5.5 一元一次方程的应用 课时作业 2026-2027学年浙教版数学 七年级上册

第5章 一元一次方程 · 5.5 一元一次方程的应用 浙教版七年级数学上册 课时作业 5.5 一元一次方程的应用 班级：__________ 姓名：__________ 学号：__________ 用时：______分钟 一、学习目标 1．掌握列一元一次方程解应用题的一般步骤。 2．能分析和差倍分、行程、工程、销售、配套调配、数字、几何图形、分段计费等问题中的相等关系，并列方程求解。 3．会借助线段图、表格等分析数量关系，能检验解是否符合实际意义。 4．体会方程是解决实际问题的重要数学模型，初步形成分类讨论的意识。 二、知识点梳理 知识点1 列方程解应用题的一般步骤 审：审清题意，弄清已知量、未知量及它们之间的关系； 设：设未知数（直接设或间接设），注意写单位； 找：找出能表示题目全部含义的相等关系； 列：根据相等关系列出方程； 解：解这个方程，求出未知数的值； 验：检验所求的解是否是方程的解，是否符合实际意义； 答：写出答案（包括单位）。 知识点2 常见问题的基本数量关系 问题类型 基本数量关系 行程问题 路程 = 速度 × 时间；相遇：甲的路程 + 乙的路程 = 总路程；追及：快者路程 - 慢者路程 = 相距路程 航行问题 顺水速度 = 静水速度 + 水流速度；逆水速度 = 静水速度 - 水流速度 工程问题 工作量 = 工作效率 × 工作时间；常把工作总量看作 1，各部分工作量之和 = 1 销售问题 利润 = 售价 - 进价；利润率 = ×100%；售价 = 标价 × 折扣（打 x 折即乘 ） 配套、调配 配套：按比例关系列方程；调配：抓住调配后的数量关系（总量往往不变） 数字问题 两位数 = 10×十位数字 + 个位数字；三位数 = 100×百位数字 + 10×十位数字 + 个位数字 几何图形 利用周长、面积公式及图形中线段的和差关系 分段计费 分段计算，总费用 = 各段费用之和，要先判断落在哪一段 知识点3 典型例题 例1（相遇问题） 如图，甲、乙两地相距 360 千米，慢车从甲地出发，每小时行 80 千米，快车从乙地出发，每小时行 100 千米，两车同时出发相向而行，几小时后相遇？ 解：设 x 小时后两车相遇。根据题意，得 80x + 100x = 360，解得 x = 2。答：2 小时后两车相遇。 例2（追及问题） 弟弟步行上学，每分钟走 60 米，出发 10 分钟后，哥哥骑车以每分钟 180 米的速度沿同一路线追赶，哥哥几分钟能追上弟弟？ 解：设哥哥 x 分钟追上弟弟。相等关系：哥哥的路程 = 弟弟先走的路程 + 弟弟后走的路程。 180x = 60×10 + 60x，解得 x = 5。答：哥哥 5 分钟能追上弟弟。 例3（销售问题） 某商品进价 80 元，标价 120 元，商店要求以利润率 5% 的售价打折出售，应打几折？ 解：设打 x 折。根据题意，得 120× - 80 = 80×5%，即 12x - 80 = 4，解得 x = 7。答：应打七折。 例4（工程问题） 一项工程，甲单独做 10 天完成，乙单独做 15 天完成，两人合作几天完成？ 解：设两人合作 x 天完成。根据题意，得 + = 1，两边都乘以 30，得 3x + 2x = 30，解得 x = 6。答：两人合作 6 天完成。 三、课时作业 A组 基础巩固 （一）选择题 1．七年级某班有学生 48 人，男生人数是女生人数的 ，则男生有（ ） A．18 人 B．20 人 C．28 人 D．30 人 2．甲、乙两人从相距 18 千米的两地同时出发，相向而行，甲每小时走 4 千米，乙每小时走 5 千米，则两人相遇需要（ ） A．1.5 小时 B．2 小时 C．2.5 小时 D．3 小时 3．一件衣服标价 200 元，按八折出售后仍可获利 25%，则这件衣服的进价是（ ） A．120 元 B．128 元 C．140 元 D．150 元 4．一项工程，甲单独做需 12 天完成，乙单独做需 18 天完成。甲先做 3 天后，两人合作 x 天完成全部工程，则所列方程正确的是（ ） A． + + = 1 B． + = 1 C． + = 1 D． + = 1 5．某车间有 25 名工人，每人每天可以生产螺钉 500 个或螺母 1500 个。1 个螺钉需要配 2 个螺母，为使每天生产的产品刚好配套，设安排 x 名工人生产螺钉，则所列方程正确的是（ ） A．1500(25 - x) = 500x B．2×500x = 1500(25 - x) C．500x = 2×1500(25 - x) D．500(25 - x) = 2×1500x 6．一个两位数，个位数字比十位数字大 2，个位数字与十位数字之和为 10，则这个两位数是（ ） A．46 B．64 C．35 D．57 7．甲队有 32 人，乙队有 28 人。现从乙队抽调 x 人到甲队，使甲队人数是乙队人数的 2 倍，则可列方程为（ ） A．32 + x = 2(28 - x) B．2(32 + x) = 28 - x C．32 - x = 2(28 + x) D．32 + x = 2×28 8．今年父亲 42 岁，女儿 12 岁，（ ）年后父亲的年龄是女儿年龄的 3 倍。 A．2 B．3 C．4 D．5 （二）填空题 9．某商品进价为 150 元，售价为 180 元，则该商品的利润率为________。 10．一件商品按成本价提高 40% 后标价，再打八折销售，售价为 224 元，则这件商品的成本价为________元。 11．一艘轮船在 A、B 两码头之间航行，顺水航行需要 4 小时，逆水航行需要 5 小时，水流速度为每小时 2 千米，则轮船在静水中的速度为每小时________千米。 12．如图，大长方形由 5 个完全相同的小长方形拼成，大长方形的宽（竖直方向）为 25 cm，则每个小长方形的面积为________cm²。 13．某市居民用水收费标准：每户每月用水不超过 15 吨的部分，每吨 3 元；超过 15 吨的部分，每吨 5 元。某户某月交水费 70 元，则该户这个月用水________吨。 14．一项工作，甲单独完成需要 6 小时，乙单独完成需要 9 小时，两人合作需要________小时完成。 （三）解答题 15．如图，甲、乙两地相距 360 千米，慢车从甲地出发，每小时行 80 千米；快车从乙地出发，每小时行 100 千米。 (1) 若两车同时出发，相向而行，几小时后相遇？ (2) 若慢车先开出 0.9 小时，快车再出发，两车相向而行，快车开出几小时后两车相遇？ 16．弟弟步行上学，每分钟走 60 米。弟弟出发 10 分钟后，哥哥发现弟弟忘带作业本，立即骑车以每分钟 180 米的速度沿同一路线追赶。 (1) 哥哥几分钟能追上弟弟？ (2) 如果家到学校的距离是 1200 米，哥哥能在弟弟到校前追上他吗？请说明理由。 17．某商场将某品牌运动鞋按进价提高 50% 标价，促销期间按标价的八折出售，每双运动鞋仍可获利 40 元。求每双运动鞋的进价。 18．加工一批零件，甲单独做需要 20 小时完成，乙单独做需要 30 小时完成。现由甲先单独做 5 小时，然后乙加入与甲合作，还需要几小时才能完成这批零件？ B组 能力提升 19．某商店同时卖出两件衣服，每件售价都是 120 元，其中一件盈利 20%，另一件亏损 20%。在这次买卖中，这家商店（ ） A．不盈不亏 B．盈利 10 元 C．亏损 10 元 D．亏损 20 元 20．在 400 米的环形跑道上，甲每分钟跑 240 米，乙每分钟跑 200 米。两人同时从同一地点同向出发，________分钟后甲第一次追上乙。 21．某健身馆有两种收费方式。方式一：每次收费 40 元；方式二：先办一张年卡 300 元，之后每次收费 25 元。 (1) 一年内锻炼多少次时，两种方式的费用相同？ (2) 小丽计划一年锻炼 30 次，选择哪种方式更省钱？ 22．一个三位数，百位数字比十位数字大 1，个位数字比十位数字的 3 倍少 2。若将这个三位数的百位数字与个位数字对调，得到的新三位数比原三位数大 99，求原三位数。 C组 拓展探究 23．A、B 两地相距 120 千米，甲车从 A 地出发，每小时行 70 千米；乙车从 B 地出发，每小时行 50 千米。两车同时出发，相向而行。 (1) 出发几小时后两车相遇？ (2) 出发几小时后两车相距 30 千米？ 24．某超市举行促销活动，规定一次性购物：①不超过 200 元，不优惠；②超过 200 元但不超过 500 元，全部按九折优惠；③超过 500 元，其中 500 元按九折优惠，超过 500 元的部分按八折优惠。 小明两次去超市购物，分别付款 168 元和 423 元。 (1) 小明第二次购物所购商品的原价是多少元？ (2) 如果小明把两次购买的商品一次性购买，应付款多少元？比分两次购买节省多少元？ D组 学习反思与错题整理 请认真订正本课时作业中的错题，写出错误原因和正确解法，并总结本节课的收获。 错题题号 错误原因（概念不清/计算失误/审题不清/其他） 正确解法或关键步骤 本节课我的收获：________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ 我还存在的疑问：________________________________________________________________ 四、参考答案与解析 A组 基础巩固 1．【答案】A 【解析】设女生有 x 人，则男生有 x 人。根据题意，x + x = 48，即 x = 48，解得 x = 30。男生人数为 48 - 30 = 18。故选 A。 2．【答案】B 【解析】设 x 小时相遇，则 4x + 5x = 18，解得 x = 2。故选 B。 3．【答案】B 【解析】设进价为 x 元。售价为 200×0.8 = 160（元），根据“售价 - 进价 = 利润”，得 160 - x = 25%x，即 1.25x = 160，解得 x = 128。故选 B。 4．【答案】A 【解析】把工程总量看作 1，甲的工作效率为 ，乙为 。甲共做了 (3 + x) 天，乙做了 x 天。 + + = 1（与 C 不同，乙只做了 x 天）。故选 A。 5．【答案】B 【解析】生产螺钉的有 x 人，每天生产螺钉 500x 个；生产螺母的有 (25 - x) 人，每天生产螺母 1500(25 - x) 个。 1 个螺钉配 2 个螺母，所以螺母数 = 2 × 螺钉数，即 2×500x = 1500(25 - x)。故选 B。 （解得 x = 15，即 15 人生产螺钉，10 人生产螺母。） 6．【答案】A 【解析】设十位数字为 x，则个位数字为 x + 2。x + (x + 2) = 10，解得 x = 4，个位数字为 6，这个两位数是 46。故选 A。 7．【答案】A 【解析】调配后甲队有 (32 + x) 人，乙队有 (28 - x) 人，根据“甲队人数 = 2 × 乙队人数”列方程 32 + x = 2(28 - x)。故选 A。（解得 x = 8。） 8．【答案】B 【解析】设 x 年后父亲年龄是女儿的 3 倍，则 42 + x = 3(12 + x)，去括号得 42 + x = 36 + 3x，解得 x = 3。故选 B。 9．【答案】20% 【解析】利润 = 180 - 150 = 30（元），利润率 = ×100% = 20%。 10．【答案】200 【解析】设成本价为 x 元，则 x(1 + 40%)×0.8 = 224，即 1.12x = 224，解得 x = 200。 11．【答案】18 【解析】设轮船在静水中的速度为每小时 v 千米。顺水速度为 (v + 2)，逆水速度为 (v - 2)，两码头间路程相等：4(v + 2) = 5(v - 2)，解得 v = 18。 12．【答案】150 【解析】设小长方形的宽为 x cm。由图可知，上面 3 个小长方形的宽之和等于下面 2 个小长方形的长之和，所以小长方形的长为 cm。 大长方形的宽 = 小长方形的长 + 小长方形的宽，得 + x = 25，两边都乘以 2，得 5x = 50，x = 10。 小长方形的长为 15 cm，面积为 15×10 = 150（cm²）。 13．【答案】20 【解析】若用水 15 吨，水费为 15×3 = 45（元）< 70 元，所以用水超过 15 吨。设用水 x 吨，则 45 + 5(x - 15) = 70，解得 x = 20。 14．【答案】 【解析】设合作需要 x 小时，则 + = 1，两边都乘以 18，得 3x + 2x = 18，解得 x = （即 3.6 小时）。 15．【答案】(1) 2 小时；(2) 1.6 小时 【解析】(1) 设 x 小时后两车相遇，则 80x + 100x = 360，解得 x = 2。答：2 小时后两车相遇。 (2) 设快车开出 x 小时后两车相遇，此时慢车行驶了 (x + 0.9) 小时。 根据题意，得 80(x + 0.9) + 100x = 360，去括号，得 80x + 72 + 100x = 360，即 180x = 288，解得 x = 1.6。 答：快车开出 1.6 小时后两车相遇。 16．【答案】(1) 5 分钟；(2) 能，理由见解析 【解析】(1) 设哥哥 x 分钟追上弟弟。弟弟先走了 60×10 = 600（米），根据“哥哥路程 = 弟弟总路程”，得 180x = 600 + 60x，即 120x = 600，解得 x = 5。 答：哥哥 5 分钟能追上弟弟。 (2) 能。追上时哥哥行驶的路程为 180×5 = 900（米），900 < 1200，所以哥哥追上弟弟时弟弟还没有到校。 17．【答案】200 元 【解析】设每双运动鞋的进价为 x 元，则标价为 1.5x 元，售价为 1.5x×0.8 = 1.2x 元。 根据“售价 - 进价 = 利润”，得 1.2x - x = 40，即 0.2x = 40，解得 x = 200。答：每双运动鞋的进价为 200 元。 18．【答案】9 小时 【解析】设还需要 x 小时完成。把这批零件总量看作 1，甲的工作效率为 ，乙为 。 根据题意，得 + + = 1。两边都乘以 60，得 15 + 3x + 2x = 60，即 5x = 45，解得 x = 9。 答：还需要 9 小时才能完成。 B组 能力提升 19．【答案】C 【解析】设盈利的衣服进价为 a 元，则 a(1 + 20%) = 120，解得 a = 100； 设亏损的衣服进价为 b 元，则 b(1 - 20%) = 120，解得 b = 150。 总进价 250 元，总售价 240 元，240 - 250 = -10，所以亏损 10 元。故选 C。 易错提醒：不能想当然地认为“盈利 20% 和亏损 20% 抵消”，因为两件衣服的进价不同。 20．【答案】10 【解析】同向出发，甲第一次追上乙时，甲比乙多跑一圈 400 米。设 x 分钟后甲第一次追上乙，则 240x - 200x = 400，解得 x = 10。 21．【答案】(1) 20 次；(2) 选择方式二 【解析】(1) 设一年内锻炼 x 次时两种方式费用相同，则 40x = 300 + 25x，解得 x = 20。 (2) 锻炼 30 次时，方式一费用：40×30 = 1200（元）；方式二费用：300 + 25×30 = 1050（元）。1050 < 1200，所以选择方式二更省钱。 22．【答案】324 【解析】设十位数字为 x，则百位数字为 x + 1，个位数字为 3x - 2。 原三位数为 100(x + 1) + 10x + (3x - 2) = 113x + 98； 新三位数为 100(3x - 2) + 10x + (x + 1) = 311x - 199。 根据题意，得 (311x - 199) - (113x + 98) = 99，即 198x - 297 = 99，198x = 396，解得 x = 2。 所以百位数字为 3，十位数字为 2，个位数字为 4，原三位数是 324。检验：423 - 324 = 99，符合题意。 C组 拓展探究 23．【答案】(1) 1 小时；(2) 0.75 小时或 1.25 小时 【解析】(1) 设 x 小时后两车相遇，则 70x + 50x = 120，解得 x = 1。 (2) 两车相距 30 千米分两种情况： ① 相遇前相距 30 千米：两车共行驶 120 - 30 = 90（千米），则 70x + 50x = 90，解得 x = 0.75； ② 相遇后相距 30 千米：两车共行驶 120 + 30 = 150（千米），则 70x + 50x = 150，解得 x = 1.25。 此时甲车行驶 87.5 千米，乙车行驶 62.5 千米，都没有到达终点，符合题意。 答：出发 0.75 小时或 1.25 小时后两车相距 30 千米。 方法点拨：行程问题中“相距某距离”往往有相遇前、相遇后两种情况，要分类讨论，防止漏解。 24．【答案】(1) 470 元；(2) 应付 560.4 元，节省 30.6 元 【解析】(1) 第二次付款 423 元。若原价不超过 200 元，则付款不超过 200 元，不符合；若原价超过 500 元，则付款超过 500×0.9 = 450（元），也不符合。所以第二次购物享受第②种优惠。 设第二次所购商品原价为 x 元，则 0.9x = 423，解得 x = 470。答：第二次购物原价 470 元。 (2) 第一次付款 168 元，若享受九折优惠，则付款应超过 200×0.9 = 180（元），168 < 180，所以第一次没有优惠，原价就是 168 元。 两次商品原价共 168 + 470 = 638（元），超过 500 元，一次性购买应付款：500×0.9 + (638 - 500)×0.8 = 450 + 110.4 = 560.4（元）。 节省：(168 + 423) - 560.4 = 591 - 560.4 = 30.6（元）。 答：一次性购买应付款 560.4 元，比分两次购买节省 30.6 元。 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $