专题2.1 一元二次方程的概念 重难点题型专训 讲义（3个知识点+6大题型+1大提高题型+自我检测）2026-2027学年苏科版九年级数学上册

该初中数学讲义以“一元二次方程的概念”为核心，通过知识点梳理与题型专训构建系统复习体系，用定义条件、一般形式及特殊形式的框架图呈现知识脉络，结合即时训练巩固“整式方程、单未知数、最高次2”等重难点，清晰展现概念内在联系。 讲义亮点在于分层题型设计，基础题型如“解的估算”通过表格数据引导学生判断根的范围，培养推理意识，提高题型“求参数问题”结合方程解的性质深化运算能力。自我检测助力学生自主评估，教师可据此实施精准分层教学，满足不同层次学生提升需求。

专题2.1 一元二次方程的概念重难点题型专训 （3个知识点+6大题型+1大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 【基础题型一 一元二次方程的定义】 4 【基础题型二 化成一元二次方程的一般式】 5 【基础题型三 由一元二次方程的定义求参数】 8 【基础题型四 判断是否是一元二次方程的解】 11 【基础题型五 由一元二次方程的解求参数】 13 【基础题型六 一元二次方程的解的估算】 17 第二部分·练提高题型 【提高题型一 一元二次方程求参数问题】 23 第三部分・自我检测 知识点01 一元二次方程的定义 1.定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次)的整式，方程，叫做一元二次方程. 2.一元二次方程必须同时满足三个条件：是整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2. 例如：=2，，，，均不是一元二次方程. 【即时训练】 1．（25-26九年级上·陕西西安·阶段测试）下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义可知，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此可得答案． 【详解】解：A. 方程的未知数最高次数为1，不是一元二次方程，不符合题意； B. 方程只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程，是一元二次方程，符合题意； C. 方程含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D. 方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意． 2．（25-26九年级上·湖南永州·单元复习）下列方程，是一元二次方程的有_________________________ ①，②，③，④． 【答案】①④/④① 【详解】解：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程是一元二次方程． ①，只含有一个未知数，未知数最高次数为，且是整式方程，符合一元二次方程的定义； ②，含有和两个未知数，不符合一元二次方程的定义； ③，分母中含有未知数，不符合一元二次方程的定义； ④，只含有一个未知数，未知数最高次数为，且是整式方程，符合一元二次方程的定义； 综上所述，是一元二次方程的有①④． 知识点02 一元二次方程的一般形式 1.一元二次方程的一般形式是()，其中是二次项，是二次项系数;是一次项，是一次项系数；是常数项. 2.（1）是一元二次方程一般形式的重要条件，但是b，c可以为0；（2）任何一个一元二次方程都可以化成一般形式；（3）一元二次方程的各项都包含它前面的符号. 3.一元二次方程的特殊形式. （1)当b=0时，得()； （2)当c=0时，得()； （3)当b=0且c=0时,得(). 【即时训练】 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）用公式法解一元二次方程时，a，b，c的值依次为（     ） A．2，1，1 B．2，， C．2，1， D．，1，1 【答案】B 【分析】把与一元二次方程一般形式对比即可得a，b，c的值. 【详解】解：根据一元二次方程的一般形式得： 的，，. 2．（25-26九年级上·浙江丽水·阶段测试）把方程化为一般形式是__________． 【答案】 【分析】先展开方程左边两个一次式的乘积，再合并同类项，整理为一元二次方程的一般形式即可． 【详解】解： ， 原方程化为一般形式为． 知识点03 一元二次方程的解（根） 1.定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 2.一元二次方程可能没有实数根，可能有两个相等的实数根，也可能有两个不相等的实数根.若，是一元二次方程()的两个实数根，则下列两个等式成立，并可利用这两个等式求解未知参数：()，(). 【即时训练】 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知为一元二次方程的一个根，那么的值为（   ） A．2025 B． C．0 D．4050 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数是一元二次方程的解. 利用一元二次方程解的定义得到．移项得到的值，将整体代入表达式中计算即可． 【详解】解：已知是方程的根，代入得： 将代入所求表达式中： 故答案为：A． 2．（24-25九年级上·福建漳州·期中）如表是某同学求代数式（为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于的方程的实数根是（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了方程的解，将关于的方程化为，由表格可知，当或时，，由此可得关于的方程的实数根，掌握方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：关于的方程可化为， 由表格可知，当或时，， ∴关于的方程的实数根是，， 故选：． 【基础题型一 一元二次方程的定义】 【例1】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段测试）下列方程中，一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、方程中未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B、方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C、方程不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、方程是一元二次方程，故此选项符合题意． 【例2】（24-25九年级上·江苏徐州·阶段检测）关于x的方程是一元二次方程，则__________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义得到，直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴，， 解得：， 故答案为：． 1．（25-26九年级上·山东烟台·期中）下列方程中：①，②，③，④，⑤，⑥，是一元二次方程的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的概念逐一判断即可． 【详解】解：①是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，它是一元二次方程， ②中当时，它不是一元二次方程， ③整理得，它不是一元二次方程， ④不是一元二次方程， ⑤是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，它是一元二次方程， ⑥不是一元二次方程， 综上，一元二次方程有2个． 2．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）下列方程中是关于的一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义，逐一判断四个选项，即可得出结论． 【详解】A.该方程为分式方程，故本选项不符合题意； B.当时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C.整理后为，是一元二次方程，故本选项符合题意； D.该方程整理可得，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的概念，熟练掌握化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程是解题的关键． 3．（25-26九年级上 江苏苏州·单元测试）已知是关于x的一元二次方程的解，则的值为________． 【答案】1 【分析】根据是关于x的一元二次方程，可求出m，将及m的值代入可求出a值，即可求出结果． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴， 解得：， 即m=2， 将代入，得：m-2a=1， 即， ∴． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的定义，利用方程的解求参数，利用定义求出m值是解题的关键． 4．（23-24九年级上·安徽池州·阶段检测）关于的方程． (1)当取何值时，方程为一元二次方程？ (2)当取何值时，方程为一元一次方程？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令二次项系数不为零即可求解； （2）令二次项系数为零且一次项系数不为0即可求解． 【详解】（1）要使方程为一元二次方程， 则， 即时，原方程是一元二次方程； （2）要使方程为一元一次方程， 则，， 即且， 可知时，原方程是一元一次方程． 【点睛】本题考查了一元二次方程和一元一次方程的概念，解题关键是掌握它们的概念，将一个方程化简后如果形如，则它为一元二次方程，而一元一次方程则应抓住两个关键：①只含有一个未知数，②未知数的次数是1的整式方程． 【基础题型二 化成一元二次方程的一般式】 【例1】（25-26九年级上·江苏盐城·阶段检测）下列方程是关于的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键． 含有一个未知数，且未知数的次数最高是2的整式方程是一元二次方程，依据一元二次方程的定义判断各选项即可． 【详解】解：A、方程分母含有未知数，是分式方程，不符合一元二次方程定义，故选项不符合题意； B、对去括号、移项、合并同类项，得，符合一元二次方程定义，故选项符合题意； C、未说明，当时方程不是一元二次方程，故选项不符合题意； D、对去括号、移项、合并同类项，得，是一元一次方程，故选项不符合题意． 【例2】（25-26九年级上·江苏镇江·阶段测试）将一元二次方程化成一般形式后，若二次项系数为1，则一次项系数是________． 【答案】2 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，将原方程化为一般形式，并通过乘以使二次项系数为1，从而得到一次项系数． 【详解】解：原方程为， 展开左边得， 移项得， 再乘以得 ， 此时二次项系数为1，一次项系数为2． 故答案为：2． 1．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）将一元二次方程化成一般形式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，一元二次方程的一般式为（其中a、b、c是常数且），据此求解即可． 【详解】解：， ． 2．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）一元二次方程的一次项系数是（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握一元二次方程一般形式． 根据一元二次方程一般形式的定义，即可求解． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数是． 故选：B 3．（25-26九年级上·全国·课前预习）把方程化成一元二次方程一般形式为_________________，其中二次项系数是____、一次项系数是_________、常数项是__________． 【答案】 1 7 【分析】一元二次方程的一般形式为，其中，二次项为系数是，一次项系数是，常数项是． 【详解】解：， 由完全平方公式得， 移项并合并同类项得， 其中，二次项为，其系数是1； 一次项为，其系数是； 常数项是7． 4．（24-25九年级上·全国·随堂练习）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1 (2)，二次项系数为1，一次项系数为，常数项为6 (3)，二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为 【分析】此题考查一元二次方程的一般形式，先将一元二次方程化为一般形式，根据各项确定答案： （1）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项； （2）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项； （3）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项； 【详解】（1）解：整理，得， 故二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1． （2）整理，得， 故二次项系数为1，一次项系数为，常数项为6． （3）整理，得， 故二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为． 【基础题型三 由一元二次方程的定义求参数】 【例1】（25-26九年级上·山东枣庄·开学考试）已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（     ） A．2 B．1或 C．1 D． 【答案】D 【详解】解：由题意得：，且， 解得：． 【例2】（25-26九年级上·山东济南·阶段测试）若关于的方程是一元二次方程，则________． 【答案】2 【分析】根据一元二次方程定义列出关于的条件，求解即可得到答案． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ，且， 解得， 即， 由得， ． 1．（2026九年级上 江苏苏州·单元测试）我们将关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则的值分别为（   ） A． B．，2 C．，4 D．，0 【答案】C 【分析】根据“同构二次方程”的定义，两个方程的顶点式中的值相同，由第一个方程可知，故第二个方程也满足此条件，通过比较两个方程展开式的系数即可建立方程组求解． 【详解】解：∵与是“同构二次方程”， 故方程与方程为同一个方程， ， ， ， 解得：． 2．（25-26九年级上·河南新乡·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则实数m的值为（   ） A．3 B． C． D．9 【答案】B 【分析】本题考查“一元二次方程的定义”，掌握一元二次方程的特征求出参数的值，并排除会令二次项系数为0的值是解题关键． 根据一元二次方程的定义，要求方程中未知数的最高次数为2且二次项系数不为零，解出m的值即可． 【详解】∵ 方程 是一元二次方程， ∴ 的最高次数 ， 解得 ，， 又∵ 二次项系数 ， 当 时，，不符合要求； 当 时，，符合要求， ∴ 实数 的值为 ． 故选：B． 3．（2026九年级上 江苏南通·单元测试）已知关于x的方程是一元二次方程，则的值为_____________ 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为且二次项系数不为，列等式和不等式求解即可． 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴ 且， 解第一个等式，得或， 解不等式，得， ∴． 4．（25-26九年级上 全国·）已知方程． (1)如果是关于x的一元二次方程，试确定m的值，并指出二次项系数、一次项系数及常数项； (2)如果是关于x的一元一次方程，试确定m的值． 【答案】(1)，二次项系数为2，一次项系数为5，常数项为11 (2)或 【分析】（1）根据一元二次方程定义得到，求出m的值，即可解答； （2）根据一元一次方程的定义得到或，求解即可． 【详解】（1）解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，解得， ∴方程为，方程的二次项系数为2，一次项系数为5，常数项为11． （2）解：∵方程是关于x的一元一次方程， ∴或， ∴或． 【基础题型四 判断是否是一元二次方程的解】 【例1】（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如表是小钰同学求代数式（，为常数）的值的情况．根据表中的数据可知，关于的一元二次方程的实数根是（   ） … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了判断是否是一元二次方程的解．通过观察表格数据，找到使代数式的值为2的值，这些值即为方程 的实数根，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，方程可化为， 由表格可知，当 或 时，， ∴方程的实数根为，， 故选：B 【例2】（25-26九年级上·江苏苏州·期中）在一元二次方程中，实数a，b，c满足，则此方程必有一根为________． 【答案】 【分析】将代入方程求解判断即可． 【详解】解：将代入得，， 此方程必有一根为． 1．（25-26九年级上·山东威海·阶段测试）关于的方程中，若满足和，则该方程的根是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据方程根的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根，将题目给出的等式与一元二次方程的一般形式对比，即可得到对应满足方程的x的值． 【详解】解：∵ 方程为 当时，代入方程左边得， 由题可知， ∴ 是方程的根， 当时，代入方程左边得， 由题可知， ∴ 是方程的根 ∴方程的根为． 2．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段测试）若实数，满足，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】由题意可得,是一元二次方程的两个不相等实数根，利用多项式对应系数相等得到的值，再结合满足方程变形，计算的值判断正负，即可得到结果. 【详解】解：∵ ，且，， ∴ 是方程的两个不相等的实数根， ∴ ， 对比系数得 ， 又∵ ， ∴ ， 则， 把代入得 ， ∴ ，. 3．（24-25九年级上·山东滨州·阶段测试）若是方程的一个根，则__________ 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，先根据一元二次方程解的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， ． 故答案为：2024 4．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在中，，以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点，连接． (1)若，求的度数； (2)设，；线段的长度是方程的一个根吗？说明理由． 【答案】(1)； (2) 解：是，理由如下： ∵在中，，，， ∴， ∵， ∴． 当时， ． ∴的长度是方程的一个根． 【分析】（1）先利用直角三角形两锐角互余求出的度数，再根据等腰三角形两底角相等求出的度数，最后用减去得到的度数； （2）先通过勾股定理求出的长度，进而得到的表达式，再通过代入验证或解一元二次方程的方式，判断是否为方程的根． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）略 【基础题型五 由一元二次方程的解求参数】 【例1】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知是关于x的方程的一个根，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将代入，可得，整体变形可得答案． 【详解】解：∵是关于x的方程的一个根， ∴， ∴． 【例2】（25-26九年级上·安徽蚌埠·阶段测试）已知是关于的方程的一个根，则________． 【答案】 【分析】把代入方程中求得的值，再将所求代数式变形并整体代入即可求解． 【详解】解：∵是关于的方程的一个根， ∴，即， ∴． 1．（23-24九年级上·河北邢台·阶段测试）若是方程的根，则的值为（     ） A．2020 B．2019 C．2018 D．2017 【答案】C 【分析】所求代数式的二次项、一次项系数与方程对应系数成比例，可通过整体代入求值． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26九年级上·云南昭通·阶段测试）已知是一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A．或2 B． C．2 D．0 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根代入方程得到关于的方程，求解后再结合一元二次方程的定义排除不符合条件的值，即可得到结果. 【详解】解：是一元二次方程的一个根， ， 解得或， 又原方程是一元二次方程， 二次项系数，即， 而和都满足， 因此的值为或. 3．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）若m是方程的一个根，则代数式的值为______． 【答案】9 【分析】由方程根的定义得到，变形得到，整体代入所求代数式化简即可得到结果． 【详解】解：∵根据题意，是方程的一个根， ∴ ，变形得 ， ∵， ∴， 将代入所求代数式 ， ∵， ∴原式． 4．（26-27九年级上·全国·课后作业）一元二次方程的一个根是，且，满足，求此一元二次方程． 【答案】 【分析】把代入得出，根据二次根式有意义的条件求出，，进而求出，即可得出答案． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根是， ∴， ∵， ， 解得：， ∴， ∴， ∴此一元二次方程为． 【基础题型六 一元二次方程的解的估算】 【例1】（25-26九年级上·福建三明·期中）根据下列表格的对应值：由此可判断方程必有一个根满足（    ） 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查一元二次方程的解的估算，通过观察表格中函数值的变化，当函数值由负变正时，方程在此区间内必有根，由此得到答案． 【详解】解：∵当时，；当时，， ∴方程必有一个根满足， 故选：B． 【例2】（2025九年级上 山东临沂·周测）根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x的取值范围是__________． x 1 1.1 1.2 13 14.41 15.84 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解．利用表中数据得到时，，时，，则可判断时，有一个解满足． 【详解】解：由题意得 x 1 1.1 1.2 13 14.41 15.84 ∴当时，； 当时，， ∴当时，必有一个解， ∴x的取值范围是． 故答案为：． 1．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）根据下面表格中的对应值： 判断关于的方程的一个解的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是方程解与对应数值变化的关系，利用“数值由负变正必经过”的逻辑是解题的关键．根据表格可知， 时函数值为（负）、时函数值为（正），进而确定方程的一个解的范围． 【详解】当时，； 当时，， 方程的一个解满足． 故选：． 2．（24-25九年级上·河北保定·阶段检测）根据下表： 确定方程的解的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】此题考查了估算一元二次方程的近似解．观察已知表格，根据代数式的值的变化确定出方程解的范围即可． 【详解】解：由表格得：时，， 时，； 时，； 时，， 可得方程的解取值范围是或． 故选：D． 3．（24-25九年级上·山东淄博·阶段检测）观察下列表格，一元二次方程的一个近似解为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先明确方程，通过表格找的值接近时对应的，利用函数的增减性确定近似解．本题主要考查利用表格数据估算一元二次方程的近似解，熟练掌握函数值与自变量的对应关系及通过数据趋势判断近似解是解题关键． 【详解】解：观察表格： 当时，；当时，；当时， ， 更接近， 时的值更接近，且在到 逐渐增大时，逐渐减小（由表格数据可知），介于（）和（）之间，更靠近， ∴近似解在附近， 对比选项，最接近 ， 故选：． 4．（23-24九年级上·全国·单元测试）小贝在做“一块矩形铁片，面积为，长比宽多，求铁片的长”时是这样做的：设铁片的长为，列出的方程为，整理，得小贝列出方程后，想知道铁片的长到底是多少下面是它的探索过程： 第一步：           所以 第二步：                          所以 ． (1)请你帮小贝填完空格，完成她未完成的部分． (2)通过以上探索，可以估计出矩形铁片的长的整数部分为多少十分位为多少 【答案】(1) 补充表格如下： 第一步：           3 所以 第二步：                          所以 ． (2)矩形铁片的长的整数部分为3，十分位为3 【分析】本题考查了求一元二次方程的近似解，解题的关键是掌握求一元二次方程近似解的方法和步骤． （1）分别计算当、、、时代数式的值，即可补充表格； （2）根据（1）中得出的x的取值范围，即可解答． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， （2）解：由（1）可得：， ∴矩形铁片的长的整数部分为3，十分位为3． 【提高题型一 一元二次方程求参数问题】 【例1】（25-26九年级上·重庆綦江·期中）若关于x的一元二次方程有一个根为，则m的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入方程求出即可，解题的关键是理解方程解的定义． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为， ∴， ∴， 故选：C． 【例2】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段测试）已知，是方程的两个根，则_______． 【答案】12 【分析】根据一元二次方程根的定义，可得，满足方程，由此求出和的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：因为，是方程的两个根， 将代入方程得， 整理得 ． 将代入方程得 ，整理得． 将，代入所求代数式 得： ． 1．（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）已知实数，满足，（），则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解． 设，则，进而得到，即是方程的根，进而得到是方程的根，由得到，根据可知，是方程的两个根，则或，排除，进而根据计算即可． 【详解】解：设，则， ∵ ∴ ∴， ∴ ∴是方程的根， ∵， ∴是方程的根， ∵， ∴两边同时除以得， 即， ∵， ∴ ∵ ∴，是方程的两个根， ∵是方程的根， ∴或， 当时，，不成立； 当时， ． 故选：D． 2．（25-26九年级上·北京·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（   ）． A．1 B．－1 C． D．不存在 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义，需同时满足次数和系数条件．根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为零． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴ 且， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故选：B． 3．（25-26九年级上·山东烟台·阶段测试）已知是方程的一个根，则____________． 【答案】－2026 【分析】因为a是方程的根，所以可将a代入方程得到关于a的等式，作为化简代数式的核心依据．利用得到的等式对代数式的前两项进行降次化简．利用得到的等式变形得到的表达式，代入分式中化简，最后合并化简后的两部分结果． 【详解】解：∵是方程的根， ∴ ， ∴， 对所求式前两项提取公因式： ∵， 代入分式部分： ∵， ∴等式两边同除以得： ， ∴， 将以上结果代入原式： ． 4．（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）先化简，再求值； (1)，其中是方程的根． (2)，其中，． 【答案】(1) 化简结果为，值为 (2) 化简结果为，值为 【分析】（1）利用方程的解的定义得到，整体代入化简式即可； （2）约分后得到最简式，再代入的值计算即可； 【详解】（1）解： ， ∵是方程的根， ∴， ∴， ∴原式； （2）解： ， ∵，， ∴， ∴原式． 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：A、方程含，两个未知数，不符合一元二次方程的定义，故选项不符合题意； B、方程含分式，不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，故选项不符合题意； C、当时，方程为，是一元一次方程，不是一元二次方程，故选项不符合题意； D、整理方程得，符合一元二次方程的定义，故选项符合题意． 2．（25-26九年级上·吉林长春·月考）若关于的一元二次方程有一个根为，则一元二次方程有一个根为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元二次方程的根的含义，掌握“利用整体未知数求解方程的根”是解本题的关键． 通过换元法，将第二个方程转化为第一个方程的形式，然后利用已知根求解． 【详解】解：方程可变形为：， 又， 方程化为． 设，则方程化为， 方程有一个根为， 方程有一个根为， 即， ． 故选A． 3．（25-26九年级上·北京·阶段检测）一元二次方程化成一般形式后二次项的系数为，一次项的系数为，则的值为(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再根据题意给出的一次项系数列方程求解即可． 【详解】解： 展开右侧得 移项合并同类项得 由题意，该方程一次项系数为，可得 解得． 4．（25-26九年级上·江苏·阶段测试）若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义，需满足两个条件：最高次项的次数为2，且二次项系数不为0，据此列等式和不等式求解即可． 【详解】解：方程是一元二次方程， ∴且， 解得且， ∴． 5．（25-26九年级上·福建福州·阶段测试）已知代数式的值如下表，则关于的一元二次方程的根为(   ) A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查的解一元二次方程，从表格中直接读取代数式的值为时对应的值，即为方程的根． 【详解】解：当时，代数式的值为；当时，代数式的值也为， 方程的根为或． 故选：C． 6．（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段测试）已知关于的一元二次方程（）的两个根分别为，，小范有以下两种说法：①；②关于的方程和的解相同，下列判断正确的是（     ） A．①正确，②正确 B．①不正确，②正确 C．①正确，②不正确 D．①不正确，②不正确 【答案】A 【分析】根据方程的解的定义得到，把该等式的右边展开即可判断①；可证明方程 和 是同一个方程，据此可判断②． 【详解】解：∵方程 的两根为，，， ∴方程 的两根为，，， ∴， ， ∴，因此①正确； ∵， ∴， ∴方程 和 是同一个方程，故二者的解完全相同，因此②正确； 综上，①正确，②正确． 7．（25-26九年级上·云南保山·期末）若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，且未知数最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题关键，根据二次项系数非零列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴二次项系数， ∴， 故选：A． 8．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）将一元二次方程，化成的形式，则的值分别是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，掌握一元二次方程一般式的形式及计算方法是解题的关键． 运用完全平方公式展开，再化成一元二次方程的一般式进行比较即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， 解得，， 故选：A． 9．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段测试）若是关于的方程的一个根，则的值是（     ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】B 【分析】先根据方程根的定义得到，再将所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵ 是关于的方程的一个根， ，即， ． 10．（24-25九年级上·浙江温州·期中）若关于的一元二次方程有一根为，则关于的一元二次方程必有一根为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是理解方程的解的定义； 根据满足方程，得到，两边同时除以可确定所求方程的一个根． 【详解】解：把代入一元二次方程，得， ， 两边除以（，若，代入得，与矛盾 ），得， ， ． ∴当时，方程成立． ∴方程必有一根为 ， 故选：D． 11．（25-26九年级上 ·全国）（1）关于x的方程是一元二次方程，则m_________； （2）关于x的方程是一元一次方程，则m_________． 【答案】 【分析】（1）根据一元二次方程的定义得到，求解即可； （2）根据一元一次方程的定义得到，求解即可． 【详解】解：（1）∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴． （2）∵关于x的方程是一元一次方程， ∴， ∴． 12．（25-26九年级上·山东东营·阶段检测）关于x的方程是一元二次方程，则m的值为____． 【答案】5 【分析】根据一元二次方程的定义可知，最高次数为2且二次项的系数不为0，据此列式方程求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴且，解得：且， ∴m的值为5． 13．（25-26九年级上·福建福州·阶段测试）已知是方程的一个根，则代数式的值为________． 【答案】/ 【分析】根据一元二次方程的根满足方程得到，进而整体代入求值即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，即， ∴． 14．（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）若关于x一元二次方程的一个根为0，则m的值等于_________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解，因式分解法解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程的定义，一元二次方程的解，因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 由题意知，，即，将代入得，，即，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：由题意知，， 解得，， 将代入得，， ， 解得，或（舍去）， 故答案为：． 15．（2026九年级上 江苏泰州·周测）已知是方程的一个根，则代数式的值为___________． 【答案】 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，则， ∴等式两边同时乘以得，． 16．（26-27九年级上 江苏）定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是______； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为_____． 【答案】(1) (2) (3)2025 【分析】（1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到c的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根的定义得到，得到，然后整体代入求解即可． 【详解】（1）解：根据新定义，方程的倒方程是：； （2）解：由题知，方程的倒方程为， 将代入此方程得，， 解得； （3）解：由题知，一元二次方程的倒方程是， ∵m是此方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴． 17．（25-26九年级上·湖南株洲·阶段测试）已知a为方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，一元二次方程解的定义，灵活运用所学知识是解题的关键． 先根据一元二次方程解的定义得到，再把所求式子化简为，由此求解即可． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， ． 18．（25-26九年级上·安徽池州·阶段测试）请阅读下列材料：已知一个关于的方程，其中、均为整数，且有一个根为，求、的值． 晨晨同学根据二次根式的性质：，联想到了如下解法：由得，则，即，．故，． 请运用上述方法解决下列问题： (1)已知关于的方程，其中、均为整数，且有一个根为，求、的值． (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1)， (2)2028 【分析】（1）仿照题干所给的方法计算即可得出结果； （2）求出，再将所求式子进行变形，整体代入计算即可得出结果． 【详解】（1）解：， ， ， ，即 两边同时乘以得． ，； （2）解：， ， ， ， 即， ． 19．（25-26九年级上·山东淄博·阶段测试）已知是方程的一个根，试求的值． 【答案】 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴，， ∴． 20．（26-27九年级上·全国·课后作业）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据倒方程定义，交换二次项系数与常数项，直接写出倒方程； （2）先写出原方程的倒方程，再将解代入倒方程，解方程求出参数； （3）先写出倒方程，利用方程根的意义得到，整体代入降次，求出代数式的值． 【详解】（1）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是； （2）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是， ∵是一元二次方程的倒方程的解， ∴把代入方程， 得， 解得； （3）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是， ∵是一元二次方程的倒方程的一个实数根， ∴把代入方程， 得， ∴． 【点睛】本题为新定义题型，读懂“倒方程”：交换二次项系数和常数项，一次项系数不变，再结合方程根的意义、整体代入法求解． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1 一元二次方程的概念重难点题型专训 （3个知识点+6大题型+1大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 【基础题型一 一元二次方程的定义】 3 【基础题型二 化成一元二次方程的一般式】 3 【基础题型三 由一元二次方程的定义求参数】 4 【基础题型四 判断是否是一元二次方程的解】 5 【基础题型五 由一元二次方程的解求参数】 6 【基础题型六 一元二次方程的解的估算】 7 第二部分·练提高题型 【提高题型一 一元二次方程求参数问题】 9 第三部分・自我检测 知识点01 一元二次方程的定义 1.定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次)的整式，方程，叫做一元二次方程. 2.一元二次方程必须同时满足三个条件：是整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2. 例如：=2，，，，均不是一元二次方程. 【即时训练】 1．（25-26九年级上·陕西西安·阶段测试）下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·湖南永州·单元复习）下列方程，是一元二次方程的有_________________________ ①，②，③，④． 知识点02 一元二次方程的一般形式 1.一元二次方程的一般形式是()，其中是二次项，是二次项系数;是一次项，是一次项系数；是常数项. 2.（1）是一元二次方程一般形式的重要条件，但是b，c可以为0；（2）任何一个一元二次方程都可以化成一般形式；（3）一元二次方程的各项都包含它前面的符号. 3.一元二次方程的特殊形式. （1)当b=0时，得()； （2)当c=0时，得()； （3)当b=0且c=0时,得(). 【即时训练】 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）用公式法解一元二次方程时，a，b，c的值依次为（     ） A．2，1，1 B．2，， C．2，1， D．，1，1 2．（25-26九年级上·浙江丽水·阶段测试）把方程化为一般形式是__________． 知识点03 一元二次方程的解（根） 1.定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 2.一元二次方程可能没有实数根，可能有两个相等的实数根，也可能有两个不相等的实数根.若，是一元二次方程()的两个实数根，则下列两个等式成立，并可利用这两个等式求解未知参数：()，(). 【即时训练】 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知为一元二次方程的一个根，那么的值为（   ） A．2025 B． C．0 D．4050 2．（24-25九年级上·福建漳州·期中）如表是某同学求代数式（为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于的方程的实数根是（  ） A．， B．， C．， D．， 【基础题型一 一元二次方程的定义】 【例1】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段测试）下列方程中，一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·江苏徐州·阶段检测）关于x的方程是一元二次方程，则__________． 1．（25-26九年级上·山东烟台·期中）下列方程中：①，②，③，④，⑤，⑥，是一元二次方程的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）下列方程中是关于的一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上 江苏苏州·单元测试）已知是关于x的一元二次方程的解，则的值为________． 4．（23-24九年级上·安徽池州·阶段检测）关于的方程． (1)当取何值时，方程为一元二次方程？ (2)当取何值时，方程为一元一次方程？ 【基础题型二 化成一元二次方程的一般式】 【例1】（25-26九年级上·江苏盐城·阶段检测）下列方程是关于的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级上·江苏镇江·阶段测试）将一元二次方程化成一般形式后，若二次项系数为1，则一次项系数是________． 1．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）将一元二次方程化成一般形式正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）一元二次方程的一次项系数是（　　） A．1 B． C． D．2 3．（25-26九年级上·全国·课前预习）把方程化成一元二次方程一般形式为_________________，其中二次项系数是____、一次项系数是_________、常数项是__________． 4．（24-25九年级上·全国·随堂练习）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)． (2)． (3)． 【基础题型三 由一元二次方程的定义求参数】 【例1】（25-26九年级上·山东枣庄·开学考试）已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（     ） A．2 B．1或 C．1 D． 【例2】（25-26九年级上·山东济南·阶段测试）若关于的方程是一元二次方程，则________． 1．（2026九年级上 江苏苏州·单元测试）我们将关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则的值分别为（   ） A． B．，2 C．，4 D．，0 2．（25-26九年级上·河南新乡·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则实数m的值为（   ） A．3 B． C． D．9 3．（2026九年级上 江苏南通·单元测试）已知关于x的方程是一元二次方程，则的值为_____________ 4．（25-26九年级上 全国·）已知方程． (1)如果是关于x的一元二次方程，试确定m的值，并指出二次项系数、一次项系数及常数项； (2)如果是关于x的一元一次方程，试确定m的值． 【基础题型四 判断是否是一元二次方程的解】 【例1】（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如表是小钰同学求代数式（，为常数）的值的情况．根据表中的数据可知，关于的一元二次方程的实数根是（   ） … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A．， B．， C．， D．， 【例2】（25-26九年级上·江苏苏州·期中）在一元二次方程中，实数a，b，c满足，则此方程必有一根为________． 1．（25-26九年级上·山东威海·阶段测试）关于的方程中，若满足和，则该方程的根是（    ） A． B． C． D．无法确定 2．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段测试）若实数，满足，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 3．（24-25九年级上·山东滨州·阶段测试）若是方程的一个根，则__________ 4．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在中，，以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点，连接． (1)若，求的度数； (2)设，；线段的长度是方程的一个根吗？说明理由． 【基础题型五 由一元二次方程的解求参数】 【例1】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知是关于x的方程的一个根，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级上·安徽蚌埠·阶段测试）已知是关于的方程的一个根，则________． 1．（23-24九年级上·河北邢台·阶段测试）若是方程的根，则的值为（     ） A．2020 B．2019 C．2018 D．2017 2．（25-26九年级上·云南昭通·阶段测试）已知是一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A．或2 B． C．2 D．0 3．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）若m是方程的一个根，则代数式的值为______． 4．（26-27九年级上·全国·课后作业）一元二次方程的一个根是，且，满足，求此一元二次方程． 【基础题型六 一元二次方程的解的估算】 【例1】（25-26九年级上·福建三明·期中）根据下列表格的对应值：由此可判断方程必有一个根满足（    ） 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 A． B． C． D． 【例2】（2025九年级上 山东临沂·周测）根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x的取值范围是__________． x 1 1.1 1.2 13 14.41 15.84 1．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）根据下面表格中的对应值： 判断关于的方程的一个解的范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河北保定·阶段检测）根据下表： 确定方程的解的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D．或 3．（24-25九年级上·山东淄博·阶段检测）观察下列表格，一元二次方程的一个近似解为（） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·全国·单元测试）小贝在做“一块矩形铁片，面积为，长比宽多，求铁片的长”时是这样做的：设铁片的长为，列出的方程为，整理，得小贝列出方程后，想知道铁片的长到底是多少下面是它的探索过程： 第一步：           所以 第二步：                          所以 ． (1)请你帮小贝填完空格，完成她未完成的部分． (2)通过以上探索，可以估计出矩形铁片的长的整数部分为多少十分位为多少 【提高题型一 一元二次方程求参数问题】 【例1】（25-26九年级上·重庆綦江·期中）若关于x的一元二次方程有一个根为，则m的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【例2】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段测试）已知，是方程的两个根，则_______． 1．（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）已知实数，满足，（），则的值是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·北京·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（   ）． A．1 B．－1 C． D．不存在 3．（25-26九年级上·山东烟台·阶段测试）已知是方程的一个根，则____________． 4．（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）先化简，再求值； (1)，其中是方程的根． (2)，其中，． 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·吉林长春·月考）若关于的一元二次方程有一个根为，则一元二次方程有一个根为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·北京·阶段检测）一元二次方程化成一般形式后二次项的系数为，一次项的系数为，则的值为(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26九年级上·江苏·阶段测试）若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·福建福州·阶段测试）已知代数式的值如下表，则关于的一元二次方程的根为(   ) A． B． C．或 D．或 6．（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段测试）已知关于的一元二次方程（）的两个根分别为，，小范有以下两种说法：①；②关于的方程和的解相同，下列判断正确的是（     ） A．①正确，②正确 B．①不正确，②正确 C．①正确，②不正确 D．①不正确，②不正确 7．（25-26九年级上·云南保山·期末）若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）将一元二次方程，化成的形式，则的值分别是（  ） A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段测试）若是关于的方程的一个根，则的值是（     ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 10．（24-25九年级上·浙江温州·期中）若关于的一元二次方程有一根为，则关于的一元二次方程必有一根为（   ） A． B． C． D． 11．（25-26九年级上 ·全国）（1）关于x的方程是一元二次方程，则m_________； （2）关于x的方程是一元一次方程，则m_________． 12．（25-26九年级上·山东东营·阶段检测）关于x的方程是一元二次方程，则m的值为____． 13．（25-26九年级上·福建福州·阶段测试）已知是方程的一个根，则代数式的值为________． 14．（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）若关于x一元二次方程的一个根为0，则m的值等于_________． 15．（2026九年级上 江苏泰州·周测）已知是方程的一个根，则代数式的值为___________． 16．（26-27九年级上 江苏）定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是______； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为_____． 17．（25-26九年级上·湖南株洲·阶段测试）已知a为方程的一个根，求代数式的值． 18．（25-26九年级上·安徽池州·阶段测试）请阅读下列材料：已知一个关于的方程，其中、均为整数，且有一个根为，求、的值． 晨晨同学根据二次根式的性质：，联想到了如下解法：由得，则，即，．故，． 请运用上述方法解决下列问题： (1)已知关于的方程，其中、均为整数，且有一个根为，求、的值． (2)已知，求代数式的值． 19．（25-26九年级上·山东淄博·阶段测试）已知是方程的一个根，试求的值． 20．（26-27九年级上·全国·课后作业）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $