3.2代数式的概念 同步讲义 2026-2027学年苏科版数学七年级上册

第3章 3.2 代数式的概念 内 容 导 航 题型1 列代数式 题型2 代数式求值 题型3 规律型：数字的变化类 题型4 规律型：图形的变化类 考 点 演 练 题型1 列代数式 解｜题｜知｜识 （1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式． （2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换． 【典例1】某商品原价为a元，先提价10%，再降价10%，现价是（　　） A．a元 B．0.9a元 C．0.99a元 D．1.01a元 【变式1】某地某天凌晨的温度比上午9时的温度低12℃，中午12时的温度比凌晨的温度高20℃，晚上9时的温度比中午12时的温度低18℃，若该地当天上午9时的温度记为a℃，则当天晚上9时的温度应记为（　　） A．（a﹣10）℃ B．（a+32）℃ C．（10﹣a）℃ D．（32﹣a）℃ 【变式2】如图四幅图中，能正确表示2（a+4）这个式子的有（　　） A．①和② B．①和④ C．②和③ D．③和④ 【变式3】阅读下面的文字，完成后面的问题． 我们知道，； （1）依照上述规律，则可列式 　　 ， 　　 ． （2）用含n的式子表示你发现的规律：　　 ． （3）求式子的值． 题型2 代数式求值 解｜题｜知｜识 （1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值． （2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值． 题型简单总结以下三种： ①已知条件不化简，所给代数式化简； ②已知条件化简，所给代数式不化简； ③已知条件和所给代数式都要化简． 【典例1】已知a+b，a+c＝﹣2，那么代数式（b﹣c）2﹣2（c﹣b）的是（　　） A．﹣1 B．0 C．3 D．9 【变式1】若2a﹣b＝﹣4，则4a﹣2b+5的值为（　　） A．﹣3 B．13 C．﹣13 D．3 【变式2】已知a﹣2b＝2，那么4a﹣8b+1的值为（　　） A．﹣7 B．5 C．3 D．9 【变式3】某商场电器销售一种微波炉和电磁炉，微波炉每台定价700元，电磁炉每台定价200元．“11/11”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案． 方案一：买一台微波炉送一台电磁炉； 方案二：微波炉和电磁炉都按定价的80%付款． 现某客户要到该卖场购买微波炉20台，电磁炉x台（x＞20）． （1）若该客户按方案一购买，需付款　 　 元．（用含x的代数式表示），若该客户按方案二购买，需付款　 　 元．（用含x的代数式表示） （2）若x＝40，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？ （3）当x＝40时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法． 题型3 规律型：数字的变化类 解｜题｜知｜识 探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律． （1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式． （2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程． 【典例1】从2000年至2026年的27年中，一共有（　　）个闰年． A．4 B．5 C．6 D．7 【变式1】计算：的结果为（　　） A． B． C． D． 【变式2】数学老师根据〇中的三个数按照如下规律设置学校WIFI密码，根据提供的信息可以推断该校的WIFI密码a是（　　） A．322448 B．324824 C．468468 D．324880 【变式3】点A，B，M均是数轴上的点，给出如下定义：设点M到点A的距离为d1，点M到点B的距离为d2，若d1＝kd2（k＞0），则称点A是点B关于点M的“k倍关联点”．例如：当点A表示数1，点B表示数2，点M表示数3时，则称点A是点B关于点M的“2倍关联点”． （1）数轴上点A表示数﹣4，点M表示数﹣2． ①若点B表示数﹣6，且点A是点B关于点M的“k倍关联点”，则k＝ 　 ； ②若点A是点B关于点M的“2倍关联点”，在﹣5，﹣3，﹣1，0四个数中，点B可以表示的数是　 　 ； （2）数轴上点C表示数﹣1，点E表示数2，点P表示数6． 对点C作如下操作：点C沿数轴正方向移动一个单位长度得到点C1，点C1表示数c1；点C1沿数轴移动到点C2，点C2表示数c2，满足c1+c2＝4；点C2沿数轴正方向移动一个单位长度得到点C3，点C3表示数c3；点C3沿数轴移动到点C4，点C4表示数c4，满足c3+c4＝4；按照此方式继续操作，得到点C5，C6，⋯，∁n，⋯ 对点E作如下操作：点E沿数轴正方向移动一个单位长度得到点E1，点E1表示数e1；点E1沿数轴正方向移动一个单位长度得到点E2，点E2表示数e2；按照此方式继续操作，得到点E3，E4，⋯，En，⋯ ①点C1是点E1关于点P的“　 　 倍关联点”； ②当k为最小正整数时，是否存在正整数n，使得点∁n是点En关于点P的“k倍关联点”．如果存在，直接写出点En表示的数en的值；如果不存在，说明理由． 题型4 规律型：图形的变化类 解｜题｜知｜识 图形的变化类的规律题 首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题． 【典例1】下列图形都是由同样大小的圆圈按一定规律组成，如图①中共有3个圆圈，图②中共有8个圆圈，图③中共有15个圆圈，图④中共有24个圆圈，…，按此规律排列，则图⑮中圆圈的个数为多少（　　） A．225 B．235 C．245 D．255 【变式1】活动课上，小亮用火柴棒摆成了“小鱼”（如图）．按照这样的规律摆下去，摆n条“小鱼”需要火柴棒的根数是（　　） A．8+6（n﹣1） B．8+6（n+1） C．8+6n﹣1 D．8+6n 【变式2】如图所示是用棋子摆成的“小屋子”．摆第1个这样的“小屋子”需要5枚棋子，摆第2个这样的“小屋子”需要11枚棋子，…，摆第100个这样的“小屋子”需要的棋子数为（　　） A．596 B．601 C．599 D．600 【变式3】“低多边形风格”是一种数字艺术设计风格，它将整个区域分割成若干个三角形，通过把相邻三角形涂上不同颜色，产生立体及光影的效果，随着三角形数量的增加，效果更为斑斓绚丽（如图1）．受此启发，小聪提出如下问题：设多边形A1A2A3…An中，有m个“内点”B1，B2，B3，…，Bm，连接它们成一张互相毗邻的三角形网（n＝5，m＝4时的情形如图2）．若称每个小三角形为一个“网眼”，则网中“网眼”的个数t，多边形的边数n，多边形“内点”的个数m之间存在怎样的数量关系． 小慧采用由特殊到一般的方法进行探索，当多边形为三角形（n＝3）时，列表如下： 三角形（n＝3） … 三角形内点的个数（m） 1 2 3 … 网眼个数（t） 3 x y … （1）表中x＝　 ，y＝　 　 ．根据上述探索过程，猜想m，t之间满足的等量关系为 　 ． （2）根据小慧同学的探索思路，当多边形为四边形（n＝4）时，写出m，t之间满足的等量关系　 　 ． （3）若已知一个多边形内的“网眼”个数比边数多12，求这个多边形“内点”的个数． 过 关 验 收 1. 一个两位数的个位数字是a，十位数字是b，则这个两位数可表示为（　　） A．ab B．a+b C．10a+b D．10b+a 2. 某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过20立方米，每立方米a元；超过部分每立方米（a+2）元．该地区某家庭上月用水量为25立方米，则应缴水费（　　） A．25a元 B．（25a+10）元 C．（25a+50）元 D．（20a+10）元 3. 某商店进了一批商品，每件商品的进价为 a元，若要获利20%，则每件商品的零售价应定为（　　） A．20% a元 B．（1﹣20%） a元 C．（1+20%） a元 D．元 4. 某人去水果批发市场采购香蕉，他看中了A、B两家香蕉．这两家香蕉品质一样，零售价都为6元/千克，批发价各不相同． A家规定：批发数量不超过1000千克，全部按零售价的90%优惠； 批发数量超过1000千克，全部按零售价的85%优惠．（如：批发香蕉3000千克，直接按6×3000×85%计算） B家规定批发价格分段计算，如表所示： 数量范围（千克） 0～500 500以上 价格（元） 零售价的95% 零售价的80% 如：批发香蕉2100千克，则批发总价格＝6×95%×500+6×80%×（2100﹣500） （1）如果他批发600千克香蕉，则他在A、B两家批发各需要多少钱； （2）如果他批发x千克香蕉（500＜x＜1000），则他在A、B两家批发各需要多少钱（用含有x的代数式表示）； （3）若现有资金3402元，请说明在哪家店购买香蕉更合适？请说明理由． 5. 在密码学中，你直接可以看到的内容为明文（真实文），对明文进行某种处理后得到的内容为密文．现有一种密码把英文的明文单词按字母分解，其中英文的26个小写字母依次对应1，2，3．．．．，26这26个自然数，见以下表格： 现给出一个公式：，将明文字母对应的数字A按以上公式计算得到密文字母对应的数字A′，比如明文字母为e，，所以明文字母e对应的密文字母为c．若密文是dhho，则对应的明文是（　　） A． well B．good C．best D．Oqqh 6. 已知3x﹣y+5＝0，则代数式2y﹣6x+7的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．17 D．﹣17 7. 已知：x2﹣3x﹣6＝0，则代数式3x2﹣9x﹣6的值为（　　） A．﹣18 B．18 C．﹣12 D．12 8. 如图，正方形ABCD的边长为a． （1）根据图中数据，用含a，b的代数式表示阴影部分的面积S； （2）当a＝6，b＝2时，求阴影部分的面积． 9. 将连续正整数按如图所示的位置顺序排列，根据排列规律，则2025应在（　　） A．A处 B．B处 C．C处 D．D处 10. 如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为1）上，A，B，C三点将圆三等分，将点A与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点B与数轴上表示2的点重合，点C与数轴上表示3的点重合，点A与数轴上表示4的点重合，…若当圆停止运动时点B正好落到数轴上，则点B对应的数轴上的数可能为（　　） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 11. 如图是中药店某种杆秤，在秤杆的点A处固定提纽，点B处挂秤盘，点C为0刻度点，当秤盘不放物品时，提起提纽，秤砣所挂位置移动到点C，秤杆处于平衡，当秤盘中放入xg物品后移动秤砣．秤砣所挂位置与提纽的距离为ymm时秤杆处于平衡，测得x与y的几组对应数据如表，由表中数据的规律可知，当x＝15g时，y的长度是（　　） x/g 0 2 4 6 10 y/mm 10 14 18 22 30 A．30mm B．40mm C．50mm D．60mm 12. 洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一，对于其来源于何处，如今有各种传说．图1即洛书，数出图1中各处的圆圈和圆点个数，并按照图1中的顺序把它们填入正方形方格中，就得到一个“三阶”幻方（图2）． 【观察发现】 图2“三阶”幻方的每行，每列，每条对角线上数字之和都等于15，中间的数为5，若将“三阶”幻方的每行、每列、每条对角线上三个数字之和称为“幻方和”，中间的数称为“中心数”，发现“幻方和”是“中心数”的3倍． 【猜想验证】 猜想：“三阶”幻方的“幻方和”是“中心数”的3倍． 说明理由：如图3，将“三阶”幻方中的9个数字分别用字母a、b、c、d、e、f、g、m、n表示，其中“中心数”为e，将“幻方和”用字母s表示． 由题意可知：（a+b+c）+（d+e+f）+（g+m+n）＝3s： 又因为（a+e+n）+（d+e+f）+（g+e+c）+（b+e+m）＝4s； 即a+b+c+d+e+f+g+m+n+3e＝4s； 所以3s+3e＝4s，所以3e＝s，即“幻方和”是“中心数”的3倍． 【解决问题】 利用上述结论解决问题： （1）如图3，已知b＝3，g＝4，幻方的“中心数”e＝﹣1，则n的值为 　﹣2　 ； （2）如图4，A、B、C、D、E、F是含有字母t的整式，E＝t，C＝3t+2． ①若幻方的“中心数”D＝2t+2，求整式F（用含t的式子表示）； ②若幻方的“中心数”D＝m，B＝at+m，且a、m均为常数，求a、m的值． 13. 有一个长方形棋盘，每个小方格的边长都是1，长有200格、宽有120格（如图），纵横线交叉的点称为格点，连接A、B两点的线段共经过（　　）个格点（包括A、B两点）． A．20 B．21 C．40 D．41 14. 如图，将一根绳子折成三段并对齐，然后按如图所示的虚线平行剪开．若剪10刀，绳子会变成（　　） A．21段 B．29段 C．31段 D．39段 15. 现需通过多次剪裁，把它剪成若干个扇形．如图1，⊙O表示一圆形纸板，操作过程如下：第一次剪裁，将圆形纸板等分成4个扇形（如图2）；第二次剪裁，将上次得到的扇形中的某一个再等分成4个扇形（如图3）；以后按第二次剪裁的做法进行下去．按上述操作过程，若将原来的圆形纸板剪成151个扇形，共需进行剪裁（　　） A．49次 B．50次 C．51次 D．52次 16. 探秘铺地锦中的代数规律． 【问题情境】明代著作《算法统宗》中记载一种古代用于笔算乘法的格子算法——铺地锦． 【知识理解】如图①，计算：31×47，先将乘数31和47分别写在大方格的上面和右面，然后用31的每位数字分别乘以47的每位数字，并将结果记入对应小方格的三角形中，最后再把大方格内同一斜线上的数相加，满十进一，得1457． 【知识初探】（1）如图②，是用铺地锦计算12×34的过程，格子中m＝　 　 ； （2）如图③，是用铺地锦计算两个两位数乘积的过程，则a＝　 　 ； 【知识再探】在铺地锦算法中，我们把大方格内同一斜线从右下向左上编号，最右下角为第1条斜线，设Sk表示铺地锦表格中第k条斜线上所有数字之和；∁k为第k条斜线相加后的进位值，如相加后没有进位，则∁k＝0．如图①中，S3＝0+2+2＝4，C2＝0． 【知识应用】（3）如图④，是用铺地锦计算314×28乘积的过程，S3＝　 　 ，C2＝　 　 ； 【拓展创新】（4）将十进制铺地锦推广到五进制，即满五进一，如图⑤，是用铺地锦计算五进制下32×14的过程，格子中m＝　 　 ，n＝　 　 ；它们的乘积等于　 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 3.2 代数式的概念 内 容 导 航 题型1 列代数式 题型2 代数式求值 题型3 规律型：数字的变化类 题型4 规律型：图形的变化类 考 点 演 练 题型1 列代数式 解｜题｜知｜识 （1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式． （2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换． 【典例1】某商品原价为a元，先提价10%，再降价10%，现价是（　　） A．a元 B．0.9a元 C．0.99a元 D．1.01a元 【答案】B 【解答】解：由条件可知连续百分比变化后的价格：a（1+10%）＝1.1a（元）． ∴1.1a（1﹣10%）＝0.99a（元）． 故选：B． 【变式1】某地某天凌晨的温度比上午9时的温度低12℃，中午12时的温度比凌晨的温度高20℃，晚上9时的温度比中午12时的温度低18℃，若该地当天上午9时的温度记为a℃，则当天晚上9时的温度应记为（　　） A．（a﹣10）℃ B．（a+32）℃ C．（10﹣a）℃ D．（32﹣a）℃ 【答案】A 【解答】解：根据题意可得： a﹣12+20﹣18＝a+8﹣18＝（a﹣10）℃． 故选：A． 【变式2】如图四幅图中，能正确表示2（a+4）这个式子的有（　　） A．①和② B．①和④ C．②和③ D．③和④ 【答案】D 【解答】解：①线段AB的长度为a+4+4＝a+8，不符合题意； ②线段CD的长度为2+a+4＝a+6，不符合题意； ③长方形的周长为2（a+4），符合题意； ④整个图形的面积为2（a+4），符合题意； 能正确表示2（a+4）这个式子的有③和④， 故选：D． 【变式3】阅读下面的文字，完成后面的问题． 我们知道，； （1）依照上述规律，则可列式 　　 ， 　　 ． （2）用含n的式子表示你发现的规律：　　 ． （3）求式子的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1），． 故答案为：，． （2）用含n的式子表示发现的规律为． 故答案为：． （3）原式＝1 ＝1 ． 题型2 代数式求值 解｜题｜知｜识 （1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值． （2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值． 题型简单总结以下三种： ①已知条件不化简，所给代数式化简； ②已知条件化简，所给代数式不化简； ③已知条件和所给代数式都要化简． 【典例1】已知a+b，a+c＝﹣2，那么代数式（b﹣c）2﹣2（c﹣b）的是（　　） A．﹣1 B．0 C．3 D．9 【答案】D 【解答】解：∵a+b，a+c＝﹣2， ∴（a+b）﹣（a+c）2，即b﹣c， 则（b﹣c）2﹣2（c﹣b） ＝（b﹣c）2+2（b﹣c） 5 ＝9． 故选：D． 【变式1】若2a﹣b＝﹣4，则4a﹣2b+5的值为（　　） A．﹣3 B．13 C．﹣13 D．3 【答案】A． 【解答】解：当2a﹣b＝﹣4时，原式＝2（2a﹣b）+5＝2×（﹣4）+5＝﹣3． 故选：A． 【变式2】已知a﹣2b＝2，那么4a﹣8b+1的值为（　　） A．﹣7 B．5 C．3 D．9 【答案】D． 【解答】解：当a﹣2b＝2时，原式＝4（a﹣2b）+1＝4×2+1＝9． 故选：D． 【变式3】某商场电器销售一种微波炉和电磁炉，微波炉每台定价700元，电磁炉每台定价200元．“11/11”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案． 方案一：买一台微波炉送一台电磁炉； 方案二：微波炉和电磁炉都按定价的80%付款． 现某客户要到该卖场购买微波炉20台，电磁炉x台（x＞20）． （1）若该客户按方案一购买，需付款　（200x+10000）　 元．（用含x的代数式表示），若该客户按方案二购买，需付款　（160x+11200）　 元．（用含x的代数式表示） （2）若x＝40，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？ （3）当x＝40时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）700×20+200（x﹣20）＝200x+10000（元）， （700×20+200x）×80%＝160x+11200（元）； 故答案为：（200x+10000）；（160x+11200）； （2）方案一：当x＝40时，原式＝200×40+10000＝18000（元） 方案二：当x＝40时，原式＝11200+160×40＝17600（元） ∵18000＞17600 ∴按方案二购买较为合算 （3）按方案一购买20台微波炉，则可送20台电磁炉；再按方案二购买20台电磁炉． 总金额为：20×700+20×200×80%＝17200（元） 题型3 规律型：数字的变化类 解｜题｜知｜识 探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律． （1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式． （2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程． 【典例1】从2000年至2026年的27年中，一共有（　　）个闰年． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【解答】解：∵2000÷400＝5， ∴2000年为闰年.2001至2026年中的闰年为2004，2008，2012，2016，2020，2024，共6个． ∴从2000年至2026年的27年中，一共有1+6＝7个闰年． 故选：D． 【变式1】计算：的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：计算结果为：， 故选：B． 【变式2】数学老师根据〇中的三个数按照如下规律设置学校WIFI密码，根据提供的信息可以推断该校的WIFI密码a是（　　） A．322448 B．324824 C．468468 D．324880 【答案】D 【解答】解：由前3个密码与三个数字的关系可以发现： 第1、2个数字为最上面的数与下面右边的数的积； 第3、4个数字为下面的两个数的积； 第5、6个数字为最上面的数与下面左边的数的和与右边的数的积． 4×8＝32，6×8＝48，（4+6）×8＝80， 所以密码是324880， 故选：D． 【变式3】点A，B，M均是数轴上的点，给出如下定义：设点M到点A的距离为d1，点M到点B的距离为d2，若d1＝kd2（k＞0），则称点A是点B关于点M的“k倍关联点”．例如：当点A表示数1，点B表示数2，点M表示数3时，则称点A是点B关于点M的“2倍关联点”． （1）数轴上点A表示数﹣4，点M表示数﹣2． ①若点B表示数﹣6，且点A是点B关于点M的“k倍关联点”，则k＝　　 ； ②若点A是点B关于点M的“2倍关联点”，在﹣5，﹣3，﹣1，0四个数中，点B可以表示的数是　﹣3或﹣1　 ； （2）数轴上点C表示数﹣1，点E表示数2，点P表示数6． 对点C作如下操作：点C沿数轴正方向移动一个单位长度得到点C1，点C1表示数c1；点C1沿数轴移动到点C2，点C2表示数c2，满足c1+c2＝4；点C2沿数轴正方向移动一个单位长度得到点C3，点C3表示数c3；点C3沿数轴移动到点C4，点C4表示数c4，满足c3+c4＝4；按照此方式继续操作，得到点C5，C6，⋯，∁n，⋯ 对点E作如下操作：点E沿数轴正方向移动一个单位长度得到点E1，点E1表示数e1；点E1沿数轴正方向移动一个单位长度得到点E2，点E2表示数e2；按照此方式继续操作，得到点E3，E4，⋯，En，⋯ ①点C1是点E1关于点P的“　2　 倍关联点”； ②当k为最小正整数时，是否存在正整数n，使得点∁n是点En关于点P的“k倍关联点”．如果存在，直接写出点En表示的数en的值；如果不存在，说明理由． 【答案】（1）①；②﹣3或﹣1； （2）①2；②存在，4或5或8． 【解答】解：（1）①∵点A表示数﹣4，点M表示数﹣2，点B表示数﹣6， ∴d1＝|﹣4﹣（﹣2）|＝2，d2＝|﹣6﹣（﹣2）|＝4， 又∵点A是点B关于点M的“k倍关联点”， ∴d1＝kd2， 即2＝4k， ∴； ②设点B表示数为b， 则d1＝|﹣4﹣（﹣2）|＝2，d2＝|b﹣（﹣2）|＝|b+2|， ∵点A是点B关于点M的“2倍关联点”， ∴d1＝2d2， 即2＝2|b+2|， 解得b＝﹣1或b＝﹣3， 因此，在﹣5，﹣3，﹣1，0四个数中，点B可以表示的数是﹣3，﹣1． 故答案为：，﹣3或﹣1； （2）先分析点的变化规律： 点C系列： ∵c1＝﹣1+1＝0，且c1+c2＝4， ∴c2＝4﹣0＝4 ∴c3＝4+1＝5，且c3+c4＝4， ∴c4＝4﹣5＝﹣1， ∴c5＝﹣1+1＝0， 按照0，4，5，﹣1的顺序循环，周期为4； 点E系列： ∵e1＝2+1＝3，e2＝3+1＝4，…， ∴en＝2+n， ①∵c1＝0，e1＝3，点P表示数6， ∴d1＝|0﹣6|＝6，d2＝|3﹣6|＝3， 由d1＝kd2得6＝3k， 解得k＝2． 故答案为：2； ②存在，理由如下： ∵k为最小正整数， ∴k＝1， 若点∁n是点En关于点P的“k倍关联点”， 则|cn﹣6|＝|en﹣6|， 当n为奇数时，|0﹣6|＝|2+n﹣6|或|5﹣6|＝|2+n﹣6|， 解得n＝3或5（舍去非正整数以及偶数的值）， 此时，en＝2+3＝5； 当n为偶数时， ∴|4﹣6|＝|2+n﹣6|或|﹣1﹣6|＝|2+n﹣6|， 解得，n＝2或6（已舍去非正整数以及奇数的值）， 此时，en＝2+2＝4或en＝6+2＝8， 综上，en的值为4或5或8． 答：存在，点En表示的数en的值为4或5或8． 题型4 规律型：图形的变化类 解｜题｜知｜识 图形的变化类的规律题 首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题． 【典例1】下列图形都是由同样大小的圆圈按一定规律组成，如图①中共有3个圆圈，图②中共有8个圆圈，图③中共有15个圆圈，图④中共有24个圆圈，…，按此规律排列，则图⑮中圆圈的个数为多少（　　） A．225 B．235 C．245 D．255 【答案】D 【解答】解：观察发现图n中有n+n（n+1）＝（n2+2n）个圆圈， ∴图⑮中圆圈的个数为152+2×15＝255； 故选：D． 【变式1】活动课上，小亮用火柴棒摆成了“小鱼”（如图）．按照这样的规律摆下去，摆n条“小鱼”需要火柴棒的根数是（　　） A．8+6（n﹣1） B．8+6（n+1） C．8+6n﹣1 D．8+6n 【答案】A 【解答】解：观察图形可知：摆n条小鱼需要火柴棒的根数为8+6（n﹣1）根． 故选：A． 【变式2】如图所示是用棋子摆成的“小屋子”．摆第1个这样的“小屋子”需要5枚棋子，摆第2个这样的“小屋子”需要11枚棋子，…，摆第100个这样的“小屋子”需要的棋子数为（　　） A．596 B．601 C．599 D．600 【答案】C 【解答】解：∵第1个这样的“小屋子”需要5枚棋子， 第2个这样的“小屋子”需要11枚棋子， 第3个这样的“小屋子”需要17枚棋子， 第4个这样的“小屋子”需要23枚棋子， …， ∴第n个图形需要（6n﹣1）枚棋子， ∴摆第100个这样的“小屋子”需要的棋子数为6×100﹣1＝599（枚）； 故选：C． 【变式3】“低多边形风格”是一种数字艺术设计风格，它将整个区域分割成若干个三角形，通过把相邻三角形涂上不同颜色，产生立体及光影的效果，随着三角形数量的增加，效果更为斑斓绚丽（如图1）．受此启发，小聪提出如下问题：设多边形A1A2A3…An中，有m个“内点”B1，B2，B3，…，Bm，连接它们成一张互相毗邻的三角形网（n＝5，m＝4时的情形如图2）．若称每个小三角形为一个“网眼”，则网中“网眼”的个数t，多边形的边数n，多边形“内点”的个数m之间存在怎样的数量关系． 小慧采用由特殊到一般的方法进行探索，当多边形为三角形（n＝3）时，列表如下： 三角形（n＝3） … 三角形内点的个数（m） 1 2 3 … 网眼个数（t） 3 x y … （1）表中x＝　5　 ，y＝　7　 ．根据上述探索过程，猜想m，t之间满足的等量关系为t＝2m+2　 ． （2）根据小慧同学的探索思路，当多边形为四边形（n＝4）时，写出m，t之间满足的等量关系　这个多边形“内点”的个数为7　 ． （3）若已知一个多边形内的“网眼”个数比边数多12，求这个多边形“内点”的个数． 【答案】（1）5，7；t＝2m+1； （2）t＝2m+2； （3）这个多边形“内点”的个数为7． 【解答】解：（1）观察图形，网眼个数如下： 当m＝2时，t＝2×2+1＝5，即x＝5； 当m＝3时，t＝2×3+1＝7，即y＝7； … 可见，网眼点数每增加1个，则三角形内点个数就增加2， 归纳得t＝2m+1． 故答案为：5，7；t＝2m+1． （2）如图，当n＝4时， 取m＝1，得t＝4＝2×1+2； 取m＝2，得t＝6＝2×2+2； 取m＝3，得t＝8＝2×3+2； 取m＝4，得t＝10＝2×4+2； 取m＝5，得t＝12＝2×5+2； 取m＝6，得t＝14＝2×6+2； 取m＝7，得t＝16＝2×7+2； … 可见，网眼点数每增加1个，则三角形内点个数就增加2， 归纳得t＝2m+2． 故答案为：t＝2m+2． （3）由多边形三角剖分的一般规律，得t＝2m+（n﹣2）． 已知t﹣n＝12，代入得2m+（n﹣2）﹣n＝12， 化简得2m﹣2＝12， 解得m＝7． 答：这个多边形“内点”的个数为7． 过 关 验 收 1. 一个两位数的个位数字是a，十位数字是b，则这个两位数可表示为（　　） A．ab B．a+b C．10a+b D．10b+a 【答案】D 【解答】解：这个两位数可表示为：10b+a． 故选：D． 2. 某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过20立方米，每立方米a元；超过部分每立方米（a+2）元．该地区某家庭上月用水量为25立方米，则应缴水费（　　） A．25a元 B．（25a+10）元 C．（25a+50）元 D．（20a+10）元 【答案】B 【解答】解：20a+（a+2）（25﹣20） ＝20a+5a+10 ＝（25a+10）（元）， 故选：B． 3. 某商店进了一批商品，每件商品的进价为 a元，若要获利20%，则每件商品的零售价应定为（　　） A．20% a元 B．（1﹣20%） a元 C．（1+20%） a元 D．元 【答案】C 【解答】解：由题意可得， 每件商品的零售价为：a（1+20%）元， 故选：C． 4. 某人去水果批发市场采购香蕉，他看中了A、B两家香蕉．这两家香蕉品质一样，零售价都为6元/千克，批发价各不相同． A家规定：批发数量不超过1000千克，全部按零售价的90%优惠； 批发数量超过1000千克，全部按零售价的85%优惠．（如：批发香蕉3000千克，直接按6×3000×85%计算） B家规定批发价格分段计算，如表所示： 数量范围（千克） 0～500 500以上 价格（元） 零售价的95% 零售价的80% 如：批发香蕉2100千克，则批发总价格＝6×95%×500+6×80%×（2100﹣500） （1）如果他批发600千克香蕉，则他在A、B两家批发各需要多少钱； （2）如果他批发x千克香蕉（500＜x＜1000），则他在A、B两家批发各需要多少钱（用含有x的代数式表示）； （3）若现有资金3402元，请说明在哪家店购买香蕉更合适？请说明理由． 【答案】（1）A家：3240元；B家：3330元； （2）A家：5.4x元；B家：（4.8x+450）元； （3）在A家购买更合适， 在A家：因为A家购买1000千克的费用为1000×5.4＝5400＞3402， 设购买数量为y千克，则5.4y＝3402， ∴y＝630， 在B家：若购买数量y≤500， 最大费用为5.7×500＝2850＜3402（元）， 故y＞500． 4.8y+450＝3402， ∴y＝615， ∵在A家可购买630千克，在B家可购买615千克，630＞615． ∴在A家购买更合适． 【解答】解：（1）两家香蕉品质一样，零售价都为6元/千克，批发价各不相同． A家规定：批发数量不超过1000千克，全部按零售价的90%优惠； A家：批发单价＝6×90%＝5.4（元/千克）， 总费用＝5.4×600＝3240（元）； B家：前500千克费用＝6×95%×500＝5.7×500＝2850（元）， 超过部分费用＝6×80%×（600﹣500）＝4.8×100＝480（元）， 总费用＝2850+480＝3330（元）， 因此，在A家批发需要3240元，在B家批发需要3330元． （2）A家：总费用＝批发单价•x＝5.4x元 B家：总费用＝前500千克费用+超过部分费用 ＝6×95%×500+6×80%×（x﹣500） ＝5.7×500+4.8×（x﹣500） ＝2850+4.8x﹣2400 ＝（4.8x+450）（元）， 因此，在A家批发需要5.4x元，在B家批发需要（4.8x+450）元； （3）A家规定：批发数量不超过1000千克，全部按零售价的90%优惠； 在A家：因为A家购买1000千克的费用为1000×5.4＝5400＞3402， 所以购买数量小于1000千克，适用此单价， 设购买数量为y千克，则5.4y＝3402， 解得：y＝630， 在B家：若购买数量y≤500， 最大费用为5.7×500＝2850＜3402（元）， 故y＞500． 4.8y+450＝3402， 解得：y＝615， ∵3402元在A家可购买630千克，在B家可购买615千克，630＞615． ∴在A家购买更合适． 5. 在密码学中，你直接可以看到的内容为明文（真实文），对明文进行某种处理后得到的内容为密文．现有一种密码把英文的明文单词按字母分解，其中英文的26个小写字母依次对应1，2，3．．．．，26这26个自然数，见以下表格： 现给出一个公式：，将明文字母对应的数字A按以上公式计算得到密文字母对应的数字A′，比如明文字母为e，，所以明文字母e对应的密文字母为c．若密文是dhho，则对应的明文是（　　） A．well B．good C．best D．oqqh 【答案】B 【解答】解：根据题意可知，：， ∵密文字母为d，对应的数字是4， ∴， 解得A＝7，其对应的明文字母是g； ∵密文字母为h，对应的数字是8， ∴， 解得A＝15，其对应的明文字母是o； ∵密文字母为o，对应的数字是15， ∴， 解得A＝4，其对应的明文字母是d， ∴对应的明文是good． 故选：B． 6. 已知3x﹣y+5＝0，则代数式2y﹣6x+7的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．17 D．﹣17 【答案】C 【解答】解：∵2y﹣6x+7＝﹣6x+2y+7， ∵3x﹣y+5＝0， ∴3x﹣y＝﹣5， ∴当3x﹣y＝﹣5时，原式＝﹣6x+2y+7＝﹣2（3x﹣y）+7＝﹣2×（﹣5）+7＝17． 故选：C． 7. 已知：x2﹣3x﹣6＝0，则代数式3x2﹣9x﹣6的值为（　　） A．﹣18 B．18 C．﹣12 D．12 【答案】D． 【解答】解：∵x2﹣3x﹣6＝0， ∴x2﹣3x＝6， ∴当x2﹣3x＝6时，原式＝3（x2﹣3x）﹣6＝3×6﹣6＝12． 8. 如图，正方形ABCD的边长为a． （1）根据图中数据，用含a，b的代数式表示阴影部分的面积S； （2）当a＝6，b＝2时，求阴影部分的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）S阴影＝S正方形﹣S△ABC﹣S△DEF ＝a2a24b ； （2）当a＝6，b＝2时， S阴影 ＝14． 9. 将连续正整数按如图所示的位置顺序排列，根据排列规律，则2025应在（　　） A．A处 B．B处 C．C处 D．D处 【答案】D 【解答】解：由题知， 在C处位置的数是4的整数倍． 因为4×506＝2024， 所以数字2024在C处， 则数2025在D处． 故选：D． 10. 如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为1）上，A，B，C三点将圆三等分，将点A与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点B与数轴上表示2的点重合，点C与数轴上表示3的点重合，点A与数轴上表示4的点重合，…若当圆停止运动时点B正好落到数轴上，则点B对应的数轴上的数可能为（　　） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【答案】C 【解答】解：由题知， 点B依次与数轴上表示2，5，8，11，…，的点重合， 所以数轴上与点B重合的点表示的数可用代数式表示为3n﹣1（n为正整数）． 由3n﹣1＝2026得，n， 由3n﹣1＝2025得，n， 由3n﹣1＝2024得，n＝675， 由3n﹣1＝2023得，n， 显然只有C选项符合题意． 故选：C． 11. 如图是中药店某种杆秤，在秤杆的点A处固定提纽，点B处挂秤盘，点C为0刻度点，当秤盘不放物品时，提起提纽，秤砣所挂位置移动到点C，秤杆处于平衡，当秤盘中放入xg物品后移动秤砣．秤砣所挂位置与提纽的距离为ymm时秤杆处于平衡，测得x与y的几组对应数据如表，由表中数据的规律可知，当x＝15g时，y的长度是（　　） x/g 0 2 4 6 10 y/mm 10 14 18 22 30 A．30mm B．40mm C．50mm D．60mm 【答案】B 【解答】解：观察表格中数据的变化规律可知： 当x＝0时，y＝10； 当x＝2时，y＝14＝10+2×2， 当x＝4时，y＝18＝10+2×4， 当x＝6时，y＝22＝10+2×6， 当x＝10时，y＝30＝10+2×10， ∴y＝10+2x， ∴x＝15时，y＝10+2×15＝10+30＝40． 故选：B． 12. 洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一，对于其来源于何处，如今有各种传说．图1即洛书，数出图1中各处的圆圈和圆点个数，并按照图1中的顺序把它们填入正方形方格中，就得到一个“三阶”幻方（图2）． 【观察发现】 图2“三阶”幻方的每行，每列，每条对角线上数字之和都等于15，中间的数为5，若将“三阶”幻方的每行、每列、每条对角线上三个数字之和称为“幻方和”，中间的数称为“中心数”，发现“幻方和”是“中心数”的3倍． 【猜想验证】 猜想：“三阶”幻方的“幻方和”是“中心数”的3倍． 说明理由：如图3，将“三阶”幻方中的9个数字分别用字母a、b、c、d、e、f、g、m、n表示，其中“中心数”为e，将“幻方和”用字母s表示． 由题意可知：（a+b+c）+（d+e+f）+（g+m+n）＝3s： 又因为（a+e+n）+（d+e+f）+（g+e+c）+（b+e+m）＝4s； 即a+b+c+d+e+f+g+m+n+3e＝4s； 所以3s+3e＝4s，所以3e＝s，即“幻方和”是“中心数”的3倍． 【解决问题】 利用上述结论解决问题： （1）如图3，已知b＝3，g＝4，幻方的“中心数”e＝﹣1，则n的值为 　﹣2　 ； （2）如图4，A、B、C、D、E、F是含有字母t的整式，E＝t，C＝3t+2． ①若幻方的“中心数”D＝2t+2，求整式F（用含t的式子表示）； ②若幻方的“中心数”D＝m，B＝at+m，且a、m均为常数，求a、m的值． 【答案】（1）﹣2； （2）①2t+4； ②m，a＝﹣7． 【解答】解：（1）由题意得：m＝3e﹣b﹣e＝﹣2﹣3＝﹣5，n＝3e﹣g﹣m＝﹣3﹣4﹣（﹣5）＝﹣2， 故答案为：﹣2； （2）①由题意得：F＝3D﹣C﹣E＝3（2t+2）﹣（3t+2）﹣t＝2t+4； ②由题意得：A＝3D﹣B﹣C＝3m﹣（at+m）﹣（3t+2）＝2m﹣2﹣（a+3）t， F＝3D﹣C﹣E＝3m﹣（3t+2）﹣t＝﹣4t+3m﹣2， ∵A+D+F＝3D， ∴A+F＝2D，即2m﹣2﹣（a+3）t﹣4t+3m﹣2＝2m， 化简得：3m﹣4﹣（a+7）t＝0， ∴3m﹣4＝0且a+7＝0， 解得：m，a＝﹣7． 13. 有一个长方形棋盘，每个小方格的边长都是1，长有200格、宽有120格（如图），纵横线交叉的点称为格点，连接A、B两点的线段共经过（　　）个格点（包括A、B两点）． A．20 B．21 C．40 D．41 【答案】D 【解答】解：如图，对角线的长来讲，每经过5个小方格，就经过一个格点，或对宽来讲，每经过3个小方格，就经过一个格点， 200÷5+1＝41（个）． 故选：D． 14. 如图，将一根绳子折成三段并对齐，然后按如图所示的虚线平行剪开．若剪10刀，绳子会变成（　　） A．21段 B．29段 C．31段 D．39段 【答案】C 【解答】解：由题知， 剪1刀，绳子的段数为4＝1×3+1； 剪2刀，绳子的段数为7＝2×3+1； 剪3刀，绳子的段数为10＝3×3+1； …， 所以剪n刀，绳子的段数为（3n+1）段． 当n＝10时， 3n+1＝3×10+1＝31（段）， 即剪10刀，绳子的段数为31段． 故选：C． 15. 现需通过多次剪裁，把它剪成若干个扇形．如图1，⊙O表示一圆形纸板，操作过程如下：第一次剪裁，将圆形纸板等分成4个扇形（如图2）；第二次剪裁，将上次得到的扇形中的某一个再等分成4个扇形（如图3）；以后按第二次剪裁的做法进行下去．按上述操作过程，若将原来的圆形纸板剪成151个扇形，共需进行剪裁（　　） A．49次 B．50次 C．51次 D．52次 【答案】B 【解答】解：由所给图形可知， 第一次剪裁后，所得扇形的个数为：4＝1×3+1； 第二次剪裁后，所得扇形的个数为：7＝2×3+1； 第三次剪裁后，所得扇形的个数为：10＝3×3+1； …， 所以第n次剪裁后，所得扇形的个数为（3n+1）个． 令3n+1＝151， 解得n＝50， 所以若将原来的圆形纸板剪成151个扇形，共需进行剪裁50次． 故选：B． 16. 探秘铺地锦中的代数规律． 【问题情境】明代著作《算法统宗》中记载一种古代用于笔算乘法的格子算法——铺地锦． 【知识理解】如图①，计算：31×47，先将乘数31和47分别写在大方格的上面和右面，然后用31的每位数字分别乘以47的每位数字，并将结果记入对应小方格的三角形中，最后再把大方格内同一斜线上的数相加，满十进一，得1457． 【知识初探】（1）如图②，是用铺地锦计算12×34的过程，格子中m＝　0　 ； （2）如图③，是用铺地锦计算两个两位数乘积的过程，则a＝　3　 ； 【知识再探】在铺地锦算法中，我们把大方格内同一斜线从右下向左上编号，最右下角为第1条斜线，设Sk表示铺地锦表格中第k条斜线上所有数字之和；∁k为第k条斜线相加后的进位值，如相加后没有进位，则∁k＝0．如图①中，S3＝0+2+2＝4，C2＝0． 【知识应用】（3）如图④，是用铺地锦计算314×28乘积的过程，S3＝　6　 ，C2＝　1　 ； 【拓展创新】（4）将十进制铺地锦推广到五进制，即满五进一，如图⑤，是用铺地锦计算五进制下32×14的过程，格子中m＝　2　 ，n＝　3　 ；它们的乘积等于　1103　 ． 【答案】（1）0； （2）3； （3）6，1； （4）2，3，1103． 【解答】解：（1）如图， ∴m＝0， 故答案为：0； （2）如图， ∴4a＝10×1+a﹣1 解得a＝3， 故答案为：3； （3）如图， ∴S3＝0+2+0+4＝6， ∵S2＝8+3+8＝19， ∴C2＝1， 故答案为：6，1； （4）如图， 格子中m＝2，n＝3；它们的乘积等于1103， 故答案为：2，3，1103． 学科网（北京）股份有限公司 $