第17讲相交线 暑假预习讲义 2026-2027学年苏科版七年级数学上册

第17讲 相交线 目录 知识点1 相交线基础概念 2 知识点2 对顶角定义与性质 2 知识点3 邻补角定义与性质 2 知识点4 垂线的定义与基本事实 2 知识点5 垂线段与点到直线的距离 3 题型1 对顶角的定义 3 题型2 对顶角相等 5 题型3 邻补角的定义理解 7 题型4 找邻补角 8 题型5 利用邻补角互补求角度 10 题型6 垂线的定义理解 12 题型7 画垂线 14 题型8 垂线段最短 17 题型9 点到直线的距离 18 解答题 20 1. 知识目标：理解相交线、对顶角、邻补角、垂线、垂线段的基本概念，熟记对顶角相等、邻补角互补、垂线段最短三大核心性质。 2. 能力目标：能准确识别对顶角与邻补角、规范画垂线，熟练利用性质计算角度，区分垂线段与点到直线的距离，掌握基础几何应用。 3. 素养目标：初步建立相交几何模型，规范几何语言表达，培养识图辨析、简单推理与几何应用能力。 知识点1 相交线基础概念 1. 相交线：同一平面内，两条直线只有一个公共点，称两条直线相交，公共点为交点。 2. 两条直线相交，会形成4个小于平角的角，衍生对顶角、邻补角两类核心角。 知识点2 对顶角定义与性质 1. 定义：两条直线相交形成，有公共顶点，两边互为反向延长线，无公共边的两个角互为对顶角。 2. 核心性质：对顶角相等。 3. 特征：成对出现，两条直线相交仅有两对对顶角。 知识点3 邻补角定义与性质 1. 定义：两条直线相交形成，有公共顶点、一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角互为邻补角。 2. 核心性质：邻补角互补，和为180°。 3. 易错区分：互补的角不一定是邻补角，邻补角一定互补（需同时满足相邻、共顶点、反向延长线）。 知识点4 垂线的定义与基本事实 1. 定义：两条直线相交，若夹角为90°，则两直线互相垂直，其中一条是另一条的垂线，交点为垂足。 2. 基本事实：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（点可在直线上、直线外）。 知识点5 垂线段与点到直线的距离 1. 垂线段：从直线外一点向已知直线作垂线，该点与垂足之间的线段叫做垂线段。 2. 核心性质：垂线段最短，是点到直线所有连线中长度最小的线段。 3. 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度（距离是数值，不是线段图形）。 题型1 对顶角的定义 解题技巧（三条件判定、精准辨析、排除错项） 1. 判定三要素：公共顶点、两边互为反向延长线、无公共边，三者缺一不可。 2. 仅两条直线相交能产生标准对顶角，多线交错图形严格对照定义筛选。 3. 排除误区：有公共顶点但边不反向、有公共边的角，都不是对顶角。 4. 对顶角成对出现，单个角不存在对顶角说法。 1．下面四个图形中，与是对顶角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 解：中，与是对顶角． 2．下列各图中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，那么这两个角互为对顶角． 【详解】解：A. 与的两边不是互为反向延长线，不是对顶角，故本选项不符合题意； B. 与没有公共顶点，不是对顶角，故本选项不符合题意； C. 与没有公共顶点，不是对顶角，故本选项不符合题意； D. 与有公共顶点，且两边互为反向延长线，是对顶角，故本选项符合题意． 3．以下四个图形中，与是对顶角的图形共有______个． 【答案】1 【分析】根据对顶角的定义：如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角．依次观察四个图形，判断与是否满足对顶角的定义． 【详解】解：图1中，与有公共顶点，但的两边不是两边的反向延长线，故不是对顶角． 图2中，与有公共顶点，且的两边分别是两边的反向延长线，故是对顶角． 图3中，与有公共顶点，但的一边不是一边的反向延长线（有一条边不共线），故不是对顶角． 图4中，与没有公共顶点，故不是对顶角． 综上所述，是对顶角的图形只有1个． 4．如图，直线、、、相交于一点，则图中对顶角一共有___________对． 【答案】12 【分析】本题考查了对顶角的定义，注意对顶角是两条直线相交而成的四个角中，没有公共边的两个角．根据对顶角的定义找出规律，再判断对顶角的对数． 【详解】解：两条直线相交于一点，形成对对顶角， 三条直线相交于一点，有对不同的对顶角， 四条直线相交于一点，有对不同的对顶角， 故答案为：12． 题型2 对顶角相等 解题技巧（直接套用、等量代换、简化计算） 1. 核心结论：只要判定为对顶角，无需计算，直接判定两角相等。 2. 已知其中一个角度，可直接得出对顶角度数，快速求解未知角。 3. 复杂图形中，利用对顶角相等进行等量代换，简化角度推理步骤。 4. 结合邻补角性质，联立求解相交线所有角度。 5．如图，直线相交于O，且，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对顶角相等即可得到答案． 【详解】解：∵直线相交于O， ∴， ∵， ∴． 6．如图，我们把剪刀的两边抽象成两条相交的直线，若剪刀的张口增大时，手柄的夹角的度数将（     ） A．减小 B．不变 C．增大 D．增大 【答案】C 【分析】根据对顶角相等，可知 与 的度数始终相等，因此 的变化量与 的变化量相同． 【详解】解： 剪刀的两边抽象成两条相交的直线， 与 是对顶角， ， 增大 ， 也随之增大 ． 7．如图，直线、相交于点O，若，，则的度数为________． 【答案】 【分析】根据对顶角相等，求出的度数，再根据图形中角的关系即可求解． 【详解】解：直线、相交于点O， ， ， ． 8．如图，直线，相交于点，射线在的内部，，若，则的度数为__________． 【答案】130 【分析】根据，，求出，再结合，求出，即可求解； 【详解】解：∵，， 设，， 则，解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型3 邻补角的定义理解 解题技巧（四要素核验、区分互补、精准判型） 1. 判定四要素：公共顶点、一条公共边、另一边互为反向延长线、两角相邻。 2. 核心区分：互补仅满足度数和为180°，邻补角必须同时满足位置关系+度数关系。 3. 两条直线相交，一个角有且仅有两个邻补角。 4. 杜绝误区：不相邻、无公共边的互补角，不属于邻补角。 9．下列各图中，和互为邻补角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、和不互为邻补角，故本选项不符合题意； B、和不互为邻补角，故本选项不符合题意； C、和互为邻补角，故本选项符合题意； D、和不互为邻补角，故本选项不符合题意； 10．在下列各图中，和是邻补角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、和有公共顶点，但没有公共边，不是邻补角，不符合题意； B、和是对顶角，不是邻补角，不符合题意； C、和有公共顶点，有一条公共边，另一边互为反向延长线，是邻补角，符合题意； D、和没有公共顶点，不是邻补角，不符合题意． 11．如图，直线与相交于点O，在和中，是的邻补角的是________． 【答案】 【分析】只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，根据邻补角的概念解答即可． 【详解】解：根据邻补角的定义可知，是的邻补角． 12．如图，直线、、相交于点，则图中邻补角共有________对． 【答案】12 【分析】本题主要考查了邻补角的定义； 根据邻补角定义判断即可，注意：两直线相交，邻补角有四对． 【详解】解：∵直线、、相交于点， ∴与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角；与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角； ∴共12对邻补角， 故答案为：12． 题型4 找邻补角 解题技巧（定点找边、反向延伸、不重不漏） 1. 锁定目标角顶点与两条边，分别将两条边反向延长，匹配相邻夹角。 2. 单角固定找两个邻补角，按左右、上下位置逐一排查。 3. 多线相交图形，优先筛选共顶点、共边的相邻角，排除对顶角、无关角。 4. 标注清晰，避免重复查找、遗漏邻补角。 13．如图，下列各组角中，是邻补角的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】此题考查了邻补角，熟知邻补角的定义是解题的关键；根据邻补角的定义：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，求解判断即可． 【详解】解：A．和是邻补角，故此选项符合题意； B．和是同旁内角，不是邻补角，故此选项不符合题意； C．和是对顶角，不是邻补角，故此选项不符合题意； D．和是同位角，不是邻补角，故此选项不符合题意； 故选：A． 14．如图，三条直线相交于点，的邻补角是（　　） A．和 B． C．和 D．和 【答案】A 【分析】本题考查了邻补角的概念，根据邻补角的概念解答是解决问题的关键． 根据只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，即可求解； 【详解】解：是平角， 的邻补角是； 是平角， 的邻补角是； 综上所述：的邻补角是和； 故选：A 15．如图，、相交于点O，射线在的内部，则的邻补角是____． 【答案】和 【分析】本题考查的邻补角的含义，直接利用邻补角的含义作答即可． 【详解】解：∵， ∴的邻补角是和， 故答案为：和． 16．如图，点O是直线 上一点，自点O引射线，图中共有____对邻补角． 【答案】4 【分析】此题考查了邻补角定义：和为180度的两个有公共顶点且有公共边的角是邻补角，根据定义直接解答． 【详解】解：根据图形可知， ，，，， 故答案为4． 题型5 利用邻补角互补求角度 解题技巧（和为180°、列式计算、联立求解） 1. 核心公式：若两角互为邻补角，则∠1+∠2=180°。 2. 已知一角求另一角：直接用180°减去已知角度。 3. 遇倍数、比例关系，设未知数列一元一次方程求解。 4. 结合对顶角相等性质，可一次性求出相交线四个角度。 17．如图，直线，相交于点，过点作的垂线，点在下方，点在上方，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因为与互为邻补角，和为，所以可先求出的度数．因为与是对顶角，所以二者度数相等，可得到的度数．因为垂直，所以，结合即可计算目标角度． 【详解】解：∵， ∴． ∵是直线，与是邻补角，和为，， ∴ ∵， ∴． 18．如图，直线，相交于点，平分，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂线的定义可得，由对顶角相等和角平分线的定义求出的度数，进而求出的度数，再由邻补角互补可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 19．如图，直线、相交于点O，平分，若，求的度数是_____． 【答案】/度 【分析】先根据角平分线定义得出，再根据，得出，最后求出结果即可． 【详解】解：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．如图，直线、相交于点，于点，，则的度数为______． 【答案】 【分析】先由得到，结合角度比例求出度数，再利用邻补角互补算出度数． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 题型6 垂线的定义理解 解题技巧（90°判定、双向互推、规范认知） 1. 双向判定：两直线垂直→夹角90°；两直线相交夹角90°→两直线垂直。 2. 垂直是特殊的相交，相交不一定垂直，垂直一定相交。 3. 垂直与位置无关，只与夹角大小有关，任意方位夹角90°即为垂直。 4. 过直线上、直线外一点，均可作已知直线的垂线。 21．如图，直线、相交于点O，于点O，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据垂直定义得到，进而求得，然后利用对顶角相等求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 22．如图，直线，相交于点O，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平角的定义得到，结合题意得到，再由对顶角相等即可求解． 【详解】解：∵，即， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴ ． 23．如图，直线，交于点，，，则的度数是_________度． 【答案】 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，由垂直得到，再根据对顶角相等及互余关系求出的度数即可． 【详解】解：， ． ， ． 24．如图，已知、相交于点，，，则________． 【答案】 【详解】解： ∵ ， ∴， ∵， ∴． 题型7 画垂线 解题技巧（工具规范、两种定点、标注垂足） 1. 作图工具：三角板、直尺，依托直角边精准作图。 2. 两类作图：过直线上一点作垂线、过直线外一点作垂线。 3. 作图规范：对齐直线、贴合直角、画出垂直符号、标注垂足。 4. 直线的垂线为直线，两端可无限延伸，区别于有限的垂线段。 25．如图，在一张半透明的纸上画一条直线，在直线外任取一点，折出过点且与直线垂直的直线．这样的直线可以折出（） A．条 B．条 C．条 D．无数条 【答案】A 【分析】根据“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”进行判断即可． 【详解】解：∵在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，又点在直线外， ∴过点且与直线垂直的直线只有一条． 26．过点P向直线作垂线，其中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据作垂线的方法一一判断即可． 【详解】解：．过点P作的不是垂线，故该选项不符合题意； ．没有过点P，故该选项不符合题意； ．过点P向直线作垂线，故该选项符合题意； ．过点P向直线作垂线，应该为直线，不是线段，故该选项不符合题意； 27．如图，若，，为垂足，那么，，三点在同一直线上，其理由是__________． 【答案】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【分析】本题考查的是垂线的性质，利用在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直可得答案． 【详解】解：∵，，为垂足， ∴，，三点在同一直线上， 理由是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 故答案为：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 28．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点都叫作格点．（请保留作图痕迹） (1)过点画的平行线，并标出平行线所过格点； (2)过点画的垂线，并标出垂线所过格点． 【答案】(1) 如图，直线即为所求 (2) 如图，直线即为所求 【分析】（1）根据格点特点，相同，，则； （2）根据格点特点，四边形是正方形，则． 【详解】（1）解：略； （2）解：略． 题型8 垂线段最短 解题技巧（模型判定、对比线段、最值应用） 1. 核心结论：直线外一点到直线的所有连线中，垂线段最短。 2. 对比区分：斜线段长度始终大于垂线段长度。 3. 生活应用：修路、引水、找点最短距离，均利用该性质。 4. 求最短路径，直接作已知点到直线的垂线段即可。 29．如图，天然气主管道l的一侧有A，B两个居民区，计划从主管道l引支管道连接这两个居民区，下面的方案中，所引天然气支管道长度最短的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂线段最短得到C方案小于A方案，再根据垂线段的长短进行判断即可解题． 【详解】解：根据垂线段最短和图中所给垂线段长度，可得所引天然气支管道长度最短的是C选项． 30．如图，点P在直线l外，点A，B在直线l上，若，，则点P到直线l的距离的长可能为（     ） A．0 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【详解】解：∵，，， ∴， ∴点P到直线l的距离的长可能为4． 31．如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘车最方便，请你在铁路线上选一点来建火车站，应建在________（从点、点、点、点四个地点中选一个填入），理由是________． 【答案】 A 垂线段最短 【分析】根据垂线段最短可得答案． 【详解】解：根据垂线段最短可得：应建在A处． 32．如图，要在河岸上建一个水泵房引水到处，图中有4处（即，，，处）可供选择，为节省水管材料，应选择将水泵房建在__________处，依据是__________． 【答案】 B 垂线段最短 【详解】解：为节省水管材料，应选择将水泵房建在B处，依据是垂线段最短． 题型9 点到直线的距离 解题技巧（区分图形数值、精准定义、规范作答） 1. 核心定义：点到直线的距离=直线外一点到直线的垂线段的长度。 2. 关键易错：距离是数值，垂线段是几何图形，二者不能等同。 3. 求距离必须先作垂线，再测量或计算垂线段长度。 4. 点在直线上时，点到直线的距离为0。 33．数学源于生活，寓于生活，用于生活，下列各选项中能用“点到直线的距离”来解释的现象是（     ） A．弯曲河道改直 B．木板上弹墨线 C．测量跳远成绩 D．两钉子固定木条 【答案】C 【分析】根据两点之间，线段最短，两点确定一条直线，点到直线的距离等知识点逐一判断即可． 【详解】解：A、弯曲河道改直能用“两点之间，线段最短”来解释，不符合题意； B、木板上弹墨线能用“两点确定一条直线”来解释，不符合题意； C、测量跳远成绩能用“点到直线的距离”来解释，符合题意； D、两钉子固定木条能用“两点确定一条直线”来解释，不符合题意； 34．如图，，，垂足为点，则下面的结论中，正确的有（     ） 与互相垂直；与互相垂直；点到的垂线段是线段；点到的垂线段是线段；线段是点到的距离；线段的长度是点到的距离． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据垂直的定义、垂线段及点到直线的距离的概念进行判断即可． 【详解】解：∵，即， ∴与互相垂直，故①正确； ∵， ∴， ∴与不互相垂直，故②错误； 根据垂线段的概念知，点到的垂线段是线段，而非线段；点到的垂线段是线段；故③错误，④正确； 根据垂线段的长度是点到直线的距离知，点到的距离是线段的长度，而非线段；线段的长度是点到的距离，故⑤错误，⑥正确． 故正确的有①④⑥三个． 35．如图，，，，则点到直线的距离是___________． 【答案】6 【分析】由知，垂线段的长度就表示点A到直线的距离． 【详解】解：根据点到直线的距离的定义，点A到直线的距离就是线段的长， 故答案为：6． 36．若点P在直线l外，点A、B在直线l上，，，，则点P到直线l的距离是_______cm． 【答案】 【详解】解：点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度， ，且， 点到直线的距离是． 解答题 37．如图，点O是直线上一点，于点O，平分，若，求的度数． 【答案】 【分析】根据邻补角的性质可得的度数，再由角平分线的定义可得的度数，然后结合，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 38．如图，直线、交于点O，平分，于点O，若，求的度数． 【答案】 【分析】由图形及，可得，根据余角的定义可得的角度，结合角平分线的定义可得，最后根据邻补角的定义可得出的度数． 【详解】解：∵，， ， ， ， ， 平分， ， ． 即的度数为． 39．直线，相交于点，，，射线平分． (1)如图1，若，求； (2)如图2，若，求（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，，可求得，然后结合角平分线可求得，然后由求解即可； （2）同（1）得，求出，继而求出． 【详解】（1）解：因为，， 所以， 因为，即， 所以． 因为平分， 所以， 所以； （2）解：由（1）得，， 所以， 因为平分， 所以， 所以． 40．如图，直线，交于点，已知，在右侧，． (1)若，求的度数； (2)若，试说明与互余． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）先根据对顶角相等和已知条件，求出，从而求出即可； （2）先根据垂直定义和已知条件求出，再根据已知条件求出，进而求出即可证明． 【详解】（1）解：，， ， ， ； （2）证明：， ． ， ， ∴， ， ， 与互余． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17讲 相交线 目录 知识点1 相交线基础概念 2 知识点2 对顶角定义与性质 2 知识点3 邻补角定义与性质 2 知识点4 垂线的定义与基本事实 2 知识点5 垂线段与点到直线的距离 3 题型1 对顶角的定义 3 题型2 对顶角相等 4 题型3 邻补角的定义理解 5 题型4 找邻补角 6 题型5 利用邻补角互补求角度 7 题型6 垂线的定义理解 8 题型7 画垂线 9 题型8 垂线段最短 11 题型9 点到直线的距离 12 解答题 13 1. 知识目标：理解相交线、对顶角、邻补角、垂线、垂线段的基本概念，熟记对顶角相等、邻补角互补、垂线段最短三大核心性质。 2. 能力目标：能准确识别对顶角与邻补角、规范画垂线，熟练利用性质计算角度，区分垂线段与点到直线的距离，掌握基础几何应用。 3. 素养目标：初步建立相交几何模型，规范几何语言表达，培养识图辨析、简单推理与几何应用能力。 知识点1 相交线基础概念 1. 相交线：同一平面内，两条直线只有一个公共点，称两条直线相交，公共点为交点。 2. 两条直线相交，会形成4个小于平角的角，衍生对顶角、邻补角两类核心角。 知识点2 对顶角定义与性质 1. 定义：两条直线相交形成，有公共顶点，两边互为反向延长线，无公共边的两个角互为对顶角。 2. 核心性质：对顶角相等。 3. 特征：成对出现，两条直线相交仅有两对对顶角。 知识点3 邻补角定义与性质 1. 定义：两条直线相交形成，有公共顶点、一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角互为邻补角。 2. 核心性质：邻补角互补，和为180°。 3. 易错区分：互补的角不一定是邻补角，邻补角一定互补（需同时满足相邻、共顶点、反向延长线）。 知识点4 垂线的定义与基本事实 1. 定义：两条直线相交，若夹角为90°，则两直线互相垂直，其中一条是另一条的垂线，交点为垂足。 2. 基本事实：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（点可在直线上、直线外）。 知识点5 垂线段与点到直线的距离 1. 垂线段：从直线外一点向已知直线作垂线，该点与垂足之间的线段叫做垂线段。 2. 核心性质：垂线段最短，是点到直线所有连线中长度最小的线段。 3. 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度（距离是数值，不是线段图形）。 题型1 对顶角的定义 解题技巧（三条件判定、精准辨析、排除错项） 1. 判定三要素：公共顶点、两边互为反向延长线、无公共边，三者缺一不可。 2. 仅两条直线相交能产生标准对顶角，多线交错图形严格对照定义筛选。 3. 排除误区：有公共顶点但边不反向、有公共边的角，都不是对顶角。 4. 对顶角成对出现，单个角不存在对顶角说法。 1．下面四个图形中，与是对顶角的是（     ） A． B． C． D． 2．下列各图中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 3．以下四个图形中，与是对顶角的图形共有______个． 4．如图，直线、、、相交于一点，则图中对顶角一共有___________对． 题型2 对顶角相等 解题技巧（直接套用、等量代换、简化计算） 1. 核心结论：只要判定为对顶角，无需计算，直接判定两角相等。 2. 已知其中一个角度，可直接得出对顶角度数，快速求解未知角。 3. 复杂图形中，利用对顶角相等进行等量代换，简化角度推理步骤。 4. 结合邻补角性质，联立求解相交线所有角度。 5．如图，直线相交于O，且，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．如图，我们把剪刀的两边抽象成两条相交的直线，若剪刀的张口增大时，手柄的夹角的度数将（     ） A．减小 B．不变 C．增大 D．增大 7．如图，直线、相交于点O，若，，则的度数为________． 8．如图，直线，相交于点，射线在的内部，，若，则的度数为__________． 题型3 邻补角的定义理解 解题技巧（四要素核验、区分互补、精准判型） 1. 判定四要素：公共顶点、一条公共边、另一边互为反向延长线、两角相邻。 2. 核心区分：互补仅满足度数和为180°，邻补角必须同时满足位置关系+度数关系。 3. 两条直线相交，一个角有且仅有两个邻补角。 4. 杜绝误区：不相邻、无公共边的互补角，不属于邻补角。 9．下列各图中，和互为邻补角的是（     ） A． B． C． D． 10．在下列各图中，和是邻补角的是（     ） A． B． C． D． 11．如图，直线与相交于点O，在和中，是的邻补角的是________． 12．如图，直线、、相交于点，则图中邻补角共有________对． 题型4 找邻补角 解题技巧（定点找边、反向延伸、不重不漏） 1. 锁定目标角顶点与两条边，分别将两条边反向延长，匹配相邻夹角。 2. 单角固定找两个邻补角，按左右、上下位置逐一排查。 3. 多线相交图形，优先筛选共顶点、共边的相邻角，排除对顶角、无关角。 4. 标注清晰，避免重复查找、遗漏邻补角。 13．如图，下列各组角中，是邻补角的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 14．如图，三条直线相交于点，的邻补角是（　　） A．和 B． C．和 D．和 15．如图，、相交于点O，射线在的内部，则的邻补角是____． 16．如图，点O是直线 上一点，自点O引射线，图中共有____对邻补角． 题型5 利用邻补角互补求角度 解题技巧（和为180°、列式计算、联立求解） 1. 核心公式：若两角互为邻补角，则∠1+∠2=180°。 2. 已知一角求另一角：直接用180°减去已知角度。 3. 遇倍数、比例关系，设未知数列一元一次方程求解。 4. 结合对顶角相等性质，可一次性求出相交线四个角度。 17．如图，直线，相交于点，过点作的垂线，点在下方，点在上方，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 18．如图，直线，相交于点，平分，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 19．如图，直线、相交于点O，平分，若，求的度数是_____． 20．如图，直线、相交于点，于点，，则的度数为______． 题型6 垂线的定义理解 解题技巧（90°判定、双向互推、规范认知） 1. 双向判定：两直线垂直→夹角90°；两直线相交夹角90°→两直线垂直。 2. 垂直是特殊的相交，相交不一定垂直，垂直一定相交。 3. 垂直与位置无关，只与夹角大小有关，任意方位夹角90°即为垂直。 4. 过直线上、直线外一点，均可作已知直线的垂线。 21．如图，直线、相交于点O，于点O，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 22．如图，直线，相交于点O，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 23．如图，直线，交于点，，，则的度数是_________度． 24．如图，已知、相交于点，，，则________． 题型7 画垂线 解题技巧（工具规范、两种定点、标注垂足） 1. 作图工具：三角板、直尺，依托直角边精准作图。 2. 两类作图：过直线上一点作垂线、过直线外一点作垂线。 3. 作图规范：对齐直线、贴合直角、画出垂直符号、标注垂足。 4. 直线的垂线为直线，两端可无限延伸，区别于有限的垂线段。 25．如图，在一张半透明的纸上画一条直线，在直线外任取一点，折出过点且与直线垂直的直线．这样的直线可以折出（） A．条 B．条 C．条 D．无数条 26．过点P向直线作垂线，其中正确的是（     ） A． B． C． D． 27．如图，若，，为垂足，那么，，三点在同一直线上，其理由是__________． 28．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点都叫作格点．（请保留作图痕迹） (1)过点画的平行线，并标出平行线所过格点； (2)过点画的垂线，并标出垂线所过格点． 题型8 垂线段最短 解题技巧（模型判定、对比线段、最值应用） 1. 核心结论：直线外一点到直线的所有连线中，垂线段最短。 2. 对比区分：斜线段长度始终大于垂线段长度。 3. 生活应用：修路、引水、找点最短距离，均利用该性质。 4. 求最短路径，直接作已知点到直线的垂线段即可。 29．如图，天然气主管道l的一侧有A，B两个居民区，计划从主管道l引支管道连接这两个居民区，下面的方案中，所引天然气支管道长度最短的是（     ） A． B． C． D． 30．如图，点P在直线l外，点A，B在直线l上，若，，则点P到直线l的距离的长可能为（     ） A．0 B．4 C．6 D．8 31．如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘车最方便，请你在铁路线上选一点来建火车站，应建在________（从点、点、点、点四个地点中选一个填入），理由是________． 32．如图，要在河岸上建一个水泵房引水到处，图中有4处（即，，，处）可供选择，为节省水管材料，应选择将水泵房建在__________处，依据是__________． 题型9 点到直线的距离 解题技巧（区分图形数值、精准定义、规范作答） 1. 核心定义：点到直线的距离=直线外一点到直线的垂线段的长度。 2. 关键易错：距离是数值，垂线段是几何图形，二者不能等同。 3. 求距离必须先作垂线，再测量或计算垂线段长度。 4. 点在直线上时，点到直线的距离为0。 33．数学源于生活，寓于生活，用于生活，下列各选项中能用“点到直线的距离”来解释的现象是（     ） A．弯曲河道改直 B．木板上弹墨线 C．测量跳远成绩 D．两钉子固定木条 34．如图，，，垂足为点，则下面的结论中，正确的有（     ） 与互相垂直；与互相垂直；点到的垂线段是线段；点到的垂线段是线段；线段是点到的距离；线段的长度是点到的距离． A．个 B．个 C．个 D．个 35．如图，，，，则点到直线的距离是___________． 36．若点P在直线l外，点A、B在直线l上，，，，则点P到直线l的距离是_______cm． 解答题 37．如图，点O是直线上一点，于点O，平分，若，求的度数． 38．如图，直线、交于点O，平分，于点O，若，求的度数． 39．直线，相交于点，，，射线平分． (1)如图1，若，求； (2)如图2，若，求（用含的式子表示）． 40．如图，直线，交于点，已知，在右侧，． (1)若，求的度数； (2)若，试说明与互余． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $