1.2菱形的性质与判定同步练习2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦菱形性质与判定，通过基础选择填空、提升综合计算、情境化解答题三层设计，实现从单一知识点到实际应用的递进，培养几何直观、推理能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|菱形性质（对角线、面积）与判定定理|直接应用对角线求面积、判定定理辨析等基础题型，强化概念理解| |提升层|性质与判定综合计算|结合平行四边形判定的多步计算、周长与面积综合题，提升推理能力| |综合层|性质判定与实际情境融合|伞骨结构、剪拼证明等情境化问题，培养模型意识与应用能力|

1.2菱形的性质与判定 1．已知菱形的对角线长分别为、，则菱形的面积为（   ） A． B． C． D． 2．如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的四边形的周长为（     ） A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm 3．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得点A，C之间的距离为6cm，点B，D之间的距离为8cm，则纸条的宽为（    ） A．5cm B．4.8cm C．4.6cm D．4cm 4．如图所示的是吊灯的截面示意图，连接菱形外框的对角线交于点，四边形内框是平行四边形，若菱形外框的边长为10，对角线的长为，则内框和外框之间阴影部分的面积为（   ） A．96 B．84 C．66 D．48 5．在菱形中，对角线与相交于点O，若，，则菱形的面积是（   ） A．24 B．60 C．120 D．240 6．下列说法正确的是（    ） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．菱形的对角线相等 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．平行四边形的对角线互相垂直 7．菱形中，若对角线，，则菱形的周长是（　　） A．25 B．20 C．15 D．10 8．如图，在菱形中，连接，点、分别是、的中点，连接，若，则菱形的周长为（   ） A． B． C． D． 9．如图，四边形是菱形，，，于，则等于（     ） A．4.8 B．2.4 C．2.5 D．1.2 10．如图，在菱形中，若，则的长是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，在菱形中，，分别为，的中点，若，，则菱形的面积为________． 12．如图，的对角线，相交于点．请你添加一个条件：____________（写出一种情况即可），使四边形是菱形． 13．如图，在四边形中，，于点O．请添加一个条件：_______，使四边形为菱形． 14．如图，菱形的对角线，相交，且，菱形面积为24，则的长为___________． 15．如图，的对角线与交于点，要使得为菱形，可添加的一个条件是_____．（写一个即可） 16．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC与BD互相垂直且平分，BD＝6，AC＝8，则四边形周长为_____，面积为_____． 17．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，，AH是的平分线，于点E，点P是直线AB上的一个动点，则的最小值是________． 三、解答题 18．杭州纸伞馆有制作精美的纸伞，如图，四条长度相等的伞骨围成菱形，伞骨连结点A固定在伞柄顶端，伞圈C能沿着伞柄滑动．小聪通过测量发现：当伞完全张开时，伞柄的中点O到伞骨连结点B，D的距离都等于的一半，若夹角，求的度数． 19．如图，在四边形中，，，平分交于点，连接，，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求四边形的周长． 20．你能通过剪切和拼接下列图形得到一个矩形吗？在这些剪拼的过程中，剪下的图形是经过怎样的运动最后拼接在一起的？ （1）平行四边形；（2）三角形；（3）菱形． 学科网（北京）股份有限公司 《1.2矩形的性质与判定同步练习2026-2027学年北师大版数学九年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B D C C B A A B 11．48 12． 13． 14．6 15． 16．20 24 17．/ 解：如图，作点O关于AB的对称点F，连接OF交AB于G，连接PE交直线AB于P，连接PO，则PO=PF，此时，PO+PE最小，最小值=EF的长， ∵菱形ABCD， ∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，AD=AB=3， ∵∠BAD=60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴BD=AB=3，∠BAO=30°， ∴OB==， ∴OA=， ∴点O关于AB的对称点F， ∴OF⊥AB，OG=FG， ∴OF=2OG=OA=，∠AOG=60°， ∵CE⊥AH于E，OA=OC， ∴OE=OC=OA=， ∴∠AEC=∠CAE， ∵AH平分∠BAC， ∴∠CAE=15°， ∴∠AEO=∠CAE=15°， ∴∠COE=∠AEO+∠CAE=30°， ∴∠COE+∠AOG=30°+60°=90°， ∴∠FOE=90°， ∴由勾股定理，得EF=, ∴PO+PE最小值=． 故答案为：． 18．解：∵是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 19．(1)证明：∵， ∴，， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形； (2)解：∵是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴, 又∵，， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， ∵，，， ∴， ∴， ∴四边形的周长为． 20．解：（1）平行四边形ABCD如图， 过点A作AE⊥BC于E，沿AE剪开，然后将△ABE沿AD方向平移AD长度到△DCF， 则四边形AEFD为矩形， ∵AE⊥BC， ∴∠AEF=∠AEB=90°， ∴∠ABE+∠BAE=90°， ∵四边形ABCD为平行四边形, ∴∠B=∠ADC， 由平移得△ABE≌△DCF， ∴∠BAE=∠CDF， ∴∠ADF=∠ADC+∠CDF=∠B+∠BAE=90°， ∴四边形AEFD为矩形； （2）△ABC如图，取AB、AC中点分别为D、E； 过D作DG⊥BC于G，过E作EF⊥BC于F，沿DG，EF剪开得小△BDG与△EFG， 将△BDG绕点G顺时针旋转180°，得到△ADH，将△EFC绕点E逆时针旋转180°到△EMA， 则四边形HGFM为矩形， ∵DG⊥BC，EF⊥BC， ∴∠DGF=∠DGB=∠EFG=90°， 由旋转180°， ∴∠CDH=180°，△BDG≌△ADH，∠FEM=180°， ∴点G、D、H三点共线，同理M、E、F三点共线 ∴∠H=∠DGB=90°， ∵∠HAM=∠HAD+∠BAC+∠MAE=∠B+∠BAC+∠C=180°， ∴H、A、M三点共线， 在四边形HGFM中，∠H=∠HGF=∠MEG=90°， ∴四边形HGFM为矩形； （3）菱形ABCD如图， 过点A作AE⊥BC于E，沿AE剪开，然后将△ABE沿AD方向平移AD长度到△DCF， 则四边形AEFD为矩形， ∵AE⊥BC， ∴∠AEF=∠AEB=90°， ∴∠ABE+∠BAE=90°， ∵四边形ABCD为菱形, ∴∠B=∠ADC， 由平移得△ABE≌△DCF， ∴∠BAE=∠CDF， ∴∠ADF=∠ADC+∠CDF=∠B+∠BAE=90°， ∴四边形AEFD为矩形． 学科网（北京）股份有限公司 $