专题10 角暑假预习讲义2026-2027学年苏科版七年级数学上册

专题 10 角 暑假预习讲义 ✺知识框架 基础认知：角的两种定义、构成要素、形成过程 规范技能：角的四种标准几何表示方法 核心度量：角度单位度、分、秒的进制与换算 基础应用：角的大小比较、角的和差直观认知 ✅本节聚焦角的基础认知与基本运算，掌握角的定义、规范表示、六十进制换算及大小比较，建立角度量化思维，夯实平面几何学习基础 ✺学习目标 基础知识：1.掌握角的静态、动态定义及构成要素；2.熟练掌握角的四种规范表示方法；3.理解度、分、秒六十进制，掌握角度换算方法，学会比较角的大小，认识角的和差关系。 能力提升：1.能精准识别图形中的角，规范书写几何符号；2.熟练完成角度单位换算，灵活运用度量法、叠合法比较角的大小，具备基础图形分析能力。 综合素养：建立几何图形直观与量化思维，养成严谨规范的几何书写、运算习惯，提升基础几何推理与图形认知。 ✺题型归纳 题型1.角的概念理解 题型2.角的表示方法 题型3.角的分类 题型4.画特殊角 题型5.钟面角 题型6.方向角的表示 题型7.与方向角有关的计算题 题型8.角的单位与角度制 题型9.角的度数大小比较 题型10.角的比较 题型11.三角板中角度计算问题 题型12.几何图形中角度计算问题 题型13.角度的四则运算 题型14.实际问题中角度计算问题 题型15.尺规作一个角等于已知角 题型16.角平分线的有关计算 题型17.角n等分线的有关计算 题型18.求一个角的余角 题型19.求一个角的补角 题型20.与余角、补角有关的计算 题型21.同(等)角的余(补)角相等的应用 题型22.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、角的有关概念与构成 1静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边。如下图：点O是角的顶点，OA、OB是角的两条边。 2.动态定义：角也可以看做由一条射线绕其端点旋转形成的图形，把起始位置的射线叫做始边，终止位置的射线叫做终边。如下图：图中的角可以看作射线OA绕着点O旋转到OB而形成的。 核心要素：一个顶点、两条射线边，二者缺一不可。 3.平角、周角 平角：1平角=180°. 1平角=2直角。 周角：1周角=360°。1周角=2平角=4直角. 注意：平角不是一条直线，周角不是一条射线，它们仍有顶点与两条边 知识点二、角的规范表示方法 角的几何表示有严格规范，需根据图形特征选择对应方法。 1.三字母表示法：通用方法，顶点字母居中，如∠AOB，适用于所有角，无使用限制。 2.当同一个顶点处只有一个角时，才可以只用顶点一个字母表示角；若顶点处有多个角，不能单用顶点字母表示，会产生歧义 3.数字表示法：角内部标注数字，记作∠1、∠2，多用于复杂图形，简洁直观。 4.希腊字母表示法：角内部标注小写希腊字母，记作∠α、∠β，为几何通用规范。 知识点三、角的单位及角度制 角的度量单位为度、分、秒，采用六十进制，是本节核心计算考点。 1. 角的度量仪器：量角器。 2. 角的度量单位：度、分、秒。 3. 角度制：以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制。 把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作1′；把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作1″。即1°=60′，1′=60″，1′=，1″=。 换算规则：大单位换小单位乘60，小单位换大单位除以60，逐级换算。 知识点四、角的大小比较与运算 ◆角的大小仅由两边张开程度决定，与边的长短无关。 1.度量法：比较角的大小，可先用量角器分别量出每个角的度数，然后按照度数来比较角的大小。 2.叠合法：把两角叠合在一起比较大小，用这种方法比较两个角的大小，一定要使两个角的顶点及一边重合，另一边落在重合边的同旁，根据边的位置判断大小。 ◆角的和差关系 同一顶点的相邻两角具备和差关系：大角可拆分为两个相邻小角之和，两个相邻小角可拼接组成大角，为后续角度加减运算铺垫基础。 知识点五、角的平分线 1. 角的平分线：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的角平分线。如下图： 类似地，还有角的三等分线等. 知识点六、余角和补角 1. 余角的定义和性质 定义：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角。如下图：∠AOC=90°，∠BOD=90°，则∠1与∠3的关系是相等，其理由是同角的余角相等。 性质：同角（等角）的余角相等。 2. 补角的定义及性质 定义：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角。如下图：因为∠1与∠2互补，∠2与∠3互补，所以∠1=∠3.同理∠2=∠4（同角的补角相等） 性质：同角（等角）的补角相等 知识点七、方向角 1.方向角是以正北、正南方向为基准，描述物体运动方向的角。如下图：射线OA OB OC OD 表示正东、正南、正西、正北方向。射线OE、OF可分别表示为北偏西45°.南偏西45°。 2.方向角是用角度和方向表示物体运动方向的角.东北方向表示北偏东45°，西北方向表示北偏西45°，东南方向表示南偏东45°，西南方向表示南偏西45°。 ✺题型精讲 题型1.角的概念理解 1．如图所示，共有（    ）个角 A．8 B．10 C．11 D．12 2．下图中几何图形共有________个角． 3．如图，按要求写出符合条件的角． (1)能用一个字母表示的角． (2)以为顶点的角． (3)图中共有几个小于平角的角？请表示出来． 题型2.角的表示方法 1．下列四个图形中，能用，、三种方法表示同一角的图形是（     ） A． B． C． D． 2．如图，写出符合下列条件的角： （1）能用一个大写字母表示的角有______； （2）以B为顶点的角有______（用较简洁的方法表示）； （3）以CD为边的角有______． 3．请写出下列各图中的角： 题型3.角的分类 1．下列各角中，是钝角的是（   ） A．周角 B．平角 C．周角 D．平角 2．1周角=______平角，3平角=______直角． 3．看图，回答下列问题： (1)图中共有多少个角？ (2)请分别写出图中的锐角、直角和钝角． 题型4.画特殊角 1．用一副三角板不能画出的角是（    ）． A．75° B．105° C．110° D．135° 2．已知（如图），用量角器求作一个角，使它等于已知角α． 3．如图是正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图． (1)在图1中，延长线段AB至C，使； (2)在图2中，作． 题型5.钟面角 1．在时刻时，时钟上的时针与分针之间所成的夹角是（     ） A． B． C． D． 2．下午6点40分，时钟的分针与时针所夹的角等于_______． 3．时钟的时针从某一时刻所在的位置开始，旋转一个直角和一个平角，各需要多长时间？分针走过和，各旋转了多少度？ 题型6.方向角的表示 1．某小区要进行地下管道建设，从A区和B区同时向中间开挖一条笔直的管道．工程人员在A区测得管道方向为北偏东．为了保证在中间能准确对接，工程人员在B区施工的方向应是（   ） A．北偏西35° B．南偏西35° C．南偏东35° D．西偏南35° 2．某军事行动中，对军队部署的行动，采用代码方式来表示．例如，北偏东方向的位置与钟面相结合，以钟面圆心为基准，时针指向北偏东的时刻是∶，那么这个地点就用代码表示，按这种表示方式，北偏东方向的位置，可用代码表示为__________． 3．已知小明的家在学校南偏东方向．如图，射线分别表示东、南、西、北方向，射线表示北偏东方向．如果点表示学校，画出从学校到小明家方向的射线． 题型7.与方向角有关的计算题 1．如图，是北偏东方向的一条射线，射线与射线互相垂直，则射线所在的方位是（     ） A．东偏北 B．西偏北 C．北偏西 D．北偏西 2．如图，是北偏东方向上的一条射线，是南偏西方向上的一条射线，则_______． 3．如图，的方向是北偏东的方向是西偏北，若，求的方向． 题型8.角的单位与角度制 1．角度化成度、分、秒的形式为（     ） A． B． C． D． 2．․ 3．计算：． 题型9.角的度数大小比较 1．如图，射线，，，，分别对应量角器上外圈的，，，，刻度线，点与量角器的中心重合，下列最大的角是（     ） A． B． C． D． 2．已知，，则 _______ （填“<”或“>”或“=”）． 3．如图，已知三角形． (1)请分别测量，，的度数． (2)请用“”表示出这三个角之间的大小关系． 题型10.角的比较 1．如图，直线m外有一定点O，点A是直线m上的一个动点，当点A从左向右运动时，观察和的大小变化规律是（    ） A．变小，变大 B．，都不变 C．变大，∠β变小 D．，都变小 2．若，，则________．（填“”或“”或“”） 3．观察下面图形，图中共有3个角，它们之间有什么关系？（请用和差表示） 题型11.三角板中角度计算问题 1．利用一副三角板上的角，能画出的角一定不是（     ） A． B． C． D． 2．一副三角板如图摆放，其中，，与相交于点E，若，则的度数为__________． 3．【实践操作】三角尺中的数学实践活动课上，“奋进”小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图，使直角顶点重合于点． 【问题发现】 (1)①填空：如图，若，则的度数是_____，的度数_____，的度数是______． ②如图，你发现与的大小有何关系？与的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论． 【类比探究】 (2)如图2，当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由． 题型12.几何图形中角度计算问题 1．如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．春分日某地正午太阳光线与水平面的夹角为．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角度数是（     ） A． B． C． D． 2．已知平面内， ， 则的度数为_______________ 3．如图所示，选择适当的方向击打白球，可以使白球反弹后将红球撞入袋中，此时，并且．如果，那么应等于多少度，才能保证红球直接入袋？ 题型13.角度的四则运算 1．人们很早就借助工具度量角．我国夏商时代就出现了校验直角的工具——矩”．如图，这是一个结构简单的“矩”，即两条边成直角的曲尺，它的两条边分别为，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．计算：_____________． 3．计算： (1)； (2)． 题型14.实际问题中角度计算问题 1．如图，光从真空射入某种介质，入射角为，折射角为，且，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，阳光与水平面成30°角，若要用平面镜使阳光竖直射入井中（物理学中，反射角入射角），则阳光与平面镜的夹角（）为______ 3．若两个角的和为，我们称这两个角互为“幸运角”，如图1，2所示：已知与互为“幸运角”，与互补，若． (1)求的度数． (2)若如图2所示，射线在内部，且满足，求的度数． 题型15.尺规作一个角等于已知角 1．如图，观察图中的尺规作图痕迹，下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，若，根据尺规作图的痕迹，则的度数为_____． 3．用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：如图，中，．求作：在的内部作射线，使． 题型16.角平分线的有关计算 1．如图，三条射线a，b，c将分成相等的四个角，其中的角平分线是（     ） A． B． C． D．都不是 2．若，，则____________；若是的平分线，是的平分线，则____________． 3．如图，直线，相交于点，于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 题型17.角n等分线的有关计算 1．，射线是它的二等分线，射线是的二等分线，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．，射线是它的三等分线，则________． 3．小刚同学在学习了角及其平分线后对角的计算和动态角产生了浓厚的兴趣，我们都知道若是内一条射线，当，则称射线是的角平分线．于是联想到若是内一条射线，当或，则称射线是的三等分线．（本题中所研究的角都是大于且小于的角） (1)如图1，已知，若是的三等分线，则______； (2)如图2，射线平分，是的三等分线，射线在的内部，且，若，求的度数； (3)如图3，已知，射线平分，射线绕着点O以每秒的速度顺时针从射线旋转到的位置，设运动时间为t秒，若是的三等分线，且，请直接写出在旋转过程中满足条件的所有t的值． 题型18.求一个角的余角 1．一个角的度数是，则它的余角的度数是（     ） A． B． C． D． 2．如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高，春分日固原正午太阳光线与水平面的夹角为．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角度数是____________． 3．如图所示，，． (1)写出与互余的角； (2)求的度数． 题型19.求一个角的补角 1．已知一个角的补角的度数为，则这个角的度数为（     ） A． B． C． D． 2．已知，则的补角等于______． 3．已知，． (1)求的补角的度数； (2)求的2倍与的的差． 题型20.与余角、补角有关的计算 1．若一个角的余角为，则这个角的补角度数为（     ） A． B． C． D． 2．若与互余，与互补，，则________． 3．如图所示，直线与直线相交于点O，是的平分线，在内，且，． (1)求的度数； (2)写出的所有补角． 题型21.同(等)角的余(补)角相等的应用 1．课堂上探究“对顶角相等”时，进行了如图所示的说理过程，其所要填写的依据为（    ） 已知与是对顶角，那么. 理由：因为与互补，与互补，所以.（依据：___________） A．平角的定义 B．同角的补角相等 C．等角的补角相等 D．同位角相等 2．在括号中填写推理的依据： 是的余角，是的余角， ____________． 3．如图，将两块直角三角板的直角顶点叠放在一起． (1)试判断与的大小关系，并说明理由； (2)若，求的度数； (3)猜想与的数量关系，并说明理由． ✺巩固测试 一、单选题 1．下列说法正确的是（   ） A．平角就是一条直线 B．周角就是一条射线 C．小于平角的角是钝角 D．锐角是指大于而小于的角 2．如果在学校的南偏西方向上有一个书店，则学校在书店的（     ）方向上 A．东偏北 B．西偏南 C．北偏东 D．南偏西 3．一把直尺和一块三角板（含 角）如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于A，D两点，另一边与三角板的两直角边分别交于E，F两点，且，那么的大小是（     ） A． B． C． D． 4．、都是钝角，甲、乙、丙、丁四位同学计算的结果依次为、、和，其中有正确的结果，那么算得正确的是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5．如图，直线和相交于点把分成两部分，且，平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．角的有关概念和性质：1周角______，1平角_______，1直角_____， _______，_______．若，则的余角等于______． 7．如图，甲从处出发沿北偏东向走向处，乙从处出发沿南偏西方向走到处，则的度数是______． 8．已知与互余，且，则____________． 9．如果与互补，与互补，且，，那么____． 10．如图，是直线上一点，为任一条射线，平分，平分，，则________度． 三、解答题 11．计算： (1)． (2)． 12．如图，一艘客轮沿东北方向行驶，在海上处发现灯塔在北偏西方向上，灯塔在南偏东方向上． (1)在图中画出射线； (2)求与的数量关系． 13．把一副三角尺按照图①的方式放置，其中，边在的内部． 【问题探究】 （1）如果，那么______； （2）试判断与的关系，并说明理由； 【迁移应用】 （3）在图②中利用能够画直角的工具（如：三角尺）再画一个与相等的角． 14．如图，直线、相交于点，平分，平分，且，求的度数． 15．如图1，水车是我国古代劳动人民发明的一种灌溉工具，它主要由水轮和支撑架等部件组成．某景区打算修建一台水车作为景观，水车的结构如图2所示，在水轮内安装根辐条，每相邻两根辐条的夹角相等，在辐条外端点安装个竹筒，依次记为，，…，，三角形为支撑架，且． (1)求出相邻两根辐条夹角的度数； (2)若水车以固定的速度绕水轮的中心逆时针转动，转动一周需分钟．的平分线与水轮边缘交于点，每个竹筒在处装满水，当装满水的竹筒所在辐条转动到与的夹角为（即）时，竹筒开始倒水． ①计算竹筒从装满水到开始倒水需要几分钟； ②当水轮转动到如图2位置时，判断与的数量关系，说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 10 角 暑假预习讲义 ✺知识框架 基础认知：角的两种定义、构成要素、形成过程 规范技能：角的四种标准几何表示方法 核心度量：角度单位度、分、秒的进制与换算 基础应用：角的大小比较、角的和差直观认知 ✅本节聚焦角的基础认知与基本运算，掌握角的定义、规范表示、六十进制换算及大小比较，建立角度量化思维，夯实平面几何学习基础 ✺学习目标 基础知识：1.掌握角的静态、动态定义及构成要素；2.熟练掌握角的四种规范表示方法；3.理解度、分、秒六十进制，掌握角度换算方法，学会比较角的大小，认识角的和差关系。 能力提升：1.能精准识别图形中的角，规范书写几何符号；2.熟练完成角度单位换算，灵活运用度量法、叠合法比较角的大小，具备基础图形分析能力。 综合素养：建立几何图形直观与量化思维，养成严谨规范的几何书写、运算习惯，提升基础几何推理与图形认知。 ✺题型归纳 题型1.角的概念理解 题型2.角的表示方法 题型3.角的分类 题型4.画特殊角 题型5.钟面角 题型6.方向角的表示 题型7.与方向角有关的计算题 题型8.角的单位与角度制 题型9.角的度数大小比较 题型10.角的比较 题型11.三角板中角度计算问题 题型12.几何图形中角度计算问题 题型13.角度的四则运算 题型14.实际问题中角度计算问题 题型15.尺规作一个角等于已知角 题型16.角平分线的有关计算 题型17.角n等分线的有关计算 题型18.求一个角的余角 题型19.求一个角的补角 题型20.与余角、补角有关的计算 题型21.同(等)角的余(补)角相等的应用 题型22.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、角的有关概念与构成 1静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边。如下图：点O是角的顶点，OA、OB是角的两条边。 2.动态定义：角也可以看做由一条射线绕其端点旋转形成的图形，把起始位置的射线叫做始边，终止位置的射线叫做终边。如下图：图中的角可以看作射线OA绕着点O旋转到OB而形成的。 核心要素：一个顶点、两条射线边，二者缺一不可。 3.平角、周角 平角：1平角=180°. 1平角=2直角。 周角：1周角=360°。1周角=2平角=4直角. 注意：平角不是一条直线，周角不是一条射线，它们仍有顶点与两条边 知识点二、角的规范表示方法 角的几何表示有严格规范，需根据图形特征选择对应方法。 1.三字母表示法：通用方法，顶点字母居中，如∠AOB，适用于所有角，无使用限制。 2.当同一个顶点处只有一个角时，才可以只用顶点一个字母表示角；若顶点处有多个角，不能单用顶点字母表示，会产生歧义 3.数字表示法：角内部标注数字，记作∠1、∠2，多用于复杂图形，简洁直观。 4.希腊字母表示法：角内部标注小写希腊字母，记作∠α、∠β，为几何通用规范。 知识点三、角的单位及角度制 角的度量单位为度、分、秒，采用六十进制，是本节核心计算考点。 1. 角的度量仪器：量角器。 2. 角的度量单位：度、分、秒。 3. 角度制：以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制。 把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作1′；把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作1″。即1°=60′，1′=60″，1′=，1″=。 换算规则：大单位换小单位乘60，小单位换大单位除以60，逐级换算。 知识点四、角的大小比较与运算 ◆角的大小仅由两边张开程度决定，与边的长短无关。 1.度量法：比较角的大小，可先用量角器分别量出每个角的度数，然后按照度数来比较角的大小。 2.叠合法：把两角叠合在一起比较大小，用这种方法比较两个角的大小，一定要使两个角的顶点及一边重合，另一边落在重合边的同旁，根据边的位置判断大小。 ◆角的和差关系 同一顶点的相邻两角具备和差关系：大角可拆分为两个相邻小角之和，两个相邻小角可拼接组成大角，为后续角度加减运算铺垫基础。 知识点五、角的平分线 1. 角的平分线：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的角平分线。如下图： 类似地，还有角的三等分线等. 知识点六、余角和补角 1. 余角的定义和性质 定义：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角。如下图：∠AOC=90°，∠BOD=90°，则∠1与∠3的关系是相等，其理由是同角的余角相等。 性质：同角（等角）的余角相等。 2. 补角的定义及性质 定义：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角。如下图：因为∠1与∠2互补，∠2与∠3互补，所以∠1=∠3.同理∠2=∠4（同角的补角相等） 性质：同角（等角）的补角相等 知识点七、方向角 1.方向角是以正北、正南方向为基准，描述物体运动方向的角。如下图：射线OA OB OC OD 表示正东、正南、正西、正北方向。射线OE、OF可分别表示为北偏西45°.南偏西45°。 2.方向角是用角度和方向表示物体运动方向的角.东北方向表示北偏东45°，西北方向表示北偏西45°，东南方向表示南偏东45°，西南方向表示南偏西45°。 ✺题型精讲 题型1.角的概念理解 1．如图所示，共有（    ）个角 A．8 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【详解】解：图中的角有，，，，，，，，，，，共11个角． 2．下图中几何图形共有________个角． 【答案】9 【分析】观察图形，该几何图形是一个五边形，内部有一条连接两个不相邻顶点的线段（对角线）. 数角时，需要分别数出每个顶点处的角，包括基本角和由基本角组成的组合角，对于没有被内部线段分割的顶点，只有1个角；对于被内部线段分割的顶点，有2个基本角和1个组合角，共3个角． 【详解】解：设五边形的顶点顺时针依次为（上）、（右）、（右下）、（左下）、（左）， 内部线段连接顶点和,在顶点处，有1个角：； 在顶点处，有1个角：； 在顶点处，内部线段将分为两个角，故共有3个角：、、； 在顶点处，有1个角：； 在顶点处，内部线段将分为两个角，故共有3个角：、、 综上所述，图中共有个角． 3．如图，按要求写出符合条件的角． (1)能用一个字母表示的角． (2)以为顶点的角． (3)图中共有几个小于平角的角？请表示出来． 【答案】(1)， (2)，， (3)有7个：，，，，，，． 【分析】根据角的概念和角的表示方法，依题意求得答案． 【详解】（1）解：能用一个字母表示的角有2个：； （2）解：以为顶点的角有3个：； （3）解：图中小于平角的角有7个：． 【点睛】本题主要考查了角的概念，熟练掌握是解决本题的关键． 题型2.角的表示方法 1．下列四个图形中，能用，、三种方法表示同一角的图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】选项A、图中的不能用表示，故本选项不符合题意； 选项B、图中、、表示同一个角，故本选项符合题意； 选项C、图中的不能用表示，故本选项不符合题意； 选项D、图中的不能用表示，故本选项不符合题意． 2．如图，写出符合下列条件的角： （1）能用一个大写字母表示的角有______； （2）以B为顶点的角有______（用较简洁的方法表示）； （3）以CD为边的角有______． 【答案】 ， ，， ，， 【分析】本题主要考查角的表示方法，需要根据角的顶点处角的数量情况，选择合适的表示方法； 本题考查了角的表示方法，掌握当角的顶点处只有一个角时，可用一个大写字母表示；当顶点处有多个角时，需用三个大写字母或数字、希腊字母表示角，根据这些规则确定符合条件的角是解题的关键． 【详解】解：（1）能用一个大写字母表示的角：当角的顶点处只有一个角时，可用一个大写字母表示。图中顶点处各只有一个角，所以能用一个大写字母表示的角有，故①处填； （2）以为顶点的角：以为顶点的角有，所以②处填； （3）以为边的角：以为边的角有，所以③处填． 故答案为：，；，，；，，． 3．请写出下列各图中的角： 【答案】见解析 【分析】本题考查角的表示，根据角的定义及表示方法表示各图中的角即可． 【详解】解：第一个图中的角是，，，； 第二个图中的角是， 第三个图中的角是，，，，，，，，，，，． 题型3.角的分类 1．下列各角中，是钝角的是（   ） A．周角 B．平角 C．周角 D．平角 【答案】B 【分析】本题考查钝角的概念，关键是掌握钝角是大于度小于度的角． 由钝角的概念，即可选择． 【详解】解：A、周角，不是钝角，不符合题意； B、平角，是钝角，符合题意； C、周角，不是钝角，不符合题意； D、平角，不是钝角，不符合题意； 故选：B． 2．1周角=______平角，3平角=______直角． 【答案】 2 6 【分析】本题主要考查周角和平角．根据周角、平角、直角的定义可知，1周角度，1平角度，1直角度．根据度数关系，找倍数关系． 【详解】解：1周角平角；3平角直角． 故答案为：2，6． 3．看图，回答下列问题： (1)图中共有多少个角？ (2)请分别写出图中的锐角、直角和钝角． 【答案】(1)10个 (2)见解析 【分析】本题考查角度的概念及分类； （1）列举出来图形中所有的角度即可； （2）根据锐角、直角和钝角的定义分类即可． 【详解】（1）解：图中角有：、、、、、、、、、，共有10个角； （2）解：直角是， 锐角是， 钝角是． 题型4.画特殊角 1．用一副三角板不能画出的角是（    ）． A．75° B．105° C．110° D．135° 【答案】C 【分析】105°=60°+45°，105°角可以用一副三角板中的60°角和45°角画；75°=45°+30°，75°角可以用一副三角板中的45°角和30°角画；135°=90°+45°，135°角可以用一副三角板中的直角和90°角或45°角画；110°角用一副三角板不能画出． 【详解】解：105°角可以用一副三角板中的60°角和45°角画； 75°角可以用一副三角板中的45°角和30°角画； 110°角用一副三角板不能画出； 135°角可以用一副三角板中的直角和90°角或45°角画。 故选：C． 【点睛】本题考查了利用一副三角板画出的特殊角，找出规律是解决此类题的最好方法，应让学生记住凡是能用一副三角板画出的角的度数都是15°的整数倍． 2．已知（如图），用量角器求作一个角，使它等于已知角α． 【答案】见解析 【分析】本题考查用量角器作角．用量角器量出的度数，再作一射线，以点A为顶点，作，则即为所求． 【详解】解：如图，为所求． 3．如图是正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图． (1)在图1中，延长线段AB至C，使； (2)在图2中，作． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据要求作出图形即可； （2）利用网格特征解决问题即可，注意有两种情形． 【详解】（1）解：线段即为所作； （2）如图，或即为所作． 【点睛】本题考查作图—应用与设计作图，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 题型5.钟面角 1．在时刻时，时钟上的时针与分针之间所成的夹角是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先明确时针和分针的转动速度，再分别计算时，时针与分针从12点位置转过的角度，最后求角度差得到夹角． 【详解】解：∵时钟共分12个小时，时钟一圈总角度为， ∴时针每小时转，时针每分钟转； ∵分针60分钟转一圈， ∴分针每分钟转， 计算时针转过的角度：， 去掉整圈得， 计算分针转过的角度：， ∴时针与分针的夹角为． 2．下午6点40分，时钟的分针与时针所夹的角等于_______． 【答案】/40度 【分析】先根据钟面的划分确定时针与分针单位时间转过的角度，再分别计算6点40分时针与分针转过的总角度，计算两个角度的差即可得到所求夹角． 【详解】解：钟面为周角，度数为，被平均分为12个大格， 因此每个大格的度数为. 时针每小时转动1个大格，因此时针每小时转，即每分钟转； 分针每60分钟转一圈，因此分针每分钟转． 6点40分时，时针转过的总度数为， 分针转过的总度数为， 因此分针与时针的夹角为． 3．时钟的时针从某一时刻所在的位置开始，旋转一个直角和一个平角，各需要多长时间？分针走过和，各旋转了多少度？ 【答案】时针旋转一个直角需要180分钟，旋转一个平角需要360分钟；分针走过20分钟旋转120度，走过30分钟旋转180度． 【分析】本题考查时钟指针的旋转角度与时间的关系．时针旋转一圈360度需12小时（720分钟），因此每分钟旋转0.5度；分针旋转一圈360度需60分钟，因此每分钟旋转6度．根据这些速度计算所需时间或角度． 【详解】解： 时针旋转360度需12小时，即720分钟， 时针每分钟旋转， 旋转一个直角需， 旋转一个平角需， 分针旋转360度需60分钟， 分针每分钟旋转， 分针走过20分钟旋转， 分针走过30分钟旋转， 则时针旋转一个直角需要180分钟，旋转一个平角需要360分钟；分针走过20分钟旋转120度，走过30分钟旋转180度． 题型6.方向角的表示 1．某小区要进行地下管道建设，从A区和B区同时向中间开挖一条笔直的管道．工程人员在A区测得管道方向为北偏东．为了保证在中间能准确对接，工程人员在B区施工的方向应是（   ） A．北偏西35° B．南偏西35° C．南偏东35° D．西偏南35° 【答案】B 【详解】解：A区测得管道方向为北偏东， B区施工的方向应是南偏西． 2．某军事行动中，对军队部署的行动，采用代码方式来表示．例如，北偏东方向的位置与钟面相结合，以钟面圆心为基准，时针指向北偏东的时刻是∶，那么这个地点就用代码表示，按这种表示方式，北偏东方向的位置，可用代码表示为__________． 【答案】020078 【分析】先计算钟面上每个刻度对应的角度，再求出北偏东对应的时刻，最后按照代码规则组合出完整代码． 【详解】解：；； 时对应的代码为； 故北偏东方向的位置，可用代码表示为． 3．已知小明的家在学校南偏东方向．如图，射线分别表示东、南、西、北方向，射线表示北偏东方向．如果点表示学校，画出从学校到小明家方向的射线． 【答案】见详解 【分析】本题考查方位角的概念，方位角的作图方法．通过明确方向基准，确定角度关系绘制射线是解题的关键． 根据射线表示正南方向，射线表示正东方向，“南偏东”是指从正南方向（射线）向东（射线）偏转，绘制射线． 【详解】解：如图，射线即为所求，以点为顶点，以射线为始边，向正东方向作一个的角，这个角的终边即为射线，即为从学校到小明家的方向． 题型7.与方向角有关的计算题 1．如图，是北偏东方向的一条射线，射线与射线互相垂直，则射线所在的方位是（     ） A．东偏北 B．西偏北 C．北偏西 D．北偏西 【答案】D 【分析】利用垂直关系计算射线与正北方向的夹角，从而确定其方位． 【详解】解：如图， 根据题意可知，， 又， ， ， 射线所在的方位是北偏西． 2．如图，是北偏东方向上的一条射线，是南偏西方向上的一条射线，则_______． 【答案】/度 【详解】解：∵是北偏东方向上的一条射线，是南偏西方向上的一条射线， ∴． 3．如图，的方向是北偏东的方向是西偏北，若，求的方向． 【答案】的方向是北偏东 【分析】先求出，得到，求出，则的方向是北偏东，即可解答． 【详解】解：如图 ∵的方向是北偏东，的方向是西偏北， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的方向是北偏东． 题型8.角的单位与角度制 1．角度化成度、分、秒的形式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 2．․ 【答案】， 【分析】本题考查度分秒的单位换算，度分秒之间的进率为，将原度数的小数部分乘以进率换算为分，即可得到结果． 【详解】解：． 3．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了角度制，角的运算，先整理，则原式，再进行角的运算，即可作答． 【详解】解：依题意，， ． 题型9.角的度数大小比较 1．如图，射线，，，，分别对应量角器上外圈的，，，，刻度线，点与量角器的中心重合，下列最大的角是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据量角器上各射线对应的刻度，利用角的和差关系分别计算出 、、、 的度数，比较大小即可得出答案． 【详解】解：由题意可知，射线、、、、对应量角器外圈的刻度分别为、、、、， ，，，， ， 最大． 2．已知，，则 _______ （填“<”或“>”或“=”）． 【答案】 【分析】统一两个角的角度单位，将 化为度分表示后比较大小即可． 【详解】解： ， ， ，且 ， ． 3．如图，已知三角形． (1)请分别测量，，的度数． (2)请用“”表示出这三个角之间的大小关系． 【答案】(1)，，； (2) 【分析】本题主要考查了比较角的大小，解决本题的关键是用量角器测量出角的度数，根据度数的大小比较角的大小． （1）用量角器测量出角的大小即可； （2）根据（1）中测量的角度比较． 【详解】（1）解：用量角器测量，可知，，； （2）解：， ． 题型10.角的比较 1．如图，直线m外有一定点O，点A是直线m上的一个动点，当点A从左向右运动时，观察和的大小变化规律是（    ） A．变小，变大 B．，都不变 C．变大，∠β变小 D．，都变小 【答案】A 【详解】解：当点A从左向右运动时，变小，变大． 故选：A． 2．若，，则________．（填“”或“”或“”） 【答案】> 【分析】本题考查了角的大小，与角的换算，解题的关键在于度与分的换算关系． 将两个角的单位统一为度分形式，再依据角的大小比较规则进行比较即可． 【详解】解：因为， 所以， 则. 又因为，， 所以． 故答案为：>． 3．观察下面图形，图中共有3个角，它们之间有什么关系？（请用和差表示） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了角的关系，根据图中各个角之间的关系，进行解答即可． 【详解】解：根据图形可知：； ； ． 题型11.三角板中角度计算问题 1．利用一副三角板上的角，能画出的角一定不是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先明确一副三角板的所有角度，能画出的角都是这些角度的和或差，因此可画出的角均为的整数倍，据此判断各选项即可． 【详解】解：一副三角板包含的角度为，能画出的角都是上述角度的和或差， ∴可画出的角一定是的整数倍，对选项逐一判断： A. ，可以画出； B. ，可以画出； C. 不是的整数倍，不能画出； D. ，可以画出． 2．一副三角板如图摆放，其中，，与相交于点E，若，则的度数为__________． 【答案】 【分析】先根据已知条件求出的度数，再利用三角形内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴． 3．【实践操作】三角尺中的数学实践活动课上，“奋进”小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图，使直角顶点重合于点． 【问题发现】 (1)①填空：如图，若，则的度数是_____，的度数_____，的度数是______． ②如图，你发现与的大小有何关系？与的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论． 【类比探究】 (2)如图2，当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由． 【答案】(1)①，，；②， (2)解：当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论依然成立，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴上述②中你发现的结论依然成立． 【分析】（1）①根据角的和差关系及直角的定义分别求解即可； ②根据余角的性质可得，根据角的和差关系可得； （2）利用可得；利用周角定义得，根据，即可得到． 【详解】（1）解：①由题意可知，， ∵， ∴，， ∴． ②，．理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2） 解：略 题型12.几何图形中角度计算问题 1．如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．春分日某地正午太阳光线与水平面的夹角为．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据光能利用率最高时，集热板与太阳光线垂直，可知，根据的度数求出的度数即可． 【详解】解：如下图所示， 光能利用率最高， 集热板与太阳光线垂直， ， ， ， ． 2．已知平面内， ， 则的度数为_______________ 【答案】 或 【分析】分在内部和外部两种情况，利用角的和差关系计算即可 【详解】解：分两种情况讨论：当在内部时，； 当在外部时，， ∴的度数为或. 3．如图所示，选择适当的方向击打白球，可以使白球反弹后将红球撞入袋中，此时，并且．如果，那么应等于多少度，才能保证红球直接入袋？ 【答案】应等于60度，才能保证红球直接入袋 【分析】首先根据求出，然后根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴应等于60度，才能保证红球直接入袋． 题型13.角度的四则运算 1．人们很早就借助工具度量角．我国夏商时代就出现了校验直角的工具——矩”．如图，这是一个结构简单的“矩”，即两条边成直角的曲尺，它的两条边分别为，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意可知，可得 ． 2．计算：_____________． 【答案】 【分析】根据角的计算：把度和度相加，分和分相加，满进一度． 【详解】解： ． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角度的四则运算，熟知角的四则运算法则是解题的关键． （1）度与度相加，分与分相加，再根据1度等于60分计算即可； （2）先计算乘法，再根据度、分、秒之间的进率为60化简，再计算减法即可． 【详解】（1）解： （2）解： ． 题型14.实际问题中角度计算问题 1．如图，光从真空射入某种介质，入射角为，折射角为，且，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由图可知：． 2．如图，阳光与水平面成30°角，若要用平面镜使阳光竖直射入井中（物理学中，反射角入射角），则阳光与平面镜的夹角（）为______ 【答案】 【分析】本题考查了角的计算，根据光的反射定律内容即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：补上反射光线如图： 由题意可知，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．若两个角的和为，我们称这两个角互为“幸运角”，如图1，2所示：已知与互为“幸运角”，与互补，若． (1)求的度数． (2)若如图2所示，射线在内部，且满足，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有关角的计算，明确题意，准得到角与角之间的数量关系，利用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）根据题意可得，再由“幸运角”的定义可得，即可求解； （2）根据补角的性质可得：，再由“幸运角”的定义可得，然后根据，可得，即可求解； 【详解】（1）， ， 与互为“幸运角”， ， ， （2）与互补， ， 与互为“幸运角”， ， ， 射线在内部，且满足， ， ， ， 。 题型15.尺规作一个角等于已知角 1．如图，观察图中的尺规作图痕迹，下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图中尺规作图的痕迹，可得，进而判定，再根据平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：根据图中尺规作图的痕迹，可得，故B选项正确； ∴， ∴，，故选项A、D正确； ∵，，而和的关系不确定， ∴和的关系不确定，故C选项错误． 2．如图，若，根据尺规作图的痕迹，则的度数为_____． 【答案】/60度 【分析】本题主要考查了尺规作图——作与已知角相等的角，掌握基本的尺规作图方法是解题的关键． 根据作图方法可得，据此即可解答． 【详解】解：由作图方法可知，， ∵， ∴． 故答案为：60． 3．用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：如图，中，．求作：在的内部作射线，使． 【答案】解：所求图形，如图所示． 【分析】根据作一个角等于已知角的尺规作图方法作图即可． 【详解】略 题型16.角平分线的有关计算 1．如图，三条射线a，b，c将分成相等的四个角，其中的角平分线是（     ） A． B． C． D．都不是 【答案】B 【分析】根据题意，三条射线将分为4个相等的小角，设每个小角的度数为，则， 按从到的顺序，四个小角依次为、、、， 即可求出． 【详解】设每个小角的度数为，则， 按从到的顺序，四个小角依次为、、、， ∴，， ∴， 根据角平分线的定义，射线是的角平分线． 2．若，，则____________；若是的平分线，是的平分线，则____________． 【答案】 或 或 【分析】本题考查了角的和差、角平分线，由于未确定的位置，需分两种情况讨论：在内部和在外部，结合角的和差定义与角平分线的定义计算即可． 【详解】解：分两种情况讨论： 当在内部时， ， 平分，平分， ，， ； 当在外部时， ， 平分，平分， ，， ， 综上，或，或． 3．如图，直线，相交于点，于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平角的定义求出的度数，根据角平分线的定义，求出的度数，进而求出的度数即可； （2）根据角的和差关系和数量关系，求出的度数，进而求出的度数，由角平分线的定义，求出的度数. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴. 题型17.角n等分线的有关计算 1．，射线是它的二等分线，射线是的二等分线，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角n等分线的有关计算． 将平分，可得，将平分，即可得． 【详解】解：∵，射线是它的二等分线， ∴， ∵射线是的二等分线， ∴． ∴的度数为． 故选：B． 2．，射线是它的三等分线，则________． 【答案】 【分析】本题考查角等分线的有关计算．根据射线是它的三等分线，将角均分为三份，根据图形可得是其中的一份，即可求解． 【详解】解：∵，射线是它的三等分线， ∴ 故答案为：． 3．小刚同学在学习了角及其平分线后对角的计算和动态角产生了浓厚的兴趣，我们都知道若是内一条射线，当，则称射线是的角平分线．于是联想到若是内一条射线，当或，则称射线是的三等分线．（本题中所研究的角都是大于且小于的角） (1)如图1，已知，若是的三等分线，则______； (2)如图2，射线平分，是的三等分线，射线在的内部，且，若，求的度数； (3)如图3，已知，射线平分，射线绕着点O以每秒的速度顺时针从射线旋转到的位置，设运动时间为t秒，若是的三等分线，且，请直接写出在旋转过程中满足条件的所有t的值． 【答案】(1)或． (2)或 (3)和 【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，几何图中的角度计算，一元一次方程的应用．掌握三等分线的定义是解题的关键． （1）根据三等分线的定义求解即可． （2）设，利用角平分线的定义和角的和差关系得出，再根据三等分线的定义分两种情况求解即可． （3）由角平分线的定义得出，设运动时间为t秒，则，，，再根据三等分线的定义分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵是的三等分线， ∴， 或， 此时． 故答案为：或． （2）解：设，则， ∵射线平分， ∴， ∴ ∴， ∴，， ∵是的三等分线，分两种情况∶ 当靠近，则， ∴． 当靠近，则， 则． 故答案为∶或． （3）解：∵，平分， ∴， 设运动时间为t秒，则，，， ∵是的三等分线， ∴分两种情况： 当靠近，， 则， 代入， 如图：当时，， 即， 解得（不符合题意舍去） 如图：当时，， 则， 解得（不符合题意舍去） 当靠近，则， 则， 代入， 如图：当时，则， 即， 解得． 如图：当时，， 则， 解得． 综上： 满足条件的所有t的值为和． 题型18.求一个角的余角 1．一个角的度数是，则它的余角的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】互为余角的两个角的和为，这个角的度数为， 它的余角度数为． 2．如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高，春分日固原正午太阳光线与水平面的夹角为．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角度数是____________． 【答案】 /36度 【分析】根据集热板与太阳光线垂直的条件，得出与互余，再代入，计算出． 【详解】解：根据题意可知，， ， ． 3．如图所示，，． (1)写出与互余的角； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查图形中求角度，数形结合，准确表示出各个角度之间的关系是解决问题的关键． （1）由已知条件，结合互余定义即可得到答案； （2）先由已知条件，结合图形，求出，进而根据，代入角度计算即可得到答案． 【详解】（1）解：， ，， 则由互余定义可知，与互余的角有； （2）解：，，   ， ． 题型19.求一个角的补角 1．已知一个角的补角的度数为，则这个角的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵互为补角的两个角的和为，该角的补角为， ∴这个角的度数为． 2．已知，则的补角等于______． 【答案】145 【详解】解：∵， ∴的补角． 3．已知，． (1)求的补角的度数； (2)求的2倍与的的差． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求一个角的补角，度数的混合运算，解题的关键是掌握度数混合运算的法则． （1）根据补角定义，列出算式求解即可； （2）根据题意，列出算式求解即可． 【详解】（1）解： ， 即的补角等于； （2）解： ． 题型20.与余角、补角有关的计算 1．若一个角的余角为，则这个角的补角度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据互为余角的两个角的和等于求出这个角，再根据互为补角的两个角的和等于列式计算即可得解． 【详解】解：一个角的余角是， 这个角是， 这个角的补角为． 2．若与互余，与互补，，则________． 【答案】 【分析】根据与互余，与互补进行计算即可． 【详解】解：∵与互余， ∴， ∵， ∴， ∵与互补， ∴， ∴， ∴． 3．如图所示，直线与直线相交于点O，是的平分线，在内，且，． (1)求的度数； (2)写出的所有补角． 【答案】(1) (2)，，. 【分析】（1）根据角平分线的定义和角的和差关系进行求解即可； （2）根据补角的定义，进行求解即可. 【详解】（1）解：∵是的平分线， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴的补角为，，. 题型21.同(等)角的余(补)角相等的应用 1．课堂上探究“对顶角相等”时，进行了如图所示的说理过程，其所要填写的依据为（    ） 已知与是对顶角，那么. 理由：因为与互补，与互补，所以.（依据：___________） A．平角的定义 B．同角的补角相等 C．等角的补角相等 D．同位角相等 【答案】B 【分析】根据已知与互补，与互补，结合补角定义，判断与、与分别互为补角(和是对顶角)；再逐一分析选项，排除与平角定义、等角的补角相等、同位角性质无关的选项，锁定符合补角性质的答案． 【详解】解：A、平角的定义是“始边与终边在同一直线且方向相反的角为”，本题是通过两个角与的和为推导角相等，并非直接应用平角定义，此选项不符合题意； B、同角的补角相等是“若两个角均为同一个角的补角(和为)，则这两个角相等”，本题中与互补，与互补，即和都是的补角，完全符合该性质，此选项符合题意； C、等角的补角相等是“若两个角均为相等角的补角(和为)，则这两个角相等”，本题中与互补，与互补，即和都是的补角，属于同角，不属于等角，此选项不符合题意； D、同位角相等需满足“两直线平行被第三条直线所截”的条件，本题未涉及平行线与同位角，此选项不符合题意； 故选：B． 2．在括号中填写推理的依据： 是的余角，是的余角， ____________． 【答案】同角的余角相等 【分析】根据同角的余角相等可证． 【详解】解：是的余角，是的余角， ，， （同角的余角相等）． 3．如图，将两块直角三角板的直角顶点叠放在一起． (1)试判断与的大小关系，并说明理由； (2)若，求的度数； (3)猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) 解：．理由如下： ， ， ； (2) (3) 解：，理由如下： ， ， ． 【分析】本题主要考查了几何图中角的计算，数形结合，熟练掌握余角的性质，是解题的关键． （1）根据余角的性质进行求解即可； （2）根据，求出结果即可； （3）根据与的数量关系，进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ； （3）略 ✺巩固测试 一、单选题 1．下列说法正确的是（   ） A．平角就是一条直线 B．周角就是一条射线 C．小于平角的角是钝角 D．锐角是指大于而小于的角 【答案】D 【分析】本题考查平角、周角、钝角、锐角的定义，需根据各类角的概念逐一判断选项的正误． 【详解】解：∵平角是由一条射线绕它的端点旋转，当始边和终边在同一条直线上，且方向相反时所构成的角，它有顶点和两条边，并非一条直线， ∴A选项错误，不符合题意． ∵周角是一条射线绕它的端点旋转一周所形成的角，它有顶点和重合的两条边，并非一条射线， ∴B选项错误，不符合题意． ∵小于平角的角包括锐角、直角、钝角，并非只有钝角， ∴C选项错误，不符合题意． ∵锐角的定义是大于而小于的角， ∴D选项正确，符合题意． 故选：D． 2．如果在学校的南偏西方向上有一个书店，则学校在书店的（     ）方向上 A．东偏北 B．西偏南 C．北偏东 D．南偏西 【答案】C 【详解】解：∵在学校的南偏西方向上有一个书店， ∴学校在书店的北偏东． 3．一把直尺和一块三角板（含 角）如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于A，D两点，另一边与三角板的两直角边分别交于E，F两点，且，那么的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角板的角度计算和角的和差即可解答. 【详解】解：在 中，，，， ∵，， ∴． 4．、都是钝角，甲、乙、丙、丁四位同学计算的结果依次为、、和，其中有正确的结果，那么算得正确的是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题考查了角的有关计算的应用，解决本题的关键是得到所求角的取值范围．由钝角范围确定的取值范围，进而得到的范围，只有在此范围内． 【详解】解：∵ α、β均为钝角， ∴， ∴， ∴ 给定结果中仅满足此范围， ∴ 算得正确的是乙， 故选：B． 5．如图，直线和相交于点把分成两部分，且，平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 设，根据比例关系表示，利用平角定义及角平分线性质表示，结合已知条件列方程求解． 【详解】解：设， ， ，， ， ， 平分， ， ， ， 解得， ． 二、填空题 6．角的有关概念和性质：1周角______，1平角_______，1直角_____， _______，_______．若，则的余角等于______． 【答案】 【分析】先根据角的基本定义得到周角、平角、直角的度数，以及度分秒的进率，再根据余角的定义，用减去已知角的度数，按照度分秒的60进制规则计算即可． 【详解】解：根据角的基本定义可知，周角，平角，直角； 度分秒为60进制，因此，； 根据余角的定义，两个角和为时两角互余，因此的余角为：． 7．如图，甲从处出发沿北偏东向走向处，乙从处出发沿南偏西方向走到处，则的度数是______． 【答案】 【分析】本题考查方向角的计算，角的和差关系．如图，利用进行计算即可． 【详解】解：如图，由题意知，，， ， 故答案为：． 8．已知与互余，且，则____________． 【答案】 28 25 【分析】根据互余，即求解即可 ． 【详解】解：已知与互余，则， ∵， ∴ ． 9．如果与互补，与互补，且，，那么____． 【答案】55 【详解】解：与互补，与互补， ，， ， ， 又， ． 10．如图，是直线上一点，为任一条射线，平分，平分，，则________度． 【答案】56 【分析】先求出的度数，再根据角平分线的定义解答． 【详解】解：，，三点共线， ， 平分， ． 三、解答题 11．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据角度的计算法则，及角度的换算：，计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 12．如图，一艘客轮沿东北方向行驶，在海上处发现灯塔在北偏西方向上，灯塔在南偏东方向上． (1)在图中画出射线； (2)求与的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)平分 【分析】本题主要考查的是方向角的概念、角的和差、角平分线的定义等知识点，熟知方向角的描述方法是解题的关键． （1）根据方向角的表示方法画图即可解答； （2）先根据的度数和的度数，由的度数求出的度数，再根据即可得出结论． 【详解】（1）解：如图所示，根据方向角的概念画出图形，使． （2）解：∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴，即平分． 13．把一副三角尺按照图①的方式放置，其中，边在的内部． 【问题探究】 （1）如果，那么______； （2）试判断与的关系，并说明理由； 【迁移应用】 （3）在图②中利用能够画直角的工具（如：三角尺）再画一个与相等的角． 【答案】（1）； （2）；理由如下： 因为，， 所以． （3）如图， 【分析】本题考查的是角的和差关系，互为余角的含义，三角尺特点，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据角的和差关系求解，即可解题； （2）根据同角的余角相等，即可解题； （3）根据同角的余角相等，以及三角尺特点作图，即可解题； 【详解】解：（1）因为，， 所以， 故答案为：； （2）略 （3）过点，分别作，的垂线，，即为所求的角． 14．如图，直线、相交于点，平分，平分，且，求的度数． 【答案】 【分析】首先根据平分，可得，再根据，计算出和的度数，然后计算出的度数，再根据角平分线的定义可得，最后根据求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴． ∴． 15．如图1，水车是我国古代劳动人民发明的一种灌溉工具，它主要由水轮和支撑架等部件组成．某景区打算修建一台水车作为景观，水车的结构如图2所示，在水轮内安装根辐条，每相邻两根辐条的夹角相等，在辐条外端点安装个竹筒，依次记为，，…，，三角形为支撑架，且． (1)求出相邻两根辐条夹角的度数； (2)若水车以固定的速度绕水轮的中心逆时针转动，转动一周需分钟．的平分线与水轮边缘交于点，每个竹筒在处装满水，当装满水的竹筒所在辐条转动到与的夹角为（即）时，竹筒开始倒水． ①计算竹筒从装满水到开始倒水需要几分钟； ②当水轮转动到如图2位置时，判断与的数量关系，说明理由． 【答案】(1) (2)①分钟； ②与的数量关系：． 理由：由（1）得相邻两根辐条夹角的度数为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查角的计算，角平分线的定义，掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）根据题意，在水轮内安装根辐条，每相邻两根辐条的夹角相等，一周是，即可解答； （2）①根据角平分线的定义，求出，进而求出，根据水车以固定速度转一周需分钟，求出水车每分钟可以转动的角度，即可解答； ②推出，再根据角的和差即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴相邻两根辐条夹角的度数为； （2）解：①∵的平分线与水轮边缘交于点，，， ∴， ∴， ∵水车以固定速度转一周需分钟， ∴水车每分钟可以转动：， ∴所需时间为：（分钟）， 答：从竹筒装满水到开始倒水需要分钟； ②略 试卷第1页，共3页 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