精品解析：四川省眉山车城中学2027届高三上学期9月考试数学试题

车城中学2027届高三上学期9月考试数学试题 命题人：唐继洪 审核：陈尚华 考试时间：120分 满分：150 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，在给出的四个选项中只有一项是正确的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简集合A，再利用集合的交集运算求解. 【详解】由，得，解得， 所以，又， 所以． 故选：D 2. 若且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依据不等式的性质及函数的单调性对选项逐一判断即可． 【详解】因为且， 对于A选项：当时不成立； 对于B选项：单调递减，所以不成立； 对于C选项：在单调递增，成立； 对于D选项：举反例，不成立． 故选：C． 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件，必要条件的定义判断即可. 【详解】由，解得，由，但 “”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 4. 已知函数的图象如图所示，则函数的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象，结合各个选项的函数，逐一分析判断即可得出结果. 【详解】对于选项A，由，得，不符合函数图象，所以选项A错误， 对于选项B，因为，且的定义域为， 关于原点对称，所以是奇函数，不符合函数图象，所以选项B错误， 对于选项C，因为的定义域为，不符合函数图象，所以选项C错误， 对于选项D，解析式符合图象特征. 故选：D. 5. 若对任意实数都有 成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由不等式判断为上的增函数，再根据分段函数单调递增的要求：各段单调递增、分段点处左段函数值不大于右段函数值，列不等式组求解即可. 【详解】由对任意恒成立，可得是上的单调递增函数， 故分段函数单调递增需满足三个条件： 当时，为增函数，故底数需满足； 当时，为增函数，故需满足，解得； 在分段点处，左段函数值不大于右段函数值，即，解得， 综上，实数的取值范围为. 6. 算盘是我国一类重要的计算工具．如图是一把算盘的初始状态，自右向左前四位分别表示个位､十位､百位､千位，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，即五粒下珠的代表数值等于同组一粒上珠的代表数值，例如，个位拨动一粒上珠至梁上，十位未拨动，百位拨动一粒下珠至梁上，表示数字105．现将算盘的千位拨动一粒珠子至梁上，个位､十位､百位至多拨动一粒珠子至梁上，其它位置珠子不拨动．设事件“表示的四位数为偶数”，事件“表示的四位数大于5050”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意列举出所有基本事件，进而求出，然后利用条件概率公式求解即可. 【详解】算盘的千位拨动一粒珠子至梁上，个位､十位､百位至多拨动一粒珠子至梁上，其它位置珠子不拨动． 基本事件为：， 5500共14种， 事件“表示的四位数为偶数”，事件“表示的四位数大于5050，则， 所以． 故选：A． 7. 已知函数，若正实数满足，则的最小值是（ ） A. 11 B. 8 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性与单调性，结合题设推导出，再通过“1”的代换结合基本不等式求解最小值即可. 【详解】函数的定义域为，， 故是上的奇函数，且， 可得， 因为函数和函数在定义域上单调递增， 所以函数单调递增，所以， 即，其中. 将代入，得， 因此： ， 当且仅当即时等号成立， 将代入，解得，满足的条件， 因此的最小值为. 8. 已知集合，定义叫做集合的长度，若集合的长度为2，则的长度为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 4或5 【答案】C 【解析】 【分析】根据分类讨论可得. 【详解】时，，因此，其长度为0，不合题意； 时，，，，则的长度为，，，长度为， 时，，，，则的长度为，，，长度为， 所以的长度为5. 二、多项选择题：本大题共3小题，共计18分，在给出的四个选项中有多项是正确的.全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 命题：“，都有”的否定为“，使得” B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 设定义在R上函数，则 D. 已知关于x的不等式的解集为或，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据命题的否定的定义、函数的定义域、分段函数的定义、一元二次不等式的解分别判断各选项. 【详解】A，命题：“，都有”的否定为“，使得”，A正确； B，若函数的定义域为，由得，则函数的定义域为，B错误； C，由已知，C正确； D，关于x的不等式的解集为或，则， 所以，从而，D错. 综上，AC正确. 10. 已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数为偶函数 C. 令函数，则不等式的解集为 D. 若函数，，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出幂函数解析式，由幂函数性质可判断AB；判断为偶函数且上为增函数，从而可将函数不等式转化为，故可求函数不等式的解，从而判断C，利用作差法结合基本不等式判断D. 【详解】设幂函数的解析式为， 因为幂函数 的图象经过点，所以，解得，即， 对于A，函数的定义域为，故A正确； 对于B，因为，且的定义域为， 故为偶函数，故B正确； 对于C，，故为偶函数， 因为在上为增函数，而在上为增函数， 故在上为增函数，而即为， 故，故即的解集为，故C错误； 对于D， ， 而 ， 因为，，故， 当且仅当等号成立，故， 故，即， 当且仅当等号成立，故D成立. 11. 已知定义在上的函数不恒等于，且对任意的，有，则（ ） A. B. 是偶函数 C. 的图象关于点中心对称 D. 是的一个周期 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用赋值法令根据表达式可判断A正确，再根据偶函数定义可得B正确；取并根据对称中心定义可得C正确，由对称中心以及偶函数性质可判断是的一个周期，可得D错误. 【详解】对于A,根据题意令，则由可得，解得，即A正确； 对于B,令可得，所以， 即可得对任意的满足，即是偶函数，所以B正确； 对于C,令，则由可得， 即满足，因此可得的图象关于点中心对称，即C正确； 对于D,由于是偶函数，所以满足，即， 可得，也即，所以是的一个周期，即D错误. 故选：ABC 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知一组数据：2，5，7，，10的平均数为6，则该组数据的中位数为________. 【答案】 6 【解析】 【详解】由平均数的计算公式列方程： 根据题意得， 整理得，解得. 将该组数据从小到大排列为：， 该组数据共5个（奇数个）， 根据中位数的定义，其中位数为排序后第个数据，即6. 13. 已知偶函数的定义域为，且在上是增函数，若，则不等式的解集是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用偶函数的性质得到在上的单调性和，再将乘积大于0的不等式转化为两个同号不等式组，结合的正负区间求解解集. 【详解】 因为是定义域为的偶函数，且在上单调递增， 所以在上单调递减，且，先分析的正负分布： 当时，；当时，； 当时，；当时，. 不等式等价于以下两个不等式组： ，即，解得； ，即，解得. 综上，原不等式的解集为. 14. 已知函数，若存在实数，使得关于的方程恰有三个不同的实数根，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】在直角坐标系中画出，的图象，对分类讨论，结合函数图象即可判断. 【详解】解：在直角坐标系中画出，的图象， 由，解得， 其中，对称轴为，， 对于，令，解得， 当时，任意，恰有个实数根，如下图所示： 当时，任意，至多有2个实数根，如下图所示： 当时，存在使得恰好有3个实数根，如下图所示： 当时，任意，至多有2个实数根，如下图所示： 综上可得：的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共计77分，需要写出必要的推理过程. 15. 完成下列2个小题： （1）化简； （2）已知，，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 ，，， 故原式. 【小问2详解】 由得；由得， 所以. 16. 已知函数且为奇函数. （1）求实数的值及函数的值域； （2）解不等式； 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用奇函数的性质，即可求出的值，再利用指数函数和反比例函数的单调性，即可求解； （2）根据条件得，利用指数不等式的解法，即可求解； 【小问1详解】 因为且，则的定义域为，又为奇函数， 则，解得，所以， 则，所以满足题意， 又，所以，则，所以函数的值域为. 【小问2详解】 由（1）知，由，得到， 整理得到，解得，所以不等式的解集为. 17. 眉山市植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：）介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示. （1）求的值并估计植物园该花卉的平均高度，说明理由； （2）若从高度在和中分层抽样抽取5株，在这5株中随机抽取3株，记高度在内的株数为，求的分布列及数学期望. 【答案】（1） ，平均高度为，理由：用样本的平均数估计总体的平均数. （2） ， 的分布列为： 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为求出，再利用组中值乘以对应频率之和估计平均高度； （2）根据频率之比确定分层抽样抽取的株数，确定随机变量的取值，利用超几何分布的概率公式求出各取值的概率，进而得到分布列和数学期望. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，组距为， 因为所有小矩形的面积之和为， 所以， 解得. 估计该花卉的平均高度为： . 理由：用样本的平均数估计总体的平均数. 【小问2详解】 由（1）及题图可知， 高度在内的频率为， 高度在内的频率为， 两者的频率之比为. 因为采用分层抽样抽取株， 所以高度在内抽取的株数为， 高度在内抽取的株数为. 从这株中随机抽取株， 记高度在内的株数为， 则的可能取值为. ， ， . 所以的分布列为： 所以. 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若，讨论函数的单调性，并求出单调区间； （3）若函数在区间上的最小值为0，求a的值. 【答案】（1） （2）当时，在上单调递增，无单调递减区间；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为 （3） 【解析】 【分析】（1）求导后取处的函数值与导数值，由点斜式写出切线方程. （2）以的符号为分类标准，时导数恒正，时以零点分界写出两个单调区间. （3）按最小值点是否落在端点分类：时最小值在取得并解得；时最小值在取得，解方程所得值与前提矛盾而舍去. 【小问1详解】 时，，，，， 故曲线在处的切线方程为； 【小问2详解】 ，当时恒成立，在上单调递增； 当时，由得， 时，， 时，， 故的单调递减区间为，单调递增区间为； 【小问3详解】 由（2）知时，在上单调递增， 时，，在上也单调递增， 故时最小值为，令得，符合； 当时，最小值点为， 此时， 令，由得， 即，与矛盾，舍去； 故. 19. 若函数在区间上的最大值与最小值之差为定值，则称函数是在区间上的“距函数”. （1）判断函数是否是区间上的“2距函数”，并说明理由； （2）已知函数是定义在上的奇函数，且，证明：是区间上的“距函数”，并求出的值； （3）若对任意，关于的不等式恒成立且实数的最小值为. （i）求的值； （ii）已知函数是在区间上的“1距函数”，求实数的值. 【答案】（1）不是，理由如下： ； 当时，， 在上单调递增，在上单调递减； ，； 当时，，在上单调递增； ，； 在区间上，； ； 函数不是区间上的“2距函数”. （2） 是定义在上的奇函数 ，得 . ，解得； . ， ，即在区间上单调递增. ，； ； 是区间上的“距函数”，且. （3）（i） （ii）或 【解析】 【分析】（1）分析的分段形式以及单调性，求出其在的最大值和最小值，计算两者的差值与2比较即可； （2）由是的奇函数，结合求出，，再求出在上的单调性，求出的最大值和最小值，最后计算最值的差值得到. （3）（i）将不等式变形为，构造函数利用其单调性转化为，求出左侧函数的最大值即可得到的最小值； （ii）先确定的单调性与极值点，再根据区间与极值点的位置关系分类讨论，分别求出区间内的最大值与最小值，令最值差值为1求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 （i），则. 令，则，即在上单调递增. ，即，则. 对任意，关于的不等式恒成立，等价于对任意恒成立. 令，，则； 当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增； ； ，即的最小值. （ii）由得函数是在区间上的“1距函数”，即区间内最大值与最小值的差为1. ，的定义域为. . 令，解得. 当时，，则在上单调递增；当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增. ①当，即，此时在上单调递增，，，则，方程无解，舍去； ②当，即时，，则； ，解得，不符合题意，舍去； ③当，即时，此时在上单调递减， ，，则，得，解得，（不符合题意，舍去）； ④当，即时，此时在上单调递减， ，，则 ，得，解得 （不符合题意，舍去），； ⑤当，即时，，则； ，解得，不符合题意，舍去； ⑥当时，此时在上单调递增，，，则，方程无解，舍去； 综上，或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 车城中学2027届高三上学期9月考试数学试题 命题人：唐继洪 审核：陈尚华 考试时间：120分 满分：150 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，在给出的四个选项中只有一项是正确的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若且，则（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数的图象如图所示，则函数的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 5. 若对任意实数都有 成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 算盘是我国一类重要的计算工具．如图是一把算盘的初始状态，自右向左前四位分别表示个位､十位､百位､千位，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，即五粒下珠的代表数值等于同组一粒上珠的代表数值，例如，个位拨动一粒上珠至梁上，十位未拨动，百位拨动一粒下珠至梁上，表示数字105．现将算盘的千位拨动一粒珠子至梁上，个位､十位､百位至多拨动一粒珠子至梁上，其它位置珠子不拨动．设事件“表示的四位数为偶数”，事件“表示的四位数大于5050”，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若正实数满足，则的最小值是（ ） A. 11 B. 8 C. 4 D. 3 8. 已知集合，定义叫做集合的长度，若集合的长度为2，则的长度为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 4或5 二、多项选择题：本大题共3小题，共计18分，在给出的四个选项中有多项是正确的.全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 命题：“，都有”的否定为“，使得” B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 设定义在R上函数，则 D. 已知关于x的不等式的解集为或，则 10. 已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数为偶函数 C. 令函数，则不等式的解集为 D. 若函数，，，则 11. 已知定义在上的函数不恒等于，且对任意的，有，则（ ） A. B. 是偶函数 C. 的图象关于点中心对称 D. 是的一个周期 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知一组数据：2，5，7，，10的平均数为6，则该组数据的中位数为________. 13. 已知偶函数的定义域为，且在上是增函数，若，则不等式的解集是______. 14. 已知函数，若存在实数，使得关于的方程恰有三个不同的实数根，则的取值范围是__________． 四、解答题：本大题共5小题，共计77分，需要写出必要的推理过程. 15. 完成下列2个小题： （1）化简； （2）已知，，求的值. 16. 已知函数且为奇函数. （1）求实数的值及函数的值域； （2）解不等式； 17. 眉山市植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：）介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示. （1）求的值并估计植物园该花卉的平均高度，说明理由； （2）若从高度在和中分层抽样抽取5株，在这5株中随机抽取3株，记高度在内的株数为，求的分布列及数学期望. 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若，讨论函数的单调性，并求出单调区间； （3）若函数在区间上的最小值为0，求a的值. 19. 若函数在区间上的最大值与最小值之差为定值，则称函数是在区间上的“距函数”. （1）判断函数是否是区间上的“2距函数”，并说明理由； （2）已知函数是定义在上的奇函数，且，证明：是区间上的“距函数”，并求出的值； （3）若对任意，关于的不等式恒成立且实数的最小值为. （i）求的值； （ii）已知函数是在区间上的“1距函数”，求实数的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $