专题 26.4 实际问题与二次函数 培优讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题26.4 实际问题与二次函数 知识点1：利用二次函数求解实际问题的通用建模步骤 1、审：读懂题意，区分题目中的常量、自变量、因变量，理清数量关系。 2、设：合理设置自变量，用含自变量的代数式表达其余相关量。 3、列：根据等量关系列出二次函数解析式。 4、定：结合现实约束写出自变量的实际取值范围（边长大于0、售价限制、正整数等）。 5、解：利用配方法或者顶点公式，结合自变量范围求最值，或者代入数值求解对应变量。 6、验：检验计算结果，舍去不符合实际意义的解，规范作答。 知识点2：二次函数在限定自变量范围内求最值 1、顶点公式：对于，顶点横坐标，对应函数最值。 2、当顶点横坐标落在自变量取值区间内部时，最值在顶点处取得。 3、当顶点横坐标不在自变量取值区间内部，函数在区间上单调，最值在区间两个端点处取得，代入端点比较函数值大小。 4、实际问题注意：商品件数、人数等自变量只能取正整数，需要在附近整数中筛选最优解。 知识点3：三大经典实际模型（几何、销售利润、抛物线形实物/轨迹） 模型类别 核心等量关系 建模要点 几何面积最值模型 面积公式、勾股定理、图形面积和差 边长必须大于 0；靠墙问题注意墙长对自变量的约束；动点问题注意运动边界 销售利润模型 总利润单件利润销售量；单件利润售价进价 涨价销量减少，降价销量增加；注意售价上下限，销量大于 0 抛物线形轨迹实物模型（拱桥、喷水、投篮、隧道） 建立平面直角坐标系，将实物数据转化为点坐标求解析式 优先以顶点、对称轴、地面建立坐标系；求宽度需要两点横坐标做差；落点对应的根 1、 几何面积模型：常考靠墙围栏、矩形裁剪、动点图形面积，利用面积公式建立函数，重点关注墙长限制、边长大于 0。 2、销售利润模型：“每涨 / 降 1 元，销量变化若干件”，是中考高频模型，分清涨价、降价两种情形，不要写反销量增减符号。 3、抛物线实物与运动轨迹模型：核心是建立合适平面直角坐标系，把现实长度转化为坐标，用待定系数法求解析式，再代入计算高度、宽度、水平距离，结果必须结合现实取舍。 知识点4：表格数据识别二次函数模型 1、当自变量均匀增加，函数值的二次差为定值，则变量满足二次函数关系。 2、选取表格中三组对应数值，代入一般式，列三元一次方程组求出，得到解析式。 3、求出解析式之后，需要用表格其余数据检验模型是否匹配。 【基础必考题型】 【题型1】几何面积建模（围栏矩形基础模型） 1、 核心知识点   矩形周长、面积公式；二次函数解析式书写；自变量取值范围由边长大于0确定。 2、解题方法技巧   ①设其中一条边长为，利用总栅栏长度，用含式子表达另一条边长；   ②根据面积公式列出二次函数，化简整理为一般形式；   ③边长必须大于0，列出不等式求出自变量取值范围，墙长有限制时要额外增加约束条件。 【例题1】.如图，有一张长，宽的矩形纸板，在它的四个角处分别裁去一个同样的小正方形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设裁去的小正方形边长为，该纸盒侧面积为，根据题意得，然后通过二次函数的性质即可求解． 【详解】解：设裁去的小正方形边长为，该纸盒侧面积为， ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵对称轴为直线， ∴当时，有最大值，为． 【变式题1-1】.如图，小聪借助直角墙角建一个矩形花园，花园两边由总长为的篱笆围成，墙长，，则花园最大面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，求得的取值范围，再利用二次函数的性质即可解答． 【详解】解：设，则， 墙长，， ，， 解得， 花园的面积， ∴当时，花园面积最大，最大面积为． 【变式题1-2】.如图所示，一个矩形的长为，宽为，如果将这个矩形的长与宽都增加，那么这个矩形的面积增加．求y与x之间的关系式． 【答案】y与x之间的关系式为． 【分析】根据题意得，变化后的矩形的长为，宽为，然后列式计算即可． 【详解】解：根据题意得，变化后的矩形的长为，宽为， ∴． 【变式题1-3】.如图，一块矩形场地的长为，宽为．现将这块地划分成四块，分别种植： A．郁金香      B．月季      C．菊花       D．玉兰花 (1)求这块场地中种植月季的面积关于场地的长的函数表达式，并求出自变量的取值范围． (2)当是多少时，种植月季的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)；自变量的取值范围是； (2)当时，种植月季的面积最大，最大面积为 【分析】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键， （1）根据题意可得场地的宽度为：，从而列出，化简即可得到函数关系式，令当，即可得到交点坐标，从而得到自变量x的取值范围； （2）将一般式转化成顶点式，利用二次函数的性质可得当时，种植月季的面积最大，最大面积为． 【详解】（1）解：由题可得：场地的宽度为：， ∴， 当时，即， 解得：，， ∴函数与x轴的交点坐标为：和，自变量的取值范围为：； （2）解：由（1）知，， ∴当时，种植月季的面积最大，最大面积为． 2、 【题型2】抛物线实物建系求解析式（拱桥、拱门基础） 1、 核心知识点   平面直角坐标系建立；顶点式待定系数法；现实长度转化为点坐标。 2、解题方法技巧   ①优先选择抛物线顶点在y轴上，对称轴为y轴，简化计算；   ②把题目给出的跨度、高度转化为抛物线上点的坐标；   ③已知顶点优先选用顶点式代入计算，注意开口向下。 【例题2】.如图，一座抛物线形拱桥，拱顶离水面，水面宽． (1)建立适当的坐标系，求抛物线的解析式； (2)若水面上涨，此时水面宽是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立平面直角坐标系，根据抛物线顶点坐标设顶点式，再代入点求出解析式； （2）根据新的纵坐标，求出对应横坐标即可求出此时的水面的宽度． 【详解】（1）解：以水面中点为原点，水平方向为轴，竖直方向为轴，建立平面直角坐标系，如图， ∴抛物线过，顶点为， 设抛物线的解析式为，将代入，得 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：水面上涨，令，得 ， 此时水面宽是． 【变式题2-1】.“运河三千里，醉美是淮安．”“常盈桥”是里运河上一座古朴典雅的人行景观桥，桥身呈对称分布．如图，桥拱可以看成抛物线形，跨径为，拱高为． (1)建立恰当的平面直角坐标系，求出抛物线对应的函数表达式． (2)当桥拱下的水面宽为时，求此时拱顶到水面的距离． 【答案】(1)建立平面直角坐标系如图： 抛物线表达式为 (2)拱顶到水面的距离为 【分析】（1）以点D为坐标原点，射线方向为x轴正方向，射线方向为y轴正方向建立平面直角坐标系，再由待定系数法求解即可； （2）当桥拱下的水面宽为时，则水面上的点的横坐标为，将代入，求出水面距离的高度，即可求解拱顶到水面的距离． 【详解】（1）解：以点D为坐标原点，射线方向为x轴正方向，射线方向为y轴正方向建立平面直角坐标系，如图： 由题意得，， 则， 设抛物线表达式为， 代入，可得 解得 ∴抛物线的表达式为； （2）解：当桥拱下的水面宽为时，则水面上的点的横坐标为， 将代入，可得， ∴此时拱顶到水面的距离为 答：拱顶到水面的距离为． 【变式题2-2】.某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，如图，已知这座桥的跨度米，拱高米，且设计方案为抛物线型，抛物线的解析式为．现有一艘宽为15米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面米，此货船能否顺利通过这座桥？请说明理由． 【答案】货船不能顺利通过这座桥，理由如下： 当时，即， 解得，． ，且， 货船不能顺利通过该桥． 【分析】根据题意，当时，可得方程，再解方程，即可得出结论． 【详解】略 【变式题2-3】.如图是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，水面的宽度为，桥洞与水面的最大距离是．经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图）． (1)你选择的方案是______（填“方案一”“方案二”或“方案三”），则B点坐标是______； (2)求出你所选方案中的抛物线的解析式； (3)因降暴雨水位上升，此时水面宽为多少？ 【答案】(1)方案一，；方案二，；方案三， (2)方案一，；方案二；方案三， (3) 【分析】（1）根据水面的宽度为，桥洞与水面的最大距离是，求出点坐标； （2）三种方案中抛物线开口都向下，故抛物线解析式二次项系数为负，根据题意先求出顶点坐标，设解析式为顶点式，再代入（1）中点B坐标，即可求出抛物线解析式； （3）任意选择三种方案中的一种，根据暴雨水位上升代入对应抛物线解析式，求解即可． 【详解】（1）解：分情况讨论： 选择方案一： 由题意得，; 选择方案二： 由题意得，; 选择方案三： 由对称性可知点与点关于轴对称，，， 又桥洞与水面的最大距离是，， ． （2）解：分情况讨论： 选择方案一：由题意得抛物线顶点坐标为， 抛物线开口向下，故设抛物线解析式为， 代入，得， 解得， 抛物线解析式为; 选择方案二：由题意得抛物线顶点坐标为， 抛物线开口向下，故设抛物线解析式为， 代入，得， 解得， 抛物线解析式为; 选择方案三：由题意得抛物线顶点坐标为， 抛物线开口向下，故设抛物线解析式为， 代入，得， 解得， 抛物线解析式为． （3）解：选择方案三中的解析式， ， 暴雨水位上升后，代入，得， 解得或， 水面宽为． 【题型3】抛物线轨迹实际应用题（投球、喷水、隧道通行判断） 1、 核心知识点   抛物线解析式；代入自变量求函数值、代入函数值求自变量；现实结果取舍。 2、解题方法技巧   ①建立坐标系求出抛物线解析式；   ②判断物体能否通过隧道：固定车辆宽度，代入横坐标求对应高度，对比车辆限高；   ③求水平宽度：求出对应高度下两个x值，做差得到宽度；落地问题令求根，舍去负数根。 【例题3】.如图是乒乓球发球器某次发球过程的部分示意图，已知球台的长约为，球网在球台的中点处（点A是的中点），球网的高度约为，发球点的高度为，当乒乓球到的距离为时，乒乓球离球台的最大高度是，，．设乒乓球距离发球点C的水平距离为，乒乓球距离球台的竖直高度为，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，乒乓球的运动轨迹可视为一条抛物线． (1)求乒乓球运动轨迹所在抛物线的函数表达式； (2)请你判断乒乓球发球器此次发出的球是否有效（球是否越过球网并落在球台上），并说明理由． 【答案】(1) (2)乒乓球发球器此次发出的球无效， 由题意可知点A的横坐标为1.4， 当时，， ， 乒乓球越过了球网． 令，则， 解得（舍去），． ， 乒乓球没有落在球台上． 综上可得乒乓球发球器此次发出的球无效． 【分析】（1）由乒乓球到的距离为时，乒乓球离球台的最大高度是，设抛物线的函数表达式为，由发球点的高度为，得点C的坐标为，代入解方程求出a值即可． （2）先求得时的y值，可判断是不是越过球网；再求得时的x值，可判断是否落在球台上，进而可判断是否有效． 【详解】（1）解：由题意可得抛物线的顶点坐标为，点C的坐标为． 设抛物线的函数表达式为， 将代入上式，得， 解得， 乒乓球运动轨迹所在抛物线的函数表达式为（或）． （2）略． 【变式题3-1】.美加墨世界杯点燃了全球足球热情，在比赛中，赛场使用半自动识别系统，通过高速摄像头与足球内置传感器，采集足球在空中飞行的位置数据．如图为某一时刻系统监测到画面的示意图，足球的飞行轨迹可近似看作一条抛物线，攻球员位于点，守门员位于点，直线与球门线交于点，已知，． 通过系统监测，足球飞行的水平速度为．离地高度与水平距离（水平距离水平速度时间）的数据如表．守门员的最大防守高度为．当守门员位于足球正下方时且足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功． … … … … (1)求与的函数表达式； (2)若守门员选择原地接球，能否防守成功？若成功，请求出守门员接住球时，球的高度；若不成功，请通过计算说明理由； (3)若守门员在攻球员射门瞬间就作出面对足球后退的防守反应，请计算守门员成功防守的最小后退速度． 【答案】(1) (2)不成功，理由如下： 已知，， 则， 对于，当， 解得， 守门员的最大防守高度为，， 故守门员不能防守成功． (3) 【分析】（1）利用表格中的对称点找到抛物线顶点，然后设顶点式求二次函数； （2）算出守门员在原地对应的水平距离，代入函数求值，和守门员的最大防守高度对比进行判断； （3）算出球的高度等于最大防守高度时的水平距离，求出足球的飞行时间，再根据守门员后退的最小距离算出守门员后退的最小速度． 【详解】（1）解：据图表可知，当和时，， 则抛物线的对称轴为，抛物线顶点为， 则抛物线的解析式为， 将代入，可得， 故抛物线的解析式为； （2）略； （3）解：根据题意可知，当守门员刚好接到球时，球的离地高度为， 对于，当， 解得或， 由（1）知抛物线对称轴为，则舍去，此时，即足球的飞行距离为， 已知足球飞行的水平速度为， 则足球的飞行时间为， 守门员最少需要后退， 故守门员的最小后退速度为． 【变式题3-2】.政府要对某音乐广场上的圆形喷水池及其装置进行改造． 问题 圆形喷水池中心竖直安装一根水管，水管顶端安装一个向外喷水的喷水头，喷出抛物线形水柱．现将水管向上增高1米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变，圆形喷水池的直径至少是多少米，水才不会喷到池外． 过程 方法说明 利用皮尺进行测量，利用二次函数模型进行计算． 操作说明 以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． 数据测量 原喷水池直径为16米，喷水头距离地面0.8米，喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水管水平距离为3.5米处达到最高． 建立模型 计算，交流展示…… 请根据上述信息，完成下列问题： (1)设改造前喷出水柱所在抛物线对应的函数解析式为，求a，b的值； (2)求改造后圆形喷水池的直径至少是多少米？ 【答案】(1)， (2)米 【分析】（1）抛物线经过，对称轴为直线，再由待定系数法求解即可； （2）根据二次函数的平移求出平移后的抛物线的表达式，再令，求出，即可求解半径． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线经过，对称轴为直线， ∴ 解得； ∴，； （2）解：由（1）可得原抛物线的表达式为， 配方可得， ∵现将水管向上增高1米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变 ∴新抛物线的表达式为，即， 当时，， 解得，（舍去）， ∴（米） ∴改造后圆形喷水池的直径至少米． 【变式题3-3】.【情境导入】 周末，小深和同学们到某体育中心参观．场馆外的下沉式广场正在进行音乐喷泉调试．工程师告诉大家，喷泉的水流轨迹可以用二次函数精确计算，以实现既美观又节水的效果．广场一侧有一段草坡，坡面上临时放置一棵装饰用的发光小树，用于测试水流水压． 【数学建模】 将草坡截面抽象为直角三角形，如图，，米，米，坡面上有一棵小树（小树粗细忽略不计，点在斜坡上且与点不重合，），现在斜坡底处安装一个喷水管，水流呈抛物线状，恰好落在处．技术人员以为原点，水平向右为轴，竖直向上为轴，记录了喷头开启后喷水管喷出水流到的水平距离（米）与水流的高度（米）的变化规律如表： 0 1 2 3 4 … 2 2 … 【探究任务】 (1)根据表格数据，可得该抛物线的顶点坐标为________，并求出水流的函数解析式． (2)若调试时，水流恰好经过树顶点， ①为了美观，小树不能太高．请计算在现有水流轨迹下，这棵小树的最大可能高度是多少？ ②若设计师希望从坡顶处看，树底和树顶的视觉效果对称（即），请求出此时树顶的坐标． 【答案】(1)， (2)①这棵小树的最大可能高度是；②点坐标为 【分析】（1）由表格信息可知抛物线顶点为．设抛物线解析式为，将点代入即可求解； （2）①设直线解析式为，将代入可求得的解析式为，设点的横坐标为，则点N的纵坐标为，，用含m的式子表示出，进而根据二次函数的性质可得答案； ②过作于点，连接，设，则，，点的横坐标为，点N的纵坐标为，根据得到，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由表格可知，时y的值和时y的值相等， ∴对称轴为直线， ∴顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 将点代入得：， 解得， 故抛物线解析式为． （2）解：①设直线的解析式为， 将代入 得， 解得， ∴直线的解析式为． 设点的横坐标为， 则点N的纵坐标为，， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． ②如图所示，过作于点，连接， 设，则，，点的横坐标为，点N的纵坐标为 ∵， ∴为中点，即 ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴点坐标为． 【培优高频题型】 【题型4】利润问题结合方程（涨价降价题型） 1、 核心知识点   总利润、单件利润、销售量三者关系；根据题意列二次函数；确定售价、销量的取值边界。 2、解题方法技巧   ①分清自变量是涨价/降价金额，还是直接是售价；单件利润售价进价；   ②涨价则销量减少，降价则销量增加，不要颠倒增减符号；   ③保证单件利润大于0，销售量大于0，据此锁定自变量范围。 【例题4】.某商店销售一种成本为每件 元的商品，物价部门规定每件售价不高于 元．经市场调查发现：当每件售价定为 元时，每天可售出 件；当每件售价提高1元时，每天的销售量就减少 件． (1)求每天销售利润 （元）与每件售价 （元）之间的函数关系式； (2)当每件售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)售价 元时最大利润 元 【详解】（1）解：根据题意得： ∴， ∴每天销售利润 （元）与每件售价 （元）之间的函数关系式为． （2）解：根据（1）得： ∴此抛物线开口向下，对称轴为，有最大值， ∵在范围， ∴当时，， ∴当每件售价定为50元时，每天的销售利润最大，最大利润是800元． 【变式题4-1】.某食品零售店为食品厂代销一种面包，统计销售情况后发现，当这种面包的单价定为元时，每天卖出个．在此基础上，这种面包的单价每提高元，该零售店每天就会少卖出个．该零售店每个面包的成本是元．设这种面包的单价为元，零售店每天销售这种面包所获得的利润为元． (1)每个面包的利润为________元，每天卖出面包的个数为____________（用含的代数式表示）； (2)与之间的函数关系式为_________________________． 【答案】(1)， (2) 【分析】第一个空利用售价减去进价等于利润即可求得；第二个空看比原售价元多了多少元，就少卖出多少个，根据题意列式即可得到结果；第三个空利用总利润等于每个利润乘个数即可得到关系式． 【详解】（1）解：这种面包的单价为元，每个面包的成本是元， 每个面包的利润为元． 每天卖出面包的个数为：． （2）根据题意得： ． 【变式题4-2】.某商场销售一批鞋子，平均每天可售出40双，每双盈利50元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施，调查发现，每双鞋子每降价1元，商场平均每天可多售出2双． (1)若每双鞋子降价20元，则商场平均每天可售出______双鞋子． (2)当每双鞋子降价多少元时，每天可以获得最大利润?最大利润为多少元? (3)若商场每天要盈利2448元，且让顾客尽可能多得实惠，则每双鞋子应降价______元． 【答案】(1)80 (2)当每双鞋子降价15元时，每天可以获得最大利润，最大利润为2450元 (3)16 【分析】（1）根据题意列出算式，即可求解； （2）设每双鞋子降价元时，每天可以获得最大利润元．根据题意列出二次函数，根据二次函数的性质，求得最值即可求解； （3）设每双降价元，根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：（双）， ∴商场平均每天可售出80双鞋子； （2）解：设每双鞋子降价m元时，每天可以获得最大利润元． 由题意得， ， 当元时，元， 答：每双鞋子降价15元时，每天可以获得最大利润2450元； （3）解：设每双降价x元． 由题意得， 解得， 让顾客尽可能得实惠， ， ∴每双鞋子应降价16元． 【变式题4-3】.某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动． 市场调查选取两类作品：原木小件（记作A品）、滴胶花艺（记作B品）．收集到如下信息： 信息1：制作一件A品比一件B品的成本高2元，用120元制作A品的件数与用80元制作B品的件数相等． 信息2：当A品售价为18元/件时，其销量为220件，售价每涨1元，销量减少10件；B品售价固定为16元/件． 信息3：根据市场需求，制作并销售A品和B品共300件． 成本核算 (1)分别求制作一件A品和一件B品的成本． 模型建立 (2)设销售A品和B品的总利润为元，A品涨价后的售价为元/件，则每件A品的利润为_______元，A品的销量为_________件，每件B品的利润为______元，B品的销量为______件，求总利润关于A品涨价后的售价的函数解析式． 方案设计 (3)若，当总利润最大时，请设计A品和B品的数量分配方案． 【答案】(1)制作一件A品的成本为元，制作一件B品的成本为元． (2)每件A品的利润为元，A品的销量为件，每件B品的利润为元，B品的销量为件；总利润关于的函数解析式为（）． (3)当制作并销售A品件、B品件时，总利润最大． 【分析】（1）设制作一件A品的成本为元，则制作一件B品的成本为元，根据用120元制作A品的件数与用80元制作B品的件数相等列方程并解方程即可得到答案； （2）设销售A品和B品的总利润为元，A品涨价后的售价为元/件，根据题意列出代数式和函数解析式即可； （3）根据二次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：设制作一件A品的成本为元，则制作一件B品的成本为元， 解得 经检验是分式方程的解且符合题意， ， 答：制作一件A品的成本为元，制作一件B品的成本为元． （2）解：每件A品的利润为元，A品的销量为件，每件B品的利润为元，B品的销量为件； 总利润关于的函数解析式为（）． （3）解： ∴当时，随着的增大而减小， ∴当时，取得最大值， 此时A品的销量为件，B品的销量为件． 【题型5】多约束几何建模（墙长+隔断栅栏综合探究题） 1、 核心知识点   含隔断栅栏的矩形面积模型；多重不等式确定自变量取值范围；限定区间求最值。 2、解题方法技巧   ①数清楚栅栏总段数，区分平行墙、垂直墙方向各有几段栅栏；   ②同时满足：边长大于0、墙的最大长度限制，联立多个不等式，取公共解集；   ③判断顶点是否在公共解集内，不在则取端点得到最大面积。 【例题5】.如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度是），围成中间有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽是（单位：），面积是（单位：）． （1）写出与的函数关系式_______________，的取值范围为_______________； （2）如果要围成面积为的花圃，则的长为__________米． 【答案】 9 【分析】（1）根据题目数量关系列函数表达式即可； （2）将代入（1）中表达式即可求解． 【详解】解：（1）由，得， 则， ∵， ∴， ∴， ∴S与x的函数关系式为； （2）若，则， 解得：，， ∵， 所以， 即当的长为9米时，花圃的面积为162平方米． 【变式题5-1】.学校计划在体育馆旁搭建两个相连的矩形自行车车棚，如图所示，一边借助体育馆的外墙，可利用墙长为25米，其余部分用总长36米的铝合金材料围成，且在两个车棚中间及左右两侧各设置一个1米宽的通道（通道不用铝合金材料）． (1)设自行车车棚的面积为S平方米，车棚的宽度为x米，求S与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； (2)S是否总随x的增大而增大，请说明理由． 【答案】(1)， (2)S不总是随x的增大而增大，当时，S随x的增大而增大；当时，S随x的增大而减小 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、解不等式组等知识点，理解题意、找到等量关系、列出函数关系式是解题的关键． （1）设车棚宽度为，那么宽需要需用的材料为米，然后根据自行车车棚铝合金材料总长减去三条宽长度即可表示出，最后利用长乘以宽表示出面积，结合墙的长度可列出不等式表示出自变量的范围； （2）根据二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设车棚宽度为， ∵铝合金材料总长36米，且在两个车棚中间及左右两侧各设置一个1米宽的通道（通道不用铝合金材料）， ∴， ∴． 由， 解得：． ∴S与之间的函数关系式为，自变量的取值范围是． （2）解：S不总随x的增大而增大，理由如下： 由（1）得：， ∵的对称轴为直线，且， ∴S不总是随x的增大而增大，当时，S随x的增大而增大；当时，S随x的增大而减小． 【变式题5-2】.如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口，不锈钢栅栏形状如“山”字形.（备注信息：在自行车棚后面距教学楼后墙8米处，规划有机动车停车位） (1)设自行车车棚面积为，车棚宽度为，求与之间的函数关系式为_____，并直接写出自变量的取值范围______； (2)若学校拟利用现有栅栏对自行车车棚进行扩建，请问该车棚面积最大可达到多少？请通过计算说明． 【答案】(1)； (2) 自行车车棚面积最大可达到， 说明： ， ，对称轴为直线，而， 当时，有最大值为：， 自行车车棚面积最大可达到. 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据矩形的面积表示出，结合题目条件求出自变量的范围； （2）根据二次函数的性质解题即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴， 且墙长为，在自行车棚后面距教学楼后墙8米处，规划有机动车停车位， ∴， 解得； 故答案为：  ；； （2）略 【变式题5-3】.学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动．已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成．兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃时，用栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个小矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）． (1)求方案一中与墙垂直的边的长度； (2)求方案二中花圃的最大面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． （1）依据题意，设与墙垂直的边的长度为，则与墙平行的边的长度为，则，进而计算可以得解； （2）依据题意，设与墙垂直的边的长度为，则与墙平行的边的长度为，花圃的面积为，则，又，结合，根据二次函数的性质求最大值即可． 【详解】（1）解：设与墙垂直的边的长度为，则与墙平行的边的长度为， 根据题意得， 解得， 答：与墙垂直的边的长度为； （2）解：设与墙垂直的边的长度为，则与墙平行的边的长度为，花圃的面积为， 根据题意得， ∴， ∵， ∴当时，S有最大值363， 答：方案二中花圃的最大面积是． 【题型6】表格数据拟合二次函数基础题 1、 核心知识点   通过表格数据识别二次函数；待定系数法求二次函数解析式。 2、解题方法技巧   ①从表格选取三组不重复的；代入列方程组；   ②解方程组求出，得到解析式；   ③选取表格其他数值代入解析式检验，验证模型正确性。 【例题6】.项目式学习 【项目主题】设计减速带之间的距离． 【项目背景】在校园、景区的道路中间，常常设置一些用于限制汽车速度的减速带，但是相邻减速带之间的距离不宜过大，也不宜过小，那么减速带之间的距离应该设置为多少较合适？数学兴趣小组以此为主题开展项目式学习． 【研究步骤】 ①査阅资料 数学兴趣小组查阅资料获知，在限速的情况下，汽车从一个减速带到另一个减速带之间需要经历先加速、再减速两个阶段，其中第一阶段汽车速度从（前一减速带）加速到，第二阶段从减速到（后一减速带），两个减速带之间的距离就是这两个阶段汽车行驶的路程之和． ②建立模型 经过物理老师的帮助，该兴趣小组确定了汽车在加速阶段行驶的路程，速度，其中v0为初始速度，a为加速度，t为行驶时间，在加速阶段． ③测量数据 数学兴趣小组利用秒表分别测量汽车加速过程中，速度达到所用的时间，并进行多次试验取平均值，得到表1信息： 表1 时间/s 0 1.5 3 4.5 6 速度/（） 0 10 20 30 40 ④整理数据 数学兴趣小组进一步把速度的单位进行转换，得到表2信息： 表2 时间/s 0 1.5 3 4.5 6 速度/（） 0 【解决问题】请你根据以上信息回答下列问题： (1)请你根据表2信息，求第一阶段v与t的函数关系式、s与t的函数关系式． (2)若第二阶段汽车行驶路程是第一阶段汽车行驶路程的，请计算相邻两个减速带之间的距离（结果精确到）． 【答案】(1)第一阶段与的函数关系式为，与的函数关系式为 (2)相邻两个减速带之间的距离约为 【分析】（1）利用待定系数法即可解答； （2）根据表中数据得到速度为时，，再代入函数解析式计算即可． 【详解】（1）解：由题意，知第一阶段v与t的函数关系式为，s与t的函数关系式为． 将代入， 得， 解得． ∴第一阶段与的函数关系式为， 与的函数关系式为． （2）解：由题意，知当时，， 此时，即第一阶段汽车行驶的路程为． ∴第二阶段汽车行驶的路程为．． ∴相邻两个减速带之间的距离约为． 【变式题6-1】.综合与实践． 【实践活动】如图，某科技小组开展无人机抛投实验，已知无人机在距离地面20米的高空水平飞行，当无人机到达点时，竖直向下抛出一个小型探测装置，探测装置的运动轨迹为抛物线，其水平方向做匀速直线运动，速度为4米/秒，竖直方向做自由落体运动（竖直方向位移公式为，其中为下落高度，为运动时间，米/秒，（忽略空气阻力）． (1)【数据收集】设探测装置运动时间为秒（），水平距离为米，竖直方向距离地面高度为米，完成以下表格，并求出关于的函数解析式； 时间/秒 0 1 2 水平距离/米 竖直方向位移距离/米 竖直方向距离地面高度/米 (2)【区域探究】为了确保实验安全，现规定当探测装置离地高度不低于5米时为飞行安全区域，请你通过计算求出安全区域水平距离的范围，并求出探测器在安全区域飞行的时间（结果保留根号）； (3)【方案调整】若实验区域正前方有一个长2米、高3米的长方体障碍物，障碍物的中心与原点的水平距离为6.5米，探测装置是否会与障碍物发生碰撞？请通过计算说明理由；若发生碰撞，该如何调整抛出的位置？ 【答案】(1)解：填表如下： 时间/秒 0 1 2 水平距离/米 0 2 4 6 8 竖直方向位移距离/米 0 5 20 竖直方向距离地面高度/米 20 15 0 (2)安全区域水平距离的范围为，时间为秒； (3)解：探测装置与障碍物会发生碰撞， 理由：当时，， 当时，， 探测装置与障碍物会发生碰撞， 当时，则， 解得（负值舍去）， ∵， ∴只需将抛出的位置向左平移（米）或向右平移（米）， ∴可以向右平移1米抛出或向左平移3米抛出．（答案不唯一） 【分析】（1）根据题意分别计算即可完成表格；再利用待定系数法即可求出关于的函数解析式； （2）当时，代入（1）中解析式得，即可解答，再利用路程除以水平方向的速度即可求出时间； （3）求出当时，，当时，，即可解答，再求出当时，，结合，即可作出调整． 【详解】（1）解：填写表格略， 设关于的函数解析式为， 把代入得， 解得， 关于的函数解析式为． （2）解：当时，代入（1）中解析式得， 解得， 安全区域水平距离的范围为， 时间为（秒）． （3）略 【变式题6-2】.综合与实践 某环保研究小组开展“净化剂投放量对水质净化效果的影响”研究项目．污水处理中，净化剂投放量不足时净化效果差，过量投放反而会破坏水质．通过建立数学模型，可以确定最优投放量．请你参与探究，完成以下任务． 【数据收集】 该小组在某污水处理厂进行实验，记录不同净化剂投放量x（单位：克/升）对应的水质净化率y（单位： ），数据如下表： 净化剂投放量x（克/升） 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 6.2 水质净化率y 70. 00 76.875 82.50 86.875 90.00 91.875 92.50 91.875 90.00 86.875 82.5 66.90 【数据分析】 小组成员将表中数据作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点，如图所示． 说明：①当投放 时，净化率为自然净化率（无净化剂作用）； ②当净化率大于等于零且小于自然净化率时，该净化剂抑制水质净化； ③当净化剂抑制水质净化，使得净化率减小到0时，停止实验探究． 【问题解决】 (1)观察各点的分布规律，判断y关于x的函数类型，并求出该函数的表达式． (2)根据所建模型，请计算抑制水质净化时的净化剂投放量x的取值范围． 【答案】(1)观察各点的分布规律，可知y关于x的函数是二次函数； (2)抑制水质净化时的净化剂投放量x的取值范围为 【分析】（1）先判断出y关于x的函数是二次函数，再利用待定系数法求解即可； （2）先计算出自然净化率为 ，由二次函数的对称性，可知当 时， ，令 时，求得x的值，再结合图象求解即可． 【详解】（1）解：观察各点的分布规律，可知y关于x的函数是二次函数． 且最高点坐标为 设该二次函数的表达式为． 将代入，得 ，解得 ． ∴该二次函数的表达式为 ． （2）解：当 时， ， ∴自然净化率为 ． ∵ ， ∴二次函数的对称轴为直线 ． ∴由二次函数的对称性，可知当 时， ． 令 ， 解得（舍去），． 由题意，知当 时，该净化剂抑制水质净化， ∴抑制水质净化时的净化剂投放量x的取值范围为． 【变式题6-3】.【问题背景】共享单车是深圳绿色出行的重要方式，早高峰期间，大量市民选择骑行共享单车至地铁站．为解决共享单车占用人行道问题，共享单车公司针对早高峰时段某地铁站口开展共享单车的投放与调度研究．以下为该站口共享单车停放区、骑行区及调度车停靠点的示意图． 【调研条件】 条件1：早高峰从开始，持续30分钟（用x表示时间，单位：分钟， ，对应）． 条件2：地铁站口最多可同时停放224辆单车（超过将阻塞人行道）． 条件3：共享单车停放区可近似看作宽度相等的矩形，单车在此区域均匀摆放，且共享单车停放区②、③、④的长和宽均相等，共享单车停放区①的面积是共享单车停放区②的面积的两倍． 条件4：每辆调度车配备一个调度员，每个调度员大约每分钟可从站口运走6辆单车至调度车（调度车装满后将共享单车运往周边小区，随后下一辆调度车立马补到上一辆调度车的位置） 【数据调研】 经大数据统计，早高峰期间地铁站口的累计还车数量y（辆）与时间x（分钟）大致满足二次函数关系，记录的数据如下表： x（分钟） 0 3 6 9 12 15 … y（辆） 80 179 260 323 368 395 … 结合上述信息，请完成下述问题：   【模型应用】 (1)请根据表格中的数据，在平面直角坐标系中画出y与x的函数图象，并求出y与x的函数解析式． (2)当只有一辆调度车，经过x分钟，已调度的共享单车数量为______；地铁站口共享单车停放区共享单车的数量w与x的函数关系式为____________； (3)在恰好满足条件1、2、4，且不浪费资源的条件下，需要同时安排多少辆调度车？ 【答案】(1)函数图象如图所示： 函数解析式为： (2)； (3)2辆 【分析】（1）描点、连线即可作出函数图象；再确定函数关系为二次函数，即可由待定系数法求解解析式； （2）由于每个调度员大约每分钟可从站口运走6辆单车至调度车，即可得到经过x分钟，已调度的共享单车数量为；再由求解函数解析式； （3）设需要同时安排辆调度车，则，即，由题意得，在范围内，即可，据此求解即可． 【详解】（1）解：函数图象 由已知可得是的二次函数， ∴设解析式为： 代入点、、 则 解得 ∴函数解析式为； （2）解：由题意得，当只有一辆调度车，经过x分钟，已调度的共享单车数量为（辆）， ∴， 即； （3）解：设需要同时安排辆调度车， 则， 即， 由题意得，在范围内，即可， 对于， 对称轴为直线， ∵ ∴， ∴， 即 ∴或 解可得，； 解，此时无解， 为了不浪费资源，故取最小值， ∴需要同时安排辆调度车． 【压轴素养题型】 【题型7】动点几何面积二次函数模型（劳动实践情境） 1、 核心知识点   动点用运动时间表示线段长；图形面积公式；运动边界约束自变量范围。 2、解题方法技巧   ①用时间表达动点移动距离，再表达图形底和高；   ②根据面积公式列出二次函数；根据动点停止条件写出的取值范围；   ③求面积最大最小值，注意判断顶点是否在运动时间范围内。 【例题7】.如图，已知等腰直角三角形的直角边长与正方形的边长均为，与在同一条直线上，开始时点A与点M重合，让向右移动，最后点A与点N重合． (1)试写出两图形重叠部分的面积与线段MA的长度之间的函数关系式． (2)当点A从点M开始向右移动时，重叠部分的面积是多少？ 【答案】(1)（）． (2) 【分析】（1）根据图形及题意所述可得出重叠部分是等腰直角三角形，从而根据的长度可得出y与x的关系； （2）将代入可得出重叠部分的面积． 【详解】（1）解：由题意知，开始时A点与M点重合， 让向右移动，最后点A与点N重合， 两图形重合的长度为， （）． （2）解：当时， 即， 重叠部分的面积 （）． 【变式题7-1】.如图，在矩形中，，．动点P从点B出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接，设和矩形重叠部分的面积为S． (1)用含t的代数式表示的长； (2)当点E落在边上时，求t的值； (3)求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意易得然后根据矩形的性质可进行求解； （2）由题意可知此时，然后问题可求解； （3）由题意可分和进行分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，，， ∴，， 由题意得：， ∴； （2）解：当点E落在边上时，则有， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； （3）解：由题意可分：①当时，设与分别交于点，如图所示： ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在矩形中，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； 当时，此时在矩形的内部， ∴； 综上所述：S与t的函数关系式为． 【变式题7-2】.如图1，在直角中，，，，动点以每秒3个单位长度的速度从点出发，沿方向运动，动点以每秒2个单位长度的速度从出发，沿方向运动，点、点同时出发，当点到达点时，点、两点均停止运动（点不与，重合）．过点作的垂线交于点，垂足为点，连接，设动点运动的时间为秒，点与点的距离为，的面积为． (1)请直接写出分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】(1)，； (2) 函数图象如图： 当时，随的增大而增大． (3)或． 【分析】（1）证明可得，结合，，再进一步求解即可． （2）结合函数解析式以及自变量的取值范围画图，结合图象总结图象性质即可． （3）结合函数图象可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴， 当时，， ∴． （2）略 （3）解：结合函数图象，时的取值范围为：或． 【变式题7-3】.如图所示，在中，，，，动点从出发沿边向点以的速度运动，动点从点开始沿边向点以的速度运动，若，两点分别从，两点同时出发，在运动过程中，求的最大面积． (1)当，同时出发后经过时，_____cm，_____cm． (2)在运动过程中，求的最大面积． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据“路程=速度×时间”得，同时出发后经过时，，，根据可求出； （2）设P、Q同时出发后经过，的面积为，则，，，进而得到S的表达式；由于S的表达式为二次函数的形式，将其化为顶点式，再结合t的取值范围就能得出面积的最大值． 【详解】（1）解：当，同时出发后经过时，，， 又， ∴； （2）解：设P、Q同时出发后经过，的面积为，则，，， 则． ∵，，动点从出发沿边向点以的速度运动，动点从点开始沿边向点以的速度运动， ∴， ∴， ∴时，S有最大值，最大值为9，即的最大面积为． 【题型8】新情境实物抽象抛物线综合探究题 1、核心知识点   实物抽象坐标系；二次函数解析式；方程与不等式综合，实际参数探究。 2、解题方法技巧   ①读懂实物示意图，将实物尺寸转化为坐标；合理建立坐标系；   ②利用已知点求抛物线解析式；   ③结合问题，代入数值求解高度、距离，检验结果是否符合实物结构限制。 【例题8】.综合与实践 【问题背景】 随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效益成为关注重点．某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收支平衡问题． 【研究条件】 条件1：该充电站收入（单位：元）与当日充电汽车数量（单位：辆）之间成正比例关系如表： 1 2 3 4 5 50 100 150 200 250 条件2：该充电站的运营成本（单位：元）与充电汽车数量之间满足：． 【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题： (1)根据如表数据，求与的函数关系式，并计算当时，该充电站的收入为多少元？ (2)当收入等于成本时，充电站达到收支平衡．求此时的值． 【模型应用】 (3)由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为，成本关系保持不变．已知当汽车数量为80辆时，净收益（净收益=收入-成本）取得最大值，请求出符合条件的值，并说明理由． 【总结反思】 函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还需考虑充电桩利用率、电价波动、用户排队等因素，后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策． 【答案】(1) 与的函数关系式为（，且为整数）；当时，该充电站的收入为2000元 (2) 收支平衡时的值为20或100 (3) 解：符合条件的值为60 理由如下： 设净收益为元，由题意得 ， ∵ ， ∴ 该二次函数开口向下，在顶点处取得最大值， ∵ 当时净收益取得最大值， ∴ 顶点横坐标为80，即， 解得. 【分析】（1）根据正比例函数定义设解析式，代入表格中一组对应值求出比例系数，再将代入解析式计算收入； （2）根据收入等于成本的等量关系列一元二次方程，求解得到符合实际意义的根； （3）先根据净收益的定义列出二次函数表达式，结合二次函数最大值在顶点处的性质，利用顶点横坐标列方程求解． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 将，代入得， 解得， ∴（，且为整数）， 当时，（元）. （2）解：由题意得，收支平衡时， 即， 整理得， 因式分解得， 解得，， 均为正整数，符合实际意义； （3）解：略． 【变式题8-1】.问题情境 新能源汽车高质量超级充电站快速发展，致力于实现“1秒钟充电1公里”．如图1，是一个新能源超级充电站，勤思小组对该超级充电站的设计方案和消防设备进行了研究． 研究步骤 如图2是该超级充电站的截面图，是安装充电桩的墙面，是充电站顶部的膜结构棚顶，可近似地看作抛物线的一部分，以点O为原点，表示地面的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．已知，点B为所在抛物线的最高点，其坐标为． (1)求所在抛物线的函数表达式． 问题解决 如图2，点C是上干粉灭火器的安装点，是长度为的干粉灭火器装置，点D为干粉喷射点．已知干粉喷射点D距离地面时，对地面的保护半径为．对空间的保护截面可近似地看作顶点为D的抛物线与x轴组成的封闭区域．安装点C可根据需要在所在抛物线上滑动，从D点喷出的干粉形成的抛物线形状相同． (2)若干粉喷射点D距地面的高度恰好为时，灭火器喷射时能不能覆盖着火点?请说明理由． 【答案】(1) (2)解：不能覆盖着火点 理由如下，由题意得，， 对于， 令，则，解得或， ， ∴点， ∴点． 设此时抛物线的解析式为， ∵对地面的保护半径为， ∴此抛物线与x轴的两个交点为和，即和， 将代入得，解得， ∴抛物线的解析式为， 令，则， ∴点在抛物线与x轴形成的区域的外侧， ∴不能覆盖着火点. 【分析】（1）设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出新的抛物线的解析式，求出时的函数值，进行判断即可. 【详解】（1）解：由题意，所在抛物线的顶点坐标为，点， ∴设所在抛物线的解析式为， 将点代入得，解得， 所在抛物线的解析式为，即； （2）略 【变式题8-2】.综合与实践 风对田径比赛有影响，田径比赛规定：在100米和200米、110米栏、跳远和三级跳远等项目中，凡顺风风速超过，若创纪录不予承认．某体育训练团队期望建立一个科学合理的函数模型描述风速对100米比赛成绩的影响，将风速影响下的成绩转换为零风速状态下的成绩，从而更准确地评估运动员竞技水平． 【前期准备】查阅文献等相关资料，收集整理并筛选国内、外重要比赛的有效数据． 【模型假设】假设1：用（单位：）表示风速，顺风用正数表示，逆风用负数表示． (1)逆风风速记为____． 假设2：风速影响下的成绩记为（单位：），零风速状态下的成绩记为（单位：）．成绩变化量记为，与的关系用函数近似描述． (2)描述与关系的函数图象应经过坐标原点，请你结合和的关系解释原因． 假设3：用二次函数描述与的关系． 【模型求解】根据已有数据，通过统计软件进行数据分析，得到二次函数模型为：． 【模型应用】 (3)请你估计顺风风速时的成绩变化量． (4)某运动员在专项训练前后各参加了一次100米比赛，第一次在顺风的条件下跑出的成绩，第二次在逆风的条件下跑出的成绩．据此，请你利用上述模型，评估该运动员训练后的竞技水平是否有提升． 【模型反思】由于收集到的数据中，风速大小基本都在以内，因此超出此范围时，应谨慎使用本函数模型． 【答案】(1) (2) 理由如下：∵坐标原点为，对应风速表示零风速，此时风速影响下的成绩就是零风速下的成绩，即 ∴ ∴函数图象经过坐标原点 (3) (4)该运动员训练后的竞技水平有提升 【分析】（1）根据题目给定的正负数表示规则，直接得到逆风风速的表示结果； （2）根据原点对应的风速和的实际意义，结合与的关系推导说明.； （3）将给定风速代入二次函数，计算得到成绩变化量； （4）分别计算两次比赛转换为零风速后的成绩，比较大小判断竞技水平是否提升． 【详解】（1）解：∵规定顺风风速用正数表示，逆风风速用负数表示， ∴逆风风速记为． （2）略 （3）已知二次函数模型为， 将代入得： 即顺风风速时的成绩变化量为． （4）解：由题意得，变形得 第一次比赛：顺风，成绩， 由（3）得，则零风速成绩 第二次比赛：逆风，成绩，将代入函数得： 则零风速成绩 ∵，100米跑成绩越小说明竞技水平越高 ∴该运动员训练后的竞技水平有提升． 【变式题8-3】.综合与实践 问题情境：为探究不同土壤肥力条件下小麦产量与施氮量的关系，科研团队在某地选择土壤基础肥力不同的若干试验田开展研究，并对试验数据进行整理分析．研究发现，在中肥力与低肥力两种麦田中，小麦每亩的产量（千克）与每亩施氮量（千克）的关系可近似用下图中的两条抛物线描述，其中．设中肥力麦田每亩的产量为（千克），低肥力麦田每亩的产量为（千克）．已知点，，均在描述与关系的抛物线上，且点是这条抛物线的顶点． (1)建立模型：求中肥力麦田中小麦每亩的产量与的函数关系式； (2)应用分析：已知低肥力麦田中小麦每亩的产量与的函数关系式为． ①假设低肥力、中肥力两种麦田每亩施氮量相同，当低肥力麦田每亩的产量最大时，求每亩的施氮量，以及此时两种麦田小麦每亩产量的差； ②现有面积均为1亩的中肥力、低肥力麦田各一块．当两块麦田每亩施氮量不同，且每亩的产量分别达到最大时，两块麦田的总产量为千克；当两块麦田每亩施氮量相同时，两块麦田总产量的最大值为千克．经判断小于，请直接写出与的差． 【答案】(1)（） (2)①当低肥力麦田每亩的产量最大时，每亩的施氮量为13千克，此时两种麦田小麦每亩产量的差为299.5千克；②15 【分析】（1）根据点是描述与关系的抛物线的顶点，则设，将点代入即可求解； （2）①根据二次函数的性质得到当时，取得最大值，此时，求出当时，的值，计算即可求解； ②根据二次函数的性质求出，的最大值，即可得到m的值，令，求出y的最大值，即可得到n的值，计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，点是描述与关系的抛物线的顶点， 设， 点在描述与关系的抛物线上， ，解得， 与的函数关系式为； （2）解：①． ∴，开口向下， 又， 当时，取得最大值，此时． 两种麦田每亩施氮量相同， 当时，， 此时． 答：当低肥力麦田每亩产量最大时，每亩的施氮量为13千克，此时两种麦田小麦每亩产量的差为299.5千克． ②∵，， ∴的最大值为646，的最大值为309． ． 令 ， 当时，有最大值，为940． ， ． 易错点 1、忽略自变量实际取值范围，直接套用顶点公式求最值；顶点横坐标不在实际取值区间时仍然用顶点结果作答。 2、销售利润模型中，涨价降价混淆销量增减，符号写反；算出涨价之后忘记换算实际售价。 3、抛物线建模时，建系错误，实物长度转化坐标出错；开口向下模型误写；求水平宽度只用单侧横坐标，忘记两横坐标相减。 4、几何靠墙围栏问题，没有考虑墙的最大长度，漏掉约束条件，自变量范围扩大，得到不符合现实的解。 5、实际问题解方程得到两个根，不检验直接全部保留，没有舍去负数、超范围解。 6、遇到人数、商品件数等只能为正整数的自变量，直接使用小数顶点结果，没有就近取整数验证。 重点 1、掌握利用二次函数解决实际问题完整建模流程：审题、设元、列解析式、确定自变量取值范围、求解、检验作答。 2、掌握几何面积、销售利润、抛物线轨迹三大经典模型，能根据题意列出二次函数解析式。 3、掌握限定自变量取值范围内求二次函数最值方法，区分顶点在区间内、顶点在区间外两种情况。 4、会对拱桥、隧道、投篮等抛物线实物建立平面直角坐标系，把现实长度转化为坐标，求解析式并解决实际问题。 难点 1、多重约束条件下，联立不等式确定自变量的公共取值范围，再求最值。 2、分段销售、多隔断栅栏等复杂情境，准确分析数量关系，正确列出函数关系式。 3、抛物线实物综合题，合理建立坐标系，把图文实物信息转化为点坐标，结合方程不等式解决探究问题。 4、跨学科、新情境题目，剥离陌生背景，识别变量，转化成熟悉的二次函数模型，并且对结果做现实意义检验取舍。 【对应练习题】 一、单选题 1．水火箭从地面竖直向上弹出，水火箭在空中的高度h（米）与时间t（秒）之间的函数关系式为．当水火箭达到最高点时，其运动时间为（     ） A．1秒 B．2秒 C．3秒 D．4秒 【答案】B 【分析】根据关系式可知抛物线开口向下，再求出对称轴即可． 【详解】解：，， ∴当时，水火箭达到最高点． 2．如图，用12米长的木条做一个有一条横档的矩形窗子，为使透进的光线最多，选择窗子的高（木条粗细忽略不计）为（     ） A．1米 B．2米 C．3米 D．4米 【答案】C 【分析】设长为米，由图可得，横档的长为米，表示出透光面积并结合二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设长为米， 由图可得，横档的长为米， ∴透光面积为 ， ， 当时，取得最大值，最大值为． 3．如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球落地点到出手点的时间为（     ） A． B．8 C． D．9 【答案】C 【分析】先求出抛物线的解析式，再求出它与轴的正半轴的交点的横坐标即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 又它与轴的交点坐标为， 所以， 解得：， 所以抛物线的解析式为， 当时，， 解得：，， 所以铅球落地点到出手点的时间为秒． 二、填空题 4．飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式是，飞机着陆后到滑行停下来，滑行的时间是______，飞机滑行的距离是______． 【答案】 【分析】飞机滑行到停止时滑行距离达到最大，对二次函数配方求顶点，即可得到停止时的滑行时间和总滑行距离． 【详解】解：将函数解析式整理配方，， ∵， ∴抛物线开口向下，有最大值， ∴当时，取得最大值，此时飞机停止滑行， 即飞机着陆后停下来滑行的时间是，滑行的总距离是． 5．信阳毛尖又称豫毛峰，是中国十大名茶之一，也是河南省著名特产之一．已知一批信阳毛尖每罐的进价为30元，售价定为50元/罐时，每天可销售60罐，为了促进销售，商家决定采取适当的降价措施，经调查发现，售价每降低2元，每天销量可增加20罐（销售单价不低于进价），则商家降价能获得的最大利润为_____元． 【答案】1690 【分析】设降价金额为元，根据“总利润=每罐利润×销售量”列出二次函数关系式，利用二次函数的性质求最大值即可． 【详解】解：设商家降价元，每天获得的利润为元， ∵ 每罐进价为元，原售价为元， ∴ 降价后每罐利润为元． ∵ 售价每降低元，销量增加罐，原销量为罐， ∴ 降价元后，销售量为罐， 又∵销售单价不低于进价， ∴， 解得， 总利润， ∵ ，二次函数开口向下，在顶点处取得最大值，顶点的横坐标为，满足， 将代入得， 因此商家降价能获得的最大利润为元． 6．廊桥是我国古老的文化遗产，抛物线形的廊桥示意图如图所示．已知抛物线的函数表达式为，为增加安全性，在该抛物线上同一高度且水平距离为米的两处安装警示灯，则警示灯离水面的距离为______米． 【答案】 【分析】抛物线对称轴为轴，由，水平距离为8米，可得点横坐标，代入解析式即可求出点纵坐标，即所求距离． 【详解】解：抛物线关于轴对称，，在抛物线上同一高度且水平距离为米， 点的横坐标为， 将代入抛物线解析式，得， 警示灯离水面的距离为米． 三、解答题 7．2026年5月24日，神舟二十三号载人飞船发射取得圆满成功．小明所在的航模社团设计制作的火箭，它的升空高度（单位：）与飞行时间（单位：）满足函数表达式． (1)如果火箭在点火升空后到达最高点时打开降落伞，那么火箭点火后多长时间降落伞将打开？ (2)火箭上升过程中，是否存在飞行时，高度恰好为的情形？请说明理由． 【答案】(1)火箭点火后降落伞将打开． (2)解：火箭上升过程中，不存在经过恰好上升的情形；理由如下： 当时，得， 整理，得， ， 故方程的两个不相等的实数根为：， 根据题意，火箭上升阶段的时间范围为：， ， 不在范围内，舍去； ， 在时间范围内， ， 故火箭上升过程中，不存在经过恰好上升的情形． 【分析】（1）将解析式配方，得，根据函数的性质，确定函数取得最大值条件即可； （2）令函数值等于75，建立一元二次方程，求得方程的两个根，根据方程的根，判断是否有一个根是5，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得 ， ， 当时，函数取得最大值， 故火箭点火后降落伞将打开． （2）解：略． 8．“绿水青山就是金山银山！”福清市天生林艺农庄，位于新厝镇，创办于2001年8月，占地面积1078 亩，是迄今为止福州地区规模最大的集观光、种植、养殖、科普教育、运动休闲等多功能于一体的特色生态休闲旅游度假基地． (1)如图1，该农庄内有一块矩形耕地，长，宽，在这块地上沿东西、南北方向各挖两条、三条等宽的水渠，要使余下的耕地的面积是，水渠的宽应为多少m？ (2)如图2，该农庄拟用总长为的建筑材料建设三间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙长），中间用建筑材料做的墙隔开（如图所示）．设三间饲养室平行于墙的一边合计使用建筑材料，三间饲养室的总占地面积为，当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？ 【答案】(1) (2)当时，y有最大值225 【分析】（1）根据题意，矩形耕地，长，宽，东西、南北方向各挖两条、三条等宽的水渠，设水渠的宽为，利用平移法，余下耕地可拼成矩形，长为，宽为，据此列方程求解． （2）根据题意，利用总材料长度和平行于墙的边长x，表示出垂直于墙的边长，进而根据“矩形面积=长×宽”列出y关于x的函数关系式；自变量需同时满足边长为正数以及平行于墙的边长不超过现有墙长这两个条件；最后将二次函数解析式化为顶点式，利用二次函数的图象特点求出最大面积． 【详解】（1）解：设水渠的宽为，则， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，故舍去， 答：水渠的宽应为． （2）解：设三间饲养室平行于墙的一边合计使用建筑材料，则垂直于墙的每段长为． 因此总面积， 因为，抛物线开口向下，且满足， 所以，当时，y取得最大值225． 答：当时，y有最大值，最大值是225． 9．某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动．在市场调查中选取两类作品；原木小件（记作A品）、滴胶花艺（记作B品）． 收集到如下信息： 信息1：制作一件A品比一件B品的成本高2元，用120元制作A品的件数与用80元制作B品的件数相等． 信息2：当A品售价为18元/件时，其销量为220件，售价每涨1元，销量减少10件；B品售价固定为16元/件． 信息3：根据市场需求，制作并销售A品和B品共300件． (1)成本核算：分别求制作一件A品和一件B品的成本． (2)建立模型，设计方案：设销售A品和B品的总利润为元，A品售价为元/件（，且为整数），若制作A品和B品的总成本不超过1400元，且为使总利润最大，请设计A品和B品的数量分配方案． 【答案】(1)制作一件A品的成本为6元，制作一件B品的成本为4元 (2)制作A品100件，B品200件时总利润最大 【分析】（1）设制作一件B品的成本为a元，则制作一件B品的成本为元，根据“用120元制作A品的件数与用80元制作B品的件数相等．”列出方程，即可求解； （2）根据题意，列出w关于x的函数关系式，再求出x的取值范围，再根据二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】（1）解：设制作一件B品的成本为a元，则制作一件A品的成本为元，根据题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 此时， 答：制作一件A品的成本为6元，制作一件B品的成本为4元； （2）解：根据题意得：A品的销量为：件，B品的销量为：件， 则， ∵制作A品和B品的总成本不超过1400元， ∴， 解得：， ∵且， 解得：， ∴， ∵，且， ∴当时，w随着x的增大而减小， ∴当时，w取得最大值，最大值为4800， 此时， 即制作A品100件，B品200件时总利润最大． 10．综合与实践 “踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）． (1)如图，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与点水平距离的处达到最高，高度为． ①以点为坐标原点，以地面为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为，求关于的函数表达式； ②花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围． (2)乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪．已知花枪飞行高度与时间之间的关系式是，丙在距花枪落地点处沿直线运动到花枪落地点，求丙的平均速度． 【答案】(1)①；② (2)丙的平均速度为 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）①由题意易得抛物线的顶点C的坐标为，，则可设抛物线的解析式为，然后利用待定系数法进行求解即可； ②由题意可把，代入①中函数解析式进行求解即可； （2）由题意易得花枪落地所需的时间为，然后根据“速度=路程÷时间”进行求解即可． 【详解】（1）解：①由题意可知：抛物线的顶点C的坐标为，则可设抛物线的解析式为， ∴将点代入解析式得：， 解得：， ∴关于的函数表达式为； ②由题意可得：当时，则有， 解得：； 当时，则有， 解得：； ∵花枪在下落过程中，即， ∴当时，；当时，， ∴的取值范围为． （2）解：当花枪落地时，则有， ∴， 解得：（舍去）， ∴花枪落地所需的时间为， ∴丙的平均速度为； 答：丙的平均速度为． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题26.4 实际问题与二次函数 知识点1：利用二次函数求解实际问题的通用建模步骤 1、审：读懂题意，区分题目中的常量、自变量、因变量，理清数量关系。 2、设：合理设置自变量，用含自变量的代数式表达其余相关量。 3、列：根据等量关系列出二次函数解析式。 4、定：结合现实约束写出自变量的实际取值范围（边长大于0、售价限制、正整数等）。 5、解：利用配方法或者顶点公式，结合自变量范围求最值，或者代入数值求解对应变量。 6、验：检验计算结果，舍去不符合实际意义的解，规范作答。 知识点2：二次函数在限定自变量范围内求最值 1、顶点公式：对于，顶点横坐标，对应函数最值。 2、当顶点横坐标落在自变量取值区间内部时，最值在顶点处取得。 3、当顶点横坐标不在自变量取值区间内部，函数在区间上单调，最值在区间两个端点处取得，代入端点比较函数值大小。 4、实际问题注意：商品件数、人数等自变量只能取正整数，需要在附近整数中筛选最优解。 知识点3：三大经典实际模型（几何、销售利润、抛物线形实物/轨迹） 模型类别 核心等量关系 建模要点 几何面积最值模型 面积公式、勾股定理、图形面积和差 边长必须大于 0；靠墙问题注意墙长对自变量的约束；动点问题注意运动边界 销售利润模型 总利润单件利润销售量；单件利润售价进价 涨价销量减少，降价销量增加；注意售价上下限，销量大于 0 抛物线形轨迹实物模型（拱桥、喷水、投篮、隧道） 建立平面直角坐标系，将实物数据转化为点坐标求解析式 优先以顶点、对称轴、地面建立坐标系；求宽度需要两点横坐标做差；落点对应的根 1、 几何面积模型：常考靠墙围栏、矩形裁剪、动点图形面积，利用面积公式建立函数，重点关注墙长限制、边长大于 0。 2、销售利润模型：“每涨 / 降 1 元，销量变化若干件”，是中考高频模型，分清涨价、降价两种情形，不要写反销量增减符号。 3、抛物线实物与运动轨迹模型：核心是建立合适平面直角坐标系，把现实长度转化为坐标，用待定系数法求解析式，再代入计算高度、宽度、水平距离，结果必须结合现实取舍。 知识点4：表格数据识别二次函数模型 1、当自变量均匀增加，函数值的二次差为定值，则变量满足二次函数关系。 2、选取表格中三组对应数值，代入一般式，列三元一次方程组求出，得到解析式。 3、求出解析式之后，需要用表格其余数据检验模型是否匹配。 【基础必考题型】 【题型1】几何面积建模（围栏矩形基础模型） 1、 核心知识点   矩形周长、面积公式；二次函数解析式书写；自变量取值范围由边长大于0确定。 2、解题方法技巧   ①设其中一条边长为，利用总栅栏长度，用含式子表达另一条边长；   ②根据面积公式列出二次函数，化简整理为一般形式；   ③边长必须大于0，列出不等式求出自变量取值范围，墙长有限制时要额外增加约束条件。 【例题1】.如图，有一张长，宽的矩形纸板，在它的四个角处分别裁去一个同样的小正方形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（      ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.如图，小聪借助直角墙角建一个矩形花园，花园两边由总长为的篱笆围成，墙长，，则花园最大面积为（    ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.如图所示，一个矩形的长为，宽为，如果将这个矩形的长与宽都增加，那么这个矩形的面积增加．求y与x之间的关系式． 【变式题1-3】.如图，一块矩形场地的长为，宽为．现将这块地划分成四块，分别种植： A．郁金香      B．月季      C．菊花       D．玉兰花 (1)求这块场地中种植月季的面积关于场地的长的函数表达式，并求出自变量的取值范围． (2)当是多少时，种植月季的面积最大？最大面积是多少？ 2、 【题型2】抛物线实物建系求解析式（拱桥、拱门基础） 1、 核心知识点   平面直角坐标系建立；顶点式待定系数法；现实长度转化为点坐标。 2、解题方法技巧   ①优先选择抛物线顶点在y轴上，对称轴为y轴，简化计算；   ②把题目给出的跨度、高度转化为抛物线上点的坐标；   ③已知顶点优先选用顶点式代入计算，注意开口向下。 【例题2】.如图，一座抛物线形拱桥，拱顶离水面，水面宽． (1)建立适当的坐标系，求抛物线的解析式； (2)若水面上涨，此时水面宽是多少？ 【变式题2-1】.“运河三千里，醉美是淮安．”“常盈桥”是里运河上一座古朴典雅的人行景观桥，桥身呈对称分布．如图，桥拱可以看成抛物线形，跨径为，拱高为． (1)建立恰当的平面直角坐标系，求出抛物线对应的函数表达式． (2)当桥拱下的水面宽为时，求此时拱顶到水面的距离． 【变式题2-2】.某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，如图，已知这座桥的跨度米，拱高米，且设计方案为抛物线型，抛物线的解析式为．现有一艘宽为15米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面米，此货船能否顺利通过这座桥？请说明理由． 【变式题2-3】.如图是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，水面的宽度为，桥洞与水面的最大距离是．经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图）． (1)你选择的方案是______（填“方案一”“方案二”或“方案三”），则B点坐标是______； (2)求出你所选方案中的抛物线的解析式； (3)因降暴雨水位上升，此时水面宽为多少？ 【题型3】抛物线轨迹实际应用题（投球、喷水、隧道通行判断） 1、 核心知识点   抛物线解析式；代入自变量求函数值、代入函数值求自变量；现实结果取舍。 2、解题方法技巧   ①建立坐标系求出抛物线解析式；   ②判断物体能否通过隧道：固定车辆宽度，代入横坐标求对应高度，对比车辆限高；   ③求水平宽度：求出对应高度下两个x值，做差得到宽度；落地问题令求根，舍去负数根。 【例题3】.如图是乒乓球发球器某次发球过程的部分示意图，已知球台的长约为，球网在球台的中点处（点A是的中点），球网的高度约为，发球点的高度为，当乒乓球到的距离为时，乒乓球离球台的最大高度是，，．设乒乓球距离发球点C的水平距离为，乒乓球距离球台的竖直高度为，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，乒乓球的运动轨迹可视为一条抛物线． (1)求乒乓球运动轨迹所在抛物线的函数表达式； (2)请你判断乒乓球发球器此次发出的球是否有效（球是否越过球网并落在球台上），并说明理由． 【变式题3-1】.美加墨世界杯点燃了全球足球热情，在比赛中，赛场使用半自动识别系统，通过高速摄像头与足球内置传感器，采集足球在空中飞行的位置数据．如图为某一时刻系统监测到画面的示意图，足球的飞行轨迹可近似看作一条抛物线，攻球员位于点，守门员位于点，直线与球门线交于点，已知，． 通过系统监测，足球飞行的水平速度为．离地高度与水平距离（水平距离水平速度时间）的数据如表．守门员的最大防守高度为．当守门员位于足球正下方时且足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功． … … … … (1)求与的函数表达式； (2)若守门员选择原地接球，能否防守成功？若成功，请求出守门员接住球时，球的高度；若不成功，请通过计算说明理由； (3)若守门员在攻球员射门瞬间就作出面对足球后退的防守反应，请计算守门员成功防守的最小后退速度． 【变式题3-2】.政府要对某音乐广场上的圆形喷水池及其装置进行改造． 问题 圆形喷水池中心竖直安装一根水管，水管顶端安装一个向外喷水的喷水头，喷出抛物线形水柱．现将水管向上增高1米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变，圆形喷水池的直径至少是多少米，水才不会喷到池外． 过程 方法说明 利用皮尺进行测量，利用二次函数模型进行计算． 操作说明 以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． 数据测量 原喷水池直径为16米，喷水头距离地面0.8米，喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水管水平距离为3.5米处达到最高． 建立模型 计算，交流展示…… 请根据上述信息，完成下列问题： (1)设改造前喷出水柱所在抛物线对应的函数解析式为，求a，b的值； (2)求改造后圆形喷水池的直径至少是多少米？ 【变式题3-3】.【情境导入】 周末，小深和同学们到某体育中心参观．场馆外的下沉式广场正在进行音乐喷泉调试．工程师告诉大家，喷泉的水流轨迹可以用二次函数精确计算，以实现既美观又节水的效果．广场一侧有一段草坡，坡面上临时放置一棵装饰用的发光小树，用于测试水流水压． 【数学建模】 将草坡截面抽象为直角三角形，如图，，米，米，坡面上有一棵小树（小树粗细忽略不计，点在斜坡上且与点不重合，），现在斜坡底处安装一个喷水管，水流呈抛物线状，恰好落在处．技术人员以为原点，水平向右为轴，竖直向上为轴，记录了喷头开启后喷水管喷出水流到的水平距离（米）与水流的高度（米）的变化规律如表： 0 1 2 3 4 … 2 2 … 【探究任务】 (1)根据表格数据，可得该抛物线的顶点坐标为________，并求出水流的函数解析式． (2)若调试时，水流恰好经过树顶点， ①为了美观，小树不能太高．请计算在现有水流轨迹下，这棵小树的最大可能高度是多少？ ②若设计师希望从坡顶处看，树底和树顶的视觉效果对称（即），请求出此时树顶的坐标． 【培优高频题型】 【题型4】利润问题结合方程（涨价降价题型） 1、 核心知识点   总利润、单件利润、销售量三者关系；根据题意列二次函数；确定售价、销量的取值边界。 2、解题方法技巧   ①分清自变量是涨价/降价金额，还是直接是售价；单件利润售价进价；   ②涨价则销量减少，降价则销量增加，不要颠倒增减符号；   ③保证单件利润大于0，销售量大于0，据此锁定自变量范围。 【例题4】.某商店销售一种成本为每件 元的商品，物价部门规定每件售价不高于 元．经市场调查发现：当每件售价定为 元时，每天可售出 件；当每件售价提高1元时，每天的销售量就减少 件． (1)求每天销售利润 （元）与每件售价 （元）之间的函数关系式； (2)当每件售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【变式题4-1】.某食品零售店为食品厂代销一种面包，统计销售情况后发现，当这种面包的单价定为元时，每天卖出个．在此基础上，这种面包的单价每提高元，该零售店每天就会少卖出个．该零售店每个面包的成本是元．设这种面包的单价为元，零售店每天销售这种面包所获得的利润为元． (1)每个面包的利润为________元，每天卖出面包的个数为____________（用含的代数式表示）； (2)与之间的函数关系式为_________________________． 【变式题4-2】.某商场销售一批鞋子，平均每天可售出40双，每双盈利50元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施，调查发现，每双鞋子每降价1元，商场平均每天可多售出2双． (1)若每双鞋子降价20元，则商场平均每天可售出______双鞋子． (2)当每双鞋子降价多少元时，每天可以获得最大利润?最大利润为多少元? (3)若商场每天要盈利2448元，且让顾客尽可能多得实惠，则每双鞋子应降价______元． 【变式题4-3】.某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动． 市场调查选取两类作品：原木小件（记作A品）、滴胶花艺（记作B品）．收集到如下信息： 信息1：制作一件A品比一件B品的成本高2元，用120元制作A品的件数与用80元制作B品的件数相等． 信息2：当A品售价为18元/件时，其销量为220件，售价每涨1元，销量减少10件；B品售价固定为16元/件． 信息3：根据市场需求，制作并销售A品和B品共300件． 成本核算 (1)分别求制作一件A品和一件B品的成本． 模型建立 (2)设销售A品和B品的总利润为元，A品涨价后的售价为元/件，则每件A品的利润为_______元，A品的销量为_________件，每件B品的利润为______元，B品的销量为______件，求总利润关于A品涨价后的售价的函数解析式． 方案设计 (3)若，当总利润最大时，请设计A品和B品的数量分配方案． 【题型5】多约束几何建模（墙长+隔断栅栏综合探究题） 1、 核心知识点   含隔断栅栏的矩形面积模型；多重不等式确定自变量取值范围；限定区间求最值。 2、解题方法技巧   ①数清楚栅栏总段数，区分平行墙、垂直墙方向各有几段栅栏；   ②同时满足：边长大于0、墙的最大长度限制，联立多个不等式，取公共解集；   ③判断顶点是否在公共解集内，不在则取端点得到最大面积。 【例题5】.如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度是），围成中间有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽是（单位：），面积是（单位：）． （1）写出与的函数关系式_______________，的取值范围为_______________； （2）如果要围成面积为的花圃，则的长为__________米． 【变式题5-1】.学校计划在体育馆旁搭建两个相连的矩形自行车车棚，如图所示，一边借助体育馆的外墙，可利用墙长为25米，其余部分用总长36米的铝合金材料围成，且在两个车棚中间及左右两侧各设置一个1米宽的通道（通道不用铝合金材料）． (1)设自行车车棚的面积为S平方米，车棚的宽度为x米，求S与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； (2)S是否总随x的增大而增大，请说明理由． 【变式题5-2】.如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口，不锈钢栅栏形状如“山”字形.（备注信息：在自行车棚后面距教学楼后墙8米处，规划有机动车停车位） (1)设自行车车棚面积为，车棚宽度为，求与之间的函数关系式为_____，并直接写出自变量的取值范围______； (2)若学校拟利用现有栅栏对自行车车棚进行扩建，请问该车棚面积最大可达到多少？请通过计算说明． 【变式题5-3】.学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动．已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成．兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃时，用栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个小矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）． (1)求方案一中与墙垂直的边的长度； (2)求方案二中花圃的最大面积． 【题型6】表格数据拟合二次函数基础题 1、 核心知识点   通过表格数据识别二次函数；待定系数法求二次函数解析式。 2、解题方法技巧   ①从表格选取三组不重复的；代入列方程组；   ②解方程组求出，得到解析式；   ③选取表格其他数值代入解析式检验，验证模型正确性。 【例题6】.项目式学习 【项目主题】设计减速带之间的距离． 【项目背景】在校园、景区的道路中间，常常设置一些用于限制汽车速度的减速带，但是相邻减速带之间的距离不宜过大，也不宜过小，那么减速带之间的距离应该设置为多少较合适？数学兴趣小组以此为主题开展项目式学习． 【研究步骤】 ①査阅资料 数学兴趣小组查阅资料获知，在限速的情况下，汽车从一个减速带到另一个减速带之间需要经历先加速、再减速两个阶段，其中第一阶段汽车速度从（前一减速带）加速到，第二阶段从减速到（后一减速带），两个减速带之间的距离就是这两个阶段汽车行驶的路程之和． ②建立模型 经过物理老师的帮助，该兴趣小组确定了汽车在加速阶段行驶的路程，速度，其中v0为初始速度，a为加速度，t为行驶时间，在加速阶段． ③测量数据 数学兴趣小组利用秒表分别测量汽车加速过程中，速度达到所用的时间，并进行多次试验取平均值，得到表1信息： 表1 时间/s 0 1.5 3 4.5 6 速度/（） 0 10 20 30 40 ④整理数据 数学兴趣小组进一步把速度的单位进行转换，得到表2信息： 表2 时间/s 0 1.5 3 4.5 6 速度/（） 0 【解决问题】请你根据以上信息回答下列问题： (1)请你根据表2信息，求第一阶段v与t的函数关系式、s与t的函数关系式． (2)若第二阶段汽车行驶路程是第一阶段汽车行驶路程的，请计算相邻两个减速带之间的距离（结果精确到）． 【变式题6-1】.综合与实践． 【实践活动】如图，某科技小组开展无人机抛投实验，已知无人机在距离地面20米的高空水平飞行，当无人机到达点时，竖直向下抛出一个小型探测装置，探测装置的运动轨迹为抛物线，其水平方向做匀速直线运动，速度为4米/秒，竖直方向做自由落体运动（竖直方向位移公式为，其中为下落高度，为运动时间，米/秒，（忽略空气阻力）． (1)【数据收集】设探测装置运动时间为秒（），水平距离为米，竖直方向距离地面高度为米，完成以下表格，并求出关于的函数解析式； 时间/秒 0 1 2 水平距离/米 竖直方向位移距离/米 竖直方向距离地面高度/米 (2)【区域探究】为了确保实验安全，现规定当探测装置离地高度不低于5米时为飞行安全区域，请你通过计算求出安全区域水平距离的范围，并求出探测器在安全区域飞行的时间（结果保留根号）； (3)【方案调整】若实验区域正前方有一个长2米、高3米的长方体障碍物，障碍物的中心与原点的水平距离为6.5米，探测装置是否会与障碍物发生碰撞？请通过计算说明理由；若发生碰撞，该如何调整抛出的位置？ 时间/秒 0 1 2 水平距离/米 0 2 4 6 8 竖直方向位移距离/米 0 5 20 竖直方向距离地面高度/米 20 15 0 【变式题6-2】.综合与实践 某环保研究小组开展“净化剂投放量对水质净化效果的影响”研究项目．污水处理中，净化剂投放量不足时净化效果差，过量投放反而会破坏水质．通过建立数学模型，可以确定最优投放量．请你参与探究，完成以下任务． 【数据收集】 该小组在某污水处理厂进行实验，记录不同净化剂投放量x（单位：克/升）对应的水质净化率y（单位： ），数据如下表： 净化剂投放量x（克/升） 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 6.2 水质净化率y 70. 00 76.875 82.50 86.875 90.00 91.875 92.50 91.875 90.00 86.875 82.5 66.90 【数据分析】 小组成员将表中数据作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点，如图所示． 说明：①当投放 时，净化率为自然净化率（无净化剂作用）； ②当净化率大于等于零且小于自然净化率时，该净化剂抑制水质净化； ③当净化剂抑制水质净化，使得净化率减小到0时，停止实验探究． 【问题解决】 (1)观察各点的分布规律，判断y关于x的函数类型，并求出该函数的表达式． (2)根据所建模型，请计算抑制水质净化时的净化剂投放量x的取值范围． 【变式题6-3】.【问题背景】共享单车是深圳绿色出行的重要方式，早高峰期间，大量市民选择骑行共享单车至地铁站．为解决共享单车占用人行道问题，共享单车公司针对早高峰时段某地铁站口开展共享单车的投放与调度研究．以下为该站口共享单车停放区、骑行区及调度车停靠点的示意图． 【调研条件】 条件1：早高峰从开始，持续30分钟（用x表示时间，单位：分钟， ，对应）． 条件2：地铁站口最多可同时停放224辆单车（超过将阻塞人行道）． 条件3：共享单车停放区可近似看作宽度相等的矩形，单车在此区域均匀摆放，且共享单车停放区②、③、④的长和宽均相等，共享单车停放区①的面积是共享单车停放区②的面积的两倍． 条件4：每辆调度车配备一个调度员，每个调度员大约每分钟可从站口运走6辆单车至调度车（调度车装满后将共享单车运往周边小区，随后下一辆调度车立马补到上一辆调度车的位置） 【数据调研】 经大数据统计，早高峰期间地铁站口的累计还车数量y（辆）与时间x（分钟）大致满足二次函数关系，记录的数据如下表： x（分钟） 0 3 6 9 12 15 … y（辆） 80 179 260 323 368 395 … 结合上述信息，请完成下述问题：   【模型应用】 (1)请根据表格中的数据，在平面直角坐标系中画出y与x的函数图象，并求出y与x的函数解析式． (2)当只有一辆调度车，经过x分钟，已调度的共享单车数量为______；地铁站口共享单车停放区共享单车的数量w与x的函数关系式为____________； (3)在恰好满足条件1、2、4，且不浪费资源的条件下，需要同时安排多少辆调度车？ 【压轴素养题型】 【题型7】动点几何面积二次函数模型（劳动实践情境） 1、 核心知识点   动点用运动时间表示线段长；图形面积公式；运动边界约束自变量范围。 2、解题方法技巧   ①用时间表达动点移动距离，再表达图形底和高；   ②根据面积公式列出二次函数；根据动点停止条件写出的取值范围；   ③求面积最大最小值，注意判断顶点是否在运动时间范围内。 【例题7】.如图，已知等腰直角三角形的直角边长与正方形的边长均为，与在同一条直线上，开始时点A与点M重合，让向右移动，最后点A与点N重合． (1)试写出两图形重叠部分的面积与线段MA的长度之间的函数关系式． (2)当点A从点M开始向右移动时，重叠部分的面积是多少？ 【变式题7-1】.如图，在矩形中，，．动点P从点B出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接，设和矩形重叠部分的面积为S． (1)用含t的代数式表示的长； (2)当点E落在边上时，求t的值； (3)求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围． 【变式题7-2】.如图1，在直角中，，，，动点以每秒3个单位长度的速度从点出发，沿方向运动，动点以每秒2个单位长度的速度从出发，沿方向运动，点、点同时出发，当点到达点时，点、两点均停止运动（点不与，重合）．过点作的垂线交于点，垂足为点，连接，设动点运动的时间为秒，点与点的距离为，的面积为． (1)请直接写出分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【变式题7-3】.如图所示，在中，，，，动点从出发沿边向点以的速度运动，动点从点开始沿边向点以的速度运动，若，两点分别从，两点同时出发，在运动过程中，求的最大面积． (1)当，同时出发后经过时，_____cm，_____cm． (2)在运动过程中，求的最大面积． 【题型8】新情境实物抽象抛物线综合探究题 1、核心知识点   实物抽象坐标系；二次函数解析式；方程与不等式综合，实际参数探究。 2、解题方法技巧   ①读懂实物示意图，将实物尺寸转化为坐标；合理建立坐标系；   ②利用已知点求抛物线解析式；   ③结合问题，代入数值求解高度、距离，检验结果是否符合实物结构限制。 【例题8】.综合与实践 【问题背景】 随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效益成为关注重点．某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收支平衡问题． 【研究条件】 条件1：该充电站收入（单位：元）与当日充电汽车数量（单位：辆）之间成正比例关系如表： 1 2 3 4 5 50 100 150 200 250 条件2：该充电站的运营成本（单位：元）与充电汽车数量之间满足：． 【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题： (1)根据如表数据，求与的函数关系式，并计算当时，该充电站的收入为多少元？ (2)当收入等于成本时，充电站达到收支平衡．求此时的值． 【模型应用】 (3)由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为，成本关系保持不变．已知当汽车数量为80辆时，净收益（净收益=收入-成本）取得最大值，请求出符合条件的值，并说明理由． 【总结反思】 函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还需考虑充电桩利用率、电价波动、用户排队等因素，后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策． 【变式题8-1】.问题情境 新能源汽车高质量超级充电站快速发展，致力于实现“1秒钟充电1公里”．如图1，是一个新能源超级充电站，勤思小组对该超级充电站的设计方案和消防设备进行了研究． 研究步骤 如图2是该超级充电站的截面图，是安装充电桩的墙面，是充电站顶部的膜结构棚顶，可近似地看作抛物线的一部分，以点O为原点，表示地面的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．已知，点B为所在抛物线的最高点，其坐标为． (1)求所在抛物线的函数表达式． 问题解决 如图2，点C是上干粉灭火器的安装点，是长度为的干粉灭火器装置，点D为干粉喷射点．已知干粉喷射点D距离地面时，对地面的保护半径为．对空间的保护截面可近似地看作顶点为D的抛物线与x轴组成的封闭区域．安装点C可根据需要在所在抛物线上滑动，从D点喷出的干粉形成的抛物线形状相同． (2)若干粉喷射点D距地面的高度恰好为时，灭火器喷射时能不能覆盖着火点?请说明理由． 【变式题8-2】.综合与实践 风对田径比赛有影响，田径比赛规定：在100米和200米、110米栏、跳远和三级跳远等项目中，凡顺风风速超过，若创纪录不予承认．某体育训练团队期望建立一个科学合理的函数模型描述风速对100米比赛成绩的影响，将风速影响下的成绩转换为零风速状态下的成绩，从而更准确地评估运动员竞技水平． 【前期准备】查阅文献等相关资料，收集整理并筛选国内、外重要比赛的有效数据． 【模型假设】假设1：用（单位：）表示风速，顺风用正数表示，逆风用负数表示． (1)逆风风速记为____． 假设2：风速影响下的成绩记为（单位：），零风速状态下的成绩记为（单位：）．成绩变化量记为，与的关系用函数近似描述． (2)描述与关系的函数图象应经过坐标原点，请你结合和的关系解释原因． 假设3：用二次函数描述与的关系． 【模型求解】根据已有数据，通过统计软件进行数据分析，得到二次函数模型为：． 【模型应用】 (3)请你估计顺风风速时的成绩变化量． (4)某运动员在专项训练前后各参加了一次100米比赛，第一次在顺风的条件下跑出的成绩，第二次在逆风的条件下跑出的成绩．据此，请你利用上述模型，评估该运动员训练后的竞技水平是否有提升． 【模型反思】由于收集到的数据中，风速大小基本都在以内，因此超出此范围时，应谨慎使用本函数模型． 【变式题8-3】.综合与实践 问题情境：为探究不同土壤肥力条件下小麦产量与施氮量的关系，科研团队在某地选择土壤基础肥力不同的若干试验田开展研究，并对试验数据进行整理分析．研究发现，在中肥力与低肥力两种麦田中，小麦每亩的产量（千克）与每亩施氮量（千克）的关系可近似用下图中的两条抛物线描述，其中．设中肥力麦田每亩的产量为（千克），低肥力麦田每亩的产量为（千克）．已知点，，均在描述与关系的抛物线上，且点是这条抛物线的顶点． (1)建立模型：求中肥力麦田中小麦每亩的产量与的函数关系式； (2)应用分析：已知低肥力麦田中小麦每亩的产量与的函数关系式为． ①假设低肥力、中肥力两种麦田每亩施氮量相同，当低肥力麦田每亩的产量最大时，求每亩的施氮量，以及此时两种麦田小麦每亩产量的差； ②现有面积均为1亩的中肥力、低肥力麦田各一块．当两块麦田每亩施氮量不同，且每亩的产量分别达到最大时，两块麦田的总产量为千克；当两块麦田每亩施氮量相同时，两块麦田总产量的最大值为千克．经判断小于，请直接写出与的差． 易错点 1、忽略自变量实际取值范围，直接套用顶点公式求最值；顶点横坐标不在实际取值区间时仍然用顶点结果作答。 2、销售利润模型中，涨价降价混淆销量增减，符号写反；算出涨价之后忘记换算实际售价。 3、抛物线建模时，建系错误，实物长度转化坐标出错；开口向下模型误写；求水平宽度只用单侧横坐标，忘记两横坐标相减。 4、几何靠墙围栏问题，没有考虑墙的最大长度，漏掉约束条件，自变量范围扩大，得到不符合现实的解。 5、实际问题解方程得到两个根，不检验直接全部保留，没有舍去负数、超范围解。 6、遇到人数、商品件数等只能为正整数的自变量，直接使用小数顶点结果，没有就近取整数验证。 重点 1、掌握利用二次函数解决实际问题完整建模流程：审题、设元、列解析式、确定自变量取值范围、求解、检验作答。 2、掌握几何面积、销售利润、抛物线轨迹三大经典模型，能根据题意列出二次函数解析式。 3、掌握限定自变量取值范围内求二次函数最值方法，区分顶点在区间内、顶点在区间外两种情况。 4、会对拱桥、隧道、投篮等抛物线实物建立平面直角坐标系，把现实长度转化为坐标，求解析式并解决实际问题。 难点 1、多重约束条件下，联立不等式确定自变量的公共取值范围，再求最值。 2、分段销售、多隔断栅栏等复杂情境，准确分析数量关系，正确列出函数关系式。 3、抛物线实物综合题，合理建立坐标系，把图文实物信息转化为点坐标，结合方程不等式解决探究问题。 4、跨学科、新情境题目，剥离陌生背景，识别变量，转化成熟悉的二次函数模型，并且对结果做现实意义检验取舍。 【对应练习题】 一、单选题 1．水火箭从地面竖直向上弹出，水火箭在空中的高度h（米）与时间t（秒）之间的函数关系式为．当水火箭达到最高点时，其运动时间为（     ） A．1秒 B．2秒 C．3秒 D．4秒 2．如图，用12米长的木条做一个有一条横档的矩形窗子，为使透进的光线最多，选择窗子的高（木条粗细忽略不计）为（     ） A．1米 B．2米 C．3米 D．4米 3．如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球落地点到出手点的时间为（     ） A． B．8 C． D．9 二、填空题 4．飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式是，飞机着陆后到滑行停下来，滑行的时间是______，飞机滑行的距离是______． 5．信阳毛尖又称豫毛峰，是中国十大名茶之一，也是河南省著名特产之一．已知一批信阳毛尖每罐的进价为30元，售价定为50元/罐时，每天可销售60罐，为了促进销售，商家决定采取适当的降价措施，经调查发现，售价每降低2元，每天销量可增加20罐（销售单价不低于进价），则商家降价能获得的最大利润为_____元． 6．廊桥是我国古老的文化遗产，抛物线形的廊桥示意图如图所示．已知抛物线的函数表达式为，为增加安全性，在该抛物线上同一高度且水平距离为米的两处安装警示灯，则警示灯离水面的距离为______米． 三、解答题 7．2026年5月24日，神舟二十三号载人飞船发射取得圆满成功．小明所在的航模社团设计制作的火箭，它的升空高度（单位：）与飞行时间（单位：）满足函数表达式． (1)如果火箭在点火升空后到达最高点时打开降落伞，那么火箭点火后多长时间降落伞将打开？ (2)火箭上升过程中，是否存在飞行时，高度恰好为的情形？请说明理由． 8．“绿水青山就是金山银山！”福清市天生林艺农庄，位于新厝镇，创办于2001年8月，占地面积1078 亩，是迄今为止福州地区规模最大的集观光、种植、养殖、科普教育、运动休闲等多功能于一体的特色生态休闲旅游度假基地． (1)如图1，该农庄内有一块矩形耕地，长，宽，在这块地上沿东西、南北方向各挖两条、三条等宽的水渠，要使余下的耕地的面积是，水渠的宽应为多少m？ (2)如图2，该农庄拟用总长为的建筑材料建设三间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙长），中间用建筑材料做的墙隔开（如图所示）．设三间饲养室平行于墙的一边合计使用建筑材料，三间饲养室的总占地面积为，当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？ 9．某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动．在市场调查中选取两类作品；原木小件（记作A品）、滴胶花艺（记作B品）． 收集到如下信息： 信息1：制作一件A品比一件B品的成本高2元，用120元制作A品的件数与用80元制作B品的件数相等． 信息2：当A品售价为18元/件时，其销量为220件，售价每涨1元，销量减少10件；B品售价固定为16元/件． 信息3：根据市场需求，制作并销售A品和B品共300件． (1)成本核算：分别求制作一件A品和一件B品的成本． (2)建立模型，设计方案：设销售A品和B品的总利润为元，A品售价为元/件（，且为整数），若制作A品和B品的总成本不超过1400元，且为使总利润最大，请设计A品和B品的数量分配方案． 10．综合与实践 “踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）． (1)如图，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与点水平距离的处达到最高，高度为． ①以点为坐标原点，以地面为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为，求关于的函数表达式； ②花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围． (2)乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪．已知花枪飞行高度与时间之间的关系式是，丙在距花枪落地点处沿直线运动到花枪落地点，求丙的平均速度． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $