四川省成都市石室中学2025-2026学年高三上学期第六次专项练习数学试题

成都石室中学高2026届高三上期第六次专项练习试题 数 学 一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数，满足，，则（    ） A． B． C． D．6 3．已知的顶点坐标为，则（    ） A． B． C． D． 4．已知数列为等比数列，，，则数列的前10项和为（    ） A．352 B．401 C．625 D．913 5．已知函数（且）的图象关于轴对称，且，则（　　） A． B．2 C．3 D．4 6．已知正方体棱长为1，过点的平面截正方体所得截面为菱形时，该截面的面积为（   ） A． B． C． D． 7．质数又称素数，我们把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”，如：3和5，5和7……，在不超过20的正整数中，随机选取两个不同的数，记事件：这两个数都是素数；事件：这两个数不是孪生素数，则（    ） A． B． C． D． 8．已知椭圆，P为椭圆上任意一点，过点P分别作与直线和平行的直线，分别交，交于M，N两点，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、选择题：本题共3小题,每小题6分、共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分、部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9．函数的部分图象如图所示，其中，，则（   ） A． B．在区间恰有一个零点 C． D．在区间上有4个极值点. 10．设离散型随机变量的取值为1，2，3，…，99，且，则（   ） A．当数列为等差数列时， B．数列的通项公式可能为 C．当数列满足时， D．当数列满足时， 11．已知函数是其导函数.若存在且，满足，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本大题共3小题,每小题5分,共15分. 12．过点作圆的切线，则切线长为 ． 13．在中，，.若，则的面积为 . 14．已知，其中为虚数单位，从组合数、、、…、中取出一个数记作，从展开式中项的系数、、、…、中取出一个数记作，若，则的概率为 四、解答题：本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题13分） 记的内角所对的边分别为，已知． (1)求； (2)若，，求的面积． 16．（本小题15分） 某市举行招聘考试，共有4000人参加，分为初试和复试，初试通过后参加复试．为了解考生的考试情况，随机抽取了100名考生的初试成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示． (1)根据频率分布直方图，试求样本平均数的估计值； (2)若所有考生的初试成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，，试估计初试成绩不低于88分的人数； (3)复试共三道题，第一题考生答对得5分，答错得0分，后两题考生每答对一道题得10分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩．已知某考生进入复试，他在复试中第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，且每道题回答正确与否互不影响．记该考生的复试成绩为Y，求Y的分布列及均值． 附：若随机变量X服从正态分布，则：，，． 17．（本小题15分） 设抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，为坐标原点. (1)求； (2)设点，直线，与的另一个交点分别为，求面积的最小值. 18．（本小题17分） 如图，在四棱台中，平面平面. (1)求证：； (2)求平面与平面所成角的正弦值； (3)求点关于平面的对称点到平面的距离. 19．（本小题17分） 已知函数的导函数为，为数列的前n项和，且，. (1)求曲线在处的切线方程； (2)证明：； (3)设，证明：. 专项练习参考答案 一、单选题 1-8 BCCDBAAC 二、多选题 9.AB 10.ABD 11.ABD 三、填空题 12．3 13． 14． 四、解答题 15．【详解】（1）由  得，而为三角形内角， 故,得，而为三角形内角，或 （2）由得， 又，∴，  ，故 ， 由（1）得，故， ∴，而为三角形内角， ∴. 又即， 又，而为三角形内角，故， . 16．【详解】（1）样本平均数的估计值为． （2）因为学生初试成绩X服从正态分布，其中，， 则， 所以， 所以估计初试成绩不低于88分的人数为人． （3）Y的取值分别为0，5，10，15，20，25， 则， ， ， ， ， ， 故Y的分布列为： Y 0 5 10 15 20 25 P 所以数学期望为． 17．【详解】（1）设，，直线的方程为， 由得，时， 则， 因为直线经过点，所以，故，此时 而两点在上，故，，所以， 所以. （2）设，，因为直线，经过点， 由（1）知，由，则，， 设直线的方程为， 同理得，， 则，， 由， 而，所以，故. 所以直线经过定点，且， ， 当且仅当时等号成立，所以面积的最小值为8. 18．【详解】（1）连接，因为，， 所以，所以四点在同一平面上， 又因为平面，平面平面， 所以，可得四边形为平行四边形， 所以； （2）因为，，，， 所以四边形是等腰梯形，做交与点，可得， 所以，且， 以点为原点，所在的直线分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，， ，，，， 设向量为平面的一个法向量， 则，即，令，得， 所以， 设向量为平面的一个法向量， 则，即，令，得， 所以， ， 设平面与平面所成角的为， 所以； （3）由（2）建立的空间直角坐标系，得 ，， ，， 设为平面的一个法向量， 则，即，令，得， 所以， 则点到平面的距离 为， 设，则， 因为与共线，，可得， ， 所以点到平面的距离 为， 解得，或（舍去）， 此时，， 所以点到平面的距离. 19．【详解】（1）由题，， 则，又， 所以曲线在处的切线方程为， 即. （2）证明：因为， 所以，所以当时，， 又，所以， 所以， 欲证，只需证得，即证， 设，则， 设，则， 因为，所以，故（即在单调递减， 而时，，，故，故在单调递减， 所以，所以得证. （3）证明：因为，即， 所以， 由（2）知，且， 所以，即， 所以， 所以. 所以.得证. 第4页 第5页 学科网（北京）股份有限公司 $