14.3（2）角的平分线的判定同步练习2026-2027学年人教版数学八年级上册

14.3（2）角的平分线的判定 班级 姓名 . 知识点1 角的平分线的判定 知识 提要 角的内部到角两边距离相等的点在角的 上. 如图,∵PD⊥OB于点 D,PC⊥OA 于点C, 且 PC=PD, ∴OP平分 . 1.如图,PM⊥AC 于点 M,PN⊥AB 于点 N,PM=2,当 PN= 时,点 P 在∠BAC 的平分线上. 第1题图 第2题图 第5题图 2.如图,PM⊥OA,PN⊥OB.若 PM= PN,∠BOC=30°,则∠AOB 的度数为 ( ) A.30° B.45° C.60 D.50° 3.在下列图形中,若 PE =PF,能判断点 P在∠EOF 的平分线上的是( ) 4.若△ABC 内一点 O 到三角形三条边的距离相等，则点O为△ABC的 ( ) A.高线的交点 B.角平分线的交点 C.中线的交点 D.边的垂线的交点 5.如图,在 Rt△ABC 中,∠C =90°,DE⊥AB于点E,CD=ED.若∠CBD =26°,则∠A = 6.证明：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 已知:如图,点 P 在∠AOB 内, 求证: . 证明： 知识点2 三角形的角平分线 知识提要 三角形的三条内角平分线相交于一点，并且这一点到 . 如图,在△ABC中,BD,CE 分别平分∠ABC,∠ACB,并且BD,CE 相交于点O。 ∵OP⊥BC于点 P,OM⊥AB 于点 M,ON⊥AC于点 N, ∴OP=OM,OP=ON. ∴OP=OM= . ∴点O也在 的平分线上. 7.如图,△ABC的三边AB,AC,BC的长分别为4，6，8，其三条角平分线将△ABC分成三个三角形，则 。 第7题图 第8题图 第9题图 易错点 因考虑问题不全面致错 8.如图所示的是三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地点有( ) A.1处 B.2处 C.3处 D.4处 中档题 9.如图,∠B=∠C=90°,M是BC 的中点,DM平分∠ADC,且∠ADC=110°,则∠MAB=( ) A.30° B.35° C.45° D.60° 10.如图,O是△ABC 内一点,且点 O 到△ABC三边AB,BC,CA 的距离OF=OD=OE.若∠BAC=80°,则∠BOC= . 11.如图,已知AB∥CD,点 P 到AB,BC,CD的距离相等,则∠P= °. 第10题图 第11题图 12.如图，铁路 OA 和铁路OB 相交于点O处，河道AB 与铁路分别相交于点A 处和点 B 处.若在河岸上建一座水厂M，要求 M到铁路OA，OB 的距离相等，则该水厂M应建在图中的什么位置?请在图中标出点 M 的位置. 13. 如图,DE⊥AB 于点 E,DF⊥AC 于点 F,BD=CD, BE=CF. (1)求证:AD平分∠BAC; (2)若AC=16,AB=12,求 BE 的长. 14.如图,已知:CD⊥AB 于点 D,BE⊥AC于点 E,BE,CD 相交于点O.求证： (1)当∠1=∠2时,OB=OC; (2) 当OB=OC时,∠1=∠2. 15.如图,D,E,F 分别是△ABC 三边上的点,CE=BF,△DCE 和△DBF 的面积相等.求证:AD平分∠BAC. 16.已知:如图所示,在△ABC 中,BD=DC,∠1=∠2.求证:AD平分∠BAC. 学科网（北京）股份有限公司 $14.3(2)角的平分线的判定班 知识点1角的平分线的判定 !知识提要 角的内部到角两边距离相等的点在角的 如图，，PD⊥OB于点 B D,PC⊥OA于点C, 且PC=PD, .OP平分 1.如图，PM⊥AC于点MPN⊥AB于点N,PM=2,当PN= 时，点P在∠BAC的平分线上 第1题图 第2题图 第5题图 2.如图，PM⊥OA,PN⊥OB.若PM=PN,∠BOC=30°，则∠A OB的度数为 () A.30° B.45° C.60 D.50° 3.在下列图形中，若PE=P℉，能判断点P在∠EOF的平 分线上的是() 六Y白八 4.若△ABC内一点0到三角形三条边的距离相等，则 点0为△ABC的 () A.高线的交点 B.角平分线的交点 C.中线的交点 D.边的垂线的交点 5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB于点E,CD=E D.若∠CBD=26°，则∠A=」 6.证明：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线 上。 已知：如图，点P在∠AOB内， 求证： 证明： 姓名 知识点2三角形的角平分线 知识提要 三角形的三条内角平分线相交于一点，并且这一点到 如图，在△ABC中，BD,CE分别平分∠ABC,∠ACB,并且B D,CE相交于点O。 ,OP⊥BC于点P,OM⊥AB于 点M,ON⊥AC于点N, ..OP=OM OP=ON. ∴.OP=OM .点0也在 的平分 线上 7.如图，△ABC的三边AB,AC,BC的长分别为4,6,8， 其三条角平分线将△ABC分成三个三角形，则 SA0AB:S△OAC:S△0BC 第7题图 第8题图 第9题图 易错点因考虑问题不全面致错 8.如图所示的是三条相互交叉的公路，现要建一个货物 中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的 地点有() A.1处 B.2处C.3处 D.4处 中档题 9.如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC, 且∠ADC=110°，则∠MAB=( A.30° B.35° C.45 D.609 10.如图，0是△ABC内一点，且点0到△ABC三边AB,B C,CA的距离OF=OD=0E.若∠BAC=80°，则∠B0C= 11.如图，已知AB∥CD,点P到AB,BC,CD的距离相等， 则∠P= 第10题图 第11题图 12.如图，铁路OA和铁路OB相交于点0处，河道AB 与铁路分别相交于点A处和点B处.若在河岸上建 座水厂M,要求M到铁路OA,OB的距离相等，则该水 厂M应建在图中的什么位置？请在图中标出点M的位 置 B 13.如图，DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,BD=CD, BE=CF. (1)求证：AD平分∠BAC (2)若AC=16,AB=12,求BE的长. B 14.如图，已知：CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,BE,CD 相交于点0.求证： (1)当∠1=∠2时，0B=0C: (2)当0B=0C时，∠1=∠2. D 15.如图，D,E,F分别是△ABC三边上的点，CE=BF,△DC E和△DBF的面积相等.求证：AD平分∠BAC D 16.己知：如图所示，在△ABC中，BD=DC,∠1=∠2.求证： AD平分∠BAC. 14.3（2）角的平分线的判定 班级 姓名 . 知识点1 角的平分线的判定 知识 提要 角的内部到角两边距离相等的点在角的 平分线 上. 如图,∵PD⊥OB于点 D,PC⊥OA 于点C, 且 PC=PD, ∴OP平分 ∠AOB . 1.如图,PM⊥AC 于点 M,PN⊥AB 于点 N,PM=2,当 PN= 时,点 P 在∠BAC 的平分线上. 第1题图 第2题图 第5题图 【答案】PM 2.如图,PM⊥OA,PN⊥OB.若 PM= PN,∠BOC=30°,则∠AOB 的度数为 ( ) A.30° B.45° C.60 D.50° 【答案】C 3.在下列图形中,若 PE =PF,能判断点 P在∠EOF 的平分线上的是( ) 【答案】D 4.若△ABC 内一点 O 到三角形三条边的距离相等，则点O为△ABC的 ( ) A.高线的交点 B.角平分线的交点 C.中线的交点 D.边的垂线的交点 【答案】B 5.如图,在 Rt△ABC 中,∠C =90°,DE⊥AB于点E,CD=ED.若∠CBD =26°,则∠A = 【答案】  6.证明：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 已知:如图,点 P 在∠AOB 内, 求证: . 证明： 【答案】于点C，于点D，  OP平分  【解析】已知：如图，点P在内，于点C，于点D， 求证：OP平分 证明：如图，连接OP， ，， ， 在和中， ， ， ， 平分 根据题意写出已知和求证，连接OP，根据HL证明，根据全等三角形的性质证明结论． 本题考查的是角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 知识点2 三角形的角平分线 知识提要 三角形的三条内角平分线相交于一点，并且这一点到 角两边的距离相等 . 如图,在△ABC中,BD,CE 分别平分∠ABC,∠ACB,并且BD,CE 相交于点O。 ∵OP⊥BC于点 P,OM⊥AB 于点 M,ON⊥AC于点 N, ∴OP=OM,OP=ON. ∴OP=OM= ON . ∴点O也在 ∠BAC 的平分线上. 7.如图,△ABC的三边AB,AC,BC的长分别为4，6，8，其三条角平分线将△ABC分成三个三角形，则 。 第7题图 第8题图 第9题图 【答案】2：3：4  【解析】解：过点O作于D，于E，于F， 是三角形三条角平分线的交点， ， ，，， ：：：3： 故答案为：2：3： 由角平分线的性质可得，点O到三角形三边的距离相等，即三个三角形的AB、BC、CA的高相等，利用面积公式即可求解． 此题主要考查角平分线的性质和三角形面积的求法，难度不大，作辅助线很关键． 易错点 因考虑问题不全面致错 8.如图所示的是三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地点有( ) A.1处 B.2处 C.3处 D.4处 【答案】D  中档题 9.如图,∠B=∠C=90°,M是BC 的中点,DM平分∠ADC,且∠ADC=110°,则∠MAB=( ) A.30° B.35° C.45° D.60° 【答案】B  【解析】解：作于N， ， ， ， 平分，，， ， 是BC的中点， ， ，又，， ， 故选： 作于N，根据平行线的性质求出，根据角平分线的判定定理得到，计算即可． 本题考查的是角平分线的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 10.如图,O是△ABC 内一点,且点 O 到△ABC三边AB,BC,CA 的距离OF=OD=OE.若∠BAC=80°,则∠BOC= . 【答案】  第10题图 第11题图 11.如图,已知AB∥CD,点 P 到AB,BC,CD的距离相等,则∠P= °. 【答案】  【解析】【分析】 根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上可得BP、CP分别是和的平分线，再根据两直线平行，同旁内角互补和角平分线的定义解答即可． 本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，角平分线的定义，是基础题，熟记性质是解题的关键． 【解答】 解：点P到AB、BC、CD距离都相等， 、CP分别是和的平分线， ，， ， ， ， ， 故答案为： 12.如图，铁路 OA 和铁路OB 相交于点O处，河道AB 与铁路分别相交于点A 处和点 B 处.若在河岸上建一座水厂M，要求 M到铁路OA，OB 的距离相等，则该水厂M应建在图中的什么位置?请在图中标出点 M 的位置. 【答案】解：图略，的平分线与AB的交点即为点M的位置.  13. 如图,DE⊥AB 于点 E,DF⊥AC 于点 F,BD=CD, BE=CF. (1)求证:AD平分∠BAC; (2)若AC=16,AB=12,求 BE 的长. 【答案】【小题1】 证明：，，  在和中，≌  又，，平分 【小题2】 解：在和中，≌，  即 14.如图,已知:CD⊥AB 于点 D,BE⊥AC于点 E,BE,CD 相交于点O.求证： (1)当∠1=∠2时,OB=OC; (2) 当OB=OC时,∠1=∠2. 【答案】证明：，，，， .在和中， ≌ 在和中， ≌ 又，，平分，即  【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及角的平分线的性质和判定；证明三角形全等是解决问题的关键． 分析：首先角平分线的性质得到，然后利用其他已知条件可以证明≌，从而不难得到结论． 先证明≌，得出，证出点O在的平分线上，即可证出AO平分从而不难得到结论． 15.如图,D,E,F 分别是△ABC 三边上的点,CE=BF,△DCE 和△DBF 的面积相等.求证:AD平分∠BAC. 【答案】【证明】过点D作于点H，于点 ，，， 又，点D在的平分线上，即AD平分   16.已知:如图所示,在△ABC 中,BD=DC,∠1=∠2.求证:AD平分∠BAC. 【答案】证明：过点D作于点E，于点 在和中，     ≌ ． 又，， 平分  学科网（北京）股份有限公司 $