第2章 反比例函数 单元复习（6大知识点+12大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2026-2027学年苏科版九年级数学上学期

第2章 反比例函数 知识点 1 ：反比例函数的概念 1. 一般地，形如（为常数，）的函数叫做反比例函数；等价形式：，。 2. 自变量取值范围：，函数值，是判定反比例函数的必要条件。 知识点 2 ：反比例函数的图象与基本性质 1. 图象是双曲线，由两支曲线组成，图象无限靠近坐标轴，但永远不与轴、轴相交。 2. 图象性质对比表 符号 所在象限 增减性 对称性 图例 第一、三象限 在每一个象限内，随的增大而减小 中心对称（对称中心原点）；轴对称，对称轴、 第二、四象限 在每一个象限内，随的增大而增大 中心对称（对称中心原点）；轴对称，对称轴、 知识点 3 ：待定系数法求反比例函数解析式 1. 步骤：设解析式；代入图象上一个点坐标；解出，写出完整解析式。 2. 只要知道双曲线上任意一组，即可求出；双曲线上任意点满足。 知识点 4 ：比例系数k的几何意义 1. 过双曲线上任意一点，分别向轴、轴作垂线，围成矩形面积。 2. 过双曲线上任意一点向一条坐标轴作垂线，连接原点，得到三角形面积；面积恒为非负数，必须带绝对值。 知识点 5 ：反比例函数与一次函数综合基础 1. 求交点：联立两个函数解析式，解方程组得到交点坐标；两个交点关于原点中心对称。 2. 利用函数图象解不等式：观察图象，比较同一位置上两条曲线的上下位置，写出取值范围，注意排除。 知识点 6 ：反比例函数的实际应用 1. 现实中两个量乘积为定值，可建立反比例函数模型；如杠杆原理、压强体积、眼镜度数与焦距。 2. 实际情境自变量一般取正数，函数图象只取双曲线其中一支，解要符合实际意义。 【基础必考题型】 【题型 1】反比例函数的概念与参数辨析 1.核心知识点 　反比例函数三种等价形式；限制条件；自变量取值范围；参数求解 2.解题方法技巧 　1. 判断反比例函数优先化成或形式，必须检验 　2. 参数题目：指数满足，同时系数不等于 0，两个条件同时满足 　3. 注意代表，自变量不能等于 0 【例题1】.（26-27九年级上·全国·周测）已知是关于x的反比例函数，求的值． 【变式题1-1】.（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（25-26九年级上·湖南湘潭·期末）下列各式中，是的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（25-26九年级上·北京·课后作业）若函数是反比例函数，则（　　） A．1 B． C．2 D．3 【题型 2】反比例函数图象象限与性质判断 1. 核心知识点 　双曲线图象特征；符号与象限对应关系；每个象限内增减性；图象不与坐标轴相交 2.解题方法技巧 　1. 根据正负直接判断所在象限，一、三象限，二、四象限 　2. 比较函数值大小：点不在同一象限时直接利用正负判断；同一象限才可用增减性 　3. 增减性描述必须带上 “在每一个象限内”，不能跨象限笼统说增减 【例题2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）对于反比例函数，下列说法中错误的是（     ）． A．图象分布在第一、三象限 B．随的增大而减小 C．图象与坐标轴无交点 D．若点在它的图象上，则点也在它的图象上 【变式题2-1】.（25-26九年级上·广西北海·期中）对于反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．图象经过点 B．图象位于第二、四象限 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而增大 【变式题2-2】.（24-25九年级上·全国·随堂练习）反比例函数的大致图像是（   ） A． B． C． D． 【变式题2-3】.（25-26八年级下·陕西汉中·期末）已知反比例函数（为常数）的图象，在每个象限内，随的增大而增大，则的取值范围是_______________． 【题型 3】待定系数法求反比例函数解析式 1. 核心知识点 　待定系数法；由几何条件间接求点坐标；的计算 2.解题方法技巧 　1. 设，代入已知点一组横纵坐标，直接求 　2. 几何题目先利用图形性质求出点坐标，再代入求解析式 　3. 求出后回代检验，验证点是否满足函数 【例题3】.（2026九年级上·全国·专题练习）已知与成反比例，且当时，，则关于的函数解析式为________． 【变式题3-1】.（2026九年级上·全国·专题练习）已知是的反比例函数，当时，． (1)求关于的函数关系式； (2)当时，求的值． 【变式题3-2】.（2026九年级上·全国·专题练习）已知反比例函数的图象经过点． (1)求的值； (2)写出关于的函数解析式； (3)当时，求的值． 【变式题3-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知点是反比例函数图象上一点． (1)求该反比例函数的解析式； (2)点是否在这个函数的图象上? 【题型 4】k的简单几何意义（矩形、三角形面积） 1. 核心知识点 　几何意义；矩形面积；三角形面积；面积与互相求 2.解题方法技巧 　1. 作坐标轴垂线构造矩形、直角三角形，牢记面积带绝对值 　2. 已知面积求，需要结合图象所在象限确定正负 　3. 平行坐标轴线段，直接利用横纵坐标的差求线段长 【例题4】.（24-25八年级下·四川巴中·期中）如图，点P是双曲线上的一个动点，过点P作轴于点A，当点P从左向右移动时，的面积（    ） A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．先增大后减小 D．保持不变 【变式题4-1】.（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数是常数，与反比例函数的图象相交于、两点，轴于点，则的面积为（     ） A．1 B．2 C． D． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图，点在反比例函数（）的图象上，点是上一点，作轴于点，连接．若，的面积为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式题4-3】.（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在矩形中，点、在轴上，点、分别在反比例函数和上，若矩形的面积为6，则的值是（    ） A． B． C． D． 【题型 5】反比例函数实际情境基础应用 1. 核心知识点 　反比例实际建模；乘积为定值模型；实际自变量取值限制 2.解题方法技巧 　1. 读懂情境，识别两个变量乘积固定，建立模型 　2. 实际问题自变量一般大于 0，图象只取第一象限分支 　3. 求出结果后检验，舍去不符合现实意义的解 【例题5】.（25-26八年级下·河南南阳·期末）为方便携带，人们在户外运动时常使用真空压缩袋压缩衣物以减小体积．同一件羽绒服的质量（单位：）不变，其体积（单位：）与密度（单位：）成反比例函数关系，如图所示．当压缩后密度是时，其体积是（     ） A． B． C． D． 【变式题5-1】.（2026·江西上饶·一模）如图甲，根据杠杆原理，我们知道当杠杆水平平衡时，弹簧测力计的示数（单位：）与弹簧测力计与支点的距离（单位：）成反比例函数关系．已知它们之间的函数关系如图乙所示，那么当为时，弹簧测力计与支点的距离为______． 【变式题5-2】.（2026·吉林·一模）如图，为某公园“水上滑梯”的侧面图，其中段可看成是一段双曲线，建立如图的坐标系后，其中，矩形为向上攀爬的梯子，米，进口，且米，出口C点距水面的距离为． (1)求段滑梯所在双曲线的解析式； (2)若为米，求B，C之间的水平距离的长度． 【变式题5-3】.（2026·广东清远·中考真题）在环境科学领域的一定条件下，某污染区域的净化时间（单位：小时）与净化设备的功率（单位：千瓦）存在着某种函数关系，部分对应值如表所示： 净化设备的功率（千瓦） ．．． 90 60 45 36 ．．． 净化时间t（小时） ．．． 2 3 4 5 ．．． (1)请根据表中给出的数据，求与之间的函数关系式． (2)若要求净化时间不超过10小时，则净化设备的功率至少需要多少千瓦？ 【培优高频题型】 【题型 6】同一坐标系两类函数图象辨析 1. 核心知识点 　一次函数符号；反比例符号；同一个题目参数保持一致 2.解题方法技巧 　1. 先看其中一个函数图象，判断参数正负 　2. 将得到参数符号代入另外一个函数，检验是否匹配 　3. 排除互相矛盾参数组合的选项 【例题6】.（24-25九年级上·全国·期末）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致是 （    ） A． B． C． D． 【变式题6-1】.（24-25八年级下·重庆·期中）在同一平面直角坐标系中，函数和（，是常数）的图像大致是（    ） A． B． C． D． 【变式题6-2】.（24-25九年级上·湖南张家界·期中）如图，关于x的函数和，它们在同一坐标系内的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【变式题6-3】.（24-25九年级上·安徽合肥·期中）二次函数（a，b，c是常数）的图象如图，则双曲线和直线的位置可能为（　　） A． B． C． D． 【题型 7】反比例函数与一次函数交点综合 1. 核心知识点 　函数交点意义；联立方程组求交点；交点关于原点对称；与坐标轴交点坐标 2.解题方法技巧 　1. 联立解析式，解方程组得到交点横、纵坐标 　2. 正比例与反比例两个交点关于原点对称，知一点直接写出另一点 　3. 求图形面积常分割成以坐标轴为底的三角形，用坐标计算线段长 【例题7】.（2026·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正比例函数与反比例函数的图像交于，B两点，x轴上的点C的坐标为． (1)求点A，B的坐标以及反比例函数的表达式． (2)点D在x轴上，当四边形为平行四边形时，点D的坐标为__________． 【变式题7-1】.（25-26八年级下·陕西汉中·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数（k为常数，且）的图象交于点A，，且一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D． (1)求反比例函数的解析式； (2)连结，在反比例函数图象上是否存在点，使得，若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式题7-2】.（26-27九年级上·河北邯郸·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于和两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图像，直接写出当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值． 【变式题7-3】.（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．点在直线上，反比例函数的图象过点，且与直线在第三象限相交于点，连结，． (1)求该反比例函数的表达式； (2)已知点的横坐标为，求的面积． 【题型 8】利用函数图象求解不等式 1. 核心知识点 　函数图象的位置关系；不等式解集；自变量限制 2.解题方法技巧 　1. 找两个函数交点横坐标，以交点为分界划分区间 　2. 图象在上方代表函数值更大，读取对应范围 　3. 解集必须排除，分左右两段分别写取值范围 【例题8】.（2026·江苏淮安·中考真题）如图，一次函数的图像与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图像交于点，连接． (1)求和的值． (2)求的面积． (3)当时，的取值范围是__________． 【变式题8-1】.（25-26八年级下·陕西汉中·期末）如图，反比例函数（为常数，且）的图象与正比例函数的图象相交于、两点，点在第四象限，轴． (1)求的值； (2)以、为边作菱形，求点的坐标； (3)根据图象直接写出关于的不等式的解集． 【变式题8-2】.（2026九年级上·全国·专题练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)根据图象直接写出不等式的解集． 【变式题8-3】.（2026·江苏南通·中考真题）如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，点的横坐标为1． (1)求的值． (2)观察图像，直接写出不等式的解集． 【题型 9】k几何意义之不规则阴影面积计算 1. 核心知识点 　多双曲线面积模型；割补法求面积；面积定值；平行坐标轴线段 2.解题方法技巧 　1. 不规则图形采用割、补、拆分，转化为矩形、直角三角形 　2. 两条双曲线叠加，阴影面积为与做差或求和 　3. 注意正负，面积永远为正数，必须使用绝对值 【例题9】.（26-27九年级上·北京·单元测试）如图，点、在反比例函数的图象上，当时，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点A，B；过点Q分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点C，D，交于点E．四边形的面积为S． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求S与n的函数关系式． 【变式题9-1】.（25-26九年级下·云南玉溪·开学考试）如图，、两点在双曲线上，分别经过、两点向坐标轴作垂线段，已知，则______． 【变式题9-2】.（26-27九年级上·北京东城·开学考试）如图，在反比例函数的图象上有点，，，它们的横坐标依次为，，，分别过这些点作轴与轴的垂线段．图中阴影部分的面积记为，，若，则的值为_______． 【变式题9-3】.（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，边长为8的正方形的对称中心是坐标原点O，轴，轴，反比例函数与的图象均与正方形的边相交，则图中阴影部分的面积之和为________． 【压轴素养题型】 【题型 10】新定义阅读理解题型 1. 核心知识点 　新概念定义阅读；转化为反比例基础计算；参数推理 2.解题方法技巧 　1. 完整读懂题目给出新定义，圈出限定条件 　2. 将新定义翻译成坐标、方程等熟悉数学式子 　3. 严格使用定义条件，不要凭固有经验代替题干 【例题10】.（25-26九年级上·河南商丘·期末）定义新运算：，则对于函数，下列说法正确的是（   ） A．函数图象经过点 B．函数图象位于第一、三象限 C．当时， D．当时，y随x的增大而增大 【变式题10-1】.（2026·河北沧州·一模）在平面直角坐标系中，我们定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．如图，已知双曲线经过点，记双曲线与两坐标轴之间的部分为（不含双曲线与坐标轴）． (1)求的值； (2)求内整点的个数； (3)设点在直线上，过点分别作平行于轴，轴的直线，交双曲线于点、，记线段、、双曲线所围成的区域为，若内部（不包括边界）不超过个整点，直接写出的取值范围． 【变式题10-2】.（25-26九年级上·四川成都·期中）定义：把能被一条对角线分成两个全等直角三角形的四边形叫做勾股四边形． (1)矩形______勾股四边形（填“是”或“不是”）． (2)如图在直角坐标系xOy中，直线与双曲线相交于A，B两点，其中点A在第二象限，点B在第四象限．点在x轴负半轴上，Q为直角坐标平面上一点． ①当四边形APQB是平行四边形时，请证明是勾股四边形． ②当以A、B、P、Q为顶点的四边形是勾股四边形时，请直接写出Q点的坐标． 【变式题10-3】.（25-26九年级上·安徽亳州·阶段检测）定义：在平面直角坐标系中，如果为函数图象上一点，点的纵坐标是点横坐标的2倍，我们称点为函数的“和谐点”，例如：为函数的“和谐点”．若二次函数图象的顶点为“和谐点”，则我们称这个二次函数为“和谐二次函数”．例如二次函数就是“和谐二次函数”． （1）函数的“和谐点”是______． （2）已知二次函数是“和谐二次函数”，点，，若线段与这个“和谐二次函数”的图象有且只有一个公共点时，则的取值范围是______． 【题型 11】跨学科与数学情境综合题 1. 核心知识点 　物理杠杆、压强模型；生活实际建模；数形结合 2.解题方法技巧 　1. 提取跨学科公式，识别变量之间乘积为定值关系 　2. 把物理、生活条件转化成坐标、函数条件 　3. 计算结束后回归情境检验结果合理性 【例题11】.（2026九年级上·全国·专题练习）生物实践小组搜集了某种植园温室大棚智能控制系统测试阶段时的温度变化，并绘制出大棚内的温度随时间（时）变化的图象，如图所示，点表示智能控制系统在时启动，此时大棚内的温度为，线段表示升温阶段，线段表示恒温阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段，点表示时温度降到的时刻． (1)求线段及双曲线段的函数解析式（写出自变量取值范围）； (2)求该大棚在时内，温度不低于的时长， (3)此地日出时间为，日落时间为，为保证该大棚中的植物至少有小时的光照且在此期间大棚温度不低于，小组同学决定推迟智能控制系统的启动时间，至少推迟________小时，能满足上述要求． 【变式题11-1】.（2026·河北邯郸·二模）在移动通信中，手机接收到的信号强度会随着与信号基站（如图）距离的增加而减弱．某通信实验室在郊区空旷地带对一座信号基站进行测试，发现信号强度（单位：相对值）与手机到基站距离（单位：米）的平方成反比．为便于分析，工程师引入中间变量，则与满足函数关系，其中为与基站发射功率有关的常数．测试人员在距离基站米处测得信号强度为个单位． (1)求常数k的值，并写出P关于x的函数解析式； (2)网络工程师将信号强度划分为以下等级： 信号强度 等级 优秀 良好 一般 弱覆盖 用户体验 高速上网 正常上网 可上网，速率慢 容易掉线 若测试人员从基站出发，沿直线匀速步行，速度．设出发后的时间为秒，他与基站的距离为米．当秒时，测试人员所处位置的信号强度等级是什么？请通过计算说明； (3)该基站的信号覆盖边缘定义为信号强度降至单位的位置．若该基站周围为平坦开阔地形，信号向各个方向均匀传播，求该基站的信号覆盖面积（即信号强度不低于单位的区域面积），结果保留． 【变式题11-2】.（25-26九年级下·贵州铜仁·阶段检测）如图所示是常见的手动打气筒，打气筒的充气次数与气筒内直径（对应“粗筒”“细筒”）存在关联：当充气总量（固定气量，如给一辆自行车轮胎充至标准胎压、给1个气球充至饱满）不变时，气筒内直径越大（单次充气量越大），所需充气次数越少；气筒内直径越小（单次充气量越小），所需充气次数越多某实验小组对同一固定气量的气球进行充气测试，记录了气筒内直径L（单位：）与充气次数F（单位：次）的对应数据如表所示： 气筒内直径 2 3 5 6 充气次数F/次 15 10 6 5 根据以上信息，解答下列问题： (1)若使用内直径L为的打气筒给该固定气量的气球充气，所需充气次数F为_______次； (2)在已学过的函数中选择合适的模型，求F关于L的表达式，并在已给的平面直角坐标系中画出F与L的函数图象； (3)根据函数图象，描述当时，F随L的变化规律． 【变式题11-3】.（25-26九年级上·河北·期末）嘉嘉在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔（gāo）的古代汲水工具，很感兴趣，于是设计了一个模拟实验：如图，以点O为支点，在一根竖立的支架上加上一根横杆，在横杆的点B处悬挂重物D，在横杆的点A处施加竖直向下的拉力F（N）．发现若改变点A到点O的距离l（m），再对应改变施加的竖直向下的拉力F（N）的大小，就能够使得横杆处于水平状态．实验数据记录如下： 点A到点O的距离l/m … 1 1.5 2 2.5 3 … 竖直向下的拉力F/N … 300 200 150 120 100 … (1)在如图所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的大致图象； (2)借助（1）中图象直观判断F（N）关于l（m）的函数类型，并求出函数表达式；（不写自变量的取值范围） (3)当横杆处于水平状态，施加的拉力从150N增加到600N时，求点A移动的距离． 【题型 12】反比例函数动点与存在性问题 1.核心知识点 　动点坐标表示；平行四边形、直角三角形存在条件；分类讨论；反比例上点特征 2.解题方法技巧 　1. 设双曲线上动点横坐标为，纵坐标写成 　2. 平行四边形：利用对边平行且相等或者对角线中点重合列等式 　3. 直角三角形存在：分三个顶点分别为直角顶点分类讨论 　4. 求出参数后检验点是否在对应图象分支上 【例题12】.（26-27九年级上·全国·单元复习）如图所示，在平面直角坐标系中，菱形的边轴，直线与x轴交于点B，与反比例函数图象交于点D和点E，，． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)点P为线段上的一个动点，过点P作x轴的平行线，当被这条平行线分成面积相等的两部分时，求点P的坐标． 【变式题12-1】.（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，反比例函数（k是常数）与一次函数（b是常数）的图象相交于点，． (1)分别求出反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)一次函数的图象与x轴相交于点C，点P是反比例函数图像上的动点，连接、，当的面积为6时，直接写出点P的坐标． 【变式题12-2】.（26-27九年级上·江苏·阶段检测）在平面直角坐标系中，点和点（点不与点重合，点在点的下方）都在反比例函数第一象限内的图象上． (1)延长与轴交于点． ①如图1，如果，，且平分，求的面积； ②如图2，如果点是线段的中点，直线的表达式为，直线的表达式为，求的值； (2)如图3，直线分别与轴、轴交于点、，若，是否存在点，使得？若存在求出的度数；若不存在请说明理由． 【变式题12-3】.（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点 B． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)将直线沿y轴方向平移，使平移后的直线与x轴交于点 C，且，求平移后的直线表达式； (3)在（2）中得到平移后的直线上是否存在点 P，使得的面积等于的面积？若存在，直接写出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 易错点 1. 描述增减性忽略 “在每一个象限内”，跨区间直接说随增大增大或减小。 2. 几何意义求面积忘记绝对值，由面积反求忽略图象象限导致符号出错。 3. 判断反比例函数忽略条件，参数题目漏检验系数不为 0。 4. 解不等式直接包含，忽略反比例函数不能取 0。 5. 实际应用不考虑自变量实际范围，把完整双曲线全部作为可用图象。 重点 1. 反比例函数概念、三种等价形式，双曲线图象与象限、增减性性质。 2. 的几何意义，矩形、三角形面积与互相求解。 3. 待定系数法求解析式，反比例与一次函数交点、图象解不等式。 4. 建立反比例函数模型解决实际情境问题。 5. 数形结合思想，利用坐标进行线段、面积计算。 难点 1. 几何意义的不规则阴影面积综合计算，多条双曲线叠加模型。 2. 动点、存在性问题，多情况分类讨论，设参整体代换计算。 3. 反比例结合图形变换、特殊角度几何综合，坐标与几何条件互相转化。 4. 新定义、阅读理解类创新题型，快速把陌生定义转化常规计算。 5. 反比例与一次函数综合大题，面积分割、参数推理，多条件联立求解。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列数量关系中，成反比例关系的是（     ） A．橘子的单价一定，购买橘子的数量与总价 B．圆柱的体积一定，它的底面积与高 C．学校计划种植500棵树，已植的棵数与未植的棵数 D．速度一定，路程与时间 2．如图，在平面直角坐标系中，已知点、，若反比例函数（）的图象经过的中点，则的值为（     ） A．1 B． C．3 D． 3．已知反比例函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．函数的图象在第一、三象限内，则的取值范围是________． 5．一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则，两点的坐标分别为________． 6．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，当时，的取值范围是______． 三、解答题 7．直线与反比例函数的图象交于点． (1)求，的值． (2)设点的坐标为且，过点作平行于轴的直线与直线和反比例函数的图象分别交于点，，当时，求的值． 8．如图，直线与双曲线（）相交于，两点，与轴相交于点． (1)分别求一次函数与反比例函数的解析式； (2)求点的坐标． 9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与轴、轴相交于点，，与反比例函数的图像相交于点．已知点，的坐标分别为，． (1)求一次函数、反比例函数的表达式． (2)点在反比例函数的图像上，且点与点不重合．作射线，交坐标轴于点，连接，．若，求点的坐标． 10．小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图），有一横杆固定于桔槔上点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定300N的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现与有一定的关系，记录了拉力的大小与的变化，如下表； 点与点的距离 1 1.5 2 2.5 3 拉力的大小 300 200 150 120 100 (1)根据表中的数据，猜测拉力的大小与之间满足____________函数关系（填“一次”“二次”或“反比例”）； (2)求拉力与之间的函数解析式（不要求写自变量的取值范围）； (3)已知的长为8m，小亮想用40N的拉力汲水，小星能否成功？请说明理由． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 反比例函数 知识点 1 ：反比例函数的概念 1. 一般地，形如（为常数，）的函数叫做反比例函数；等价形式：，。 2. 自变量取值范围：，函数值，是判定反比例函数的必要条件。 知识点 2 ：反比例函数的图象与基本性质 1. 图象是双曲线，由两支曲线组成，图象无限靠近坐标轴，但永远不与轴、轴相交。 2. 图象性质对比表 符号 所在象限 增减性 对称性 图例 第一、三象限 在每一个象限内，随的增大而减小 中心对称（对称中心原点）；轴对称，对称轴、 第二、四象限 在每一个象限内，随的增大而增大 中心对称（对称中心原点）；轴对称，对称轴、 知识点 3 ：待定系数法求反比例函数解析式 1. 步骤：设解析式；代入图象上一个点坐标；解出，写出完整解析式。 2. 只要知道双曲线上任意一组，即可求出；双曲线上任意点满足。 知识点 4 ：比例系数k的几何意义 1. 过双曲线上任意一点，分别向轴、轴作垂线，围成矩形面积。 2. 过双曲线上任意一点向一条坐标轴作垂线，连接原点，得到三角形面积；面积恒为非负数，必须带绝对值。 知识点 5 ：反比例函数与一次函数综合基础 1. 求交点：联立两个函数解析式，解方程组得到交点坐标；两个交点关于原点中心对称。 2. 利用函数图象解不等式：观察图象，比较同一位置上两条曲线的上下位置，写出取值范围，注意排除。 知识点 6 ：反比例函数的实际应用 1. 现实中两个量乘积为定值，可建立反比例函数模型；如杠杆原理、压强体积、眼镜度数与焦距。 2. 实际情境自变量一般取正数，函数图象只取双曲线其中一支，解要符合实际意义。 【基础必考题型】 【题型 1】反比例函数的概念与参数辨析 1.核心知识点 　反比例函数三种等价形式；限制条件；自变量取值范围；参数求解 2.解题方法技巧 　1. 判断反比例函数优先化成或形式，必须检验 　2. 参数题目：指数满足，同时系数不等于 0，两个条件同时满足 　3. 注意代表，自变量不能等于 0 【例题1】.（26-27九年级上·全国·周测）已知是关于x的反比例函数，求的值． 【答案】 【分析】根据反比例函数的定义：形如（k为常数，）的函数称为反比例函数，得到，求出m，然后代入求解即可． 【详解】解：∵是关于x的反比例函数， ∴， 解得， 则． 【变式题1-1】.（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的定义，一般地，形如（k为常数，）的函数叫做反比例函数． 根据反比例函数的定义判断即可． 【详解】解：根据反比例函数的定义可知是反比例函数， 故选：B． 【变式题1-2】.（25-26九年级上·湖南湘潭·期末）下列各式中，是的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，一般地，形如或（其中k为常数，且）的函数叫做反比例函数，据此可得答案． 【详解】解：由反比例函数的定义可知，四个选项中，只有B选项中的式子中是的反比例函数， 故选：B． 【变式题1-3】.（25-26九年级上·北京·课后作业）若函数是反比例函数，则（　　） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】此题主要考查了反比例函数定义，关键是掌握反比例函数形式为y（k为常数，）或（k为常数，）． 利用反比例函数定义进行解答即可． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：， 故选：C． 【题型 2】反比例函数图象象限与性质判断 1. 核心知识点 　双曲线图象特征；符号与象限对应关系；每个象限内增减性；图象不与坐标轴相交 2.解题方法技巧 　1. 根据正负直接判断所在象限，一、三象限，二、四象限 　2. 比较函数值大小：点不在同一象限时直接利用正负判断；同一象限才可用增减性 　3. 增减性描述必须带上 “在每一个象限内”，不能跨象限笼统说增减 【例题2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）对于反比例函数，下列说法中错误的是（     ）． A．图象分布在第一、三象限 B．随的增大而减小 C．图象与坐标轴无交点 D．若点在它的图象上，则点也在它的图象上 【答案】B 【分析】根据反比例函数的图象和性质，逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴函数的图象分布在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小， ∴A选项正确，不符合题意；B选项缺乏前提条件，错误，符合题意； ∵，， ∴图象与坐标轴无交点， ∴C选项正确，不符合题意； ∵若点在图象上， ∴，即， ∴点也在图象上， ∴D选项正确，不符合题意． 【变式题2-1】.（25-26九年级上·广西北海·期中）对于反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．图象经过点 B．图象位于第二、四象限 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【分析】根据反比例函数的性质，由于比例系数，图象位于第一、三象限，且在每一象限内，y 随 x 的增大而减小，解答即可。 本题考查了反比例函数的性质，图象的分布，熟练掌握图象的分布和性质是解题的关键。 【详解】解：∵ 当时，， ∴ A错误； ∵ ， ∴ 图象位于第一、三象限，不在第二、四象限， ∴ B错误； ∵ 当 时，函数处于第三象限，且， ∴ y 随x的增大而减小， ∴ C正确； ∵ 当时，函数处于第一象限，且， ∴ y 随 x 的增大而减小，不是增大， ∴ D错误。 故答案为：C。 【变式题2-2】.（24-25九年级上·全国·随堂练习）反比例函数的大致图像是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，根据解析式判定图象经过的象限即可． 【详解】解：反比例函数中，， ∴反比例函数图象经过第一、三象限， 故选：A ． 【变式题2-3】.（25-26八年级下·陕西汉中·期末）已知反比例函数（为常数）的图象，在每个象限内，随的增大而增大，则的取值范围是_______________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的增减性确定比例系数的范围，列不等式求解即可． 【详解】解：∵ 反比例函数的图象在每个象限内，随的增大而增大， ∴ 比例系数， ∴ 解得． 【题型 3】待定系数法求反比例函数解析式 1. 核心知识点 　待定系数法；由几何条件间接求点坐标；的计算 2.解题方法技巧 　1. 设，代入已知点一组横纵坐标，直接求 　2. 几何题目先利用图形性质求出点坐标，再代入求解析式 　3. 求出后回代检验，验证点是否满足函数 【例题3】.（2026九年级上·全国·专题练习）已知与成反比例，且当时，，则关于的函数解析式为________． 【答案】/ 【分析】由与成反比例，设函数解析式为，将时，代入求出，即可得出答案． 【详解】设， 将，代入： ， ， ， ． 【变式题3-1】.（2026九年级上·全国·专题练习）已知是的反比例函数，当时，． (1)求关于的函数关系式； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）设反比例函数为（），将x、y的对应值代入求出k的值即可； （2）将代入（1）的解析式即可求出的值． 【详解】（1）解：设反比例函数为（）， 将，代入，得， 解得， ∴关于的函数关系式为； （2）解：将代入中，得， ∴当时，． 【变式题3-2】.（2026九年级上·全国·专题练习）已知反比例函数的图象经过点． (1)求的值； (2)写出关于的函数解析式； (3)当时，求的值． 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】（1）根据得，把点代入求解即可； （2）把代入原来的解析式即可； （3）把代入，求解即可． 【详解】（1）解：根据得， 将点代入，得， 解得． （2）解：将代入，得． （3）解：将代入得，． 【变式题3-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知点是反比例函数图象上一点． (1)求该反比例函数的解析式； (2)点是否在这个函数的图象上? 【答案】(1) (2)点在这个函数的图象上，点不在这个函数的图象上 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）把点B和点C的横坐标代入对应的解析式中，求出y的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设该反比例函数的解析式为， ∵点是该反比例函数图象上一点， ∴， ∴， ∴该反比例函数的解析式为； （2）解：在中，当时，， 当时，， ∴点在这个函数的图象上，点不在这个函数的图象上． 【题型 4】k的简单几何意义（矩形、三角形面积） 1. 核心知识点 　几何意义；矩形面积；三角形面积；面积与互相求 2.解题方法技巧 　1. 作坐标轴垂线构造矩形、直角三角形，牢记面积带绝对值 　2. 已知面积求，需要结合图象所在象限确定正负 　3. 平行坐标轴线段，直接利用横纵坐标的差求线段长 【例题4】.（24-25八年级下·四川巴中·期中）如图，点P是双曲线上的一个动点，过点P作轴于点A，当点P从左向右移动时，的面积（    ） A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．先增大后减小 D．保持不变 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数k的几何意义．根据反比例函数k的几何意义求解即可． 【详解】解：设点P的坐标为， 则的面积为：， 即的面积保持不变， 故选：D． 【变式题4-1】.（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数是常数，与反比例函数的图象相交于、两点，轴于点，则的面积为（     ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】设点A坐标为，根据反比例函数图象的中心对称性质得点B坐标为，再根据计算即可． 【详解】解：设点A坐标为， ∵点A与点B关于原点对称， ∴点B坐标为， ∴， 即的面积为1． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图，点在反比例函数（）的图象上，点是上一点，作轴于点，连接．若，的面积为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据和同高，求出的面积，再根据反比例函数系数的几何意义求出的值，最后结合反比例函数图象在第二象限求解即可． 【详解】点在上，， 和同高， ， 的面积为， ， 轴， ， 解得， 点所在的反比例函数图象在第二象限， ， ． 【变式题4-3】.（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在矩形中，点、在轴上，点、分别在反比例函数和上，若矩形的面积为6，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与轴交于点，根据反比例函数的几何意义可知，矩形的面积为，矩形的面积为，由矩形的面积为6建立方程求解即可． 【详解】解：如图，设与轴交于点， 四边形是矩形，点、在轴上， 轴，轴，轴， 四边形和四边形均为矩形． 点在反比例函数的图象上， ． 点在反比例函数的图象上，且图象在第一象限， ， ． ， ， ． 【题型 5】反比例函数实际情境基础应用 1. 核心知识点 　反比例实际建模；乘积为定值模型；实际自变量取值限制 2.解题方法技巧 　1. 读懂情境，识别两个变量乘积固定，建立模型 　2. 实际问题自变量一般大于 0，图象只取第一象限分支 　3. 求出结果后检验，舍去不符合现实意义的解 【例题5】.（25-26八年级下·河南南阳·期末）为方便携带，人们在户外运动时常使用真空压缩袋压缩衣物以减小体积．同一件羽绒服的质量（单位：）不变，其体积（单位：）与密度（单位：）成反比例函数关系，如图所示．当压缩后密度是时，其体积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用待定系数法可求出，再求出时，V的值即可得到答案． 【详解】解：设， 由题意得，， ∴， ∴， 当时，， ∴当压缩后密度是时，其体积是． 【变式题5-1】.（2026·江西上饶·一模）如图甲，根据杠杆原理，我们知道当杠杆水平平衡时，弹簧测力计的示数（单位：）与弹簧测力计与支点的距离（单位：）成反比例函数关系．已知它们之间的函数关系如图乙所示，那么当为时，弹簧测力计与支点的距离为______． 【答案】 【分析】先根据题意确定弹簧测力计关于的函数解析式，再根据反比例函数上点的坐标特征，即可求解． 【详解】解：根据题意设反比例函数的解析式为， 根据图乙可得，反比例函数的图象经过点， 把代入求得， ∴反比例函数的解析式为， 当时，代入得， 解得． 【变式题5-2】.（2026·吉林·一模）如图，为某公园“水上滑梯”的侧面图，其中段可看成是一段双曲线，建立如图的坐标系后，其中，矩形为向上攀爬的梯子，米，进口，且米，出口C点距水面的距离为． (1)求段滑梯所在双曲线的解析式； (2)若为米，求B，C之间的水平距离的长度． 【答案】(1) (2)6米 【分析】（1）根据矩形的性质得到点，设段滑梯所在双曲线的解析式为，再利用待定系数法求解即可； （2）根据题意得到点C的纵坐标为，代入（1）中双曲线的解析式，求解出点C的横坐标，得到的长，利用即可解答． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 设段滑梯所在双曲线的解析式为， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴点C的纵坐标为， 当时，，解得：， ∴点C的横坐标为8，即， ∴米． 答：B，C之间的水平距离的长度为6米． 【变式题5-3】.（2026·广东清远·中考真题）在环境科学领域的一定条件下，某污染区域的净化时间（单位：小时）与净化设备的功率（单位：千瓦）存在着某种函数关系，部分对应值如表所示： 净化设备的功率（千瓦） ．．． 90 60 45 36 ．．． 净化时间t（小时） ．．． 2 3 4 5 ．．． (1)请根据表中给出的数据，求与之间的函数关系式． (2)若要求净化时间不超过10小时，则净化设备的功率至少需要多少千瓦？ 【答案】(1) (2)18千瓦 【分析】（1）由表格中的数据可知，，据此可得答案； （2）求出时P的值，再结合反比例函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：由表格中的数据可知，， ∴； （2）解：在中，当时，， ∵， ∴t随P的增大而减小， ∴当时，， 答：若要求净化时间不超过10小时，则净化设备的功率至少需要18千瓦． 【培优高频题型】 【题型 6】同一坐标系两类函数图象辨析 1. 核心知识点 　一次函数符号；反比例符号；同一个题目参数保持一致 2.解题方法技巧 　1. 先看其中一个函数图象，判断参数正负 　2. 将得到参数符号代入另外一个函数，检验是否匹配 　3. 排除互相矛盾参数组合的选项 【例题6】.（24-25九年级上·全国·期末）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的图象，解题的关键是能够分类讨论，难度不大． 根据反比例函数和一次函数的图象，逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴一次函数的图象与y轴交于正半轴， 则A、D选项不符合题意； 当时，一次函数的图象经过第一、二、三象限，函数的图象位于第一、三象限，则B选项符合题意；C选项不符合题意； 当时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，函数的图象位于第二、四象限，均不符合题意； 故选：B 【变式题6-1】.（24-25八年级下·重庆·期中）在同一平面直角坐标系中，函数和（，是常数）的图像大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数图象的总和判断，分别求出和时，一次函数和反比例函数图象经过的象限即可得到答案． 【详解】解：当时，反比例函数的图象经过第一、三象限，一次函数的图象经过第一、二、三象限， 当时，反比例函数的图象经过第二、四象限，一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴四个选项中，只有A选项中的函数图象符合题意， 故选：A． 【变式题6-2】.（24-25九年级上·湖南张家界·期中）如图，关于x的函数和，它们在同一坐标系内的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想和数形结合的思想解答． 根据题意和函数图象的特点，利用分类讨论的数学思想可以解答本题． 【详解】解：当时，函数的图象在第一、三、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限， 故选项B正确，选项C错误； 当时，函数的图象在第一、二、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限，故选项A，D错误； 故选：B． 【变式题6-3】.（24-25九年级上·安徽合肥·期中）二次函数（a，b，c是常数）的图象如图，则双曲线和直线的位置可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数、一次函数、反比例函数的图象与性质，由二次函数的图象可得，，据此判断一次函数和反比例函数的图象即可． 【详解】解：当时，， ∴双曲线过二、四象限，排除选项B、C， 直线中的，排除选项D， 选项A符合以上推理出来的条件． 故选：A． 【题型 7】反比例函数与一次函数交点综合 1. 核心知识点 　函数交点意义；联立方程组求交点；交点关于原点对称；与坐标轴交点坐标 2.解题方法技巧 　1. 联立解析式，解方程组得到交点横、纵坐标 　2. 正比例与反比例两个交点关于原点对称，知一点直接写出另一点 　3. 求图形面积常分割成以坐标轴为底的三角形，用坐标计算线段长 【例题7】.（2026·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正比例函数与反比例函数的图像交于，B两点，x轴上的点C的坐标为． (1)求点A，B的坐标以及反比例函数的表达式． (2)点D在x轴上，当四边形为平行四边形时，点D的坐标为__________． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为 ，反比例函数的表达式为 (2) 【分析】（1）将点 的横坐标代入正比例函数求出，从而得到点的坐标．利用对称性求出点的坐标，再将点坐标代入反比例函数求出 ． （2） 利用平行四边形的对角线互相平分的性质，结合点的坐标，推导出点的坐标即可． 【详解】（1）解：点在正比例函数的图象上， ， 点的坐标为， 正比例函数与反比例函数的图象交于 两点， 点与点关于原点对称， 点的坐标为 ， 将点 代入反比例函数 ， 可得，解得， 反比例函数的表达式为． （2）解：∵点，点，点， 点在轴上，设点的坐标为 ． 线段的中点坐标为，即， 线段的中点坐标为，即， 当四边形为平行四边形时， 可得，，解得， 点D的坐标为． 【变式题7-1】.（25-26八年级下·陕西汉中·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数（k为常数，且）的图象交于点A，，且一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D． (1)求反比例函数的解析式； (2)连结，在反比例函数图象上是否存在点，使得，若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，坐标为或 【分析】（1）首先将点代入一次函数中，得到点B坐标，然后将点B代入反比例函数中，求出k的值，即可得到反比例函数解析式． （2）首先求一次函数与坐标轴的交点，得到点C、D坐标，求出、的长，结合点B坐标即可求出的面积，从而根据面积倍数关系得到；以为底，高为点P纵坐标绝对值，根据面积公式即可反推出；再结合点P在反比例函数上得出点P横坐标即可． 【详解】（1）解：∵是一次函数的图象与反比例函数的图象交点， ∴将代入一次函数得，即， ∴将代入反比例函数得，解得， ∴反比例函数解析式为． （2）∵一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D， ∴令，得，即点，；令，得，即点，． ∵，即B到y轴距离为1， ∴， ∴． 设点在反比例函数图象上，以为底，则高为， ∴，即或． 当时，由得，此时；当时，由得，此时． 故存在满足条件的点P，坐标为或． 【变式题7-2】.（26-27九年级上·河北邯郸·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于和两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图像，直接写出当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）先根据求出反比例函数解析式，再据此求出B点坐标，再根据A、B两点坐标求出一次函数解析式即可作答； （2）问题转换为求不等式的解集，即：一次函数的图象在反比例函数图象的上方时，自变量x的取值范围，结合A、B两点坐标以及函数图象即可作答． 【详解】（1）解：∵反比例函数过， ，解析式为． 在上， ，即． 将、代入：， 解得， ∴一次函数解析式为． （2）由图像可知，当或时，一次函数值大于反比例函数值． 【变式题7-3】.（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．点在直线上，反比例函数的图象过点，且与直线在第三象限相交于点，连结，． (1)求该反比例函数的表达式； (2)已知点的横坐标为，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出，再利用待定系数法计算即可得出结果； （2）先求出，，再结合，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：将点代入一次函数得， ∴， ∴， 将代入反比例函数得， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：∵点的横坐标为， ∴在时，当时，， ∴， 在中，当时，， 解得， ∴， ∴， ∴ ． 【题型 8】利用函数图象求解不等式 1. 核心知识点 　函数图象的位置关系；不等式解集；自变量限制 2.解题方法技巧 　1. 找两个函数交点横坐标，以交点为分界划分区间 　2. 图象在上方代表函数值更大，读取对应范围 　3. 解集必须排除，分左右两段分别写取值范围 【例题8】.（2026·江苏淮安·中考真题）如图，一次函数的图像与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图像交于点，连接． (1)求和的值． (2)求的面积． (3)当时，的取值范围是__________． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法即可求得和的值． （2）先将代入中，求得点坐标为，，结合即可求得的面积． （3）根据图象和点的坐标即可求得的取值范围． 【详解】（1）解：将代入中，即， ∴， 将代入中，即， 解得：． （2）解：将代入中，即， 解得：， ∴点坐标为， ∴， 又∵， ∴的高为， ∴． （3）解：由上可得， ∵，　　 故结合图象可得当时，的取值范围是． 【变式题8-1】.（25-26八年级下·陕西汉中·期末）如图，反比例函数（为常数，且）的图象与正比例函数的图象相交于、两点，点在第四象限，轴． (1)求的值； (2)以、为边作菱形，求点的坐标； (3)根据图象直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3)关于的不等式的解集为或 【分析】（1）根据正比例函数的图象经过得到，把代入即可得到的值； （2）把正比例函数和反比例函数解析式联立得到，求出，根据四边形是菱形得到 ，由轴得到轴，即可求出点的坐标； （3）根据反比例函数（为常数，且）的图象与正比例函数的图象相交于、两点，根据两个图象的位置即可求出答案． 【详解】（1）解：∵正比例函数的图象经过 ∴， ∴， 把代入得到，解得； （2）解：由（1）得到， 与联立得到， 解得或， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴ ， ∵轴． ∴轴， ∵， ∴点的坐标为； （3）解：∵反比例函数（为常数，且）的图象与正比例函数的图象相交于、两点， ∴当或时，正比例函数的图象在反比例函数的图象的上方， ∴关于的不等式的解集为或． 【变式题8-2】.（2026九年级上·全国·专题练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1)反比例函数的解析式；一次函数的解析式 (2)2.5 (3)或 【分析】（1）先把点A的坐标代入反比例函数解析式，可得到，把点B的坐标代入反比例函数解析式，求出，再用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）求出直线与y轴交点C的坐标，利用，确定底和高后计算即可； （3）找出一次函数在反比例函数上方的部分，再确定这部分对应的的取值范围即可． 【详解】（1）解：将代入： ， ∴， ∴反比例函数为， 将代入： ， ∴， ∴， 将，代入： ， 解得：， ∴一次函数为； （2）解：已知，，， 一次函数与轴交于点， ∴； （3）解：从图象可知，一次函数在反比例函数上方的部分为：当或时 ∴不等式的解集为或． 【变式题8-3】.（2026·江苏南通·中考真题）如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，点的横坐标为1． (1)求的值． (2)观察图像，直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求得点的坐标，把点的坐标代入正比例函数解析式即可求得； （2）先根据两个函数的对称性得到点的坐标，再根据图像，找出正比例函数图像在反比例函数图像上方的点的横坐标的取值范围即可． 【详解】（1）解：当时，， ， 把代入， 可得； （2）解：正比例函数的图像与反比例函数的图像交于，两点， 关于原点对称， ， 根据图像，可得的解集为或． 【题型 9】k几何意义之不规则阴影面积计算 1. 核心知识点 　多双曲线面积模型；割补法求面积；面积定值；平行坐标轴线段 2.解题方法技巧 　1. 不规则图形采用割、补、拆分，转化为矩形、直角三角形 　2. 两条双曲线叠加，阴影面积为与做差或求和 　3. 注意正负，面积永远为正数，必须使用绝对值 【例题9】.（26-27九年级上·北京·单元测试）如图，点、在反比例函数的图象上，当时，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点A，B；过点Q分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点C，D，交于点E．四边形的面积为S． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求S与n的函数关系式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先根据反比例函数的性质得到，，，再证明四边形是矩形，利用矩形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵点，在反比例函数图象上，， ，，，． ∵，垂直于y轴，，垂直于x轴， ∴四边形是矩形， ， ∴S与n的函数关系式为． 【变式题9-1】.（25-26九年级下·云南玉溪·开学考试）如图，、两点在双曲线上，分别经过、两点向坐标轴作垂线段，已知，则______． 【答案】 【分析】根据反比例函数 ，求出与阴影面积的和，与阴影面积的和，再结合阴影面积求出、，最后计算的值． 【详解】解：，且， ，， ，， ． 【变式题9-2】.（26-27九年级上·北京东城·开学考试）如图，在反比例函数的图象上有点，，，它们的横坐标依次为，，，分别过这些点作轴与轴的垂线段．图中阴影部分的面积记为，，若，则的值为_______． 【答案】 4 【分析】 将横坐标代入到反比例函数中，得出纵坐标的值；数形结合，利用的面积求出k的值，从而得出的值． 【详解】 解：由题意可知：，，， ， ， ， ． 【变式题9-3】.（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，边长为8的正方形的对称中心是坐标原点O，轴，轴，反比例函数与的图象均与正方形的边相交，则图中阴影部分的面积之和为________． 【答案】32 【分析】根据题意，观察图形可得图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，而正方形面积为64，由此可以求出阴影部分的面积． 【详解】解：∵正方形的对称中心是坐标原点，轴，轴， ∴正方形的面积， 根据题意：观察图形可得，图中以B、D为顶点的小阴影部分，绕点O顺时针旋转，正好和以A、C为顶点的小空白部分重合， ∴阴影的面积是图中正方形面积的一半， ∴阴影部分的面积． 【压轴素养题型】 【题型 10】新定义阅读理解题型 1. 核心知识点 　新概念定义阅读；转化为反比例基础计算；参数推理 2.解题方法技巧 　1. 完整读懂题目给出新定义，圈出限定条件 　2. 将新定义翻译成坐标、方程等熟悉数学式子 　3. 严格使用定义条件，不要凭固有经验代替题干 【例题10】.（25-26九年级上·河南商丘·期末）定义新运算：，则对于函数，下列说法正确的是（   ） A．函数图象经过点 B．函数图象位于第一、三象限 C．当时， D．当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质； 根据新运算定义得出函数表达式，再利用反比例函数的性质逐一分析选项即可． 【详解】解：∵定义新运算 ∴， 对于A选项：将代入，得，故函数图象不经过点，A错误； 对于B选项：∵， ∴反比例函数的图象位于第二、四象限，B错误； 对于C选项：当时，为负数，为正数，且从增大到时，从1增大到4，即，C错误； 对于D选项：∵， ∴当时，随的增大而增大，D正确； 故选：D． 【变式题10-1】.（2026·河北沧州·一模）在平面直角坐标系中，我们定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．如图，已知双曲线经过点，记双曲线与两坐标轴之间的部分为（不含双曲线与坐标轴）． (1)求的值； (2)求内整点的个数； (3)设点在直线上，过点分别作平行于轴，轴的直线，交双曲线于点、，记线段、、双曲线所围成的区域为，若内部（不包括边界）不超过个整点，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了反比例函数综合应用，一次函数的性质； （1）利用待定系数法即可求解； （2）将内，，，分别代入双曲线，即可求出整点； （3）根据的情况进行分类讨论，根据函数图像可得，当时，刚好个整点，进而求得临界值即可求解． 【详解】（1）解：∵经过点， ∴， ∴， （2）解：对于双曲线 ， 当时，， 在直线上，当时，有整点个， 当时，， 在直线上，当时，有整点个， 当时，， 在直线上，当时，有整点2个， 当时，， 在直线上，当时，有整点2个， 当时，， 在直线上，当时，有整点1个， 当时，， 在直线上，当时，有整点1个， 当时，， 在直线上，当时，有整点1个， 当时，， 在直线上，当时，有整点1个， 当时，， 在直线上，当时，没有整点， ∴内整点的个数为个． （3）解：如图，当时，区域内至少有个整点， 当时，， 解得： 内部（不包括边界）不超过个整点，． 【变式题10-2】.（25-26九年级上·四川成都·期中）定义：把能被一条对角线分成两个全等直角三角形的四边形叫做勾股四边形． (1)矩形______勾股四边形（填“是”或“不是”）． (2)如图在直角坐标系xOy中，直线与双曲线相交于A，B两点，其中点A在第二象限，点B在第四象限．点在x轴负半轴上，Q为直角坐标平面上一点． ①当四边形APQB是平行四边形时，请证明是勾股四边形． ②当以A、B、P、Q为顶点的四边形是勾股四边形时，请直接写出Q点的坐标． 【答案】(1)是 (2)①直线与双曲线相交于A，B两点， 联立，解得：，， 当时，；当时，， 点A在第二象限，点B在第四象限， 点A的坐标为，点B的坐标为； ，，， ，，， ， ， 四边形是平行四边形， ，，， ， 在和中， ， ， 四边形是勾股四边形； ②或或或 【分析】（1）根据矩形的性质证明全等三角形，即可得到答案； （2）①联立直线与双曲线，求出和的值，即可得到求出A、B两点的坐标；先利用勾股定理的逆定理，得到，再利用平行四边形的性质，证明，进而即可证明结论； ②设点Q的坐标为，分情况讨论：①当时，利用全等三角形的性质和平移的性质，即可求得点的坐标；②当时，利用全等三角形的性质和平移的性质，即可求得点的坐标；③当时， 设直线与轴交于点C，过点A作轴于点E，作轴，过点Q作于点F，先证明是等腰直角三角形，再证明，得到，，即可即可求得点的坐标；④当时，利用全等三角形的性质和平移的性质，即可求得点的坐标． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ，，， 在和中， ， ， 矩形是勾股四边形， 故答案为：是； （2）证明：① 略 ②解：由（2）可知，，，， 设点Q的坐标为， ①如图，当时，   ，， ，解得：， ； ②如图，当时，   ，， ，解得：， ； ③如图，当时， 设直线与轴交于点C，过点A作轴于点E，作轴，过点Q作于点F，则，     ，， 直线， 令，则，解得：， ， ，轴， ， ，，， 是等腰直角三角形， ， 轴， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，解得：， ， ④如图，当时，   ，， ，解：， ， 综上所述，平面内还存在点Q，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形是勾股四边形，Q点的坐标为或或或． 【点睛】本题是反函数综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，反比例函数与一次函数交点问题，勾股定理，平移的性质等知识，运用数形结合的思想和分类讨论的思想解决问题是解题关键． 【变式题10-3】.（25-26九年级上·安徽亳州·阶段检测）定义：在平面直角坐标系中，如果为函数图象上一点，点的纵坐标是点横坐标的2倍，我们称点为函数的“和谐点”，例如：为函数的“和谐点”．若二次函数图象的顶点为“和谐点”，则我们称这个二次函数为“和谐二次函数”．例如二次函数就是“和谐二次函数”． （1）函数的“和谐点”是______． （2）已知二次函数是“和谐二次函数”，点，，若线段与这个“和谐二次函数”的图象有且只有一个公共点时，则的取值范围是______． 【答案】 或 或 【分析】本题考查二次函数，反比例函数，根据反比例函数图象上的点，二次函数图象上点的坐标特点的特征结合新定义，利用数形结合和分类讨论思想逐一进行判断即可． 【详解】解：设函数的“和谐点”坐标为， 根据“和谐点”定义，， 又， 所以， 解得或， 当时，； 当时，， 所以，函数的“和谐点”坐标为或； （2）二次函数，其顶点坐标为， 因为该二次函数是“和谐二次函数”，所以顶点是“和谐点”，即， 解得， 所以二次函数的表达式为 对于二次函数，其对称轴为直线， 当时，； 当时，， 因为线段与这个“和谐二次函数”的图象有且只有一个公共点，所以有两种情况：如图， ①当时，点Q在二次函数图象上，此时线段与二次函数图象有两个公共点，； 当时，点P在二次函数图象上，此时线段与二次函数图象有且只有一个公共点． 所以，当时，线段与二次函数图象有且只有一个公共点． ②当时，线段与二次函数图象有且只有一个公共点． 综上，线段与二次函数图象有且只有一个公共点满足的条件是或． 故答案为：或；或 【题型 11】跨学科与数学情境综合题 1. 核心知识点 　物理杠杆、压强模型；生活实际建模；数形结合 2.解题方法技巧 　1. 提取跨学科公式，识别变量之间乘积为定值关系 　2. 把物理、生活条件转化成坐标、函数条件 　3. 计算结束后回归情境检验结果合理性 【例题11】.（2026九年级上·全国·专题练习）生物实践小组搜集了某种植园温室大棚智能控制系统测试阶段时的温度变化，并绘制出大棚内的温度随时间（时）变化的图象，如图所示，点表示智能控制系统在时启动，此时大棚内的温度为，线段表示升温阶段，线段表示恒温阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段，点表示时温度降到的时刻． (1)求线段及双曲线段的函数解析式（写出自变量取值范围）； (2)求该大棚在时内，温度不低于的时长， (3)此地日出时间为，日落时间为，为保证该大棚中的植物至少有小时的光照且在此期间大棚温度不低于，小组同学决定推迟智能控制系统的启动时间，至少推迟________小时，能满足上述要求． 【答案】(1)， (2)小时 (3) 【分析】（）利用待定系数法求出函数的解析式，再根据题意求出自变量取值范围即可； （）分别求出段和段温度为的时刻，再相减即可； （）求出温度不低于的时间，进而即可求解． 【详解】（1）解：设线段所在直线的解析式为， 将和代入，得， 解得， ∴线段的函数解析式为， 设双曲线的函数解析式为， 将代入，得， ∴， 当时，， ， 段的函数解析式为； （2）解：令， 解得， 段温度为 时刻为时， 令， 解得， ∴段温度为 的时刻为时， ∵（小时）， ∴大棚在时内，温度不低于 的时长为小时； （3）解：由题意知，日出时间为时，大棚气温是，符合要求， 由（）得，时后，大棚气温低于 ， ∴符合要求的时间只有（小时）， ∴至少需要推迟（小时）． 【变式题11-1】.（2026·河北邯郸·二模）在移动通信中，手机接收到的信号强度会随着与信号基站（如图）距离的增加而减弱．某通信实验室在郊区空旷地带对一座信号基站进行测试，发现信号强度（单位：相对值）与手机到基站距离（单位：米）的平方成反比．为便于分析，工程师引入中间变量，则与满足函数关系，其中为与基站发射功率有关的常数．测试人员在距离基站米处测得信号强度为个单位． (1)求常数k的值，并写出P关于x的函数解析式； (2)网络工程师将信号强度划分为以下等级： 信号强度 等级 优秀 良好 一般 弱覆盖 用户体验 高速上网 正常上网 可上网，速率慢 容易掉线 若测试人员从基站出发，沿直线匀速步行，速度．设出发后的时间为秒，他与基站的距离为米．当秒时，测试人员所处位置的信号强度等级是什么？请通过计算说明； (3)该基站的信号覆盖边缘定义为信号强度降至单位的位置．若该基站周围为平坦开阔地形，信号向各个方向均匀传播，求该基站的信号覆盖面积（即信号强度不低于单位的区域面积），结果保留． 【答案】(1)， (2)等级为良好，理由 解：当时，，， ∴． ∵， ∴测试人员所处位置的信号强度等级为良好． (3)（平方米） 【分析】（1）将，，代入解析式，待定系数法求解析式，即可求解； （2）将，，代入得出，求得，的值，即可求解； （3）令，得出的值，进而求得，再根据圆的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：∵测试人员在距离基站米处测得信号强度为个单位． ∴ ，， ∴ ， ∴P关于x的函数解析式为． （2）略 （3）解：令，则，解得， ∴， 覆盖面积：（平方米）． 【变式题11-2】.（25-26九年级下·贵州铜仁·阶段检测）如图所示是常见的手动打气筒，打气筒的充气次数与气筒内直径（对应“粗筒”“细筒”）存在关联：当充气总量（固定气量，如给一辆自行车轮胎充至标准胎压、给1个气球充至饱满）不变时，气筒内直径越大（单次充气量越大），所需充气次数越少；气筒内直径越小（单次充气量越小），所需充气次数越多某实验小组对同一固定气量的气球进行充气测试，记录了气筒内直径L（单位：）与充气次数F（单位：次）的对应数据如表所示： 气筒内直径 2 3 5 6 充气次数F/次 15 10 6 5 根据以上信息，解答下列问题： (1)若使用内直径L为的打气筒给该固定气量的气球充气，所需充气次数F为_______次； (2)在已学过的函数中选择合适的模型，求F关于L的表达式，并在已给的平面直角坐标系中画出F与L的函数图象； (3)根据函数图象，描述当时，F随L的变化规律． 【答案】(1)20 (2)， 在已给的平面直角坐标系中画出F与L的函数图象如答图所示． (3)当时，F随L的增大而减小 【分析】（1）求出F关于L的表达式，将代入计算即可； （2）由（1）知表达式为，根据表格数据画图即可； （3）根据函数图象作答即可． 【详解】（1）解：由题中数据知，且L与F的乘积恒为30， ∴F关于L的函数是反比例函数，表达式为， 当时，次； （2）略 （3）解：根据函数图象可知，当时，F随L的增大而减小． 【变式题11-3】.（25-26九年级上·河北·期末）嘉嘉在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔（gāo）的古代汲水工具，很感兴趣，于是设计了一个模拟实验：如图，以点O为支点，在一根竖立的支架上加上一根横杆，在横杆的点B处悬挂重物D，在横杆的点A处施加竖直向下的拉力F（N）．发现若改变点A到点O的距离l（m），再对应改变施加的竖直向下的拉力F（N）的大小，就能够使得横杆处于水平状态．实验数据记录如下： 点A到点O的距离l/m … 1 1.5 2 2.5 3 … 竖直向下的拉力F/N … 300 200 150 120 100 … (1)在如图所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的大致图象； (2)借助（1）中图象直观判断F（N）关于l（m）的函数类型，并求出函数表达式；（不写自变量的取值范围） (3)当横杆处于水平状态，施加的拉力从150N增加到600N时，求点A移动的距离． 【答案】(1) 解：根据表格，可得函数图象如图所示： ； (2) (3) 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． （1）将表格中的数值在平面直角坐标系中描出各点，将所描出的点用平滑的曲线连接起来就得到这个函数的图象； （2）根据反比例函数的性质即可得到答案； （3）先将拉力和分别代入反比例函数表达式，求出对应的值，再计算两个值的差，即可得到点移动的距离． 【详解】（1）略 （2）解：根据图象可得是的反比例函数， 设反比例函数解析式为， 把代入可得， 所以解析式为， （3）当时，代入得 ， 解得． 当时，代入， ， 解得． ∴移动距离为． 【题型 12】反比例函数动点与存在性问题 1.核心知识点 　动点坐标表示；平行四边形、直角三角形存在条件；分类讨论；反比例上点特征 2.解题方法技巧 　1. 设双曲线上动点横坐标为，纵坐标写成 　2. 平行四边形：利用对边平行且相等或者对角线中点重合列等式 　3. 直角三角形存在：分三个顶点分别为直角顶点分类讨论 　4. 求出参数后检验点是否在对应图象分支上 【例题12】.（26-27九年级上·全国·单元复习）如图所示，在平面直角坐标系中，菱形的边轴，直线与x轴交于点B，与反比例函数图象交于点D和点E，，． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)点P为线段上的一个动点，过点P作x轴的平行线，当被这条平行线分成面积相等的两部分时，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据题意分别确定点，点的坐标，用待定系数法即可求反比例函数和一次函数的解析式； （2）过点P作x轴的平行线交于Q，先确定直线的关系式，设，则，分别求出和的面积，根据题意列方程解答即可． 【详解】（1）解：，， 在中，，， 把代入，得， ， 一次函数的解析式为． 四边形是菱形， ． 轴， ， 把代入反比例函数， 得， 反比例函数的解析式为； （2）解：将联立，解得或， ． 过点P作x轴的平行线交于Q， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 解得 直线的解析式为， 设，则， ， ， 由题意， ， 解得， 点P为线段上的一个动点， ， 不合题意（舍去）， ， ． 【变式题12-1】.（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，反比例函数（k是常数）与一次函数（b是常数）的图象相交于点，． (1)分别求出反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)一次函数的图象与x轴相交于点C，点P是反比例函数图像上的动点，连接、，当的面积为6时，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为； (2)或； (3)或. 【分析】（1）把代入和解方程即可得到结论； （2）把代入得，，得到，于是得到不等式的解集； （3）设，先求出点C的坐标，然后根据三角形面积公式构建关于m的方程求解即可. 【详解】（1）的图象与一次函数的图象交于． ∴，， ∴，， ∴反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为； （2）解：把代入得， ∴， ∴不等式的解集为或； （3）解：对于，当时，，解得， ∴， 设， ∵的面积为6， ∴， 解得， 当时，，则； 当时，，则； 综上，点P的坐标为或. 【变式题12-2】.（26-27九年级上·江苏·阶段检测）在平面直角坐标系中，点和点（点不与点重合，点在点的下方）都在反比例函数第一象限内的图象上． (1)延长与轴交于点． ①如图1，如果，，且平分，求的面积； ②如图2，如果点是线段的中点，直线的表达式为，直线的表达式为，求的值； (2)如图3，直线分别与轴、轴交于点、，若，是否存在点，使得？若存在求出的度数；若不存在请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在点B，使得，理由如下； 过点作轴交于，过点作轴交于点，过点作交于， ∵点在反比例函数的图象上， ， ∴反比例函数为， ， ∴点A是的中点， 设点，， ， ， ， 把代入中，得， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ∴直线的解析式， 当时，，当时，， ，， ∵， ，，， ， 在中，， ，， ，，， ， 在中，， 在中，， ， ． ，， 是等腰直角三角形且， ． 【分析】（1）由在反比例函数图象上，得出，过点作轴交于，可证明，即可算出面积；②设，，则，，再根据点是线段的中点，得到，即可得解； （2）过点作轴交于，过点作轴交于点，先求出，由，求出，求出直线的解析式，得到，，可得到，过点作交于，根据，，即可得到． 【详解】（1） 在反比例函数的图象上， ， 过点作轴交于， 平分，， ，，， ， 的面积 的面积； 设，， ，， 点是线段的中点， ， ， ． （2）略 【变式题12-3】.（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点 B． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)将直线沿y轴方向平移，使平移后的直线与x轴交于点 C，且，求平移后的直线表达式； (3)在（2）中得到平移后的直线上是否存在点 P，使得的面积等于的面积？若存在，直接写出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)一次函数：；反比例： (2)或 (3) 【分析】（1）利用待定系数法，求解即可； （2）根据，得到，继而得到；确定或，根据平移求解即可； （3）根据题意，得或；当点P在直线上时，得或， 当点P在直线上时，得或，求解即可． 【详解】（1）解：一次函数与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点 B． ，， 解得，， 故一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为； （2）解：根据，得， ； 或， 设平移后的解析式为， 当直线经过时，得，解得； 当直线经过时，得，解得； 故平移后的函数解析式为或； （3）解：根据题意，得， 则，， 根据题意，得， ， ， ， 或 当点P在直线上时，得或 解得或， 故点P的坐标为或； 当点P在直线上时，得或 解得或， 故点P的坐标为或； 综上所述，符合要求的点P的坐标为； 易错点 1. 描述增减性忽略 “在每一个象限内”，跨区间直接说随增大增大或减小。 2. 几何意义求面积忘记绝对值，由面积反求忽略图象象限导致符号出错。 3. 判断反比例函数忽略条件，参数题目漏检验系数不为 0。 4. 解不等式直接包含，忽略反比例函数不能取 0。 5. 实际应用不考虑自变量实际范围，把完整双曲线全部作为可用图象。 重点 1. 反比例函数概念、三种等价形式，双曲线图象与象限、增减性性质。 2. 的几何意义，矩形、三角形面积与互相求解。 3. 待定系数法求解析式，反比例与一次函数交点、图象解不等式。 4. 建立反比例函数模型解决实际情境问题。 5. 数形结合思想，利用坐标进行线段、面积计算。 难点 1. 几何意义的不规则阴影面积综合计算，多条双曲线叠加模型。 2. 动点、存在性问题，多情况分类讨论，设参整体代换计算。 3. 反比例结合图形变换、特殊角度几何综合，坐标与几何条件互相转化。 4. 新定义、阅读理解类创新题型，快速把陌生定义转化常规计算。 5. 反比例与一次函数综合大题，面积分割、参数推理，多条件联立求解。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列数量关系中，成反比例关系的是（     ） A．橘子的单价一定，购买橘子的数量与总价 B．圆柱的体积一定，它的底面积与高 C．学校计划种植500棵树，已植的棵数与未植的棵数 D．速度一定，路程与时间 【答案】B 【分析】成反比例关系的两种量乘积为定值，据此筛选选项． 【详解】解：∵橘子单价一定时，总价数量定值；速度一定时，路程时间定值，即两组量的比值均为定值， ∴选项A、D中的两种量均成正比例关系，不符合题意； ∵圆柱的体积一定，即底面积高定值， ∴它的底面积与高成反比例关系，B符合题意； ∵计划种植总棵数为，即已植棵数未植棵数定值， ∴已植的棵数与未植的棵数不成比例关系，C不符合题意． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知点、，若反比例函数（）的图象经过的中点，则的值为（     ） A．1 B． C．3 D． 【答案】A 【详解】解：∵点、， ∴的中点坐标为：， 反比例函数的图象经过的中点，可得， ． 3．已知反比例函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：反比例函数，当时，随的增大而增大， 说明在第四象限内随的增大而增大， ． 二、填空题 4．函数的图象在第一、三象限内，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】解：∵函数的图象在第一、三象限内， ∴， 解得：． 5．一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则，两点的坐标分别为________． 【答案】， 或， 【分析】利用交点联立方程，求出的值，即可求出两个交点的坐标． 【详解】解：联立方程组： 将①代入②， 两边同乘得，， 去括号得， 移项得，， 系数化为1得，， 因式分解：， 解得：或． 当时， 当时， ∴， 或，． 6．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，当时，的取值范围是______． 【答案】 或 【分析】直接利用图象法找到直线在双曲线上方时的自变量的范围即可. 【详解】解：由图象可知，当时，的取值范围是 或 . 三、解答题 7．直线与反比例函数的图象交于点． (1)求，的值． (2)设点的坐标为且，过点作平行于轴的直线与直线和反比例函数的图象分别交于点，，当时，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据点在直线上，求出；根据点在反比例函数上，求出； （2）令直线与反比例函数的函数值为，求出，的横坐标，根据的长列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， ∴． ∵点在反比例函数上， ∴，解得． （2）解：过点作平行于轴的直线，其解析式为， ∵直线与直线的交点为， ∴， ∴， ∵直线与反比例函数的交点为， ∴，即， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 整理得：， 解得或（不合题意，舍去）， 即当时，． 8．如图，直线与双曲线（）相交于，两点，与轴相交于点． (1)分别求一次函数与反比例函数的解析式； (2)求点的坐标． 【答案】(1)反比例函数为；一次函数为 (2)点的坐标为 【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）联立两个函数解析式求出x的值，代入某个函数解析式求出y的值，即可得到点B的坐标． 【详解】（1）解：将代入： 得， ∴反比例函数为； 直线经过和，代入得方程组： ①②得：， 将代入②得， 解得， ∴一次函数为； （2）解：联立一次函数和反比例函数的方程组： 将①代入②： 解得：或 当时，，即点， 当时，，即点， ∴点的坐标为． 9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与轴、轴相交于点，，与反比例函数的图像相交于点．已知点，的坐标分别为，． (1)求一次函数、反比例函数的表达式． (2)点在反比例函数的图像上，且点与点不重合．作射线，交坐标轴于点，连接，．若，求点的坐标． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为． (2)点的坐标为或． 【分析】（1）将点，的坐标分别代入即可求得，的值，将点的坐标代入即可求得的值，从而可得一次函数与反比例函数的表达式． （2）分射线交轴于点和射线交轴于点两种情况进行讨论，结合，即可得到，两点的横（或纵）坐标关系，进而可求得点的坐标． 【详解】（1）解：将点，的坐标分别代入， 得解得 一次函数的表达式为． 将点的坐标代入，得， 反比例函数的表达式为． （2）解：分情况讨论： ①当射线交轴于点时，如图 ， ， ， 将代入，得， 点的坐标为； ②当射线交轴于点时，如图 ， ， ， 将代入，得， 点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 10．小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图），有一横杆固定于桔槔上点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定300N的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现与有一定的关系，记录了拉力的大小与的变化，如下表； 点与点的距离 1 1.5 2 2.5 3 拉力的大小 300 200 150 120 100 (1)根据表中的数据，猜测拉力的大小与之间满足____________函数关系（填“一次”“二次”或“反比例”）； (2)求拉力与之间的函数解析式（不要求写自变量的取值范围）； (3)已知的长为8m，小亮想用40N的拉力汲水，小星能否成功？请说明理由． 【答案】(1)反比例 (2) (3)解：小星能成功，理由： 由题意得，将，代入，解得， ， ∴小星能成功． 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是仔细观察表格，得出与的积为定值，从而得出函数关系式； （1）根据表格中的数据找出规律，即可判定； （2）利用待定系数法求反比例函数的性质即可； （3）根据的长为8m，求得，再与40N进行比较，即可判断． 【详解】（1）解：由表中数据发现： ， ∴拉力与距离的乘积不变， ∴拉力的大小与之间满足反比例， 故答案为：反比例； （2）解：由（1）知，拉力是的反比例函数， 设拉力与之间的函数解析式为， 将代入，解得， ∴拉力与之间的函数解析式为； （3）略 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $