第一章 有理数 单元小测 2026-2027学年浙教版数学七年级上册

浙教版七年级上册 · 第1章 有理数 · 单元小测 浙教版七年级上册 第1章《有理数》单元小测 （知识点梳理 + 单元测试卷 + 参考答案及解析） 班级：__________ 姓名：__________ 学号：__________ 得分：__________ 第一部分 知识点梳理 本章知识结构 知识模块 主要内容 学习要求 正数和负数 正数、负数的意义；0 的特殊性；相反意义的量 理解、会用 有理数 整数、分数的概念；有理数的两种分类 理解、会分类 数轴 数轴三要素；用数轴上的点表示有理数 会画、会用 相反数 相反数的定义、几何意义；多重符号化简 理解、会求 绝对值 绝对值的几何意义与代数意义；非负性 理解、会求 大小比较 数轴比较法；法则比较法（两个负数比较） 掌握 知识点1 正数和负数 核心概念 (1) 像 3，1.8，，+12 这样大于 0 的数叫做正数；在正数前面加上“-”号的数叫做负数，如 -3，-1.8，。 (2) 0 既不是正数，也不是负数，它是正数与负数的分界。 (3) 正数和负数可以用来表示具有相反意义的量。例如：规定收入为正，则收入 100 元记作 +100 元，支出 60 元记作 -60 元。 注意：带“-”号的数不一定是负数，例如 -(-2) 表示 -2 的相反数，它等于 2，是正数；不带“-”号的数也不一定是正数，例如 0。判断一个数的正负，要先化简再判断。 【例1】如果海平面以上 200 米记作 +200 米，那么海平面以下 50 米记作________。 解：海平面以上与海平面以下是一对相反意义的量，所以海平面以下 50 米记作 -50 米。 知识点2 有理数的概念与分类 核心概念 (1) 整数：正整数、0、负整数统称为整数。 (2) 分数：正分数、负分数统称为分数。有限小数和无限循环小数都可以化成分数，因此也看作分数，如 ，。 (3) 整数和分数统称为有理数。 有理数有两种常用的分类方法： 分类标准 分类结果 按定义分类 有理数 → 整数（正整数、0、负整数）；分数（正分数、负分数） 按正负性分类 有理数 → 正有理数（正整数、正分数）；0；负有理数（负整数、负分数） 常用术语：非负数 = 正数和 0；非正数 = 负数和 0；非负整数 = 正整数和 0（也叫自然数）；非正整数 = 负整数和 0。 【例2】在 -5，，0，-0.3，7 中，整数有__________，负分数有__________。 解：整数有 -5，0，7；负分数有 -0.3（）。 知识点3 数轴 核心概念 (1) 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，这三者称为数轴的三要素，缺一不可。 (2) 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。原点右边的点表示正数，左边的点表示负数，原点表示 0。 (3) 数轴上一个点向右移动 a 个单位，表示的数变大；向左移动，表示的数变小。 图1-1 数轴的三要素 画数轴的步骤：①画一条水平直线；②在直线上取一点作为原点，标上 0；③规定向右为正方向，画上箭头；④选取适当长度作为单位长度，依次标出 1，2，3，…及 -1，-2，-3，…。 知识点4 相反数 核心概念 (1) 只有符号不同的两个数互为相反数。a 的相反数是 -a；0 的相反数是 0。 (2) 在数轴上，表示互为相反数的两个点（0 除外）位于原点两侧，并且到原点的距离相等，即关于原点对称。 (3) 多重符号化简：在一个数前面添上“+”号，仍得原数；添上“-”号，得原数的相反数。如 +(-3)=-3，-(-3)=3，-[-(-3)]=-3。规律：“-”号的个数为奇数时结果为负，为偶数时结果为正。 图1-2 互为相反数的两点关于原点对称 知识点5 绝对值 核心概念 (1) 数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值，记作 |a|。 (2) 代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0。即当 a>0 时，|a|=a；当 a=0 时，|a|=0；当 a<0 时，|a|=-a。 (3) 绝对值具有非负性：对任意有理数 a，都有 |a|≥0。 (4) 互为相反数的两个数绝对值相等；绝对值相等的两个数相等或互为相反数。 【例3】求 ，+4，0 的绝对值。 解：，|+4|=4，|0|=0。 【例4】若 |x|=6，则 x=________。 解：绝对值等于 6 的数有两个，所以 x=6 或 x=-6。易错：只写 x=6 会漏解。 知识点6 有理数的大小比较 比较方法 (1) 数轴法：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 (2) 法则法：正数大于 0，0 大于负数，正数大于一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 【例5】比较 与 的大小。 解：，。因为 ，即 ，所以 。 本章易错点提醒 ① 0 既不是正数也不是负数，但 0 是整数、是有理数、是非负数。 ② 判断一个数是正数还是负数，要先化简，如 -(-5) 是正数，-|-5| 是负数。 ③ 已知一个数的绝对值求这个数时，一般有两个答案（0 除外），不要漏解。 ④ 两个负数比较大小，绝对值大的反而小；分数比较时要先通分。 ⑤ 数轴上到某点距离为 d 的点有两个，分别在该点的左、右两侧。 第二部分 单元小测 （考试时间：45 分钟 满分：100 分） 题号 一 二 三 总分 得分 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1. 如果收入 50 元记作 +50 元，那么支出 30 元记作（ ） A. +30 元 B. -30 元 C. +80 元 D. -80 元 2. 下列各数中，是负数的是（ ） A. -(-3) B. |-3| C. 0 D. -|-2| 3. 在 ，0，5，-1.5，，-8 中，负分数有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 4. 数轴上点 A 表示的数是 -2，将点 A 向右移动 5 个单位长度得到点 B，则点 B 表示的数是（ ） A. 3 B. -7 C. 7 D. -3 的相反数是（ ） A. 5 B. -5 C. D. 6. 下列各对数中，互为相反数的是（ ） A. -(+3) 与 +(-3) B. -(-2) 与 |-2| C. -|-5| 与 -(-5) D. +(-4) 与 -4 7. 下列大小比较正确的是（ ） A. B. -|-3|>0 C. -(-2)<-|-2| D. 8. 绝对值不大于 3 的整数有（ ） A. 3 个 B. 5 个 C. 6 个 D. 7 个 9. 有理数 a，b 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ） 第9题图 A. a>b B. |a|<|b| C. -a<b D. -a>b 10. 下列说法正确的是（ ） A. 有理数分为正数和负数 B. 绝对值等于它本身的数是正数 C. 两个数比较，绝对值大的反而小 D. 互为相反数的两个数的绝对值相等 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 11. 某地一天最高气温是 8 ℃，记作 +8 ℃，最低气温是零下 3 ℃，记作__________℃。 的相反数是__________，绝对值是__________。 13. 比较大小：______（填“>”“<”或“=”）。 14. 数轴上与表示 -1 的点距离为 3 个单位长度的点所表示的数是__________。 15. 若 |x|=|-7|，则 x=__________。 16. 最大的负整数是__________，绝对值最小的有理数是__________。 17. 在数轴上，点 A 表示的数为 -4，点 B 表示的数为 2，则 A，B 两点之间的距离是__________个单位长度。 18. 观察一列数：-1，，，，，…，按此规律，第 10 个数是__________，第 2025 个数是__________。 三、解答题（本大题共 6 小题，共 46 分） 19.（8 分）把下列各数填入相应的集合中： -7，3.5，，0，12，-0.25，，+6 正数集合：{ …} 负数集合：{ …} 整数集合：{ …} 分数集合：{ …} 非负整数集合：{ …} 20.（8 分）在如图所示的数轴上表示下列各数，并用“<”把它们连接起来： -2.5，3，0，-|-1|，-(-4)， 第20题图 21.（6 分）化简下列各数： (1) -(-5)； ； (3) -|-2.5|； (4) -[-(+6)]。 22.（8 分）质检员检测 5 个篮球的质量，超过标准质量的克数记为正数，不足的克数记为负数，检测结果如下表： 篮球编号 1 号 2 号 3 号 4 号 5 号 与标准质量的差/克 +5 -3.5 +0.7 -2.5 -0.6 (1) 哪个篮球的质量最接近标准质量？请说明理由； (2) 若规定与标准质量相差不超过 3 克的篮球为合格品，那么哪几个篮球合格？ (3) 把表中 5 个数按从小到大的顺序排列，用“<”连接。 23.（8 分）如图，数轴上点 A 表示的数是 -3，点 B 表示的数是 4。 第23题图 (1) 求 A，B 两点之间的距离； (2) 若数轴上点 C 到点 A、点 B 的距离相等，求点 C 表示的数； (3) 数轴上到点 A 的距离为 2 个单位长度的点表示的数是多少？ 24.（8 分）已知 |a|=3，|b|=5。 (1) 求 a，b 的值； (2) 若 a>0，b<0，在数轴上表示 a，b，-a，-b（可草图），并用“<”把它们连接起来。 第三部分 参考答案及解析 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B A C C D D D D 1. 【答案】B 【解析】收入与支出是一对具有相反意义的量。收入记为正，则支出记为负，所以支出 30 元记作 -30 元。 【考点】正数和负数表示相反意义的量。 2. 【答案】D 【解析】先化简再判断：-(-3)=3，是正数；|-3|=3，是正数；0 既不是正数也不是负数；-|-2|=-2，是负数。 【易错】不能看到“-”号就认为是负数，必须先化简。 3. 【答案】B 【解析】负分数是小于 0 的分数（包括负的有限小数）。 是负分数； 是负分数；-8 是负整数；0，5， 都不是负数。所以负分数有 2 个。 4. 【答案】A 【解析】在数轴上向右移动，表示的数变大。从 -2 向右移动 5 个单位：-2→-1→0→1→2→3，所以点 B 表示的数是 3。 【方法】可以在数轴上“数格子”，也可以理解为从 -2 出发先向右走 2 个单位到原点，再向右走 3 个单位到 3。 5. 【答案】C 【解析】只有符号不同的两个数互为相反数， 的相反数是 。 【易错】注意区分相反数与倒数（倒数将在第 2 章学习）， 的相反数不是 5。 6. 【答案】C 【解析】逐项化简：A 项，-(+3)=-3，+(-3)=-3，两数相等；B 项，-(-2)=2，|-2|=2，两数相等；C 项，-|-5|=-5，-(-5)=5，只有符号不同，互为相反数；D 项，+(-4)=-4，与 -4 相等。故选 C。 7. 【答案】D 【解析】A 项：，，，所以 ，A 错误； B 项：-|-3|=-3<0，B 错误；C 项：-(-2)=2，-|-2|=-2，2>-2，C 错误； D 项：|-0.5|=0.5，，0.5<0.6，所以 ，D 正确。 【方法】两个负数比较大小，先求绝对值，绝对值大的反而小。 8. 【答案】D 【解析】绝对值不大于 3，即绝对值小于或等于 3 的整数有：-3，-2，-1，0，1，2，3，共 7 个。 【易错】“不大于”包含“等于”，且不要漏掉 0 和负整数。 9. 【答案】D 【解析】由数轴可知 a<0<b，且点 a 到原点的距离大于点 b 到原点的距离，即 |a|>|b|。 A 项：a 在 b 的左边，a<b，错误；B 项：|a|>|b|，错误； C、D 项：-a 与 a 关于原点对称，-a 是正数且 -a=|a|>|b|=b，所以 -a>b，C 错误，D 正确。 【方法】可以把 a，b 取特殊值验证，如 a=-2.3，b=1.2，则 -a=2.3>1.2=b。 10. 【答案】D 【解析】A 项：有理数分为正有理数、0、负有理数，漏掉了 0，错误；B 项：绝对值等于它本身的数是正数和 0（即非负数），错误；C 项：只有两个负数比较时，绝对值大的反而小，错误；D 项：互为相反数的两个数到原点的距离相等，绝对值相等，正确。 二、填空题 11. 【答案】-3 【解析】零上记为正，则零下记为负，零下 3 ℃ 记作 -3 ℃。 12. 【答案】； 【解析】 的相反数是 ；负数的绝对值是它的相反数，所以 。 13. 【答案】< 【解析】，。因为 ，两个负数比较，绝对值大的反而小，所以 。 14. 【答案】2 或 -4 【解析】在数轴上，从表示 -1 的点向右移动 3 个单位长度得到 2；向左移动 3 个单位长度得到 -4。 【易错】到某点距离为定值的点有两个，要分左、右两种情况讨论，防止漏解。 15. 【答案】7 或 -7 【解析】|-7|=7，所以 |x|=7，绝对值等于 7 的数是 7 或 -7。 16. 【答案】-1；0 【解析】负整数有 -1，-2，-3，…，其中 -1 离原点最近，是最大的负整数；任何有理数的绝对值都是非负数，0 的绝对值是 0，最小，所以绝对值最小的有理数是 0。 17. 【答案】6 【解析】从 -4 到 0 有 4 个单位长度，从 0 到 2 有 2 个单位长度，所以 A，B 之间的距离为 4+2=6 个单位长度。 18. 【答案】； 【解析】观察发现：第 n 个数的绝对值为 ；符号规律是奇数项为负，偶数项为正。 第 10 个数是偶数项，为 ；第 2025 个数是奇数项，为 。 【方法】找规律题要分别观察“符号”和“绝对值”两部分的变化规律。 三、解答题 19. 【答案】见解析 【解析】正数集合：{3.5，12，，+6，…}； 负数集合：{-7，，-0.25，…}； 整数集合：{-7，0，12，+6，…}； 分数集合：{3.5，，-0.25，，…}； 非负整数集合：{0，12，+6，…}。 【评分】每个集合填对得 1.5~2 分，漏填或错填一个扣 1 分。【易错】0 不是正数也不是负数，但属于整数和非负整数；3.5 和 -0.25 是小数，属于分数。 20. 【答案】见解析 【解析】先化简：-|-1|=-1，-(-4)=4。在数轴上表示如下： 第20题答图 根据“数轴上右边的点表示的数总比左边的大”，得： 。 【评分】正确描点 4 分，正确连接 4 分。 21. 【答案】(1) 5；；(3) -2.5；(4) 6 【解析】(1) -(-5) 表示 -5 的相反数，等于 5； 表示 本身，等于 ； (3) |-2.5|=2.5，所以 -|-2.5|=-2.5； (4) -[-(+6)]=-(-6)=6。也可以数“-”号的个数：有 2 个“-”号，个数为偶数，结果为正。 22. 【答案】见解析 【解析】(1) 5 个数的绝对值分别为：|+5|=5，|-3.5|=3.5，|+0.7|=0.7，|-2.5|=2.5，|-0.6|=0.6。绝对值越小，质量越接近标准，因为 0.6 最小，所以 5 号篮球的质量最接近标准质量。（3 分） (2) 与标准质量相差不超过 3 克，即绝对值不大于 3。0.7≤3，2.5≤3，0.6≤3，而 5>3，3.5>3，所以 3 号、4 号、5 号篮球合格。（3 分） (3) -3.5<-2.5<-0.6<+0.7<+5。（2 分） 【点评】本题考查用绝对值表示“偏差大小”，绝对值越小偏差越小，与正负无关。 23. 【答案】(1) 7；；(3) -1 或 -5 【解析】(1) 从 -3 到 0 有 3 个单位长度，从 0 到 4 有 4 个单位长度，所以 AB=3+4=7。（2 分） (2) 点 C 到点 A、点 B 的距离相等，所以点 C 是 AB 的中点，到 A，B 的距离都是 7 的一半，即 3.5 个单位长度。从 -3 向右移动 3.5 个单位长度得到 0.5，所以点 C 表示的数是 。（3 分） (3) 从 -3 向右移动 2 个单位得到 -1，向左移动 2 个单位得到 -5，所以该点表示的数是 -1 或 -5。（3 分） 24. 【答案】见解析 【解析】(1) 因为 |a|=3，所以 a=3 或 a=-3；因为 |b|=5，所以 b=5 或 b=-5。（4 分） (2) 因为 a>0，b<0，所以 a=3，b=-5，从而 -a=-3，-b=5。在数轴上表示后可得： b<-a<a<-b（即 -5<-3<3<5）。（4 分） 【点评】已知绝对值求原数一般有两个值，再结合题目中的符号条件确定。 附一：双向细目表 题号 题型 考查知识点 分值 难度 1 选择题 正负数表示相反意义的量 3 易 2 选择题 正数、负数的判断（先化简） 3 易 3 选择题 有理数的分类 3 易 4 选择题 数轴上点的移动 3 易 5 选择题 相反数 3 易 6 选择题 相反数、多重符号化简 3 中 7 选择题 有理数的大小比较 3 中 8 选择题 绝对值的意义 3 中 9 选择题 数轴、绝对值、相反数综合 3 中 10 选择题 概念辨析 3 中 11 填空题 相反意义的量 3 易 12 填空题 相反数与绝对值 3 易 13 填空题 两个负分数比较大小 3 中 14 填空题 数轴上的距离（分类讨论） 3 中 15 填空题 绝对值的逆用 3 易 16 填空题 负整数、绝对值的最小值 3 易 17 填空题 数轴上两点间的距离 3 易 18 填空题 数字规律探究 3 较难 19 解答题 有理数的分类 8 易 20 解答题 数轴表示与大小比较 8 中 21 解答题 多重符号化简 6 易 22 解答题 绝对值的实际应用 8 中 23 解答题 数轴综合 8 中 24 解答题 绝对值与大小比较 8 较难 附二：错题反思表 错题题号 涉及知识点 错误原因 正确思路 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $