精品解析：湖北黄冈市浠水县第二实验中学等校2026-2027学年九年级上学期第一次阶段自测数学试题

2026年秋浠水县第二实验中学9月份第一次月考 数学试题 本试题卷共4页，满分120分，考试用时120分钟． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】从是否为整式方程、未知数个数、未知数最高次数三个角度判断各选项． 【详解】解：A、是整式方程，只含一个未知数，且的最高次数为2， 是一元二次方程，符合题意； B、是分式方程， 不是一元二次方程，不符合题意； C、含有两个未知数， 不是一元二次方程，不符合题意； D、中的最高次数为1， 不是一元二次方程，不符合题意． 2. 一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别为（） A. 3，2 B. 2，3 C. 3， D. 3，4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的基本概念，一元二次方程中，二次项系数是a，一次项系数是b，常数项是c． 【详解】解：对于方程，二次项系数为3，一次项系数为． 故选：C． 3. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据二次项系数非零结合根的判别式，得出关于k的一元一次不等式，求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得：且， 故选：C． 4. 若关于x的一元二次方程（m+1）x2+3x+m2﹣1＝0的一个实数根为0，则m等于（　　） A. 1 B. ±1 C. ﹣1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】把x＝0代入方程得到关于m的方程，再解关于m的方程，然后利用一元二次方程的定义确定m的值． 【详解】把x＝0代入（m+1）x2+3x+m2﹣1＝0，得m2﹣1＝0， 解得m1＝﹣1，m2＝1， 而m+1≠0，即m≠﹣1． 所以m＝1． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的概念、一元二次方程的定义，注意的是：千万不要忽略一元二次方程中二次项系数不为零． 5. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式即可得到结果． 【详解】解：， 移项得 等式两边同时加上一次项系数一半的平方 得： 配方得． 6. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：， ， ∴ 或， ∴． 7. 一元二次方程的两个实数根为，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系，直接计算根的和与积，结合选项判断正确答案. 【详解】解：对于方程 ，设其根为和， 根据根与系数的关系： ∴，； 故选：D 8. 2026年湖北省城市足球联赛（简称“楚超”）是省内最大的群众足球赛事．楚超有支代表队参赛，常规赛采取单循环形式（每两支球队之间比赛1场），共需进行136场比赛，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据单循环赛制的比赛规则计算总场数，即可列出对应方程． 【详解】解：∵共有支球队参赛，单循环赛制要求每两支球队之间比赛场， ∴每支球队需要和除自身外的支球队各比赛场， 又∵每一场比赛会被两支球队重复计算次，需要去掉重复计数， ∴总比赛场数为， 已知总比赛场数为场， ∴可列方程． 9. 某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设这种植物主支干长出x个，小分支数目为个，根据主干、支干和小分支的总数是43，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论 【详解】设种植物主支干长出x个，小分支数目为个， 依题意，得：， 解得： （舍去），． 故选C． 【点睛】此题考查一元二次方程的应用，解题关键在于列出方程 10. 新定义：若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则代数式的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】通过因式分解求解一元二次方程的两个根，再根据“倍根方程”的定义分两种情况讨论根的关系，最终求解得到的值． 【详解】解：， ， 解得，． 关于的一元二次方程是“倍根方程”， 分两种情况：①当时，即，此时， ②当时，即，此时． 综上所述，代数式的值为或． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 把一元二次方程 化为一般形式是____________． 【答案】 【解析】 【分析】一元二次方程的一般形式为，移项整理原方程即可得到结果． 【详解】解：移项得． 12. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式的性质，当方程有两个相等的实数根时，根的判别式，由此列出关于的方程，求解即可得到的值． 【详解】解：对于一元二次方程，其中，，， 方程有两个相等的实数根， ， 整理得， 解得． 13. 已知α，β是一元二次方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的定义降次，再结合根与系数的关系代入计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴． ∵由根与系数的关系可得，， ∴． 14. 在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即．已知为2米，则线段的长为______米． 【答案】## 【解析】 【分析】根据点E是AB的黄金分割点，可得，代入数值得出答案． 【详解】∵点E是AB的黄金分割点， ∴． ∵AB=2米， ∴米． 故答案为：（）． 【点睛】本题主要考查了黄金分割的应用，掌握黄金比是解题的关键． 15. 在欧几里得的《几何原本》中，形如关于的一元二次方程的图解法是：如图1，作，其中，，，在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根．根据上述图解法作出关于的一元二次方程的图解，如图2，若，则的值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的图解法，理解图解法的含义是解答本题的关键． 设，则，由勾股定理得，然后根据求出m，再根据根据即可求出a． 【详解】解：∵， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：6． 三、解答题（共9题，共75分） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可； 利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： 或 ∴，； 【小问2详解】 解： 或 ∴，． 17. 已知关于的一元二次方程的一个根为，求的值以及方程的另一个根． 【答案】的值为，方程的另一根为 【解析】 【分析】把代入方程可求得的值，再解方程可求得另一根． 【详解】解：将代入方程，得：， 解得， 将代入原方程，得：， 整理得， 即， 解得，， 故的值为，方程的另一根为． 18. 已知 ． （1）化简； （2）若为方程的解，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）根据方程的解的定义得到，再根据计算求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵为方程的解， ∴， ∴， ∴． 19. 如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． （1）设花圃的一边AB长为x米，请你用含x的代数式表示另一边AD的长为　 　米； （2）若此时花圃的面积刚好为45m2，求此时花圃的长与宽． 【答案】（1） （2）长为9m，宽为5m 【解析】 【分析】（1）用绳子的总长减去三个的长，然后加上两个门的长即可表示出； （2）根据长方形面积公式列出关于x的一元二次方程求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：设花圃的宽AB长为x米，则长米， 故答案为:； 【小问2详解】 解：由题意可得：， 解得：；， ∴当时，，不符合题意舍去， 当时，，满足题意． 答：花圃的长为9m，宽为5m． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，弄清题意、用x表示出是解答本题的关键． 20. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）求m的取值范围； （2）若，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可知，代入求解即可． （2）根据根与系数的关系得出，，代入到，得出关于m的一元二次方程，利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，， ∴，， 将，，代入， ∴，即， ∴， 解得， 由（1）知， ∴． 21. 2016年，某贫困户的家庭年人均纯收入为2500元，通过政府产业扶持，发展了养殖业后，到2018年，家庭年人均纯收入达到了3600元． （1）求该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率； （2）若家庭年人均纯收入达到4000元就可以脱贫，年平均增长率保持不变，那么2019年该贫困户是否能脱贫？ 【答案】（1）该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为20%；（2）2019年该贫困户能脱贫 【解析】 【分析】（1）设该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为x，利用该贫困户2018年家庭年人均纯收入=该贫困户2016年家庭年人均纯收入×（1+增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）利用该贫困户2019年家庭年人均纯收入=该贫困户2018年家庭年人均纯收入×（1+增长率），可求出该贫困户2019年家庭年人均纯收入，再将其与4000比较后即可得出结论． 【详解】解：（1）设年平均增长率为x，根据题意得方程 ， 解得，（不合题意，舍去）． 答：该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为20%． （2）∵3600×（1+20%）=4320（元）． ∵4320﹥4000 ． ∴2019年该贫困户能脱贫． 答：2019年该贫困户能脱贫． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 22. 超市销售某种商品，每件盈利50元，平均每天可达到30件．为尽快减少库存，现准备降价以促进销售，经调查发现：一件商品每降价1元平均每天可多售出2件． （1）当一件商品降价5元时，每天销售量可达到　　件，每天共盈利　　元； （2）在上述条件不变，销售正常情况下，每件商品降价多少元时超市每天盈利可达到2100元？ （3）在上述条件不变，销售正常情况下，超市每天盈利可以达到2200元吗？如果可以，请求出销售价；如果不可以，请说明理由． 【答案】（1）40，1800； （2）每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元； （3）商场日盈利不可以达到2200元，理由： 根据题意可得（30+2x）（50﹣x）＝2200， 整理得到：x2﹣35x+350＝0． 由于△＝b2﹣4ac＝1225﹣1400＝﹣175＜0， 所以该方程无解． 故商场日盈利不可以达到2200元． 【解析】 【分析】（1）降价1元，可多售出2件，降价5元，可多售出2×5件，盈利的钱数＝原来的盈利﹣降低的钱数，日盈利＝每件商品盈利的钱数×当天实际销售商品的件数； （2）根据日盈利＝每件商品盈利的钱数×（原来每天销售的商品件数30+2×降价的钱数），列出方程求解即可； （3）根据题意列出方程，利用根的判别式进行判断即可． 【详解】解：（1）降价5元，销售量达到30+2×5＝40件， 当天盈利：（50﹣5）×（30+2×5）＝1800（元）； 故答案为：40，1800； （2）根据题意，得：（50﹣x）×（30+2x）＝2100， 解得：x＝15或x＝20， ∵该商场为了尽快减少库存， ∴降的越多，越吸引顾客， ∴选x＝20， 答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元； （3）略 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，将实际问题转化为数学问题，正确列出方程是解题关键． 23. 已知关于的方程. （1）求证：无论取什么实数值，这个方程总有实数根； （2）能否找到一个实数，使方程的两实数根互为相反数？若能找到，求出的值；若不能，请说明理由． （3）当等腰三角形ABC的边长，另两边的长恰好是这个方程的两根时，求△ABC的周长． 【答案】 （1）∵△=， ∴方程总有实根； （2）；（3）10． 【解析】 【分析】（1）整理根的判别式，得到它是非负数即可． （2）两实数根互为相反数，让即可求得k的值． （3）分，两种情况做． 【详解】解：（1略 ） （2）∵两实数根互为相反数， ∴， 解得； （3）①当时，则△=0， 即， ∴， 方程可化为， ∴， ∴，∴不适合题意舍去； ②当，则， ∴， 方程化为， 解得，， ∴c=2，C△ABC=10， 当c=a=4时，同理得b=2， ∴C△ABC=10， 综上所述，△ABC的周长为10． 24. 【探索发现】如图，等腰直角中，，，过点作交于点，过点作交于点，易得，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明） 【迁移应用】如图，在直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点、， 其中、是方程的两根． （1）直接写出______，______； （2）在第二象限构造等腰直角，使得，求点的坐标； （3）如图，将直线绕点顺时针旋转得到，求的函数表达式； 【拓展应用】 （4）如图，直线 分别交轴和轴于两点，点在直线上，且点坐标为，点坐标为，连接，点为直线上一点，满足，请直接写出点的坐标： ． 【答案】（1）， （2）点的坐标为 （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）解方程得到、的值，即可求得结果； （2）过点作轴交轴于点，构造“型全等”模型，根据全等三角形的性质求坐标； （3）过点作交于点，过点作轴交轴于点，构造“型全等”模型，根据全等三角形的性质求点的坐标，利用两点的坐标求出直线解析式； （4）分两种情况：当点在射线上或射线上时，分别利用全等三角形的判定与性质求出直线的解析式，然后联立解析式求出点的坐标即可． 【小问1详解】 解：解方程 得,, ∵、是方程的两根，且、， ∴, 即． 【小问2详解】 过点作轴交轴于点， ∵是等腰直角三角形，，, 又, ∴, ∴, ∴， ∴, ∴, ∴． 【小问3详解】 如图，过点作交于点， 过点作轴交轴于点， 则由旋转的性质可得，， ∴是等腰直角三角形， 又, ∴, 又, ∴, ∴， ∴, ∴, ∴． 设直线的函数表达式为, 将点代入得 , 解得, ∴直线的函数表达式为． 【小问4详解】 当点在射线上时，过点作交于点， 过点作轴， 过点作交于点， 过点作交于点， ∵，， ∴是等腰直角三角形，, ∵, ∴, ∴, ∴， ∵点坐标为，点坐标为， ∴, ∴, ∴点的坐标为 设直线的函数表达式为, 将点代入得 , 解得 , ∴直线的函数表达式为． ∴联立解得 即点的坐标; 当点在射线上时， 过点作交的延长线于点， 过点作轴，垂足为点， 过点作交于点， ∵，， ∴是等腰直角三角形，, ∵, ∴, ∴, ∴， ∵点坐标为，点坐标为， ∴, ∴, ∴点的坐标为 设直线的函数表达式为, 将点代入得 , 解得, ∴直线的函数表达式为． ∴联立解得 即点的坐标; 综上点的坐标或． 【点睛】此题考查了一次函数与几何的综合应用，涉及了坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，一次函数的图象和性质，解二元一次方程组等知识，解题的关键是熟练掌握相关基础知识． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋浠水县第二实验中学9月份第一次月考 数学试题 本试题卷共4页，满分120分，考试用时120分钟． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别为（） A. 3，2 B. 2，3 C. 3， D. 3，4 3. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 4. 若关于x的一元二次方程（m+1）x2+3x+m2﹣1＝0的一个实数根为0，则m等于（　　） A. 1 B. ±1 C. ﹣1 D. 0 5. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 6. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. D. 7. 一元二次方程的两个实数根为，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 2026年湖北省城市足球联赛（简称“楚超”）是省内最大的群众足球赛事．楚超有支代表队参赛，常规赛采取单循环形式（每两支球队之间比赛1场），共需进行136场比赛，则可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（　　） A. B. C. D. 10. 新定义：若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则代数式的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 把一元二次方程 化为一般形式是____________． 12. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是_________． 13. 已知α，β是一元二次方程的两个实数根，则的值为________． 14. 在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即．已知为2米，则线段的长为______米． 15. 在欧几里得的《几何原本》中，形如关于的一元二次方程的图解法是：如图1，作，其中，，，在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根．根据上述图解法作出关于的一元二次方程的图解，如图2，若，则的值为______． 三、解答题（共9题，共75分） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 17. 已知关于的一元二次方程的一个根为，求的值以及方程的另一个根． 18. 已知 ． （1）化简； （2）若为方程的解，求的值． 19. 如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． （1）设花圃的一边AB长为x米，请你用含x的代数式表示另一边AD的长为　 　米； （2）若此时花圃的面积刚好为45m2，求此时花圃的长与宽． 20. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）求m的取值范围； （2）若，求m的值． 21. 2016年，某贫困户的家庭年人均纯收入为2500元，通过政府产业扶持，发展了养殖业后，到2018年，家庭年人均纯收入达到了3600元． （1）求该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率； （2）若家庭年人均纯收入达到4000元就可以脱贫，年平均增长率保持不变，那么2019年该贫困户是否能脱贫？ 22. 超市销售某种商品，每件盈利50元，平均每天可达到30件．为尽快减少库存，现准备降价以促进销售，经调查发现：一件商品每降价1元平均每天可多售出2件． （1）当一件商品降价5元时，每天销售量可达到　　件，每天共盈利　　元； （2）在上述条件不变，销售正常情况下，每件商品降价多少元时超市每天盈利可达到2100元？ （3）在上述条件不变，销售正常情况下，超市每天盈利可以达到2200元吗？如果可以，请求出销售价；如果不可以，请说明理由． 23. 已知关于的方程. （1）求证：无论取什么实数值，这个方程总有实数根； （2）能否找到一个实数，使方程的两实数根互为相反数？若能找到，求出的值；若不能，请说明理由． （3）当等腰三角形ABC的边长，另两边的长恰好是这个方程的两根时，求△ABC的周长． 24. 【探索发现】如图，等腰直角中，，，过点作交于点，过点作交于点，易得，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明） 【迁移应用】如图，在直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点、， 其中、是方程的两根． （1）直接写出______，______； （2）在第二象限构造等腰直角，使得，求点的坐标； （3）如图，将直线绕点顺时针旋转得到，求的函数表达式； 【拓展应用】 （4）如图，直线 分别交轴和轴于两点，点在直线上，且点坐标为，点坐标为，连接，点为直线上一点，满足，请直接写出点的坐标： ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $