专题26.4 实际问题与二次函数（暑假预习讲义）2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题26.4 实际问题与二次函数 【本节预习目标】 1.知识与技能 能从实际问题中抽象出二次函数关系，建立二次函数数学模型 会运用二次函数的性质解决几何图形面积最值、销售利润最值等实际问题 能解决抛物线型实际问题（拱桥、投球、喷水等），掌握建立平面直角坐标系的方法 能根据实际问题确定自变量的取值范围，并求出符合题意的最值 2.过程与方法 经历"实际问题—数学模型—求解—验证"的完整过程，体会数学建模思想 通过对不同类型实际问题的探究，培养分析问题、解决问题的能力 在解决实际问题中，发展数形结合、转化与化归的数学思想 【前置旧知回顾】 知识模块 核心内容 与本节的关联 二次函数的图象和性质 开口方向、对称轴、顶点坐标；增减性；最值；顶点式与一般式的转化 利用二次函数的性质求实际问题中的最值 一元二次方程的解法 配方法、公式法、因式分解法；根的判别式 求解实际问题中函数值为特定值时的自变量值 列方程解应用题 审、设、列、解、验、答的基本步骤；找等量关系的方法 类比列方程的方法，建立函数关系式 几何图形的面积公式 矩形、三角形、梯形、圆等常见图形的面积公式 几何图形面积最值问题的基础 知识点1：利用二次函数解决几何图形面积最值问题 1.基本思路 从几何图形中找出变量之间的关系，建立面积关于某一变量的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求最值。 2.常见类型 类型 特点 解题关键 矩形面积最值 已知周长或一边长，求最大面积 设边长为自变量，建立面积函数 动点面积最值 图形中有动点，求某部分面积的最值 用含时间的代数式表示线段长，再表示面积 靠墙围矩形 一边靠墙，用围栏围矩形，求最大面积 设垂直于墙的边长为自变量，注意自变量范围 三角形内接矩形 在三角形内作矩形，求矩形的最大面积 利用相似三角形，建立矩形边长的关系 3.注意事项 必须根据实际意义确定自变量的取值范围 当顶点的横坐标在自变量取值范围内时，顶点处取得最值 当顶点的横坐标不在取值范围内时，根据函数的增减性确定最值 知识点2：利用二次函数解决销售利润最值问题 1.基本关系式 单件利润=售价-进价 总利润=单件利润×销售量 总利润=总销售额-总成本 2.常见模型 商品涨价销量减少、降价销量增加，总利润与售价之间构成二次函数关系。 例如：某商品进价为元，售价为元，每天可卖出件。经调查，每涨价1元，销量减少件。则总利润与售价的关系为： 3.解题步骤 设未知数（通常设涨价或降价的金额，或直接设售价） 用含未知数的代数式表示单件利润和销售量 根据利润公式列出函数关系式 化为顶点式或用公式法求最值 验证最值是否符合实际意义 知识点3：利用二次函数解决抛物线型实际问题 1.常见类型 类型 实例 特点 拱桥问题 石拱桥、抛物线型桥洞 开口向下，顶点在最高点 投球问题 篮球投篮、铅球投掷 开口向下，轨迹为抛物线 喷水问题 喷泉、水管喷水 开口向下，顶点在最高处 隧道问题 抛物线型隧道 开口向下，类似拱桥 跳跃问题 跳高、跳远 轨迹为抛物线 2.解题关键 建立适当的平面直角坐标系，将实际问题转化为二次函数问题。 建立坐标系的常用方法： 以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴 以抛物线与x轴的一个交点为原点 以地面为x轴，对称轴为y轴 3.解题步骤 建立平面直角坐标系 根据已知条件确定抛物线上点的坐标 用待定系数法求抛物线的解析式 利用解析式解决实际问题 检验结果是否符合实际意义 【基础巩固题型】 【题型1】矩形菜园面积最值 1.核心知识点: 二次函数的最值；矩形面积公式；数学建模思想；自变量取值范围 2.解题方法技巧: ①设元法：设矩形的一边长为自变量，用含自变量的代数式表示另一边长 ②建模法：根据矩形面积公式，建立面积关于边长的二次函数关系式 ③最值法：将函数化为顶点式或用公式法求最值，注意验证自变量范围 【例题1】.（2026·四川成都·模拟预测）如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为，栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为（单位：），与墙平行的一边长为（单位：），面积为（单位：）． (1)直接写出与，与之间的函数解析式（要求写出的取值范围）； (2)当的值是多少时，矩形实验田的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)； (2)当的值是时，矩形实验田的面积最大，最大面积是 【分析】（1）根据栅栏总长为可得到与的函数解析式，再由矩形的面积公式得到与的函数解析式； （2）将与的函数解析式转化为顶点式，结合的取值范围求解最大值即可． 【详解】（1）解：设矩形实验田与墙垂直的一边长为，与墙平行的一边长为，面积为， ∵栅栏总长为， ∴，即， 其中， 由，可得， ∴与的函数解析式为； 由矩形的面积可知，； （2）解：∵， ∴ 当时，矩形实验田的面积最大，为800，且满足的取值范围， 答：当的值是时，矩形实验田的面积最大，最大面积是． 【变式题1-1】.（2026·内蒙古通辽·二模）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长米）的空地上修建一个矩形花园，花园的一边靠墙，另外三边用总长为米的栅栏围成（如图所示）．若设花园的边长为米，面积为平方米． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)满足条件的花园面积能否达到平方米？若能，请求出的值；若不能，请说明理由； (3)当是多少时，矩形花园面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)； (2)当时，满足条件的花园面积能达到平方米 (3)当时，最大，最大面积是平方米 【分析】（1）根据矩形周长、面积公式列二次函数，结合墙长限制求自变量范围； （2）把代入解方程并检验取值； （3）配方法求二次函数在定义域内的最值． 【详解】（1）解：米，三边栅栏总长为米， 米． ，即． 墙长米， ， 解得． （2）解：令，则， 整理，得， 解得或． ， ， 当时，满足条件的花园面积能达到平方米． （3）解：将化为顶点式为， ， 当时，最大，最大面积是平方米． 【变式题1-2】.（26-27九年级·上海·暑假作业）阅读材料： 配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决一些最值问题，比如：因为，所以就有最小值1，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为，所以有最大值1，即，只有在时，才能得到这个式子的最大值1． 请解决下列问题： (1)当 时，代数式有最　　 （填“大”或“小” 值为　　 ； (2)当 时，代数式有最　　 （填“大”或“小” 值为　　 ； (3)矩形花园的一面靠墙，另外三面栅栏的总长度16m，求：当花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)、小、 (2)、大、5 (3)花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为时，花园的面积最大，最大面积是 【分析】（1）根据阅读材料即可求解； （2）根据阅读材料即可求解； （3）根据矩形面积公式列出二次函数解析式，再根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）当时，代数式有最小值； （2）代数式 当时，代数式有最大值5． （3）设花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为，花园的面积为．根据题意，得 ，当时，有最大值32， 答：花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为时，花园的面积最大，最大面积是． 【变式题1-3】.（2026·福建三明·二模）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用米长的栅栏围成一个矩形花园（栅栏只围，两边）． (1)若比长米，求、的长； (2)若在墙角处有一棵树与墙、的距离分别是米和米，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），花园可以围出的最大面积是多少？ 【答案】(1)长米，长米 (2)花园可以围出的最大面积是 【分析】（1）设长米，依据比长6米表示出的代数式，再结合栅栏总长米列一元一次方程，解方程得到长后算出长度； （2）先设为米，用总长表示，根据树木位置列出的取值不等式确定取值范围，列出面积二次函数，根据函数性质即可求出最大面积． 【详解】（1）解：设长米，则长米， 根据题意，得：， 解得； ∴； 答：长米，长米； （2）解：设长米，则长米， 由题意得， 解得， ∵花园面积 ， ∴抛物线开口向下， ∵对称轴为， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，花园的面积取得最大值， ， 答：花园可以围出的最大面积是． 【题型2】商品销售利润基础 1.核心知识点: 二次函数的最值；利润计算公式；单价与销量的关系；数学建模 2.解题方法技巧: ①设元法：设涨价（或降价）的金额为自变量，或直接设售价为自变量 ②关系式法：用含自变量的代数式分别表示单件利润和销售量 ③公式法：根据"总利润=单件利润×销售量"列出函数关系式，再求最值 【例题2】.（25-26八年级下·山东济南·期末）某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，根据市场调查，当销售单价为22元时，每周的销售量为36本，售价每提高1元，每周的销售量就减少2本． (1)请求出该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间的函数关系式； (2)物价部门规定，每本纪念册的售价不高于28元．设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为W元，将该纪念册的销售单价x定为多少时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当销售单价为28元时，利润最大，最大利润为192元 【分析】（1）根据“单价每涨1元，销量少2本”,用基础销量减去涨价减少的销量，列出一次函数； （2）单本利润=售价进价，总利润单本利润销量，得到二次函数；二次函数开口向下，对称轴左侧随增大而增大，结合售价上限，取时利润最大． 【详解】（1）解：由题意得：， 即：． （2）解：， ，开口向下， ∴当时，W随x的增大而增大， ， ∴当时，W最大， 此时（元）， 答：当销售单价为28元时，利润最大，最大利润为192元． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·重庆·期末）重庆市某景区是旅游热门景点，景区某商店有A、B两款热销冰箱贴，小鲁和小巴在旅游时购买了这两款冰箱贴，其中小鲁买件A款冰箱贴和件B款冰箱贴共花费元，小巴买件A款冰箱贴和件B款冰箱贴共花费元． (1)求A、B两款冰箱贴每件售价分别是多少元？ (2)景区内游客如潮，该商店推出了B款冰箱贴的优惠活动．若按（1）中求出的单价销售，每天可销售B款冰箱贴件．销售单价每下降元，每天可多售出件．已知B款冰箱贴成本为元，请求出B款冰箱贴每天的销售利润（元）与销售单价下降（元）（）之间的函数关系，当每件售价为多少元时，B款冰箱贴每天的销售利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)A、B两款冰箱贴每件售价分别是元、元 (2)当B款冰箱贴销售单价定为元时，该景区一天内销售这款冰箱贴获得的利润最大，最大利润是元 【分析】（1）设A、B两款冰箱贴每件售价分别为元，元，根据买件A款冰箱贴和件B款冰箱贴共花费元，买件A款冰箱贴和件B款冰箱贴共花费元，列方程组求解即可； （2）根据销售利润等于销售量乘以售价与进价的差，列出销售利润（元）与销售单价下降（元）之间的函数关系式，再依据二次函数的性质求得最大利润即可． 【详解】（1）解：设A、B两款冰箱贴每件售价分别为元，元， 根据题意得：，解得． 答：A、B两款冰箱贴每件售价分别是元、元． （2）解：销售单价下降元， ∴销售量为件， 根据题意得：， ， ，， 开口向下， 当时，有最大值为， B款冰箱贴销售单价：（元）． 答：当B款冰箱贴销售单价定为元时，该景区一天内销售这款冰箱贴获得的利润最大，最大利润是元． 【变式题2-2】.（2026·江苏盐城·三模）某商店决定对某类商品进行降价促销活动．已知进价为每件5元，平时以单价12元的价格售出一天可卖80件、根据调查单价每降低1元，每天可多售出40件；设商品售价x元（售价不低于进价，x为正整数），这批商品的日利润为w元（利润＝售价﹣成本），请解决以下问题： (1)设商品售价x元，则一天可以卖出________件； (2)当商品的售价x为多少元时，销售这批商品的日利润最大，最大值为多少？ 【答案】(1) (2)当商品售价为9元或10元时，日利润最大，最大日利润为800元 【分析】（1）设商品售价x元，平时以单价12元的价格售出一天可卖80件、根据调查单价每降低1元，每天可多售出40件，据此列出代数式即可； （2）先求出，再根据题意列出日利润w的二次函数解析式，根据二次函数的性质求出最值即可． 【详解】（1）解：设商品售价x元，则由题意可得， 即一天可以卖出件； （2）解：由题意可得， 解得， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线的对称轴为直线，x为正整数， ∴根据抛物线对称性可知，当或时，取得最大值， 此时最大值为, 即当商品售价为9元或10元时，日利润最大，最大日利润为800元． 【变式题2-3】.（25-26八年级下·安徽安庆·期末）2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品． (1)某电商平台数据显示，该毛绒小马2月份销量为10万件，4月份销量已增至12.1万件．求该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率． (2)某商铺以每件15元的价格购进“哭哭马”，分为线上和线下两种销售方式．线下市场调查发现，当售价为35元/件时，日销量为80件．售价每降低1元，日销量可增加10件． ①借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销．为使线下日销售利润达到1800元，则每件应降价多少元？ ②若线上售价与线下相同，但每件产品商家需多付3元快递费，且线上日销量固定为100件．当每件降价多少元时，线上和线下的日利润总和最大？并求出最大利润． 【答案】(1)； (2)①每件应降价10元；②当降价1元/件时，线上和线下的日利润总和达到最大，最大利润为3310元． 【分析】（1）设该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）①设每件应降价y元，则每件的销售利润为元，日销售量为件，根据每件利润乘以日销售量等于日总利润建立方程求解； ②设线上和线下的日利润总和为w元，售价为a元/件，列出关于的二次函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为x， 根据题意得：， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为； （2）解：①设每件应降价y元，则每件的销售利润为元，日销售量为件， 根据题意得：， 整理得： 解得：， 又∵要尽快减少库存， ∴， 答：每件应降价10元． ②设线上和线下的日利润总和为w元，售价为a元/件 则 ， ， ∴当时，w有最大值，最大值为3310， ∴当售价为34元/件，即降价元/件时，线上和线下的日利润总和达到最大，最大利润为3310元． 【题型3】抛物线型拱桥问题 1.核心知识点: 二次函数的图象和性质；待定系数法求解析式；建立平面直角坐标系 2.解题方法技巧: ①建系法：以拱桥的最高点为原点，对称轴为y轴建立坐标系，简化计算 ②待定系数法：根据已知点的坐标，设顶点式求抛物线的解析式 ③代入法：将实际问题中的高度或宽度转化为坐标，代入解析式求解 【例题3】.（2026·广东东莞·三模）如图1是佛山市顺德区顺峰山公园景区的大门，是一座三跨式巨型中式牌坊，享有“中华第一牌坊”的美誉．已知中间主跨地面宽度为35米，实际结构可简化为图2所示的组合图形：上部为抛物线形，下部为矩形．某测量小组测得为3米，从A点出发，沿主跨地面向右侧走2米到达点E，测得E点处对应的高度（即点E上方到抛物线轮廓的竖直距离）为6.3米，请你结合数据，求出主跨的高度（即抛物线顶点到地面的距离）．（精确到） 【答案】主跨的高度约为． 【分析】以线段所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，由题意可得，，设该抛物线的表达式为，求出抛物线的解析式即可解答． 【详解】解：以线段所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如答图所示． ， ，， ，． 设该抛物线的表达式为， 将，代入，得， 解得， 该抛物线的表达式为． 当时，． 答：主跨的高度约为． 【变式题3-1】.（25-26八年级下·浙江金华·期末）2026年6月11日晚，“吴越杯”足球赛决赛，金华队对阵温州队．金华队在第83分钟时一记大力抽射，扳平比分．最终点球以战胜温州队，获得冠军．如图，据球迷目测，该球员在距离球门24米处射门，当球飞出14米远处，达到最高点，最终在球门离地面1.2米高处入网．这条抛物线的表达式为_________． 【答案】 【分析】先求出点的横坐标为，设这条抛物线的表达式为，再利用待定系数法计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：点的横坐标为， 设这条抛物线的表达式为， 将，代入解析式得， 解得， ∴． 【变式题3-2】.（2026·陕西西安·模拟预测）如图为某拱桥的示意图，桥面平行于水面，拱形桥洞可近似看作抛物线的一部分，桥洞最高处点与桥面的距离为米，当水面距离桥面时，拱孔横跨水面宽度为米．若以水面所在直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，请根据以上信息回答问题： (1)请求出桥洞对应抛物线的表达式； (2)若从桥面向下挂一条宽为米的长方形横幅，横幅上边沿与桥面重合，、恰好落在拱孔上，求横幅的长． 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）根据得，根据桥洞最高处点与桥面的距离为米，水面距离桥面，得顶点的纵坐标为，可设抛物线解析式为，求解即可； （2）根据题意，得当时，，求解即可； 【详解】（1）解：根据得，桥洞最高处点与桥面的距离为米，水面距离桥面，得顶点的纵坐标为， 故、、， 设抛物线为      解得， ∴桥洞所对应的抛物线的解析式为； （2）解： ∴当时，， 解得， ∴横幅长为：米； 【变式题3-3】.（2026·湖北恩施·二模）图1是抛物线形拱桥平面示意图，当拱顶离水面时，水面宽．此时桥拱与水面的交点分别为点 A 和点 B，拱顶为点 C． (1)请从下列两种方案中任选一种，在图2中画出平面直角坐标系，并求出所选方案中的抛物线解析式． 方案一：以点A为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系； 方案二：以点C为原点，抛物线对称轴为y轴建立平面直角坐标系． (2)当水面下降时，水面宽度增加多少？ 【答案】(1)方案一：,图见解析；方案二：,图见解析 (2) 【分析】（1）方案一，根据顶点坐标为，设解析式为，将点代入求出a值即可得；方案二，根据顶点坐标为，设解析式为，将点代入求出a值即可得； （2）根据当水面下降时，求出y 的值，把y值代入解析式求出x的值，再求出下降前和下降后的差值即可． 【详解】（1）解：方案一，如图， 根据题意可知，抛物线与x轴的交点为，，顶点坐标为， 设解析式为， 将点代入得， 解得：， 则抛物线解析式为； 方案二，如图， 根据题意可知，，，顶点坐标为， 设解析式为， 将点代入得， 解得：， 则抛物线解析式为； （2）解：如图，以点C为原点，抛物线对称轴为y轴建立平面直角坐标系， 当水面下降时，， 将代入得：， 解得：， ∴水面宽度增加米． 【题型4】篮球投篮轨迹问题 1.核心知识点: 二次函数的图象和性质；抛物线的实际意义；待定系数法；体育情境 2.解题方法技巧: ①建系法：以出手点为原点或地面为x轴建立坐标系 ②顶点式法：已知最高点坐标时，设顶点式求解析式更简便 ③验证法：将篮筐坐标代入解析式，验证是否命中 【例题4】.（26-27九年级·上海·暑假作业）如图，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方的处射门，已知球门为，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球的竖直高度为．现以为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式并判断能否射进球门（忽略其他因素）； (2)若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，则他应该带球向后方移动 米射门，才能让足球经过点正上方处． 【答案】(1)抛物线的解析式为：，不能射进球门 (2)1 【分析】（1）判断出抛物线的顶点坐标，用顶点式表示出抛物线的解析式，把点的坐标代入可得的值，进而取，求得对应的的值，与2.44比较，即可判断能否射进球门； （2）移动后的抛物线的解析式为：，把代入求得合适的的值即可． 【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为：， 经过点， ， 解得：， 抛物线的解析式为：， 当时，， 不能射进球门； （2）解：设向后方移动，则移动后的抛物线的解析式为：， 经过点， ， ， 或， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴向后移动才能让足球经过点正上方处． 【点睛】本题考查二次函数的应用．用顶点式表示出二次函数的解析式是解决本题的关键；用到的知识点为：二次函数左右平移，不改变二次项的系数，只改变自变量的值，左加右减． 【变式题4-1】.（2026·陕西西安·模拟预测）为贯彻落实“五育并举”的教育方针，某校开设了篮球队，如图，篮球运动员投篮时，篮球的运动路线可近似看作抛物线的一部分．已知篮球从距地面2米的点A处投出，并落在水平地面上的点M处，其运动路线的最高点P距地面3.8米，最高点P与篮球出手点A的水平距离为3米．以地面所在直线为x轴，过点A且与垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求点P所在抛物线的函数表达式； (2)已知篮球运动路线的形状保持不变（即抛物线的形状不变），若将篮球从点A正上方1米的点B处投出，落地点为N，点N在x轴的正半轴上，求点B与落地点N的水平距离的长． 【答案】(1) (2)​米． 【分析】（1）根据题意可知、，设抛物线顶点式为，将代入计算即可； （2）根据平移的性质得到，令，求解后根据在正半轴取合适的值即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：出手点的坐标为， 最高点距水平距离3米，距地面3.8米，因此坐标为． 设抛物线顶点式为， 将代入得：， 解得：， ∴； （2）解：∵将篮球从点A正上方1米的点B处投出， ∴新抛物线表达式为：， 令，得：， 解得， ∵在正半轴， ∴​， ∴​米． 【变式题4-2】.（2026·河南开封·模拟预测）开封清明上河园中的虹桥是园区的核心地标，下面是虹桥及上方抛物线形框架结构的平面示意图，桥中间的大拱截面可视为抛物线的一部分，虹桥上悬挂两个灯笼． 现有以下三条素材： 素材1：整个图形是轴对称图形； 素材2：跨度米，竖直支撑米，最高点P到的距离为5米； 素材3：两灯笼，之间的水平距离为4米，点M、N均在抛物线上且关于抛物线的对称轴对称． 现以所在直线为x轴，的垂直平分线（直线）为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式；（不必写出自变量取值范围） (2)若米，求灯笼底端（点E或F）到的距离． 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）将代入抛物线的解析式，求出y的值，再根据求出结果即可． 【详解】（1）解：由题意可知，点D的坐标为，P的坐标为． 设虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式为：， 将点代入得，， 解得， ∴虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式为； （2）解：由题意知，，M、N关于抛物线的对称轴对称， ∴点N的横坐标为2， 当时，， ， ∴灯笼底端（点E或F）到的距离为米． 【变式题4-3】.（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）掷实心球是某市中考体育考试的选考项目．小强为了解自己实心球的训练情况，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况，建立了如图所示的平面直角坐标系，在一次投掷中，实心球从y轴上的点处出手，运动路径可看作抛物线的一部分，实心球在最高点B的坐标为，落在x轴上的点C处． (1)求抛物线的解析式； (2)某市男子实心球的得分标准如表： 得分 100 95 90 85 80 76 70 66 60 50 40 30 20 10 掷远（米） 12.4 11.2 9.6 9.1 8.4 7.8 7.0 6.5 5.3 5.0 4.6 4.2 3.6 3.0 请你求出小强在这次训练中的成绩，并根据得分标准小强得______分； (3)小强在练习实心球时，他的正前方距离投掷点9米处有一个身高1.2米的小朋友在玩耍，问该小朋友是否有危险（如果实心球在小孩头顶上方飞出为平安，否则视为危险），请说明理由． 【答案】(1) (2)小强在这次训练中的成绩为米，小强的得分是90分 (3)该小朋友有危险，理由如下： 当时，， ∵， ∴该小朋友有危险 【分析】（1）设该抛物线的解析式为，将代入解析式求出，即可得解； （2）当时，，解方程并结合表格判断即可得出结果； （3）求出当时的值，比较即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线的顶点的坐标为， 设该抛物线的解析式为， 将代入解析式得， 解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：当时，， 解得，， ∵点落在轴的正半轴， ∴，即小强在这次训练中的成绩为米， ∵， ∴小强的得分是90分； （3）略． 【培优提升题型】 【题型5】隧道通行限高问题 1.核心知识点: 二次函数的图象和性质；抛物线型隧道；待定系数法；工程情境 2.解题方法技巧: ①建系法：以隧道底部为x轴，对称轴为y轴建立坐标系 ②解析式法：根据隧道的宽度和高度，求抛物线的解析式 ③限高计算法：给定车辆宽度，代入解析式求对应的高度，即为限高 【例题5】.（25-26九年级上·安徽合肥·期末）合肥市某隧道横截面由抛物线的一部分和矩形的三边构成．隧道的最高点C到地面距离为6米，两侧墙面高米，地面跨度米．车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），线的宽度忽略不计．右侧车道线与墙面的距离为1米．且必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于米． (1)建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (2)求该隧道右侧车道的最大安全限高h的值．（精确到个位） 【答案】(1)坐标系见解析，； (2)最大安全限高h的值为米． 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）以D为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，根据题意求出，，，设抛物线的解析式为，将代入求出，即可求出抛物线的解析式； （2）根据题意求出，进而求出，根据“车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于米”即可求出最大安全限高h的值． 【详解】（1）解：如图，以D为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系： ∵，， ∴，，， ∵隧道的最高点C到地面距离为6米， ∴， 设抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， 即抛物线的解析式为； （2）解：∵右侧车道线与墙面的距离为1米， ∴， 此时， ∵车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于米， ∴（米）． 即最大安全限高h的值为米． 【变式题5-1】.（2026·陕西宝鸡·一模）如图1是某海洋馆的玻璃隧道，图2是它的截面示意图，玻璃隧道截面可近似看作抛物线和矩形构成．矩形的长米，宽米，小明以O为原点，所在水平线为x轴、所在直线为y轴建立如图2的平面直角坐标系，在抛物线上点处贴有一张“小心碰头”的温馨提示． (1)求隧道截面所在抛物线的函数表达式； (2)为保障游客观赏效果，清洁工人会对玻璃隧道进行定期清洁，某次清洁工人站在地面上清洁玻璃隧道时，能刷到的最大高度是其站立位置地面的正上方米处（抛物线上的段清洁工未清洁，即点E、F到x轴的距离均为米），此次清洁工人站在地面完成玻璃隧道清洁后，求未清洁部分最低两处的水平距离（即求E、F两点之间的距离）． 【答案】(1) (2)未清洁部分最低两处的水平距离为米 【分析】（1）根据题意得到，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意令代入抛物线求解，得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 设抛物线解析式为，点在抛物线的图象上， ∴， 解得，， ∴； （2）解：点E、F到x轴的距离均为米，则令， ∴， 整理得，， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∴未清洁部分最低两处的水平距离为米． 【变式题5-2】.（25-26九年级上·陕西西安·期末）某数学课题学习小组，为了研究某隧道（图1）的截面，建立如图2所示的平面直角坐标系，已知该隧道口的横截面是抛物线型，隧道底部宽为，抛物线的最高点与路面的距离为，点在轴上． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)某部门为推进公路隧道提质升级养护工作，决定对隧道顶部原有的摄像头、进行升级，现已知这两个摄像头的水平距离为，且、关于轴对称，求这两个摄像头距地面的高度是多少米？ 【答案】(1) (2)高度为 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，由抛物线的顶点为，对称轴是轴，从而可设抛物线为，又，故求得的值，进而可以得解； （2）依据题意，由原有摄像头、的水平距离为，故可令，求出的值，即可求解． 【详解】（1）解：由题意，抛物线的顶点为，对称轴是轴， 故可设该抛物线的函数表达式为． 又，． ． 该抛物线的函数表达式为． （2）解：∵原有摄像头、的水平距离为， 令，则． 这两个摄像头距地面的高度为． 【变式题5-3】.（2026·河南南阳·一模）河南某高速公路隧道截面轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽米，高米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数解析式； (2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔米（中心线宽度不计）．若宽米，高米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由． 【答案】(1) (2)能安全通过，理由：如图，由题意得： （米） ∴点的横坐标为， 把代入，得， ， ∴能安全通过． 【分析】抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，利用待定系数法解答即可求解； 求出点的横坐标，然后求出点距离抛物线的距离，再减去车辆的高度，得到的差值与比较即可判断求解 【详解】（1）解：由题意得，抛物线的顶点坐标为，即， 设抛物线的解析式为， 把点代入，得， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）略 【题型6】喷泉设计问题 1.核心知识点: 二次函数的图象和性质；抛物线型喷水；待定系数法；设计情境 2.解题方法技巧: ①建系法：以喷水口为原点或地面为x轴建立坐标系 ②顶点式法：已知水柱最高点时，设顶点式求解析式 ③射程计算法：求抛物线与x轴的交点，确定水柱的水平射程 【例题6】.（2026·广东清远·三模）某公园雕塑的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得雕塑的高度为，当喷出的水柱与的水平距离为时，达到最大高度．以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（如图）． (1)求水柱所在抛物线的函数表达式； (2)求水柱落地点与雕塑的水平距离． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）由题目所给条件可得点的坐标和抛物线顶点坐标，设出其顶点式，把点代入求解即可得到该抛物线的函数表达式； （2）题意为求点的坐标，令（1）中求得的函数表达式值为求解即可． 【详解】（1）解：由题可得，点的坐标为，该抛物线的顶点为， 设该抛物线的顶点式为， 把点代入得，解得， 该抛物线的函数表达式为； （2）解：令得， 两边同时乘以得， 因式分解得， 解得，， 点的坐标为， 水柱落地点与雕塑的水平距离为． 【变式题6-1】.（2026·河南平顶山·三模）某公园的人工湖里有一处喷水景观（如图1），从垂直于湖面的喷头喷出的水柱呈抛物线形状．数学兴趣小组的同学对此展开研究，建立如图2所示的平面直角坐标系，并通过测量得出如下表中所示的几组数据，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距湖面的高度． … … 请解决以下问题： (1)求喷出的水柱所在抛物线的表达式； (2)已知喷出的水柱刚好落在人工湖边缘，如果改变喷头的推力大小，使得喷出的水柱所在抛物线为，那么此时喷出的水柱是否会落到人工湖外？请说明理由． (3)在（1）的条件下，公园增设了新的游玩项目，购置了宽度为，顶棚到湖面高度为的平顶游船，游船从水柱最高处的正下方通过，别有一番趣味，请通过计算说明游船是否有被水柱喷到的危险． 【答案】(1) (2)答：此时喷出的水柱会落到人工湖外． 理由如下： 对于， 令，得， 解得或（舍去）， 对于， 令，得， 解得或（舍去）， ∵， ∴此时喷出的水柱会落到人工湖外； (3)解：对于， 当，即时，， ∵， ∴游船有被水柱喷到的危险． 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）分别求出当时，改变喷头的推力前后的两个抛物线解析式中的，比较后即可得出结论； （3）求出抛物线上时，的值，与船的高度比较后得出结论. 【详解】（1）解：由表格中数据，可知抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的表达式为， 将代入， 得， 解得， ∴喷出的水柱所在抛物线的表达式为：． （2）略 （3）略 【变式题6-2】.（25-26八年级下·福建福州·期末）某体育馆外的下沉式广场正在进行音乐喷泉调试．喷泉的水流轨迹可以近似地看成抛物线．广场一侧有一段草坡，坡面上临时放置一棵装饰用的发光小树，用于测试水流水压．将草坡截面抽象为直角三角形，如图，，米，米，坡面上有一棵小树（小树粗细忽略不计，点在斜坡上且与点不重合，），现在斜坡底处安装一个喷水管，水流呈抛物线状，恰好落在处．技术人员以为原点，水平向右为轴，竖直向上为轴，记录了喷头开启后喷水管喷出水流到的水平距离（米）与水流的高度（米）的变化规律如表： 0 1 2 3 4 … … (1)根据表格数据，求出水流的函数解析式； (2)若调试时，水流恰好经过树顶点， ①为了美观，小树不能太高．请计算在现有水流轨迹下，这棵小树可达到的最大高度是多少？ ②在灯光测试中，需要在右侧（靠近的一侧）再放置一棵与等高的小树（在坡面上，树干垂直），且水流也能刚好经过树顶．为保证两棵树不在同一地点，求第一棵树底的横坐标的取值范围． 【答案】(1) (2)①2米；② 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①求出直线的函数解析式为；设，则，可求出，据此可得答案；②设第二棵树底横坐标为，同理可得，根据题意可得，，则可推出，再根据求出m的取值范围即可． 【详解】（1）解：设水流的函数解析式为， 由题意得 ∴， ∴水流的函数解析式为； （2）解：①∵米，米， ∴， 设直线的函数解析式为， ∴， ∴， ∴直线的函数解析式为； 设，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为2， 答：这棵小树可达到的最大高度是2米； ②设第二棵树底横坐标为， 同理可得， ∵两棵树等高，即， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【变式题6-3】.（2026·湖北武汉·三模）问题背景：某小组设计了一款自动浇花装置，小组同学调节浇花装置出水管，使其沿水平方向．水滴从出水点水平喷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．从水滴离开出水点到落地点的过程中，水滴距离地面的竖直高度为y（单位：m），水平距离为x（单位：m），建立如图1所示的平面直角坐标系． 信息1：通过仪器测量，小组同学记录了水滴离开出水点后的运动时间为t（单位：s）时的多组数据，其中几组数据如下： 时间 0 0.10 0.20 0.30 水平距离 0 0.10 0.20 0.30 竖直线高度 0.80 0.75 0.60 0.35 信息2：小组同学通过学习知道，水滴运动时，水平距离x与时间t的关系为（v为水滴离开出水点时的速度，单位） 根据以上信息，解决下列问题： (1)v的值是______； (2)水滴从离开出水点到落在落地点，需要经过多长时间？ (3)将如图2所示的一个高为，直径为的花盆放置在地面上，使花盆底面中心N在图1所示的x轴上，且．若该装置可以调节出水点的高度（出水管保持水平），水喷出后运动路径的形状不变，要使水滴落在花盆内（不包括边缘），出水点高度的变化量f的取值范围为____________． 【答案】(1)1； (2)； (3)． 【分析】（1）依据题意，由水平距离x与时间t的关系为，结合表格中的数据求解即可； （2）依据题意，利用待定系数法求出对应的抛物线解析式，再求出时，x的值，然后根据时间距离速度，即可得到答案； （3）设平移后的抛物线解析式为，由题意得，当时，，当时，，分别求出的值，最后下结论即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：设抛物线解析式为， 由表格得， 解得， ∴抛物线解析式为， 当时， 解得或（舍去）， ∴水滴从离开出水点到落在落地点，需要经过； （3）解：设平移后的抛物线解析式为， ∵一个高为，直径为的花盆放置在地面上，使花盆底面中心N在图1所示的x轴上，且， ∴当水落在花盆最左边时，，此时，解得； 当水落在花盆最右边时，时，，解得； ∴要使水滴落在花盆内（不包括边缘），出水点高度的变化量f的取值范围为． 【题型7】动点问题中的面积最值 1.核心知识点: 二次函数的最值；动点问题；三角形/四边形面积公式；动态几何 2.解题方法技巧: ①时间参数法：设运动时间为，用含的代数式表示相关线段的长度 ②面积表示法：用割补法或直接法，表示出目标图形的面积 ③最值求解法：建立面积关于的二次函数，求最值并验证的范围 【例题7】.（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，是等腰直角三角形，，，点是边上一个动点，沿的路径运动，过点作于点，设，的面积为，则下列能大致反映与函数关系的图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过A点作于H，利用等腰直角三角形的性质得到，，分类讨论：当时，如图1，易得，根据三角形面积公式得到；当时，如图2，易得，根据三角形面积公式得，于是可判断当时，y与x的函数关系的图象为开口向上的抛物线的一部分，当时，y与x的函数关系的图象为开口向下的抛物线的一部分，然后利用此特征可对四个选项进行判断． 【详解】解：过A点作于H， ∵是等腰直角三角形， ∴，， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，如图2， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，y与x的函数关系的图象为开口向上的抛物线的一部分，当时，y与x的函数关系的图象为开口向下的抛物线的一部分，故B选项符合题意． 【变式题7-1】.（2026·新疆·中考真题）如图，水平放置的边长为的正方形，边长为的正方形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合，现将正方形以的速度沿方向匀速运动，当点运动到上时停止．在这个运动过程中，正方形与正方形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接、交于点，正方形的边与正方形交于点、，交于点，分四种情况讨论，分别求出重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系表达式，进而得到对应的函数图象，即可得解． 【详解】解：如图，连接、交于点，正方形的边与正方形交于点、，交于点， 边长为的正方形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合， ，，，垂直平分， ， ①当时，叠部分的面积为，此时， ， ， ， ， ； ②当时，叠部分的面积为，此时， 同理可得，， ， 即当时，有最大值为2； ③当时，叠部分的面积为，此时， 同理可得，， ； ④当时，叠部分的面积为，此时， 同理可得，， ， 综上可知，当时，图象为开口向上的抛物线；当时，图象为开口向下的抛物线，且有最大值为2；当时，图象为开口向下的抛物线；当时，图象为开口向上的抛物线， 只有B选项符合题意． 【变式题7-2】.（2026·吉林·模拟预测）如图，在正方形中，，连接．P，Q两点分别从A，D同时出发，点P以每秒1个单位长度的速度沿线段向终点B运动；点Q沿折线向终点C运动，在上的速度为每秒2个单位长度，在上的速度为每秒个单位长度．在运动过程中，以为邻边作平行四边形．设运动时间为x秒，平行四边形和正方形重叠部分的图形面积为y． (1)当点M在上时， ________； (2)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图1中，当点M落在上时，是等腰直角三角形，构建方程求解即可； （2）分三种情形：如图中，当时，重叠部分是矩形，如图中，当，重叠部分是四边形，如图中，时，重叠部分是五边形，分别求解，可得结论； 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， 如图1中，当点M落在上时， ∵以为邻边作平行四边形． ∴，， ∴． ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，点P以每秒1个单位长度的速度沿线段向终点B运动；点Q沿折线向终点C运动，在上的速度为每秒2个单位长度，在上的速度为每秒个单位长度， ∴ ∴， ∵ ∴， ∴， （2）解：如图中，当时，重叠部分是矩形， 依题意，， 矩形的面积， 即． 如图中，当，重叠部分是四边形， 过点作， 同理证明是等腰直角三角形 ∴ 由（1）得， ∴ ∴平行四边形的面积， 即． 如图中，时，重叠部分是五边形， ， 同理证明是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ 同理证明是等腰直角三角形， ∴ ． 综上所述，． 【变式题7-3】.（25-26九年级下·广西防城港·期中）综合与实践 为了更好地培养学生的思考与探究能力，张老师以“图形的运动”为主题来开展如下数学活动．如图1，在等腰中，，，动点，同时从点出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且均以的速度运动．当点停止运动时，点也随之停止运动．连接．以为边向下作正方形，设点的运动时间为（），正方形和四边形重合部分图形的面积为． (1)【直观感知】的长为________（用含的代数式表示）． (2)【初步探究】如图2，当落在上时，求的值． (3)【深入研究】如图3．当在的下方时，求与之间函数关系式． (4)【问题解决】在点，的运动过程中，正方形和四边形重合部分图形的面积的最大值是多少？（直接写出结果） 【答案】(1) (2)2 (3) (4) 【分析】（1）易得为等腰直角三角形，进行求解即可； （2）易得为等腰直角三角形，得到，再根据，列出方程进行求解即可； （3）设，分别交于点，则为等腰直角三角形，四边形为矩形，求出的长，根据题意，得到重叠部分的面积即为矩形的面积，进行求解即可； （4）分两种情况，进行讨论，求出最值即可. 【详解】（1）解：由题意，， ∵， ∴； （2）解：∵等腰中，，， ∴， ∵正方形，落在上 ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； （3）解：当时，设，分别交于点， 则为等腰直角三角形，四边形为矩形， ∵，； ∴， ∴， ∴； （4）解：当时，重叠部分的面积即为正方形的面积， ∴， ∴当时，值最大为； 当时，由（3）可知：； ∴当时，值最大为； ∵， ∴正方形和四边形重合部分图形的面积的最大值是. 【压轴素养题型】 【题型8】抛物线型跨学科问题 1.核心知识点: 二次函数的图象和性质；物理/工程背景；跨学科应用；数学建模 2.解题方法技巧: ①信息提取法：从跨学科背景中提取数学信息，转化为数学问题 ②建系建模法：建立适当的坐标系，将实际轨迹转化为抛物线 ③综合应用法：结合学科知识和二次函数性质，解决实际问题 【例题8】.（25-26九年级上·吉林长春·期末）某物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，将变阻器的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器消耗的电功率随电流变化关系的图象如图所示，该图象是经过原点的一条抛物线的一部分．结合图象信息，解答下列问题． (1)求与之间的函数关系式； (2)当时，求的值； (3)当______A时，取得最大值为______W． 【答案】(1) (2) (3)2，220 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）由题意可设与之间的函数关系式为，然后把点、代入解析式进行求解即可； （2）把代入（1）中解析式进行求解即可； （3）根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：图象是经过原点的一条抛物线， 设与之间的函数关系式为． 将点、代入，得， 解得， 与之间的函数关系式为． （2）解：当时，； 当时，的值为． （3）解：由（1）可知：与之间的函数关系式为， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； 故答案为2，220． 【变式题8-1】.（2025·河北秦皇岛·一模）【情景导入】在物理学中，自由落体下落的距离与下落时间的平方成正比．若忽略空气阻力，则与满足函数关系，表示重力加速度，看作一个定值．如表是一次试验的记录，根据如表，求的值，并求出与的关系式． 5 20 45 1 2 3 【尝试探索】如图所示，一个重力为的物体在理想环境下做自由落体运动，后落地．求下落点到地面的距离． 【实际应用】若某人从20楼失足落下，忽略一切影响因素，假设他做自由落体运动，每层楼高，在他开始运动的同时，消防员恰好赶到，则消防员铺设气垫至少需要10秒，通过计算说明此人能否得以生存？ 【答案】【情景导入】；【尝试探索】；【实际应用】不能得以生存 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意确定出二次函数的解析式是解题的关键，注意实际问题中自变量的取值要使实际问题有意义． [情景导入]依据表格中的数据进行计算，即可得到的值，进而得到与的关系式； [尝试探索]把代入关系式，即可得到的值； [实际应用]根据楼高的值，得到的值，进而得出结论． 【详解】解：[情景导入]根据题意，当时， ，解得 与的关系式为． [尝试探索] 当时， 下落点到地面的距离为． [实际应用]当时，， 解得 不能得以生存． 【变式题8-2】.（2026·广东深圳·中考真题）综合与实践 【问题背景】 随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效益成为关注重点．某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收支平衡问题． 【研究条件】 条件1：该充电站收入（单位：元）与当日充电汽车数量（单位：辆）之间的对应关系如下表： 1 2 3 4 5 50 100 150 200 250 条件2：该充电站的运营成本（单位：元）与充电汽车数量之间满足： 【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题： (1)根据上表数据，求与的函数关系式，并计算当时，该充电站的收入为多少元？ (2)当收入等于成本时，充电站达到收支平衡．求此时的值，并写出该充电站收入与的新关系式； 【模型应用】 (3)由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为，成本关系保持不变．已知当汽车数量为80辆时，净收益（净收益收入成本）取得最大值，请写出符合条件的值，并说明理由． 【总结反思】 函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还需考虑充电桩利用率、电价波动、用户排队等因素，后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策． 【答案】(1)与的函数关系式为，当时，该充电站的收入为元 (2)的值为或，收入与的新关系式为 (3)，理由如下： 设净收益为W， ∴， ， 二次函数图象开口向下， ∴当时取得最大值， 由题意得，时净收益最大， ∴ 解得． 【分析】（1）观察表格数据可判断是的正比例函数，用待定系数法求出解析式，再代入计算即可； （2）根据收支平衡的定义列等式，整理为一元二次方程求解，再根据收入等于成本写出新关系式； （3）设净收益为W，再写出净收益的二次函数表达式，根据开口向下的二次函数在顶点处取得最大值，结合顶点横坐标为80即可求出的值． 【详解】（1）解：由表格数据可知与成正比例关系，设， 将，代入得， ∴与的函数关系式为， 当时，（元）； （2）解：收支平衡满足， ∴ 解得，，此时收支平衡时收入等于成本， ∴收入与的新关系式为； （3）略 【变式题8-3】.（25-26八年级下·北京·期末）为研究某种化学试剂的挥发情况，某研究团队在A、B两种不同的场景下做对比实验，分别收集了试剂挥发过程中剩余质量（克）和（克）与时间x（分钟）（）的部分数据： （分钟） 0 5 10 15 20 （克） （克） 经研究发现，可以分别用函数刻画，与x之间的关系．场景A下试剂挥发过程中的剩余质量与时间x近似满足函数关系：，与x近似满足一次函数关系，图象如图所示． (1)写出表中m的值： ，并在给定的平面直角坐标系中画出场景A下试剂挥发过程中的剩余质量（克）与时间x（分钟）的函数图象； (2)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①在场景A下，剩余质量随时间减少的变化趋势是 ； A．匀速变化 B．先快后慢 C．先慢后快 ②查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克．在上述实验中，该化学试剂在场景 （填“A”或“B”）下发挥作用的时间更长； (3)当时，两种场景下试剂挥发过程中剩余质量的差值达到最大时，此时对应的时间是第 分钟（结果保留小数点后一位）． 【答案】(1)，（克）与时间（分钟）的函数图象如图所示； (2)C； (3) 【分析】（1）直接根据表格中已知数据得出的变化规律，即可得到的值；再将表格的数据描点，并用平滑的曲线画出的函数图象即可； （2）观察表格和图象读取信息即可； （3）利用待定系数法求得、的函数关系式，进而得到的函数关系式，利用二次函数的性质即可求得最值． 【详解】（1）解：与近似满足一次函数关系，观察表格数据可知，时间每增加分钟时，剩余质量减少克， ； 则（克）与时间（分钟）的函数图象：略 （2）解：观察图象可知，在场景A下，剩余质量随时间减少的变化趋势是先慢后快； 由表格可知，当时，（克）；（克）； 而该化学试剂发挥作用的最低质量为克，故该化学试剂在场景A下发挥作用的时间更长． （3）解：将点和代入中得， ， 解得， ； 设与的函数关系式为， 将点和代入得， ， 解得， ， ， ， 抛物线开口向下， 当分钟时，取最大值，最大值为克， ∵结果保留小数点后一位 ∴ 即两种场景下试剂挥发过程中剩余质量的差值达到最大时，此时对应的时间是第分钟． 【题型9】二次函数实际应用探究 1.核心知识点: 二次函数的综合应用；探究式学习；方案设计；创新思维 2.解题方法技巧: ①问题转化法：将探究性问题转化为熟悉的二次函数问题 ②方案设计法：根据问题要求，设计不同的解决方案并比较优劣 ③归纳验证法：从特殊情况入手，归纳猜想一般规律，再验证证明 【例题9】.（2026·广东揭阳·一模）综合与探究 如图，边长为的正方形的两边在坐标轴上，以点为顶点的抛物线经过点，点是抛物线上点，间的一个动点（含端点），过点作于点，点、的坐标分别为，，连接、、． (1)请直接写出抛物线的解析式； (2)小明探究点的位置发现：当点与点或点重合时，与的差为定值，进而猜想：对于任意一点，与的差为定值，请你判断该猜想是否正确，请说明理由； (3)小明进一步探究发现：若将“使的面积为整数”的点记作“好点”，则存在多个“好点”．请你继续探究： ①使的周长最小的点是不是一个“好点”，如果是，请求出这个“好点”坐标，如果不是，请说明理由； ②请求出所有“好点”的个数． 【答案】(1)； (2)正确，理由见解析； (3)①；②“好点”有个． 【分析】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理的应用以及配方法求二次函数最值等知识，利用数形结合是解题的关键． （1）利用待定系数法求出抛物线解析式即可； （2）首先表示出、点坐标，再利用两点之间距离公式得出，的长，进而求出即可； （3）根据题意当、、三点共线时，最小，进而得出点坐标以及利用的面积可以等于到的所有整数，在面积为时，的值有两个，进而得出答案． 【详解】（1）解：边长为的正方形的两边在坐标轴上， ，， 抛物线的顶点， 设抛物线的解析式为， 将点的坐标代入，得，解得， 抛物线的解析式为； （2）解：正确，理由如下： 设，则, ， ， ， ， 故猜想正确； （3）①当点运动时，的大小不变， 与的和最小时，的周长最小， ， ， ， 当、、三点共线时，最小，此时点、的横坐标都为， 将代入，得， 点坐标为，此时的周长最小，且的面积为，点恰为“好点”， 的周长最小时，“好点”坐标为； ②如图：连接,由（2）得, , ， 的面积可以等于到的所有整数，在面积为时,的值有两个，分别为和 (此处要注意的值有两个) ． 面积为整数时 “好点”有个． 【变式题9-1】.（2026·广东深圳·模拟预测）综合与实践·校本研学探究——低空无人机物资空投的数学建模 【研学背景】 某校开展数学跨学科科创研学活动，探究低空无人机物资投放的运动规律．若忽略空气阻力、风力的影响，物资飞行轨迹为抛物线；无人机悬停投放口为抛物线轨迹的顶点． 【坐标系建构】 以投放口地面竖直投影为原点，水平投放方向为轴正方向，竖直向上为轴正方向，单位：． 无人机物资空投数学建模示意图 (1)【初战实测·个案建模】 如图，首次试飞无人机悬停投放高度为，物资水平飞行后在处落地，求本次物资飞行抛物线的函数解析式； (2)【校准实验·定点标定】如图，无人机仅竖直升降，抛物线形状、开口不变（与①相同），轨迹经过标定靶点，求此时无人机悬停投放口离地高度； (3)【全域探究·通用建模】 为探究不同投放参数影响，无人机调整水平初速度与机翼角度，建立全新通用投放轨迹：，场地中段设有高实训障碍墙；地面物资接收区为线段，端点，；要求物资全程飞越障碍墙且不触碰，落地点落在接收区内（含端点，），求投放口高度的取值范围． 【答案】(1) (2)此时悬停高度为米 (3)投放高度的取值范围是米 【分析】（1）由题意设抛物线顶点式，将落地点代入顶点式，即可求解； （2）由题意设抛物线顶点式，将代入顶点式，即可求解； （3）根据落地区间，得出，根据越障要求：当时，，进而求得，即可求解． 【详解】（1）解：由题意设抛物线顶点式， 将落地点代入顶点式， 得， 解得． ∴所求解析式为 答：本次物资飞行抛物线的函数解析式为． （2）由题意设抛物线顶点式，将代入顶点式， 得， 解得 答：此时悬停高度为4米． （3）①令，则， ∵落地区间， ∴ ②越障要求：当时， ，， ∵． ∴当时，随着x的增大而增大， 当时， ∴， 由①②得 答：投放高度h的取值范围是米． 【变式题9-2】.（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）【综合探究】运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗都可以看作一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成． 【探究一】确定心形叶片的形状 （1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部实轮廓线可以看作是二次函数图象抛物线的一部分，已知该抛物线的顶点坐标为，求该二次函数的解析式； 【探究二】研究心形叶片的尺寸 （2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线与坐标轴交于两点，抛物线与x轴交于另一点C，点是叶片上的一对对称点，交直线于点G．求叶片此处宽度的值； 【探究三】探究幼苗叶片的特征 （3）小明同学在观察某种幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，如图4所示，右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反，且上下方轮廓线均经过原点，已知叶尖P的坐标为．在右侧上方轮廓线上任取一点M，过M作x轴垂线交下方轮廓线于点N，求的最大值． 【答案】（1）；（2）；（3）的最大值为 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，轴对称的性质，等腰直角三角形的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据顶点式，代值列方程求解即可； （2）先求出，得到，再求出点，得，求得，根据对称性得； （3）运用待定系数求出右侧幼苗上方轮廓线表达式为，设M点坐标为，则，得，运用二次函数的性质可求解． 【详解】解：（1）抛物线的顶点坐标为， 设，把代入得 二次函数的解析式为，即； （2）直线与坐标轴交于两点， ∴令，得，令，则， ∴，， ， 是等腰直角三角形， ； 直线是心形叶片的对称轴，且点是叶片上的一对对称点， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 对于为，当时，为， 解得或， ， ， ， ； （3）把代入得 ， 右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反， 设右侧幼苗上方轮廓线表达式为，把代入解得， ， 设M点坐标为，则， ， ∴当时，的最大值为． 【变式题9-3】.（2026·广东深圳·三模）综合实践与探究——新能源汽车刹车性能研究 【设计实验方案】 某探究小组围绕新能源汽车水平路面刹车过程中，速度、路程随刹车时间的变化规律开展探究． 设计实验：让新能源汽车在平直水平路面匀速行驶至A点时启动刹车，从汽车到达A点开始，用测速仪、计时器测量并记录汽车刹车后的运动时间、瞬时速度、刹车路程的数据． 【收集整理数据】 运动时间 0 4 8 12 16 20 … 瞬时速度 12 10 8 6 4 2 … 刹车路程 0 44 80 108 128 140 … 【数学建模探究】 (1)【猜想和验证】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想： ①v与t之间的关系可以近似地用________函数表示．（填：“一次”、“二次”或“反比例”），v与t的函数关系式为________． ②y与t之间的关系可以近似地用________函数表示．（填：“一次”、“二次”或“反比例”），y与t之间的函数关系式为________． (2)【拓展与运用】 ①若某段水平测试路面的长度为，通过计算判断这辆新能源汽车在刹车过程中是否会超出该路面范围？ ②当新能源汽车到达水平路面A点时，前方B点处有另一辆电动车以的速度在匀速向前直线运动，若新能源汽车不能追尾电动车，那么的最小值是多少？ 【答案】(1)解：描点、连线，图象如图所示： ①一次；；②二次； (2)①不会超出该路面范围；② 【分析】（1）①描点、连线，观察图象，可以发现v与t之间的函数图象可以近似地看为一条直线，为一次函数，由待定系数法求解即可； ②描点、连线，观察图象，可以发现y与t之间的函数图象可以近似地看为一条抛物线，为二次函数，由待定系数法求解即可； （2）①计算出新能源汽车行走的最大距离与比较大小即可； ②根据题意，刹车距离需要大于的距离加上以的速度行驶的电车行驶的距离，结合二次函数的最值求解即可． 【详解】（1）解：①v与t之间的关系可以近似地用一次函数表示， 设， 将点与点代入函数关系式中， 可得，解得， ∴， ∴v与t的函数关系式为． ②y与t之间的关系可以近似地用二次函数， 设， 将点，点，点代入函数关系式中， 可得，解得， ∴， ∴y与t之间的函数关系式为． （2）解：①不会超出该路面范围， ∵当新能源汽车完全停车时， ∴，即， ∴新能源汽车行走的最大距离为， ∵， ∴不会超过路面范围； ②∵，设， 由题意，得：， ∴， ∴当时，d最大为； ∴最小为． 易错点 1、求最值时忽略自变量的取值范围，直接用顶点处的函数值作为答案 2、销售利润问题中，涨价和降价的方向搞反，导致销量变化方向错误 3、抛物线型问题中，建立坐标系不当，导致计算复杂或出错 4、几何面积问题中，设元后另一边长的表达式列错，特别是靠墙围矩形的情况 5、实际问题的答案不检验，得出不符合实际意义的结果（如负数长度、负利润等） 重点 1、利用二次函数解决几何图形面积最值问题 2、利用二次函数解决销售利润最值问题 3、利用二次函数解决抛物线型实际问题（拱桥、投球、喷水等） 4、根据实际问题确定自变量的取值范围，求符合题意的最值 难点 1、从复杂实际问题中抽象出二次函数关系，建立数学模型 2、抛物线型实际问题中，建立适当的平面直角坐标系 3、多约束条件下的二次函数最值问题，需要综合分析各种限制条件 4、探究性实际问题，需要设计方案并比较优化 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，为坐标原点，二次函数的图象与轴只有一个交点，且经过点，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据A、B两点纵坐标相等求出二次函数对称轴，进而得到b的值，再利用二次函数与x轴只有一个交点的性质求出c的值，得到函数解析式后求出m，最后计算的面积． 【详解】解：∵二次函数经过点，，两点纵坐标相等 ∴二次函数的对称轴为直线 ∵对称轴公式为， ∴，解得 又∵二次函数图象与轴只有一个交点 ∴ 解得 ∴二次函数解析式为 将代入解析式，得 ∴，， ∴，原点到直线的距离为 ∴． 2．函数是描述现实世界变化规律的数学模型，运用函数知识可以解决很多现实问题．如某型号飞机着陆后滑行的距离s（m）关于滑行的时间t（s）的函数关系式是．请结合函数图象，用数学眼光判断下列关于该运动情况的描述，其中错误的是（     ） A．飞机着陆后前滑行的距离为 B．飞机着陆后滑行才能停下来 C．飞机滑行过程中，最后滑行了 D．飞机滑行过程中，最后滑行用时 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的实际应用，先对函数配方得到飞机滑行的总时间和总滑行距离，再逐一计算每个选项判断正误. 【详解】先对函数配方得 ∵二次函数开口向下，顶点坐标为， ∴飞机着陆后滑行停下，总滑行距离为. 对选项A：将代入函数得 ，A描述正确； 对选项B：由顶点可知最大滑行距离为，即飞机滑行才能停下，B描述正确； 对选项C：总滑行时间为，最后对应从到，将代入得，最后滑行距离为，C描述错误； 对选项D：当滑行距离为时，令，整理得，解得（舍去大于总时间的解），因此最后用时，D描述正确. 3．某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把解析式化为顶点式即可得到答案． 【详解】解：， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为90， ∴这条鱼此次射出的水流的最大高度是． 二、填空题 4．如图所示，是一个长、宽的矩形花园，根据需要将它的长缩短、宽增加，要想使修改后的花园面积达到最大，则__________． 【答案】 【分析】先根据矩形的面积公式列出函数关系式，再根据二次函数的性质即可求得结果． 【详解】解：由题意得修改后的花园面积， ∵， ∴当时，修改后的花园面积达到最大． 5．某食品加工厂专门生产爆米花，在生产过程中，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．为了提升产品品质、降低生产成本，技术人员研究发现，在特定生产条件下，可食用率与加工时间（单位：分钟）满足函数表达式，为了让爆米花的可食用率达到最高，最佳加工时间为_________分钟． 【答案】3.75 【分析】根据二次函数的最值问题进行求解即可． 【详解】解：∵，且， ∴当时，y取得最大值， ∴最佳加工时间为3.75分钟． 6．如图1，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图2是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点射出，水流运动的高度与水平距离近似满足函数关系．若这只昆虫在点，则这次射出的水流______击中昆虫．（填“能”或“不能”） 【答案】不能 【分析】本题主要考查了二次函数的应用．根据题意，把代入，把结果与50比较即可． 【详解】解：把代入，得， ， 不能击中昆虫． 三、解答题 7．如图，一位跳台滑雪运动员在一次训练中从起跳点起跳飞出，在着陆坡着陆．已知起跳点与着陆坡上的计分参照点的竖直距离为，水平距离为．按如图所示的平面直角坐标系，这位运动员这次起跳后在空中的运动轨迹近似满足抛物线． (1)求的值和该运动员这次起跳后在空中飞行的最大高度； (2)请通过计算，判断着陆时他能越过点吗？ 【答案】(1)，该运动员这次起跳后在空中飞行的最大高度为 (2)运动员着陆时他能越过点 【分析】（1）由题意可得，，将其代入抛物线解析式即可得到的值，进而求出抛物线的解析式，再将解析式化为顶点式，利用函数的性质即可求解； （2）在函数解析式中令，求出的值，再与比较，即可判断． 【详解】（1）解：由题意可得，， 将代入，得， 解得， ， 化为顶点式为， ， 当时，有最大值，最大值为， ，该运动员这次起跳后在空中飞行的最大高度为； （2）由（1）可得，这位运动员这次起跳后在空中的运动轨迹近似满足抛物线， 令，则， 解得，， ，且， ，舍去， ， ， ， ， 即运动员着陆时他能越过点． 8．2025年，在四川省城市足球联赛（简称“川超”）比赛期间，为促进体育经济发展，眉山市文旅局联合餐饮住宿企业、土特产生产企业推出各种优惠活动． (1)某食品厂原计划每月生产芝麻糕2000件，为响应文旅局号召，连续两月提高产量后，月产量达到2880件，若每月产量的增长率相同，求每月产量的增长率； (2)该食品厂原来每天可销售60件芝麻糕，每件盈利30元．参与优惠活动后，该食品厂每降价1元，就可多售出5件．问该食品厂应降价多少元，才能使利润最大？最大利润为多少？ 【答案】(1)每月产量的增长率为 . (2)应降价元，最大利润为 元. 【分析】（1）设每月产量的增长率为，根据原产量和增长两次后的产量关系列方程，舍去不符合实际的负根即可得到结果； （2）设降价元，每天总利润为 元，根据总利润每件利润销售量列出二次函数解析式，配方后根据二次函数的性质即可求出最大利润和对应的降价金额． 【详解】（1）解：设每月产量的增长率为， 根据题意列方程得: ， 解得 , ，增长率不能为负，不符合实际，舍去， 答: 每月产量的增长率为； （2）解：设降价元，每天总利润为 元， 根据题意，每件盈利为 元，每天销售量为 件， ∴， ， 当时， 取得最大值，最大值为， 答: 该食品厂应降价元，才能使利润最大，最大利润为 元． 9．某市消防中队引进一种新型用于高层消防的举高喷射消防车，为了熟练掌握其性能，在某广场进行了一次消防演练．如图所示，打开云梯后，消防车喷水口离地面的高度为，水流落地点为点，喷出的水流呈抛物线型．以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（喷水装置和水流粗细忽略不计）已知，，从处喷出的水流高度与水平距离之间的关系为． (1)求，的值； (2)在水压和喷口方向不变的情况下，此时水流高度能达到的最大高度是多少米？ (3)点在点正前方米处，在水压和喷口方向不变的情况下，要求在处的水流高度达到米，则消防车从点沿方向应至少前进多少米？ 【答案】(1)， (2)水流高度能达到的最大高度是米 (3)消防车从点沿方向应至少前进米 【分析】（1）根据已知数据确定点、，再利用待定系数法求解即可； （2）将抛物线表达式转化为顶点式，即可得到答案； （3）先求出当时，，，再由平移即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 将和代入中，得， 解得； （2）解：由（1）知抛物线的表达式为：， 将表达式转化为顶点式为：， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴水流高度能达到的最大高度是米； （3）解：令，即，整理得：， 解得：，， ∵点在点正前方米处， ∴， ∴至少需前进（米）， ∴消防车从点沿方向应至少前进米. 10．“投壶”是古人宴会时的一种娱乐游戏，参与者需站在一定距离外，将箭矢投入壶中，以投入的数量和方式计算得分．嘉嘉体验了投壶游戏后作出示意图如图1，以投壶者所站位置为原点，地面为轴，为1个单位长度建立平面直角坐标系，投掷过程中箭矢前端点的运动路径可看作抛物线的一部分，点从点处出手，矩形为壶，，，． (1)如图1，，若点为抛物线的顶点，，且抛物线经过点 ． ①求抛物线的解析式； ②竖直提高点的出手位置（点），使点落在上（不含边界），求的取值范围． (2)如图2，调整出手的力度和角度，使抛物线在点 处到达最高点．若点经过点正上方处，求出点在点正上方的距离（用含的式子表示）． 【答案】(1)① ② (2) 【分析】（1）①运用待定系数法求解即可；②根据函数值求自变量的值即可； （2）根据题意得到抛物线解析式为，抛物线过点，则，抛物线解析式为，且抛物线过，，当时，代入计算即可． 【详解】（1）解：①， 为顶点， 则抛物线， ∵过点 代入得： ， ∴， 抛物线解析式为； ②解：抛物线经过点时， ， ， 抛物线经过点时，， ， 当时，点落在上． （2）解：顶点， 抛物线解析式为， 抛物线过点， ， ， ，且抛物线过， ， ， 当时， ， ， 点在点正上方处． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题26.4 实际问题与二次函数 【本节预习目标】 1.知识与技能 能从实际问题中抽象出二次函数关系，建立二次函数数学模型 会运用二次函数的性质解决几何图形面积最值、销售利润最值等实际问题 能解决抛物线型实际问题（拱桥、投球、喷水等），掌握建立平面直角坐标系的方法 能根据实际问题确定自变量的取值范围，并求出符合题意的最值 2.过程与方法 经历"实际问题—数学模型—求解—验证"的完整过程，体会数学建模思想 通过对不同类型实际问题的探究，培养分析问题、解决问题的能力 在解决实际问题中，发展数形结合、转化与化归的数学思想 【前置旧知回顾】 知识模块 核心内容 与本节的关联 二次函数的图象和性质 开口方向、对称轴、顶点坐标；增减性；最值；顶点式与一般式的转化 利用二次函数的性质求实际问题中的最值 一元二次方程的解法 配方法、公式法、因式分解法；根的判别式 求解实际问题中函数值为特定值时的自变量值 列方程解应用题 审、设、列、解、验、答的基本步骤；找等量关系的方法 类比列方程的方法，建立函数关系式 几何图形的面积公式 矩形、三角形、梯形、圆等常见图形的面积公式 几何图形面积最值问题的基础 知识点1：利用二次函数解决几何图形面积最值问题 1.基本思路 从几何图形中找出变量之间的关系，建立面积关于某一变量的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求最值。 2.常见类型 类型 特点 解题关键 矩形面积最值 已知周长或一边长，求最大面积 设边长为自变量，建立面积函数 动点面积最值 图形中有动点，求某部分面积的最值 用含时间的代数式表示线段长，再表示面积 靠墙围矩形 一边靠墙，用围栏围矩形，求最大面积 设垂直于墙的边长为自变量，注意自变量范围 三角形内接矩形 在三角形内作矩形，求矩形的最大面积 利用相似三角形，建立矩形边长的关系 3.注意事项 必须根据实际意义确定自变量的取值范围 当顶点的横坐标在自变量取值范围内时，顶点处取得最值 当顶点的横坐标不在取值范围内时，根据函数的增减性确定最值 知识点2：利用二次函数解决销售利润最值问题 1.基本关系式 单件利润=售价-进价 总利润=单件利润×销售量 总利润=总销售额-总成本 2.常见模型 商品涨价销量减少、降价销量增加，总利润与售价之间构成二次函数关系。 例如：某商品进价为元，售价为元，每天可卖出件。经调查，每涨价1元，销量减少件。则总利润与售价的关系为： 3.解题步骤 设未知数（通常设涨价或降价的金额，或直接设售价） 用含未知数的代数式表示单件利润和销售量 根据利润公式列出函数关系式 化为顶点式或用公式法求最值 验证最值是否符合实际意义 知识点3：利用二次函数解决抛物线型实际问题 1.常见类型 类型 实例 特点 拱桥问题 石拱桥、抛物线型桥洞 开口向下，顶点在最高点 投球问题 篮球投篮、铅球投掷 开口向下，轨迹为抛物线 喷水问题 喷泉、水管喷水 开口向下，顶点在最高处 隧道问题 抛物线型隧道 开口向下，类似拱桥 跳跃问题 跳高、跳远 轨迹为抛物线 2.解题关键 建立适当的平面直角坐标系，将实际问题转化为二次函数问题。 建立坐标系的常用方法： 以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴 以抛物线与x轴的一个交点为原点 以地面为x轴，对称轴为y轴 3.解题步骤 建立平面直角坐标系 根据已知条件确定抛物线上点的坐标 用待定系数法求抛物线的解析式 利用解析式解决实际问题 检验结果是否符合实际意义 【基础巩固题型】 【题型1】矩形菜园面积最值 1.核心知识点: 二次函数的最值；矩形面积公式；数学建模思想；自变量取值范围 2.解题方法技巧: ①设元法：设矩形的一边长为自变量，用含自变量的代数式表示另一边长 ②建模法：根据矩形面积公式，建立面积关于边长的二次函数关系式 ③最值法：将函数化为顶点式或用公式法求最值，注意验证自变量范围 【例题1】.（2026·四川成都·模拟预测）如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为，栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为（单位：），与墙平行的一边长为（单位：），面积为（单位：）． (1)直接写出与，与之间的函数解析式（要求写出的取值范围）； (2)当的值是多少时，矩形实验田的面积最大？最大面积是多少？ 【变式题1-1】.（2026·内蒙古通辽·二模）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长米）的空地上修建一个矩形花园，花园的一边靠墙，另外三边用总长为米的栅栏围成（如图所示）．若设花园的边长为米，面积为平方米． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)满足条件的花园面积能否达到平方米？若能，请求出的值；若不能，请说明理由； (3)当是多少时，矩形花园面积最大？最大面积是多少？ 【变式题1-2】.（26-27九年级·上海·暑假作业）阅读材料： 配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决一些最值问题，比如：因为，所以就有最小值1，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为，所以有最大值1，即，只有在时，才能得到这个式子的最大值1． 请解决下列问题： (1)当 时，代数式有最　　 （填“大”或“小” 值为　　 ； (2)当 时，代数式有最　　 （填“大”或“小” 值为　　 ； (3)矩形花园的一面靠墙，另外三面栅栏的总长度16m，求：当花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 【变式题1-3】.（2026·福建三明·二模）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用米长的栅栏围成一个矩形花园（栅栏只围，两边）． (1)若比长米，求、的长； (2)若在墙角处有一棵树与墙、的距离分别是米和米，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），花园可以围出的最大面积是多少？ 【题型2】商品销售利润基础 1.核心知识点: 二次函数的最值；利润计算公式；单价与销量的关系；数学建模 2.解题方法技巧: ①设元法：设涨价（或降价）的金额为自变量，或直接设售价为自变量 ②关系式法：用含自变量的代数式分别表示单件利润和销售量 ③公式法：根据"总利润=单件利润×销售量"列出函数关系式，再求最值 【例题2】.（25-26八年级下·山东济南·期末）某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，根据市场调查，当销售单价为22元时，每周的销售量为36本，售价每提高1元，每周的销售量就减少2本． (1)请求出该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间的函数关系式； (2)物价部门规定，每本纪念册的售价不高于28元．设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为W元，将该纪念册的销售单价x定为多少时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 【变式题2-1】.（25-26八年级下·重庆·期末）重庆市某景区是旅游热门景点，景区某商店有A、B两款热销冰箱贴，小鲁和小巴在旅游时购买了这两款冰箱贴，其中小鲁买件A款冰箱贴和件B款冰箱贴共花费元，小巴买件A款冰箱贴和件B款冰箱贴共花费元． (1)求A、B两款冰箱贴每件售价分别是多少元？ (2)景区内游客如潮，该商店推出了B款冰箱贴的优惠活动．若按（1）中求出的单价销售，每天可销售B款冰箱贴件．销售单价每下降元，每天可多售出件．已知B款冰箱贴成本为元，请求出B款冰箱贴每天的销售利润（元）与销售单价下降（元）（）之间的函数关系，当每件售价为多少元时，B款冰箱贴每天的销售利润最大，最大利润是多少？ 【变式题2-2】.（2026·江苏盐城·三模）某商店决定对某类商品进行降价促销活动．已知进价为每件5元，平时以单价12元的价格售出一天可卖80件、根据调查单价每降低1元，每天可多售出40件；设商品售价x元（售价不低于进价，x为正整数），这批商品的日利润为w元（利润＝售价﹣成本），请解决以下问题： (1)设商品售价x元，则一天可以卖出________件； (2)当商品的售价x为多少元时，销售这批商品的日利润最大，最大值为多少？ 【变式题2-3】.（25-26八年级下·安徽安庆·期末）2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品． (1)某电商平台数据显示，该毛绒小马2月份销量为10万件，4月份销量已增至12.1万件．求该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率． (2)某商铺以每件15元的价格购进“哭哭马”，分为线上和线下两种销售方式．线下市场调查发现，当售价为35元/件时，日销量为80件．售价每降低1元，日销量可增加10件． ①借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销．为使线下日销售利润达到1800元，则每件应降价多少元？ ②若线上售价与线下相同，但每件产品商家需多付3元快递费，且线上日销量固定为100件．当每件降价多少元时，线上和线下的日利润总和最大？并求出最大利润． 【题型3】抛物线型拱桥问题 1.核心知识点: 二次函数的图象和性质；待定系数法求解析式；建立平面直角坐标系 2.解题方法技巧: ①建系法：以拱桥的最高点为原点，对称轴为y轴建立坐标系，简化计算 ②待定系数法：根据已知点的坐标，设顶点式求抛物线的解析式 ③代入法：将实际问题中的高度或宽度转化为坐标，代入解析式求解 【例题3】.（2026·广东东莞·三模）如图1是佛山市顺德区顺峰山公园景区的大门，是一座三跨式巨型中式牌坊，享有“中华第一牌坊”的美誉．已知中间主跨地面宽度为35米，实际结构可简化为图2所示的组合图形：上部为抛物线形，下部为矩形．某测量小组测得为3米，从A点出发，沿主跨地面向右侧走2米到达点E，测得E点处对应的高度（即点E上方到抛物线轮廓的竖直距离）为6.3米，请你结合数据，求出主跨的高度（即抛物线顶点到地面的距离）．（精确到） 【变式题3-1】.（25-26八年级下·浙江金华·期末）2026年6月11日晚，“吴越杯”足球赛决赛，金华队对阵温州队．金华队在第83分钟时一记大力抽射，扳平比分．最终点球以战胜温州队，获得冠军．如图，据球迷目测，该球员在距离球门24米处射门，当球飞出14米远处，达到最高点，最终在球门离地面1.2米高处入网．这条抛物线的表达式为_________． 【变式题3-2】.（2026·陕西西安·模拟预测）如图为某拱桥的示意图，桥面平行于水面，拱形桥洞可近似看作抛物线的一部分，桥洞最高处点与桥面的距离为米，当水面距离桥面时，拱孔横跨水面宽度为米．若以水面所在直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，请根据以上信息回答问题： (1)请求出桥洞对应抛物线的表达式； (2)若从桥面向下挂一条宽为米的长方形横幅，横幅上边沿与桥面重合，、恰好落在拱孔上，求横幅的长． 【变式题3-3】.（2026·湖北恩施·二模）图1是抛物线形拱桥平面示意图，当拱顶离水面时，水面宽．此时桥拱与水面的交点分别为点 A 和点 B，拱顶为点 C． (1)请从下列两种方案中任选一种，在图2中画出平面直角坐标系，并求出所选方案中的抛物线解析式． 方案一：以点A为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系； 方案二：以点C为原点，抛物线对称轴为y轴建立平面直角坐标系． (2)当水面下降时，水面宽度增加多少？ 【题型4】篮球投篮轨迹问题 1.核心知识点: 二次函数的图象和性质；抛物线的实际意义；待定系数法；体育情境 2.解题方法技巧: ①建系法：以出手点为原点或地面为x轴建立坐标系 ②顶点式法：已知最高点坐标时，设顶点式求解析式更简便 ③验证法：将篮筐坐标代入解析式，验证是否命中 【例题4】.（26-27九年级·上海·暑假作业）如图，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方的处射门，已知球门为，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球的竖直高度为．现以为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式并判断能否射进球门（忽略其他因素）； (2)若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，则他应该带球向后方移动 米射门，才能让足球经过点正上方处． 【变式题4-1】.（2026·陕西西安·模拟预测）为贯彻落实“五育并举”的教育方针，某校开设了篮球队，如图，篮球运动员投篮时，篮球的运动路线可近似看作抛物线的一部分．已知篮球从距地面2米的点A处投出，并落在水平地面上的点M处，其运动路线的最高点P距地面3.8米，最高点P与篮球出手点A的水平距离为3米．以地面所在直线为x轴，过点A且与垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求点P所在抛物线的函数表达式； (2)已知篮球运动路线的形状保持不变（即抛物线的形状不变），若将篮球从点A正上方1米的点B处投出，落地点为N，点N在x轴的正半轴上，求点B与落地点N的水平距离的长． 【变式题4-2】.（2026·河南开封·模拟预测）开封清明上河园中的虹桥是园区的核心地标，下面是虹桥及上方抛物线形框架结构的平面示意图，桥中间的大拱截面可视为抛物线的一部分，虹桥上悬挂两个灯笼． 现有以下三条素材： 素材1：整个图形是轴对称图形； 素材2：跨度米，竖直支撑米，最高点P到的距离为5米； 素材3：两灯笼，之间的水平距离为4米，点M、N均在抛物线上且关于抛物线的对称轴对称． 现以所在直线为x轴，的垂直平分线（直线）为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式；（不必写出自变量取值范围） (2)若米，求灯笼底端（点E或F）到的距离． 【变式题4-3】.（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）掷实心球是某市中考体育考试的选考项目．小强为了解自己实心球的训练情况，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况，建立了如图所示的平面直角坐标系，在一次投掷中，实心球从y轴上的点处出手，运动路径可看作抛物线的一部分，实心球在最高点B的坐标为，落在x轴上的点C处． (1)求抛物线的解析式； (2)某市男子实心球的得分标准如表： 得分 100 95 90 85 80 76 70 66 60 50 40 30 20 10 掷远（米） 12.4 11.2 9.6 9.1 8.4 7.8 7.0 6.5 5.3 5.0 4.6 4.2 3.6 3.0 请你求出小强在这次训练中的成绩，并根据得分标准小强得______分； (3)小强在练习实心球时，他的正前方距离投掷点9米处有一个身高1.2米的小朋友在玩耍，问该小朋友是否有危险（如果实心球在小孩头顶上方飞出为平安，否则视为危险），请说明理由． 【培优提升题型】 【题型5】隧道通行限高问题 1.核心知识点: 二次函数的图象和性质；抛物线型隧道；待定系数法；工程情境 2.解题方法技巧: ①建系法：以隧道底部为x轴，对称轴为y轴建立坐标系 ②解析式法：根据隧道的宽度和高度，求抛物线的解析式 ③限高计算法：给定车辆宽度，代入解析式求对应的高度，即为限高 【例题5】.（25-26九年级上·安徽合肥·期末）合肥市某隧道横截面由抛物线的一部分和矩形的三边构成．隧道的最高点C到地面距离为6米，两侧墙面高米，地面跨度米．车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），线的宽度忽略不计．右侧车道线与墙面的距离为1米．且必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于米． (1)建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (2)求该隧道右侧车道的最大安全限高h的值．（精确到个位） 【变式题5-1】.（2026·陕西宝鸡·一模）如图1是某海洋馆的玻璃隧道，图2是它的截面示意图，玻璃隧道截面可近似看作抛物线和矩形构成．矩形的长米，宽米，小明以O为原点，所在水平线为x轴、所在直线为y轴建立如图2的平面直角坐标系，在抛物线上点处贴有一张“小心碰头”的温馨提示． (1)求隧道截面所在抛物线的函数表达式； (2)为保障游客观赏效果，清洁工人会对玻璃隧道进行定期清洁，某次清洁工人站在地面上清洁玻璃隧道时，能刷到的最大高度是其站立位置地面的正上方米处（抛物线上的段清洁工未清洁，即点E、F到x轴的距离均为米），此次清洁工人站在地面完成玻璃隧道清洁后，求未清洁部分最低两处的水平距离（即求E、F两点之间的距离）． 【变式题5-2】.（25-26九年级上·陕西西安·期末）某数学课题学习小组，为了研究某隧道（图1）的截面，建立如图2所示的平面直角坐标系，已知该隧道口的横截面是抛物线型，隧道底部宽为，抛物线的最高点与路面的距离为，点在轴上． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)某部门为推进公路隧道提质升级养护工作，决定对隧道顶部原有的摄像头、进行升级，现已知这两个摄像头的水平距离为，且、关于轴对称，求这两个摄像头距地面的高度是多少米？ 【变式题5-3】.（2026·河南南阳·一模）河南某高速公路隧道截面轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽米，高米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数解析式； (2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔米（中心线宽度不计）．若宽米，高米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由． 【题型6】喷泉设计问题 1.核心知识点: 二次函数的图象和性质；抛物线型喷水；待定系数法；设计情境 2.解题方法技巧: ①建系法：以喷水口为原点或地面为x轴建立坐标系 ②顶点式法：已知水柱最高点时，设顶点式求解析式 ③射程计算法：求抛物线与x轴的交点，确定水柱的水平射程 【例题6】.（2026·广东清远·三模）某公园雕塑的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得雕塑的高度为，当喷出的水柱与的水平距离为时，达到最大高度．以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（如图）． (1)求水柱所在抛物线的函数表达式； (2)求水柱落地点与雕塑的水平距离． 【变式题6-1】.（2026·河南平顶山·三模）某公园的人工湖里有一处喷水景观（如图1），从垂直于湖面的喷头喷出的水柱呈抛物线形状．数学兴趣小组的同学对此展开研究，建立如图2所示的平面直角坐标系，并通过测量得出如下表中所示的几组数据，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距湖面的高度． … … 请解决以下问题： (1)求喷出的水柱所在抛物线的表达式； (2)已知喷出的水柱刚好落在人工湖边缘，如果改变喷头的推力大小，使得喷出的水柱所在抛物线为，那么此时喷出的水柱是否会落到人工湖外？请说明理由． (3)在（1）的条件下，公园增设了新的游玩项目，购置了宽度为，顶棚到湖面高度为的平顶游船，游船从水柱最高处的正下方通过，别有一番趣味，请通过计算说明游船是否有被水柱喷到的危险． 【变式题6-2】.（25-26八年级下·福建福州·期末）某体育馆外的下沉式广场正在进行音乐喷泉调试．喷泉的水流轨迹可以近似地看成抛物线．广场一侧有一段草坡，坡面上临时放置一棵装饰用的发光小树，用于测试水流水压．将草坡截面抽象为直角三角形，如图，，米，米，坡面上有一棵小树（小树粗细忽略不计，点在斜坡上且与点不重合，），现在斜坡底处安装一个喷水管，水流呈抛物线状，恰好落在处．技术人员以为原点，水平向右为轴，竖直向上为轴，记录了喷头开启后喷水管喷出水流到的水平距离（米）与水流的高度（米）的变化规律如表： 0 1 2 3 4 … … (1)根据表格数据，求出水流的函数解析式； (2)若调试时，水流恰好经过树顶点， ①为了美观，小树不能太高．请计算在现有水流轨迹下，这棵小树可达到的最大高度是多少？ ②在灯光测试中，需要在右侧（靠近的一侧）再放置一棵与等高的小树（在坡面上，树干垂直），且水流也能刚好经过树顶．为保证两棵树不在同一地点，求第一棵树底的横坐标的取值范围． 【变式题6-3】.（2026·湖北武汉·三模）问题背景：某小组设计了一款自动浇花装置，小组同学调节浇花装置出水管，使其沿水平方向．水滴从出水点水平喷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．从水滴离开出水点到落地点的过程中，水滴距离地面的竖直高度为y（单位：m），水平距离为x（单位：m），建立如图1所示的平面直角坐标系． 信息1：通过仪器测量，小组同学记录了水滴离开出水点后的运动时间为t（单位：s）时的多组数据，其中几组数据如下： 时间 0 0.10 0.20 0.30 水平距离 0 0.10 0.20 0.30 竖直线高度 0.80 0.75 0.60 0.35 信息2：小组同学通过学习知道，水滴运动时，水平距离x与时间t的关系为（v为水滴离开出水点时的速度，单位） 根据以上信息，解决下列问题： (1)v的值是______； (2)水滴从离开出水点到落在落地点，需要经过多长时间？ (3)将如图2所示的一个高为，直径为的花盆放置在地面上，使花盆底面中心N在图1所示的x轴上，且．若该装置可以调节出水点的高度（出水管保持水平），水喷出后运动路径的形状不变，要使水滴落在花盆内（不包括边缘），出水点高度的变化量f的取值范围为____________． 【题型7】动点问题中的面积最值 1.核心知识点: 二次函数的最值；动点问题；三角形/四边形面积公式；动态几何 2.解题方法技巧: ①时间参数法：设运动时间为，用含的代数式表示相关线段的长度 ②面积表示法：用割补法或直接法，表示出目标图形的面积 ③最值求解法：建立面积关于的二次函数，求最值并验证的范围 【例题7】.（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，是等腰直角三角形，，，点是边上一个动点，沿的路径运动，过点作于点，设，的面积为，则下列能大致反映与函数关系的图象是（     ） A． B． C． D． 【变式题7-1】.（2026·新疆·中考真题）如图，水平放置的边长为的正方形，边长为的正方形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合，现将正方形以的速度沿方向匀速运动，当点运动到上时停止．在这个运动过程中，正方形与正方形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（     ） A． B． C． D． 【变式题7-2】.（2026·吉林·模拟预测）如图，在正方形中，，连接．P，Q两点分别从A，D同时出发，点P以每秒1个单位长度的速度沿线段向终点B运动；点Q沿折线向终点C运动，在上的速度为每秒2个单位长度，在上的速度为每秒个单位长度．在运动过程中，以为邻边作平行四边形．设运动时间为x秒，平行四边形和正方形重叠部分的图形面积为y． (1)当点M在上时， ________； (2)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围． 【变式题7-3】.（25-26九年级下·广西防城港·期中）综合与实践 为了更好地培养学生的思考与探究能力，张老师以“图形的运动”为主题来开展如下数学活动．如图1，在等腰中，，，动点，同时从点出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且均以的速度运动．当点停止运动时，点也随之停止运动．连接．以为边向下作正方形，设点的运动时间为（），正方形和四边形重合部分图形的面积为． (1)【直观感知】的长为________（用含的代数式表示）． (2)【初步探究】如图2，当落在上时，求的值． (3)【深入研究】如图3．当在的下方时，求与之间函数关系式． (4)【问题解决】在点，的运动过程中，正方形和四边形重合部分图形的面积的最大值是多少？（直接写出结果） 【压轴素养题型】 【题型8】抛物线型跨学科问题 1.核心知识点: 二次函数的图象和性质；物理/工程背景；跨学科应用；数学建模 2.解题方法技巧: ①信息提取法：从跨学科背景中提取数学信息，转化为数学问题 ②建系建模法：建立适当的坐标系，将实际轨迹转化为抛物线 ③综合应用法：结合学科知识和二次函数性质，解决实际问题 【例题8】.（25-26九年级上·吉林长春·期末）某物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，将变阻器的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器消耗的电功率随电流变化关系的图象如图所示，该图象是经过原点的一条抛物线的一部分．结合图象信息，解答下列问题． (1)求与之间的函数关系式； (2)当时，求的值； (3)当______A时，取得最大值为______W． 【变式题8-1】.（2025·河北秦皇岛·一模）【情景导入】在物理学中，自由落体下落的距离与下落时间的平方成正比．若忽略空气阻力，则与满足函数关系，表示重力加速度，看作一个定值．如表是一次试验的记录，根据如表，求的值，并求出与的关系式． 5 20 45 1 2 3 【尝试探索】如图所示，一个重力为的物体在理想环境下做自由落体运动，后落地．求下落点到地面的距离． 【实际应用】若某人从20楼失足落下，忽略一切影响因素，假设他做自由落体运动，每层楼高，在他开始运动的同时，消防员恰好赶到，则消防员铺设气垫至少需要10秒，通过计算说明此人能否得以生存？ 【变式题8-2】.（2026·广东深圳·中考真题）综合与实践 【问题背景】 随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效益成为关注重点．某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收支平衡问题． 【研究条件】 条件1：该充电站收入（单位：元）与当日充电汽车数量（单位：辆）之间的对应关系如下表： 1 2 3 4 5 50 100 150 200 250 条件2：该充电站的运营成本（单位：元）与充电汽车数量之间满足： 【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题： (1)根据上表数据，求与的函数关系式，并计算当时，该充电站的收入为多少元？ (2)当收入等于成本时，充电站达到收支平衡．求此时的值，并写出该充电站收入与的新关系式； 【模型应用】 (3)由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为，成本关系保持不变．已知当汽车数量为80辆时，净收益（净收益收入成本）取得最大值，请写出符合条件的值，并说明理由． 【总结反思】 函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还需考虑充电桩利用率、电价波动、用户排队等因素，后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策． 【变式题8-3】.（25-26八年级下·北京·期末）为研究某种化学试剂的挥发情况，某研究团队在A、B两种不同的场景下做对比实验，分别收集了试剂挥发过程中剩余质量（克）和（克）与时间x（分钟）（）的部分数据： （分钟） 0 5 10 15 20 （克） （克） 经研究发现，可以分别用函数刻画，与x之间的关系．场景A下试剂挥发过程中的剩余质量与时间x近似满足函数关系：，与x近似满足一次函数关系，图象如图所示． (1)写出表中m的值： ，并在给定的平面直角坐标系中画出场景A下试剂挥发过程中的剩余质量（克）与时间x（分钟）的函数图象； (2)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①在场景A下，剩余质量随时间减少的变化趋势是 ； A．匀速变化 B．先快后慢 C．先慢后快 ②查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克．在上述实验中，该化学试剂在场景 （填“A”或“B”）下发挥作用的时间更长； (3)当时，两种场景下试剂挥发过程中剩余质量的差值达到最大时，此时对应的时间是第 分钟（结果保留小数点后一位）． 【题型9】二次函数实际应用探究 1.核心知识点: 二次函数的综合应用；探究式学习；方案设计；创新思维 2.解题方法技巧: ①问题转化法：将探究性问题转化为熟悉的二次函数问题 ②方案设计法：根据问题要求，设计不同的解决方案并比较优劣 ③归纳验证法：从特殊情况入手，归纳猜想一般规律，再验证证明 【例题9】.（2026·广东揭阳·一模）综合与探究 如图，边长为的正方形的两边在坐标轴上，以点为顶点的抛物线经过点，点是抛物线上点，间的一个动点（含端点），过点作于点，点、的坐标分别为，，连接、、． (1)请直接写出抛物线的解析式； (2)小明探究点的位置发现：当点与点或点重合时，与的差为定值，进而猜想：对于任意一点，与的差为定值，请你判断该猜想是否正确，请说明理由； (3)小明进一步探究发现：若将“使的面积为整数”的点记作“好点”，则存在多个“好点”．请你继续探究： ①使的周长最小的点是不是一个“好点”，如果是，请求出这个“好点”坐标，如果不是，请说明理由； ②请求出所有“好点”的个数． 【变式题9-1】.（2026·广东深圳·模拟预测）综合与实践·校本研学探究——低空无人机物资空投的数学建模 【研学背景】 某校开展数学跨学科科创研学活动，探究低空无人机物资投放的运动规律．若忽略空气阻力、风力的影响，物资飞行轨迹为抛物线；无人机悬停投放口为抛物线轨迹的顶点． 【坐标系建构】 以投放口地面竖直投影为原点，水平投放方向为轴正方向，竖直向上为轴正方向，单位：． 无人机物资空投数学建模示意图 (1)【初战实测·个案建模】 如图，首次试飞无人机悬停投放高度为，物资水平飞行后在处落地，求本次物资飞行抛物线的函数解析式； (2)【校准实验·定点标定】如图，无人机仅竖直升降，抛物线形状、开口不变（与①相同），轨迹经过标定靶点，求此时无人机悬停投放口离地高度； (3)【全域探究·通用建模】 为探究不同投放参数影响，无人机调整水平初速度与机翼角度，建立全新通用投放轨迹：，场地中段设有高实训障碍墙；地面物资接收区为线段，端点，；要求物资全程飞越障碍墙且不触碰，落地点落在接收区内（含端点，），求投放口高度的取值范围． 【变式题9-2】.（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）【综合探究】运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗都可以看作一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成． 【探究一】确定心形叶片的形状 （1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部实轮廓线可以看作是二次函数图象抛物线的一部分，已知该抛物线的顶点坐标为，求该二次函数的解析式； 【探究二】研究心形叶片的尺寸 （2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线与坐标轴交于两点，抛物线与x轴交于另一点C，点是叶片上的一对对称点，交直线于点G．求叶片此处宽度的值； 【探究三】探究幼苗叶片的特征 （3）小明同学在观察某种幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，如图4所示，右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反，且上下方轮廓线均经过原点，已知叶尖P的坐标为．在右侧上方轮廓线上任取一点M，过M作x轴垂线交下方轮廓线于点N，求的最大值． 【变式题9-3】.（2026·广东深圳·三模）综合实践与探究——新能源汽车刹车性能研究 【设计实验方案】 某探究小组围绕新能源汽车水平路面刹车过程中，速度、路程随刹车时间的变化规律开展探究． 设计实验：让新能源汽车在平直水平路面匀速行驶至A点时启动刹车，从汽车到达A点开始，用测速仪、计时器测量并记录汽车刹车后的运动时间、瞬时速度、刹车路程的数据． 【收集整理数据】 运动时间 0 4 8 12 16 20 … 瞬时速度 12 10 8 6 4 2 … 刹车路程 0 44 80 108 128 140 … 【数学建模探究】 (1)【猜想和验证】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想： ①v与t之间的关系可以近似地用________函数表示．（填：“一次”、“二次”或“反比例”），v与t的函数关系式为________． ②y与t之间的关系可以近似地用________函数表示．（填：“一次”、“二次”或“反比例”），y与t之间的函数关系式为________． (2)【拓展与运用】 ①若某段水平测试路面的长度为，通过计算判断这辆新能源汽车在刹车过程中是否会超出该路面范围？ ②当新能源汽车到达水平路面A点时，前方B点处有另一辆电动车以的速度在匀速向前直线运动，若新能源汽车不能追尾电动车，那么的最小值是多少？ 易错点 1、求最值时忽略自变量的取值范围，直接用顶点处的函数值作为答案 2、销售利润问题中，涨价和降价的方向搞反，导致销量变化方向错误 3、抛物线型问题中，建立坐标系不当，导致计算复杂或出错 4、几何面积问题中，设元后另一边长的表达式列错，特别是靠墙围矩形的情况 5、实际问题的答案不检验，得出不符合实际意义的结果（如负数长度、负利润等） 重点 1、利用二次函数解决几何图形面积最值问题 2、利用二次函数解决销售利润最值问题 3、利用二次函数解决抛物线型实际问题（拱桥、投球、喷水等） 4、根据实际问题确定自变量的取值范围，求符合题意的最值 难点 1、从复杂实际问题中抽象出二次函数关系，建立数学模型 2、抛物线型实际问题中，建立适当的平面直角坐标系 3、多约束条件下的二次函数最值问题，需要综合分析各种限制条件 4、探究性实际问题，需要设计方案并比较优化 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，为坐标原点，二次函数的图象与轴只有一个交点，且经过点，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 2．函数是描述现实世界变化规律的数学模型，运用函数知识可以解决很多现实问题．如某型号飞机着陆后滑行的距离s（m）关于滑行的时间t（s）的函数关系式是．请结合函数图象，用数学眼光判断下列关于该运动情况的描述，其中错误的是（     ） A．飞机着陆后前滑行的距离为 B．飞机着陆后滑行才能停下来 C．飞机滑行过程中，最后滑行了 D．飞机滑行过程中，最后滑行用时 3．某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．如图所示，是一个长、宽的矩形花园，根据需要将它的长缩短、宽增加，要想使修改后的花园面积达到最大，则__________． 5．某食品加工厂专门生产爆米花，在生产过程中，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．为了提升产品品质、降低生产成本，技术人员研究发现，在特定生产条件下，可食用率与加工时间（单位：分钟）满足函数表达式，为了让爆米花的可食用率达到最高，最佳加工时间为_________分钟． 6．如图1，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图2是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点射出，水流运动的高度与水平距离近似满足函数关系．若这只昆虫在点，则这次射出的水流______击中昆虫．（填“能”或“不能”） 三、解答题 7．如图，一位跳台滑雪运动员在一次训练中从起跳点起跳飞出，在着陆坡着陆．已知起跳点与着陆坡上的计分参照点的竖直距离为，水平距离为．按如图所示的平面直角坐标系，这位运动员这次起跳后在空中的运动轨迹近似满足抛物线． (1)求的值和该运动员这次起跳后在空中飞行的最大高度； (2)请通过计算，判断着陆时他能越过点吗？ 8．2025年，在四川省城市足球联赛（简称“川超”）比赛期间，为促进体育经济发展，眉山市文旅局联合餐饮住宿企业、土特产生产企业推出各种优惠活动． (1)某食品厂原计划每月生产芝麻糕2000件，为响应文旅局号召，连续两月提高产量后，月产量达到2880件，若每月产量的增长率相同，求每月产量的增长率； (2)该食品厂原来每天可销售60件芝麻糕，每件盈利30元．参与优惠活动后，该食品厂每降价1元，就可多售出5件．问该食品厂应降价多少元，才能使利润最大？最大利润为多少？ 9．某市消防中队引进一种新型用于高层消防的举高喷射消防车，为了熟练掌握其性能，在某广场进行了一次消防演练．如图所示，打开云梯后，消防车喷水口离地面的高度为，水流落地点为点，喷出的水流呈抛物线型．以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（喷水装置和水流粗细忽略不计）已知，，从处喷出的水流高度与水平距离之间的关系为． (1)求，的值； (2)在水压和喷口方向不变的情况下，此时水流高度能达到的最大高度是多少米？ (3)点在点正前方米处，在水压和喷口方向不变的情况下，要求在处的水流高度达到米，则消防车从点沿方向应至少前进多少米？ 10．“投壶”是古人宴会时的一种娱乐游戏，参与者需站在一定距离外，将箭矢投入壶中，以投入的数量和方式计算得分．嘉嘉体验了投壶游戏后作出示意图如图1，以投壶者所站位置为原点，地面为轴，为1个单位长度建立平面直角坐标系，投掷过程中箭矢前端点的运动路径可看作抛物线的一部分，点从点处出手，矩形为壶，，，． (1)如图1，，若点为抛物线的顶点，，且抛物线经过点 ． ①求抛物线的解析式； ②竖直提高点的出手位置（点），使点落在上（不含边界），求的取值范围． (2)如图2，调整出手的力度和角度，使抛物线在点 处到达最高点．若点经过点正上方处，求出点在点正上方的距离（用含的式子表示）． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $