精品解析：河北博野中学等校2026级高一创新班（0.5+3班）摸底测试数学试题

26级高一创新班摸底测试 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章~第三章第2节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题p：，，则命题p的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数则（　　） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 5. 已知是定义域为的奇函数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数N满足关系，其中（m）为安全距离，v（m/s）为车速.当安全距离取40m时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（ ） A. 116 B. 118 C. 119 D. 122 7. 设G为非空数集，若对于任意的，都有，，，则称G是一个数环.关于数环，下列说法错误的是（ ） A. 0是任何数环的元素 B. 集合是一个数环 C. 集合是一个数环 D. 若集合为数环，则也为数环 8. 已知是定义在R上的偶函数，当时，恒成立，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列不等式正确的是（　　） A. B. C. D. 10. 下列说法错误的是（ ） A. 函数与函数表示同一个函数 B. 若是一次函数，且，则 C. 函数的图象与轴最多有一个交点 D. 函数在上是单调递减函数 11. 已知是定义在R上的不恒为零的函数，对于任意的，都有，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是偶函数 C. 若，则 D. 若当时，，则在上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 集合有___________个子集． 13. 若函数在上单调递减，则的取值范围是___________. 14. 已知二次函数满足有两个相等实根，且不等式的解集为．当时，在上的取值范围为，则______，______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，. （1）若，求和； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围. 16. 设为正实数，且. （1）求的最小值； （2）若，求的取值范围. 17. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求a，b的值； （2）判断在上的单调性并证明； （3）解关于x的不等式. 18. 已知二次函数. （1）若关于x的不等式的解集为，求a和b的值； （2）若不等式对一切实数x都成立，求a的取值范围； （3）解关于x的不等式. 19. 已知函数． （1）若，在上单调递增，求a的取值范围； （2）若，设函数在上的最小值为，求的解析式； （3）在（2）的条件下，若对任意，存在，使得恒成立，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 26级高一创新班摸底测试 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章~第三章第2节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题p：，，则命题p的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】利用特称命题的否定形式分析即可. 【详解】易知，的否定形式为，. 故选：D 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得集合A、B，根据交集运算的概念，即可得答案. 【详解】由，得， 所以集合， 又集合， 所以. 故选：B 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分母不为且偶次方根的被开方数非负得到不等式组，解得即可. 【详解】对于函数，则，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：A 4. 已知函数则（　　） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数求值计算即可. 【详解】． 故选：C. 5. 已知是定义域为的奇函数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇函数的定义判断必要性，举反例判断充分性. 【详解】因为是定义域为的奇函数， 若，例如，则对任意均有成立， 可知不一定成立，所以充分性不成立； 若，即，则， 即，所以必要性成立； 综上所述：“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 6. 单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数N满足关系，其中（m）为安全距离，v（m/s）为车速.当安全距离取40m时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（ ） A. 116 B. 118 C. 119 D. 122 【答案】A 【解析】 【详解】由题知 ， 当且仅当，即时取“＝”， 所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为116． 7. 设G为非空数集，若对于任意的，都有，，，则称G是一个数环.关于数环，下列说法错误的是（ ） A. 0是任何数环的元素 B. 集合是一个数环 C. 集合是一个数环 D. 若集合为数环，则也为数环 【答案】C 【解析】 【详解】由数环的定义可知，设，则，则，， 故0是任何数环的元素，A正确； 偶数与偶数相加、相减、相乘的结果均是偶数，所以是一个数环，B正确； 设，则， 因为不是整数，所以，所以集合不是数环，C错误； 设，因为为数环，则，又为数环， 则，所以，D正确．故选C． 8. 已知是定义在R上的偶函数，当时，恒成立，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性与对称性构造新函数，判定其单调性计算即可. 【详解】因为，，所以， 即，令，则有， 则在上单调递增. 又是定义在R上的偶函数，， 所以是定义在R上的偶函数. 由，可得， 即，由的单调性和奇偶性， 可得，解得或. 故选:B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列不等式正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】通过举反例排除A项；利用作差法比较判断B项；利用不等式的性质判断C，D两项. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，因，则由可得，故B正确； 对于C，因为，所以，又，所以，故C正确； 对于D，因为，所以，所以，故D正确． 故选:BCD． 10. 下列说法错误的是（ ） A. 函数与函数表示同一个函数 B. 若是一次函数，且，则 C. 函数的图象与轴最多有一个交点 D. 函数在上是单调递减函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据相等函数的概念判断A；利用待定系数法求出函数的解析式，即可判断B；根据函数的定义即可判断C；根据单调区间的定义即可判断D. 【详解】A：对于，有，解得， 则的定义域为， 对于，有，解得或， 则的定义域为， 即与的定义域不一致， 所以这两个函数不表示同一个函数，故A错误； B：设，则， 又，所以，解得或， 所以或，故B错误； C：由函数的定义知，的图象与轴最多有一个交点，故C正确； D：函数在上是单调递减函数，故D错误. 故选：ABD 11. 已知是定义在R上的不恒为零的函数，对于任意的，都有，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是偶函数 C. 若，则 D. 若当时，，则在上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】赋值法求解判断AC，通过赋值得，然后利用奇函数的定义判断B，由题设可得，结合时，，利用函数单调性的定义即可判断D. 【详解】因为，所以令，得，故A正确； 令，得，所以， 令，得，所以， 令，得，又，所以， 又因为定义域为R，所以函数是奇函数，故B错误； 令，得， 令，，得， 所以，故C正确； 当时，由，可得， 又，所以， 任取， 所以， 又，所以，，故， 所以在上单调递增，故D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据条件等式，合理给变量赋值，以及赋变量，再根据单调性的定义及奇偶函数的定义判断即可. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 集合有___________个子集． 【答案】8 【解析】 【分析】先确定集合中元素的个数，再确定集合的子集个数. 【详解】因为，有3个元素， 所以集合有个子集. 故答案为：8 13. 若函数在上单调递减，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数、反比例函数的性质，根据的单调性，分析计算，即可得答案. 【详解】当时， 为一次函数， 因为单调递减，所以， 当时，为反比例函数， 因为单调递减，所以， 所以由题意可知，解得，即的取值范围是. 故答案为： 14. 已知二次函数满足有两个相等实根，且不等式的解集为．当时，在上的取值范围为，则______，______． 【答案】 ①. ②. 1 【解析】 【分析】先根据题意求出二次函数的解析式，结合其在上的最大值为1推得，从而判断函数在区间上的单调性，列出方程，利用同构思想，得出是方程的两个根，求解方程即得. 【详解】由一元二次不等式的解集为可知， 二次函数的图象过原点，且2是方程的一个根． 设，又由，即有两个相等实根， 则解得，， 故，其对称轴为直线．且当时，. 因在上的取值范围为，可得，所以， 则在上单调递减，则，， 即是方程的两个根， 由，得， 所以，， 解得，，， 又，故，． 故答案为：；1. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，. （1）若，求和； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围. 【答案】（1）；或 （2） 【解析】 【分析】（1）当时，写出集合，再根据集合运算计算即可； （2）由题意知，集合是集合的真子集，分和两种情况讨论，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式，求解即可. 【小问1详解】 当时，集合， 因为， 所以，或，或； 【小问2详解】 若“”是“”的必要不充分条件，则集合是集合的真子集， 当时，，此不等式无解； 当时，，解得； 综上所述：若“”是“”的必要不充分条件，实数的取值范围为. 16. 设为正实数，且. （1）求的最小值； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）9 （2） 【解析】 【分析】（1）根据基本不等式“1”的代换，计算即可得答案. （2）基本不等式得，，根据条件得，整理计算，即可得答案. 【小问1详解】 由，得， 所以 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为9. 【小问2详解】 由基本不等式得，，当且仅当时等号成立， 因为， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 解得， 又为正实数，所以， 即的取值范围是. 17. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求a，b的值； （2）判断在上的单调性并证明； （3）解关于x的不等式. 【答案】（1），； （2）单调递增，证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定的函数，利用奇函数的定义及性质求解. （2）判断单调性，再利用增函数的定义推理证明. （3）利用奇函数性质及日记账性求解不等式. 【小问1详解】 由函数是定义在上的奇函数，得，则， 即是定义在上的奇函数，于是， 此时，，满足题意， 所以，. 【小问2详解】 函数在上单调递增. 任取，且，则 ，由，得且， 则，即，所以在上单调递增. 【小问3详解】 由函数为奇函数，且在上单调递增，得在上单调递增， 不等式， 则，解得，所以原不等式的解集为. 18. 已知二次函数. （1）若关于x的不等式的解集为，求a和b的值； （2）若不等式对一切实数x都成立，求a的取值范围； （3）解关于x的不等式. 【答案】（1）； （2）； （3） 时，不等式的解集为；时，不等式的解集为； 时，不等式的解集为；时，不等式的解集为{或}； 时，不等式的解集为{或}. 【解析】 【分析】（1）利用三个二次关系结合韦达定理计算参数即可； （2）利用二次函数的性质计算即可; （3）含着参数分类讨论计算即可. 【小问1详解】 由题意可知的两个解为， 所以，所以； 【小问2详解】 因为恒成立，则， 即，解之得； 【小问3详解】 原不等式等价于， 若，则； 若，则； 若，则； 若，则或； 若，则或； 综上所述：时，不等式的解集为；时，不等式的解集为； 时，不等式的解集为；时，不等式的解集为{或}； 时，不等式的解集为{或}. 19. 已知函数． （1）若，在上单调递增，求a的取值范围； （2）若，设函数在上的最小值为，求的解析式； （3）在（2）的条件下，若对任意，存在，使得恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由条件可得出的解析式，讨论的范围后结合二次函数的性质可知答案； （2）先根据去绝对值法可得出的解析式，结合二次函数的性质分段讨论出在上的最小值； （3）构造，问题等价于恒成立，建立不等式组可求出实数m的取值范围． 【小问1详解】 因为，所以时，，此时， 当时，，显然在上单调递减，不满足题意，舍去； 当时，由二次函数的性质可知开口向上，对称轴为， 即，解得， 又，所以实数a的取值范围为． 【小问2详解】 由题意得， （ⅰ）当时，，开口向上，对称轴为， 所以在上单调递增，故． （ⅱ）当时，，则开口向上，对称轴为． ①当，即时，在上单调递增，故； ②当，即时，在上单调递减，在上单调递增，故． 显然当时，，所以在上，， 即当时，； 当时，，所以在上，， 即； 当时，，所以在上，，即． 综上，. 【小问3详解】 令， 对任意，存在，使得恒成立， 等价于恒成立， 由（2）知， 显然在上单调递增，在上单调递减， 又，所以． 是关于n的一次函数，且定义域为，则，或， 所以，解得， 故实数m的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $