1.2.1 有理数的概念 教学设计 2026—2027学年人教版七年级数学上册

1.2.1 有理数的概念（教学设计） 2026—2027学年人教版七年级数学上册 课题 1.2.1 有理数的概念 单元 第一章 有理数（1.2 有理数及其大小比较 第1课时） 学科 初中数学（人教版） 年级 七年级上册 学习目标 1.理解有理数的概念，能把给定的数正确分类（整数、分数，以及正数、0、负数），发展分类意识； 2.理解"有限小数和无限循环小数都可以化为分数，因此也是有理数"，能判断一个数是否是有理数； 3.经历数的分类过程，体会分类讨论的数学思想，能画出有理数的分类结构图。 教材分析 本节在1.1"正数和负数"的基础上，对所学过的数进行系统整理与分类。教材先回顾正整数、0、负整数（统称整数），再回顾正分数、负分数，并通过旁注指出"有限小数和无限循环小数都可以化为分数，因此它们也可以看成分数"，从而得出"可以写成分数形式的数称为有理数"这一核心定义，进而给出正有理数、负有理数的概念。例1要求指出各数中的正有理数、负有理数，并分别指出其中的正整数、负整数，旨在巩固有理数的分类。本节是"有理数及其大小比较"的逻辑起点，为后续数轴、相反数、绝对值的学习奠定概念基础。 学情分析 学生已认识自然数、小数、分数、负数，但缺乏"数的分类"的整体意识，容易混淆"分数"与"小数"的关系（不知道有限小数、循环小数可以化为分数），对"整数可以写成分数形式"感到意外。主要障碍：①不理解"可以写成分数形式"是有理数的本质特征；②把"正分数"与"正小数""正百分数"割裂开来；③分类时出现重复或遗漏。教学策略：以"给数找家"的探究活动为主线，通过对比辨析，帮助学生建立有理数的分类体系。 教学重点 有理数的概念；有理数的分类（整数与分数的分类、正数、0与负数的分类）。 教学难点 理解"有限小数和无限循环小数都可以化为分数，因此也是有理数"；正确、不重不漏地对有理数进行分类。 教学准备 多媒体课件（PPT）；有理数分类数卡（若干张）；有理数分类结构图（板贴）。 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 复习导入 【回顾旧知 提出问题】 教师提问："在小学阶段和上一节中，我们已经认识了很多数。回想一下，到目前为止，我们认识了哪些数？" 学生可能零散地答出"1、2、3""0""小数""分数""负数"等。 教师追问："这些数这么多，能不能像整理图书、整理文具那样，给它们分分类、理一理呢？" 教师顺势板书课题，揭示：今天我们把学过的数系统地分类，认识一类新的数——有理数。 1.独立思考，回顾已学过的数，七嘴八舌地补充列举； 2.思考"给数分类"的必要性，产生整理数的愿望； 3.明确本节课的学习任务。 以复习旧知唤起学生已有认知，通过"给数分类"的问题驱动，自然过渡到有理数概念的探究，体现由已知到未知。 新知探究一 【整理整数与分数】 教师引导分类："我们先从整数的角度整理。我们学过正整数，如1，2，3，…；0；负整数，如-1，-2，-3，…。" 教师板书：正整数、0、负整数统称为整数。 教师继续："我们还学过正分数，如1/2，2/3，15/7，0.1，5.32，0.3̇，…；负分数，如-5/2，-2/3，-1/7，-0.5，-150.5，…。它们都是分数。" 教师抛出关键问题（教材旁注）："事实上，有限小数和无限循环小数都可以化为分数，因此它们也可以看成分数。例如0.1=1/10，-0.5=-1/2，0.3̇=1/3。请你们举几个例子验证一下。" 学生举例后，教师进一步追问："整数能写成分数形式吗？" 教师引导：正整数2=2/1，负整数-3=-3/1，0=0/1。 教师归纳板书：整数可以写成分数的形式。 1.跟随教师，在笔记本上写出正整数、0、负整数，理解"整数"这一集合； 2.举例验证"小数可以化为分数"（如0.5=1/2、0.25=1/4）； 3.尝试把整数2、-3、0写成分数形式，体会"整数也可写成分数"这一结论； 4.小组内交流，互相补充例子。 从整数、分数两个角度整理已学的数，重点突破"小数可化为分数、整数可写成分数"这一认知难点，为有理数定义作铺垫。 新知探究二 【抽象概括 给出定义】 教师总结："既然整数可以写成分数的形式，有限小数、无限循环小数也都可以写成分数，那么我们把这些数统称为有理数。" 教师板书定义：可以写成分数形式的数称为有理数（rational number）。 教师进一步明确：可以写成正分数形式的数为正有理数，可以写成负分数形式的数为负有理数。 教师强调："这样，引入负数后，我们对数的认识就扩大到了有理数范围。" 提问："0是有理数吗？它是正有理数还是负有理数？" 引导学生明确：0=0/1，0是有理数，但0既不是正有理数，也不是负有理数。 1.认真聆听，理解"可以写成分数形式"这一本质特征； 2.思考"0是不是有理数"，回答"0=0/1，所以0是有理数，但既不是正的也不是负的"； 3.在课本上划出有理数的定义，标注关键词"可以写成分数形式"。 抓住"可以写成分数形式"这一本质特征抽象出有理数定义，通过"0"的追问巩固正有理数、负有理数的界定，突破概念难点。 新知探究三 【分类建构 结构成图】 教师组织"给数找家"活动：出示若干数卡（如15，-1/9，-5，7，0.5，-80，12，-4.2，2.3，0），请学生把它们分别放入"正有理数集合"和"负有理数集合"。 教师引导梳理分类维度： ①按符号分类：正有理数、0、负有理数； ②按整分分类：整数（正整数、0、负整数）、分数（正分数、负分数）。 教师板演有理数分类结构图（配合图片），强调分类要不重不漏。 1.参与"给数找家"活动，上台将数卡贴入对应集合圈，其余学生判断、纠错； 2.跟随教师，从"符号""整分"两个维度梳理分类结构； 3.在笔记本上画出有理数分类结构图，同桌互查是否"不重不漏"。 通过"给数找家"的活动化探究，让学生经历分类过程，建立有理数的分类体系，渗透分类讨论的数学思想，化解"分类重复或遗漏"的难点。 典例精讲 【例题示范 规范表达】 出示例1（教材P7）：指出下列各数中的正有理数、负有理数，并分别指出其中的正整数、负整数： 13，4.3，-3/8，8.5%，-30，-12%，1/9，-7.5，20，-60，1.2̇。 教师示范分析："先按符号找正有理数、负有理数，再在其中挑出整数。" 解：正有理数：13，4.3，8.5%，1/9，20，1.2̇；其中正整数有13，20。 负有理数：-3/8，-30，-12%，-7.5，-60；其中负整数有-30，-60。 教师提醒："8.5%、-12%是百分数，百分数都可以写成分数，所以是有理数。" 1.先独立完成例1，再对照教师板书订正； 2.注意百分数、小数的归属，标注易错点； 3.同桌互查"正整数、负整数"是否从正（负）有理数中挑出，避免遗漏。 以教材例1为载体，规范"指出正负有理数、再挑整数"的分类表达，巩固百分数、小数也属有理数这一易错点。 课堂练习 【分层递进 巩固深化】 教师布置分层练习： A层（基础）：把下列有理数填入相应集合：15，-1/9，-5，7，0.5，-80，12，-4.2，2.3。 B层（提高）：在-12，4/7，19%，50，-3.1̇2̇，-11，-5%，6.3，2022中，正有理数的个数为____，其中正整数的个数为____；负有理数的个数为____，其中负整数的个数为____。 C层（拓展）：请各写3个满足条件的数：（1）既是正数又是分数；（2）既是负数又是整数。 教师巡视，对B层计数题请学生说明"数个数"的方法。 1.A层学生完成基础填空，快速核对； 2.B层学生完成计数题，说出"先分正负、再分整分"的计数思路； 3.C层学生完成拓展题，写出符合条件的数并互相判断正误； 4.完成本层后再挑战下一层。 分层递进练习满足不同水平学生的需求，A层夯基、B层提能、C层拓思，实现当堂检测与差异化发展。 课堂小结 【梳理结构 自我反思】 教师引导学生回顾：①什么是有理数？②有理数可以按哪两个维度分类？③分类时要注意什么？ 教师出示有理数分类结构图，请学生对照自查。 1.用自己的语言概括有理数的定义与分类； 2.对照结构图自查"不重不漏"； 3.反思自己本节课的易错点（如小数、百分数的归属），写在笔记上。 通过结构化小结与自我反思，巩固有理数概念与分类方法，培养归纳总结能力。 作业布置 【分层作业 巩固提升】 1.教材P15练习第1、2、3题； 2.整理"有理数的分类结构图"到笔记本； 3.选做：用集合图（韦恩图）表示"整数与分数""正有理数、0、负有理数"之间的关系。 记录作业，课后独立完成；绘制有理数分类结构图。 基础作业巩固概念，结构图作业强化分类体系，选做题拓展集合语言表达。 图：有理数的分类结构 学科网（北京）股份有限公司 $