14.3 角平分线的性质和判定 分层练2026-2027学年人教版八年级数学上册

14.3角平分线的性质和判定 课时1角平分线的性质 过关练 一、本课过关 1.观察图中尺规作图的痕迹，下列说法错误的是（) A.OE是∠AOB的平分线 B.OC=OD C.点C,D到OE的距离不相等D.∠AOE=∠BOE 0 一B 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点 D,CD=3,则点D到AB的距离是 1/18 B D 3.如图，在△ABC中，CD是△ABC的角平分线，∠ABC=46, ∠ACB=80° (I)尺规作图：作∠ABC的平分线BE与CD相交于点E;(作图要求：保留作 图痕迹，不用写作法) (2)直接写出∠BEC的度数. 4.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E, ,点F在AC上，且BD=DF.求证：CF=EB. 2/18 二、循环过关 5.如图，已知∠1=∠2，要使△ADC≌△CBA,还要添加的一个条件是 分层练 一、基础练 1.如图，OP平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.下列结 论错误的是() A.PD=PE B.OD=OE C.∠DPO=∠EPOD.PD=OD 3/18 2.如图，用尺规作∠AOB的平分线，则△OCP二△ODP的依据是() A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS D 3.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC,CD=2,则点D到AB的 距离为 4.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,D是BC的中点，DE⊥AB于点E, DF⊥AC于点F 求证：∠B=∠C 4/18 5.如图，已知△ABC (1I)尺规作图：作△ABC的角平分线AD: (2)若AB=4,AC=3,则S△ABD:S△ACD= 二、能力练 6.如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E,DF⊥AC 于点F,△ABC的面积是30，AB=13,AC=7,则DE的长为（) B4 D A.3B.4C.5 D.6 7.如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，P是AD上一点，PE/1AB,交 BC于点E,PFI/AC?交BC于点F求证：点D到PE和PF的距离相等. 5/18 三、拓展练 8.如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA,PE⊥OB, 垂足分别为D,EF是OC上的另一点，连接DF,EF求证：DF=EF 答策 过关练 1.c 2.3 3.解：(1)如图所示，BE即为所求. 6/18 (2):CD是△ABC的角平分线， BE是∠ABC的平分线， ∠ABC=46°，∠ACB=80°， .∠EBC=∠ABC=23, ∠ECB=号∠ACB=40 ∴.∠BEC=180°-∠EBC-∠ECB=117°. 4.证明：.∠C=90°，DC⊥AC 又·AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB,∴.DC=DE 在Rt△DCF和Rt△DEB中， DF=DB, DC=DE, ∴.Rt△DCF≌Rt△DEB HL. ∴CF=EB. 5.∠DCA=∠BAC(答案不唯一) 分层练 1.D 2.D 7/18 3.2 4.证明：.AD平分∠BAC, DE⊥AB,DF⊥AC, ∴.DE=DF :D是BC的中点，BD=CD 在Rt△BDE和Rt△CDF中， BD=CD, DE=DF, '.Rt△BDE≌Rt△CDF HL .∠B=∠C 5.解：(1)如图所示，AD即为所求。 (2)4:3 6.A 7.证明：：AD平分∠BAC,∴.∠BAD=∠CAD PE//AB' ∴.∠DPE=∠BAD .PF/IAC,∴.∠DPF=∠CAD .∴.∠DPE=∠DPF .PD平分∠EPF 8/18 :.点D到PE和PF的距离相等 8.证明：OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点， PD⊥OA,PE⊥OB, ∴.∠DOP=∠EOP,PD=PE. 在Rt△POD和Rt△POE中， OP=OP, PD=PE, .Rt△POD≌Rt△POE HL: ∴.OD=OE 在△ODF和△OEF中， OD=OE, ∠DOF=∠EOF, OF=OF, .△ODF≌△OEF SAS. ∴.DF=EF. 9/18 课时2角平分线的判定 过关练 一、本课过关 1.如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB于点E,CD=DE,∠CBD=26°， 则∠A的度数为（) A40 B.34 C36 D38 2.在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点 应是() A.点M B点N C点PD.点Q 10/18 3.如图，已知BE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F,BE,CF相交于点 D,BD=CD求证：AD平分∠BAC 二、循环过关 4.三角形具有稳定性，就是当三角形的三边长确定时，三角形的形状和大 小就确定了，其理论依据是() A.SAS B.ASA C.HL D.SSS 分层练 一、基础练 1.如图，点P在∠AOB的内部，且PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E. 若PD=PE,∠AOB=60°，则∠AOP的度数为 11/18 B 2.如图，BE=CF,DE⊥AB,垂足为E,DF⊥AC,垂足为F,且 BD=CD求证： (I)△DBE≌△DCF: (2)AD是∠BAC的平分线. 3.如图，AB⊥CD,CE⊥AD,垂足分别为B,E,AB=CE,AB,CE相 交于点F,连接DF求证：FD平分∠BFE 12/18 二、能力练 4.如图，O是△ABC内一点，且，点O到三边AB,BC,CA的距离 OF=0D=0E若∠A=70,则∠B0C= 5.如图，P是OC上一点，PD⊥OA,PE1OB,垂足分别为D,E,且 PD=PE,F是OC上的另一，点. 求证：DF=EF. 6.如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC.求证：AE平分 ∠DAB-(提示：过点E作EF⊥AD:垂足为F) 13/18 D B 三、拓展练 7.如图，已知△ABC,BF是△ABC的外角∠CBD的平分线，CG是△ABC 的外角∠BCE的平分线，BF,CG相交于点P.求证： (I),点P到三边AB,BC,CA所在直线的距离相等： (2)点P在∠A的平分线上. PG D 14/18 答案 过关练 1.D 2.A 3.证明：，BE⊥AC,CF⊥AB ∴.∠BFD=∠CED=90° 在△BDF和△CDE中， [∠BFD=∠CED, ∠BDF=∠CDE, BD=CD, ·.△BDF≌△CDE(AAS) ∴.DF=DE AD平分∠BAC 4.D 分层练 1.30 2.证明：1.DE⊥AB,DF⊥AC, ∴.∠E=∠DFC=90°. 在Rt△DBE和Rt△DCF中， 15/18 BD=CD, BE=CF, .'.Rt△DBE≌Rt△DCF HL. (2)由(1)知Rt△DBE≌Rt△DCF, ∴.DE=DF .点D在∠BAC的平分线上 .AD是∠BAC的平分线. 3.证明：AB⊥CD,CE⊥AD, .∠ABD=∠CED=90°. 在△ABD和△CED中， ∠ADB=∠CDE, ∠ABD=∠CED, AB=CE, .∴△ABD≌△CED(AAS) ∴.BD=ED 又'DB⊥FB,DE⊥EF」 FD平分∠BFE 4. 125 5.证明：，PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE, .点P在∠AOB的平分线上， △OP为∠AOB的平分线。 .∠DOF=∠EOF OP=OP, PD=PE, 16/18 ∴.Rt△DOP≌Rt△EOP HL: .∴.OD=OE,∠DOP=∠EOP 在△DOF和△EOF中， OD=OE, DOF=ㄥEOF, OF=OF, ∴.△DOF≌△EOF(SAS): .∴.DF=EF. 6证明：如图，过，点E作EF⊥AD,垂足为F D :DE平分∠ADC,∠C=90: ∴.EC=EF E是BC的中点， ∴.EC=EB..EF=EB. 又，·∠B=90°，EF⊥AD, AE平分∠DAB 7.证明：(I)如图，过，点P分别作PF⊥BC,PG⊥AC,PH⊥AB,垂足分 别为F,G,H 17/18 G/E iP G H D BF平分∠CBD, ∴.PF=PH :CG平分∠BCE, ∴PF=PG ∴.PH=PF=PG 即，点P到三边AB,BC,CA所在直线的距离相等 (2)由(1)可知，PG=PH 又.PG⊥AE,PH⊥AD, .点p在∠A的平分线上 18/18