6.1直线、射线、线段 同步讲义 2026-2027学年苏科版数学七年级上册

第6章 6.1 直线、射线、线段 内 容 导 航 题型1 直线、射线、线段 题型2 直线的性质：两点确定一条直线 题型3 线段的性质：两点之间线段最短 题型4 两点间的距离 题型5 比较线段的长短 考 点 演 练 题型1 直线、射线、线段 解｜题｜知｜识 （1）直线、射线、线段的表示方法 ①直线：用一个小写字母表示，如：直线l，或用两个大写字母（直线上的）表示，如直线AB． ②射线：是直线的一部分，用一个小写字母表示，如：射线l；用两个大写字母表示，端点在前，如：射线OA．注意：用两个字母表示时，端点的字母放在前边． ③线段：线段是直线的一部分，用一个小写字母表示，如线段a；用两个表示端点的字母表示，如：线段AB（或线段BA）． （2）点与直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直线外． 【典例1】如图所示，下列说法不正确的是（　　） A．点A在直线BD外 B．点A到点C的距离是线段AC的长度 C．射线AC与射线BC是同一条 D．直线AC和直线BD相交于点B 【答案】C 【解答】解：选项A．点A在直线BD外，正确，故不符合题意； 选项B．点A到点C的距离是线段AC的长度，正确，故不符合题意； 选项C．射线AC与射线BC不是同一条，不正确，故符合题意； 选项D．直线AC和直线BD相交于点B，正确，故不符合题意； 故选：C． 【变式1】如图，点C、D在线段AB上，则图中共有线段（　　） A．3条 B．6条 C．7条 D．10条 【答案】B 【解答】解：图中有线段：AC、AD、AB、CD、CB、DB，共有6条． 故选：B． 【变式2】如图1，线段a、b，图2中线段AB表示的是（　　） A．a﹣b B．a+b C．a﹣2b D．2a﹣b 【答案】D 【解答】解：由图可得， AB＝AC﹣BC＝a+a﹣b＝2a﹣b． 故选：D． 【变式3】尺规作图． 如图，已知在平面上有三个点A，B，C，请按下列要求作图： （1）作直线AB； （2）作射线AC； （3）在射线AC上作线段AD，使AD＝2AB． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）连接AB，并延长AB、BA，得到直线AB； （2）连接AC，延长AC，得到射线AC； （3）以A点为圆心，线段AB长为半径作圆，交射线AC于点E，再以E点为圆心，线段AB长为半径作圆，交射线AC于点D，线段AD即是所求． 图形如下： 题型2 直线的性质：两点确定一条直线 解｜题｜知｜识 （1）直线公理：经过两点有且只有一条直线． 简称：两点确定一条直线． （2）经过一点的直线有无数条，过两点就唯一确定，过三点就不一定了． 【典例1】在平面内有三个不同的点，过其中任意两点画直线，则可以画（　　） A．无数条 B．3条 C．1条 D．3条或1条 【答案】D 【解答】解：当三个点在同一直线上时，过其中任意两点画直线，则可以画1条， 当三个点不在同一直线上时，过其中任意两点画直线，则可以画3条， 则在平面内有三个不同的点，过其中任意两点画直线，则可以画3条或1条， 故选：D． 【变式1】如图．“罗马杆”是一种用于悬挂窗帘的横杆．安装时需在两头加以固定．才能稳固不动．其中的数学原理是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．经过一点有无数条直线 D．垂线段最短 【答案】A 【解答】解：“罗马杆”是一种用于悬挂窗帘的横杆，安装时需在两头加以固定．才能稳固不动，蕴含的数学道理是两点确定一条直线， 故选：A． 【变式2】在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是（　　） ①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上； ②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线； ③把弯曲的公路改直，就能缩短路程； ④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上． A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 【答案】C 【解答】解：①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释； ②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线，可以用基本事实“无数个点组成线”来解释； ③把弯曲的公路改直，就能缩短路程，可以用基本事实“两点之间线段最短”来解释； ④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释． 故选：C． 【变式3】我们知道：平面上有一个点，过这一点可以画无数条直线． 若平面上有两个点，则过这两点可以画的直线的条数是　1　 ； 若平面上有三个点，过每两点画直线，则可以画的直线的条数是　1或3　 ； 若平面上有四个点，过每两点画直线，则可以画的直线的条数是　1或4或6　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：①根据直线公理：经过两点有且只有一条直线可知：若平面上有两个点，则过这两点可以画的直线的条数是：1； ②当三点在同一条直线上时，可以画1条直线， 当三点不在同一直线上时，可以画3条． 故平面上有三个点，若过两点画直线，则可以画出直线的条数为1或3条． ③如图所示：分别根据四点在同一直线上、三点在同一条直线上、任意三点均不在同一条直线上描出各点，再根据两点确定一条直线画出各直线可知： 平面上有四点，过其中每两点画出一条直线，可以画直线的条数为1或4或6． 故答案为：1；1或3；1或4或6． 题型3 线段的性质：两点之间线段最短 解｜题｜知｜识 线段公理 两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短． 简单说成：两点之间，线段最短． 【典例1】高速公路在建设过程中，有时要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直以缩短路程，其中的数学原理是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．两点之间，直线最短 D．线段比直线短 【答案】B 【解答】解：由题意得，其中的数学原理是：两点之间，线段最短． 故选：B． 【变式1】如图，某同学从地图上得知A地与B地之间的距离是20公里，但导航提供的路线长分别是22公里，24.5公里，26公里，其数学道理是（　　） A．两点之间，直线最短 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短 【答案】D 【解答】解：∵20＜22＜24.5＜26， ∴两点之间，线段最短． 故选：D． 【变式2】如图，把三角形剪去一个角，所得四边形的周长比原三角形的周长小，能正确解释这一现象的数学知识是（　　） A．线动成面 B．两点之间，线段最短 C．经过一点有无数条直线 D．两点确定一条直线 【答案】B 【解答】解：能正确解释这一现象的数学知识是：两点之间，线段最短． 故选：B． 【变式3】画一画 如图所示，河流在两个村庄A、B的附近可以近似地看成是两条折线段（图中l），A、B分别在河的两旁．现要在河边修建一个水泵站，同时向A、B两村供水，为了节约建设的费用，就要使所铺设的管道最短．某人甲提出了这样的建议：从B向河道作垂线交l于P，则点P为水泵站的位置． （1）你是否同意甲的意见？　否　 （填“是”或“否”）； （2）若同意，请说明理由，若不同意，那么你认为水泵站应该建在哪？请在图中作出来，并说明作图的依据． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）否； （2）连接AB，交l于点Q， 则水泵站应该建在点Q处； 依据为：两点之间，线段最短． 题型4 两点间的距离 解｜题｜知｜识 （1）两点间的距离 连接两点间的线段的长度叫两点间的距离． （2）平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离．可以说画线段，但不能说画距离． 【典例1】已知A，B，C三点在同一直线上，且线段AB＝8，BC＝6，点D是线段AC的中点，则线段AD的长为（　　） A．1 B．4 C．1或7 D．2或4 【答案】C 【解答】解：当点C在线段AB之间时， ∵AB＝8，BC＝6， ∴AC＝2， ∵点D是线段AC的中点， ∴AD＝1， 当C在AB的延长线上的时， ∵AB＝8，BC＝6， ∴AC＝8+6＝14， ∵点D是线段AC的中点， ∴AD＝7． 故线段AD的长为1或7． 故选：C． 【变式1】已知点C在线段AB上，则下列条件中，不能确定点C是线段AB中点的是（　　） A．AC＝BC B．AB＝2AC C．AC+BC＝AB D． 【答案】C 【解答】解：A、AC＝BC，则点C是线段AB中点； B、AB＝2AC，则点C是线段AB中点； C、AC+BC＝AB，则C可以是线段AB上任意一点； D、BCAB，则点C是线段AB中点． 故选：C． 【变式2】下列说法错误的是（　　） A．过两点有且只有一条直线 B．连接两点间线段的长度叫做两点的距离 C．两点之间，线段最短 D．射线AB和射线BA是同一条射线 【答案】D 【解答】解：A、过两点有且只有一条直线，说法正确，不符合题意； B、连接两点间线段的长度叫做两点的距离，说法正确，不符合题意； C、两点之间，线段最短，说法正确，符合题意； D、射线AB与射线BA不是同一条射线，原说法错误，符合题意； 故选：D． 【变式3】如图，点B是线段AD上一动点，沿A→D→A以2cm/s的速度往返运动1次，C是线段BD的中点，AD＝10cm，设点B运动时间为t（0≤t≤10）s． （1）当t＝2时，AB＝　4　 cm，CD＝　3　 cm． （2）①点B沿A→D运动时，AB＝　2t cm； ②点B沿D→A运动时，AB＝　（20﹣2t）　 cm．（用含t的式子表示） （3）在运动过程中，若AB中点为E，则EC的长是否变化，若不变，求出EC的长；若发生变化，请说明理由． 【答案】（1）4，3； （2）①2t；②（20﹣2t）； （3）不变，ECAD＝5cm． 【解答】解：（1）当t＝2时，AB＝2×2＝4（cm）， ∵AD＝10cm， ∴BD＝AD﹣AB＝10﹣4＝6（cm）， ∵点C是BD的中点， ∴CDBD＝3cm， 故答案为：4，3； （2）①点B沿A→D运动时，AB＝2tcm， 故答案为：2t； ②点B沿D→A运动时，AB＝（20﹣2t）cm， 故答案为：（20﹣2t）； （3）不会发生改变，ECAD＝5cm，理由： ∵点C是BD的中点， ∴CD＝BCBD， ∵点E是AB的中点， ∴AE＝BEAB， ∴EC＝EB+BCABBDAD＝5cm． 题型5 比较线段的长短 解｜题｜知｜识 （1）比较两条线段长短的方法有两种：度量比较法、重合比较法． 就结果而言有三种结果：AB＞CD、AB＝CD、AB＜CD． （2）线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点． （3）线段的和、差、倍、分及计算 做一条线段等于已知线段，可以通过度量的方法，先量出已知线段的长度，再利用刻度尺画条等于这个长度的线段，也可以利用圆规在射线上截取一条线段等于已知线段． 如图，AC＝BC，C为AB中点，ACAB，AB＝2AC，D 为CB中点，则CD＝DBCBAB，AB＝4CD，这就是线段的和、差、倍、分． 【典例1】图是某同学在体育课上投掷四次铅球的成绩示意图，则该同学投掷铅球最好的成绩是（　　） A．OF的长 B．OE的长 C．OD的长 D．OC的长 【答案】A 【解答】解：如图，连接OD，OF，OC，OE， 易知，OF＞OE＞OD＞OC， ∴该同学投掷铅球最好的成绩是OF的长． 故选：A． 【变式1】如图，用圆规比较两条线段的大小，下列结论正确的是（　　） A．AB＞CD B．AB＝CD C．AB＜CD D．没有刻度尺，无法确定 【答案】C 【解答】解：如图即可得出AB＜CD． 故选：C． 【变式2】如图，C是线段AB的中点，D是线段CB上一点，下列说法错误的是（　　） A．CD＝AC﹣BD B．CD＝AD﹣BC C．CDBC D．CDAB﹣BD 【答案】C 【解答】解：∵C是线段AB的中点， ∴AC＝BCAB， A、CD＝BC﹣BD＝AC﹣BD，正确； B、CD＝AD﹣AC＝AD﹣BC，正确； C、D不一定是BC的中点，故CDBC不一定成立； D、CD＝BC﹣BDAB﹣BD，正确． 故选：C． 【变式3】如图，C是线段AB的中点． （1）若点D在CB上，且DB＝1.5cm，AD＝6.5cm，求线段CD的长度． （2）若将（1）中的“点D在CB上”改为“点D在CB的延长线上”，其它条件不变，请画出相应的示意图，并求出此时线段CD的长度． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）AB＝AD+BD＝6.5cm+1.5cm＝8cm， ∵C是线段AB的中点， ∴CBAB＝4cm， ∴CD＝CB﹣BD＝4cm﹣1.5cm＝2.5cm； （2） ∵AB＝AD﹣BD＝6.5cm﹣1.5cm＝5cm， ∴CBAB＝2.5cm， ∴CD＝CB+BD＝4cm． 过 关 验 收 1. 下列几何图形与相应语言描述相符的是（　　） A．延长线段AB到C B．射线BC经过点A C．点P既在直线a上，也在直线b上 D．射线CD与线段AB没有交点 【答案】C 【解答】解：A．选项A中的图形用语言描述为延长线段BA到C，因此选项A不符合题意； B．选项B中的图形用语言描述为点A在射线BC外，即射线BC不过点A，因此选项B不符合题意； C．选项C中的图形用语言描述为直线a与直线b相交于点P，即点P既在直线a上，也在直线b上，因此选项C符合题意； D．选项D中的图形用语言描述为射线CD与线段AB相交，因此选项D不符合题意． 故选：C． 2. 下列叙述中，正确的是（　　） A．直线a，b相交于点n B．延长射线AB到点C C．画直线AB，使AB＝2cm D．在射线AB上截取AC，使AC＝1cm 【答案】D 【解答】解：A、交点应该用大写字母，故本选项错误； B、射线一旁是无限延伸的，只能反向延长，本选项错误； C、直线是向两方无限延伸的，无限长，画直线AB＝2cm错误；故本选项错误； D、在射线AB上截取线段AC，使AC＝1cm，所以D选项符合题意． 故选：D． 3. 如图棋盘上有黑、白两色棋子若干，找出所有三颗颜色相同的棋并且在同一直线上的直线，这样直线共有多少条（　　） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】D 【解答】解：如图，共有5条． 故选：D． 4. 如图，在同一平面内有四个点A、B、C、D，请按要求完成下列问题．（注此题作图不要求写出画法和结论） （1）作射线AC； （2）作直线BD与射线AC相交于点O； （3）分别连接AB、AD； （4）我们容易判断出线段AB+AD与BD的数量关系是 AB+AD＞BD ，理由是 　两点之间，线段最短　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）（2）（3）如图所示： （4）AB+AD＞BD，理由是：两点之间，线段最短． 故答案为：AB+AD＞BD，两点之间线段最短． 5. 下列生活实例中，能用“两点确定一条直线”解释的是（　　） A．建筑工人砌墙时，通常先在墙的两端立桩拉线，然后沿着拉线砌墙 B．从A地到B地架设电线，沿着线段AB架设会节省材料费用 C．把原本弯曲的河道改直，河道的长度会变短 D．写字时将笔尖看作一个点，这个点在纸上运动就形成了线 【答案】A 【解答】解：根据题意及“两点确定一条直线”几何公理逐项分析判断如下： A：在墙的两端立桩拉线，利用两点确定一条直线来指导砌墙，故选项A正确； B和C均基于“两点之间线段最短”的原理，与题意不符； D：描述的是点动成线的现象，与题意不符． 故选：A． 6. 值日生小亮为了把桌子又快又好的摆整齐，总是先把一列的第一张桌子和最后一张桌子摆好，再依次摆中间的桌子，这样做蕴含的数学依据是　两点确定一条直线　 ． 【答案】两点确定一条直线． 【解答】解：先把一列的第一张桌子和最后一张桌子摆好，再依次摆中间的桌子，这样做蕴含的数学依据是：两点确定一条直线， 故答案为：两点确定一条直线． 7. 如图，在房间的墙面上钉一根木条，木条能在墙面上随意转动，若使木条固定不动，至少还需钉上　1　 枚钉子，依据是　两点确定一条直线　 ． 【答案】两点确定一条直线． 【解答】解：若使木条固定不动，至少还需钉上1枚钉子，依据是两点确定一条直线． 故答案为：1，两点确定一条直线． 8. 【问题初探】：（1）如图，平面上有四个点T、Y、R、S，根据下列语句画图： ①作射线TR； ②作直线TY、RS交于点M； ③连接TS、RY交于点O； （2）我们还可以观察到，经过图中的不在同一直线上的4个点，最多能画出 　6　 条直线；经过不在同一直线上的5个点，最多能画出 　10　 直线； 【类比分析】：（3）如果在同一平面里，有不在同一条直线上的20个点，你能算出共有多少条线段吗？ 【学以致用】：（4）按照这个规律回答下列问题： ①2022年卡塔尔世界杯足球赛进入8强赛（即有8个队参加比赛）时，如果进行的是单循环赛（每两个队只比赛一次），则需要进行多少场比赛？ ②某球迷乘火车从A站出发，沿途经过3个站后到达B站，那么在A、B两站之间需要多少种不同的票价？需要多少种车票？ 【答案】（1）①图见解析；②图见解析；③图见解析； （2）6，10； （3）190条； （4）①28②10种，20种． 【解答】解：（1）①作射线TR，如图所示； ②作直线TY、RS交于点M，如图所示； ③连接TS、RY交于点O，如图所示． （2）图中的不在同一直线上的4个点，最多能画出6条直线，图中的不在同一直线上的5个点，最多能画出10条直线； 故答案为：6，10； （3）∵每两个点确定一条线段， ∴每个点都能跟剩余的19的点组成一条线段， ∴可以画出：条线段； （4）①∵每个队都要跟剩余的7个队踢一场比赛，且每两个队只比赛一次， ∴需要进行场比赛； ②由题意，得从A到B共有5个站点，每两个站点之间票价不同， ∴共有：种不同的票价； ∵从A到B和从B到A的票的种类不一样， ∴需要10×2＝20种车票． 9. 下列说法正确的是（　　） A．用两个钉子把木条固定在墙上，数学原理是“两点确定一条直线” B．在高速公路的建设中，通常从大山中开挖道穿过，把道路取直，以缩短路程，这是因为两点确定一条直线 C．画一条直线，使它的长度为3cm D．射线AB和射线BA是同一条射线 【答案】A 【解答】解：由题知， 因为用两个钉子把木条固定在墙上，数学原理是“两点确定一条直线”， 所以A选项符合题意； 因为在高速公路的建设中，通常从大山中开挖道穿过，把道路取直，以缩短路程，这是因为两点之间，线段最短， 所以B选项不符合题意； 因为直线无法度量， 则画一条直线，使它的长度为3cm不合理， 所以C选项不符合题意； 因为射线AB和射线BA的端点不同， 则它们不是同一条射线， 所以D选项不符合题意． 故选：A． 10. 下列4个现象中，可用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的有（　　） ①两个钉子可以把木条固定在墙上； ②小狗看到远处的食物，总是径直奔向食物； ③弯曲的河道改直，可缩短航程； ④工人砌墙时，用细绳在墙的两端之间拉一条参照线，使砌的每一层砖在一条直线上． A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【答案】C 【解答】解：∵①④都可以用基本事实“两点确定一条直线”解释； ②小狗径直奔向食物，③把弯曲河道改直缩短航程，都可以用基本事实“两点之间，线段最短”解释． ∴符合要求的是②③， 故选：C． 11. 每年的秋分日是“中国农民丰收节”．晓彬用3D打印机制作了一个如图1所示的圆柱形粮仓模型，现要在此模型的侧面从点A绕到点B贴一圈彩色装饰带，装饰带的最短长度如图2所示，其中蕴含的数学道理是（　　） A．线段是直线的一部分 B．过一点有无数条直线 C．两点之间，线段最短 D．两点确定一条直线 【答案】C 【解答】解：由于两点之间线段最短，其中蕴含的数学原理是两点之间线段最短． 故选：C． 12. 知识是用来为人类服务的，我们应该把它们用于有意义的方面．下面就两个情景请你作出评判． 情景一：从教室到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪，这是为什么呢？试用所学数学知识来说明这个问题． 情景二：A、B是河流l两旁的两个村庄，现要在河边修一个抽水站向两村供水，问抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短？请在图中表示出抽水站点P的位置，并说明你的理由： 你赞同以上哪种做法？你认为应用数学知识为人类服务时应注意什么？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：情景一：因为教学楼和图书馆处于同一条直线上，两点之间的所有连线中，线段最短； 情景二：（需画出图形，并标明P点位置） 理由：两点之间的所有连线中，线段最短． 赞同情景二中运用知识的做法．应用数学知识为人类服务时应注意应用数学不能以破坏环境为代价． 13. 如果A、B、C三点在同一直线上，线段AB＝3cm，BC＝2cm，那么A、C两点之间的距离为（　　） A．1cm B．5cm C．1cm或5cm D．无法确定 【答案】C 【解答】解：由题意可知，C点分两种情况， ①C点在线段AB延长线上，如图1， AC＝AB+BC＝3+2＝5（cm）； ②C点在线段AB上，如图2， AC＝AB﹣BC＝3﹣2＝1（cm）． 综合①②A、C两点之间的距离为1cm或5cm． 故选：C． 14. 如图，点A、B、C、D在同一射线上，AB＝12，线段CD（点C在点D的左边）长度为5，线段CD从点C与A重合开始，沿射线AB向右运动，其速度为每秒2个单位长度，运动时间为t秒．下列说法正确的是（　　） ①若CB＝7，则t＝2.5； ②若点C和点D均在线段AB上，且AC：BD＝3：4，则t＝1.5； ③若点M是CD的中点，点N是AB的中点，当MN＝1时，t＝1.25或2.25； ④若点C在AB延长线上，点E是AC的中点，点F是BD的中点，EF为定值． A．①③ B．②④ C．③④ D．②③④ 【答案】D 【解答】解：点A、B、C、D在同一射线上，AB＝12，线段CD（点C在点D的左边）长度为5，线段CD从点C与A重合开始，沿射线AB向右运动，其速度为每秒2个单位长度， 对于①，分两种情况： 当点C在线段AB上时，CB＝AB﹣AC＝12﹣2t＝7，解得t＝2.5； 当点C在AB延长线上时，CB＝AC﹣AB＝2t﹣12＝7，解得t＝9.5； 故①中t有两个解，①错误； 对于②，∵点C、D均在线段AB上， ∴AC+CD≤AB，即2t+5≤12，解得t≤3.5， 此时AC＝2t，BD＝AB﹣（AC+CD）＝12﹣（2t+5）＝7﹣2t， 由AC：BD＝3：4得4×2t＝3（7﹣2t）， 解得t＝1.5，符合t≤3.5，故②正确； 对于③，AB＝12，N是AB中点， ∴AN＝6， ∵AC＝2t，CD＝5， ∴AD＝2t+5， ∵M是CD中点， ∴CM＝2.5， ∴AM＝AC+CM＝2t+2.5， 由MN＝1得|6﹣（2t+2.5）|＝1，即|3.5﹣2t|＝1， 当3.5﹣2t＝1时，2t＝2.5，解得t＝1.25； 当3.5﹣2t＝﹣1时，2t＝4.5，解得t＝2.25； 故t＝1.25或2.25，③正确； 对于④，∵点C在AB延长线上， ∴2t＞12，即t＞6， ∵E是AC中点， ∴， ∵AD＝AC+CD＝2t+5，AB＝12， ∴BD＝AD﹣AB＝2t﹣7． ∵F是BD中点， ∴， ∴AF＝AB+BF＝12+t﹣3.5＝t+8.5， ∴EF＝AE﹣AF＝|（t+8.5）﹣t|＝8.5，是定值，故④正确； 综上，②③④正确， 故选：D． 15. 线段AB＝12cm，点C是AB的中点，点D在直线AB上，若AB：AD＝4：1，则CD的长为　3或9　 cm． 【答案】3或9． 【解答】解：∵AB＝12cm，点C是AB的中点， ∴， ∵AB：AD＝4：1， ∴AD＝3cm， ①当点D在线段AB上时，CD＝AC﹣AD＝6﹣3＝3cm， ②当点D在BA的延长线上时，CD＝AC+AD＝6+3＝9cm， ∴CD的长为3cm或9cm． 故答案为：3或9． 16. 如图，C是线段AB的中点． （1）若点D在线段CB上，DB＝2cm，AD＝12cm，求线段CD的长度； （2）若将（1）中的“点D在线段CB上”改为“点D在线段CB的延长线上”，其它条件不变，求此时线段CD的长度． 【答案】（1）5cm； （2）7cm． 【解答】解：（1）∵AD＝12cm，DB＝2cm， ∴AB＝AD+DB＝12+2＝14cm， ∵C是AB的中点， ∴， ∴CD＝BC﹣DB＝7﹣2＝5cm； （2）如图： ∵AD＝12cm，DB＝2cm， ∴AB＝AD﹣DB＝12﹣2＝10cm， ∵C是AB的中点， ∴， ∴CD＝CB+DB＝5+2＝7cm． 17. 如图，一支水笔正好与一把直尺平靠放在一起，小明发现：水笔的笔尖端（A点）正好对着直尺刻度约为5.6cm处，另一端（B点）正好对着直尺刻度约为20.6cm．则水笔的中点位置的刻度约为（　　） A．15cm B．7.5cm C．13.1cm D．12.1cm 【答案】C 【解答】解：∵水笔的笔尖端（A点）正好对着直尺刻度约为5.6cm处，另一端（B点）正好对着直尺刻度约为20.6cm． ∴水笔的长度为20.6﹣5.6＝15，水笔的一半＝15÷2＝7.5， ∴水笔的中点位置的刻度约为5.6+7.5＝13.1． 故选：C． 18. 如图1，已知B，C两点在线段AD上． （1）如图1，图中共有　6　 条线段； （2）如图1，若AB＝CD，比较线段的大小：AC　＝　 BD（填“＞”“＝”或“＜”）； （3）如图2，M是AB的中点，N是CD的中点，若MB＝3，BC＝5，DN＝4，求AD的长度． 【答案】（1）6； （2）＝； （3）19． 【解答】解：（1）由图可知，图中的线段有AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6条， 故答案为：6； （2）∵AC＝AB+BC，BD＝CD+BC，AB＝CD， ∴AC＝BD， 故答案为：＝； （3）∵MB＝3，M是AB的中点， ∴AB＝2MB＝6， ∵DN＝4，N是CD的中点， ∴CD＝2DN＝8， 又∵BC＝5， ∴AD＝AB+BC+CD＝6+5+8＝19． 19. 如图1，已知线段AB＝30cm，CD＝2cm，线段CD在线段AB上运动（点C在A点右侧，点D在B点左侧，且点C不与点A重合，点D不与点B重合），点E、F分别是AC、BD的中点． （1）若AC＝10cm，则EF＝ 　16　 cm； （2）当线段CD在线段AB上运动时，试判断线段EF的长度是否会发生变化？如果不变，请求出线段EF的长度；如果变化，请说明理由； （3）我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知∠COD在∠AOB内部转动，OE、OF分别平分∠AOC 和∠BOD．类比以上发现的线段的规律，若∠EOF＝65°，∠COD＝25°，求∠AOB的度数． 【答案】（1）16；（2）线段EF的长度不发生变化，始终是16cm，理由如下： ∵点E、F分别是AC、BD的中点， ∴设AE＝ED＝acm，DF＝BF＝bcm， ∴AC＝2acm，BD＝2bcm， ∵AB＝30cm，CD＝2cm， ∴AC+CD+BD＝30（cm）， ∴2a+2+2b＝30（cm）， ∴a+b＝14（cm）， ∴EF＝EC+DF+CD＝a+b+2＝16（cm）； （3）105°． 【解答】（1）解：∵AB＝30cm，CD＝2cm，AC＝10cm， ∴BD＝AB﹣（AC+CD）＝10﹣（10+2）＝18cm， ∵点E、F分别是AC、BD的中点， ∴EC＝ AC＝5cm，DFBD＝9cm， ∴EF＝EC+CD+DF＝5+2+9＝16（cm）， 故答案为：16； （2）解：线段EF的长度不发生变化，始终是16cm，理由如下： ∵点E、F分别是AC、BD的中点， ∴设AE＝ED＝acm，DF＝BF＝bcm， ∴AC＝2acm，BD＝2bcm， ∵AB＝30cm，CD＝2cm， ∴AC+CD+BD＝30（cm）， ∴2a+2+2b＝30（cm）， ∴a+b＝14（cm）， ∴EF＝EC+DF+CD＝a+b+2＝16（cm）； （3）解：∵OE、OF分别平分∠AOC和∠BOD， ∴设∠AOE＝∠COE＝α，∠BOF＝∠DOF＝β， ∴∠AOC＝2α，∠BOD＝2β， ∵∠EOF＝65°，∠COD＝25°， ∵∠COE+∠COD+∠DOF＝65°， ∴α+25°+β＝65°， ∴α+β＝40°， ∴∠AOB＝∠AOC+∠BOD+∠COD＝2α+2β+25°＝2（α+β）+25°＝105°． 20. 如图，已知点A、B、C、D、E在同一直线上，且AC＝BD，E是线段BC的中点． （1）点E是线段AD的中点吗？说明理由； （2）当AD＝10，AB＝3时，求线段BE的长度． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）点E是线段AD的中点．（1分） ∵AC＝BD， ∴AB+BC＝BC+CD， ∴AB＝CD．（3分） ∵E是线段BC的中点， ∴BE＝EC， ∴AB+BE＝CD+EC，即AE＝ED， ∴点E是线段AD的中点．（5分） （2）∵AD＝10，AB＝3， ∴BC＝AD﹣2AB＝10﹣2×3＝4， ∴BEBC4＝2． 即线段BE的长度为2．（8分）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6章 6.1 直线、射线、线段 内 容 导 航 题型1 直线、射线、线段 题型2 直线的性质：两点确定一条直线 题型3 线段的性质：两点之间线段最短 题型4 两点间的距离 题型5 比较线段的长短 考 点 演 练 题型1 直线、射线、线段 解｜题｜知｜识 （1）直线、射线、线段的表示方法 ①直线：用一个小写字母表示，如：直线l，或用两个大写字母（直线上的）表示，如直线AB． ②射线：是直线的一部分，用一个小写字母表示，如：射线l；用两个大写字母表示，端点在前，如：射线OA．注意：用两个字母表示时，端点的字母放在前边． ③线段：线段是直线的一部分，用一个小写字母表示，如线段a；用两个表示端点的字母表示，如：线段AB（或线段BA）． （2）点与直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直线外． 【典例1】如图所示，下列说法不正确的是（　　） A．点A在直线BD外 B．点A到点C的距离是线段AC的长度 C．射线AC与射线BC是同一条 D．直线AC和直线BD相交于点B 【变式1】如图，点C、D在线段AB上，则图中共有线段（　　） A．3条 B．6条 C．7条 D．10条 【变式2】如图1，线段a、b，图2中线段AB表示的是（　　） A．a﹣b B．a+b C．a﹣2b D．2a﹣b 【变式3】尺规作图． 如图，已知在平面上有三个点A，B，C，请按下列要求作图： （1）作直线AB； （2）作射线AC； （3）在射线AC上作线段AD，使AD＝2AB． 题型2 直线的性质：两点确定一条直线 解｜题｜知｜识 （1）直线公理：经过两点有且只有一条直线． 简称：两点确定一条直线． （2）经过一点的直线有无数条，过两点就唯一确定，过三点就不一定了． 【典例1】在平面内有三个不同的点，过其中任意两点画直线，则可以画（　　） A．无数条 B．3条 C．1条 D．3条或1条 【变式1】如图．“罗马杆”是一种用于悬挂窗帘的横杆．安装时需在两头加以固定．才能稳固不动．其中的数学原理是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．经过一点有无数条直线 D．垂线段最短 【变式2】在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是（　　） ①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上； ②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线； ③把弯曲的公路改直，就能缩短路程； ④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上． A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 【变式3】我们知道：平面上有一个点，过这一点可以画无数条直线． 若平面上有两个点，则过这两点可以画的直线的条数是　 　 ； 若平面上有三个点，过每两点画直线，则可以画的直线的条数是　 　 ； 若平面上有四个点，过每两点画直线，则可以画的直线的条数是　 　 ． 题型3 线段的性质：两点之间线段最短 解｜题｜知｜识 线段公理 两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短． 简单说成：两点之间，线段最短． 【典例1】高速公路在建设过程中，有时要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直以缩短路程，其中的数学原理是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．两点之间，直线最短 D．线段比直线短 【变式1】如图，某同学从地图上得知A地与B地之间的距离是20公里，但导航提供的路线长分别是22公里，24.5公里，26公里，其数学道理是（　　） A．两点之间，直线最短 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短 【变式2】如图，把三角形剪去一个角，所得四边形的周长比原三角形的周长小，能正确解释这一现象的数学知识是（　　） A．线动成面 B．两点之间，线段最短 C．经过一点有无数条直线 D．两点确定一条直线 【变式3】画一画 如图所示，河流在两个村庄A、B的附近可以近似地看成是两条折线段（图中l），A、B分别在河的两旁．现要在河边修建一个水泵站，同时向A、B两村供水，为了节约建设的费用，就要使所铺设的管道最短．某人甲提出了这样的建议：从B向河道作垂线交l于P，则点P为水泵站的位置． （1）你是否同意甲的意见？　 　 （填“是”或“否”）； （2）若同意，请说明理由，若不同意，那么你认为水泵站应该建在哪？请在图中作出来，并说明作图的依据． 题型4 两点间的距离 解｜题｜知｜识 （1）两点间的距离 连接两点间的线段的长度叫两点间的距离． （2）平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离．可以说画线段，但不能说画距离． 【典例1】已知A，B，C三点在同一直线上，且线段AB＝8，BC＝6，点D是线段AC的中点，则线段AD的长为（　　） A．1 B．4 C．1或7 D．2或4 【变式1】已知点C在线段AB上，则下列条件中，不能确定点C是线段AB中点的是（　　） A．AC＝BC B．AB＝2AC C．AC+BC＝AB D． 【变式2】下列说法错误的是（　　） A．过两点有且只有一条直线 B．连接两点间线段的长度叫做两点的距离 C．两点之间，线段最短 D．射线AB和射线BA是同一条射线 【变式3】如图，点B是线段AD上一动点，沿A→D→A以2cm/s的速度往返运动1次，C是线段BD的中点，AD＝10cm，设点B运动时间为t（0≤t≤10）s． （1）当t＝2时，AB＝　 cm，CD＝　 　 cm． （2）①点B沿A→D运动时，AB＝　 cm； ②点B沿D→A运动时，AB＝　 　 cm．（用含t的式子表示） （3）在运动过程中，若AB中点为E，则EC的长是否变化，若不变，求出EC的长；若发生变化，请说明理由． 题型5 比较线段的长短 解｜题｜知｜识 （1）比较两条线段长短的方法有两种：度量比较法、重合比较法． 就结果而言有三种结果：AB＞CD、AB＝CD、AB＜CD． （2）线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点． （3）线段的和、差、倍、分及计算 做一条线段等于已知线段，可以通过度量的方法，先量出已知线段的长度，再利用刻度尺画条等于这个长度的线段，也可以利用圆规在射线上截取一条线段等于已知线段． 如图，AC＝BC，C为AB中点，ACAB，AB＝2AC，D 为CB中点，则CD＝DBCBAB，AB＝4CD，这就是线段的和、差、倍、分． 【典例1】图是某同学在体育课上投掷四次铅球的成绩示意图，则该同学投掷铅球最好的成绩是（　　） A．OF的长 B．OE的长 C．OD的长 D．OC的长 【变式1】如图，用圆规比较两条线段的大小，下列结论正确的是（　　） A．AB＞CD B．AB＝CD C．AB＜CD D．没有刻度尺，无法确定 【变式2】如图，C是线段AB的中点，D是线段CB上一点，下列说法错误的是（　　） A．CD＝AC﹣BD B．CD＝AD﹣BC C．CDBC D．CDAB﹣BD 【变式3】如图，C是线段AB的中点． （1）若点D在CB上，且DB＝1.5cm，AD＝6.5cm，求线段CD的长度． （2）若将（1）中的“点D在CB上”改为“点D在CB的延长线上”，其它条件不变，请画出相应的示意图，并求出此时线段CD的长度． 过 关 验 收 1. 下列几何图形与相应语言描述相符的是（　　） A．延长线段AB到C B．射线BC经过点A C．点P既在直线a上，也在直线b上 D．射线CD与线段AB没有交点 2. 下列叙述中，正确的是（　　） A．直线a，b相交于点n B．延长射线AB到点C C．画直线AB，使AB＝2cm D．在射线AB上截取AC，使AC＝1cm 3. 如图棋盘上有黑、白两色棋子若干，找出所有三颗颜色相同的棋并且在同一直线上的直线，这样直线共有多少条（　　） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 4. 如图，在同一平面内有四个点A、B、C、D，请按要求完成下列问题．（注此题作图不要求写出画法和结论） （1）作射线AC； （2）作直线BD与射线AC相交于点O； （3）分别连接AB、AD； （4）我们容易判断出线段AB+AD与BD的数量关系是 ，理由是 　 　 ． 5. 下列生活实例中，能用“两点确定一条直线”解释的是（　　） A．建筑工人砌墙时，通常先在墙的两端立桩拉线，然后沿着拉线砌墙 B．从A地到B地架设电线，沿着线段AB架设会节省材料费用 C．把原本弯曲的河道改直，河道的长度会变短 D．写字时将笔尖看作一个点，这个点在纸上运动就形成了线 6. 值日生小亮为了把桌子又快又好的摆整齐，总是先把一列的第一张桌子和最后一张桌子摆好，再依次摆中间的桌子，这样做蕴含的数学依据是　 　 ． 7. 如图，在房间的墙面上钉一根木条，木条能在墙面上随意转动，若使木条固定不动，至少还需钉上　 　 枚钉子，依据是 　 ． 8. 【问题初探】：（1）如图，平面上有四个点T、Y、R、S，根据下列语句画图： ①作射线TR； ②作直线TY、RS交于点M； ③连接TS、RY交于点O； （2）我们还可以观察到，经过图中的不在同一直线上的4个点，最多能画出 　 　 条直线；经过不在同一直线上的5个点，最多能画出 　 　 直线； 【类比分析】：（3）如果在同一平面里，有不在同一条直线上的20个点，你能算出共有多少条线段吗？ 【学以致用】：（4）按照这个规律回答下列问题： ①2022年卡塔尔世界杯足球赛进入8强赛（即有8个队参加比赛）时，如果进行的是单循环赛（每两个队只比赛一次），则需要进行多少场比赛？ ②某球迷乘火车从A站出发，沿途经过3个站后到达B站，那么在A、B两站之间需要多少种不同的票价？需要多少种车票？ 9. 下列说法正确的是（　　） A．用两个钉子把木条固定在墙上，数学原理是“两点确定一条直线” B．在高速公路的建设中，通常从大山中开挖道穿过，把道路取直，以缩短路程，这是因为两点确定一条直线 C．画一条直线，使它的长度为3cm D．射线AB和射线BA是同一条射线 10. 下列4个现象中，可用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的有（　　） ①两个钉子可以把木条固定在墙上； ②小狗看到远处的食物，总是径直奔向食物； ③弯曲的河道改直，可缩短航程； ④工人砌墙时，用细绳在墙的两端之间拉一条参照线，使砌的每一层砖在一条直线上． A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 11. 每年的秋分日是“中国农民丰收节”．晓彬用3D打印机制作了一个如图1所示的圆柱形粮仓模型，现要在此模型的侧面从点A绕到点B贴一圈彩色装饰带，装饰带的最短长度如图2所示，其中蕴含的数学道理是（　　） A．线段是直线的一部分 B．过一点有无数条直线 C．两点之间，线段最短 D．两点确定一条直线 12. 知识是用来为人类服务的，我们应该把它们用于有意义的方面．下面就两个情景请你作出评判． 情景一：从教室到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪，这是为什么呢？试用所学数学知识来说明这个问题． 情景二：A、B是河流l两旁的两个村庄，现要在河边修一个抽水站向两村供水，问抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短？请在图中表示出抽水站点P的位置，并说明你的理由： 你赞同以上哪种做法？你认为应用数学知识为人类服务时应注意什么？ 13. 如果A、B、C三点在同一直线上，线段AB＝3cm，BC＝2cm，那么A、C两点之间的距离为（　　） A．1cm B．5cm C．1cm或5cm D．无法确定 14. 如图，点A、B、C、D在同一射线上，AB＝12，线段CD（点C在点D的左边）长度为5，线段CD从点C与A重合开始，沿射线AB向右运动，其速度为每秒2个单位长度，运动时间为t秒．下列说法正确的是（　　） ①若CB＝7，则t＝2.5； ②若点C和点D均在线段AB上，且AC：BD＝3：4，则t＝1.5； ③若点M是CD的中点，点N是AB的中点，当MN＝1时，t＝1.25或2.25； ④若点C在AB延长线上，点E是AC的中点，点F是BD的中点，EF为定值． A．①③ B．②④ C．③④ D．②③④ 15. 线段AB＝12cm，点C是AB的中点，点D在直线AB上，若AB：AD＝4：1，则CD的长为　 　 cm． 16. 如图，C是线段AB的中点． （1）若点D在线段CB上，DB＝2cm，AD＝12cm，求线段CD的长度； （2）若将（1）中的“点D在线段CB上”改为“点D在线段CB的延长线上”，其它条件不变，求此时线段CD的长度． 17. 如图，一支水笔正好与一把直尺平靠放在一起，小明发现：水笔的笔尖端（A点）正好对着直尺刻度约为5.6cm处，另一端（B点）正好对着直尺刻度约为20.6cm．则水笔的中点位置的刻度约为（　　） A．15cm B．7.5cm C．13.1cm D．12.1cm 18. 如图1，已知B，C两点在线段AD上． （1）如图1，图中共有　 　 条线段； （2）如图1，若AB＝CD，比较线段的大小：AC　 　 BD（填“＞”“＝”或“＜”）； （3）如图2，M是AB的中点，N是CD的中点，若MB＝3，BC＝5，DN＝4，求AD的长度． 19. 如图1，已知线段AB＝30cm，CD＝2cm，线段CD在线段AB上运动（点C在A点右侧，点D在B点左侧，且点C不与点A重合，点D不与点B重合），点E、F分别是AC、BD的中点． （1）若AC＝10cm，则EF＝ 　16　 cm； （2）当线段CD在线段AB上运动时，试判断线段EF的长度是否会发生变化？如果不变，请求出线段EF的长度；如果变化，请说明理由； （3）我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知∠COD在∠AOB内部转动，OE、OF分别平分∠AOC 和∠BOD．类比以上发现的线段的规律，若∠EOF＝65°，∠COD＝25°，求∠AOB的度数． 20. 如图，已知点A、B、C、D、E在同一直线上，且AC＝BD，E是线段BC的中点． （1）点E是线段AD的中点吗？说明理由； （2）当AD＝10，AB＝3时，求线段BE的长度． 学科网（北京）股份有限公司 $