的数或式子_____ ，______________ ； （2）请模仿材料中的方法计算多项式（4x3+8x2﹣3x﹣9）÷（x﹣1）． 29．（2025秋•阳新县期末）计算： （1）； （2）[x（x2y2﹣xy）﹣y（x2﹣x3y）]÷x2y． 📝随堂检测 30．（2025秋•西昌市期末）计算a10÷a5的结果为（　　） A．a5 B．a4 C．a2 D．a 31．（2025秋•朝阳区校级期末）计算：（3m2n+5m）÷m＝__________ ． 32．（2025春•临潼区校级月考）若xa＝xb，则a＝b（x＞0且x≠1，a，b是正整数）． （1）如果22m+1＝64，那么m＝__________________ ； （2）如果7m＝56，8n＝56，那么56mn﹣m﹣n＝_____ ． 33．（2025秋•绵阳期末）（1）已知2x+3y﹣4＝0，求9x•27y的值； （2）已知9b＝4，3a＝2，求33a﹣2b的值． 💯课后巩固 【作业 1】（2024•项城市二模）下列运算正确的是（　　） A．3a2+4a2＝7a4 B．4a2÷a＝4a C．（a2）3＝a5 D．（﹣3ab）2＝6a2b2 【作业 2】（2025•南阳模拟）下列计算正确的是（　　） A．a6÷a2＝a3 B．（﹣a2）5＝﹣a7 C．（a+1）（1﹣a）＝1﹣a2 D．（a+1）2＝a2+1 【作业 3】下列各式，计算结果错误的是（　　） A．（3xy+y）÷y＝3x+1 B． C．（9x3y﹣6xy3）÷3xy＝3x2﹣2y2 D．（ma+mb+mc）÷m＝a+b+c 【作业 4】阅读下列各等式，观察并总结规律： （x2﹣1）÷（x﹣1）＝x+1； （x3﹣1）÷（x﹣1）＝x2+x+1； （x4﹣1）÷（x﹣1）＝x3+x2+x+1； （x5﹣1）÷（x﹣1）＝x4+x3+x2+x+1． （1）则（x7﹣1）÷（x﹣1）＝____________________ ，那么（xn﹣1）÷（x﹣1）＝____________________ ； （2）利用（1）的结果计算1+2+22+23+24+…+22023＝____________ ． 【作业 5】（2021春•海阳市期中）计算：（﹣2xy）3÷（﹣2xy）2＝ _________ ． 【作业 6】计算： （1）6a6÷3a2＝________ ； （2）24a3b2÷3ab＝_________ ； （3）（2a3b）2÷ab＝_________ ； （4）（﹣4a2b3）÷（﹣2ab）2＝_______ ． 【作业 7】（2024秋•天峨县期末）计算：（2x+1）（x﹣3）﹣（4x4﹣6x3）÷2x2． 【作业 8】小亮在计算一个多项式除以单项式x时，不小心算成乘以x，得到的结果为6x4y3﹣x3y2+2x2y，你能帮他求出正确的结果吗？ ❤复习建议 1.熟记幂运算四条核心公式，区分指数做加、减、乘的不同场景，杜绝公式混淆。 2.整式除法完成后，可使用乘法反向验算；做题时刻留意每一项符号，不遗漏常数项。 3.幂求值类题目优先逆用公式，采用整体代入，不要强行单独求解底数。 4.带余除法题型牢记关系式，对比同类项系数，求解字母参数。 5.混合运算严格遵循顺序，先乘方，再乘除，后加减；括号内部优先运算。 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $