专题14.2 三角形全等的判定（基础篇）（举一反三讲义）数学新教材人教版八年级上册

本讲义聚焦三角形全等的判定这一核心知识点，系统梳理SAS、ASA、AAS、SSS及HL等判定方法，从基本事实到直接应用、条件添加、实际问题解决，构建由基础到综合的递进式学习支架。 资料以题型归纳为特色，通过跷跷板模型、风筝龙骨等生活实例，培养学生用数学眼光观察现实世界，结合辨析判定方法、挖掘隐含条件发展推理意识，课中辅助分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用能力。

专题14.2 三角形全等的判定（基础篇）（举一反三讲义） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 直接应用SAS证明全等】 1 【题型2 添加条件利用SAS使三角形全等】 3 【题型3 利用SAS解决线段或角的计算问题】 5 【题型4 挖掘隐含条件的SAS证明】 9 【题型5 直接应用ASA或AAS证明全等】 15 【题型6 辨析与选择ASA与AAS判定方法】 19 【题型7 利用平行线或角平分线构造角相等（ASA与AAS）】 21 【题型8 利用ASA或AAS解决生活中的实际测量问题】 26 【题型9 直接应用SSS证明全等】 30 【题型10 通过线段的和差计算得出边相等（SSS）】 33 【题型11 利用三角形的稳定性解决实际问题】 37 【题型12 直接应用HL证明直角三角形全等】 39 【题型13 灵活选用方法判定直角三角形全等】 42 【题型14 尺规作图与全等的联系】 46 【题型15 多次全等证明（二次证明）】 49 考点1 边角边（SAS）判定三角形全等 知识点1 基本事实“边角边”（SAS） 1. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．简写成“边角边”或“SAS”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 【题型1 直接应用SAS证明全等】 【例1】（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，已知，，则的依据是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，解题的关键是根据已知条件准确找出判定三角形全等所需的边和角． 已知，，且为与的公共边，因此满足两边及其夹角对应相等，可依据判定两三角形全等． 【详解】解：在和中， ∴ （）． 故选：． 【变式1-1】（25-26八年级上·山西朔州·期末）几何中有著名的“蝴蝶定理”，小华受此启发画了两个如图所示的共直角顶点的三角形，组成了类似于“蝴蝶翅膀”的图形．若，，，则证明运用的三角形全等的判定方法是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据全等三角形判定即可得出结论． 【详解】解：在和中， ， ∴． 故选：B． 【变式1-2】（24-25八年级上·湖北黄石·期中）在如图所示的正方形网格中，______． 【答案】/135度 【分析】本题考查了全等三角形的证明及性质，以及等腰三角形的性质，能够证得三角形全等是解题关键； 先证得，进而得到，然后再根据等腰三角形的性质得到，进而可求解． 【详解】解：如图，可知，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1-3】（25-26八年级上·江西新余·期中）滑翔是一项极限运动，有一款滑翔翼的平面图如图所示，已知，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，灵活运用“边角边”证明三角形全等是解题的关键． 直接运用“边角边”证明三角形全等即可． 【详解】证明：在和中， ， 所以． 【题型2 添加条件利用SAS使三角形全等】 【例2】（25-26八年级上·广西崇左·阶段检测）如图，已知，，如果添加一个条件用“”使，则添加的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了用证明三角形全等，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．根据得出，再根据，结合逐项进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 当时，不能用可证，故A不符合要求； 当时，不能用可证，故B不符合要求； 当时，由可证，故C符合要求； 当，无法使，故D不符合要求． 故选：C． 【变式2-1】如图，线段、相交于点O，且，请添加一个条件使，且以“”为依据，则应添加的条件为___________．    【答案】 【分析】根据已有条件，，结合的含义可得添加条件． 【详解】解：∵，， ∴添加条件，利用证明即可； 故答案为：． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定，掌握利用判定三角形全等是解本题的关键． 【变式2-2】如图，平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，在不添加任何辅助线的情况下，如果添加一个条件使△ABE≌△CDF，则添加的条件是 ______． 【答案】BE＝FD或BF＝DE或∠1＝∠2（答案不唯一） 【分析】利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定分别分得出即可． 【详解】解：添加条件：BE=FD，理由如下： ∵平行四边形ABCD中， ∴AB∥CD ，AB=CD， ∴∠ABE=∠CDF， 在△ABE和△CDF中， AB=CD，∠ABE=∠CDF，BE=DF， ∴△ABE≌△CDF（SAS）． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 【变式2-3】如图，已知，，要使，可添加的条件是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】三角形全等条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等．在和中，已知了，，因此只需添加两组对边的夹角或第三对边即可判定两三角形全等． 【详解】解：∵，， ∴A、如添加，两三角形只有两边及一边的以角相等，不能判定两三角形全等，故此选项不符合题意； B、如添加，两三角形只有两边及一边的以角相等，不能判定两三角形全等，故此选项不符合题意； C、如添加，因为，只是中的两个角，两三角形只有两边相等，不能判定两三角形全等，故此选项不符合题意； D、如添加，则，即，两三角形有两边及其角相等，可根据判定两三角形全等，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．添加时注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 【题型3 利用SAS解决线段或角的计算问题】 【例3】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）小明制作了一个跷跷板模型，如图是其几何示意图，支点是跷跷板的中点（，，三点位于同一水平线上），已知点到水平地面的距离是，当点到达点的位置时，跷跷板在竖直方向下降了，此时点到达点，则点到地面的距离为______． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质．解题的关键是根据判定三角形全等，根据全等三角形的性质得到对应高相等． 连接、，通过证明，得到对应高相等，继而得到点到地面的距离． 【详解】解：如图，连接、， 由题意得：，， 在和中， ， ∴， ∵当点到达点的位置时，跷跷板在竖直方向下降了， ∴中，边上的高为， ∴中，边上的高为， 即：当点到达点的位置时，跷跷板在竖直方向上升了， ∵， ∴当点到达点，则点到地面的距离为：． 故答案为：． 【变式3-1】（25-26八年级上·江苏淮安·期末）如图，点A、D、C、F在一条直线上，且，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，三角形内角和定理，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）先证明，再利用即可证明； （2）由等边对等角和三角形内角和定理可得的度数，再由全等三角形的性质即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【变式3-2】（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，在和中，，，，连接、交于点F． (1)求证： (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题关键． （1）先求出，再根据定理即可得证； （2）先证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，再根据全等三角形的性质可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． （2）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∴ ． 【变式3-3】（25-26八年级上·四川凉山·期末）如图，已知中，，，点D为的中点，如果点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点A向点C以的速度运动．若点P、Q两点分别从点B、A同时出发．经过2秒后，求证： (1)； (2)； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据题意可求出线段的长，则可求出线段的长，可证明，据此可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，再由三角形外角的性质即可证明结论． 【详解】（1）解：当运动2秒后，， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵点D为的中点， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵ ∴． 【题型4 挖掘隐含条件的SAS证明】 【例4】（25-26七年级下·辽宁锦州·期中）如图，点E在上，与交于点F，，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据等角加同一个角仍相等得到，利用证两三角形全等； （2）由（1）知，得到对应角相等，再利用三角形内角和为，有两组角相等，剩下的角一定相等求出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式4-1】（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，已知点是的边上一点，且，在上方作，满足，，连接． (1)求证：． (2)当，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）要证明，已经有两组边对应相等，不难发现，，同角的补角相等，由可证得； （2）由可知，再计算的长． 【详解】（1）证明：∵，, ∴， 在与中， ， ∴． （2）解：由（1）可知， ∴， ∵， ∴． 【变式4-2】（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）如图，以的边、分别向外作等腰直角与等腰直角，，连接和相交于点O，交于点F，交于点G． (1)求证：； (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，，，进一步利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质得到，，利用三角形内角和以及对顶角相等得到，可得，即可证明． 【详解】（1）证明：和都是等腰直角三角形， ，， 又， ， 即， 在和中， ， ； （2）解： 理由： ， ，， 又，， ， ， 即． 【变式4-3】（24-25七年级下·江苏南京·期末）已知，，． (1)如图1，证明：； (2)如图2，，点，分别在，上，连接，过点作，连接，，恰好满足平分．请猜想线段，，间的数量关系，并进行证明． 【答案】(1)证明见详解 (2)，证明见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）由题意可得，再利用证明即可； （2）在上截取，连接、，由等腰直角三角形的性质可得，由平行线的性质可得，由角平分线的定义可得，证明，出，，证明，得出，从而求出，再证明，得出，即可推出，即可得证； 【详解】（1）证明: ， ，即， 又，， ． （2）解：，证明如下： 在上截取，连接、， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 考点2 角边角（ASA）与角角边（AAS）判定三角形全等义 知识点2 基本事实“角边角”（ASA） 1. 两边及其夹边分别相等的两个三角形全等．简写成“角边角”或“ASA”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 知识点3 “角边角”的推论“角角边”（AAS） 1. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等．简写成“角角边”或“AAS”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 【题型5 直接应用ASA或AAS证明全等】 【例5】（25-26八年级上·天津滨海新区·期末）如图，点是的高和所在直线的交点，且，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质．关键是通过高的性质得到直角，再利用同角的余角相等找到相等的角，从而构造全等三角形．先根据高的定义得出，再由直角三角形两锐角互余推出，结合已知，证明，最后根据全等三角形对应边相等得到． 【详解】解：∵、是的高， ∴， ∵在中，， 在中，， ， ∴， 在和中， ∴， ∴. 【变式5-1】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，四边形的对角线相交于点，，点F在上，． (1)求证：； (2)若，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据，可得，即可求证； （2）根据，可得，，从而得到，即可求证． 【详解】（1）证明：，， ， ， 在和中， ， ． （2）证明：由（1）得， ，， ， ， 平分． 【变式5-2】（2025·河北邯郸·一模）有一张三角形纸片，已知，按如下两种方案用剪刀沿着箭头方向剪开，若方案中两个阴影部分的三角形一定全等打“√”，若不一定全等打“×”．则下列判断正确的是（    ） A．方案一：√、方案二：√ B．方案一：×、方案二：× C．方案一：×、方案二：√ D．方案一：√、方案二：× 【答案】D 【分析】对于方案一，可以运用“角边角”的判定定理证明两个阴影部分的三角形全等；对于方案二，只有当点N是中点时，两个阴影部分的三角形才能全等． 【详解】解：如图，方案一： ∵，，， ∴． 又∵，， ∴在与中， ， ∴， 即方案一正确； 方案二： 只有当点N是中点时，两个阴影部分的三角形才能全等， ∴方案二中两个阴影部分的三角形不一定全等． 【变式5-3】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法，如图所示，在、分别取、的中点D、E，连接，过点A作，垂足为F，将分割后拼接成矩形．若，，则图中梯形的面积是________． 【答案】9 【分析】先证明，，求得的长度，进而利用梯形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵D是的中点，四边形是矩形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， 同理可证得：， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【题型6 辨析与选择ASA与AAS判定方法】 【例6】（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，太阳光线与是平行的，在同一时刻将两根高度相同的木杆竖直插在地面上，在太阳光照射下的影子一样长吗？这里判断影子长相等利用全等三角形的性质，其中判断的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全等三角形判定条件分析即可． 【详解】解：由题可得：，， ， ， ． 【变式6-1】如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据全等三角形的知识很快就画出了一个书上完全一样的三角形，小明画图的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图形可知两角及夹边分别相等即可判断． 【详解】解：小明画图的依据是两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，即． 【变式6-2】（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，已知，，增加一个条件______，使．(不添加辅助线且仅用图中已有字母表示) 【答案】(或或) 【分析】本题考查全等三角形的判定定理，已知一组角相等和一组边相等，需补充一个条件使，可依据、、这三种全等判定定理来选取合适条件： （1）若补充边相等的条件，结合已知的一组角和一组边，可通过判定全等； （2）若补充角相等的条件，结合已知的两组角和一组边，可通过判定全等； （3）若补充角相等的条件，结合已知的一组边和两组角，可通过判定全等． 【详解】解：若添加，在和中，， ； 若添加，在和中，， ； 若添加，在和中，， ． 故答案为：(或或)． 【变式6-3】（25-26八年级上·广西崇左·期末）如图所示，甲、乙两个三角形中能用“”判定和全等的是（　　） A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．都不是 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据判定三角形全等的条件，逐一判断即可解答． 【详解】解：甲的边，的夹角和的边，的夹角不对应，故甲三角形与不全等； 乙的角，和边与的角，和边对应，能用“”证明乙三角形与全等； 则甲、乙两个三角形中能用“”判定和全等的是乙． 故选：B． 【题型7 利用平行线或角平分线构造角相等（ASA与AAS）】 【例7】如图，在中，，，平分交于点，过点作，垂足为． (1)求证：； (2)若的周长为20，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)20 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 先证明，根据全等三角形的性质即可得到； 根据角平分线的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得的周长等于，即可求出的长． 【详解】（1）证明：，， ∴， 平分， ∴， 在和中， ， ， ； （2）解：平分交于点，，， ∴， ∴， ，， ∴， 的周长为， 的周长为， ． 【变式7-1】如图，中，，平分，于． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】（1）在中，求出即可解决问题； （2）利用等腰三角形的性质得出，，根据线段垂直平分线的判定即可证明． 本题考查了线段垂直平分线的判定、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质． 【详解】（1）解：，平分， ， ， ， ； （2）证明：， ， 又平分， ， 在和中， ， ， ，， 点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上，（两点确定一条直线）， ． 【变式7-2】（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，点E在的边上，且． (1)求证：； (2)若的平分线交于点F，交于点D，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，则的长为________． 【答案】(1)证明：∵，且， ∴， ∴； (2)证明：∵的平分线交于点F， ∴， ∵交于点D， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； (3)2 【分析】（1）根据和，即可求证； （2）易证和，即可证明； （3）根据全等的性质可得，即可解题； 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵ ∴， ∴． 【变式7-3】（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，的角平分线、相交于点F，若，交于A，交于B． (1)若，，则______（直接写出答案）． (2)线段与、有怎样的数量关系？写出说明理由． 【答案】(1)3 (2)．理由见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）根据角平分线的定义和三角形外角的性质，得出，在上截取，连接，先证明，得到，，再证明，得到，进而得出，即可得解； （2）同（1）理，先证明，再证明，即可得到结论； 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， 如图，在上截取，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：．理由如下： 在中，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， 如图，在上截取，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【题型8 利用ASA或AAS解决生活中的实际测量问题】 【例8】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，嘉嘉与淇淇玩跷跷板游戏，跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）到地面的距离是，当淇淇从水平位置垂直上升时，嘉嘉离地面的高度是（   ） A．20cm B．45cm C．35cm D．50cm 【答案】B 【分析】根据全等三角形的判定，可证明，可得，即可求得答案． 【详解】解：，， ， ，， ， ， 嘉嘉离地面的高度是． 【变式8-1】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，为测量信号塔（垂直于地面）的高度，小明首先在信号塔前的地面上选一点，使，并测得，然后把竖直的竿子在的延长线上移动，使时竿子停止移动，此时测得，则信号塔的高度为________．    【答案】 【分析】先利用三角形内角和定理求出的度数，发现，结合已知直角和边长相等，利用证明 ，从而得出，最后利用线段的和差关系求解. 【详解】解：∵， 在中，， 即， ∵，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式8-2】（25-26八年级上·河南许昌·期末）如图，一个正方体箱子卡在了两面墙之间，已知砌墙所用的每块砖块的厚度（每块砖厚度相等）为，则两面墙之间的距离的长为______． 【答案】45 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定．只需要利用证明得到，即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：45． 【变式8-3】（25-26七年级下·陕西西安·期中）山东潍坊是中国风筝之乡，匠人在制作过程中采用了全等的相关知识．在如图所示的风筝“龙骨”图案中，、、．则不一定能得到以下哪个结论（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件利用证明，可得，进而利用角的和差关系证得，再利用证明，利用全等三角形的性质逐一判断选项即可． 【详解】 解：A．在和中， ， ， 故选项A不符合题意； B．， ， 即， 在和中， ， ， 故选项B不符合题意； C．， ， ， 即， 故选项C不符合题意； D．与是不同位置的角度，无直接关系，故不一定相等， ∴选项D符合题意． 考点3 边边边（SSS）判定三角形全等 知识点4 基本事实“边边边”（SSS） 1. 三边分别相等的两个三角形全等．简写成“边边边”或“SSS”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 知识点5 三角形的稳定性 生活经验告诉我们，如果一个三角形三边的长度确定，那么这个三角形的形状和大小就完全确定，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性． 三角形的稳定性在生活和生产中有着广泛的应用．例如：房屋的人字形支架、电线杆支架、斜拉桥架等，利用三角形的稳定性，使生活中的建筑经久耐用． 【题型9 直接应用SSS证明全等】 【例9】（25-26八年级下·全国·期中）如下图，已知，，垂直的延长线于点，垂直的延长线于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，解决本题的关键是熟练掌握这些知识点． 连接，证明，得到，再利用角平分线的性质得到． 【详解】证明：如图，连接． 在和中， ， ． 又，， 【变式9-1】（25-26八年级上·西藏日喀则·期末）如图，点是的中点，，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定； （1）根据直接证明； （2）根据全等三角形的性质可得，根据同位角相等两直线平行，即可得证． 【详解】（1）证明：∵点是的中点， ． 在与中，， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∴， 【变式9-2】如图，在中，，于点，点，在上，且，则图中共有________对全等三角形． 【答案】4 【分析】本题考查全等三角形判定，涉及等腰三角形性质、垂直平分线的判定与性质能、全等三角形的判定与性质，首先由等腰三角形性质得到是线段中垂线，利用中垂线性质，由三角形全等的判定定理可得；进而结合，利用三角形全等的判定定理可得；借助全等性质得到，即可进一步得到；借助全等性质得到，即可进一步得到；数形结合，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． 【详解】解：在中，，， 由等腰三角形“三线合一”性质可得是线段中垂线， ， ， 在和中， ， ； ， ， 在和中， ， ； ， 在和中， ， ； ， ， 在和中， ， ； 综上所述，图中共有4对全等三角形， 故答案为：4． 【变式9-3】如图，在△ABC中，已知AD＝DE，AB＝BE，∠A＝85°，∠C＝45°，则∠CDE＝_____度． 【答案】40 【分析】先证明△ADB≌△BDE，即得∠A=∠DEB，再利用三角形的外角的性质即可求出. 【详解】如图：在△ABC中，已知 ，∴△ADB≌△BDE，∴∠A=∠DEB=85°， ∵∠CDE=∠DEB－∠C=85°－45°=40°. 故答案为40 【点睛】本题考查了三角形的全等的判定和性质，以及三角形的外角的性质，解题的关键是掌握三角形的外角等于两个不相邻的内角的和. 【题型10 通过线段的和差计算得出边相等（SSS）】 【例10】（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，，与相交于点O．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等角对等边，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键： （1）利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质，结合等角对等边即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴． 【变式10-1】（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，点A、C、D、B在同一条直线上，点E、F分别在直线的两侧，，，．    (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见详解； (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得，再根据即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中， ； （2）解： 由（1)可知：， ， ， ， ． 【变式10-2】（25-26八年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，在四边形中，连接，点是上的两点，连接，，，，． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由，可得到，再利用证明全等即可； （2）由（1）可得，得到，证出后，可推出四边形为平行四边形，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）由（1）可得：， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴． 【变式10-3】（25-26八年级上·河南周口·期中）油布伞是中国传统手工艺的重要代表，融合了实用性与艺术性，被多省列入非物质文化遗产名录．油布伞的截面如图所示，伞骨，支撑杆．当点O沿伞杆滑动时，可使雨伞开闭． (1)问雨伞开闭过程中，与有何关系？说明理由． (2)若，当雨伞由闭合撑开到时，点O沿滑动的距离是多少？ 【答案】(1)，理由见解析 (2)点O沿滑动的距离是 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用，等边三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键． （1）与相等，证角相等，常常通过把角放到两个全等三角形中来证，本题公共边，可考虑证明三角形全等，从而推出角相等； （2）利用闭合时的长度减去当雨伞由闭合撑开到时的长度即可． 【详解】（1）解：雨伞开闭过程中二者关系始终是：， 理由如下： ，，， ， 在与中， ， ， ． （2）解：∵伞骨， ∴， ∴， 当雨伞闭合时，， 当时，则， ， 为等边三角形，故， 故O沿滑动的距离是． 【题型11 利用三角形的稳定性解决实际问题】 【例11】（25-26七年级下·四川成都·阶段检测）如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，其理论依据是______． 【答案】 三角形具有稳定性 【分析】观察图形可知，窗钩与窗框、窗扇的边缘构成了一个三角形结构，利用三角形的性质即可解答． 【详解】解：窗钩与窗框、窗扇的边缘构成了一个三角形. 因为三角形具有稳定性， 所以用窗钩可将窗户固定． 故答案为：三角形具有稳定性． 【变式11-1】下列图形中不具有稳定性的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性这一性质，观察各选项图形的构成即可得出结论． 【详解】解： A、图形中间部分为四边形，未被分割成三角形，故不具有稳定性； B、图形被分割成了三个三角形，故具有稳定性； C、图形被对角线分割成了两个三角形，故具有稳定性； D、图形本身即为三角形，故具有稳定性． 【变式11-2】（25-26八年级下·辽宁鞍山·开学考试）如图，小李家有一个已经变形的六边形置物架，需通过增加木条使其固定，工人师傅至少需要加固________根木条． 【答案】3 【详解】解：依据三角形的稳定性，六边形置物架钉上木条后分成三角形即可，故工人师傅至少需要加固根木条． 【变式11-3】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图1，在四边形木条框架中，任意添加1根对角线木条，就能使框架的形状稳定. 判断下列说法是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在图2中任意添加2根对角线木条，都能使框架的形状稳定.( ) (2)在图3中任意添加3根对角线木条，都能使框架的形状稳定.( ) (3)图4是一个用螺钉将木条链接成的框架，颇具美感，它的形状是稳定的.( ) 【答案】 √, ×, √ 【详解】试题分析： 根据所添加的对角线木条，结合“三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性”分析即可得出结论. 试题解析： （1）在图2中任意添加2根对角线木条，都能使图形全部由三角形结构组成，所以（1）中说法正确； （2）如下图，当按图中的方法，在图3中添加3根对角线木条后，图形中有四边形结构，图形结构不稳定，所以（2）说法是错误的； （3）当用螺钉将木条链接成如图4的框架时，则图中的框架形状全是由三角形结构组成的，所以（3）中的说法是正确的. 即：（1）√；（2）×；（3）√. 考点4 直角三角形全等的判定（HL） 知识点6 斜边、直角边定理（HL） 1. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2. 数学语言表达:如图，在Rt与Rt中（与为直角）， ． 【题型12 直接应用HL证明直角三角形全等】 【例12】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，于点，若要根据“”直接判定，还需要添加条件：_______________． 【答案】 【详解】解：∵于点， ∴， ∵， ∴当时，根据“”可判定. 【变式12-1】（25-26八年级下·山西晋中·期中）在数学活动课上，老师用三角尺演示角平分线的作法如图：在的两边上分别取点、，使；再分别过点，作，的垂线，交点为，连接．通过证明得到平分，则证明最直接的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据作法可得到，，，再加上公共边，则可利用“”判断． 【详解】解：由作法可得，，， 则， 在和中 ， ∴． 【变式12-2】（25-26八年级上·安徽滁州·期末）如图，已知，在中，，是上一点，且，为上的一点，交于． (1)求证：≌； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定定理证明即可； （2）根据全等三角形的性质证明即可． 【详解】（1）证明：由题意可得：， 在与中， ∴≌； （2）证明：∵≌； ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 【变式12-3】（25-26八年级上·广东东莞·期中）如图，在中，，直线经过顶点，过，两点分别作的垂线，，垂足分别为，，．求证： (1)； (2)当直线不与底边相交时，试探索、、三条线段的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． （1）根据证明即可； （2）由得到，那么． 【详解】（1）证明：由题意得，， ∵，， ∴，即； （2）解：，理由如下： ∵ ∴ ∴ 【题型13 灵活选用方法判定直角三角形全等】 【例13】（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在中，是高，将沿所在直线翻转，点C与点D重合，则图中有______组全等三角形． 【答案】3 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据翻转的性质判断是解题的关键． 本题可根据翻转的性质，找出图中全等的三角形，再根据全等三角形的判定方法进行验证． 【详解】由题意可知，沿所在直线翻转， ， 是高， ， 再根据， 可得， ， ， 同理：由，可得， ， ， 综上所述：全等三角形有3对． 故答案是3． 【变式13-1】（24-25八年级下·陕西宝鸡·期末）如图．在中，，，D是上一点，连接，，过点C作于点E，此时平分，则的长为________． 【答案】2 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确掌握相关知识是解决此题的关键．由且平分，可推出，则可得，，由等角对等边可知，根据题目所给数据即可求得的长． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：2． 【变式13-2】（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，，于，于，和交于，的延长线交于，则图中全等的直角三角形有（    ） A．5对 B．6对 C．7对 D．8对 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质可得，根据全等三角形的判定证明相关三角形全等进而可得答案． 【详解】解：，， ， ， ∴， ①在和中 ∵ ∴ ，， ∵ ， ②在和中 ∵ ∴ ， ③在和中 ∵ ∴ ∴， ④在和中 ∵ ∴ ⑤在和中 ∵ ∴ ∴， ⑥在和中 ∵ ∴ ∴共有6对全等的直角三角形． 【变式13-3】（25-26八年级下·辽宁辽阳·期中）已知：如图，，，垂足分别为、，，与相交于点．求证：． 【答案】证明：如图，连接． ，， ， ，， ， 又，， ． 【分析】连接．根据证明，得，再根据证明，可得． 【题型14 尺规作图与全等的联系】 【例14】（24-25七年级下·山西太原·阶段检测）如图，用尺规作出了，其作图依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了作图—基本作图，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 直接利用基本作图方法结合全等三角形的判定方法即可得出答案． 【详解】解：由作法可知：，， ， ． 故选：A． 【变式14-1】（24-25七年级下·山西太原·期末）课本第109页有一道习题：“先画一个，然后选择中适当的边和角，用尺规作出与全等的三角形”，晋晋的作法如图．这一作法中，“”的依据是（   ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【答案】B 【分析】本题考查尺规作图-复杂作图、全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解答本题的关键．由作图过程可得，，，结合全等三角形的判定可得答案． 【详解】解：由作图可知，，，， ∴（两边及其夹角分别相等的两个三角形全等）． 故选：B． 【变式14-2】（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图1所示，已知线段，，求作，使，，小明的作法如图2所示，下列说法中一定正确的是（   ） A．作的依据为 B．弧是以长为半径画的 C．弧是以A为圆心，为半径画的 D．弧是以长为半径画的 【答案】A 【分析】本题尺规作图的步骤以及全等三角形的判定定理，熟悉掌握尺规作图原理是解决本题的关键． 根据作图痕迹可得，先在射线上截取，再分别以B，C为顶点，在线段的两端，利用作一个角等于已知角的方法，作，从而可得出所要求的三角形， 【详解】A、根据作图知，，，，这里，，及夹边来作，所以依据为，故选项正确，符合题意； B、弧是以点B为圆心，长为半径画的，故选项错误，不符合题意； C、弧是以B为圆心，为半径画的，故选项错误，不符合题意； D、弧是以长为半径画的，故选项错误，不符合题意． 故选：A． 【变式14-3】（25-26七年级下·福建漳州·期中）中国农民丰收节，是第一个在国家层面专门为农民设立的节日，节日时间为每年“秋分”．该节日的设立提升了亿万农民的荣誉感、幸福感、获得感．工作人员小张在丰收节展览会上不慎打碎一个如图所示的三角形玻璃展台（）． (1)小张只要从两块碎片中选择第____块（填“①”或“②”）就可以到店铺加工一块与原来三角形玻璃展台（）的形状和大小完全相同的新展台（），理由是____（填“”或“”或“”或“”）． (2)求作，使得（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】(1)②； (2)见解析 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理，可得只有第②块有完整的两角及夹边，符合ASA； （2）分别作，即可求解． 【详解】（1）解：因为只有第②块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的． 所以小张只要从两块碎片中选择第②块（填“①”或“②”）就可以到店铺加工一块与原来三角形玻璃展台（）的形状和大小完全相同的新展台（），理由是 （2）如图所示：为所求 【题型15 多次全等证明（二次证明）】 【例15】（25-26七年级下·上海青浦·期中）如图，已知：在中，点、分别在边、上，与相交于点，，． (1)求证：； (2)连接并延长交于点，求证：． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)证明过程见解析 【分析】（1）由，，，根据“”证明，得，，所以，推导出，则； （2）连接并延长交于点，由，，推导出，而，，可根据“”证明，得，即可根据等腰三角形的“三线合一”证明． 【详解】（1）点、分别在边、上，与相交于点， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ． （2）连接并延长交于点， ，， ， ， 由（1）得， ， 在和中， ， ， ， ，平分， ． 【变式15-1】（25-26七年级下·山东青岛·期中）按要求完成下列各题： (1)如图1，，为等边三角形，连接，，求证：． 探索思路如下： ∵，为等边三角形， ∴，，， ∴，（①__________________） 即， 在与中， ， ∴（②__________________）， ∴（③__________________）， 请在上面三个（    ）中填写适当的理由． 【模型应用】 (2)如图2，在与中，，，，B，D，E三点在一条直线上，与交于点F，连接． ①证明：； ②求的度数． 【答案】(1)理由见详解 (2)①证明见详解；② 【分析】（1）由等边三角形的性质得到，，，则可证明，再利用证明即可证明； （2）①证明，可得到； ②利用①的结论和三角形内角和定理及对顶角相等即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵，为等边三角形， ∴，，， ∴，（等式的性质） 即， 在与中， ， ∴（）， ∴（全等三角形的对应角相等）， （2）解：①证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． 【变式15-2】（25-26八年级下·辽宁锦州·期中）按要求完成下面各题． (1)如图①，在中，，，是上一点，过点作交延长线于点，连接，求的度数； 小硕的解题思路是，从出发，过点A作，通过构造全等三角形，证明等腰直角三角形求解，请你根据小硕的思路或自己的想法，写出解题过程． (2)如图②，在四边形中，，且，，连接对角线，，过点作交于点，为上一点，且，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）过点作交于点，证明 得到，然后利用等腰直角三角形的判定与性质可得结论； （2）过点作交延长线于点，证明得到，，，进而可得是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，随后证明，平分，再利用等腰三角形的三线合一得到，进而可得结论． 【详解】（1）证明：过点作交于点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； （2）证明：过点作交延长线于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ ∵， ∴， ∴，，， ∵ ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴平分， ∴， ∵， ∴即． 【变式15-3】（25-26七年级下·辽宁丹东·期中）数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． (1)发现问题：如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点D．则与的数量关系：_______，_______； (2)类比探究：如图2，在和中，，，，，连接，，延长，交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由； (3)拓展应用：在和中，，，，连接，，将绕它们共同的顶点A旋转一定的角度后，若B，E，F三点刚好在同一直线上，直接写出此时的度数． 【答案】(1)，30 (2)，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转模型及角度计算，解题的关键是通过角的和差关系证明三角形全等，再利用全等三角形的性质推导线段关系与角度大小，结合特殊三角形的角度特征进行分类讨论． （1）通过证明，直接得到线段相等关系，再利用对顶角与三角形内角和推导的度数； （2）类比（1）的全等证明思路，结合等腰三角形的底角特征，通过角度转化推导的度数； （3）分点在、之间和点在、之间两种情况，结合等腰直角三角形的性质与全等三角形的结论，计算的度数． 【详解】（1）解：如图1，设交于点G， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴ ． 故答案为：，30 （2）解：，理由如下： ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：如图所示： ∵和都是等腰三角形， ∴， ∴，即：， ∴， ∴ ， ∵，, ∴， ∴， ∴； 当F点在线段上时， 同法可证得：， ， ， ， ； 综上，或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14.2 三角形全等的判定（基础篇）（举一反三讲义） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 直接应用SAS证明全等】 1 【题型2 添加条件利用SAS使三角形全等】 2 【题型3 利用SAS解决线段或角的计算问题】 3 【题型4 挖掘隐含条件的SAS证明】 4 【题型5 直接应用ASA或AAS证明全等】 6 【题型6 辨析与选择ASA与AAS判定方法】 7 【题型7 利用平行线或角平分线构造角相等（ASA与AAS）】 8 【题型8 利用ASA或AAS解决生活中的实际测量问题】 10 【题型9 直接应用SSS证明全等】 11 【题型10 通过线段的和差计算得出边相等（SSS）】 12 【题型11 利用三角形的稳定性解决实际问题】 13 【题型12 直接应用HL证明直角三角形全等】 15 【题型13 灵活选用方法判定直角三角形全等】 16 【题型14 尺规作图与全等的联系】 17 【题型15 多次全等证明（二次证明）】 18 考点1 边角边（SAS）判定三角形全等 知识点1 基本事实“边角边”（SAS） 1. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．简写成“边角边”或“SAS”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 【题型1 直接应用SAS证明全等】 【例1】（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，已知，，则的依据是（  ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26八年级上·山西朔州·期末）几何中有著名的“蝴蝶定理”，小华受此启发画了两个如图所示的共直角顶点的三角形，组成了类似于“蝴蝶翅膀”的图形．若，，，则证明运用的三角形全等的判定方法是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25八年级上·湖北黄石·期中）在如图所示的正方形网格中，______． 【变式1-3】（25-26八年级上·江西新余·期中）滑翔是一项极限运动，有一款滑翔翼的平面图如图所示，已知，．求证：． 【题型2 添加条件利用SAS使三角形全等】 【例2】（25-26八年级上·广西崇左·阶段检测）如图，已知，，如果添加一个条件用“”使，则添加的条件是（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，线段、相交于点O，且，请添加一个条件使，且以“”为依据，则应添加的条件为___________．    【变式2-2】如图，平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，在不添加任何辅助线的情况下，如果添加一个条件使△ABE≌△CDF，则添加的条件是 ______． 【变式2-3】如图，已知，，要使，可添加的条件是（    ）    A． B． C． D． 【题型3 利用SAS解决线段或角的计算问题】 【例3】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）小明制作了一个跷跷板模型，如图是其几何示意图，支点是跷跷板的中点（，，三点位于同一水平线上），已知点到水平地面的距离是，当点到达点的位置时，跷跷板在竖直方向下降了，此时点到达点，则点到地面的距离为______． 【变式3-1】（25-26八年级上·江苏淮安·期末）如图，点A、D、C、F在一条直线上，且，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【变式3-2】（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，在和中，，，，连接、交于点F． (1)求证： (2)若，求的度数． 【变式3-3】（25-26八年级上·四川凉山·期末）如图，已知中，，，点D为的中点，如果点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点A向点C以的速度运动．若点P、Q两点分别从点B、A同时出发．经过2秒后，求证： (1)； (2)； 【题型4 挖掘隐含条件的SAS证明】 【例4】（25-26七年级下·辽宁锦州·期中）如图，点E在上，与交于点F，，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【变式4-1】（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，已知点是的边上一点，且，在上方作，满足，，连接． (1)求证：． (2)当，求的长． 【变式4-2】（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）如图，以的边、分别向外作等腰直角与等腰直角，，连接和相交于点O，交于点F，交于点G． (1)求证：； (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 【变式4-3】（24-25七年级下·江苏南京·期末）已知，，． (1)如图1，证明：； (2)如图2，，点，分别在，上，连接，过点作，连接，，恰好满足平分．请猜想线段，，间的数量关系，并进行证明． 考点2 角边角（ASA）与角角边（AAS）判定三角形全等义 知识点2 基本事实“角边角”（ASA） 1. 两边及其夹边分别相等的两个三角形全等．简写成“角边角”或“ASA”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 知识点3 “角边角”的推论“角角边”（AAS） 1. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等．简写成“角角边”或“AAS”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 【题型5 直接应用ASA或AAS证明全等】 【例5】（25-26八年级上·天津滨海新区·期末）如图，点是的高和所在直线的交点，且，求证：． 【变式5-1】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，四边形的对角线相交于点，，点F在上，． (1)求证：； (2)若，求证：平分． 【变式5-2】（2025·河北邯郸·一模）有一张三角形纸片，已知，按如下两种方案用剪刀沿着箭头方向剪开，若方案中两个阴影部分的三角形一定全等打“√”，若不一定全等打“×”．则下列判断正确的是（    ） A．方案一：√、方案二：√ B．方案一：×、方案二：× C．方案一：×、方案二：√ D．方案一：√、方案二：× 【变式5-3】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法，如图所示，在、分别取、的中点D、E，连接，过点A作，垂足为F，将分割后拼接成矩形．若，，则图中梯形的面积是________． 【题型6 辨析与选择ASA与AAS判定方法】 【例6】（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，太阳光线与是平行的，在同一时刻将两根高度相同的木杆竖直插在地面上，在太阳光照射下的影子一样长吗？这里判断影子长相等利用全等三角形的性质，其中判断的依据是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据全等三角形的知识很快就画出了一个书上完全一样的三角形，小明画图的依据是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，已知，，增加一个条件______，使．(不添加辅助线且仅用图中已有字母表示) 【变式6-3】（25-26八年级上·广西崇左·期末）如图所示，甲、乙两个三角形中能用“”判定和全等的是（　　） A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．都不是 【题型7 利用平行线或角平分线构造角相等（ASA与AAS）】 【例7】如图，在中，，，平分交于点，过点作，垂足为． (1)求证：； (2)若的周长为20，求的长． 【变式7-1】如图，中，，平分，于． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【变式7-2】（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，点E在的边上，且． (1)求证：； (2)若的平分线交于点F，交于点D，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，则的长为________． 【变式7-3】（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，的角平分线、相交于点F，若，交于A，交于B． (1)若，，则______（直接写出答案）． (2)线段与、有怎样的数量关系？写出说明理由． 【题型8 利用ASA或AAS解决生活中的实际测量问题】 【例8】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，嘉嘉与淇淇玩跷跷板游戏，跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）到地面的距离是，当淇淇从水平位置垂直上升时，嘉嘉离地面的高度是（   ） A．20cm B．45cm C．35cm D．50cm 【变式8-1】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，为测量信号塔（垂直于地面）的高度，小明首先在信号塔前的地面上选一点，使，并测得，然后把竖直的竿子在的延长线上移动，使时竿子停止移动，此时测得，则信号塔的高度为________．    【变式8-2】（25-26八年级上·河南许昌·期末）如图，一个正方体箱子卡在了两面墙之间，已知砌墙所用的每块砖块的厚度（每块砖厚度相等）为，则两面墙之间的距离的长为______． 【变式8-3】（25-26七年级下·陕西西安·期中）山东潍坊是中国风筝之乡，匠人在制作过程中采用了全等的相关知识．在如图所示的风筝“龙骨”图案中，、、．则不一定能得到以下哪个结论（   ） A． B． C． D． 考点3 边边边（SSS）判定三角形全等 知识点4 基本事实“边边边”（SSS） 1. 三边分别相等的两个三角形全等．简写成“边边边”或“SSS”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 知识点5 三角形的稳定性 生活经验告诉我们，如果一个三角形三边的长度确定，那么这个三角形的形状和大小就完全确定，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性． 三角形的稳定性在生活和生产中有着广泛的应用．例如：房屋的人字形支架、电线杆支架、斜拉桥架等，利用三角形的稳定性，使生活中的建筑经久耐用． 【题型9 直接应用SSS证明全等】 【例9】（25-26八年级下·全国·期中）如下图，已知，，垂直的延长线于点，垂直的延长线于点．求证：． 【变式9-1】（25-26八年级上·西藏日喀则·期末）如图，点是的中点，，． (1)求证：； (2)求证：． 【变式9-2】如图，在中，，于点，点，在上，且，则图中共有________对全等三角形． 【变式9-3】如图，在△ABC中，已知AD＝DE，AB＝BE，∠A＝85°，∠C＝45°，则∠CDE＝_____度． 【题型10 通过线段的和差计算得出边相等（SSS）】 【例10】（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，，与相交于点O．求证： (1)； (2)． 【变式10-1】（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，点A、C、D、B在同一条直线上，点E、F分别在直线的两侧，，，．    (1)求证：． (2)若，求的度数． 【变式10-2】（25-26八年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，在四边形中，连接，点是上的两点，连接，，，，． 求证： (1)； (2)． 【变式10-3】（25-26八年级上·河南周口·期中）油布伞是中国传统手工艺的重要代表，融合了实用性与艺术性，被多省列入非物质文化遗产名录．油布伞的截面如图所示，伞骨，支撑杆．当点O沿伞杆滑动时，可使雨伞开闭． (1)问雨伞开闭过程中，与有何关系？说明理由． (2)若，当雨伞由闭合撑开到时，点O沿滑动的距离是多少？ 【题型11 利用三角形的稳定性解决实际问题】 【例11】（25-26七年级下·四川成都·阶段检测）如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，其理论依据是______． 【变式11-1】下列图形中不具有稳定性的是（   ） A． B． C． D． 【变式11-2】（25-26八年级下·辽宁鞍山·开学考试）如图，小李家有一个已经变形的六边形置物架，需通过增加木条使其固定，工人师傅至少需要加固________根木条． 【变式11-3】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图1，在四边形木条框架中，任意添加1根对角线木条，就能使框架的形状稳定. 判断下列说法是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在图2中任意添加2根对角线木条，都能使框架的形状稳定.( ) (2)在图3中任意添加3根对角线木条，都能使框架的形状稳定.( ) (3)图4是一个用螺钉将木条链接成的框架，颇具美感，它的形状是稳定的.( ) 考点4 直角三角形全等的判定（HL） 知识点6 斜边、直角边定理（HL） 1. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2. 数学语言表达:如图，在Rt与Rt中（与为直角）， ． 【题型12 直接应用HL证明直角三角形全等】 【例12】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，于点，若要根据“”直接判定，还需要添加条件：_______________． 【变式12-1】（25-26八年级下·山西晋中·期中）在数学活动课上，老师用三角尺演示角平分线的作法如图：在的两边上分别取点、，使；再分别过点，作，的垂线，交点为，连接．通过证明得到平分，则证明最直接的依据是（   ） A． B． C． D． 【变式12-2】（25-26八年级上·安徽滁州·期末）如图，已知，在中，，是上一点，且，为上的一点，交于． (1)求证：≌； (2)求证：． 【变式12-3】（25-26八年级上·广东东莞·期中）如图，在中，，直线经过顶点，过，两点分别作的垂线，，垂足分别为，，．求证： (1)； (2)当直线不与底边相交时，试探索、、三条线段的大小关系，并说明理由． 【题型13 灵活选用方法判定直角三角形全等】 【例13】（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在中，是高，将沿所在直线翻转，点C与点D重合，则图中有______组全等三角形． 【变式13-1】（24-25八年级下·陕西宝鸡·期末）如图．在中，，，D是上一点，连接，，过点C作于点E，此时平分，则的长为________． 【变式13-2】（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，，于，于，和交于，的延长线交于，则图中全等的直角三角形有（    ） A．5对 B．6对 C．7对 D．8对 【变式13-3】（25-26八年级下·辽宁辽阳·期中）已知：如图，，，垂足分别为、，，与相交于点．求证：． 【题型14 尺规作图与全等的联系】 【例14】（24-25七年级下·山西太原·阶段检测）如图，用尺规作出了，其作图依据是（   ） A． B． C． D． 【变式14-1】（24-25七年级下·山西太原·期末）课本第109页有一道习题：“先画一个，然后选择中适当的边和角，用尺规作出与全等的三角形”，晋晋的作法如图．这一作法中，“”的依据是（   ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【变式14-2】（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图1所示，已知线段，，求作，使，，小明的作法如图2所示，下列说法中一定正确的是（   ） A．作的依据为 B．弧是以长为半径画的 C．弧是以A为圆心，为半径画的 D．弧是以长为半径画的 【变式14-3】（25-26七年级下·福建漳州·期中）中国农民丰收节，是第一个在国家层面专门为农民设立的节日，节日时间为每年“秋分”．该节日的设立提升了亿万农民的荣誉感、幸福感、获得感．工作人员小张在丰收节展览会上不慎打碎一个如图所示的三角形玻璃展台（）． (1)小张只要从两块碎片中选择第____块（填“①”或“②”）就可以到店铺加工一块与原来三角形玻璃展台（）的形状和大小完全相同的新展台（），理由是____（填“”或“”或“”或“”）． (2)求作，使得（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【题型15 多次全等证明（二次证明）】 【例15】（25-26七年级下·上海青浦·期中）如图，已知：在中，点、分别在边、上，与相交于点，，． (1)求证：； (2)连接并延长交于点，求证：． 【变式15-1】（25-26七年级下·山东青岛·期中）按要求完成下列各题： (1)如图1，，为等边三角形，连接，，求证：． 探索思路如下： ∵，为等边三角形， ∴，，， ∴，（①__________________） 即， 在与中， ， ∴（②__________________）， ∴（③__________________）， 请在上面三个（    ）中填写适当的理由． 【模型应用】 (2)如图2，在与中，，，，B，D，E三点在一条直线上，与交于点F，连接． ①证明：； ②求的度数． 【变式15-2】（25-26八年级下·辽宁锦州·期中）按要求完成下面各题． (1)如图①，在中，，，是上一点，过点作交延长线于点，连接，求的度数； 小硕的解题思路是，从出发，过点A作，通过构造全等三角形，证明等腰直角三角形求解，请你根据小硕的思路或自己的想法，写出解题过程． (2)如图②，在四边形中，，且，，连接对角线，，过点作交于点，为上一点，且，求证：． 【变式15-3】（25-26七年级下·辽宁丹东·期中）数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． (1)发现问题：如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点D．则与的数量关系：_______，_______； (2)类比探究：如图2，在和中，，，，，连接，，延长，交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由； (3)拓展应用：在和中，，，，连接，，将绕它们共同的顶点A旋转一定的角度后，若B，E，F三点刚好在同一直线上，直接写出此时的度数． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $