6.3 相交线 讲义 2025-2026学年苏科版七年级数学上册

该初中数学单元复习讲义通过知识框架系统梳理相交线的4个核心知识点，包括对顶角及其性质、垂线的概念与性质、垂线段最短及点到直线的距离，按“概念-性质-应用”逻辑呈现知识脉络，突出重难点内在联系。 讲义亮点在于6种题型的分层设计，如“垂直的实际应用”结合生活情境培养应用意识，“对顶角相等”通过图形辨析题发展几何直观，例题与变式题搭配助力推理能力提升。不同层次学生可针对性练习，教师能据此实施精准复习教学。

6.3相交线（4个知识点+6种题型） 【题型归纳】 【题型1 对顶角相等】 1 【题型2 垂线的定义及画法】 2 【题型3 垂线段最短】 4 【题型4 点到直线的距离】 6 【题型5 垂直的实际应用】 7 【题型6 垂直的计算】 8 一、知识梳理 知识点1：对顶角及其性质 两条直线相交所成的四个角中，有公共顶点没有公共边的两个角叫作对顶角. 两直线相交，对顶角相等 知识点2：垂线 垂线的概念：当两条相交直线所成的四个角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫做垂足。 垂线的性质：1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 2）两条直线互相垂直，则它们之间所形成的四个角为直角。 3）在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直线垂直于另一条。 知识点3：垂线段最短 垂线段最短定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 【注意事项】垂线是一条直线，而垂线段是一条线段。 知识点4：点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离 二、题型精讲 【题型1 对顶角相等】 例1.下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（　　） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】根据对顶角的概念逐一判断即可． 【详解】解：A、∠1与∠2的顶点不相同，故不是对顶角，此选项不符合题意； B、∠1与∠2的一边不是反向延长线，故不是对顶角，此选项不符合题意； C、∠1与∠2是对顶角，故此选项符合题意； D、∠1与∠2的一边不是反向延长线，故不是对顶角，此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查的是对顶角的判断，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角,解题关键是熟练掌握定义，正确判断． 【变式1】若条直线两两相交于不同的点时，可形成 对对顶角． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角的定义，熟记对顶角的概念是解题的关键．根据对顶角的概念即可求解． 【详解】解：若三条直线两两相交，最多有3个交点，对对顶角； 四条直线两两相交，最多有个交点，对对顶角； ， 条直线两两相交于不同的点时，可形成对对顶角； 故答案为：． 【题型2 垂线的定义及画法】 例2.如图，直线与直线相交于点O，则下列条件不能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂线，对顶角，解答本题的关键是通过条件计算出其中一个角为．根据垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直进行判定即可． 【详解】解：A、是对顶角，对顶角相等，不能判定垂直，故此选项符合题意； B、可以判定两直线垂直，故此选项不符合题意； C、和是邻补角，邻补角的和是，所以可以得到，能判定垂直，故此选项不符合题意； D、和是对顶角，对顶角相等，和又是，所以可得到，故此选项不符合题意； 故选：A． 【变式2-1】已知，直线经过点O且度，则等于（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】根据垂线的定义结合题意，分在的内部时，在的外部时，求解即可． 【详解】解：当在的内部时， ∵，， ∴， ∴． 当在的外部时， ． 故选C．    【点睛】本题考查垂线的定义，邻补角互补以及角的和差关系，利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． 【变式2-2】作图与探究: 如图，已知点A、O、B是正方形网格的格点(网格线的交点)，点P是∠AOB的边0B上的一点. (1)过点P画OB的垂线，交OA于点E; (2)过点P画OA的垂线，垂足为H; (3)过点P画OA的平行线PC; (4)若每个小正方形的边长是1,则点P到OA的距离是_________; (5)线段PE、PH、OE的大小关系是___________(用“<"连接). 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）1；（5）PH＜PE＜OE 【分析】（1）过点P作PEOB，交OA于点E即可； （2）过点P作PHOA，交OA于点H即可； （3）过点P画OA的平行线PC即可； （4）根据点到直线距离的定义得出结论； （5）根据“垂线段最短”得出结论． 【详解】（1）如图所示； （2）如图所示； （3）如图所示； （4）∵每个小正方形的边长是1， ∴点P到OA的距离是1． 故答案为：1； （5）PH⊥OA， ∴PH＜PE， ∵PE⊥OB， ∴PE＜OE， ∴PH＜PE＜OE． 故答案为：PH＜PE＜OE． 【点睛】本题考查的是作图-基本作图，熟知垂线段的作法是解答此题的关键． 【题型3 垂线段最短】 例3.如图所示，王师傅为了检验门框是否垂直于地面，在门框的上端A处用细线悬挂一铅锤，看门框是否与铅锤线重合．若门框垂直于地面，则会重合于，否则与不重合．下面哪个数学知识可以说明这个道理？（    ）    A．经过两点有且只有一条直线 B．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【分析】根据垂线的性质解答即可． 【详解】∵在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． ∴若门框垂直于地面，则会重合于，否则与不重合． 故选：D． 【点睛】本题考查了垂线的性质，熟练掌握垂线的性质是解答本题的关键．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 【变式3】如图，中，，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（    ） A．4.4 B．5 C．4.8 D．4 【答案】C 【分析】本题考查垂线段最短．根据垂线段最短，得到当时，的值最小，利用等积法进行计算即可。 【详解】解：∵点到直线的距离，垂线段最短， ∴当时，的值最小， 在中， ∵，，，， ∴，即：， ∴， 故选：C． 【题型4 点到直线的距离】 例4.下列图形中，线段的长表示点A到直线的距离的是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． 【详解】解：A．AD与BC不垂直，故线段AD的长不能表示点A到直线BC距离，不合题意； B． AD⊥BC于D，则线段AD的长表示点A到直线BC的距离，符合题意； C．AD与BC不垂直，故线段AD的长不能表示点A到直线BC距离，不合题意； D．AD与BC不垂直，故线段AD的长不能表示点A到直线BC距离，不合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了点到直线的距离的定义，注意从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段． 【变式4】如图，，交于点，于，连接． （1）若，则 ； （2）若．，，那么点到直线的距离是 cm． 【答案】 /65度 【分析】本题考查了点到直线的距离，对顶角以及邻补角，掌握对顶角以及邻补角的性质是解题的关键． （1）根据对顶角的性质得出，再由垂直的定义答案即可； （2）根据点到直线的距离即可得出答案． 【详解】解：（1）， ， ， ， ； （2），， 点到直线的距离是， 故答案为：，． 【题型5 垂直的实际应用】 例5.当光线垂直照射在太阳光板上时，接收的太阳光能最多．某一时刻太阳光的照射角度如图所示，要使此时接收的太阳光能最多，那么太阳光板绕支点A顺时针旋转的最小角度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂直的定义，余角的计算．根据太阳光板于太阳光垂直时，接收的太阳光能最多，得出旋转的最小角度即可． 【详解】解：由题意，可知太阳光板绕支点A顺时针旋转的最小角度为， 故答案为：． 【变式5】一束光线沿射向平静透明的水面，这束光线有一部分经过水面反射（平静的水面可以看成平面镜）形成光线，还有一部分光线折射到水中形成光线．当入射角和折射角满足时，，此时入射光线与水面的夹角的度数为 ． 【答案】/36度 【分析】本题考查了垂直的定义、余角的定义、角的和差，先根据反射角等于入射角得出，，再根据垂直的定义得出，然后根据周角为，列出方程求解即可． 【详解】解：根据题意，得， ， 即 故答案为：． 【题型6 垂直的计算】 例6.如图，直线相交于点O，于点O，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了对顶角相等、垂直的定义等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键． 根据垂直的定义可得，进而可得，然后根据对顶角相等即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【变式6-1】如图，，射线在平面内． (1)若与互补，则_____； (2)射线绕点从射线的反向延长线的位置出发，顺时针旋转角，平分． ①若，则的度数为______； ②是否存在的值，使得与互余，若存在，求出；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)①；②存在或使得与互余 【分析】（1）分如图1所示，当在的同侧时，如图2所示，当在的两侧时，两种情况根据补角的定义进行求解即可； （2）①先画出图形，求出，根据角平分线的定义得到，则；②分如图3所示，当在左侧时，如图4所示，当在右侧时，两种情况利用余角的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：如图1所示，当在的同侧时， ∵与互补， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图2所示，当在的两侧时， ∵与互补， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，或； （2）解：①如图，∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ②如图3所示，当在左侧时， ∵与互余， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图4所示，当在右侧时， ∵与互余， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 综上所述，存在或使得与互余．    【点睛】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，余角与补角的定义，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 【变式6-2】已知直线AB和CD交于点O，∠AOC＝α，∠BOE＝90°，OF平分∠AOD． （1）当α＝30°时，则∠EOC＝_________°；∠FOD＝_________°． （2）当α＝60°时，射线OE′从OE开始以12°/秒的速度绕点O逆时针转动，同时射线OF′从OF开始以8°/秒的速度绕点O顺时针转动，当射线OE′转动一周时射线OF′也停止转动，求经过多少秒射线OE′与射线OF′第一次重合？ （3）在（2）的条件下，射线OE′在转动一周的过程中，当∠E′OF′＝90°时，请直接写出射线OE′转动的时间为_________秒． 【答案】（1）60，75；（2）秒；（3）3或12或21或30 【分析】（1）根据题意利用互余和互补的定义可得：∠EOC与∠FOD的度数． （2）由题意先根据，得出∠EOF=150°，则射线OE'、OF'第一次重合时，其OE'运动的度数+OF'运动的度数=150，列式解出即可； （3）根据题意分两种情况在直线OE的左边和右边，进而根据其夹角列4个方程可得时间． 【详解】解：（1）∵∠BOE=90°， ∴∠AOE=90°， ∵∠AOC=α＝30°， ∴∠EOC=90°-30°=60°， ∠AOD=180°-30°=150°， ∵OF平分∠AOD， ∴∠FOD=∠AOD=×150°=75°； 故答案为：60，75； （2）当，． 设当射线与射线重合时至少需要t秒， 可得，解得：； 答：当射线与射线重合时至少需要秒； （3）设射线转动的时间为t秒， 由题意得：或或或， 解得：或12或21或30． 答：射线转动的时间为3或12或21或30秒． 【点睛】本题考查对顶角相等，邻补角互补的定义，角平分线的定义，角的计算，第三问有难度，熟记相关性质是解题的关键，注意要分情况讨论． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3相交线（4个知识点+6种题型） 【题型归纳】 【题型1 对顶角相等】 1 【题型2 垂线的定义及画法】 2 【题型3 垂线段最短】 2 【题型4 点到直线的距离】 3 【题型5 垂直的实际应用】 4 【题型6 垂直的计算】 4 一、知识梳理 知识点1：对顶角及其性质 两条直线相交所成的四个角中，有公共顶点没有公共边的两个角叫作对顶角. 两直线相交，对顶角相等 知识点2：垂线 垂线的概念：当两条相交直线所成的四个角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫做垂足。 垂线的性质：1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 2）两条直线互相垂直，则它们之间所形成的四个角为直角。 3）在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直线垂直于另一条。 知识点3：垂线段最短 垂线段最短定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 【注意事项】垂线是一条直线，而垂线段是一条线段。 知识点4：点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离 二、题型精讲 【题型1 对顶角相等】 例1.下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（　　） A．B．C． D． 【变式1】若条直线两两相交于不同的点时，可形成 对对顶角． 【题型2 垂线的定义及画法】 例2.如图，直线与直线相交于点O，则下列条件不能判断的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知，直线经过点O且度，则等于（    ） A． B． C．或 D． 【变式2-2】作图与探究: 如图，已知点A、O、B是正方形网格的格点(网格线的交点)，点P是∠AOB的边0B上的一点. (1)过点P画OB的垂线，交OA于点E; (2)过点P画OA的垂线，垂足为H; (3)过点P画OA的平行线PC; (4)若每个小正方形的边长是1,则点P到OA的距离是_________; (5)线段PE、PH、OE的大小关系是___________(用“<"连接). 【题型3 垂线段最短】 例3.如图所示，王师傅为了检验门框是否垂直于地面，在门框的上端A处用细线悬挂一铅锤，看门框是否与铅锤线重合．若门框垂直于地面，则会重合于，否则与不重合．下面哪个数学知识可以说明这个道理？（    ）    A．经过两点有且只有一条直线 B．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【变式3】如图，中，，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（    ） A．4.4 B．5 C．4.8 D．4 【题型4 点到直线的距离】 例4.下列图形中，线段的长表示点A到直线的距离的是（    ） A．B．C． D． 【变式4】如图，，交于点，于，连接． （1）若，则 ； （2）若．，，那么点到直线的距离是 cm． 【题型5 垂直的实际应用】 例5.当光线垂直照射在太阳光板上时，接收的太阳光能最多．某一时刻太阳光的照射角度如图所示，要使此时接收的太阳光能最多，那么太阳光板绕支点A顺时针旋转的最小角度为 ． 【变式5】一束光线沿射向平静透明的水面，这束光线有一部分经过水面反射（平静的水面可以看成平面镜）形成光线，还有一部分光线折射到水中形成光线．当入射角和折射角满足时，，此时入射光线与水面的夹角的度数为 ． 【题型6 垂直的计算】 例6.如图，直线相交于点O，于点O，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，，射线在平面内． (1)若与互补，则_____； (2)射线绕点从射线的反向延长线的位置出发，顺时针旋转角，平分． ①若，则的度数为______； ②是否存在的值，使得与互余，若存在，求出；若不存在，请说明理由． 【变式6-2】已知直线AB和CD交于点O，∠AOC＝α，∠BOE＝90°，OF平分∠AOD． （1）当α＝30°时，则∠EOC＝_________°；∠FOD＝_________°． （2）当α＝60°时，射线OE′从OE开始以12°/秒的速度绕点O逆时针转动，同时射线OF′从OF开始以8°/秒的速度绕点O顺时针转动，当射线OE′转动一周时射线OF′也停止转动，求经过多少秒射线OE′与射线OF′第一次重合？ （3）在（2）的条件下，射线OE′在转动一周的过程中，当∠E′OF′＝90°时，请直接写出射线OE′转动的时间为_________秒． 1 学科网（北京）股份有限公司 $