专题2.4 一元二次方程的应用 培优讲义 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

专题2.4 一元二次方程的应用 知识点1：平均增长（降低）率问题 　　1.增长率模型：设增长基数为 a，每次平均增长率为 x，增长 n 次后的数量为 b，则。 　　2.降低率模型：设降低基数为 a，每次平均降低率为 x，降低 n 次后的数量为 b，则。 　　3.注意：增长（降低）率 x 通常用百分数表示，且 0<x<1；连续两次增长或降低，n 取 2。 知识点2：传播与循环计数问题 问题类型 核心等量关系 传播问题 传染源＋第一轮被传染人数＋第二轮被传染人数＝两轮后被传染总人数 单循环问题 n 个队每两队赛一场，比赛总场数 双循环问题 n 个队每两队赛两场（主客场），比赛总场数 知识点3：销售利润问题 数量关系 表达式 利润 利润＝售价－进价 利润率 利润率 售价 售价＝进价×（1＋利润率） 总利润 总利润＝每件利润×销售量＝总收入－总支出 知识点4：面积问题 图形 面积公式 长方形 S＝长×宽（a、b 分别为长、宽） 正方形 S＝边长²（a 为边长） 三角形 S×底×高（h 为底边 a 上的高） 圆 S＝πr²（r 为半径） 　　1.边框（甬道）问题：平移道路使种植区域集中成长方形，用总面积－道路面积（或直接算种植区面积）列方程。 　　2.围墙类问题：一边靠墙，另外几边用篱笆，用篱笆总长表示矩形另一边，再列面积方程；注意墙的长度对边长的限制。 知识点5：列一元二次方程解应用题的一般步骤 　　1.审：审清题意，找出已知量与未知量及等量关系。 　　2.设：设未知数，一般直接设所求量，有时设中间量。 　　3.列：根据等量关系列出一元二次方程。 　　4.解：选择恰当方法解方程，求出未知数的值。 　　5.检：检验根是否满足方程且符合实际意义，舍去不合理的根。 　　6.答：写出答案，注明单位。 【基础必考题型】 【题型1】数字问题 1.核心知识点 　　多位数的表示方法；数字间大小关系；建立一元二次方程。 2.解题方法技巧 　　①设个位、十位等数字为未知数，用代数式表示多位数； 　　②抓住“某个数平方”“比……大”等文字条件列等量关系； ③数字问题中的根必须为符合数字范围的整数，注意取舍。 【例题1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）两个数的和是26，积是168，求这两个数． 【答案】和 【分析】假设其中一个数，表示出另一个数，根据两数之积列出方程求解． 【详解】解：假设其中一个数为，则另一个数为，根据题意得， ， 解得， 当时，； 当时，； ∴这两个数分别是和． 【变式题1-1】.（2026·河南南阳·模拟预测）小明在算一个数的2倍时，误算成了这个数的平方，他发现两个结果的和为8，则这个数为（    ） A．2 B．2或4 C．2或 D．或4 【答案】C 【详解】解：设这个数为， ∵根据题意，这个数的平方与这个数的2倍的和为8， ∴， 整理得，， 因式分解得，， 解得，或， 故选：C． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·河南周口·期末）已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个新两位数，且这两个新两位数分别与它们对应的原数不同，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“幸福数对”，例如：，所以13和62是“幸福数对”． (1)请判断21与48是否是“幸福数对”，并说明理由； (2)有一个两位数，十位上的数字为，个位上的数字为x，另一个两位数，十位上的数字为，个位上的数字为．若这两个两位数为“幸福数对”，求出这两个两位数． 【答案】(1) 解： 21与48是“幸福数对”． 理由： ，． ． 与48是“幸福数对”． (2)42和36 【分析】本题考查新定义的判断，运用方程解决问题，理解题意是解题的关键； （1）根据“幸福数对”的定义计算即可； （2）根据“幸福数对”的定义计算得，解方程即可． 【详解】（1）略 （2）解：由题意，各数位上的数字均为0到9的整数，且十位数字不为0， 这两个两位数，分别为，． 将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到的新两位数为，． 这两个数为“幸福数对”， ． 化简，得． 解得 ，． 经检验，符合题意， ∴这两个两位数分别为42和36． 【变式题1-3】.（25-26九年级上·河南南阳·阶段检测）2026年7日1日是建党105周年纪念日，在该月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若方框圈出的四个数中，最小的数与最大的数的乘积为84，则该方框圈出的最小的数为________． 【答案】6 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，掌握日历的特征，根据已知得出最大数与最小数的差值是解题的关键． 设圈出的四个数中最小数为，则最大的数为，根据圈出的四个数中最小数与最大数的乘积为，即可得出关于的一元二次方程，求解即可． 【详解】解：设这个最小数为，则最大数为， 依题意，得， 整理，得， 解得，，（不合题意，舍去）， 故答案为：这个最小数为6． 【题型2】传播问题 1.核心知识点 　　传播模型：传染源＋两轮被传染人数＝总数；设每轮每人传染 x 人。 2.解题方法技巧 　　①第一轮新增 x 人，第二轮新增 x(1＋x) 人，列方程； 　　②分清“两轮后总人数”与“两轮新增人数”的区别； ③检验：x 为正整数，负根直接舍去。 【例题2】.（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出相同数目的小分支，若主干、枝干、小分支的总数是43，则每个枝干长出的小分支的个数为（     ） A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 【答案】B 【分析】设每个枝干长出的小分支个数为，根据题意，列出方程进行求解即可. 【详解】解：设每个枝干长出的小分支个数为， 根据题意，得， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）； 故每个枝干长出的小分支的个数为6个. 【变式题2-1】.（25-26九年级下·北京·阶段检测）在某云平台的一次网络安全事件中，最初有5台服务器感染了病毒．经过两轮感染后，共有245台服务器感染了病毒，则每轮感染中平均每台服务器感染___________台服务器． 【答案】6 【分析】设每轮传播中平均一台服务器会感染x台服务器，由经过两轮感染后共有245台服务器感染了病毒，建立方程求出其解即可． 【详解】解：设每轮中平均每台服务器感染服务器的台数为x，根据题意可得： ， 解得，（舍）， ∴每轮感染中平均每台服务器感染6台服务器． 【变式题2-2】.（25-26九年级上·福建莆田·阶段检测）传染病就像隐藏的敌人，随时可能偷袭你，做好日常预防，爱护自己，至关重要．德尔塔（）是一种全球流行的新冠病毒变异毒株，其传染性极强．某地有人感染了德尔塔病毒，因为没有及时隔离治疗，经过两轮传染后，一共有人感染了德尔塔病毒．在每轮传染中，平均一个人传染了几个人？ 【答案】每轮传染中平均一个人传染了个人 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设在每轮传染中平均一个人传染了人，则第一轮传染后共有人感染，第二轮传染后有人感染，根据一共有人感染了德尔塔病毒，列方程求解即可． 【详解】解：设在每轮传染中平均一个人传染了人， 由题意得：， 解得：，（不符题意，舍去）， 答：每轮传染中平均一个人传染了个人． 【变式题2-3】.（25-26九年级上·甘肃张掖·阶段检测）为了响应“践行核心价值观，传递青春正能量”的号召，小颖决定走入社区号召大家参加“传递正能量志愿服务者”，被号召参加的人（包括小颖）下一周会继续号召，已知每一个人每周能够号召个人参加． 甲说：“第一周结束后，包括小颖在内有人参加了‘传递正能量志愿服务者’．” 乙说：“第二周新参加‘传递正能量志愿服务者’的有人．” (1)______的说法正确（填“甲”“乙”或“甲和乙”）； (2)丙说：“两周后，包括小颖在内有120人参加了‘传递正能量志愿服务者’．”请你通过列方程分析丙的说法是否正确． 【答案】(1)甲和乙 (2)丙的说法不正确 【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）根据每一个人每周能够号召个人参加列出代数式求解即可得； （2）根据题意建立方程，解方程，结合为正整数求解即可得． 【详解】（1）解：由题意可知，第一周结束后，包括小颖在内有人参加了“传递正能量志愿服务者”， 第二周新参加“传递正能量志愿服务者”的有人， 所以甲和乙的说法都正确， 故答案为：甲和乙． （2）解：由题意得：， 整理得：， 解得或（舍去）， 又∵是正整数， ∴不符合题意， 所以丙的说法不正确． 【题型3】平均增长率问题 1.核心知识点 　　增长率模型；连续两次增长列一元二次方程。 2.解题方法技巧 　　①确定基数 a、现量 b 与增长次数 n； 　　②列方程，开平方求解； ③增长率通常取正值且小于 1，负根舍去。 【例题3】.（26-27九年级上·北京·期中）某区为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2022年投入3000万元，预计2024年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据增长率问题的公式列式即可．增长率问题的公式：，其中a是增长前的量，b是增长后的量，x是增长率，n是增长的次数． 【详解】解：教育经费的年平均增长率为x， 根据题意，得：． 【变式题3-1】.（26-27九年级上·河南开封·阶段检测）“双碳”背景下，我国新能源汽车保有量已处于世界第一，随着消费人群不断增多，某款新能源汽车销售量持续增长．假设月销售量的增长率一致，且第三个月的销售量是第一个月的2倍．设第一个月的销售量为a辆，月销售量的增长率为x，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用公式（其中a指原销售量，b指连续两次增速后的销售量，x为每次的平均增长率），列方程求解即可． 【详解】解：第一个月销售量为，月增长率为. 第二个月销售量为. 第三个月销售量为， ∵第三个月销售量是第一个月的倍， ∴． 【变式题3-2】.（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）年青山村种水稻平均每公顷产，和年水稻平均每公顷产量和为，设水稻每公顷产量的年平均增长率为，则下列所列的方程中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】两年的产量和是，分别表示、年的每公顷产量后相加列方程即可． 【详解】解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为． 年平均每公顷产量为， 年平均每公顷产量为, 由题意得 ． 【变式题3-3】.（2026九年级上·全国·专题练习）某公司今年1月份盈利2万元，今年3月份盈利万元，假设每月盈利的平均增长率相同． (1)求每月盈利的平均增长率； (2)预计今年4月份盈利多少万元？ 【答案】(1) (2)6．75万元 【分析】（1）设每月盈利的平均增长率为，根据1月份和3月份的盈利情况建立方程求解即可； （2）4月份盈利等于3月份盈利加上3月份盈利乘以每月盈利的平均增长率，据此求解即可． 【详解】（1）解：设每月盈利的平均增长率为， 由题意得， 解得 或 （不合实际，舍去）， 答：每月盈利的平均增长率为； （2）解：（万元）， 答：预计今年4月份盈利万元． 【培优高频题型】 【题型4】单循环与双循环问题 1.核心知识点 　　单循环总场数；双循环总场数。 2.解题方法技巧 　　①判断是单循环（每两队一场）还是双循环（每两队两场）； 　　②把总场数与人数代入公式列方程； ③n 为人数，必须为正整数，检验舍去负根或小数根。 【例题4】.（26-27九年级上·全国·课后作业）某足球联赛采用双循环赛制，如果赛季结束后共比赛90场，那么共有多少支球队参加比赛？ 【答案】 共有10支球队参加比赛 【分析】根据双循环赛制中总比赛场数与球队数量的等量关系，列一元二次方程求解． 【详解】解：设共有支球队参加比赛， ∵双循环赛制中每两支球队之间比赛2场，总比赛场数为90场， ∴列方程得， 整理得， 因式分解得， 解得，， ∵球队数量为正整数， ∴不符合题意，舍去， ∴， 答：共有10支球队参加比赛． 【变式题4-1】.（2026九年级上·全国·专题练习）于老师购买了2304张签名卡，在毕业典礼上，他向每位同学赠送了一张签名卡，每位同学间也互赠了一张签名卡，签名卡恰好用完．设该班级有x名学生，请列方程并求解该班级有多少名学生． 【答案】 名 【分析】根据班级有名学生，依题意列出方程即可解答． 【详解】解：于老师向每位同学赠送一张签名卡，共赠送张， 同学间互赠：共张， 则， 整理得：， 解得：， ，， 该班级有名学生． 【变式题4-2】.（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）绿茵争锋，“足”够精彩！2015年教育部下发《关于公布2015年全国青少年校园足球特色学校及试点县（区）名单的通知》，认定福清西山学校等校为全国青少年校园足球特色学校．若学校体艺办要组织一次足球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，问应邀请多少支球队参赛？ 【答案】6支 【分析】单循环赛制中，若有x支球队参赛，每支球队需要和其余支球队各赛一场，但这样会重复计算（例如甲队与乙队的比赛和乙队与甲队的比赛是同一场）．因此，总比赛场数为． 【详解】解：设应邀请x支球队参赛，则由题意得 解得：，（舍去） 答：应邀请6支球队参赛． 【变式题4-3】.（25-26九年级上·河南濮阳·期末）某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）． 乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： 假设有x人报名参加比赛． (1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：_________________________．请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确； (2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了4场比赛后就中途退赛．请直接写出此时x的值． 【答案】(1)，淇淇的说法正确 (2)10 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键． （1）设有x人报名参赛，根据题意列方程，然后解方程，根据方程根的情况可得结论； （2）结合设有x人报名参赛，有一人比赛了4场后退出比赛，由题意得，整理并求解即可． 【详解】（1）解：     淇淇的说法正确，理由如下： 解得：，     ∵x取正整数， ∴，均不满足实际问题，舍去 所以淇淇的说法正确． （2）解：∵有一人比赛了4场后退出比赛， 由题意得， 解得（舍去）， ∴x的值为10． 【题型5】降价促销利润问题 1.核心知识点 　　降价后每件利润与销量同时变化；总利润方程建模。 2.解题方法技巧 　　①设降价 x 元，用代数式表示降价后的售价、每件利润与销量； 　　②列总利润＝每件利润×销量 的方程； ③多解时结合“让利更多”“消费者实惠”等条件取舍。 【例题5】.（26-27九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）新世纪百货某款童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经市场调查发现：如果每件童装降价2元，那么平均每天就可多售出5件．要想平均每天销售这种童装的盈利为1400元，则每件童装应降价________元． 【答案】12或20 【分析】设每件童装降价元，分别表示出降价后每件的盈利和每天的总销售量，根据总盈利等于每件盈利乘以销售量列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设每件童装应降价元， ∵ 降价后每件盈利为元，每降价元多售出件， 因此降价元后每天多售出件，总销售量为件， 根据总盈利为元，列方程得：， 解得，，两个解均符合实际意义， 因此每件童装应降价12元或20元． 【变式题5-1】.（2026九年级上·全国·专题练习）某商场将进货价为元的台灯以元售出，平均每月能售出个．调查表明：这种台灯的售价每上涨元，其月销售量就减少个． 要实现每月元的销售利润目标，且售价不能低于元/个． (1)求这种台灯的定价； (2)商场应进货多少个？ 【答案】(1) 元 (2) 个 【分析】（1）设每个台灯涨价元，由“总利润单件商品利润销售量”列方程即可求出台灯的定价，注意题目的限制条件； （2）将台灯定价代入销售量代数式求出进货数量． 【详解】（1）解：设每个台灯涨价元，则售价为元，销量为 个，每个利润为元， 根据题意，得 或 当 时，售价为，不合题意； 当 时，售价为，符合题意． 台灯的定价为元． （2）解：当台灯的定价为元时，月销售量为（个）， 商场应进货个． 【变式题5-2】.（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）暑期档电影《牛来》和《奥德赛》深受大家喜爱．已知某电影院，1张《奥德赛》电影票比1张《牛来》电影票贵5元，用525元购买《奥德赛》电影票数量与用450元购买《牛来》电影票数量一样多． (1)求《牛来》和《奥德赛》电影票的单价． (2)该电影院按（1）中价格售票，平均每日可以售卖《牛来》电影票50张．据调查发现票价每降价1元销售量会增加5张，但是销售单价不得低于20元．若《牛来》的日销售额要达到1820元，单价应降低多少元？ 【答案】(1)《牛来》电影票单价为30元，《奥德赛》电影票单价为35元 (2)单价应降低4元 【分析】（1）设《牛来》电影票的单价为元，则《奥德赛》电影票的单价为元，根据题意列出分式方程，即可求解； （2）设单价应降低元，根据题意列出一元二次方程，解方程得的值，再根据销售单价不得低于20元，确定的值，即可求解． 【详解】（1）解：设《牛来》电影票的单价为元，则《奥德赛》电影票的单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是方程的解， ∴（元）． 答：《牛来》电影票单价为30元，《奥德赛》电影票单价为35元． （2）解：设单价应降低元， 由题意得，， 解得，， ∵销售单价不得低于20元， ∴， 解得， ∴， ∴． 答：单价应降低4元． 【变式题5-3】.（26-27九年级上·山东济南·开学考试）我国是世界上最大的茶叶种植国，拥有全球最多的饮茶人口，并发展出独具民族特色的茶文化．某茶商购进一批进价为100元/盒的茶叶，当销售价为120元/盒时，每天可售出20盒．经市场调查发现，若每盒茶叶每降价2元，那么平均每天可多售出4盒．现该茶商计划降价销售，请回答下列问题： (1)当销售价为110元/盒时，每天的销售量为__________盒，每天盈利__________元； (2)当每盒茶叶降价多少元时，商家销售该茶叶平均每天能盈利432元？ 【答案】(1)， (2)当每盒茶叶降价或元时，商家销售该茶叶平均每天能盈利432元 【分析】（1）根据“若每盒茶叶每降价2元，那么平均每天可多售出4盒”，列式计算即可得出结果； （2）设每盒茶叶降价元时，商家销售该茶叶平均每天能盈利432元，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：∵若每盒茶叶每降价2元，那么平均每天可多售出4盒， ∴当销售价为110元/盒时，每天的销售量为盒，每天盈利元； （2）解：设每盒茶叶降价元时，商家销售该茶叶平均每天能盈利432元， 由题意得， 整理得， 解得，， ∴当每盒茶叶降价或元时，商家销售该茶叶平均每天能盈利432元． 【题型6】边框与甬道面积问题 1.核心知识点 　　平移法转化图形；面积相减或直接算种植区面积。 2.解题方法技巧 　　①把道路平移集中到一侧，种植区为规则长方形； 　　②列面积方程，注意道路宽度的实际限制范围； ③解出的宽要检验是否满足题目给定范围。 【例题6】.（2026九年级上·全国·专题练习）某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分绿化，绿化的面积为．已知整个长方形空地的长为30m、宽为，求道路的宽． 【答案】 【分析】通过平移，可得绿化图形拼成长方形，其长，宽．再根据长方形面积的计算方法列式即可求解． 【详解】解：设道路宽为．依题意得： 整理得： ∴或 （宽为） 不合实际，舍去． 答：道路的宽为． 【变式题6-1】.（26-27九年级上·河南·阶段检测）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：若设停车场内车道的宽度为，则停车位通过平移可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：． 【变式题6-2】.（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）小颖同学积极参加“乡情摄影”展等系列活动，将自己拍摄的一张风景照（如图1）上交了学校并被选为优秀作品．图片的长为8分米，宽为6分米，为了展示将在原图片的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图．如果要求整个挂图的面积是80平方分米．那么金色纸边的宽应是多少？ (1)如果设金色纸边的宽度为分米，则挂画的长可表示为______分米，挂画的宽可表示为______分米，列出的方程为______． (2)根据你所列的方程求出的值． 【答案】(1)；； (2)1 【分析】（1）先根据四周都加宽，得到挂画新的长和宽，再利用总面积列出一元二次方程． （2）把一元二次方程展开整理后，因式分解解方程，最后舍去负数解，结合实际意义，得到纸边的宽度． 【详解】（1）设金色纸边的宽度为分米， 由于纸边在图片四周， 因此挂画的长为原图片的长加上两侧纸边的宽度，即分米； 挂画的宽为原图片的宽加上两侧纸边的宽度，即分米； 根据“挂图面积=长宽”，且挂图面积为80平方分米，可列出方程：． （2）由题意得方程：， 整理得，即， 两边同时除以4，得， 因式分解得， 解得， 因为纸边的宽度不能为负数，所以舍去， 即， 答：金色纸边的宽应是1分米． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·安徽合肥·期末）根据以下素材，探索完成任务 素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路宽度都为米，左右两条纵向道路宽度都为x米，中间部分种植草莓．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过6米，且不小于米． 素材2 该果园的草莓成熟后，某水果商向农户按市场价8元/千克，一次性收购了1000千克草莓，随即存入冷库待售．已知：①草莓市场价格每天上涨元/千克；②每天损耗10千克草莓（损耗部分无法出售）；③冷库每天支出费用200元；④草莓最多保存16天． 问题解决 任务1：解决果园路面宽度的设计对种植面积的影响． (1)若中间部分种植面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． 任务2：解决水果商收购草莓的预期利润问题．（总利润=总销售额-收购总成本-冷库总费用） (2)该水果商存放草莓一段时间后，按当天市场价一次性出售，获得利润为800元，请问在第几天出售？ 【答案】(1)符合要求 (2)在第10天出售 【分析】（1）由中间部分种植面积是，列出一元二次方程，求解方程得的值，再进行取值即可； （2）设草莓存放了天，根据利润=总销售额一收购成本-冷库费用，且利润为800元列一元二次方程并求解即可. 【详解】（1）解：当中间部分种植面积是时，则有： 整理得：， 解得，，， ∵， ∴不符合题意， ∴， 答：小路的宽为3米符合要求； （2）解：设草莓存放了天，根据题意得： ， 整理得： 解得，（超出最大保存期限，舍去） 答：在第10天出售． 【压轴素养题型】 【题型7】围墙类问题 1.核心知识点 　　一边靠墙围矩形；篱笆总长表示边长；面积方程。 2.解题方法技巧 　　①靠墙一边不用篱笆，另三边用篱笆，表示出两邻边； 　　②列面积方程求解； ③检验边长是否满足墙长限制，不满足的根舍去。 【例题7】.（24-25八年级上·上海嘉定·期中）如图，要建一个面积为75平方米的仓库，仓库的一边靠墙，并在与墙平行的一边开一道1米宽的门，现有32米长的木板，求仓库的长与宽．设仓库垂直于墙面的一边长度为x米，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是弄懂题意，找出题目中的等量关系．设仓库的垂直于墙的一边长为x，而与墙平行的一边开一道1m宽的门，现有能围成32m长的木板，那么平行于墙的一边长为，而仓库的面积为75平方米，由此即可列出方程，解方程就可以解决问题． 【详解】解：设仓库的垂直于墙的一边长为x米， 依题意得， 即， 故选：C． 【变式题7-1】.（2026·内蒙古通辽·三模）如图，一个养殖户用米长的围栏围成一排一面靠墙、大小相等且彼此相连的三个矩形鸡舍，要使鸡舍的总面积为平方米，那么每个鸡舍的长为______． 【答案】米或米 【分析】设每个鸡舍垂直于墙面的一边为米，则平行于墙面的一边为米，根据题意得，然后解方程即可． 【详解】解：设每个鸡舍垂直于墙面的一边为米，则平行于墙面的一边为米， 根据题意得， 解得，， 当时，，则每个鸡舍的长为米； 当时，，则每个鸡舍的长为米； 综上可得：每个鸡舍的长为米或米． 【变式题7-2】.（26-27九年级上·河北唐山·开学考试）如图，计划用长为的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长）． (1)矩形围栏的面积为时，三边分别长多少？ (2)能否使围成的矩形面积为？如果能，求出三边的长；如果不能，说明理由． 【答案】(1)三边长分别为，， (2)不能，理由如下： 假设能围成，设垂直于墙的一边长，则平行于墙的边长为， 依题意得：， 化简得， ∵， ∴该方程没有实数根． 故假设不成立，即不能围成面积为的长方形围栏． 【分析】（1）设垂直于墙的一边长，则平行于墙的边长为，然后利用面积公式列出方程即可； （2）假设能围成，设垂直于墙的一边长，则平行于墙的边长为，根据“围栏的面积围栏长宽”即可列出关于y的一元二次方程，由根的判别式，可得出该方程没有实数根，从而得出假设不成立，由此即可得出结论． 【详解】（1）解：设垂直于墙的一边长，则平行于墙的边长为， 根据题意得：， 解得：，， 当时，（不符合题意，舍去）， 当时，（符合题意）， ∴三边长分别为，，； （2）略 【变式题7-3】.（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）某小区要围建一个矩形露天电动车停放区，停放区的一侧依靠一段长度为的小区外墙，其余三边使用金属护栏搭建．在平行于外墙的这一侧护栏上预留两扇出入口，每扇出入口宽度都是，已知金属护栏总长，设垂直于外墙的一边长度为． (1)当时，若该电动车停放区的占地面积为，求； (2)当外墙长度足够大时，该矩形停放区的占地面积能否达到？ 【答案】(1) (2)该矩形停车区的占地面积不能达到 【分析】（1）当时，利用平行于墙的边长不能超过墙长列出限制条件，再根据面积为列方程求解． （2）令矩形面积等于，再判断一元二次方程是否有解，从而判断能否达到该面积． 【详解】（1）解：由题意可知，垂直于外墙的边长． 金属护栏总长为 ，且平行于外墙的一侧预留两个 宽的门． 所以平行于墙的边长为 当 时，可得， 解得， 由该电动车停放区的占地面积为， 可得，整理得 解得 因为 必须满足 ，所以 不符合题意，舍去． 所以， 所以，当时，若该电动车停放区的占地面积为， 的值为 ． （2）解：当外墙长度 足够大时，平行于墙的边长 为 ， 可得，解得， 又因为边长必须为正数， 所以 当矩形停放区的占地面积为时， 可得，整理得， 因为， 所以方程无实数解， 即该矩形停车区的占地面积不能达到 ． 【题型8】图表信息问题 1.核心知识点 　　从表格、统计图提取数据；分段收费、阶梯计算建模。 2.解题方法技巧 　　①读懂表格行、列含义，对应到变量； 　　②分情况（如阶梯收费）列出分段表达式； ③根据总量关系列方程，检验结果是否符合分段条件。 【例题8】.（25-26八年级下·安徽合肥·期末）某商场以进价元/件购进某种新商品，在月份试销售阶段发现，在售价不低于元/件的情况下每件销售价格（元）与商品的日销售量（件）始终存在下表中的数量关系： 每件销售价格（元） 日销售量（件） (1)请你观察上面表格中数据的变化规律，填写表中的值为______； (2)若某日该种商品的总利润为元，求该日此种商品每件的售价； (3)若售货员小李发现销售该种商品件与件的日利润相同，且，请求出与所满足的关系式．（要求：用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) 元或元 (3) 【分析】（1）根据表中所示规律求出售价为元时的日销量即为的值； （2）设该日此种商品每件的售价是元，列一元二次方程求解即可； （3）分别列出表示日销量是件和件时的日利润，根据日利润相等可得等式为整理得到、的关系即可． 【详解】（1）解：由规律可知销售价格每增加元，日销量减少件， ； （2）解：设该日此种商品每件的售价是元，则每日的销售量为件， 根据题意可得：， 整理可得：， 解得：，， 答：每件商品售价是元或元时，该种商品的总利润为元； （3）解：商品每件的售价是元，由每日的销售量为件， 当销量为件时，可得：， 该商品的售价是元/件， 同理可得：当销量为件时，该商品的售价是元/件， 根据题意可得：， 整理得：， ， ， 即， 答：当时，销售该商品的日利润相同． 【变式题8-1】.（25-26八年级下·江苏泰州·期末）现有如图所示A、B、C三类纸片各若干张，A、B类纸片是边长分别为，的正方形，C类纸片是长、宽分别为，的矩形纸片． (1)若取A、B类纸片各1张，C类纸片2张可拼成一个面积为64的大正方形，求的值； (2)若取3张A类纸片，2张B类纸片，5张C类纸片可拼成一个大长方形， ①在下面的方框中画出拼图； ②若大长方形面积为65，求所拼大长方形的长． 【答案】(1) (2)①拼图如下： ② 【分析】（1）由面积相等列出方程，求解出的值即可； （2）①将3张A和2张C拼成一列，3张C和2张B拼成一列即可； ②由面积相等列出方程，求解出的值，再求出长方形的长即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，则， ∵， ∴，则； （2）①略 ②由题意可知：， 整理，得， 因式分解，得， 解得或， ∵， ∴， ∴大长方形的长为：． 【变式题8-2】.（25-26八年级下·安徽淮北·期末）观察下列由小黑点组成的图形： 图1中矩形框内小黑点个数为4，小黑点总数为， 图2中矩形框内小黑点个数为6，小黑点总数为， 图3中矩形框内小黑点个数为8，小黑点总数为， 照此规律，解答下列问题： (1)图4中矩形框内小黑点个数为________，小黑点总数为________； (2)当小黑点总数为132个时，矩形框内小黑点个数是多少？ 【答案】(1)10，30； (2)22． 【分析】（1）根据图4作答即可； （2）找出规律，进而列方程求解即可． 【详解】（1）解：图4中矩形框内小黑点个数为10，小黑点总数为30； （2）解：照此规律，图中矩形框内小黑点个数为， 小黑点总数为， 当时， 整理得， 解得（负值舍去）， 当时，， 即矩形框内小黑点个数是22． 【变式题8-3】.（2026·宁夏银川·三模）空气质量指数（Air Quality Index，缩写AQI）是定量描述空气状况的非线性无量纲指数．其数值越大、级别和类别越高，说明空气污染状况越严重，对人体的健康危害也就越大，适用于表示某地区的短期空气质量状况和变化趋势．（空气污染指数为0~50是优；空气污染指数为50~100是良好；空气污染指数为100~150是轻度污染；空气污染指数为150~200是中度污染；空气污染指数为200~250是重度污染．） 如图表示的是某地区2022年11月份30天日均AQI指数的频率分布直方图． 空气质量指数（AQI） 0~50 50~100 100~150 150~200 200~250 天数 a b 3 3 3 频率 c d 0.1 0.1 0.1 （注：每组数据可含最高值，不含最低值） (1)请你根据上述频率分布直方图及表格完成下面的填空：这个地区11月份空气为轻度污染的天数是________天；________；________． (2)为了进一步改善生活环境和空气质量，提高人民的生活质量，当地政府计划从2026年开始增加绿化面积．已知2025年底该地区的绿化面积为20万亩，如果到2027年底，该地区的绿化面积比2025年的绿化面积增加了，假设这两年绿化面积的年增长率相同，求这两年中绿化面积每年的增长率．（精确到0.1）（参考数据：，，，） 【答案】(1)3；12；0.3 (2)这两年中绿化面积每年的增长率约为 【分析】（1）根据频率分布直方图的意义求出空气质量指数在50～100的频率，确定d的值，再根据各组频率之和为1求出c的值，根据求出a的值即可； （2）根据增长率应用题的数量关系列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据频数分布表可知，空气质量指数在100～150，即是轻度污染的天数为3天， 由频率分布直方图可知，空气质量指数在50～100的频率为，即， ∴； （2）解：设这两年中绿化面积每年的增长率为x，由题意得， ， 解得：（负根舍去）， 答：这两年中绿化面积每年的增长率约为． 【题型9】方案设计与决策问题 1.核心知识点 　　利润目标能否实现；多方案比较；方程的根与可行性判断。 2.解题方法技巧 　　①列出达到某目标（如利润）的一元二次方程； 　　②用判别式或求根判断方程是否有符合实际的解； 　　③能解出合理根则方案可行，否则说明理由。 【例题9】.（25-26九年级上·江苏常州·阶段检测）某商场在国庆期间将单价200元的某种商品经过两次降价后，以128元的价格出售． (1)求平均每次降价的百分率； (2)售货员向经理建议：先公布降价，再下调，这样更有吸引力，请问售货员的方案对顾客是否更优惠？为什么？ 【答案】(1) (2)售货员的方案对顾客更优惠，因为按此方案降价后价格为元，低于元 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程． （1）设该种商品每次降价的百分率为x，根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论； （2）根据题意直接计算可得出答案． 【详解】（1）解：设平均每次降价的百分率是， 根据题意列方程得，， 解得：（不合题意，舍去）； 答：平均每次下调的百分率为． （2）售货员的方案对顾客更优惠； ∴售货员的方案对顾客更优惠． 【变式题9-1】.（25-26九年级上·江西赣州·期末）请阅读下面材料，解决后面的问题： 材料一：单循环赛规则是：每个参赛队伍在比赛中只与其他队伍对决一次，例如有4支队伍参加的单循环比赛中，每支队伍需要与其他3支队伍各进行一场比赛，每支队伍要进行场比赛，这4支队伍的比赛总场次为：． 材料二：淘汰赛规则是：参赛队伍按照抽签配对比赛，失败一方被淘汰出局、胜利一方进入下一轮，每一轮淘汰掉一半队伍，直至产生最后的冠军．例如甲、乙、丙、丁四支球队进行淘汰赛过程如图所示． 材料三：足球比赛的积分规则为：胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分． 问题一：贵州“村超”，是贵州榕江县举办的乡村足球联赛，是贵州的一张靓丽名片，在早期的一届比赛中，有一支球队参加了10场比赛，以不败战绩获积分24分，求该球队胜的场次和平的场次分别是多少？ 问题二：近几年贵州“村超”报名队伍不断增多，在某届比赛中，组织者统计发现，如果全程按照单循环赛进行，共需要进行190场比赛． ①共有多少支球队参加这场比赛？ ②因为场次太多，经研究决定采用如下方案：先把参赛队伍按照某种规则平均分成四个小组，小组内通过单循环赛确定前两名，然后把四个小组的前两名交叉配对通过淘汰赛决出冠军，这种方案共需要多少场比赛就能决出冠军？ 【答案】问题一：这支球队胜的场次是7场，平的场次是3场；问题二：①总参赛队伍为20支；②这种方案共需要47场比赛决出冠军 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，设这支球队胜的场次是场，则平的场次是场，列出二元一次方程组，进行解方程，即可作答． （2）先算出报名队伍是20支，再根据把参赛队伍按照某种规则平均分成四个小组，得出每个小组有5支报名队伍，算出四个小组的总比赛场数，再加上淘汰赛需要进行7场比赛，即可作答． 【详解】解：问题一：设这支球队胜的场次是场，则平的场次是场， 由题意得：， 解得：， 答：这支球队胜的场次是7场，平的场次是3场； 问题二：①设总参赛队伍为支， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 即总参赛队伍为20支； ②平均分成四个小组，每组5支球队， 小组内通过单循环赛确定前两名， 小组内比赛共（场）， 把四个小组的前两名交叉配对通过淘汰赛决出冠军， 淘汰赛需（场）， 这种方案决出冠军共需要比赛（场）， 答：这种方案共需要47场比赛决出冠军． 【变式题9-2】.（26-27九年级上·全国·单元复习）综合与实践 【项目主题】 探究新款迷你无人机校园营销方案 【项目背景】 某校科技实践小组计划引入一批迷你无人机，作为教育实践器材，并希望通过校园营销活动筹集社团活动经费．为制定科学的销售方案，小组对某线上旗舰店的销售数据展开了调研，旨在通过数学建模方法优化无人机定价策略． 【项目实施】 阶段一：销售增长趋势分析 任务1：从线上旗舰店调研数据可知，2025年11月该款迷你无人机的销量为1125架，2026年1月该款迷你无人机的销量为1620架，若2025年12月与2026年1月这两个月该款迷你无人机的平均增长率相同，求该款迷你无人机的月平均增长率． 阶段二：校园促销方案设计 任务2：调查发现该旗舰店迷你无人机的进价为每架60元且售价定为每架100元时，每天能销售20架，且售价每降低1元，每天可多销售2架．若需要尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，则每架迷你无人机的售价应降低多少元？ 【项目成果】 科技实践小组以线上旗舰店的数据为参考设计出最佳校园营销方案． (1)解决任务1． (2)解决任务2． 【答案】(1) (2)20元 【分析】（1）设月平均增长率为未知数，因为月平均增长率相同，所以根据初始销量、增长次数、最终销量的关系，可列一元二次方程求解． （2）设售价降低的金额为未知数，用降价金额表示出每架的利润和实际销售量，因为总利润=单架利润×销售量，所以结合总获利为1200元列一元二次方程，再根据尽量减少库存的条件选取符合要求的解． 【详解】（1）解：设该款迷你无人机的月平均增长率为， 由题意得， 解得，（舍去）． 答：该款迷你无人机的月平均增长率为； （2）解：设每架迷你无人机降价元，则每天能销售架， 由题意得， 解得，． 需要尽量减少库存， ． 答：每架迷你无人机的售价应降低20元． 【变式题9-3】.（25-26九年级上·辽宁锦州·阶段检测）根据以下素材，探索完成任务： 如何设计实体店背景下的网上销售价格方案? 素材一 为了践行绿色出行的健康理念，小明大学毕业后和同学一起经营了一家自行车专卖店，在网上和线下同时销售，已知某品牌的自行车，成本价是300元/辆，网上和实体店售价均为500元/辆. 素材二 小明经过市场调查发现，该品牌自行车实体店每月的销售单价x（元/辆）与销售量y（辆）之间的关系如图所示： 素材三 据调查，网上销售量为每月800辆，当销售价每降低10元时，网上销售量平均每月多售出200辆，实体店的销售受网上影响，平均每月销售量减少20辆. 【问题解决】 任务一 确定函数模型 求实体店销售该品牌自行车的月销售量y（辆）关于销售单价x（元/辆）的函数解析式； 任务二 计算所获利润 当该品牌自行车的网上售价为420元/辆时，求小明网上销售月利润是多少? 任务三 拟定价格方案 若使小明在实体店销售该品牌自行车获得11.25万元的销售利润且让利于顾客，则该自行车的销售单价应定为多少元? 【答案】任务一：；任务二：小明网上销售该品牌自行车的月利润是28.8万元；任务三：550元 【分析】此题考查一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 任务一：设 ，利用待定系数法求解； 任务二：根据一辆自行车的利润乘以销售量求出网上的利润； 任务三：根据一辆自行车的利润乘以销售量列一元二次方程求解． 【详解】解：任务一：设 ， 将点代入，得 ， 解得， ∴； 任务二：网上销售该品牌自行车的利润为：（元）（万元）， 答：小明网上销售该品牌自行车的月利润是28.8万元； 任务三：由题意得 整理得 解得 ∵要让利于顾客， ∴ 答：该自行车的销售单价应为550元． 易错点 1、增长率、降低率模型混淆加减号，应分别用 (1＋x) 与 (1－x)。 2、传播、循环问题算错总数，漏算传染源或重复计数。 3、利润问题忘记销量随价格变化，只考虑每件利润。 4、面积问题不会平移转化，把道路重复计算。 5、围墙类问题忽略墙的长度限制，未舍去不合理根。 6、解得方程根后忘记检验实际意义，把负根或小数根当作答案。 重点 1、掌握平均增长率与降低率模型，能列一元二次方程求解。 2、会用传播、循环计数模型解决实际问题。 3、掌握销售利润、面积、工程行程等常见应用模型。 4、掌握列一元二次方程解应用题的一般步骤。 难点 1、从复杂实际问题中提取等量关系，建立方程模型。 2、降价促销、方案设计等销量与价格联动问题的建模。 3、跨学科与综合实践情境题的阅读与信息提取。 4、对解的实际意义检验与取舍，保证答案合理。 【对应练习题】 一、单选题 1．为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了个充电桩，第三个月新建了个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，根据题意，列出方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定第一个月到第三个月的增长次数为，结合月平均增长率列方程． 【详解】解：∵第一个月新建个充电桩，月平均增长率为， ∴第二个月新建充电桩个数为， ∴第三个月新建充电桩个数为， ∵第三个月新建个充电桩， ∴可列方程为． 2．一个同学经过培训后会做某项实验，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有49人会做这项实验，若设每人每次能教会名同学，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以每节课后会做总人数为下一节课的传播基数，累加各阶段人数列方程． 【详解】解：∵初始会做人数为1，每人每节课教会名同学． ∴第一节课后总会做人数为． ∴第二节课新增会做人数为． ∵总会做人数为49． ∴可列方程． 3．某商场销售一款T恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出100件，为扩大销售，增加利润，商场准备降价销售．经市场调查发现，每件每降价1元，平均每周可多卖出10件，若要使每周销售该款T恤获利2250元，设每件降低元，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据利润售价进价，由每降价元，每星期可多卖出件，可知每件售价降低元，每星期可多卖出件，从而列出方程即可． 【详解】解：每件降低元时，单件利润为元，每周销售量为件， 根据题意得. 二、填空题 4．某数学小组共有若干人，元旦时每个人各送一张自己制作的贺卡给组内其他人，全组一共送了72张贺卡，则这个数学小组共有__________人． 【答案】 【分析】设小组人数为，每个人给除自身外的成员送贺卡，总贺卡数等于人数乘以每人送出的贺卡数，列一元二次方程求解后舍去不合题意的负解即可． 【详解】解：设这个数学小组共有人， ∵每个人需要给组内除自己以外的人送贺卡， ∴总贺卡数可表示为， 据此列方程，得 ， 整理，得 ， 解得，． ∵人数不能为负数， ∴舍去， 即这个数学小组共有人． 5．图①是边长为，的矩形纸片，可将其剪拼成图②所示的图形．若，是关于的一元二次方程的两个实数根，则______． 【答案】 【分析】根据图①和图②的面积相等建立等式，得出 与 的数量关系，结合一元二次方程根与系数的关系求解． 【详解】解：由图①可知，矩形的面积为 ， 由图②可知，该图形的面积为 ， ∵剪拼前后面积不变， ∴， ∵ 为矩形的边长， ∴， ∴， ∵， 是关于 的一元二次方程 的两个实数根， ∴，， 将 代入，得 ， 整理得 ， 解得 ，（舍去） 当 时，， ∴ ， ∴ ，即 ． 6．在综合实践活动课上，小磊同学经过思考将宽为的矩形卡纸剪成如图1所示的四块图形，若用这四块图形恰好能够拼成如图2所示的正方形，且正方形的边长比矩形的宽多1，则该矩形卡纸的宽______cm． 【答案】 【分析】根据线段之间的关系，用含a的式子表示出正方形的边长和矩形的长，再根据矩形和正方形的面积相等，列方程，求解检验即可． 本题考查了一元二次方程的实际应用，正确地列出方程是解题的关键． 【详解】解：由图1可得，直角三角形①的较短直角边和梯形②的上底重合，直角三角形①的较长直角边和梯形②的高之和是矩形的长，梯形②的下底是矩形的宽，即在图2中，，， ∴矩形的长为， 根据矩形和正方形的面积相等，得， 整理得， 解得，（舍去）， ∴． 三、解答题 7．如图，某建筑工程队在一堵墙边上用23米长的铁栏围成一个面积为84平方米的长方形仓库，已知可利用的墙长是13米，铁栅栏只围三边，且在边上要造一个1米宽的门，在边上要造一个2米宽的运输通道．求所围成长方形的两条邻边的长． 【答案】垂直于墙的一边长为米，平行于墙的一边长为米． 【分析】设垂直于墙的一边长为米，平行于墙的一边长为米，则，再结合长方形仓库的面积列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设垂直于墙的一边长为米，平行于墙的一边长为米， 边需要铁栏米，边需要铁栏米，边需要铁栏米， 铁栏总长为米， ， ， 长方形仓库面积为84平方米， ，即， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 即垂直于墙的一边长为米，平行于墙的一边长为米． 8．根据素材完成任务． (1)【素材1】生产某款零部件的一间工厂因引入一体化加工，生产效率提升，4月份生产100个零部件，同年6月份生产144个．求4月份到6月份生产数量的平均增长率； (2)【素材2】该零部件成本为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为600个，售价每上涨1元，月销售量减少10个．批发商为使月销售利润达到10000元，且尽可能让消费者得到实惠，实际售价应定为每个多少元？ 【答案】(1)平均增长率为 (2)实际售价应定为每个元 【分析】（1）设该工厂4月份到6月份生产数量的平均增长率为，根据题意列方程，解方程即可； （2）设涨价元，则售价为元，销量为个，根据题意列出方程，解方程，再结合要尽可能让购买方得到实惠，确定的值，即可． 【详解】（1）解：设平均增长率为 ． 解得或（不合实际，舍去）， 答：4月份到6月份生产数量的平均增长率为； （2）解：设涨价元，则售价为元，销量为个， 每个利润为元， 由题意得， 整理得， 解得或， 尽可能让消费者得到实惠， ， ， 答：实际售价应定为每个元． 9．某花圃用花盆培育某种花苗，经试验发现，每盆花的盈利与每盆株数存在一定的关系：每盆植入株时，平均单株盈利元；以同样的栽培条件，若增加花苗株数，每盆平均单株盈利（元）与每盆的总株数（株）成如图所示的一次函数关系． (1)每盆种植株时，平均单株的盈利是多少元？ (2)若要求每盆花苗超过株，且每盆的盈利为元，则每盆应种植多少株？ 【答案】(1)株时，平均单株的盈利是元 (2)或株 【分析】（1）设一次函数表达式为，根据待定系数法解题； （2）根据题意，，将（1）中的代入解方程即可． 【详解】（1）解：设一次函数表达式为， 代入和， 有， 解得 ∴函数表达式为， 当时，， 即每盆种植株时，平均单株的盈利是元； （2）解：根据题意，得， ， 整理得， ， 解得，，且都符合题意， 即每盆应种植或株． 10．某电影院为吸引团体观影，推出如下收费标准： 如果观影人数不超过20人，人均票价为50元； 如果人数超过20人，每增加1人，人均票价降低2元，但人均票价不得低于28元． (1)如果某公司组织25人观影，那么人均需支付电影票 元； (2)现某公司组织员工观影，共支付给电影院电影票费用1008元，请问该公司有多少名员工参加观影？ 【答案】(1) (2) 该公司有名或名员工参加观影 【分析】（1）根据人数超过20人，每增加1人，人均票价降低2元，但人均票价不得低于28元，列式求解即可； （2）设该公司有名员工参加观影，得到人均票价为元，且，再根据共支付给电影院电影票费用1008元列方程求解即可． 【详解】（1）解：人数超过20人，每增加1人，人均票价降低2元，但人均票价不得低于28元， ∴组织25人观影时，元， ∵， ∴人均需支付票价为元； （2）解：观影人数不超过20人，人均票价为50元，则支付总费用为元， ∵， ∴观影人数超过20人， 设该公司有名员工参加观影， ∴ 人均票价为元，且， 解得， ∵共支付给电影院电影票费用1008元， ∴， 整理得，， ∴， 解得，， ∴该公司有名或名员工参加观影． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.4 一元二次方程的应用 知识点1：平均增长（降低）率问题 　　1.增长率模型：设增长基数为 a，每次平均增长率为 x，增长 n 次后的数量为 b，则。 　　2.降低率模型：设降低基数为 a，每次平均降低率为 x，降低 n 次后的数量为 b，则。 　　3.注意：增长（降低）率 x 通常用百分数表示，且 0<x<1；连续两次增长或降低，n 取 2。 知识点2：传播与循环计数问题 问题类型 核心等量关系 传播问题 传染源＋第一轮被传染人数＋第二轮被传染人数＝两轮后被传染总人数 单循环问题 n 个队每两队赛一场，比赛总场数 双循环问题 n 个队每两队赛两场（主客场），比赛总场数 知识点3：销售利润问题 数量关系 表达式 利润 利润＝售价－进价 利润率 利润率 售价 售价＝进价×（1＋利润率） 总利润 总利润＝每件利润×销售量＝总收入－总支出 知识点4：面积问题 图形 面积公式 长方形 S＝长×宽（a、b 分别为长、宽） 正方形 S＝边长²（a 为边长） 三角形 S×底×高（h 为底边 a 上的高） 圆 S＝πr²（r 为半径） 　　1.边框（甬道）问题：平移道路使种植区域集中成长方形，用总面积－道路面积（或直接算种植区面积）列方程。 　　2.围墙类问题：一边靠墙，另外几边用篱笆，用篱笆总长表示矩形另一边，再列面积方程；注意墙的长度对边长的限制。 知识点5：列一元二次方程解应用题的一般步骤 　　1.审：审清题意，找出已知量与未知量及等量关系。 　　2.设：设未知数，一般直接设所求量，有时设中间量。 　　3.列：根据等量关系列出一元二次方程。 　　4.解：选择恰当方法解方程，求出未知数的值。 　　5.检：检验根是否满足方程且符合实际意义，舍去不合理的根。 　　6.答：写出答案，注明单位。 【基础必考题型】 【题型1】数字问题 1.核心知识点 　　多位数的表示方法；数字间大小关系；建立一元二次方程。 2.解题方法技巧 　　①设个位、十位等数字为未知数，用代数式表示多位数； 　　②抓住“某个数平方”“比……大”等文字条件列等量关系； ③数字问题中的根必须为符合数字范围的整数，注意取舍。 【例题1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）两个数的和是26，积是168，求这两个数． 【变式题1-1】.（2026·河南南阳·模拟预测）小明在算一个数的2倍时，误算成了这个数的平方，他发现两个结果的和为8，则这个数为（    ） A．2 B．2或4 C．2或 D．或4 【变式题1-2】.（25-26八年级上·河南周口·期末）已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个新两位数，且这两个新两位数分别与它们对应的原数不同，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“幸福数对”，例如：，所以13和62是“幸福数对”． (1)请判断21与48是否是“幸福数对”，并说明理由； (2)有一个两位数，十位上的数字为，个位上的数字为x，另一个两位数，十位上的数字为，个位上的数字为．若这两个两位数为“幸福数对”，求出这两个两位数． 【变式题1-3】.（25-26九年级上·河南南阳·阶段检测）2026年7日1日是建党105周年纪念日，在该月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若方框圈出的四个数中，最小的数与最大的数的乘积为84，则该方框圈出的最小的数为________． 【题型2】传播问题 1.核心知识点 　　传播模型：传染源＋两轮被传染人数＝总数；设每轮每人传染 x 人。 2.解题方法技巧 　　①第一轮新增 x 人，第二轮新增 x(1＋x) 人，列方程； 　　②分清“两轮后总人数”与“两轮新增人数”的区别； ③检验：x 为正整数，负根直接舍去。 【例题2】.（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出相同数目的小分支，若主干、枝干、小分支的总数是43，则每个枝干长出的小分支的个数为（     ） A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 【变式题2-1】.（25-26九年级下·北京·阶段检测）在某云平台的一次网络安全事件中，最初有5台服务器感染了病毒．经过两轮感染后，共有245台服务器感染了病毒，则每轮感染中平均每台服务器感染___________台服务器． 【变式题2-2】.（25-26九年级上·福建莆田·阶段检测）传染病就像隐藏的敌人，随时可能偷袭你，做好日常预防，爱护自己，至关重要．德尔塔（）是一种全球流行的新冠病毒变异毒株，其传染性极强．某地有人感染了德尔塔病毒，因为没有及时隔离治疗，经过两轮传染后，一共有人感染了德尔塔病毒．在每轮传染中，平均一个人传染了几个人？ 【变式题2-3】.（25-26九年级上·甘肃张掖·阶段检测）为了响应“践行核心价值观，传递青春正能量”的号召，小颖决定走入社区号召大家参加“传递正能量志愿服务者”，被号召参加的人（包括小颖）下一周会继续号召，已知每一个人每周能够号召个人参加． 甲说：“第一周结束后，包括小颖在内有人参加了‘传递正能量志愿服务者’．” 乙说：“第二周新参加‘传递正能量志愿服务者’的有人．” (1)______的说法正确（填“甲”“乙”或“甲和乙”）； (2)丙说：“两周后，包括小颖在内有120人参加了‘传递正能量志愿服务者’．”请你通过列方程分析丙的说法是否正确． 【题型3】平均增长率问题 1.核心知识点 　　增长率模型；连续两次增长列一元二次方程。 2.解题方法技巧 　　①确定基数 a、现量 b 与增长次数 n； 　　②列方程，开平方求解； ③增长率通常取正值且小于 1，负根舍去。 【例题3】.（26-27九年级上·北京·期中）某区为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2022年投入3000万元，预计2024年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是(     ) A． B． C． D． 【变式题3-1】.（26-27九年级上·河南开封·阶段检测）“双碳”背景下，我国新能源汽车保有量已处于世界第一，随着消费人群不断增多，某款新能源汽车销售量持续增长．假设月销售量的增长率一致，且第三个月的销售量是第一个月的2倍．设第一个月的销售量为a辆，月销售量的增长率为x，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）年青山村种水稻平均每公顷产，和年水稻平均每公顷产量和为，设水稻每公顷产量的年平均增长率为，则下列所列的方程中正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式题3-3】.（2026九年级上·全国·专题练习）某公司今年1月份盈利2万元，今年3月份盈利万元，假设每月盈利的平均增长率相同． (1)求每月盈利的平均增长率； (2)预计今年4月份盈利多少万元？ 【培优高频题型】 【题型4】单循环与双循环问题 1.核心知识点 　　单循环总场数；双循环总场数。 2.解题方法技巧 　　①判断是单循环（每两队一场）还是双循环（每两队两场）； 　　②把总场数与人数代入公式列方程； ③n 为人数，必须为正整数，检验舍去负根或小数根。 【例题4】.（26-27九年级上·全国·课后作业）某足球联赛采用双循环赛制，如果赛季结束后共比赛90场，那么共有多少支球队参加比赛？ 【变式题4-1】.（2026九年级上·全国·专题练习）于老师购买了2304张签名卡，在毕业典礼上，他向每位同学赠送了一张签名卡，每位同学间也互赠了一张签名卡，签名卡恰好用完．设该班级有x名学生，请列方程并求解该班级有多少名学生． 【变式题4-2】.（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）绿茵争锋，“足”够精彩！2015年教育部下发《关于公布2015年全国青少年校园足球特色学校及试点县（区）名单的通知》，认定福清西山学校等校为全国青少年校园足球特色学校．若学校体艺办要组织一次足球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，问应邀请多少支球队参赛？ 【变式题4-3】.（25-26九年级上·河南濮阳·期末）某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）． 乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： 假设有x人报名参加比赛． (1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：_________________________．请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确； (2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了4场比赛后就中途退赛．请直接写出此时x的值． 【题型5】降价促销利润问题 1.核心知识点 　　降价后每件利润与销量同时变化；总利润方程建模。 2.解题方法技巧 　　①设降价 x 元，用代数式表示降价后的售价、每件利润与销量； 　　②列总利润＝每件利润×销量 的方程； ③多解时结合“让利更多”“消费者实惠”等条件取舍。 【例题5】.（26-27九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）新世纪百货某款童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经市场调查发现：如果每件童装降价2元，那么平均每天就可多售出5件．要想平均每天销售这种童装的盈利为1400元，则每件童装应降价________元． 【变式题5-1】.（2026九年级上·全国·专题练习）某商场将进货价为元的台灯以元售出，平均每月能售出个．调查表明：这种台灯的售价每上涨元，其月销售量就减少个． 要实现每月元的销售利润目标，且售价不能低于元/个． (1)求这种台灯的定价； (2)商场应进货多少个？ 【变式题5-2】.（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）暑期档电影《牛来》和《奥德赛》深受大家喜爱．已知某电影院，1张《奥德赛》电影票比1张《牛来》电影票贵5元，用525元购买《奥德赛》电影票数量与用450元购买《牛来》电影票数量一样多． (1)求《牛来》和《奥德赛》电影票的单价． (2)该电影院按（1）中价格售票，平均每日可以售卖《牛来》电影票50张．据调查发现票价每降价1元销售量会增加5张，但是销售单价不得低于20元．若《牛来》的日销售额要达到1820元，单价应降低多少元？ 【变式题5-3】.（26-27九年级上·山东济南·开学考试）我国是世界上最大的茶叶种植国，拥有全球最多的饮茶人口，并发展出独具民族特色的茶文化．某茶商购进一批进价为100元/盒的茶叶，当销售价为120元/盒时，每天可售出20盒．经市场调查发现，若每盒茶叶每降价2元，那么平均每天可多售出4盒．现该茶商计划降价销售，请回答下列问题： (1)当销售价为110元/盒时，每天的销售量为__________盒，每天盈利__________元； (2)当每盒茶叶降价多少元时，商家销售该茶叶平均每天能盈利432元？ 【题型6】边框与甬道面积问题 1.核心知识点 　　平移法转化图形；面积相减或直接算种植区面积。 2.解题方法技巧 　　①把道路平移集中到一侧，种植区为规则长方形； 　　②列面积方程，注意道路宽度的实际限制范围； ③解出的宽要检验是否满足题目给定范围。 【例题6】.（2026九年级上·全国·专题练习）某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分绿化，绿化的面积为．已知整个长方形空地的长为30m、宽为，求道路的宽． 【变式题6-1】.（26-27九年级上·河南·阶段检测）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（     ） A． B． C． D． 【变式题6-2】.（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）小颖同学积极参加“乡情摄影”展等系列活动，将自己拍摄的一张风景照（如图1）上交了学校并被选为优秀作品．图片的长为8分米，宽为6分米，为了展示将在原图片的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图．如果要求整个挂图的面积是80平方分米．那么金色纸边的宽应是多少？ (1)如果设金色纸边的宽度为分米，则挂画的长可表示为______分米，挂画的宽可表示为______分米，列出的方程为______． (2)根据你所列的方程求出的值． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·安徽合肥·期末）根据以下素材，探索完成任务 素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路宽度都为米，左右两条纵向道路宽度都为x米，中间部分种植草莓．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过6米，且不小于米． 素材2 该果园的草莓成熟后，某水果商向农户按市场价8元/千克，一次性收购了1000千克草莓，随即存入冷库待售．已知：①草莓市场价格每天上涨元/千克；②每天损耗10千克草莓（损耗部分无法出售）；③冷库每天支出费用200元；④草莓最多保存16天． 问题解决 任务1：解决果园路面宽度的设计对种植面积的影响． (1)若中间部分种植面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． 任务2：解决水果商收购草莓的预期利润问题．（总利润=总销售额-收购总成本-冷库总费用） (2)该水果商存放草莓一段时间后，按当天市场价一次性出售，获得利润为800元，请问在第几天出售？ 【压轴素养题型】 【题型7】围墙类问题 1.核心知识点 　　一边靠墙围矩形；篱笆总长表示边长；面积方程。 2.解题方法技巧 　　①靠墙一边不用篱笆，另三边用篱笆，表示出两邻边； 　　②列面积方程求解； ③检验边长是否满足墙长限制，不满足的根舍去。 【例题7】.（24-25八年级上·上海嘉定·期中）如图，要建一个面积为75平方米的仓库，仓库的一边靠墙，并在与墙平行的一边开一道1米宽的门，现有32米长的木板，求仓库的长与宽．设仓库垂直于墙面的一边长度为x米，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式题7-1】.（2026·内蒙古通辽·三模）如图，一个养殖户用米长的围栏围成一排一面靠墙、大小相等且彼此相连的三个矩形鸡舍，要使鸡舍的总面积为平方米，那么每个鸡舍的长为______． 【变式题7-2】.（26-27九年级上·河北唐山·开学考试）如图，计划用长为的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长）． (1)矩形围栏的面积为时，三边分别长多少？ (2)能否使围成的矩形面积为？如果能，求出三边的长；如果不能，说明理由． 【变式题7-3】.（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）某小区要围建一个矩形露天电动车停放区，停放区的一侧依靠一段长度为的小区外墙，其余三边使用金属护栏搭建．在平行于外墙的这一侧护栏上预留两扇出入口，每扇出入口宽度都是，已知金属护栏总长，设垂直于外墙的一边长度为． (1)当时，若该电动车停放区的占地面积为，求； (2)当外墙长度足够大时，该矩形停放区的占地面积能否达到？ 【题型8】图表信息问题 1.核心知识点 　　从表格、统计图提取数据；分段收费、阶梯计算建模。 2.解题方法技巧 　　①读懂表格行、列含义，对应到变量； 　　②分情况（如阶梯收费）列出分段表达式； ③根据总量关系列方程，检验结果是否符合分段条件。 【例题8】.（25-26八年级下·安徽合肥·期末）某商场以进价元/件购进某种新商品，在月份试销售阶段发现，在售价不低于元/件的情况下每件销售价格（元）与商品的日销售量（件）始终存在下表中的数量关系： 每件销售价格（元） 日销售量（件） (1)请你观察上面表格中数据的变化规律，填写表中的值为______； (2)若某日该种商品的总利润为元，求该日此种商品每件的售价； (3)若售货员小李发现销售该种商品件与件的日利润相同，且，请求出与所满足的关系式．（要求：用含的代数式表示） 【变式题8-1】.（25-26八年级下·江苏泰州·期末）现有如图所示A、B、C三类纸片各若干张，A、B类纸片是边长分别为，的正方形，C类纸片是长、宽分别为，的矩形纸片． (1)若取A、B类纸片各1张，C类纸片2张可拼成一个面积为64的大正方形，求的值； (2)若取3张A类纸片，2张B类纸片，5张C类纸片可拼成一个大长方形， ①在下面的方框中画出拼图； ②若大长方形面积为65，求所拼大长方形的长． 【变式题8-2】.（25-26八年级下·安徽淮北·期末）观察下列由小黑点组成的图形： 图1中矩形框内小黑点个数为4，小黑点总数为， 图2中矩形框内小黑点个数为6，小黑点总数为， 图3中矩形框内小黑点个数为8，小黑点总数为， 照此规律，解答下列问题： (1)图4中矩形框内小黑点个数为________，小黑点总数为________； (2)当小黑点总数为132个时，矩形框内小黑点个数是多少？ 【变式题8-3】.（2026·宁夏银川·三模）空气质量指数（Air Quality Index，缩写AQI）是定量描述空气状况的非线性无量纲指数．其数值越大、级别和类别越高，说明空气污染状况越严重，对人体的健康危害也就越大，适用于表示某地区的短期空气质量状况和变化趋势．（空气污染指数为0~50是优；空气污染指数为50~100是良好；空气污染指数为100~150是轻度污染；空气污染指数为150~200是中度污染；空气污染指数为200~250是重度污染．） 如图表示的是某地区2022年11月份30天日均AQI指数的频率分布直方图． 空气质量指数（AQI） 0~50 50~100 100~150 150~200 200~250 天数 a b 3 3 3 频率 c d 0.1 0.1 0.1 （注：每组数据可含最高值，不含最低值） (1)请你根据上述频率分布直方图及表格完成下面的填空：这个地区11月份空气为轻度污染的天数是________天；________；________． (2)为了进一步改善生活环境和空气质量，提高人民的生活质量，当地政府计划从2026年开始增加绿化面积．已知2025年底该地区的绿化面积为20万亩，如果到2027年底，该地区的绿化面积比2025年的绿化面积增加了，假设这两年绿化面积的年增长率相同，求这两年中绿化面积每年的增长率．（精确到0.1）（参考数据：，，，） 【题型9】方案设计与决策问题 1.核心知识点 　　利润目标能否实现；多方案比较；方程的根与可行性判断。 2.解题方法技巧 　　①列出达到某目标（如利润）的一元二次方程； 　　②用判别式或求根判断方程是否有符合实际的解； 　　③能解出合理根则方案可行，否则说明理由。 【例题9】.（25-26九年级上·江苏常州·阶段检测）某商场在国庆期间将单价200元的某种商品经过两次降价后，以128元的价格出售． (1)求平均每次降价的百分率； (2)售货员向经理建议：先公布降价，再下调，这样更有吸引力，请问售货员的方案对顾客是否更优惠？为什么？ 【变式题9-1】.（25-26九年级上·江西赣州·期末）请阅读下面材料，解决后面的问题： 材料一：单循环赛规则是：每个参赛队伍在比赛中只与其他队伍对决一次，例如有4支队伍参加的单循环比赛中，每支队伍需要与其他3支队伍各进行一场比赛，每支队伍要进行场比赛，这4支队伍的比赛总场次为：． 材料二：淘汰赛规则是：参赛队伍按照抽签配对比赛，失败一方被淘汰出局、胜利一方进入下一轮，每一轮淘汰掉一半队伍，直至产生最后的冠军．例如甲、乙、丙、丁四支球队进行淘汰赛过程如图所示． 材料三：足球比赛的积分规则为：胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分． 问题一：贵州“村超”，是贵州榕江县举办的乡村足球联赛，是贵州的一张靓丽名片，在早期的一届比赛中，有一支球队参加了10场比赛，以不败战绩获积分24分，求该球队胜的场次和平的场次分别是多少？ 问题二：近几年贵州“村超”报名队伍不断增多，在某届比赛中，组织者统计发现，如果全程按照单循环赛进行，共需要进行190场比赛． ①共有多少支球队参加这场比赛？ ②因为场次太多，经研究决定采用如下方案：先把参赛队伍按照某种规则平均分成四个小组，小组内通过单循环赛确定前两名，然后把四个小组的前两名交叉配对通过淘汰赛决出冠军，这种方案共需要多少场比赛就能决出冠军？ 【变式题9-2】.（26-27九年级上·全国·单元复习）综合与实践 【项目主题】 探究新款迷你无人机校园营销方案 【项目背景】 某校科技实践小组计划引入一批迷你无人机，作为教育实践器材，并希望通过校园营销活动筹集社团活动经费．为制定科学的销售方案，小组对某线上旗舰店的销售数据展开了调研，旨在通过数学建模方法优化无人机定价策略． 【项目实施】 阶段一：销售增长趋势分析 任务1：从线上旗舰店调研数据可知，2025年11月该款迷你无人机的销量为1125架，2026年1月该款迷你无人机的销量为1620架，若2025年12月与2026年1月这两个月该款迷你无人机的平均增长率相同，求该款迷你无人机的月平均增长率． 阶段二：校园促销方案设计 任务2：调查发现该旗舰店迷你无人机的进价为每架60元且售价定为每架100元时，每天能销售20架，且售价每降低1元，每天可多销售2架．若需要尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，则每架迷你无人机的售价应降低多少元？ 【项目成果】 科技实践小组以线上旗舰店的数据为参考设计出最佳校园营销方案． (1)解决任务1． (2)解决任务2． 【变式题9-3】.（25-26九年级上·辽宁锦州·阶段检测）根据以下素材，探索完成任务： 如何设计实体店背景下的网上销售价格方案? 素材一 为了践行绿色出行的健康理念，小明大学毕业后和同学一起经营了一家自行车专卖店，在网上和线下同时销售，已知某品牌的自行车，成本价是300元/辆，网上和实体店售价均为500元/辆. 素材二 小明经过市场调查发现，该品牌自行车实体店每月的销售单价x（元/辆）与销售量y（辆）之间的关系如图所示： 素材三 据调查，网上销售量为每月800辆，当销售价每降低10元时，网上销售量平均每月多售出200辆，实体店的销售受网上影响，平均每月销售量减少20辆. 【问题解决】 任务一 确定函数模型 求实体店销售该品牌自行车的月销售量y（辆）关于销售单价x（元/辆）的函数解析式； 任务二 计算所获利润 当该品牌自行车的网上售价为420元/辆时，求小明网上销售月利润是多少? 任务三 拟定价格方案 若使小明在实体店销售该品牌自行车获得11.25万元的销售利润且让利于顾客，则该自行车的销售单价应定为多少元? 易错点 1、增长率、降低率模型混淆加减号，应分别用 (1＋x) 与 (1－x)。 2、传播、循环问题算错总数，漏算传染源或重复计数。 3、利润问题忘记销量随价格变化，只考虑每件利润。 4、面积问题不会平移转化，把道路重复计算。 5、围墙类问题忽略墙的长度限制，未舍去不合理根。 6、解得方程根后忘记检验实际意义，把负根或小数根当作答案。 重点 1、掌握平均增长率与降低率模型，能列一元二次方程求解。 2、会用传播、循环计数模型解决实际问题。 3、掌握销售利润、面积、工程行程等常见应用模型。 4、掌握列一元二次方程解应用题的一般步骤。 难点 1、从复杂实际问题中提取等量关系，建立方程模型。 2、降价促销、方案设计等销量与价格联动问题的建模。 3、跨学科与综合实践情境题的阅读与信息提取。 4、对解的实际意义检验与取舍，保证答案合理。 【对应练习题】 一、单选题 1．为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了个充电桩，第三个月新建了个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，根据题意，列出方程为（     ） A． B． C． D． 2．一个同学经过培训后会做某项实验，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有49人会做这项实验，若设每人每次能教会名同学，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 3．某商场销售一款T恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出100件，为扩大销售，增加利润，商场准备降价销售．经市场调查发现，每件每降价1元，平均每周可多卖出10件，若要使每周销售该款T恤获利2250元，设每件降低元，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．某数学小组共有若干人，元旦时每个人各送一张自己制作的贺卡给组内其他人，全组一共送了72张贺卡，则这个数学小组共有__________人． 5．图①是边长为，的矩形纸片，可将其剪拼成图②所示的图形．若，是关于的一元二次方程的两个实数根，则______． 6．在综合实践活动课上，小磊同学经过思考将宽为的矩形卡纸剪成如图1所示的四块图形，若用这四块图形恰好能够拼成如图2所示的正方形，且正方形的边长比矩形的宽多1，则该矩形卡纸的宽______cm． 三、解答题 7．如图，某建筑工程队在一堵墙边上用23米长的铁栏围成一个面积为84平方米的长方形仓库，已知可利用的墙长是13米，铁栅栏只围三边，且在边上要造一个1米宽的门，在边上要造一个2米宽的运输通道．求所围成长方形的两条邻边的长． 8．根据素材完成任务． (1)【素材1】生产某款零部件的一间工厂因引入一体化加工，生产效率提升，4月份生产100个零部件，同年6月份生产144个．求4月份到6月份生产数量的平均增长率； (2)【素材2】该零部件成本为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为600个，售价每上涨1元，月销售量减少10个．批发商为使月销售利润达到10000元，且尽可能让消费者得到实惠，实际售价应定为每个多少元？ 9．某花圃用花盆培育某种花苗，经试验发现，每盆花的盈利与每盆株数存在一定的关系：每盆植入株时，平均单株盈利元；以同样的栽培条件，若增加花苗株数，每盆平均单株盈利（元）与每盆的总株数（株）成如图所示的一次函数关系． (1)每盆种植株时，平均单株的盈利是多少元？ (2)若要求每盆花苗超过株，且每盆的盈利为元，则每盆应种植多少株？ 10．某电影院为吸引团体观影，推出如下收费标准： 如果观影人数不超过20人，人均票价为50元； 如果人数超过20人，每增加1人，人均票价降低2元，但人均票价不得低于28元． (1)如果某公司组织25人观影，那么人均需支付电影票 元； (2)现某公司组织员工观影，共支付给电影院电影票费用1008元，请问该公司有多少名员工参加观影？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $