专题13角精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年苏科版七年级数学上册

本讲义聚焦角的核心知识，涵盖静态与动态定义、四种规范表示方法、度分秒60进制换算、度量法与叠合法比较大小、角的和差关系、角平分线及余角补角性质、尺规作等角，构建从概念到应用的完整学习支架。 资料通过20类分层题型（含钟面角、方向角等实际问题）及易错点指导，培养几何直观与空间观念（数学眼光），提升运算能力与推理意识（数学思维），强化模型与应用意识（数学语言）。课中辅助分层教学，课后助力查漏补缺，巩固知识体系。

专题13角精讲学案 核心立意 认识角的相关概念，掌握角的多种规范表示、度分秒换算与角度运算；学会叠合法、度量法比较角的大小，能结合图形分析角的和差关系；理解角平分线、余角、补角定义，利用等量关系完成角度计算，掌握尺规作等角，规范几何符号语言，初步建立识图与简单几何说理的习惯。 角的定义： 静态定义：具有公共端点的两条射线所组成的图形； 动态定义：一条射线绕着它的端点从起始位置旋转到终止位置所形成的图形。 角的四种规范表示方法： 三个大写字母表示（顶点字母必须写在中间）； 单个顶点大写字母表示（仅限顶点处只有唯一一个角时使用）； 阿拉伯数字标注表示； 希腊字母标注表示。 角的度量与单位换算： 角的单位为度、分、秒，采用60进制；1=60'，1'=60''；能够完成度、分、秒之间的互化，以及度分秒形式的加减运算。 角的大小比较： 度量法：使用量角器测量角度数值，直接比较大小； 叠合法：将两角顶点重合、一条边重合，观察另一条边的位置判断大小。 角的和与差： 结合图形识别角的叠加、拆分关系，写出对应的角和差等式；在无图的角度计算题中，要分类讨论射线在角内部、外部两种位置，避免漏解；能利用和差关系列式计算未知角。 角平分线： 若射线OC平分AOB，则AOC=BOC=AOB；可直接利用这个等量关系，结合角的和差进行角度求值。 余角、补角定义与性质： 如果两个角的和等于90，称这两个角互为余角；如果两个角的和等于180，称这两个角互为补角；同角（或等角）的余角相等，同角（或等角）的补角相等。 作一个角等于已知角： 掌握尺规作图完整流程，作图过程只使用直尺与圆规，最终规范保留圆弧类作图痕迹。 ① 顶点处存在多个角时，直接只用单个顶点字母表示角，造成指代模糊； ② 度分秒运算错用十进制，忘记角度单位是60进制； ③ 用三个大写字母表示角时，顶点字母没有写在正中； ④ 角的和差、角平分线相关计算，题干无附图时，只考虑射线在角内的情况，遗漏射线在角外的多解； ⑤ 混淆“角（几何图形）”和“角度（数量）”两个概念； ⑥ 叠合法比较角大小时，忽略“顶点重合、一边重合”的前提条件； ⑦ 误认为余角、补角一定要有公共顶点、公共边； ⑧ 计算余角补角时，忽略钝角没有余角 题型 考察方向 难度 题型一 角的概念理解 ★ 题型二 角的表示方法 ★ 题型三 角的分类 ★ 题型四 钟面角 ★★★★ 题型五 方向角的表示 ★★ 题型六 与方向角有关的计算题 ★★★ 题型七 角的单位与角度制 ★ 题型八 角的度数大小比较 ★ 题型九 角的比较 ★★ 题型十 三角板中角度计算问题 ★★★ 题型十一 几何图形中角度计算问题 ★★★ 题型十二 角度的四则运算 ★★ 题型十三 实际问题中角度计算问题 ★★★ 题型十四 尺规作一个角等于已知角 ★★ 题型十五 角平分线的有关计算 ★★★ 题型十六 角 n 等分线的有关计算 ★★★ 题型十七 求一个角的余角 ★★ 题型十八 求一个角的补角 ★★ 题型十九 与余角、补角有关的计算 ★★★ 题型二十 同 (等) 角的余 (补) 角相等的应用 ★★★ 拔高题 8题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★拔高压轴 题型一：角的概念理解 解题思路：①记住角两种定义，核心要素：公共端点、两条射线；②区分易混陷阱：平角不是直线、周角不是射线，用定义判断对错。 1．如图，图中的角共有（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】本题考查了角的概念，解题的关键在于数角时，按一定顺序（如从一边开始，依次与其他边组成角）避免重复和遗漏． 【详解】解：按顺时针数，以为开始边的有，3个角； 以为开始边的有，2个角；以为开始边的有，1个角； 共有个角． 故选C． 2．如图，图中小于平角的角有___________个． 【答案】10 【分析】此题考查的是角的概念．根据题意，写出所有小于平角的角即可得出结论． 【详解】解：图中小于平角的角有：、、、、 、、、 、、 ，共有10个 故答案为：10． 3．如图，是直角，是射线，则图中共有锐角（　　）   A．28个 B．27个 C．24个 D．22个 【答案】B 【分析】本题考查了角的定义，掌握角的定义是解题的关键．分别数出以、、……为一边的角的个数，然后相加即可． 【详解】解：以 为一边的角有7个， 以 为一边的角有6个， 以 为一边的角1个． 共有角 个 ． 去掉 直角 ，还有27个． 故答案为：B． 题型二：角的表示方法 解题思路：①观察顶点：顶点处只有1个角，才能只用顶点一个大写字母表示；②三字母表示，顶点字母必须写中间；数字/希腊字母标角要画小弧线。 4．在下列图中，能用，，三种方法表示同一个角的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、和表示同一个角，而以点O为顶点的角有多个，不能用表示，故本选项的图形不能用，，三种方法表示同一个角； B、和表示同一个角，而以点O为顶点的角有多个，不能用表示，故本选项的图形不能用，，三种方法表示同一个角； C、，，三种方法表示同一个角； D、本选项的图形不存在，且，不是表示同一个角，故本选项的图形不能用，，三种方法表示同一个角． 5．如图，以为边的角有（   ）个 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查角的概念，根据角的概念即可求解． 【详解】如图，以为边的角有共3个． 故选：A． 6．下列四个图中，能用、、三种方法表示同一个角的是（   ） A．B． C．D． 【答案】C 【分析】根据角的表示方法和图形选出即可． 【详解】A、图中的∠MON不能用∠O表示，故本选项错误； B、图中的∠1和∠O不是表示同一个角，故本选项错误； C、图中的、、表示同一个角，故本选项正确； D、图中∠1、∠MON、∠O不表示同一个角，故本选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了角的表示方法的应用，主要考查学生的理解能力和观察图形的能力． 题型三：角的分类 解题思路：①牢记各类角度数范围：锐角0<<90、直角=90、钝角90<<180^\circ、平角180、周角360；②先算出角度，再对照范围分类。 7．下列四个角中，是直角的是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】通过观察各选项图形，结合直角、平角、锐角、钝角的特征进行判断． 【详解】解：A、图形为平角，不是直角，不符合题意； B、图形为锐角，不是直角，不符合题意； C、图形的角度等于，是直角，符合题意； D、图形为钝角，不是直角，不符合题意． 故选：C ． 【点睛】本题考查了直角的定义，解题关键是掌握直角、平角、锐角、钝角的特征，通过图形特征判断角的类型． 8．一个长方形沿某条直线剪去一个角后，剩下的角的个数为_____个． 【答案】3或4或5 【分析】本题主要考查了角的个数问题，①若剪掉长方形方形相邻两条边的一部分，则剩下的部分是五边形；②若从长方形一个角的顶点，沿直线向对角的邻边剪，且只剪掉一条邻边的一部分，则剩下的部分为四边形；③若沿着长方形的对角线剪，则剩余部分为三边形（三角形）；据此可得答案． 【详解】解：如图所示，当按照①减去一个角时，剩下5个角； 当按照②减去一个角时，剩下4个角； 当按照③减去一个角时，剩下3个角； 综上所述，一个长方形沿某条直线剪去一个角后，剩下的角的个数为3个或4个或5个； 故答案为：3或4或5. 9．下列各图中有关角的表示正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据角的表示方法，平角、射线、周角的定义分析判断即可． 【详解】解：图1中，角的顶点为，应表示为； 图2表示正确； 图3，射线和周角是两个概念，射线不能表示周角； 图4表示正确． 所以表示正确的个数为2． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了角的表示方法、平角、射线、周角等知识，理解并掌握相关知识是解题关键． 题型四：钟面角 解题思路：①基础速度：分针每分钟转6，时针每分钟转0.5，钟表一大格30；②代入公式算出夹角，最终结果取小于等于180的那个角。 10．如图，上午8：30，时针与分针的夹角是（　　） A．75° B．65° C．55° D．45° 【答案】A 【分析】求出时时针和分针的位置，计算夹角即可． 【详解】解：分针每分钟转过 ， ∴从8点到8点30分分针转过， 时，分针指向数字6， 钟面被分成12个大格，每格为 ， 时针每小时走1个大格， ∴时针每分钟转动 ， 从8点到8点30分时针转过了， 时，时针位于数字8和9的正中间， 此时时针与分针的夹角为 ． 故选A． 11．时钟的分针小时转_______度，时针小时转_____度；时钟的分针分钟转_______度，时针分钟转_____度． 【答案】 【分析】根据每过小时，则分针转度，每过小时，则时针转度，进行解答即可． 【详解】 解：分针转一周是一个小时， 每过小时，则分针转度，每分钟分针转（度）； 时针转一周是个小时， 每过小时，则时针转（度），每分钟时针转（度）． 故答案为：，，，． 12．钟面上指针指示的时刻是10点45分，此时时针与分针的夹角是________度． 【答案】 【分析】钟面一圈，12大格，每大格；分针每分钟走，时针每小时走，每分钟走；45分时分针正对9刻度；10点时，时针指向10，10点45分时针从10向11走了45分钟，可求出时针走的度数，即可求出夹角． 【详解】解：时针每小时走，每分钟走， ， 夹角：， 所以，此时时针与分针的夹角是． 13．四点钟后，从时针与分针第一次成到第二次成，共经过（    ） A．分钟 B．33分钟 C．分钟 D．28分钟 【答案】A 【分析】本题考查时钟追及问题，需先明确时针与分针的转速，再根据两次成时分针比时针多走的角度列方程求解． 【详解】解：∵分针每分钟转的角度为，时针每分钟转的角度为， 从第一次成到第二次成，分针比时针多转 设经过分钟，根据题意列方程： ， 解得， ∴共经过分钟． 故选：A 题型五：方向角的表示 解题思路：①标准说法：先说南/北，再说偏东/偏西；②找准观测点，以正北、正南作为基准线，读出夹角。 14．如果在学校的南偏西方向上有一个书店，则学校在书店的（     ）方向上 A．东偏北 B．西偏南 C．北偏东 D．南偏西 【答案】C 【详解】解：∵在学校的南偏西方向上有一个书店， ∴学校在书店的北偏东． 15．如图所示，则船B相对于船A的方向为______． 【答案】北偏东 【详解】解：由题意得，船B相对于船A的方向为北偏东． 16．，两个海上观测站的位置如图所示，在灯塔北偏东方向上，，则在灯塔的_____方向． 【答案】南偏东 【分析】本题考查了方位角有关的计算，由根据即可求解，理解“从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，叫做方位角”是解题的关键． 【详解】如图， ∵观测站在灯塔北偏东方向上， ∴， ∵， ∴， ∴观测站在灯塔的是南偏东， 故答案为：南偏东． 17．如图，，则射线的方向是（   ） A．东偏北 B．北偏东 C．北偏东 D．北偏东 【答案】B 【分析】本题主要考查了方位角和度分秒的换算，正确的识别图形是解题的关键．根据方位角的概念，看图正确表示出方位角，即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴射线的方向是北偏东． 故选：B． 题型六：与方向角有关的计算题 解题思路：①以观测点画十字方位坐标；②利用直角、平角，结合角的和差关系列式计算目标角度。 18．如图，某海域有三个小岛，在小岛处观测到小岛在它的北偏东的方向上，小岛在它的南偏东的方向上，则的度数是____． 【答案】 【分析】根据南北轴线为平角，从平角中减去北偏东、南偏东两个方位角，即可得到中间夹角的值．度分秒减法不够减时，从高位借位：，再计算． 【详解】解：． 19．如图，在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西的方向，同时观测到轮船B在南偏东的方向，则的大小是_______ 【答案】 【分析】根据方向角的定义，可得与的度数，利用余角的性质求出，再根据角的和差关系，可得答案． 【详解】解：如图，设正北方向为射线，正西方向为射线，正南方向为射线 由题意，得 ∴ ∴ ． 20．如图所示，以下描述错误的是（   ） A．点A位于点B的北偏西方向 B．点A位于点C的北偏东方向 C．点C位于点B的北偏西方向 D．点B位于点A的南偏东方向 【答案】C 【分析】根据正北或正南方向线与目标方向线所成的小于的角叫做方向角，结合图示逐项判断即可． 【详解】解：由图可知，点A位于点B的北偏西方向，点C位于点A的南偏西方向， ∴点B位于点A的南偏东方向，点A位于点C的北偏东方向， ∴， ∵， ∴， ∴点C位于点B的北偏西方向， ∴选项C描述错误． 题型七：角的单位与角度制 解题思路：①牢记60进制换算：1=60'，1'=60''；②度→分→秒：乘60；秒→分→度：除以60，逐级换算。 21．․ 【答案】， 【分析】本题考查度分秒的单位换算，度分秒之间的进率为，将原度数的小数部分乘以进率换算为分，即可得到结果． 【详解】解：． 22．将用度、分、秒表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查度、分、秒的换算，需利用的换算关系将小数部分的度转换为分即可求解． 【详解】解：； 故选D． 23．将转化为度分秒的形式时，分的大小应为______． 【答案】16 【分析】本题考查了度、分、秒的换算，注意1度60分，1分60秒，根据度、分、秒的换算关系进行求解即可． 【详解】， 分的大小应为16， 故答案为：16． 24．下列换算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用度分秒的60进制换算规则，，逐一对选项换算验证即可得到正确结果． 【详解】解：对选项A：，A错误． 对选项B：，B错误． 对选项C：，∴ C正确． 对选项D： ，∴ D错误． 题型八：角的度数大小比较 解题思路：①统一形式：全部化成“度”或者统一写成度分秒格式；②直接比较数值大小。 25．若，则____________(填“”、“”或“”) 【答案】 【分析】本题考查角度的单位换算与大小比较，核心知识点是度与分的换算关系：．通过单位换算将两个角的单位统一，再比较角度的大小，这里将的小数部分转化为分，得到与相同的单位形式后，即可直接对比大小． 【详解】解：， ， 又，且， ； 故答案为：． 26．若，，则与的关系是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题考查了角度的大小比较，角度的换算． 比较角度大小需统一单位，将度转换为度、分、秒的形式，再比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 27．比较大小：______（填“＞”或“＝”或“＜”）． 【答案】＜ 【分析】本题主要考查角度的大小比较，熟练掌握度分秒的换算是解题的关键．将换算成度分秒的形式，即可比较大小． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：＜ 28．若，则下面说法正确的是（　　） A． B． C． D．互不相等 【答案】C 【分析】本题主要考查度分秒的换算，熟练掌握度分秒的换算规则是解题的关键．将进行换算，即可得到答案． 【详解】解：， 故， 故选C． 题型九：角的比较 解题思路：①度量法：用量角器量出度数再比较；②叠合法：顶点重合、一条边重合，看另一条边位置判断大小。 29．如图，下列角的大小比较中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角的大小比较，掌握通过观察角的开口大小直观比较角的大小是解题的关键； 通过观察图形中角的开口大小，直观比较各个角的大小，从而判断选项的正确性． 【详解】解： A、与开口大小相近，无法得出； B、开口小于，所以； C、开口小于，所以，该选项正确； D、与开口大小不同，不相等． 故选：C． 30．如图所示，正方形网格中有和，如果每个小正方形的边长都为，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法估测 【答案】A 【分析】本题考查了角的大小比较，数形结合是解题的关键．作，由图可知，即可求解． 【详解】解：如图，作， ， ， 故选：A． 31．如图，利用一副三角板比较与的大小，两角顶点均与三角板某一顶点重合．已知图中射线经过角的一边，图中射线经过角的一边，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查了角的大小比较，解题的关键是结合图形，利用已知角作为中间量． 根据两个图得到角在内，角在外，即可比较大小． 【详解】解：由图1可知：角在内，即， 由图2可知：角在外，即 ∴， ∴， 故选A． 题型十：三角板中角度计算问题 解题思路：①熟记两块三角板固定角度：30、60、90 和 45、45、90；②借助直角、公共角，利用角的和差求解。 32．如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，则的度数是__________． 【答案】 【分析】根据角的和差关系和角度制进行计算即可. 【详解】解：由题意， ∴. 33．将两副直角三角板按照如图方式摆放，其中与互余，则______． 【答案】 【分析】根据互余可得，再进一步利用角的和差运算可得答案． 【详解】解：∵与互余，， ∴， ∵，， ∴． 34．下列四个图都由一副透明的三角尺摆放而成，其中与互补的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了余角和补角，熟记概念与性质是解题的关键． 根据补角，对顶角、邻补角的定义对各小题分析判断即可得解． 【详解】解：A、图中的对顶角和的对顶角的和为，所以，不互补，故本选项不符合题意； B、图中，不互补，故本选项不符合题意； C、图中，的邻补角为，所以，，互为补角，故本选项符合题意； D、图中，与互余，故本选项不符合题意； 故选：C． 题型十一：几何图形中角度计算问题 解题思路：①看图拆解，找到图里角的和差关系；②无图题型一定要分类讨论：射线在角内部、射线在角外部，避免漏解。 35．如图是集热板的示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．春分日某市正午太阳光线与水平面的夹角为．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图， 由题意得， ∵， ∴． 36．如图，是直线上一点，为任一条射线，平分，平分，，则________度． 【答案】56 【分析】先求出的度数，再根据角平分线的定义解答． 【详解】解：，，三点共线， ， 平分， ． 37．如图，于点O，，则_________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 38．一副三角板如图摆放，，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角板中的角度运算，熟练掌握角的和差是解题的关键； 利用角的和与差推出，由题意得，，即可解答． 【详解】解：由图可知， ， ， ， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 题型十二：角度的四则运算 解题思路：①加减：度、分、秒分开算，满60向前进1，不够减向前借1当60；②乘除逐级运算，最后整理分、秒。 39．___________． 【答案】/ 【详解】解：． 40．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查度分秒的换算与角度运算．依据的换算关系，对每个选项逐一计算验证即可． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 41．计算________________． 【答案】 【分析】本题考查了角度的单位换算及四则运算，熟练掌握角度的单位换算是解题的关键．先计算乘法部分，再计算加法，注意角度单位的换算规则． 【详解】解： 故答案为：；． 42．下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查度分秒的换算，熟练掌握该知识点是解题的关键． 根据度分秒的换算，逐一计算判断即可． 【详解】解：A、∵，，， ∴，选项说法错误，不符合题意； B、，，选项说法错误，不符合题意； C、，选项说法正确，符合题意； D、，选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 题型十三：实际问题中角度计算问题 解题思路：①把生活实物转化成几何图形，找准顶点和两条边；②结合直角、平角、角平分线、余补角，用角的和差计算。 43．一束光在空气与某透明物质的界面处发生了反射和折射现象，其光路如图所示．入射光线与界面的入射角为，折射角为，则反射光线与折射光线形成的______． 【答案】/120度 【分析】本题主要考查了利用光的反射定律和折射定律求角的度数，掌握光的反射和折射定律是解题的关键．过点作法线，由界面、入射角等于反射角即可求解． 【详解】解：过点作法线，得到界面， 由图可知是入射光线，是反射光线，是折射光线， 界面， ，得到， 入射角等于反射角， ， 与界面的夹角是， ， 故； 故答案为120°． 44．如图，阳光与水平面成30°角，若要用平面镜使阳光竖直射入井中（物理学中，反射角入射角），则阳光与平面镜的夹角（）为______ 【答案】 【分析】本题考查了角的计算，根据光的反射定律内容即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：补上反射光线如图： 由题意可知，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 45．如图，小明从A处沿南偏西方向行走至点B处，又从点B处沿北偏西方向行走至点E处，则∠ABE＝（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据方位角以及平行线的性质可得∠2=∠3=、∠1=，则∠ABE＝∠1+∠2，最后计算即可． 【详解】解：如图： ∵小明从A处沿南偏西方向行走至点B处，又从点B处沿北偏西方向行走至点E处 ∴∠2=∠3=，∠1= ∴∠ABE＝∠1+∠2=138°． 故答案为D． 【点睛】本题主要考查了方位角和角的运用，正确认识方位角成为解答本题的关键． 题型十四：尺规作一个角等于已知角 解题思路：①先画一条起始射线作为新作角的一边；②只用直尺、圆规作图，作图圆弧痕迹必须保留。 46．如图，若，根据尺规作图的痕迹，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据尺规作图的痕迹可知，， ， ． 47．如图，，在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接，以点为圆心，长为半径画弧，交射线左侧弧于点，连接，则的度数为________． 【答案】 【详解】解：根据作图可知，， 所以． 48．图1、图2是一个基本作图的痕迹，则下列说法正确的是（     ）. A．这个基本作图是作角的平分线 B．弧①是以为圆心，以任意长为半径所画的弧 C．弧②是以为圆心，以任意长为半径所画的弧 D．弧③是以为圆心，以长为半径所画的弧 【答案】B 【分析】本题考查作一个角等于已知角的尺规作图．通过分析图1和图2的作图痕迹，可还原完整作图过程，并逐项验证选项． 【详解】解：图1的作图为：以点为圆心，任意长为半径画弧①，交角两边于点， 图2的作图为：画射线，以点为圆心，长为半径画弧②，交于点，以点为圆心，长为半径画弧③，与弧②相交于一点，连接与该交点，得所求角， 选项：这个基本作图是作角的平分线，不符合题意，本题是作一个角等于已知角，故选项错误； 选项：弧①是以为圆心，以任意长为半径所画的弧，符合题意，故选项正确； 选项：弧②是以为圆心，以任意长为半径所画的弧，不符合题意，弧②半径应为的长，而非任意长，故选项错误； 选项：弧③是以为圆心，以长为半径所画的弧，不符合题意，弧③半径应为的长，而非的长，故选项错误． 题型十五：角平分线的有关计算 解题思路：①核心等量关系：AOC= BOC= AOB；②结合角的和差，倍数关系可设未知数，列方程求解。 49．如图，直线与相交于点O，平分．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】角平分线的定义求出的度数，平角的定义求出的度数． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴． 50．如图，是钝角，，，是内的三条射线，若，平分，平分，那么的度数是______． 【答案】 【分析】设，则，通过角平分线定义求出和，然后通过角度和差即可求解． 【详解】解：设， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 51．如图，已知直线和相交于点，是直角，平分，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，角的和差，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意可得，，再根据角的和差可得，，结合平角，即可求得． 【详解】解：∵是直角，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 题型十六：角 n 等分线的有关计算 解题思路：①n等分就是分成n个相等小角，单个小角=原角度÷n；②多条等分线叠加时，看清目标角占几份。 52．在的内部作射线，射线把分成两个角，分别为和，若或，则称射线为的三等分线．若，射线为的三等分线，则的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据题意得出或，再根据角之间的数量关系，得出，综合即可得出答案． 【详解】解：∵，射线为的三等分线． ∴或， ∴， ∴的度数为或． 故选：C． 【点睛】本题考查了角度的计算，理解题意，分类讨论是解本题的关键． 53．如图所示，射线是的三等分线，如图中所有的锐角之和为，则的度数为 ________． 【答案】 【分析】本题考查角的三等分线，角的和差，掌握知识点是解题的关键． 先求出，根据图中所有的锐角之和为，得到，则，求出，即可解答． 【详解】解：∵射线是的三等分线， ∴， ∴， ∵图中所有的锐角之和为， ∴， 即 ， 解得． 故答案为：． 54．已知射线是的三等分线之一，且，则不可能是（） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了等分线的有关计算．射线是的三等分线之一，，因此可能是或，但不可能是． 【详解】解：是的三等分线之一，且， 被分成三个相等的角，每个角为 的位置有两种可能：靠近时，；靠近时， 因为等于本身，作为三等分线应在角内部． 不可能为， 故选：C． 题型十七：求一个角的余角 解题思路：①余角计算公式：90-；②易错点：钝角没有余角，算出负数就说明不存在余角。 55．若，则的余角为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：若，则的余角为． 56．若一个角等于它余角的2倍，则这个角是（     ）度 A．75 B．60 C．15 D．30 【答案】B 【分析】假设出这个角，根据余角的定义表示出余角，根据数量关系列出一元一次方程即可求解． 【详解】解：设这个角的度数为， ∵ 互余的两个角的和为， ∴ 这个角的余角为， 根据题意列方程得， 展开得， 移项合并得， 解得， ∴ 这个角是． 57．一个角的补角是，则这个角的余角的度数是________． 【答案】 【分析】根据补角定义求出原角的度数，再根据余角定义计算余角，注意度分的进率为，借位计算时1度换算为60分． 【详解】解：∵ 已知这个角的补角是，互补两角的和为， ∴ 这个角的度数为 ， ∵ 互余两角的和为， ∴ 这个角的余角的度数为 ． 58．如图是光的反射定律示意图，分别是入射光线，反射光线和法线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角的计算、余角的性质、光的反射定律等知识点，掌握光的反射定律是解题的关键． 先根据余角的性质以及可求得，再根据光的反射定律以及余角的性质可得即可解答． 【详解】解：∵， ∴，即， 根据光的反射定律可知， ∵， ∴． 故答案为：C． 题型十八：求一个角的补角 解题思路：①补角计算公式：180-；②关键点：互补只看度数之和，不需要有公共顶点、公共边。 59．已知，则的补角等于______． 【答案】145 【详解】解：∵， ∴的补角． 60．如图，的补角的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由量角器得出的度数，再用即可得出． 【详解】由图中量角器可知，， 的补角为． 61．如图，直线上有一点O，作射线，使得，则______；在同一平面内将一个直角三角尺的直角顶点放在点O处，，若始终在的内部，则______． 【答案】 【分析】本题考查了三角板中的角度计算问题，由补角的定义得，由角的和差得，由补角的定义得，即可求解． 【详解】解： ； 因为 ， ， 所以 ； 故答案为：，． 题型十九：与余角、补角有关的计算 解题思路：①常设这个角为x，写出余角、补角的代数式；②根据题意列方程，解完检验是否符合定义。 62．和互余，和互补，，______度． 【答案】153 【详解】解：∵和互余，和互补， ∴， ∵， ∴， ∴． 63．如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．春分日贵阳市正午太阳光线与水平面的夹角为．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集热板与太阳光线垂直的条件，得出与互余，再代入，计算出． 【详解】解：根据题意可知，， ， ． 64．如果和互补，且，下列表达式：①；②；③；④中，能表示的余角的式子是__________．（请把所有正确的序号填在横线上） 【答案】①③④ 【分析】已知和互补，可得，根据余角定义，若两个角和为则互余，逐一验证每个式子即可． 【详解】解：∵和互补，且， ∴， 可得． ①：的余角定义为，因此①符合要求． ②：，（），因此②不符合要求． ③：，刚好是的余角，因此③符合要求． ④：，刚好是的余角，因此④符合要求． 综上，能表示余角的式子是①③④． 65．如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中的图形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了三角尺的角度特征、余角与补角的性质，对每个图形依次分析：第一个图形通过平角与直角的角度和差计算即可判断；第二个图形利用同角的余角相等判断；第三个图形通过补角计算两角大小；第四个图形直接根据三角尺角度及互补关系判断，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：第一个图形中， ∵， ∴， ∴， 第二个图形，如图： ∵， ∴， 第三个图形中， ∵， ∴， 第四个图形中， ∵， ∴， ∴， 综上，符合题意的有个， 故选：C． 题型二十：同 (等) 角的余 (补) 角相等的应用 解题思路：①先找到公共角或者相等角；②直接使用性质证明两角相等，不需要重复计算角度。 66．如图所示，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，写出一对相等的角_________（直角除外，且不再添加其它字母）． 【答案】 【分析】根据余角的性质即可得出结论. 【详解】解：∵， ∴， ∴. 67．如图所示，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，则、、三个角的数量关系为________． 【答案】 【分析】本题主要考查余角的性质，将角度进行转化得到关系是解题的关键． 首先根据正方形的性质得到角度为，再进行角度转化即可得到、、三个角的数量关系． 【详解】解：如图，将三个大小相同的正方形的一个顶点O重合放置， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 68．如图，射线，都在的内部，和都是直角，下列说法：①；②若变小，则也变小；③若，则；④若OM平分平分，则．其中正确的说法有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，角的和差；能熟练利用角平分线及角的和差进行运算是解题的关键．①由已知得，即可判断；②由角的和差得，即可判断；③由角的和差得，即可判断；④由角平分线定义得，，由角的和差得即可判断． 【详解】解：①和都是直角， ， ； 故此项正确； ②和都是直角， ， 变小，则变大； 故此项错误； ③由②得 ， ， ， ， 故此项错误； ④OM平分平分， ， ， ， ； 故此项正确； 故选：B． 解答题 1．已知，． (1)求的补角的度数； (2)求的2倍与的的差． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求一个角的补角，度数的混合运算，解题的关键是掌握度数混合运算的法则． （1）根据补角定义，列出算式求解即可； （2）根据题意，列出算式求解即可． 【详解】（1）解： ， 即的补角等于； （2）解： ． 2．按要求解答下列问题： (1)等于多少度多少分？ (2)和相等吗？如不相等，哪一个大？ 【答案】(1) (2)不相等，大 【分析】（1）根据计算即可得出结果； （2）根据将转化为，比较即可得出结果． 【详解】（1）解：； （2）解：∵． 所以和不相等，． 3．如图，，，都是直角，：，是的平分线． (1)图中共有_____个小于平角的角； (2)在图上画出的补角； (3)求的度数． 【答案】(1)； (2)画出的补角如图所示； (3) 【分析】本题考查了角的定义、补角的定义与作图、角平分线的定义、直角的性质以及角的和差计算，关键是结合图形确定射线数量，利用补角定义完成作图，再依托角平分线、直角条件和角的比例关系，通过角的和差逐步推导角度． （1）从顶点出发的射线依次为、、、、、，依此组合出的小于平角的角即可； （2）根据补角的定义，利用平角为，画出的补角即可； （3）由角平分线和为直角求出的度数，结合为直角，利用角的差求出的度数，再根据为直角及的比例关系求出的度数，最后通过与的角的差计算出的度数． 【详解】（1）解：从顶点出发的射线依次为、、、、、，依此组合出的小于平角的角分别为：、、、、、、、、、、、、、、，角的个数为， 故答案为：． （2）解：画出的补角如图所示： （3）解：∵，是的平分线， ∴． ∵， ∴． ∵，，设，则， ∴，解得， ∴． ∴． 4．如图，已知，与互余，平分． (1)若，求和的度数． (2)设，，请探究与之间的数量关系． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由与互余，可得，由平分，可得，即可求解； （2）由与互余，可用表示，由平分，可用表示，即可求解． 【详解】（1）解：∵与互余， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （2）解：∵与互余， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，即． 5．如图，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起． (1)试判断图（1）中与的大小关系，并说明理由； (2)在图（1）中若，求的度数； (3)在图（1）中猜想与的数量关系，并说明理由； (4)若改变其中一个三角板的位置，如图（2），则第（3）小题的结论还成立吗？并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)，理由见解析 (4)结论仍然成立，理由见解析 【分析】（1）利用同角的余角相等即可证明两角相等； （2）先求，再通过角的和差计算即可； （3）用两个直角的和减去重叠角，即可推导两角互补； （4）利用周角减去两个直角的和，即可证明互补结论仍成立． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （3）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴； （4）解：结论仍然成立 ∵， ∴， 又∵， ∴． 6．如图，观察时钟，回答问题： (1)分针多长时间转一圈？它的转速是多少？ (2)从0点(12时)开始到6时整，时针转动了多少度？ (3)从12时到12时30分，分针转动了多少度？ (4)中午12时15分时，钟表上的时针和分针所成的角是多少度？ 【答案】(1)60分钟，(度/分) (2) (3) (4) 【分析】本题考查钟面角． （1）分针60分钟转一圈，时钟的分针1min旋转一个“小格”，即； （2）时钟的时针旋转一个“大格”，即，从0点(12时)开始到6时整，走了六个“大格”，即可得出时针转动了， （3）从12时到12时30分，时间为30分钟，再乘以转速即可求解. （4）根据钟面角的定义以及钟面上时针、分针旋转过程中所成角度的变化规律进行计算即可． 【详解】（1）解：分针60分钟转一圈，时钟的分针旋转的度数为， 答：分针60分钟转一圈，它的转速是度/分； （2）解：时钟的时针旋转的度数为， 从0点(12时)开始到6时整，时针转动了， 答：从0点(12时)开始到6时整，时针转动了180°. （3）解：从12时到12时30分，分针转动了 答：从12时到12时30分，分针转动了180°. （4）解：从12时到12时15分时，时针转动了，分针转动了，中午12时15分时，钟表上的时针和分针所成的角是. 答：中午12时15分时，钟表上的时针和分针所成的角是. 7．如图，在某科技园区的光电信号塔的周边，有三个智能巡检机器人，，正在执行巡逻任务.已知机器人在信号塔的北偏东方向上，机器人在信号塔的南偏东方向上，且射线是的平分线. (1)求的度数. (2)机器人B在信号塔的什么方向上？ 【答案】(1) (2)机器人B在信号塔O的南偏东方向上 【分析】本题考查了方位角的概念、角平分线的定义以及角的和差计算，解题的关键是根据方位角确定已知角的度数，再利用角平分线的定义求出相关角的度数，进而判断方向； （1）先根据方位角与平角定义求出的度数，再由角平分线得到即可； （2）由平角定义结合和的度数可求出，从而确定B的方向． 【详解】（1）解：∵ 机器人A在信号塔O的北偏东方向上， ∴ ， ∵ 机器人C在信号塔O的南偏东方向上， ∴ ， ∴ ． ∵ 射线是的平分线， ∴ ． （2）解：∵ ，， ∴ . ∴ 机器人B在信号塔O的南偏东方向上． 8【问题背景】如图1，设一钟表中心为点O，已知时针长为10厘米，分针长为30厘米．初始时刻时针分针在12点整的位置． (1)每经过1小时，时针转______度，每经过1分钟，分针转______度； (2)【迁移应用】如图2，若钟面上还有一损坏的秒针，该秒针指向“3”保持不动，请问几分钟后，秒针恰好第一次平分时针与分针形成的夹角？ (3)【创新应用】如图1，从12点整开始，两动点M，N分别从点和点出发，点按照的路线移动，点按照的路线移动，两动点移动速度均为：朝向点时为1厘米/分钟，远离点时为2厘米/分钟，每次时针与分针共线时，动点M，N的运动方向立刻反向，设运动时间为分钟： ①求动点M，N第一次相遇的时间，以及此时分针与时针的夹角； ②请直接写出动点M，N第二次、第三次相遇的时间． 【答案】(1)30；6 (2)分钟 (3)①时，两动点第一次相遇；此时时针与分针夹角为度； ②动点M，N第二次相遇共用时分钟；动点M，N第三次相遇共用时分钟 【分析】（1）根据时针与分针的转动规律，得到每经过1小时，时针转，每经过1分钟，分针转，即得答案； （2）设t分钟后，秒针恰好第一次平分时针与分针形成的夹角，根据秒针恰好第一次平分时针与分针形成的夹角，列出方程，求得t的值，即得答案； （3）①时，点到达处并要继续向运动，点在分针上且距点的位置，根据相遇模型，列出算式，即可求得答案； ②动点M，N第二次、第三次相遇的时间与两动点的变速运动相关，分清每一个变速节点，分别计算各段的时间，求得动点M，N第二次、第三次相遇的时间，即可得到答案． 【详解】（1）解：每经过1小时，时针转， 每经过1分钟，分针转； 故答案为：30，6； （2）解：设t分钟后，秒针恰好第一次平分时针与分针形成的夹角， 则由题意可得，， 解得：； （3）解：①时，点到达处并要继续向运动，此时点在分针上且距点的位置， 随后经过分钟，即时，两动点第一次相遇； 此时分针比时针多转的角度为度， 即此时时针与分针夹角为度； ②第二次相遇：时针与分针第一次共线时，动点M，N的运动时间为分钟， 点按照的路线，第一次到点所需时间为分钟， 点按照的路线，第一次到点所需时间为分钟， ∴当时，点在离点处，转向后，运动到点B需用时分钟；当时，点在离点处，转向后，运动到点需用时分钟， ∴当时，点在点处，点在离点处， 此时两点相向而行，之后相遇所需时间为分钟， ∴第二次相遇的时间为分钟； 第三次相遇：时针与分针第二次共线时，动点M，N的运动时间为分钟， 动点M，N第二次相遇后，点N继续按照的路线运动，从点到点的用时为分钟，即，此时点在离点处， 当时，点在离点处，点在离点处，点M，N之间距离为，此时转向，则点M，N同时朝向点运动， 点运动到点所需时间为分钟，当点到达点时，点M距离点， 当点转向后，与点相向而行，相遇所需的时间为分钟， ∴第三次相遇时间为分钟． 故答案为：动点M，N第二次相遇共用时分钟；动点M，N第三次相遇共用时分钟． 【点睛】本题考查钟面角的计算，角平分线的性质，钟面上的行程问题，变速度的动点问题，根据条件逐段分析动点的运动状态是解题关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13角精讲学案 核心立意 认识角的相关概念，掌握角的多种规范表示、度分秒换算与角度运算；学会叠合法、度量法比较角的大小，能结合图形分析角的和差关系；理解角平分线、余角、补角定义，利用等量关系完成角度计算，掌握尺规作等角，规范几何符号语言，初步建立识图与简单几何说理的习惯。 角的定义： 静态定义：具有公共端点的两条射线所组成的图形； 动态定义：一条射线绕着它的端点从起始位置旋转到终止位置所形成的图形。 角的四种规范表示方法： 三个大写字母表示（顶点字母必须写在中间）； 单个顶点大写字母表示（仅限顶点处只有唯一一个角时使用）； 阿拉伯数字标注表示； 希腊字母标注表示。 角的度量与单位换算： 角的单位为度、分、秒，采用60进制；1=60'，1'=60''；能够完成度、分、秒之间的互化，以及度分秒形式的加减运算。 角的大小比较： 度量法：使用量角器测量角度数值，直接比较大小； 叠合法：将两角顶点重合、一条边重合，观察另一条边的位置判断大小。 角的和与差： 结合图形识别角的叠加、拆分关系，写出对应的角和差等式；在无图的角度计算题中，要分类讨论射线在角内部、外部两种位置，避免漏解；能利用和差关系列式计算未知角。 角平分线： 若射线OC平分AOB，则AOC=BOC=AOB；可直接利用这个等量关系，结合角的和差进行角度求值。 余角、补角定义与性质： 如果两个角的和等于90，称这两个角互为余角；如果两个角的和等于180，称这两个角互为补角；同角（或等角）的余角相等，同角（或等角）的补角相等。 作一个角等于已知角： 掌握尺规作图完整流程，作图过程只使用直尺与圆规，最终规范保留圆弧类作图痕迹。 ① 顶点处存在多个角时，直接只用单个顶点字母表示角，造成指代模糊； ② 度分秒运算错用十进制，忘记角度单位是60进制； ③ 用三个大写字母表示角时，顶点字母没有写在正中； ④ 角的和差、角平分线相关计算，题干无附图时，只考虑射线在角内的情况，遗漏射线在角外的多解； ⑤ 混淆“角（几何图形）”和“角度（数量）”两个概念； ⑥ 叠合法比较角大小时，忽略“顶点重合、一边重合”的前提条件； ⑦ 误认为余角、补角一定要有公共顶点、公共边； ⑧ 计算余角补角时，忽略钝角没有余角 题型 考察方向 难度 题型一 角的概念理解 ★ 题型二 角的表示方法 ★ 题型三 角的分类 ★ 题型四 钟面角 ★★★★ 题型五 方向角的表示 ★★ 题型六 与方向角有关的计算题 ★★★ 题型七 角的单位与角度制 ★ 题型八 角的度数大小比较 ★ 题型九 角的比较 ★★ 题型十 三角板中角度计算问题 ★★★ 题型十一 几何图形中角度计算问题 ★★★ 题型十二 角度的四则运算 ★★ 题型十三 实际问题中角度计算问题 ★★★ 题型十四 尺规作一个角等于已知角 ★★ 题型十五 角平分线的有关计算 ★★★ 题型十六 角 n 等分线的有关计算 ★★★ 题型十七 求一个角的余角 ★★ 题型十八 求一个角的补角 ★★ 题型十九 与余角、补角有关的计算 ★★★ 题型二十 同 (等) 角的余 (补) 角相等的应用 ★★★ 拔高题 8题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★拔高压轴 题型一：角的概念理解 解题思路：①记住角两种定义，核心要素：公共端点、两条射线；②区分易混陷阱：平角不是直线、周角不是射线，用定义判断对错。 1．如图，图中的角共有（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 2．如图，图中小于平角的角有___________个． 3．如图，是直角，是射线，则图中共有锐角（　　）   A．28个 B．27个 C．24个 D．22个 题型二：角的表示方法 解题思路：①观察顶点：顶点处只有1个角，才能只用顶点一个大写字母表示；②三字母表示，顶点字母必须写中间；数字/希腊字母标角要画小弧线。 4．在下列图中，能用，，三种方法表示同一个角的图形是（    ） A． B． C． D． 5．如图，以为边的角有（   ）个 A．3 B．4 C．5 D．6 6．下列四个图中，能用、、三种方法表示同一个角的是（   ） A．B． C．D． 题型三：角的分类 解题思路：①牢记各类角度数范围：锐角0<<90、直角=90、钝角90<<180^\circ、平角180、周角360；②先算出角度，再对照范围分类。 7．下列四个角中，是直角的是（   ） A．B． C． D． 8．一个长方形沿某条直线剪去一个角后，剩下的角的个数为_____个． 9．下列各图中有关角的表示正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型四：钟面角 解题思路：①基础速度：分针每分钟转6，时针每分钟转0.5，钟表一大格30；②代入公式算出夹角，最终结果取小于等于180的那个角。 10．如图，上午8：30，时针与分针的夹角是（　　） A．75° B．65° C．55° D．45° 11．时钟的分针小时转_______度，时针小时转_____度；时钟的分针分钟转_______度，时针分钟转_____度． 12．钟面上指针指示的时刻是10点45分，此时时针与分针的夹角是________度． 13．四点钟后，从时针与分针第一次成到第二次成，共经过（    ） A．分钟 B．33分钟 C．分钟 D．28分钟 题型五：方向角的表示 解题思路：①标准说法：先说南/北，再说偏东/偏西；②找准观测点，以正北、正南作为基准线，读出夹角。 14．如果在学校的南偏西方向上有一个书店，则学校在书店的（     ）方向上 A．东偏北 B．西偏南 C．北偏东 D．南偏西 15．如图所示，则船B相对于船A的方向为______． 16．，两个海上观测站的位置如图所示，在灯塔北偏东方向上，，则在灯塔的_____方向． 17．如图，，则射线的方向是（   ） A．东偏北 B．北偏东 C．北偏东 D．北偏东 题型六：与方向角有关的计算题 解题思路：①以观测点画十字方位坐标；②利用直角、平角，结合角的和差关系列式计算目标角度。 18．如图，某海域有三个小岛，在小岛处观测到小岛在它的北偏东的方向上，小岛在它的南偏东的方向上，则的度数是____． 19．如图，在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西的方向，同时观测到轮船B在南偏东的方向，则的大小是_______ 20．如图所示，以下描述错误的是（   ） A．点A位于点B的北偏西方向 B．点A位于点C的北偏东方向 C．点C位于点B的北偏西方向 D．点B位于点A的南偏东方向 题型七：角的单位与角度制 解题思路：①牢记60进制换算：1=60'，1'=60''；②度→分→秒：乘60；秒→分→度：除以60，逐级换算。 21．․ 22．将用度、分、秒表示为（    ） A． B． C． D． 23．将转化为度分秒的形式时，分的大小应为______． 24．下列换算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 题型八：角的度数大小比较 解题思路：①统一形式：全部化成“度”或者统一写成度分秒格式；②直接比较数值大小。 25．若，则____________(填“”、“”或“”) 26．若，，则与的关系是（    ） A． B． C． D．以上都不对 27．比较大小：______（填“＞”或“＝”或“＜”）． 28．若，则下面说法正确的是（　　） A． B． C． D．互不相等 题型九：角的比较 解题思路：①度量法：用量角器量出度数再比较；②叠合法：顶点重合、一条边重合，看另一条边位置判断大小。 29．如图，下列角的大小比较中，正确的是（   ） A． B． C． D． 30．如图所示，正方形网格中有和，如果每个小正方形的边长都为，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法估测 31．如图，利用一副三角板比较与的大小，两角顶点均与三角板某一顶点重合．已知图中射线经过角的一边，图中射线经过角的一边，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D．无法判断 题型十：三角板中角度计算问题 解题思路：①熟记两块三角板固定角度：30、60、90 和 45、45、90；②借助直角、公共角，利用角的和差求解。 32．如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，则的度数是__________． 33．将两副直角三角板按照如图方式摆放，其中与互余，则______． 34．下列四个图都由一副透明的三角尺摆放而成，其中与互补的是（   ） A． B． C． D． 题型十一：几何图形中角度计算问题 解题思路：①看图拆解，找到图里角的和差关系；②无图题型一定要分类讨论：射线在角内部、射线在角外部，避免漏解。 35．如图是集热板的示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．春分日某市正午太阳光线与水平面的夹角为．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角的大小为（   ） A． B． C． D． 36．如图，是直线上一点，为任一条射线，平分，平分，，则________度． 37．如图，于点O，，则_________． 38．一副三角板如图摆放，，，，则（　　） A． B． C． D． 题型十二：角度的四则运算 解题思路：①加减：度、分、秒分开算，满60向前进1，不够减向前借1当60；②乘除逐级运算，最后整理分、秒。 39．___________． 40．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 41．计算________________． 42．下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 题型十三：实际问题中角度计算问题 解题思路：①把生活实物转化成几何图形，找准顶点和两条边；②结合直角、平角、角平分线、余补角，用角的和差计算。 43．一束光在空气与某透明物质的界面处发生了反射和折射现象，其光路如图所示．入射光线与界面的入射角为，折射角为，则反射光线与折射光线形成的______． 44．如图，阳光与水平面成30°角，若要用平面镜使阳光竖直射入井中（物理学中，反射角入射角），则阳光与平面镜的夹角（）为______ 45．如图，小明从A处沿南偏西方向行走至点B处，又从点B处沿北偏西方向行走至点E处，则∠ABE＝（　　） A． B． C． D． 题型十四：尺规作一个角等于已知角 解题思路：①先画一条起始射线作为新作角的一边；②只用直尺、圆规作图，作图圆弧痕迹必须保留。 46．如图，若，根据尺规作图的痕迹，则的度数为（     ） A． B． C． D． 47．如图，，在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接，以点为圆心，长为半径画弧，交射线左侧弧于点，连接，则的度数为________． 48．图1、图2是一个基本作图的痕迹，则下列说法正确的是（     ）. A．这个基本作图是作角的平分线 B．弧①是以为圆心，以任意长为半径所画的弧 C．弧②是以为圆心，以任意长为半径所画的弧 D．弧③是以为圆心，以长为半径所画的弧 题型十五：角平分线的有关计算 解题思路：①核心等量关系：AOC= BOC= AOB；②结合角的和差，倍数关系可设未知数，列方程求解。 49．如图，直线与相交于点O，平分．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 50．如图，是钝角，，，是内的三条射线，若，平分，平分，那么的度数是______． 51．如图，已知直线和相交于点，是直角，平分，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型十六：角 n 等分线的有关计算 解题思路：①n等分就是分成n个相等小角，单个小角=原角度÷n；②多条等分线叠加时，看清目标角占几份。 52．在的内部作射线，射线把分成两个角，分别为和，若或，则称射线为的三等分线．若，射线为的三等分线，则的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 53．如图所示，射线是的三等分线，如图中所有的锐角之和为，则的度数为 ________． 54．已知射线是的三等分线之一，且，则不可能是（） A． B． C． D．以上都不对 题型十七：求一个角的余角 解题思路：①余角计算公式：90-；②易错点：钝角没有余角，算出负数就说明不存在余角。 55．若，则的余角为（     ） A． B． C． D． 56．若一个角等于它余角的2倍，则这个角是（     ）度 A．75 B．60 C．15 D．30 57．一个角的补角是，则这个角的余角的度数是________． 58．如图是光的反射定律示意图，分别是入射光线，反射光线和法线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型十八：求一个角的补角 解题思路：①补角计算公式：180-；②关键点：互补只看度数之和，不需要有公共顶点、公共边。 59．已知，则的补角等于______． 60．如图，的补角的度数为（     ） A． B． C． D． 61．如图，直线上有一点O，作射线，使得，则______；在同一平面内将一个直角三角尺的直角顶点放在点O处，，若始终在的内部，则______． 题型十九：与余角、补角有关的计算 解题思路：①常设这个角为x，写出余角、补角的代数式；②根据题意列方程，解完检验是否符合定义。 62．和互余，和互补，，______度． 63．如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．春分日贵阳市正午太阳光线与水平面的夹角为．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角的度数为（     ） A． B． C． D． 64．如果和互补，且，下列表达式：①；②；③；④中，能表示的余角的式子是__________．（请把所有正确的序号填在横线上） 65．如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中的图形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二十：同 (等) 角的余 (补) 角相等的应用 解题思路：①先找到公共角或者相等角；②直接使用性质证明两角相等，不需要重复计算角度。 66．如图所示，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，写出一对相等的角_________（直角除外，且不再添加其它字母）． 67．如图所示，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，则、、三个角的数量关系为________． 68．如图，射线，都在的内部，和都是直角，下列说法：①；②若变小，则也变小；③若，则；④若OM平分平分，则．其中正确的说法有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解答题 1．已知，． (1)求的补角的度数； (2)求的2倍与的的差． 2．按要求解答下列问题： (1)等于多少度多少分？ (2)和相等吗？如不相等，哪一个大？ 3．如图，，，都是直角，：，是的平分线． (1)图中共有_____个小于平角的角； (2)在图上画出的补角； (3)求的度数． 4．如图，已知，与互余，平分． (1)若，求和的度数． (2)设，，请探究与之间的数量关系． 5．如图，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起． (1)试判断图（1）中与的大小关系，并说明理由； (2)在图（1）中若，求的度数； (3)在图（1）中猜想与的数量关系，并说明理由； (4)若改变其中一个三角板的位置，如图（2），则第（3）小题的结论还成立吗？并说明理由． 6．如图，观察时钟，回答问题： (1)分针多长时间转一圈？它的转速是多少？ (2)从0点(12时)开始到6时整，时针转动了多少度？ (3)从12时到12时30分，分针转动了多少度？ (4)中午12时15分时，钟表上的时针和分针所成的角是多少度？ 7．如图，在某科技园区的光电信号塔的周边，有三个智能巡检机器人，，正在执行巡逻任务.已知机器人在信号塔的北偏东方向上，机器人在信号塔的南偏东方向上，且射线是的平分线. (1)求的度数. (2)机器人B在信号塔的什么方向上？ 8【问题背景】如图1，设一钟表中心为点O，已知时针长为10厘米，分针长为30厘米．初始时刻时针分针在12点整的位置． (1)每经过1小时，时针转______度，每经过1分钟，分针转______度； (2)【迁移应用】如图2，若钟面上还有一损坏的秒针，该秒针指向“3”保持不动，请问几分钟后，秒针恰好第一次平分时针与分针形成的夹角？ (3)【创新应用】如图1，从12点整开始，两动点M，N分别从点和点出发，点按照的路线移动，点按照的路线移动，两动点移动速度均为：朝向点时为1厘米/分钟，远离点时为2厘米/分钟，每次时针与分针共线时，动点M，N的运动方向立刻反向，设运动时间为分钟： ①求动点M，N第一次相遇的时间，以及此时分针与时针的夹角； ②请直接写出动点M，N第二次、第三次相遇的时间． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $