2026年暑假苏科版七年级数学上新生预习手册17《第5章进几何世界第1节观察抽象》预习讲义

数学臻选·2026年暑假苏科版七年级数学上新生预习手册17 《第5章进几何世界第1节观察抽象》预习讲义 一．预习目标 ( 1.能从生活实物观察、抽象出立体图形、平面图形，区分两类图形； 2.掌握几何体构成三要素：点、线、面，理解点动成线、线动成面、面动成体； 3.认识棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球的特征，会数顶点、棱、面，初步感知欧拉公式； 4.会区分几何体平/曲面，能根据旋转、实物匹配几何体，建立空间抽象思维。 ) 二．重点难点 ( 1. 重点：实物抽象几何图形、点线面体关系、常见几何体识别 2. 难点：从具象物体抽象几何模型、旋转形成几何体判断、n棱柱顶点/棱/面数量规律 ) 三．自主探究 观察图片，感受几何之美在自然界中无处不在。 （一）观察生活物体 小学里，我们己经认识了一些几何体与平面图形，它们源自对现实世界的抽象，在下图中，你能抽象出哪些热悉的几何体与平面图形? 把下图中的物体与相应的几何体用线连接。 【归纳】 观察生活物体，去掉颜色、材质、重量等属性，只保留形状大小，得到几何图形，这个过程叫数学抽象。 （二）几何图形及其分类： 几何图形分为两大类：平面图形、立体图形 1.平面图形 （1）定义：所有部分都在同一个平面内的图形 （2）常见类型： a.线段、射线、直线、角 b.多边形：三角形、四边形（长方形、正方形）、五边形… c.圆形、扇形 2.立体图形（几何体） （1）柱体 ① 棱柱（全由平面围成） n棱柱：底面为n边形，侧面是长方形 例：正方体、长方体、三棱柱、四棱柱、六棱柱 ② 圆柱（含曲面） 上下两个圆形平面，侧面是曲面 （2）锥体 ① 棱锥（全平面） n棱锥：底面n边形，侧面三角形 例：三棱锥、四棱锥 ② 圆锥（含曲面） 底面圆形，侧面曲面，顶端一个顶点 （3）球体（球） 仅1个完整曲面，无棱、无顶点、无平面 （3） 几何体构成及其特征： 几何体构成：包围体的是面，分平面、曲面；面与面相交得线；线与线相交得点。 1.平面图形 2.立体图形（几何体） （四）几何体的面数、棱数、顶点数之间的数量关系 数一数下面的几何体各有多少个面、多少条棱、多少个顶点把结果填入表格，每个几何体的面数、棱数、顶点数之间有怎样的数量关系?有什么规律? 【归纳】 欧拉公式：对于简单多面体，有V - E + F = 2（其中V是顶点数，E是棱数，F是面数）。 四．经典例题 例1.（2024盐城阜宁七上期末）下列物体，能抽象出圆锥的是（ ） A. 魔方 B. 圣诞帽 C. 易拉罐 D. 乒乓球 例2.（2025苏州吴中七上期末）下列全属于平面图形的一组是（） A. 长方体、三角形、圆 B. 线段、正方形、扇形 C. 圆柱、五边形、直线 D. 三棱锥、角、长方形 例3.下列几何体中，和其他三个几何体不同类的是(　　) A B C D 例4.（2024扬州江都七上期末）六棱柱的底面边数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 例5.（2025泰州姜堰七上期末）篮球抽象几何体是______，它只有______面（填平/曲）。 例6.如图是一个三棱柱，用平面从中截去一个三棱柱后，剩下的几何体是　　　　．（写出所有可能的结果） 例7.（2024淮安清江浦七上期末）四棱柱有______个顶点，______条棱。 例8.（2025连云港海州七上期末）圆柱由______个平面、______个曲面围成。 例9.（2026无锡锡山七上一模） （1）写出下列实物对应的几何体：水杯、金字塔、骰子、灯管； （2）将上述几何体按“含曲面、无曲面”两类分类。 例10．根据图回答问题： (1)与图②具有共同特征的图形有哪些？说出共同特征是什么； (2)其他图形中具有共同特征的图形有哪些？说出共同特征是什么． 五．夯实基础 （一）选择题 1.（2025盐城亭湖七上期末）下列几何体属于锥体的是（ ） A. 正方体 B. 圆锥 C. 圆柱 D. 球 2.（2024常州新北七上期末）不属于立体图形的是（ ） A. 三棱柱 B. 圆 C. 圆锥 D. 长方体【答案】：B 3.下列图形属于棱柱的有( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 4.（2025宿迁宿豫七上期末）五棱柱侧面个数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5.（2024苏州张家港七上期末）全部由平面围成的几何体是（ ） A. 圆锥 B. 圆柱 C. 正方体 D. 球 6.（2026泰州海陵七上二模）下列生活物品抽象出四棱锥的是（ ） A. 屋顶四角金字塔摆件 B. 水桶 C. 魔方 D. 羽毛球 7.（2025盐城大丰七上期末）七棱柱棱的总数是（ ） A. 14 B. 21 C. 7 D. 9 8.（2024扬州广陵七上期末）几何抽象的核心是（ ） A. 保留物体颜色 B. 只保留形状大小，忽略其他属性 C. 保留物体重量 D. 保留物体材质 （二）填空题 9.（2025南京浦口七上期末）金字塔抽象几何体：______。 10.一个多面体的棱数是8，则这个多面体的面数是 . 11.（2024南通海门七上期末）三棱锥有______个面。 12.一个直六棱柱，它的底面周长是40厘米，侧棱长是6厘米，则这个六棱柱的侧面积 是 平方厘米. 13.（2026宿迁沭阳七上二模）圆柱侧面是______面，上下底面是______面。 14．不透明袋子中装有一个几何体模型，两位同学摸该模型并描述它的特征，甲同学：它有4个面是三角形；乙同学：它有6条棱，则该模型对应的立体图形可能是___________. 15.（2025镇江京口七上期末）八棱柱顶点数=______。 16.在下面的几何体中:①长方体;②圆柱;③球;④五棱柱;⑤圆锥;⑥正方体,可以看成有两个底面的几何体是__________ （三）解答题 17.（2024盐城射阳七上期末）现有几何体：正方体、圆锥、六棱柱、球、圆柱 （1）找出全部由平面围成的几何体； （2）找出含有曲面的几何体。 18.（2026南京六合七上二模）已知五棱柱： （1）求顶点数量、棱总条数； （2）求侧面数量、底面数量。 19.如图所示,在下列图形中,帮助他们实现心愿. 20.18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V)、 面数(F)、棱数(E)之间存在着一个有趣的关系式,这个关系式被称为欧拉公式.请你观察如图所示的几种简单多面体模型,解答下列问题. (1)根据上面的多面体模型,补全表格: 多面体 顶点数(V) 面数(F) 棱数(E) 四面体 4 4 长方体 8 6 12 正八面体 8 12 正十二面体 20 12 30 顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式是　　　　　　;  (2)一个多面体的顶点数比面数大8,且有30条棱,则这个多面体的面数是　　　　;  (3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体,它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成的,且有24个顶点,每个顶点处都有3条棱.设该多面体外表面的三角形的个数为x,八边形的个数为y,求x+y的值. 六．巩固训练 （一）选择题 1.（2025盐城建湖七上期末）下列不属于柱体的是（ ） A. 长方体 B. 三棱柱 C. 圆锥 D. 圆柱 2.（2024南京鼓楼七上期末）只有1个面的几何体是（ ） A. 球 B. 圆柱 C. 正方体 D. 三棱锥 3.下列几何体中,棱柱的个数为(　　) A.2　　　　　B.3　　　　　C.4　　　　　D.5 4.下面四个立体图形中,和其他三个立体图形类型不同的是(　　) A 　B　 C　 D 5.下列几何体中,面的个数最多的是(　　) A　　 B　　　C　　 D 6.（2026徐州泉山七上二模）七棱柱底面图形是（ ） A. 七边形 B. 六边形 C. 五边形 D. 四边形 7.（2024淮安涟水七上期末）下列属于平面图形的是（ ） A. 三棱柱 B. 扇形 C. 圆锥 D. 球 8.（2026连云港东海七上一模）六棱柱棱的数量为（ ） A. 6 B. 12 C. 18 D. 24 9.（2024宿迁泗洪七上期末）完全无曲面的几何体组合是（ ） A. 正方体、四棱锥 B. 圆柱、圆锥 C. 球、三棱柱 D. 圆柱、正方体 10.（2025镇江丹阳七上期末）从保温杯抽象出的几何体是（ ） A. 圆锥 B. 圆柱 C. 四棱柱 D. 球 （二）填空题 11.（2026盐城滨海七上二模）羽毛球头部抽象几何体：______。 12.（2025南京雨花台七上期末）三棱柱有______条侧棱。 13.（2024徐州沛县七上期末）四棱锥有______个顶点。 14．一个长方体的棱长之和是180厘米，相交于一个顶点的三条棱的长度和是____厘米. 15．如图，把一个高6分米的圆柱的底面分成许多相等的扇形，然后把圆柱切开，拼成一个与它等底等高的近似长方体，它的表面积比圆柱体的表面积增加了36平方分米．原来这个圆柱的体积是________立方分米．（结果保留π） 16.（2026南通如皋七上二模）圆柱有______条棱。 17.（2024连云港灌云七上期末）八棱柱有______个面。 18.（2025宿迁泗阳七上期末）黑板擦是长方体，由______个平面围成。 19.如图，从棱长为4的正方体毛坯的一角挖去一个棱长为1的正方体，得到一个如图所示的零件，则这个零件的表面积为　　　　． 20.（2024南京秦淮月考）下列说法中：①长方体、正方体都是棱柱；②圆锥和圆柱的底面都是圆；③若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面面积相等；④棱柱的各条棱都相等；⑤棱柱的上、下底面是形状、大小相同的多边形，侧面都是长方形．其中正确的序号是　　　　． （三）解答题 21.（2024盐城东台七上期末，2小问）给出几何体：球、三棱柱、圆锥、正方体、五棱锥 （1）按柱体、锥体、球体三类划分； （2）写出所有只含平面的几何体。 22.（2025无锡江阴七上期末）观察教室实物：粉笔盒、水桶、金字塔摆件、篮球、三角板 （1）分别抽象对应几何体； （2）区分平面图形、立体图形； （3）找出含曲面的几何体。 23、如图所示的某种玩具是由两个正方体木块用胶水粘合而成的，它们的棱长分别为10cm和20cm，为了美观，现在要在其表面喷涂油漆(不包括黏合处)，已知喷涂100cm2需要油漆5g，那么喷涂这个玩具共需油漆多少克? 24.如图，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器，并在距离容器底部30cm 处用两根相同的管子连接，其中甲、丙两容器的底面积均为80cm2，乙容器的底面积为320cm2，甲容器中有水480cm3.现同时向乙、丙两个容器内匀速注水，直至每个容器都注满水时停止注水，已知每个容器每分钟注水1600cm3. （1）当甲、乙两个容器中水位的高度第一次相等时，求注水的时间； （2）当甲、乙两个容器中水位的高度相差3cm时，求注水的时间。 25.（2024南京期末）如图，a是正方体木块，把它切去一块，得到b，c，d，e四种木块． a b c d e (1) 我们知道，图a的正方体木块有8个顶点、12条棱、6个面，请你将图b，c，d，e中木块的顶点数、棱数、面数补全如下表： 图号 顶点数x 棱数y 面数z a 8 12 6 b 9 c 8 d 7 e 15 (2) 分析上表，各种木块的顶点数、棱数、面数之间的数量关系可以归纳出一定的规律．请你试着写出顶点数x、棱数y、面数z之间的数量关系式； (3) 根据猜想计算：若一个几何体的顶点数为2 024，棱数为4 047，试求它的面数． 26.知识与技能 （1）探索发现 侧棱（条） 侧面（个） 面（个） 顶点（个） 棱（条） 三 棱 柱 四 棱 柱 五 棱 柱 六 棱 柱 观察表格发现面、棱、顶点之间有怎样的关系？ （2）看图填表： （1） （2） （3） （4） 面数 棱数 顶点数 （1） （2） （3） （4） 观察表格发现面、棱、顶 点之间有怎样的关系？ ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026年暑假苏科版七年级数学上新生预习手册17 《第5章进几何世界第1节观察抽象》预习讲义 一．预习目标 ( 1.能从生活实物观察、抽象出立体图形、平面图形，区分两类图形； 2.掌握几何体构成三要素：点、线、面，理解点动成线、线动成面、面动成体； 3.认识棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球的特征，会数顶点、棱、面，初步感知欧拉公式； 4.会区分几何体平/曲面，能根据旋转、实物匹配几何体，建立空间抽象思维。 ) 二．重点难点 ( 1. 重点：实物抽象几何图形、点线面体关系、常见几何体识别 2. 难点：从具象物体抽象几何模型、旋转形成几何体判断、n棱柱顶点/棱/面数量规律 ) 三．自主探究 观察图片，感受几何之美在自然界中无处不在。 （一）观察生活物体 小学里，我们己经认识了一些几何体与平面图形，它们源自对现实世界的抽象，在下图中，你能抽象出哪些热悉的几何体与平面图形? 【解析】我们可以从这几座建筑中抽象出常见的几何体与平面图形：左上角的建筑（水立方）：整体可以抽象出长方体，表面的图案可以抽象出正方形、长方形。左下角的建筑：可以抽象出长方体、正方体，墙面的窗户可以抽象出圆形、多边形。右侧的东方明珠塔：可以抽象出圆柱、球、圆锥，建筑轮廓也能抽象出线段、圆等平面图形。 把下图中的物体与相应的几何体用线连接。 【解析】篮球连球，魔方连正方体，纸箱连长方体，金属圆柱连圆柱，斗笠连圆锥。 【归纳】 观察生活物体，去掉颜色、材质、重量等属性，只保留形状大小，得到几何图形，这个过程叫数学抽象。 （二）几何图形及其分类： 几何图形分为两大类：平面图形、立体图形 1.平面图形 （1）定义：所有部分都在同一个平面内的图形 （2）常见类型： a.线段、射线、直线、角 b.多边形：三角形、四边形（长方形、正方形）、五边形… c.圆形、扇形 2.立体图形（几何体） （1）柱体 ① 棱柱（全由平面围成） n棱柱：底面为n边形，侧面是长方形 例：正方体、长方体、三棱柱、四棱柱、六棱柱 ② 圆柱（含曲面） 上下两个圆形平面，侧面是曲面 （2）锥体 ① 棱锥（全平面） n棱锥：底面n边形，侧面三角形 例：三棱锥、四棱锥 ② 圆锥（含曲面） 底面圆形，侧面曲面，顶端一个顶点 （3）球体（球） 仅1个完整曲面，无棱、无顶点、无平面 （3） 几何体构成及其特征： 几何体构成：包围体的是面，分平面、曲面；面与面相交得线；线与线相交得点。 1.平面图形 2.立体图形（几何体） （四）几何体的面数、棱数、顶点数之间的数量关系 数一数下面的几何体各有多少个面、多少条棱、多少个顶点把结果填入表格，每个几何体的面数、棱数、顶点数之间有怎样的数量关系?有什么规律? 【解析】 几何体 面数 棱数 顶点数 数量关系（面数+顶点数-棱数） 三棱锥 4 6 4 2 三棱柱 5 9 6 2 长方体 6 12 8 2 可以得出规律：对于简单多面体，面数+顶点-棱数=2，这个规律就是欧拉公式。 【归纳】 欧拉公式：对于简单多面体，有V - E + F = 2（其中V是顶点数，E是棱数，F是面数）。 四．经典例题 1.（2024盐城阜宁七上期末）下列物体，能抽象出圆锥的是（ ） A. 魔方 B. 圣诞帽 C. 易拉罐 D. 乒乓球 【答案】：B 【解析】：A魔方抽象正方体；B圣诞帽底部圆、顶部尖，抽象圆锥；C易拉罐抽象圆柱；D乒乓球抽象球。 2.（2025苏州吴中七上期末）下列全属于平面图形的一组是（） A. 长方体、三角形、圆 B. 线段、正方形、扇形 C. 圆柱、五边形、直线 D. 三棱锥、角、长方形 【答案】：B 【解析】：A长方体、C圆柱、D三棱锥均为立体图形，只有B全部是平面图形。 3.下列几何体中，和其他三个几何体不同类的是(　　) A B C D 【答案】：B 【解析】：A是三棱柱，属于柱体，B是四棱锥，属于锥体，C是正方体，属于柱体，D是五棱柱，属于柱体，所以B和其他三个几何体不同类 4.（2024扬州江都七上期末）六棱柱的底面边数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】：C 【解析】：n棱柱底面为n边形，六棱柱底面是六边形，边数6。 5.（2025泰州姜堰七上期末）篮球抽象几何体是______，它只有______面（填平/曲）。 【答案】：球；曲 【解析】：球体由单一曲面围成，无平面。 6.如图是一个三棱柱，用平面从中截去一个三棱柱后，剩下的几何体是　　　　．（写出所有可能的结果） 【答案】三棱柱或四棱柱 【解析】当平面平行于底面去截时，截去一个小三棱柱后，剩下的几何体仍然是三棱柱。当平面斜着截，且经过三棱柱的部分侧棱时，截去一个三棱柱后，剩下的几何体是四棱柱。所以剩下的几何体可能是三棱柱或四棱柱 7.（2024淮安清江浦七上期末）四棱柱有______个顶点，______条棱。 【答案】：8；12 【解析】：n棱柱顶点2n个，棱3n条；四棱柱n=4，顶点8，棱12。 8.（2025连云港海州七上期末）圆柱由______个平面、______个曲面围成。 【答案】：2；1 【解析】：上下两个圆形平面，侧面1个曲面。 9.（2026无锡锡山七上一模） （1）写出下列实物对应的几何体：水杯、金字塔、骰子、灯管； （2）将上述几何体按“含曲面、无曲面”两类分类。 【答案】（1）水杯→圆柱；金字塔→四棱锥；骰子→正方体；灯管→圆柱 （2）含曲面：圆柱（水杯、灯管）；无曲面：四棱锥、正方体 【解析】：圆柱侧面为曲面；棱锥、正方体所有面都是平面，无曲面。 10．根据图回答问题： (1)与图②具有共同特征的图形有哪些？说出共同特征是什么； (2)其他图形中具有共同特征的图形有哪些？说出共同特征是什么． 【答案】(1) 与图②有共同特征的是①④⑥⑦，共同特征是所有面都是平面； (2) 其他图形中具有共同特征的是③⑤⑧，共同特征是都含有曲面。 【解析】(1)图②是棱锥，它的面全是平面。与它具有共同特征的图形有：①④⑥⑦共同特征：这些几何体的所有面都是平面，不含曲面。(2)剩下的图形是③⑤⑧，它们的共同特征是：都含有曲面（或至少有一个面是曲面）。 五．夯实基础 （一）选择题 1.（2025盐城亭湖七上期末）下列几何体属于锥体的是（ ） A. 正方体 B. 圆锥 C. 圆柱 D. 球 【答案】：B 【解析】：锥体含圆锥、棱锥；A是柱体，C柱体，D球体。 2.（2024常州新北七上期末）不属于立体图形的是（ ） A. 三棱柱 B. 圆 C. 圆锥 D. 长方体 【答案】：B 【解析】：圆所有部分在同一平面，属于平面图形。 3.下列图形属于棱柱的有( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】：B 【解析】：正方体：是特殊的四棱柱，属于棱柱，长方体：是四棱柱，属于棱柱，圆柱：侧面是曲面，不符合棱柱“其余各面都是四边形”的要求，不属于棱柱，三棱柱：符合棱柱定义，属于棱柱，圆锥：是锥体，不属于棱柱，球：是球体，不属于棱柱。 4.（2025宿迁宿豫七上期末）五棱柱侧面个数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】：B 【解析】：n棱柱有n个侧面，五棱柱n=5，5个侧面。 5.（2024苏州张家港七上期末）全部由平面围成的几何体是（ ） A. 圆锥 B. 圆柱 C. 正方体 D. 球 【答案】：C 【解析】：正方体6个平面；圆锥、圆柱含曲面，球全曲面。 6.（2026泰州海陵七上二模）下列生活物品抽象出四棱锥的是（ ） A. 屋顶四角金字塔摆件 B. 水桶 C. 魔方 D. 羽毛球 【答案】：A 【解析】：B圆柱、C正方体、D圆锥。 7.（2025盐城大丰七上期末）七棱柱棱的总数是（ ） A. 14 B. 21 C. 7 D. 9 【答案】：B 【解析】：n棱柱棱3n，7×3=21。 8.（2024扬州广陵七上期末）几何抽象的核心是（ ） A. 保留物体颜色 B. 只保留形状大小，忽略其他属性 C. 保留物体重量 D. 保留物体材质 【答案】：B 【解析】：数学抽象剔除颜色、重量、材质，仅提取几何形状。 （二）填空题 9.（2025南京浦口七上期末）金字塔抽象几何体：______。 【答案】：四棱锥 【解析】：底面四边形，侧面三角形，顶点汇聚一点，为四棱锥。 10.一个多面体的棱数是8，则这个多面体的面数是 . 【答案】5 【解析】我们可以用欧拉公式来解决这个问题：对于简单多面体，有 V - E + F = 2（其中V是顶点数，E是棱数，F是面数）。已知棱数E=8，我们来分析常见的多面体：四棱锥：它有5个顶点，8条棱，5个面。代入欧拉公式验证：5 - 8 + 5 = 2，符合公式。不存在其他棱数为8的简单多面体，所以这个多面体是四棱锥，面数是5。 11.（2024南通海门七上期末）三棱锥有______个面。 【答案】：4 【解析】：底面1个三角形，3个侧面三角形，合计4个面。 12.一个直六棱柱，它的底面周长是40厘米，侧棱长是6厘米，则这个六棱柱的侧面积 是 平方厘米. 【答案】：240 【解析】：直六棱柱的侧面积公式为：侧面积=底面周长×侧棱长，已知底面周长是40厘米，侧棱长是6厘米，侧面积=40×6=240 13.（2026宿迁沭阳七上二模）圆柱侧面是______面，上下底面是______面。 【答案】：曲；平 【解析】：上下圆形为平面，环绕侧面为曲面。 14．不透明袋子中装有一个几何体模型，两位同学摸该模型并描述它的特征，甲同学：它有4个面是三角形；乙同学：它有6条棱，则该模型对应的立体图形可能是___________. 【答案】三棱锥 【解析】：甲同学说它有4个面是三角形，说明这个几何体的所有面都是三角形，且一共有4个面。乙同学说它有6条棱。结合立体图形的知识：三棱锥（也叫四面体）刚好有4个面，且每个面都是三角形，同时它有6条棱，完全符合两位同学的描述。所以该模型对应的立体图形是三棱锥 15.（2025镇江京口七上期末）八棱柱顶点数=______。 【答案】：16 【解析】：n棱柱顶点2n，8×2=16。 16.在下面的几何体中:①长方体;②圆柱;③球;④五棱柱;⑤圆锥;⑥正方体,可以看成有两个底面的几何体是__________ 【答案】①②④⑥ 【解析】①长方体：有上下两个底面（都是长方形），符合条件。 ②圆柱：有上下两个平行且相等的圆形底面，符合条件。③球：没有底面，不符合条件。④五棱柱：有上下两个五边形底面，符合条件。⑤圆锥：只有1个圆形底面，不符合条件。⑥正方体：有上下两个正方形底面，符合条件。所以可以看成有两个底面的几何体是①②④⑥ （三）解答题 17.（2024盐城射阳七上期末）现有几何体：正方体、圆锥、六棱柱、球、圆柱 （1）找出全部由平面围成的几何体； （2）找出含有曲面的几何体。 【答案】（1）正方体、六棱柱；（2）圆锥、球、圆柱 【解析】：正方体、棱柱无曲面；圆锥侧面曲、圆柱侧面曲、球全曲。 18.（2026南京六合七上二模）已知五棱柱： （1）求顶点数量、棱总条数； （2）求侧面数量、底面数量。 【答案】（1）顶点10个，棱15条；（2）侧面5个，底面2个 【解析】：n棱柱顶点2n，棱3n，侧面n个，上下底面共2个。 19.如图所示,在下列图形中,帮助他们实现心愿. 【答案】甲：(2)和(4)；乙：(1)；丙：(1)、(3)和(5) 【解析】甲：找有一个面是曲面的物体，圆柱（2）的侧面是曲面，圆锥（4）的侧面是曲面，所以甲选(2)和(4)。 乙：找每一个面都是正方形的物体，正方体（1）的6个面都是完全相同的正方形，所以乙选(1)。丙：找多面体（由多个平面围成的几何体），正方体（1）、长方体（3）、三棱柱（5）都是由平面围成的多面体，而圆柱、圆锥含有曲面，不属于多面体，所以丙选(1)、(3)和(5)。 20.18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V)、 面数(F)、棱数(E)之间存在着一个有趣的关系式,这个关系式被称为欧拉公式.请你观察如图所示的几种简单多面体模型,解答下列问题. (1)根据上面的多面体模型,补全表格: 多面体 顶点数(V) 面数(F) 棱数(E) 四面体 4 4 长方体 8 6 12 正八面体 8 12 正十二面体 20 12 30 顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式是　　　　　　;  (2)一个多面体的顶点数比面数大8,且有30条棱,则这个多面体的面数是　　　　;  (3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体,它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成的,且有24个顶点,每个顶点处都有3条棱.设该多面体外表面的三角形的个数为x,八边形的个数为y,求x+y的值. 【答案】(1) 四面体棱数为6，正八面体顶点数为6；关系式为V + F - E = 2；(2) 12；(3) 14 【解析】（1）补全表格与欧拉公式：正八面体的顶点数：12+2-8=6，顶点数、面数、棱数的关系式：V+F-E=2； (2) 求多面体的面数：设面数为F，则顶点数V = F + 8，棱数E = 30。 根据欧拉公式：V+F-E=2，(F+8)+F-30=2，2F-22=2，2F=24，F=12，所以面数是12。(3) 求x+y的值：已知顶点数V=24，每个顶点处有3条棱，棱数E=24×3÷2= 36（每条棱被2个顶点共用）。根据欧拉公式：V+F-E=2，24+(x+y)-36=2，x+y-12=2，x+y=14。 六．巩固训练 （一）选择题 1.（2025盐城建湖七上期末）下列不属于柱体的是（ ） A. 长方体 B. 三棱柱 C. 圆锥 D. 圆柱 【答案】：C 【解析】：柱体分棱柱、圆柱；圆锥属于锥体。 2.（2024南京鼓楼七上期末）只有1个面的几何体是（ ） A. 球 B. 圆柱 C. 正方体 D. 三棱锥 【答案】：A 【解析】：球仅1个曲面；圆柱3个面，正方体6个，三棱锥4个。 3.下列几何体中,棱柱的个数为(　　) A.2　　　　　B.3　　　　　C.4　　　　　D.5 【答案】：C 【解析】：棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行。①正方体：是棱柱，②长方体：是棱柱，③球：不是， ④圆锥：不是，⑤五棱柱：是棱柱，⑥三棱柱：是棱柱，⑦圆柱：不是。 4.下面四个立体图形中,和其他三个立体图形类型不同的是(　　) A 　B　 C　 D 【答案】：B 【解析】：A：三棱柱（柱体）,B：三棱锥（锥体）,C：长方体（柱体）,D：五棱柱（柱体）. 5.下列几何体中,面的个数最多的是(　　) A　　 B　　　C　　 D 【答案】：C 【解析】：A：圆锥 → 2个面（1个底面+1个曲面）,B：三棱柱 → 5个面（2个底面+3个侧面）, C：长方体 → 6个面（6个平面）,D：圆柱 → 3个面（2个底面+1个曲面）,面的个数最多的是C（长方体）。答案：C 6.（2026徐州泉山七上二模）七棱柱底面图形是（ ） A. 七边形 B. 六边形 C. 五边形 D. 四边形 【答案】：A 【解析】：n棱柱底面为n边形，七棱柱底面七边形。 7.（2024淮安涟水七上期末）下列属于平面图形的是（ ） A. 三棱柱 B. 扇形 C. 圆锥 D. 球 【答案】：B 【解析】：扇形全部在同一平面；其余均为立体图形。 8.（2026连云港东海七上一模）六棱柱棱的数量为（ ） A. 6 B. 12 C. 18 D. 24 【答案】：C 【解析】：n棱柱棱3n，6×3=18。 9.（2024宿迁泗洪七上期末）完全无曲面的几何体组合是（ ） A. 正方体、四棱锥 B. 圆柱、圆锥 C. 球、三棱柱 D. 圆柱、正方体 【答案】：A 【解析】：棱柱、棱锥所有面均为平面；圆柱、圆锥、球含曲面。 10.（2025镇江丹阳七上期末）从保温杯抽象出的几何体是（ ） A. 圆锥 B. 圆柱 C. 四棱柱 D. 球 【答案】：B 【解析】：保温杯上下圆形、侧面曲面，匹配圆柱特征。 （二）填空题 11.（2026盐城滨海七上二模）羽毛球头部抽象几何体：______。 【答案】：圆锥 【解析】：底部圆形，顶端收拢，为圆锥。 12.（2025南京雨花台七上期末）三棱柱有______条侧棱。 【答案】：3 【解析】：n棱柱侧棱n条，三棱柱侧棱3条。 13.（2024徐州沛县七上期末）四棱锥有______个顶点。 【答案】：5 【解析】：底面四边形4个顶点，顶部1个顶点，合计5个。 14．一个长方体的棱长之和是180厘米，相交于一个顶点的三条棱的长度和是____厘米. 【答案】：45 【解析】：长方体有12条棱，分为4条长、4条宽、4条高，相交于一个顶点的三条棱分别是长、宽、高。棱长之和=4×(长+宽+高)，所以相交于一个顶点的三条棱的长度和= 180 ÷4 =45厘米。 15．如图，把一个高6分米的圆柱的底面分成许多相等的扇形，然后把圆柱切开，拼成一个与它等底等高的近似长方体，它的表面积比圆柱体的表面积增加了36平方分米．原来这个圆柱的体积是________立方分米．（结果保留π） 【答案】：54π 【解析】：把圆柱切拼成长方体后，表面积增加的部分是两个以圆柱的高为长、底面半径为宽的长方形面积。已知高h=6分米，表面积增加了36平方分米：2×r×h = 36，2×r×6 = 36 ，r=3分米圆柱体积：V=πr2h=π×32 ×6 = 54π立方分米。 16.（2026南通如皋七上二模）圆柱有______条棱。 【答案】：0 【解析】：棱是平面与平面的交线，圆柱侧面为曲面，无棱。 17.（2024连云港灌云七上期末）八棱柱有______个面。 【答案】：10 【解析】：n棱柱面数=n+2，8+2=10。 18.（2025宿迁泗阳七上期末）黑板擦是长方体，由______个平面围成。 【答案】：6 【解析】：长方体上下、左右、前后共6个长方形平面。 19.如图，从棱长为4的正方体毛坯的一角挖去一个棱长为1的正方体，得到一个如图所示的零件，则这个零件的表面积为　　　　． 【答案】：96 【解析】：从正方体一角挖去一个棱长为1的正方体后，原来的正方体表面减少了3个边长为1的正方形面，但同时又新增了3个边长为1的正方形面，所以零件的表面积和原正方体的表面积相等。原正方体的表面积公式为：6×(棱长)2代入棱长4：6×42 = 6×16 = 96 20.（2024南京秦淮月考）下列说法中：①长方体、正方体都是棱柱；②圆锥和圆柱的底面都是圆；③若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面面积相等；④棱柱的各条棱都相等；⑤棱柱的上、下底面是形状、大小相同的多边形，侧面都是长方形．其中正确的序号是　　　　． 【答案】：①②③ 【解析】：①长方体、正方体都是棱柱 （它们都符合棱柱的定义），②圆锥和圆柱的底面都是圆，③若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面面积相等（侧面都是平行四边形，侧棱相等，底面边长相等则侧面面积相等），④棱柱的各条棱都相等（棱柱的侧棱相等，但底面的棱和侧棱不一定相等），⑤棱柱的上、下底面是形状、大小相同的多边形，侧面都是长方形 （棱柱的侧面是平行四边形，不一定是长方形），所以正确的序号是①②③。 （4） 解答题 21.（2024盐城东台七上期末，2小问）给出几何体：球、三棱柱、圆锥、正方体、五棱锥 （1）按柱体、锥体、球体三类划分； （2）写出所有只含平面的几何体。 【答案】（1）柱体：三棱柱、正方体；锥体：圆锥、五棱锥；球体：球 （2）三棱柱、正方体、五棱锥 【解析】：柱体含棱柱圆柱；锥体含棱锥圆锥；球单独一类；圆锥、球含曲面，其余全平面。 22.（2025无锡江阴七上期末）观察教室实物：粉笔盒、水桶、金字塔摆件、篮球、三角板 （1）分别抽象对应几何体； （2）区分平面图形、立体图形； （3）找出含曲面的几何体。 【答案】（1）粉笔盒→正方体；水桶→圆柱；金字塔摆件→四棱锥；篮球→球；三角板→三角形 （2）立体图形：正方体、圆柱、四棱锥、球；平面图形：三角形 （3）圆柱、球 【解析】：三角板仅平面图形；水桶圆柱侧面曲、篮球全曲面，其余全平面。 23、如图所示的某种玩具是由两个正方体木块用胶水粘合而成的，它们的棱长分别为10cm和20cm，为了美观，现在要在其表面喷涂油漆(不包括黏合处)，已知喷涂100cm2需要油漆5g，那么喷涂这个玩具共需油漆多少克? 【答案】140 【解析】这个玩具由两个正方体粘合而成，计算表面积时需要减去重合的部分：大正方体（棱长20cm）的表面积：6×202 = 2400cm2 ，小正方体（棱长10cm）的侧面积（上下底面被遮挡，只算4个侧面）：4×102 = 400 cm2，总喷涂面积：2400 + 400 = 2800 cm2，已知喷涂100cm2需要油漆5g，那么总需油漆：2800÷100×5 = 140g答：喷涂这个玩具共需油漆140克。 24.如图，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器，并在距离容器底部30cm 处用两根相同的管子连接，其中甲、丙两容器的底面积均为80cm2，乙容器的底面积为320cm2，甲容器中有水480cm3.现同时向乙、丙两个容器内匀速注水，直至每个容器都注满水时停止注水，已知每个容器每分钟注水1600cm3. （1）当甲、乙两个容器中水位的高度第一次相等时，求注水的时间； （2）当甲、乙两个容器中水位的高度相差3cm时，求注水的时间。 【答案】（1）1.2分钟，（2）0.6分钟或者1.8分钟。 【解析】先整理已知条件：甲容器底面积S甲=80 cm2，初始水体积480cm3，初始水位高度：h甲初 == cm，乙容器底面积S乙=320cm2，丙容器底面积S丙=80cm2，注水速度：乙、丙各1600cm3/min，管子连接在30cm高度处，水位到30cm后会向另一容器溢水。(1) 甲、乙水位第一次相等的时间：设注水时间为t分钟，乙容器水位高度：当h乙≤30时，h乙== 5t，甲容器水位高度始终为6 cm（未溢水时），令5t = 6，解得：t=1.2分钟；(2) 甲、乙水位相差3cm的情况，分两种情况：①甲水位比乙高3cm：h乙=6-3=3cm，5t= 3→t=0.6分钟；②乙水位比甲高3cm：h乙=6+3=9cm，5t=9→t=1.8分钟。 25.（2024南京期末）如图，a是正方体木块，把它切去一块，得到b，c，d，e四种木块． a b c d e (1) 我们知道，图a的正方体木块有8个顶点、12条棱、6个面，请你将图b，c，d，e中木块的顶点数、棱数、面数补全如下表： 图号 顶点数x 棱数y 面数z a 8 12 6 b 9 c 8 d 7 e 15 (2) 分析上表，各种木块的顶点数、棱数、面数之间的数量关系可以归纳出一定的规律．请你试着写出顶点数x、棱数y、面数z之间的数量关系式； (3) 根据猜想计算：若一个几何体的顶点数为2 024，棱数为4 047，试求它的面数． 【答案】(1) 表格依次填：b(6,5)；c(12,6)；d(6,9,5)；e(10,7)(2) 数量关系式：x + z - y = 2，(3) 面数为 2025 【解析】(1) 我们逐个分析木块的顶点数、棱数、面数： 图b：顶点数 x = 6，棱数 y = 9，面数 z = 5 图c：顶点数 x = 8，棱数 y = 12，面数 z = 6 图d：顶点数 x = 6，棱数 y = 9，面数 z = 5 图e：顶点数 x = 10，棱数 y = 15，面数 z = 7 (2) 归纳数量关系，观察表格中的数据：8 + 6 - 12 = 2；6 + 5 - 9 = 2；8 + 6 - 12 = 2 ；6 + 5 - 9 = 2；10 + 7 - 15 = 2，可归纳出欧拉公式：x+z-y = 2（或 x+z=y+2） (3) 计算面数：已知顶点数 x = 2024，棱数 y = 4047，代入公式 x + z - y = 2： 2024 + z - 4047= 2 ，z - 2023 &= 2，z = 2025 26.知识与技能 （1）探索发现 侧棱（条） 侧面（个） 面（个） 顶点（个） 棱（条） 三 棱 柱 四 棱 柱 五 棱 柱 六 棱 柱 观察表格发现面、棱、顶点之间有怎样的关系？ 【答案】 几何体 侧棱（条） 侧面（个） 面（个） 顶点（个） 棱（条） 三棱柱 3 3 5 6 9 四棱柱 4 4 6 8 12 五棱柱 5 5 7 10 15 六棱柱 6 6 8 12 18 面、棱、顶点之间的关系：对于任意n棱柱（n为正整数），都满足： 面数+顶点数-棱数=2，这也是欧拉公式在棱柱中的体现：(n+2) + 2n - 3n = 2。 （2）看图填表： （1） （2） （3） （4） 面数 棱数 顶点数 （1） （2） （3） （4） 观察表格发现面、棱、顶 点之间有怎样的关系？ 【答案】 面数 棱数 顶点数 （1） 7 15 10 （2） 7 14 9 （3） 7 13 8 （4） 7 12 7 关系：面数 + 顶点数 - 棱数 = 2（欧拉公式） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $