专题1.2（1） 有理数的概念、数轴、相反数（考点整理+题型归纳+探究式学习+课后检测）讲义 2026-2027学年人教版七年级数学上册

本讲义聚焦有理数的概念及分类、数轴、相反数与倒数核心知识点，从概念界定到分类标准，再到数轴三要素及应用，最后延伸至相反数性质，层层递进构建知识支架，帮助学生系统掌握基础内容。 资料通过15类题型覆盖基础与综合应用，结合探究式学习（如基准变换点定义）培养抽象能力与创新意识，数轴动点等题型发展几何直观，课后检测与复盘笔记助力学生查漏补缺，提升应用意识与推理能力。

简一数理 初中专题讲义 专题1.2（1） 有理数的概念、数轴、相反数 （新教材人教版） 知识点一：有理数的概念及分类 2 知识点二：数轴 2 知识点三：相反数&倒数 3 【题型1 有理数的定义】 4 【题型2 “0”的意义】 5 【题型3 有理数的分类】 6 【题型4 带“非”字的有理数】 8 【题型5 数轴的三要素及画法】 9 【题型6 用数轴上的点表示有理数】 11 【题型7 利用数轴比较两个有理数的大小】 13 【题型8 数轴上两点之间的距离】 15 【题型9 数轴上点的平移（动点问题）】 17 【题型10 数轴上找原点】 19 【题型11 数轴上整点覆盖问题】 21 【题型12 数轴上的规律探究】 23 【题型13 相反数的定义】 25 【题型14 化简多重符号】 27 【题型15 相反数的应用】 29 【探究式学习】 31 【课后检测】 34 【复盘笔记】 48 知识点一：有理数的概念及分类 1．有理数：整数与分数统称为有理数． 2．有理数的分类： （1）有理数按性质分类： （2）有理数按符号分类 （3）小数的分类 【注】注意以下几个概念的区分： 非负数：正数和零；非正数：负数和零； 非负整数：正整数和零；非正整数：负整数和零； 非负有理数：正有理数和零；非正有理数：负有理数和零． 知识点二：数轴 1．数轴：数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线． 【注】原点、正方向和单位长度称为数轴的三要素； ①原点：表示数0的点； ②正方向：数字从小到大排列的方向，一般规定向右为正方向； ③单位长度：人为规定的代表“1”的线段的长度. 2．数轴的画法 （1）画一条水平直线； （2）在这条直线上取一点作为原点； （3）一般用箭头表示正方向； （4）选取适当的长度为单位长度，用细短线画出刻度，并将数字对应标在数轴下方． 【例】一个标准的数轴： 【注】画数轴的常见错误： ①三要素缺失：没有原点、正方向箭头或者单位长度刻度； ②单位长度不统一：相邻两个刻度之间间距不一样； ③方向不统一：数字增大的方向不是正方向，或者数字排列混乱． 一些错误的数轴示例： 错误类型 错误示例 三要素缺失 单位长度不统一 方向不统一 3．数轴与有理数的关系 ①任何一个有理数均可用数轴上的一个点来表示； 但数轴上的点不一定代表有理数，比如． ②数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大； ③数轴直观地说明了，正数大于零，负数小于零，正数大于负数． 4．数轴与数学思想 ①数形结合思想：数轴形象地反映了数和点之间的对应关系； ②分类讨论思想：数轴表现了有理数的一种分类方法，即分成正数、负数和零． 知识点三：相反数&倒数 1．相反数：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数．特别地，0的相反数是0． 【例】与互为相反数；是的相反数； 【注】相反数必须成对出现，单独一个数不能说是相反数.“是相反数”是错误的. 2．相反数的性质： （1）代数性质：若a与b互为相反数，则；反之，若，则a与b互为相反数． （2）几何性质：一对相反数在数轴上对应的点分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等，即这两点是关于原点对称的． 3．倒数：乘积为的两个有理数互为倒数． 【例】2与，与，与． 4．负倒数：乘积为的两个有理数互为负倒数． 【例】2与，与，与． 【注】①0没有倒数，也没有负倒数； ②倒数是它的本身的数1或． 【题型1 有理数的定义】 【例1】对于数“”下列说法错误的是（   ） A．是负有理数 B．是负整数 C．可以看作负分数 D．其倒数也是负有理数 【变式1-1】下列说法中：是最小的整数；有理数不是正数就是负数；非负数就是正数；不是有理数．其中错误的说法个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式1-2】下列说法：①既是负数、分数，也是有理数；②正整数和负整数统称为整数；③0是非正数；④既是负数，也是整数，但不是有理数；⑤自然数是整数，其中正确的个数有几个（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式1-3】下列实数，π，，，（每两个0之间依次多一个1）中，有理数个数有（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【题型2 “0”的意义】 【例2】，，，，，这些数中，______是正数，______是负数，______既不是正数，也不是负数． 【变式2-1】在、、、0、、、9中，正数有( )，负数有( )，( )既不是正数也不是负数． 【变式2-2】表示没有温度．( ) 【变式2-3】下列说法正确的是（    ） A．0是正数 B．0是负数 C．0既不是正数也不是负数 D．0既是正数也是负数 【题型3 有理数的分类】 【例3】已知都是整数，则和中（    ） A．必定都是整数 B．必定有两个是整数 C．必定有一个是整数 D．可能都不是整数 【变式3-1】若为整数，则整数可取的值有（    ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式3-2】下列叙述正确的是（    ） A．不是正数的数一定是负数 B．正有理数包括整数和分数 C．整数不是正整数就是负整数 D．有理数不是整数就是分数． 【变式3-3】在，，，，中是负分数的有（    ）个 A． B． C． D． 【题型4 带“非”字的有理数】 【例4】下列说法中，错误的有（    ） 是负分数；②1.5不是整数；③非负有理数不包括0；④正整数、负整数统称为有理数；⑤0是最小的有理数；⑥ 3.14不是有理数． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式4-1】下列说法：是非负整数；非正数包括和负数；非负数就是正整数和；正整数、正分数和都属于非负有理数．其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】下列说法：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数；④正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中正确的结论有（    ）个 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式4-3】有下列说法，正确的个数是（   ）个 ①0是最小的整数；②一个有理数不是正数就是负数 ；③若是正数，则是负数； ④自然数一定是正数；⑤一个整数不是正整数就是负整数；⑥非负数就是指正数． A．0 B．1 C．2 D．3 【题型5 数轴的三要素及画法】 【例5】下列说法正确的是（   ） A．有理数包括正有理数和负有理数 B．和正整数称为非负数 C．除外，所有的有理数都有倒数 D．规定了原点、单位长度和正方向的射线叫做数轴 【变式5-1】关于数轴下列说法最准确的是(     ) A．一条直线 B．有原点、正方向的一条直线 C．有单位长度的一条直线 D．规定了原点、正方向和单位长度的直线 【变式5-2】下列各图中，是数轴的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】已知小红、小刚，小明、小颖四人自南向北依次站在同一直线上，如果把直线看作数轴，四人所在的位置如图所示，则下列描述不正确的是（    ）      A．数轴是以小明所在的位置为原点 B．数轴采用向北为正方向 C．小刚所在的位置对应的数有可能是 D．小颖和小红间的距离为7 【题型6 用数轴上的点表示有理数】 【例6】如图1，点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现点对应刻度，点对齐刻度．则数轴上点所对应的数为(   ) A． B． C． D．1.8 【变式6-1】等边三角形在数轴上的位置如图所示，点A和点C表示的数分别为0和．若等边三角形绕右下角的顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B落在数轴上，此时点 B 表示的数为1，则翻转2026次后，点B落在数轴上，此时点B表示的数为（    ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 【变式6-2】若点A表示的数为a，点B表示的数为b，且，则下列各式成立的是（   ） ①；②；③ A．只有① B．只有② C．①和② D．②和③ 【变式6-3】如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示1的点重合，将该圆沿数轴滚动1周，点A到达点的位置，则点表示的数是（    ） A． B． C． D．或 【题型7 利用数轴比较两个有理数的大小】 【例7】有理数，在数轴上表示的点如图所示，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】如图，A、B两点在数轴上的数分别是a、b，则下列说法：①，；②A，B之间的非负整数有1，2；③；④．其中正确的有（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．③④ 【变式7-2】如图所示，表示数m、的点在数轴上，则将m、n、0、、从小到大排列正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】如果，那么在数轴上对数、、位置的确定，正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型8 数轴上两点之间的距离】 【例8】如图所示，数轴上，两点的距离为12，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，…（，是整数）处，问经过这样2026次跳动后的点与的中点的距离是（） A． B． C． D． 【变式8-1】如图，一条数轴上有点、、，其中点、表示的数分别是，10，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在射线上且到点的距离为6，则点表示的数是（　　） A．1 B．1或 C．1或 D．1或 【变式8-2】如图，点B，C，A是数轴上从左到右排列的三个点，其中B和C互为相反数，小明同学用尺子测得点A和点C之间的距离为，点A和点B之间的距离为，则数轴上将点C所对应的数精确到十分位约为（    ） A．0.75 B．0.7 C．0.8 D．0.5 【变式8-3】如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点与数轴上表示的点重合，将该圆沿数轴滚动1周，点到达点的位置，则点表示的数是（    ） A． B． C． D．或 【题型9 数轴上点的平移（动点问题）】 【例9】如图，数轴上点对应的数为5，点对应的数为，点、分别从原点、同时出发，分别以、的速度沿数轴负方向运动（在、之间，在、之间），运动时间为，点为、之间一点，且，若、运动过程中的值固定不变，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】一只小虫在数轴上从A点出发，第1次向正方向爬行1个单位长度，第2次向负方向爬行2个单位长度，第3次又向正方向爬行3个单位长度，…，按上述规律，它第2025次刚好爬到数轴上的原点处，小虫的起始位置A点所表示的数是（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】小花在做题时，画了一条数轴（向右为正方向），数轴上原有一点，其表示的数是．由于粗心，小花把数轴的原点标错了位置，使得点正好落在的相反数的位置，要想把数轴画正确，原点应（   ） A．向右移动2个单位长度 B．向左移动2个单位长度 C．向右移动4个单位长度 D．向左移动4个单位长度 【变式9-3】对数轴上的点进行如下操作：先把点表示的数乘，再把所得数对应的点向右平移1个单位长度，得到点的对应点．已知点经过上述操作后得到的对应点与点重合，则点表示的数是（   ） A． B．3 C． D． 【题型10 数轴上找原点】 【例10】如图，数轴上的点，表示的数分别是、．如果，且，那么该数轴的原点的位置应该在（   ） A．点的左侧 B．点的右侧 C．点与点之间且靠近点 D．点与点之间且靠近点 【变式10-1】如图，若，则该数轴的原点可能为（　　） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【变式10-2】有理数a，b在一条隐藏原点的数轴上的对应点A，B的位置如图所示，且，下列推断正确的是（ ） A．原点一定在点A左侧 B．原点一定在点B右侧 C．原点一定在中点左侧 D．原点一定在中点右侧 【变式10-3】如图，数轴上的点A，B表示的数分别为a，b，点C与A，B两点的距离相等．若且，则原点的位置在（　　） A．点A左侧 B．点A与点C之间 C．点C与点B之间 D．点B右侧 【题型11 数轴上整点覆盖问题】 【例11】数轴上表示整数的点称为整数点．某数轴的单位长度为，若在这条数轴上任意画一条长的线段，则线段盖住的整数点的个数是（   ） A．2025 B．2026 C．2025或2026 D．2024或2025 【变式11-1】如图，圆的周长为4个单位长度，在圆的四等分点处依次标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴-2所对应的点重合，再让圆沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数将与圆周上的哪个数字重合（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式11-2】数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度为，若在数轴上画出一条长的线段，则盖住的整点个数是（   ） A．2025或2026 B．2024或2025 C．2025 D．2026 【变式11-3】数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是，若在这条数轴上随意画出一条长为的线段，则线段盖住的整点个数是（    ）． A．2023或2024 B．2024或2025 C．2025或2026 D．2026或2027 【题型12 数轴上的规律探究】 【例12】已知点A在数轴上表示的数为1，点M从A出发，第一次向右移动1个单位长度，第二次向左移动2个单位长度，第三次向右移动3个单位长度，第四次向左移动4个单位长度……按照这样的移动规律，点M移动到2025次后所在点表示的数为（    ） A． B．1012 C． D．1014 【变式12-1】正六边形在数轴上的位置如图所示，点和对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点逆时针方向在数轴上向左连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为．按此规律继续翻转下去，数轴上所对应的顶点是（    ）    A．A B．B C．C D．D 【变式12-2】如图，圆的周长为4个单位长，数轴每个数字之间的距离为1个单位，在圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆向左滚动（如圆周上表示数字3的点与数轴上表示的点重合…），则数轴上表示的点与圆周上表示数字的点重合的是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式12-3】正方形在数轴上的位置如图所示，点A，B对应的数分别为和0．若正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点C所对应的数为1；翻转2次后，点D所对应的数为2；翻转3次后，点A所对应的数为3；翻转4次后，点B所对应的数为4……则连续翻转2025次后，数轴上数2025所对应的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【题型13 相反数的定义】 【例13】如图是一个正方体纸盒的展开图，若在其中的三个正方形A，B，C内分别填入适当的数，使折成的正方体相对面上的两个数均互为相反数，则填入正方形A，B，C的三个数依次是（   ） A．3，， B．，，3 C．，，3 D．，3， 【变式13-1】如图是一个正方体的平面展开图，若将展开图折叠成正方体后，相对面上所标的两个数互为相反数，则的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【变式13-2】有一列数，将这列数中的每个数求其相反数得到，再分别求与1的和的倒数，得到，设为，称这为一次操作；第二次操作是将再进行上述操作，得到；第三次将重复上述操作，得到依此类推，则（      ） A． B．1 C． D． 【变式13-3】下列说法：① 是一个单项式；②两个数互为倒数，则它们的乘积为1；③若a，b互为相反数，则 ④若，则．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型14 化简多重符号】 【例14】下列各式中，值相等的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式14-1】下列各对数中，相等的一对是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式14-2】在，，中负数有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式14-3】下列各式中结果为负数的是（   ） A． B． C． D． 【题型15 相反数的应用】 【例15】如图，数轴上有四点，每两点之间的距离均为1，对应的数分别为，且．若数对应的点在之间（不与重合），则对应的点在（    ） A．两点之间 B．两点之间 C．P，两点之间 D．点右侧 【变式15-1】的值是（   ） A． B． C． D． 【变式15-2】若与互为相反数，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式15-3】m和n互为相反数，p和q互为倒数，是最大的负整数，则的值为（    ） A． B． C．0 D．2023 【探究式学习】 1．【定义新知】 在数轴上，如果把表示数1的点称为基准点，记作点．对于两个不同的点和，若点、到点的距离相等，则称点与点互为基准变换点．如图，点表示数，点表示数3，它们与表示数1的点的距离都是2个单位长度，则点与点互为基准变换点． 【初步探究】 （1）若点表示数，点表示数，且点与点互为基准变换点．利用上述规定解决下列问题； ①当时，_____，当时，______． ②利用①中的结论，探索与之间的数量关系，并用含的式子表示； ③当时，求的值； 【拓展提升】 （2）若点表示的数为，对点进行如下操作：先把点表示的数乘以3，再把所得的数在数轴上对应的点沿数轴向左移动4个单位长度得到点，且数轴上的点与点互为基准变换点，用含的代数式表示点与点之间的距离． 2．综合与探究 【问题情境】 数学活动课上，老师展示了一个问题：如图，已知数轴上点O为原点，A、B两点所表示的数分别为和8． 【实践探究】 (1)线段的长为______； (2)动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒． ①当时，请用含t的代数式表示点表示的数，以及线段、的长； ②若点是线段的中点，点是线段的中点，说明线段的长度与点的运动时间无关． 3．【问题情境】一个点从数轴上的原点开始，先向左移动个单位长度到达点，再向右移动个单位长度到达点，然后再向右移动个单位长度到达点． 【问题初探】 (1)请在图中表示出，，三点的位置； (2)点到点的距离______，点到点的距离______； (3)【深入探究】 若点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时点，从点，点分别以每秒个单位长度、每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．设运动时间为秒．在运动的过程中，的值是否随着时间的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，请求其值． 【课后检测】 1．下面对生活中数据的估计，最合适的是（   ） A．一瓶矿泉水约为500毫升 B．七年级学生1000米跑合格成绩为60秒 C．一张数学试卷的面积约为20平方米 D．一本七年级数学教科书的质量约为15克 2．下列各数：，，，，0，，，11，，其中负分数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．在，，，，3.8，中，负分数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．下列四个数中，为负整数是（     ） A． B． C． D． 5．如图，等边三角形的周长为3个单位长度，三个顶点分别标上A、B、C，先将三角形如图位置摆放，将三角形沿着数轴向右翻滚，在翻滚过程中，下列数轴上的哪个数能与三角形上的重合（　　） A．2018 B．2019 C．2020 D．2021 6．点（为正整数）都在数轴上，点在原点的左边，且；点在原点的右边，且；点在原点的左边，且；点在原点的右边，且；…．依照上述规律，点，所表示的数分别为（    ） A．2012， B．，2013 C．1006， D．1006， 7．如图，在平面内，一只电子蚂蚁从数轴上原点O出发，按竖直向上、水平向右、竖直向下、水平向右的方向依次移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第1次移动到，第2次移动到，第3次移动到，…，第n次移动到，则三角形的面积是（   ）． A．514 B． C． D．1011 8．下列说法：①若、互为相反数，则；②是二次三项式；③立方等于本身的数为0和1；④若为正整数，则．其中正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 9．若代数式与互为相反数，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．如图，点为原点，、为数轴上两点，，且，点从点开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点开始运动时，点、分别以每秒5个单位和每秒2个单位的速度同时向右运动，设运动时间为秒，若的值在某段时间内不随着的变化而变化，则的值为（   ） A．5或7 B．3或5或7 C．3或5 D．3或7 11．数轴上点A表示的数为，点B到点A的距离为5，点C到点B距离为2（点C不在原点上），则点C表示的数为__________． 12．数轴上点A表示的数为4，点B表示的数为，则点A与点B的距离是_____． 13．下列各数：，10，，，0，其中非正数共有_____个 14．下列各数中：26、，其中正整数有a个,有理数有个，非正数有个，则______． 15．在数轴上，点位于原点的左侧，表示数，点表示的数是1，点位于点的右侧，表示数，记．例如下图中，当，时，． 在线段上取点，其表示的数为，在线段上取点，其表示的数为． 则下列说法中，所有正确说法的序号是__________． ①； ②； ③当时，对于任意的点，总能找到点，使得； ④当时，对于任意的点，总能找到点，使得． 16．下列说法是否正确？为什么？ (1)正负号相反的两个数叫做互为相反数； (2)相反数和我们以前学过的倒数是一样的； (3)一个数的相反数的相反数等于这个数本身． 17．在1.2有理数（2）中，一只蚂蚁从数轴的原点出发，它先向右爬了4个单位长度到达点A，再向右爬了2个单位长度到达点B，然后又向左爬了10个单位长度到达点C． (1)在数轴上点A所表示的数的相反数是多少？是哪一个点？ (2)如果蚂蚁从点C出发要爬到点D，且点D和点B所表示的两数互为相反数，那么它应该往哪个方向爬几个单位长度？ (3)如果蚂蚁从点C出发要爬到点E，且点E到原点的距离为5个单位长度，那么它应该怎样爬到点E？ 18．如图所示的数轴上，每小格的宽度相等． (1)填空：数轴上点A表示的数是______，点B表示的数是______． (2)点C表示的数是，点D表示的数是，请在数轴上分别画出点C和点D的位置． (3)将A，B，C，D四个点所表示的数按从大到小的顺序排列，用“>”连接． 19．七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探索“折线数轴”：素材1如图，将一条数轴在原点，点，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示12，点表示24，点表示36，点与点在数轴上的距离为45个单位长度，并表示为． 素材2动点从点出发，以2个单位长度／秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点与点之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点与点之间时速度变为初始速度的两倍．经过点后立刻恢复初始速度． 问题解决： (1)探索1：动点从点运动至点需要多少时间？ (2)探索2：动点从点出发，运动18秒至点和点之间时，求点表示的数？ (3)探索3：动点从点出发，运动至点的过程中某个时刻满足时，求动点运动的时间． 20．如图，相距的、两地间有一条笔直的马路，地位于两地之间且距A地．小明同学骑自行车从地出发沿马路以每小时的速度向地匀速运动，到达地后以每小时的速度返回，到达A地停止运动．设运动时间为（小时），小明的位置为点．若把点记为原点，从到B为正方向，用1个单位长度表示画数轴，则请你回答下列问题： (1)指出点所表示的有理数______． (2)当时，则点表示的有理数______． (3)在小明行驶过程中，当小明距离地时，直接写出所有满足条件的值． (4)在整个运动过程中，求点P和点A的距离（用含的代数式）． 【复盘笔记】 化繁为简，一通百通 第 2 页 共 46 页 第 1 页 共 46 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 专题1.2（1） 有理数的概念、数轴、相反数 （新教材人教版） 知识点一：有理数的概念及分类 2 知识点二：数轴 2 知识点三：相反数&倒数 3 【题型1 有理数的定义】 4 【题型2 “0”的意义】 5 【题型3 有理数的分类】 6 【题型4 带“非”字的有理数】 8 【题型5 数轴的三要素及画法】 9 【题型6 用数轴上的点表示有理数】 11 【题型7 利用数轴比较两个有理数的大小】 13 【题型8 数轴上两点之间的距离】 15 【题型9 数轴上点的平移（动点问题）】 17 【题型10 数轴上找原点】 19 【题型11 数轴上整点覆盖问题】 21 【题型12 数轴上的规律探究】 23 【题型13 相反数的定义】 25 【题型14 化简多重符号】 27 【题型15 相反数的应用】 29 【探究式学习】 31 【课后检测】 34 【复盘笔记】 48 知识点一：有理数的概念及分类 1．有理数：整数与分数统称为有理数． 2．有理数的分类： （1）有理数按性质分类： （2）有理数按符号分类 （3）小数的分类 【注】注意以下几个概念的区分： 非负数：正数和零；非正数：负数和零； 非负整数：正整数和零；非正整数：负整数和零； 非负有理数：正有理数和零；非正有理数：负有理数和零． 知识点二：数轴 1．数轴：数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线． 【注】原点、正方向和单位长度称为数轴的三要素； ①原点：表示数0的点； ②正方向：数字从小到大排列的方向，一般规定向右为正方向； ③单位长度：人为规定的代表“1”的线段的长度. 2．数轴的画法 （1）画一条水平直线； （2）在这条直线上取一点作为原点； （3）一般用箭头表示正方向； （4）选取适当的长度为单位长度，用细短线画出刻度，并将数字对应标在数轴下方． 【例】一个标准的数轴： 【注】画数轴的常见错误： ①三要素缺失：没有原点、正方向箭头或者单位长度刻度； ②单位长度不统一：相邻两个刻度之间间距不一样； ③方向不统一：数字增大的方向不是正方向，或者数字排列混乱． 一些错误的数轴示例： 错误类型 错误示例 三要素缺失 单位长度不统一 方向不统一 3．数轴与有理数的关系 ①任何一个有理数均可用数轴上的一个点来表示； 但数轴上的点不一定代表有理数，比如． ②数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大； ③数轴直观地说明了，正数大于零，负数小于零，正数大于负数． 4．数轴与数学思想 ①数形结合思想：数轴形象地反映了数和点之间的对应关系； ②分类讨论思想：数轴表现了有理数的一种分类方法，即分成正数、负数和零． 知识点三：相反数&倒数 1．相反数：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数．特别地，0的相反数是0． 【例】与互为相反数；是的相反数； 【注】相反数必须成对出现，单独一个数不能说是相反数.“是相反数”是错误的. 2．相反数的性质： （1）代数性质：若a与b互为相反数，则；反之，若，则a与b互为相反数． （2）几何性质：一对相反数在数轴上对应的点分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等，即这两点是关于原点对称的． 3．倒数：乘积为的两个有理数互为倒数． 【例】2与，与，与． 4．负倒数：乘积为的两个有理数互为负倒数． 【例】2与，与，与． 【注】①0没有倒数，也没有负倒数； ②倒数是它的本身的数1或． 【题型1 有理数的定义】 【例1】对于数“”下列说法错误的是（   ） A．是负有理数 B．是负整数 C．可以看作负分数 D．其倒数也是负有理数 【答案】B 【分析】本题考查有理数的分类，根据无限循环小数的属性，判断各选项的正误即可 【详解】解：A、是无限循环小数，无限循环小数可以化为分数，是负有理数，说法正确，不符合题意； B、不是负整数，说法错误，符合题意； C、可以看作负分数，说法正确，不符合题意； D、是不为的负有理数，其倒数也是负有理数，说法正确，不符合题意； 【变式1-1】下列说法中：是最小的整数；有理数不是正数就是负数；非负数就是正数；不是有理数．其中错误的说法个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了有理数分类，非负数的概念根据有理数的定义、分类，非负数的概念，依此作出判断，即可得出答案，正确理解概念和有理数分类是解题的关键． 【详解】解：没有最小的整数，故错误； 有理数包括正有理数，和负有理数，故错误； 非负数就是正数和，故错误； 是有理数，故错误； 则错误的说法个数有个， 故选：． 【变式1-2】下列说法：①既是负数、分数，也是有理数；②正整数和负整数统称为整数；③0是非正数；④既是负数，也是整数，但不是有理数；⑤自然数是整数，其中正确的个数有几个（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的概念、正负数的意义，根据有理数的概念，正负数的意义逐项分析即可得出答案，熟练掌握相关知识点是解此题的关键． 【详解】解：：①既是负数、分数，也是有理数，原说法正确； ②正整数、零和负整数统称为整数，原说法错误； ③0是非正数，原说法正确； ④既是负数，也是整数，也是有理数，原说法错误； ⑤自然数是整数，原说法正确； 综上所述，正确的有①③⑤，共个， 故选：B． 【变式1-3】下列实数，π，，，（每两个0之间依次多一个1）中，有理数个数有（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据有理数的意义逐项判断即可．掌握整数和分数统称为有理数是解题的关键．注意π是无理数． 【详解】解：实数，π，，，（每两个0之间依次多一个1）中有理数为：、、，共3个. 故选C. 【题型2 “0”的意义】 【例2】，，，，，这些数中，______是正数，______是负数，______既不是正数，也不是负数． 【答案】 ，， ， 【分析】根据定义，大于的是正数，小于的是负数，既不是正数也不是负数，按要求对给出的数分类即可． 【详解】解：逐个判断各数与的大小关系，大于的数是正数，可得，，是正数； 小于的数是负数，可得，是负数； 既不是正数，也不是负数． 【变式2-1】在、、、0、、、9中，正数有( )，负数有( )，( )既不是正数也不是负数． 【答案】 、、9 、、 0 【分析】根据正数大于0，负数小于0，0既不是正数也不是负数求解即可，学生容易遗漏“0”或把0归入某一类． 【详解】解：正数有、、9，负数有、、；0既不是正数也不是负数． 【变式2-2】表示没有温度．( ) 【答案】× 【详解】是冰水混合物的温度，是温度计上的一个刻度值，不是“没有温度”． 【变式2-3】下列说法正确的是（    ） A．0是正数 B．0是负数 C．0既不是正数也不是负数 D．0既是正数也是负数 【答案】C 【分析】本题考查正负数的基本概念，的意义，根据正负数的定义，0既不是正数也不是负数. 【详解】解：∵正数是大于0的数，负数是小于0的数，而0既不是正数也不是负数， ∴选项C正确. 故选：C． 【题型3 有理数的分类】 【例3】已知都是整数，则和中（    ） A．必定都是整数 B．必定有两个是整数 C．必定有一个是整数 D．可能都不是整数 【答案】C 【分析】本题考查了有理数分类中整数的奇偶性问题，分三种情况讨论：①假设都是偶数或都是奇数，②假设其中有两个是偶数，一个是奇数，③假设有两个奇数，一个偶数，即可得出答案． 【详解】解：假设都是偶数或都是奇数，则和都是偶数，那么和都是整数， 假设其中有两个是偶数，一个是奇数，那么和有一个是整数， 假设有两个奇数，一个偶数，那么和有一个是整数， 综上所述：和必定有一个是整数， 故选：C． 【变式3-1】若为整数，则整数可取的值有（    ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了整数的定义，理解整数的定义是解题的关键． 分别用列举法确定为整数的的值，然后取公共部分即可解答． 【详解】解：∵为整数时， ∴可取； ∵为整数时， ∴可取， ∴当为整数时，可取值为共两个． 故选C． 【变式3-2】下列叙述正确的是（    ） A．不是正数的数一定是负数 B．正有理数包括整数和分数 C．整数不是正整数就是负整数 D．有理数不是整数就是分数． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的分类、整数．根据有理数的分类和整数逐项判断即可得． 【详解】解：A、不是正数的数可能是负数，也可能是0，则此项错误，不符合题意； B、正有理数包括正整数和正分数，则此项错误，不符合题意； C、整数包含正整数、0和负整数，则此项错误，不符合题意； D、有理数不是整数就是分数，则此项正确，符合题意； 故选：D． 【变式3-3】在，，，，中是负分数的有（    ）个 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据负分数的定义进行判断即可求解． 【详解】解：在，，，，中是负分数的有：，，一共有两个， 故选：． 【点睛】本题考查了有理数的分类和定义，熟练掌握正数和分数统称为有理数，有理数的分类可以按整数、分数的关系分类，按正数、负数与的关系分类是解答本题的关键． 【题型4 带“非”字的有理数】 【例4】下列说法中，错误的有（    ） 是负分数；②1.5不是整数；③非负有理数不包括0；④正整数、负整数统称为有理数；⑤0是最小的有理数；⑥ 3.14不是有理数． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】本题考查有理数的基本概念，包括负分数、整数、非负有理数、有理数的定义以及有理数的大小．根据定义逐一判断各说法的正误． 【详解】解：① 是负分数，正确； ② 不是整数，正确； ③ 非负有理数包括，故原说法错误； ④ 有理数是整数和分数的统称，而整数包括正整数、负整数和，故原说法错误； ⑤ 没有最小的有理数，故原说法错误； ⑥ 是有限小数，是有理数，故原说法错误． ∴ 错误的有③、④、⑤、⑥，共个； 故选B 【变式4-1】下列说法：是非负整数；非正数包括和负数；非负数就是正整数和；正整数、正分数和都属于非负有理数．其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了非负整数、非正数、非负数以及非负有理数的概念，掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据非负整数、非正数、非负数以及非负有理数的概念逐个判断即可解答． 【详解】解：是负整数，错误； 非正数包括和负数，正确； 非负数就是正数和，错误； 正整数、正分数和都属于非负有理数，正确； 其中正确的个数是个， 故选：C． 【变式4-2】下列说法：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数；④正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中正确的结论有（    ）个 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据整数、有理数、非负数的定义逐一判断各说法正误，统计正确结论个数即可． 【详解】解：①整数包含负整数、0、正整数，所有负整数都小于0，原说法错误； ②有理数分为正有理数、0、负有理数，原说法错误； ③非负数就是正数和0，原说法错误； ④正数中没有最小的数，负数中没有最大的数，正确． 综上，正确的结论共有1个． 【变式4-3】有下列说法，正确的个数是（   ）个 ①0是最小的整数；②一个有理数不是正数就是负数 ；③若是正数，则是负数； ④自然数一定是正数；⑤一个整数不是正整数就是负整数；⑥非负数就是指正数． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了整数“整数包括正整数、0和负整数”、有理数的分类“有理数可分为正有理数、0和负有理数”、正数与负数，熟练掌握有理数的分类是解题关键．根据整数、有理数的分类、正数与负数逐个判断即可得． 【详解】解：①0不是最小的整数，如负整数，则原说法错误； ②有理数0既不是正数也不是负数，则原说法错误； ③若是正数，则是负数，则原说法正确； ④自然数0不是正数，则原说法错误； ⑤整数0既不是正整数也不是负整数，则原说法错误； ⑥非负数就是指不是负数，即正数和0，则原说法错误； 综上，正确的个数是1个, 故选：B． 【题型5 数轴的三要素及画法】 【例5】下列说法正确的是（   ） A．有理数包括正有理数和负有理数 B．和正整数称为非负数 C．除外，所有的有理数都有倒数 D．规定了原点、单位长度和正方向的射线叫做数轴 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的分类，倒数，数轴，熟练掌握各个知识点是解题的关键．根据有理数的分类，倒数，数轴相关概念逐一判断即可． 【详解】解：、有理数包括正有理数，和负有理数，原选项说法错误，不符合题意； 、和正数称为非负数，原选项说法错误，不符合题意； 、除外，所有的有理数都有倒数，原选项说法正确，符合题意； 、规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴，原选项说法错误，不符合题意； 故选：． 【变式5-1】关于数轴下列说法最准确的是(     ) A．一条直线 B．有原点、正方向的一条直线 C．有单位长度的一条直线 D．规定了原点、正方向和单位长度的直线 【答案】D 【详解】数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线．故可知：D正确. 故选D. 【变式5-2】下列各图中，是数轴的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴的三要素（原点、正方向、单位长度），解题的关键是依据三要素逐一验证选项是否符合数轴的定义． 明确数轴的三要素，依次检查各选项是否包含原点、正方向且单位长度均匀，从而选出符合数轴定义的选项． 【详解】解：选项A：缺少正方向（无箭头），不是数轴； 选项B：单位长度不均匀（“”到“0”的距离与“0”到“1”的距离不一致），不是数轴； 选项C：缺少原点（没有标注“0”），不是数轴； 选项D：包含原点（0）、正方向（右箭头）、单位长度均匀，符合数轴的定义． 故选D 【变式5-3】已知小红、小刚，小明、小颖四人自南向北依次站在同一直线上，如果把直线看作数轴，四人所在的位置如图所示，则下列描述不正确的是（    ）      A．数轴是以小明所在的位置为原点 B．数轴采用向北为正方向 C．小刚所在的位置对应的数有可能是 D．小颖和小红间的距离为7 【答案】C 【分析】根据数轴的定义：包含原点、单位长度、正方向的直线叫做数轴，有理数的大小比较，数轴上两点之间距离：右边点表示的数减去左边点表示的数，即可判断． 【详解】解：A.小明所在的位置表示数，故此项结论正确； B.四人自南向北，且由南向北表示的数越来越大，所以向北为正方向，故此项结论正确； C.小刚所在的之位置对应的数在与之间，而在与之间，故此项结论错误； D.小颖和小红间的距离为，故此项结论正确； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了数轴的定义，在数轴上比较两数大小，数轴上两点之间的距离，理解定义，能根据图形提供的信息解题是解题的关键． 【题型6 用数轴上的点表示有理数】 【例6】如图1，点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现点对应刻度，点对齐刻度．则数轴上点所对应的数为(   ) A． B． C． D．1.8 【答案】A 【分析】本题考查了数轴，根据刻度尺上的刻度与数轴上得单位长度的比值不变求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 【变式6-1】等边三角形在数轴上的位置如图所示，点A和点C表示的数分别为0和．若等边三角形绕右下角的顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B落在数轴上，此时点 B 表示的数为1，则翻转2026次后，点B落在数轴上，此时点B表示的数为（    ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 【答案】B 【分析】本题考查了图形的规律型问题，依据题意，正确归纳出一般规律是解题关键．先求出翻转6次，点B所对应的数分别是多少，再归纳总结出一般规律，由此即可得出答案． 【详解】解：由题意，翻转1次后，点B所对应的数为1； 翻转2次后，点B所对应的数为1； 翻转3次后，点B位于数轴的上方； 翻转4次后，点B所对应的数为4； 翻转5次后，点B所对应的数为4； 翻转6次后，点B位于数轴的上方； 归纳类推得：翻转以3次为一个循环，每一个循环对应数依次增加3，且第一次和第二次、第四次和第五次、第七次和第八次、对应数值相等，都为循环， ， 则翻转2025次后，点B所对应的数是， 故选：B． 【变式6-2】若点A表示的数为a，点B表示的数为b，且，则下列各式成立的是（   ） ①；②；③ A．只有① B．只有② C．①和② D．②和③ 【答案】D 【分析】本题考查了数轴、有理数的乘方，熟练掌握数轴的性质是解题关键．先根据数轴的性质可得，，再据此逐个判断即可得． 【详解】解：由数轴可知，， ∵， ∴， ∴， ∴，， 综上，①不成立，②和③成立， 故选：D． 【变式6-3】如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示1的点重合，将该圆沿数轴滚动1周，点A到达点的位置，则点表示的数是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了数轴及点的表示，圆的周长的计算，解题的关键是掌握数轴知识，易错点在于忽略题干未曾提到是往前还是往后滚动，所以要考虑两种情况，先求出圆的周长，往前就是周长，往后就是 周长． 【详解】解：圆滚动一周，走过的路径为圆的周长 圆的直径，即， ∵圆从点出发， ∴根据题意可得点表示的数是或， 故选． 【题型7 利用数轴比较两个有理数的大小】 【例7】有理数，在数轴上表示的点如图所示，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了通过数轴比较有理数大小，根据数轴可知，所以在原点右侧，由，则，从而可得，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵在原点的左侧， ∴， ∴在原点右侧， ∵， ∴， ∴，即， 故选：． 【变式7-1】如图，A、B两点在数轴上的数分别是a、b，则下列说法：①，；②A，B之间的非负整数有1，2；③；④．其中正确的有（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．③④ 【答案】B 【分析】本题考查用数轴表示有理数，根据点在数轴上的位置，判断数的大小关系，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图可知：，，故①正确； ∴A，B之间的非负整数有0，1，2，故②错误； ，故③正确； ，故④正确； 故选B． 【变式7-2】如图所示，表示数m、的点在数轴上，则将m、n、0、、从小到大排列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，掌握利用数轴比较有理数的大小的方法是解题的关键．先用数轴上的点表示出和n，再根据数轴左边点表示的数总小于右边点表示的数，求解即可． 【详解】解：将n，用数轴 上的点表示如图所示， ∴． 故选：D． 【变式7-3】如果，那么在数轴上对数、、位置的确定，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用字母表示数及数轴，找到各数及乘积的范围是关键，根据字母在数轴上的位置判断乘积的大小后逐项判断即可． 【详解】解：A．，所以要小于中的任何一个数，则，故选项错误，不符合题意； B．，所以要小于中的任何一个数，则成立，故选项正确，符合题意； C．，所以大于a，且小于b，则不成立，故选项错误，不符合题意； D．，所以大于a，且小于b，则不成立，故选项错误，不符合题意． 故选：B． 【题型8 数轴上两点之间的距离】 【例8】如图所示，数轴上，两点的距离为12，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，…（，是整数）处，问经过这样2026次跳动后的点与的中点的距离是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴上的中点规律与有理数的乘方运算，熟练掌握“每次跳动后点到原点的距离为”的规律是解题的关键． 先根据每次跳动的中点规律，确定第次跳动后点到的距离，再分别求出2026次跳动后点的位置和的中点的位置，进而计算它们的中点距离． 【详解】解：∵，第1次跳到中点，∴； ∵第2次跳到中点，∴； ∵第3次跳到中点，∴； …… ∴第次跳动后，． ∵2026次跳动后，点到的距离为； ∵，，； ∴点到的中点的距离为； ∴经过这样2026次跳动后的点与的中点的距离为． 故选：D． 【变式8-1】如图，一条数轴上有点、、，其中点、表示的数分别是，10，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在射线上且到点的距离为6，则点表示的数是（　　） A．1 B．1或 C．1或 D．1或 【答案】B 【分析】本题主要考查的数轴上两点之间的距离，根据折叠分类讨论，当点A落在4和16对应的点时，结合数轴上两点之间的距离即可求解． 【详解】解：，， 当点A落在数4对应的点时，则点C表示的数为：； 当点A落在数16对应的点时，则点C表示的数为：， 综上所述，点C表示的数是1或． 故选：B． 【变式8-2】如图，点B，C，A是数轴上从左到右排列的三个点，其中B和C互为相反数，小明同学用尺子测得点A和点C之间的距离为，点A和点B之间的距离为，则数轴上将点C所对应的数精确到十分位约为（    ） A．0.75 B．0.7 C．0.8 D．0.5 【答案】C 【分析】本题主要考查数轴上点之间的距离．设点C所表示的数为，点B所表示的数为，根据两点间距离公式列式得到，据此求解即可． 【详解】解：设点C所表示的数为， ∵B和C互为相反数， ∴点B所表示的数为， 由题意得， 解得， ∴点C所表示的数为． 故选：C． 【变式8-3】如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点与数轴上表示的点重合，将该圆沿数轴滚动1周，点到达点的位置，则点表示的数是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查数轴上两点间的距离、点所对应的数等知识点，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间距离是两数之差的绝对值是解题的关键． 根据圆的周长公式得到圆滚动的长度，分两种情况结合数轴上两点间距离即可解答． 【详解】解：由题意可得，点A滚动长度为：， ∴往右滚动1周对应的数为：，往左滚动1周对应的数为：， ∴点表示的数是：或． 故选D． 【题型9 数轴上点的平移（动点问题）】 【例9】如图，数轴上点对应的数为5，点对应的数为，点、分别从原点、同时出发，分别以、的速度沿数轴负方向运动（在、之间，在、之间），运动时间为，点为、之间一点，且，若、运动过程中的值固定不变，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，利用数形结合的思想解决问题是关键．由题意可知，，，，得到，从而得出，则，再结合的值固定不变，得到，即可求解． 【详解】解：由题意可知，，，， ，， ， ， ， ， 、运动过程中的值固定不变， ， ， ， 故选：C 【变式9-1】一只小虫在数轴上从A点出发，第1次向正方向爬行1个单位长度，第2次向负方向爬行2个单位长度，第3次又向正方向爬行3个单位长度，…，按上述规律，它第2025次刚好爬到数轴上的原点处，小虫的起始位置A点所表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数轴及计算的规律，能根据小虫的爬行方式得出第2025次爬行后点所对应数的表达式是解题的关键． 【详解】解：设点所表示的数为， 则第1次爬行后，点所表示的数为：； 第2次爬行后，点所表示的数为：； 第3次爬行后，点所表示的数为：； 第4次爬行后，点所表示的数为：； ， 所以第(为奇数)次爬行后，点所表示的数为：； 当时，， 解得． 所以小虫爬行的起始位置点所表示的数是． 故选：B． 【变式9-2】小花在做题时，画了一条数轴（向右为正方向），数轴上原有一点，其表示的数是．由于粗心，小花把数轴的原点标错了位置，使得点正好落在的相反数的位置，要想把数轴画正确，原点应（   ） A．向右移动2个单位长度 B．向左移动2个单位长度 C．向右移动4个单位长度 D．向左移动4个单位长度 【答案】C 【分析】本题考查了对数轴概念的理解，掌握数轴的概念是解题的关键． 原有点的正确坐标为，但标错原点后点落在的相反数的位置即处，则点错误位置与正确位置相差个单位长度；点的坐标从变为，说明错误的原点相对于正确原点的位置向左移动了个单位长度，进而得到答案． 【详解】解：点原本表示的数为，现在却落在的相反数即处， 这两个位置之间的距离为个单位长度． 即点错误位置与正确位置相差个单位长度． 由于是数轴的原点标错了位置才导致点位置错误，而点的坐标从变为，说明错误的原点相对于正确原点的位置向左移动了个单位长度， 所以要想把数轴画正确，原点应向右移动个单位长度． 故选：C． 【变式9-3】对数轴上的点进行如下操作：先把点表示的数乘，再把所得数对应的点向右平移1个单位长度，得到点的对应点．已知点经过上述操作后得到的对应点与点重合，则点表示的数是（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】该题主要考查了数轴和一元一次方程，解题的关键是理解题意． 设点表示的数为，根据点表示的数乘，再把所得数对应的点向右平移1个单位长度，得到对应点与点重合，列式计算即可． 【详解】解：设点表示的数为， 则， 解得：． 故选：C． 【题型10 数轴上找原点】 【例10】如图，数轴上的点，表示的数分别是、．如果，且，那么该数轴的原点的位置应该在（   ） A．点的左侧 B．点的右侧 C．点与点之间且靠近点 D．点与点之间且靠近点 【答案】D 【分析】本题考查了数轴的性质、有理数的加法与乘法法则，熟练掌握数轴的性质是解题关键．先根据有理数乘法法则和数轴的性质可得，从而可得该数轴的原点在点与点之间，再根据有理数的加法法则可得该数轴的原点靠近点，由此即可得． 【详解】解：∵在数轴上，点在点的左侧，且， ∴， ∴该数轴的原点在点与点之间， 又∵， ∴该数轴的原点靠近点， 综上，该数轴的原点的位置应该在点与点之间且靠近点， 故选：D． 【变式10-1】如图，若，则该数轴的原点可能为（　　） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】A 【分析】本题考查数轴上的点的特征，熟悉相关性质是解题的关键．根据数轴上点的位置和有理数加法的性质，即可判断原点可能的位置． 【详解】解：若A点为原点，则，，，故符合题意； 若B点为原点，则，，无法判断，故不符合题意； 若C点为原点，则，，，故不符合题意； 若D点为原点，则，，，故不符合题意； 故选：A． 【变式10-2】有理数a，b在一条隐藏原点的数轴上的对应点A，B的位置如图所示，且，下列推断正确的是（ ） A．原点一定在点A左侧 B．原点一定在点B右侧 C．原点一定在中点左侧 D．原点一定在中点右侧 【答案】C 【分析】本题考查了有理数与数轴，根据越在数轴的右边的数越大，运用，得，则原点一定在中点左侧，即可作答． 【详解】解：∵，且从数轴得， ∴，， ∴原点一定在中点左侧， 故选：C． 【变式10-3】如图，数轴上的点A，B表示的数分别为a，b，点C与A，B两点的距离相等．若且，则原点的位置在（　　） A．点A左侧 B．点A与点C之间 C．点C与点B之间 D．点B右侧 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，解决本题的关键是确定题中三个数的正负． 根据数轴上点的与原点的距离即可求解． 【详解】解：由题意可知：． 因为且， 所以，，， 即原点的位置在点A与点B之间且更靠近点B， 则原点的位置在点C与点B之间． 故选：C． 【题型11 数轴上整点覆盖问题】 【例11】数轴上表示整数的点称为整数点．某数轴的单位长度为，若在这条数轴上任意画一条长的线段，则线段盖住的整数点的个数是（   ） A．2025 B．2026 C．2025或2026 D．2024或2025 【答案】C 【分析】考虑线段起点是否在整点上，分两种情况讨论：①起点在整点时；②起点不在整点时. 【详解】解：、 起点在整数点： 若线段的起点恰好位于某个整数点（如处）， 则线段每延伸会覆盖下一个整数点. 长度为时，终点为处， 覆盖的整数点包括起点到终点共个. 、起点不在整数点： 若线段起点在两个整数点之间（如处）， 则终点为处， 此时覆盖的整数点从到，共个. 综上，线段盖住的整数点个数为或. 故选：. 【变式11-1】如图，圆的周长为4个单位长度，在圆的四等分点处依次标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴-2所对应的点重合，再让圆沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数将与圆周上的哪个数字重合（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】此题综合考查了数轴、循环的有关知识，关键是把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来． 圆在旋转的过程中，圆上的四个数，每旋转一周即循环一次，则根据规律即可解答． 【详解】解：圆在旋转的过程中，圆上的四个数，每旋转一周即循环一次， 则与圆周上的0重合的数是，，…，即， 同理与3重合的数是：， 与2重合的数是， 与1重合的数是，其中n是正整数． 而， ∴数轴上的数将与圆周上的数字2重合． 故选：C． 【变式11-2】数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度为，若在数轴上画出一条长的线段，则盖住的整点个数是（   ） A．2025或2026 B．2024或2025 C．2025 D．2026 【答案】A 【分析】考虑线段起点是否在整点上，分两种情况讨论：①起点在整点时；②起点不在整点时． 【详解】解：、起点在整数点： 若线段的起点恰好位于某个整点（如处）， 则线段每延伸会覆盖下一个整点. 长度为时，终点为处， 覆盖的整点包括起点到终点共个； 、起点不在整点： 若线段起点在两个整点之间（如处）， 则终点为处， 此时覆盖的整点从到，共个； 综上，线段盖住的整点个数为或． 故选：A． 【变式11-3】数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是，若在这条数轴上随意画出一条长为的线段，则线段盖住的整点个数是（    ）． A．2023或2024 B．2024或2025 C．2025或2026 D．2026或2027 【答案】C 【分析】本题主要考查了在数轴上表示有理数，分两种情况：当线段起点在整点时覆盖2026个数，当线段起点不在整点时覆盖2025个点，可得答案． 【详解】解：当线段的起点在整点时盖住个整点； 当线段的起点不在整点时盖住个整点， 所以答案为或． 故选：C． 【题型12 数轴上的规律探究】 【例12】已知点A在数轴上表示的数为1，点M从A出发，第一次向右移动1个单位长度，第二次向左移动2个单位长度，第三次向右移动3个单位长度，第四次向左移动4个单位长度……按照这样的移动规律，点M移动到2025次后所在点表示的数为（    ） A． B．1012 C． D．1014 【答案】D 【分析】本题主要考查规律型问题，点M从数轴上1开始移动，奇数次向右移动，偶数次向左移动，移动长度等于移动次数，移动2025次（奇数次）后，净位移为向右1013个单位，因此最终位置为起点加净位移可解答． 【详解】解：∵移动次数为奇数， ∴净位移数（向右）； ∵起点为1， ∴最终位置， 故选：D． 【变式12-1】正六边形在数轴上的位置如图所示，点和对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点逆时针方向在数轴上向左连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为．按此规律继续翻转下去，数轴上所对应的顶点是（    ）    A．A B．B C．C D．D 【答案】C 【分析】本题考查数轴，掌握数轴表示数的方法以及正六边形翻滚时所对应数的变化规律是正确解答的关键． 根据翻滚规律以及各个顶点所对应的数即可得出答案． 【详解】解：根据题意得： 点所对应的数为， 点所对应的数为， 点所对应的数为， 点所对应的数为， 点所对应的数为， 点所对应的数为， ， 数轴上所对应的顶点是． 故选：C． 【变式12-2】如图，圆的周长为4个单位长，数轴每个数字之间的距离为1个单位，在圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆向左滚动（如圆周上表示数字3的点与数轴上表示的点重合…），则数轴上表示的点与圆周上表示数字的点重合的是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上的数字在圆上的循环规律，由图可知，每个数为一个循环组，依次循环，由此即可得出答案，发现循环规律，并正确计算循环后处于第几组的第几个数是解此题的关键． 【详解】解：由图可知，每个数为一个循环组，依次循环， ， ∵圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆周上第个循环组的第一个点重合，该点表示的数字为0， 故数轴上表示的点与圆周上表示数字0的点重合， 故选：A． 【变式12-3】正方形在数轴上的位置如图所示，点A，B对应的数分别为和0．若正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点C所对应的数为1；翻转2次后，点D所对应的数为2；翻转3次后，点A所对应的数为3；翻转4次后，点B所对应的数为4……则连续翻转2025次后，数轴上数2025所对应的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】C 【分析】本题主要考了数轴上的规律探索，确定出点的变化规律是解题的关键．由题意可知，翻转四次后，、、、分别对应点1、2、3、4可知其四次一循环，由此即可确定数轴上数所对应的点． 【详解】解：当正方形转翻转四次后，、、、分别对应点1、2、3、4， 当正方形再翻转四次后，、、、分别对应点5、6、7、8， ， ∴四次一循环， ∵， ∴数轴上数所对应的点C． 故选：C． 【题型13 相反数的定义】 【例13】如图是一个正方体纸盒的展开图，若在其中的三个正方形A，B，C内分别填入适当的数，使折成的正方体相对面上的两个数均互为相反数，则填入正方形A，B，C的三个数依次是（   ） A．3，， B．，，3 C．，，3 D．，3， 【答案】A 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，相反数的定义． 根据正方体相对两个面上的文字得到A，B，C对应的数，进而根据相反数的定义作答即可． 【详解】解：由正方体展开图可知A对应，B对应2，C对应1， ∵使折成的正方体相对面上的两个数均互为相反数， ∴． 故选：A． 【变式13-1】如图是一个正方体的平面展开图，若将展开图折叠成正方体后，相对面上所标的两个数互为相反数，则的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方体的展开图、有理数的减法，熟知正方体展开图的特点，正确求得a、b、c值是解答的关键． 根据正方体展开图相对的面之间相隔一个正方形这一特点，求得a、b、c的值，代入代数式中求解即可． 【详解】解：由正方体展开图可知，a与相对，b与相对，c与2相对， ∵相对面上所标的两个数互为相反数， ∴，，， ∴． 故选：B． 【变式13-2】有一列数，将这列数中的每个数求其相反数得到，再分别求与1的和的倒数，得到，设为，称这为一次操作；第二次操作是将再进行上述操作，得到；第三次将重复上述操作，得到依此类推，则（      ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数字类规律探索，该数列经过每次操作后，每三组循环一次，即操作1得，操作2得，操作3得，然后重复，是第507组的第一个数，507能被3整除，故对应操作3的第一个数，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：∵为， ∴，，，， ∴为， 依此类推，为， 为， …， ∴这些数值组以3次操作为一个循环周期 ∵， ∴是第507组的第一个数， ∵， ∴第507组对应操作3的结果， ∴， 故选：A． 【变式13-3】下列说法：① 是一个单项式；②两个数互为倒数，则它们的乘积为1；③若a，b互为相反数，则 ④若，则．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查单项式的定义，倒数，相反数，及不等式的性质，掌握相应的知识点是解题的关键． 根据相应知识点，逐个判断各说法的正确性即可求解． 【详解】解：是分式，不是单项式，故说法①错误； 两个数互为倒数，则乘积为1，这是倒数的定义，故说法②正确； 若互为相反数，则，但当时，无意义，故说法③错误； 当时，虽然，但，故说法④错误； 综上所述，说法②正确，正确的说法只有1个． 故选：A． 【题型14 化简多重符号】 【例14】下列各式中，值相等的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题考查了乘方、绝对值、符号化简、有理数的混合运算，分别计算各选项两式的值，判断是否相等． 【详解】解：A、，，即与不相等，故不符合题意； B、，，即与不相等，故不符合题意； C、，，即与相等，故符合题意； D、，，即与不相等，故不符合题意． 故选：C． 【变式14-1】下列各对数中，相等的一对是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的化简，熟练掌握相反数和绝对值是解题的关键．根据相反数和绝对值的定义进行计算即可． 【详解】解：，故选项A不符合题意； ，故选项B不符合题意； ，故选项C不符合题意； ，故选项D符合题意； 故选D． 【变式14-2】在，，中负数有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】此题考查了有理数的乘方、多重符号的化简、负数等知识．先根据法则计算后，再进行判断即可． 【详解】解：，，， 故在，，中负数有1个． 故选：B． 【变式14-3】下列各式中结果为负数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了绝对值、乘方、多重符号的化简等知识．根据相关法则计算后即可得到答案． 【详解】解：A. ，是正数，不符合题意；     B. ，是正数，不符合题意； C. ，是负数，符合题意； D. ，是正数，不符合题意； 故选：C 【题型15 相反数的应用】 【例15】如图，数轴上有四点，每两点之间的距离均为1，对应的数分别为，且．若数对应的点在之间（不与重合），则对应的点在（    ） A．两点之间 B．两点之间 C．P，两点之间 D．点右侧 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，相反数，由题意综合分析，原点位置应该是N中点，可得，故可得的取值范围，可得结论． 【详解】解：∵， ∴互为相反数， ∴点对应的数为， ∵每两点之间的距离均为1， ∴ ∵数对应的点在之间（不与重合）， ∴， ∴, ∴对应的点在点右侧, 故选：D． 【变式15-1】的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查相反数，熟练掌握相反数是解题的关键．根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数． 【详解】解：， 故选：B． 【变式15-2】若与互为相反数，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的定义，一元一次方程的解法，利用互为相反数两数之和为，列出方程，求出方程的解即可得到的值，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】∵与互为相反数， ∴，解得：， 故选：． 【变式15-3】m和n互为相反数，p和q互为倒数，是最大的负整数，则的值为（    ） A． B． C．0 D．2023 【答案】A 【分析】本题考查相反数的性质，倒数的性质，负整数．根据相反数、倒数、负整数的性质求出相关数据，再通过计算即可求解． 【详解】∵m和n互为相反数，p和q互为倒数，是最大的负整数， ∴，，， ∴． 故选：A． 【探究式学习】 1．【定义新知】 在数轴上，如果把表示数1的点称为基准点，记作点．对于两个不同的点和，若点、到点的距离相等，则称点与点互为基准变换点．如图，点表示数，点表示数3，它们与表示数1的点的距离都是2个单位长度，则点与点互为基准变换点． 【初步探究】 （1）若点表示数，点表示数，且点与点互为基准变换点．利用上述规定解决下列问题； ①当时，_____，当时，______． ②利用①中的结论，探索与之间的数量关系，并用含的式子表示； ③当时，求的值； 【拓展提升】 （2）若点表示的数为，对点进行如下操作：先把点表示的数乘以3，再把所得的数在数轴上对应的点沿数轴向左移动4个单位长度得到点，且数轴上的点与点互为基准变换点，用含的代数式表示点与点之间的距离． 【答案】（1）①2，；②③；（2）当点在点右侧时，点与点之间的距离为；当点在点左侧时，点与点之间的距离为． 【分析】本题考查了代数式，数轴上两点之间的距离，理解互为基准变换点是解题的关键； （1）①根据互为基准变换点的定义求解即可； ②根据①中a，b两数可知，； ③根据②即可用含的式子表示． （2）先根据题意求出点表示的数，再根据③的结论即可求出点表示的数，再根据数轴上两点之间的距离求解即可． 【详解】解：（1）①当时，，当时，， 故答案为：2，． ②由①中的结论可知与之间的数量关系为， 所以． ③当时，． （2）解：由题意可得，点表示的数为． 因为点与点互为基准变换点， 点与点互为基准变换点， 由②可得点表示的数为． 当点在点右侧时，点与点之间的距离为． 当点在点左侧时，点与点之间的距离为． 点与点之间的距离为或． 2．综合与探究 【问题情境】 数学活动课上，老师展示了一个问题：如图，已知数轴上点O为原点，A、B两点所表示的数分别为和8． 【实践探究】 (1)线段的长为______； (2)动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒． ①当时，请用含t的代数式表示点表示的数，以及线段、的长； ②若点是线段的中点，点是线段的中点，说明线段的长度与点的运动时间无关． 【答案】(1)10 (2)①点表示的数为，，； ②∵、两点所表示的数分别为和8，点表示的数为，且点是线段的中点，点是线段的中点， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∴线段的长度与点的运动时间无关． 【分析】本题考查了数轴、整式的加减等知识，熟练掌握数轴的性质是解题关键． （1）利用点表示的数减去点表示的数即可得； （2）①根据数轴的性质即可得点表示的数，再判断出点在线段上，利用数轴的性质即可得线段、的长； ②先分别求出点所表示的数，再利用数轴的性质求出的长，据此即可得． 【详解】（1）解：∵、两点所表示的数分别为和8， ∴， 故答案为：10． （2）解：①由题意得：点表示的数为， 点从点运动到点所需时间为（秒）， ∴当时，点在线段上， ∵、两点所表示的数分别为和8， ∴，． ②略 3．【问题情境】一个点从数轴上的原点开始，先向左移动个单位长度到达点，再向右移动个单位长度到达点，然后再向右移动个单位长度到达点． 【问题初探】 (1)请在图中表示出，，三点的位置； (2)点到点的距离______，点到点的距离______； (3)【深入探究】 若点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时点，从点，点分别以每秒个单位长度、每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．设运动时间为秒．在运动的过程中，的值是否随着时间的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1) ，，三点的位置在数轴上表示如图所示 (2)    (3)的值总等于，保持不变 【分析】本题主要考查数轴、代数式和整式的混合运算： （1）根据题意标注即可； （2），； （3），，， 秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，表示出和的长度，即可求得答案． 【详解】（1）略 （2）， 故答案为：    （3）在运动的过程中，的值不随着时间t的变化而变化，理由如下： 由题意得，，， 所以秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，可得 ， ． 所以． 所以在运动的过程中，的值总等于，保持不变． 【课后检测】 1．下面对生活中数据的估计，最合适的是（   ） A．一瓶矿泉水约为500毫升 B．七年级学生1000米跑合格成绩为60秒 C．一张数学试卷的面积约为20平方米 D．一本七年级数学教科书的质量约为15克 【答案】A 【分析】本题主要考查了数学常识，熟练掌握一些基本的数学常识是解题关键．根据生活经验、对长度单位、容积单位、质量单位和时间单位和数据的大小的认识，对各个选项进行分析，找出最合理的即可． 【详解】解：A、一瓶矿泉水约为500毫升，则此项合适，符合题意； B、七年级学生1000米跑合格成绩约为180秒，则此项不合适，不符合题意； C、一张数学试卷的面积约为20平方分米，则此项不合适，不符合题意； D、一本七年级数学教科书的质量约为350克，则此项不合适，不符合题意； 故选：A． 2．下列各数：，，，，0，，，11，，其中负分数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据负分数的定义逐个判断即可． 【详解】解：是负整数，不是负分数， 是负分数， 是正整数，不是负整数， 是正分数数，不是负分数， 0不是分数， ，是负分数， ，是负分数， 不是负分数， 所以负分数有3个． 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数，注意：整数和分数统称有理数，整数包括正整数，0和负整数，分数包括正分数和负分数． 3．在，，，，3.8，中，负分数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据负数的定义逐一判断即可； 【详解】解：在、、、、3.8、中， 负分数有、、共 3 个； 故选：C． 【点睛】本题考查了负数的定义：小于0的数是负数． 4．下列四个数中，为负整数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据负整数的定义即可求解． 【详解】、既不是正数也不是负数，不符合题意； 、是正整数，不符合题意； 、是负整数，符合题意； 、是负分数，不符合题意； 故选：． 【点睛】此题考查了大于的整数是正整数，小于的整数是负整数，熟记负整数的概念是解题的关键． 5．如图，等边三角形的周长为3个单位长度，三个顶点分别标上A、B、C，先将三角形如图位置摆放，将三角形沿着数轴向右翻滚，在翻滚过程中，下列数轴上的哪个数能与三角形上的重合（　　） A．2018 B．2019 C．2020 D．2021 【答案】B 【分析】本题考查了利用数轴上的点表示有理数、图形类规律探索，由题意可得，由等边三角形上重合的点以3个字母循环出现，第一个为B，第二个为C，第三个为A.，再根据各个选项逐项判断即可得解． 【详解】解：由等边三角形上重合的点以3个字母循环出现，第一个为B，第二个为C，第三个为A. A、，，故与三角形上的A重合，不符合题意； B、，，故2019与三角形上的B重合，符合题意； C、，，故2020与三角形上的C重合，不符合题意； D、，，故与三角形上的A重合，不符合题意； 故选：B． 6．点（为正整数）都在数轴上，点在原点的左边，且；点在原点的右边，且；点在原点的左边，且；点在原点的右边，且；…．依照上述规律，点，所表示的数分别为（    ） A．2012， B．，2013 C．1006， D．1006， 【答案】C 【分析】本题考查数的规律，数轴，数轴上两点之间的距离，掌握知识点是解题的关键． 通过计算前几个点的位置，发现规律：当n为偶数时，；当n为奇数时，，即可解答． 【详解】解：∵点在原点O左边，且． ∵点在点右边，且，∴． ∵点在点左边，且，∴． ∵点在点右边，且，∴． …… ∴规律：当n为偶数时，； 当n为奇数时，． ∴为偶数，； 为奇数，． 故选C． 7．如图，在平面内，一只电子蚂蚁从数轴上原点O出发，按竖直向上、水平向右、竖直向下、水平向右的方向依次移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第1次移动到，第2次移动到，第3次移动到，…，第n次移动到，则三角形的面积是（   ）． A．514 B． C． D．1011 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上点的移动规律，根据题意可得点在数轴上，可得的位置，由此可得，根据三角形面积的计算方法即可求解，掌握数轴上点的移动规律是解题的关键． 【详解】解：根据题意，可得分别表示的数为， ∴点在数轴上，， ∵， 如图所示，      ∴， ∴， ∴的面积为， 故选：C ． 8．下列说法：①若、互为相反数，则；②是二次三项式；③立方等于本身的数为0和1；④若为正整数，则．其中正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了相反数、多项式的次数与项数、乘方运算的知识，解题的关键是逐一分析每个说法的正确性． 分别对4个说法进行判断∶①考虑的情况；②分析多项式的次数和项数；③补充立方等于本身的数；④计算乘方后求和，最后统计正确说法的个数． 【详解】解：①中，若、互为相反数，则，但当时，无意义，故①错误； ②中，多项式的最高次项的次数为2，且有三项，故是二次三项式，正确； ③中，立方等于本身的数有、、，③错误； ④中，为正整数，，，故和为，④错误． 只有②正确，正确的个数是1个． 故选B． 9．若代数式与互为相反数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次方程，互为相反数的概念，根据相反数的定义，两个代数式的和为零，列出方程，然后求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵代数式与互为相反数， ∴， ， ∴， 故选：． 10．如图，点为原点，、为数轴上两点，，且，点从点开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点开始运动时，点、分别以每秒5个单位和每秒2个单位的速度同时向右运动，设运动时间为秒，若的值在某段时间内不随着的变化而变化，则的值为（   ） A．5或7 B．3或5或7 C．3或5 D．3或7 【答案】A 【分析】本题考查数轴上的动点问题，整式加减中的无关型问题，先求出点表示的数，根据点的移动规则，求出移动后点表示的数，分点在点右侧和左侧，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴点表示的数为，点表示的数为5， ∴运动秒后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴， 当点在点右侧时，， 则： ； ∵的值在某段时间内不随着的变化而变化， ∴， ∴； 当点在点左侧时，， 则： ； ∵的值在某段时间内不随着的变化而变化， ∴， ∴； 综上：或； 故选A． 11．数轴上点A表示的数为，点B到点A的距离为5，点C到点B距离为2（点C不在原点上），则点C表示的数为__________． 【答案】或或 【分析】利用两点间的距离公式可以知道点表示的数为或，再由点C到点B距离为2（点C不在原点上），可得答案． 【详解】解：数轴上点A表示的数为，点B到点A的距离为5， 点表示的数为或， 点C到点B距离为2（点C不在原点上）， 点C表示的数为（舍去）或或或． 综上，点C表示的数为或或． 12．数轴上点A表示的数为4，点B表示的数为，则点A与点B的距离是_____． 【答案】6 【分析】本题考查数轴上两点间的距离计算．解题的关键是利用数轴上两点间距离公式进行计算． 已知点A表示的数为4，点B表示的数为，代入距离公式，计算得到距离为 ． 【详解】解：点A表示的数为4，点B表示的数为，则点A与点B的距离为． 故答案为6． 13．下列各数：，10，，，0，其中非正数共有_____个 【答案】4 【分析】本题考查了有理数的分类，根据有理数的分类方法即可得出答案，掌握有理数的分类方法是解题的关键． 【详解】解：， 非正数有，，0，，共个， 故答案为：． 14．下列各数中：26、，其中正整数有a个,有理数有个，非正数有个，则______． 【答案】 13 【分析】本题考查了正整数、有理数、非正数的概念辨析，解题的关键是准确把握各类数的定义并逐一筛选判断． 先明确正整数是大于0的整数，有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，非正数是小于或等于0的数；再对所给数字逐一分析归类，分别确定a、b、c的值，最后计算的结果． 【详解】解： 正整数：、、，共3个，故； 有理数：、、、、、、0，共7个（为无理数，排除），故； 非正数：、、0，共3个，故； 则． 故答案为：． 15．在数轴上，点位于原点的左侧，表示数，点表示的数是1，点位于点的右侧，表示数，记．例如下图中，当，时，． 在线段上取点，其表示的数为，在线段上取点，其表示的数为． 则下列说法中，所有正确说法的序号是__________． ①； ②； ③当时，对于任意的点，总能找到点，使得； ④当时，对于任意的点，总能找到点，使得． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查数轴概念，相反数的定义，根据题意得到判断①，根据，判断②，根据特殊值判断③，根据相反数的定义，表示出，结合，判断④即可． 【详解】解：①∵，即 ∴①成立，故正确； ②∵ ∵， 又∵在线段上取点，其表示的数为， 在线段上取点，其表示的数为 ∴，成立，故②正确 ③若，而，当时，不能找到， ∴当时，对于任意的点，不一定找到点，使得，故③不正确． ④如图，设点表示的数即为，则， 将线段向右平移1个单位得到，则点与点重合，则表示的数为， 对于任意的点，都在上，则对任意的表示的点都在上 表示的点都在上， ∵当时，即，则 ∴在上总能找到点表示，即，即 ∴当时，对于任意的点，总能找到点，使得，故④正确． 故答案为：①②④． 16．下列说法是否正确？为什么？ (1)正负号相反的两个数叫做互为相反数； (2)相反数和我们以前学过的倒数是一样的； (3)一个数的相反数的相反数等于这个数本身． 【答案】(1)错误，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，规定0的相反数是0，仅正负号相反的两个数不一定互为相反数，故原说法错误； (2)错误，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，乘积为1的两个数互为倒数，故相反数和我们以前学过的倒数是不一样的，故原说法错误； (3)正确，一个数的相反数的相反数等于这个数本身，故原说法正确． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 17．在1.2有理数（2）中，一只蚂蚁从数轴的原点出发，它先向右爬了4个单位长度到达点A，再向右爬了2个单位长度到达点B，然后又向左爬了10个单位长度到达点C． (1)在数轴上点A所表示的数的相反数是多少？是哪一个点？ (2)如果蚂蚁从点C出发要爬到点D，且点D和点B所表示的两数互为相反数，那么它应该往哪个方向爬几个单位长度？ (3)如果蚂蚁从点C出发要爬到点E，且点E到原点的距离为5个单位长度，那么它应该怎样爬到点E？ 【答案】(1)在数轴上点A所表示的数的相反数是，是点C (2)它应该往左爬2个单位长度 (3)当E在C的右侧时，C应该向右爬行9个单位，当E在C的左侧时，C应该向左爬行1个单位 【分析】（1）先根据运动方向和单位长度依次确定A、B、C三点所表示的数，再找出点A表示数的相反数对应的点即可； （2）由相反数定义确定点D表示的数，再比较点C与点D在数轴上的左右位置及距离，判断爬行方向与长度即可； （3）根据点E到原点距离为5个单位长度，分点E在原点左侧和右侧两种情况，分别确定点E表示的数，再计算其与点C的距离和相对位置，得出爬行方案． 【详解】（1）解：因为蚂蚁从数轴的原点出发，它先向右爬了4个单位长度到达点A， 所以点A表示的数为， 从点A向右爬了2个单位长度到达点B，所以点B表示的数为， 又从点B向左爬了10个单位长度到达点C，所以点C表示的数为， 所以数轴上点A所表示的数的相反数是，即点C． （2）解：因为点D和点B所表示的两数互为相反数，所以点D表示的数为， 在左边，距离两个单位，所以蚂蚁从点C出发要爬到点D，它应该往左爬2个单位长度． （3）点E到原点的距离为5个单位长度，当E在原点的右侧时，点E表示的数为，在C的右侧，与点C距离为个单位，所以C应该向右爬行9个单位； 当E在原点的左侧时，点E表示的数为，在C的左侧，与点C距离为个单位，所以C应该向左爬行个单位； 18．如图所示的数轴上，每小格的宽度相等． (1)填空：数轴上点A表示的数是______，点B表示的数是______． (2)点C表示的数是，点D表示的数是，请在数轴上分别画出点C和点D的位置． (3)将A，B，C，D四个点所表示的数按从大到小的顺序排列，用“>”连接． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）观察数轴可得答案； （2）根据单位长度，在数轴上表示两个数即可； （3）根据数轴上的位置得出答案． 【详解】（1）解：点A表示的数是，点B表示的数是． （2）略 （3）解：由数轴可知，． 19．七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探索“折线数轴”：素材1如图，将一条数轴在原点，点，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示12，点表示24，点表示36，点与点在数轴上的距离为45个单位长度，并表示为． 素材2动点从点出发，以2个单位长度／秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点与点之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点与点之间时速度变为初始速度的两倍．经过点后立刻恢复初始速度． 问题解决： (1)探索1：动点从点运动至点需要多少时间？ (2)探索2：动点从点出发，运动18秒至点和点之间时，求点表示的数？ (3)探索3：动点从点出发，运动至点的过程中某个时刻满足时，求动点运动的时间． 【答案】(1)秒 (2)表示的数为18 (3)动点运动的时间为秒或秒 【分析】（1）首先求出，，然后根据点P在段和段的速度求解即可； （2）求出，然后结合点B表示的数求解即可； （3）设秒后，根据题意分三种情况讨论，分别列式求解即可． 【详解】（1）解：点表示，点表示， ∴，， 在段初始速度为个单位长度/秒，在段速度为初始速度的一半， ∴在段速度为个单位长度/秒， ∴从点运动至点的时间为：（秒）； （2）解：∵的初始速度为个单位长度/秒，在段速度为初始速度的两倍， ∴在段速度为个单位长度/秒， 由（1）可得：在段运动时间为：（秒）， ∴， 点表示， ∴表示的数为：； （3）解：设秒后， ①当在上时， ∴， ， ∴， ∴， ， ∴（秒）； ②当在上时， ， ∴， ， ∴， ∴（秒）， ③当在上时， 此时不可能等于16，不符合题意舍去． 综上：动点运动的时间为秒或秒． 20．如图，相距的、两地间有一条笔直的马路，地位于两地之间且距A地．小明同学骑自行车从地出发沿马路以每小时的速度向地匀速运动，到达地后以每小时的速度返回，到达A地停止运动．设运动时间为（小时），小明的位置为点．若把点记为原点，从到B为正方向，用1个单位长度表示画数轴，则请你回答下列问题： (1)指出点所表示的有理数______． (2)当时，则点表示的有理数______． (3)在小明行驶过程中，当小明距离地时，直接写出所有满足条件的值． (4)在整个运动过程中，求点P和点A的距离（用含的代数式）． 【答案】(1) (2) (3)t的值为或或或 (4)当时，点P与点A的距离为；当时，点P与点A的距离为 【分析】本题考查了数轴上动点问题，列代数式，整式的加减的应用，熟练掌握知识点的应用，并采用分类讨论的思想方法是解题的关键． （1）根据点为原点，地和地的距离为，即可解答； （2）根据路程速度时间，计算时，点P的运动路程，再根据数轴上两点间的距离公式即可解答； （3）分情况讨论：从A地到B地时和从B地返回A地时，然后根据时间路程速度，解答即可，注意第二种情况速度有变化，要先求得到达B地的时间； （4）分两种情况讨论：①当小明从A地到B地时；②当小明从B地到A地时；注意第二种情况要先求得返回A地全程所用的时间． 【详解】（1）解：∵点为原点，从到B为正方向，用1个单位长度表示画数轴，地位于两地之间且距A地， ∴点A表示的有理数为， 故答案为：； （2）解：∵小明同学骑自行车从地出发沿马路以每小时的速度向地匀速运动，设运动时间为（小时），小明的位置为点， ∴当时，点表示的有理数， 故答案为：； （3）解：①当小明同学骑自行车从地出发沿马路以每小时的速度向地匀速运动时， 若此时距离地，点C表示的有理数为0， 当点P在点A和点C之间时，此时点P表示的有理数为， 则此时； 当点P在点C和点B之间时，此时点P表示的有理数为， 则此时； ②当小明到达地后以每小时的速度返回A地时， ∵、相距， ∴点B表示的数为，小明到达B地的时间为（小时）， 若此时距离地， 当点P在点B和点C之间时，此时点P表示的有理数为， 则此时； 当点P在点C和点A之间时，此时点P表示的有理数为， 则此时； 综上所述，在小明行驶过程中，当小明距离地时，t的值为或或或． （4）解： ①当小明以每小时的速度从A地到B地时， 由（2）可知，小明到达B地的时间为1小时， ∴当时，点P与点A的距离为； ②当小明以每小时的速度从B地返回A地时， 由（2）可知，点B表示的有理数为3， 则小明从B地返回A地的时间为（小时） ∴当时，点P与点A的距离为， 综上所述，当时，点P与点A的距离为；当时，点P与点A的距离为． 【复盘笔记】 化繁为简，一通百通 第 2 页 共 46 页 第 1 页 共 46 页 学科网（北京）股份有限公司 $