1.2菱形的性质与判定自主学习同步练习题 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 2026-2027学年北师大版九年级数学上册1.2菱形的性质与判定同步练习，通过基础辨析、性质应用、综合探究三层设计，实现从概念理解到实践创新的知识巩固路径，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|菱形的判定与性质基础概念|单选题（如第1题判定定理辨析）考查概念准确性| |能力提升|性质与判定的综合应用及简单推理|填空题（如第10题中点连线计算）强化性质灵活运用| |综合应用|结合实际情境的复杂推理与探究|解答题（如第20题实践探究）培养建模意识与创新思维|

2026-2027学年北师大版九年级数学上册1.2菱形的性质与判定 自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1．下列命题中，正确的是（     ） A．一组邻边相等的四边形是菱形 B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 2．传统菱形窗花常用于中式装修装饰，某款菱形窗花的两条对角线长度分别为和，那么这个菱形窗花的面积是（     ） A． B． C． D． 3．如图1，千斤顶利用四边形的不稳定性可以达到“四两拨千斤”的效果，其基本形状是菱形（如图2），当千斤顶工作时，横杆与地面平行．若，则与地面的夹角为（     ） A． B． C． D． 4．如图，四边形是菱形，，，于H，则等于（     ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 6．如图，菱形中，，连接，点E和点F分别在边，上，，，若M、N分别为线段、的中点，则线段的长度等于（    ） A．4 B． C． D．6 7．如图，菱形的周长为，，垂足为E，，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题 8．如图，小聪在作线段的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，则直线即为所求．根据他的作图方法，可知四边形一定是菱形，判定四边形是菱形的依据是________． 9．按如下步骤作四边形：①画；②以点A为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交、于点B、D；③分别以点B和点D为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点C；④连接、、．若，则的度数是______． 10．如图，在菱形中，对角线，相交于点O，，，E是的中点，连接，则的长为_________． 11．如图，在平面直角坐标系中，已知菱形，且，，则点的坐标为______． 12．如图，将菱形纸片折叠，使得点恰好落在边的中点处，折痕为．若菱形的边长为，，则_____． 13．如图，菱形的周长为20，面积为24，P是对角线上一点，过点P作于点F，则的最小值为________． 14．如图，，分别是的边，上的点，连接，，是点关于的对称点，是点关于的对称点，已知，都在对角线上，且．记的度数是，的度数是，则与满足的关系式是__________． 三、解答题 15．如图，是平行四边形的对角线． (1)用直尺和圆规作出的垂直平分线，点，分别在边、上（保留作图痕迹，不写作法）； (2)连接，，求证：四边形是菱形． 16．如图，方格纸每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫做格点，线段、的端点均在格点上．按下列要求在网格中画出图形． (1)在图1中，以为对角线画一个面积最大的菱形，C，D为格点； (2)在图2中，以为对角线画一个每条边都不相等的四边形，P，Q为格点，且．直接写出四边形的面积是_____________． 17．如图，是的边的中线，E是的中点，过点A作，交的延长线于点F，交于G，连接． (1)若四边形是菱形，求证：是直角三角形： (2)若，求长． 18．如图，在中，对角线与相交于点O，平分． (1)求证：； (2)过点D作，交的延长线于点E，若，，求的长． 19．如图，在菱形中，对角线、相交于点，过点作交于点，过点作交于点，交于点，连接、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 20．综合与实践 【问题情境】市政公园休闲区搭建两组菱形镂空景观钢架，两套钢架共用顶部固定支点，大型钢架为菱形，小型钢架为菱形，设计图纸规定两个菱形顶角，、是钢架支撑杆．施工时小型钢架锁死固定不动，大型钢架可绕支点自由旋转调整摆放角度，工程人员需要测算钢架支撑杆长度解决施工用料问题． 【操作发现】 (1)如图，调整大型钢架，使得大型钢架边与小型钢架边重合．请直接写出钢架支撑杆与之间的数量关系． 【探究验证】 (2)按图方式摆放钢架，此时大型钢架的顶点落在小型钢架的侧边上，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【拓广探究】 (3)现场实测：图摆放状态下，，大型钢架边长为米． ①求小型菱形钢架的边长． ②旋转调整大型钢架菱形，当、、三点落在同一条直线上时，需增加一条钢架支撑杆，请直接写出的长度． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】根据菱形与平行四边形的判定定理逐一判断选项即可. 【详解】解：∵ 选项A中，一组邻边相等的平行四边形才是菱形，一组邻边相等的任意四边形不一定是菱形，故A错误； ∵ 选项B中，等腰梯形满足一组对边平行，另一组对边相等，但不是平行四边形，故B错误； ∵ 选项C中，对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，仅对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故C错误； ∵ 选项D中，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，这是平行四边形的判定定理，命题正确. 2．A 【分析】根据菱形的面积等于对角线的乘积的一半列出计算即可． 【详解】解：∵菱形窗花的两条对角线长度分别为和， ∴这个菱形窗花的面积是． 3．B 【详解】解：菱形中，，对角线平分， ， 与地面平行， 与地面的夹角为． 4．A 【分析】记与相交于点，利用菱形的性质和勾股定理求出，再根据菱形的面积建立等式求解，即可解题． 【详解】解：记与相交于点， 四边形是菱形，，， ，， ， 菱形的面积， ， 解得． 5．D 【分析】如图所示，设交于点，根据菱形的性质，由勾股定理得到，由得到，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，设交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，即， 在中，， ∴， ∵， ∴，则， ∴， ∴ ． 6．B 【分析】连接，取的中点，连接、，过点作交的延长线于，先证明为等边三角形，得出，结合题意可得为的中位线，为的中位线，则，，，，求出，则，，，最后再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接，取的中点，连接、，过点作交的延长线于， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵M、N分别为线段、的中点，为的中点， ∴为的中位线，为的中位线， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 7．A 【分析】由菱形周长求边长，设，，利用勾股定理列方程求出，进而求出、菱形面积，在中利用勾股定理求出，根据菱形面积等于对角线乘积的一半列方程求出，即可验证各结论． 【详解】解：菱形的周长为， ， 设，，在中，， ，解得， ，，故①正确； ，故②正确； ，故③正确； 在中，， ∵， ∴，解得，故④正确； 综上所述，正确的结论有个． 8．四边相等的四边形是菱形 【分析】根据作图方法，即可依据菱形的判定定理：四边相等的四边形是菱形得出结论． 【详解】解：∵分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，根据画弧半径相等，可得， ∴根据菱形的判定定理：四边相等的四边形是菱形，可得四边形是菱形． 9．/72度 【分析】根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：根据作图可得， ∴四边形是菱形， 则， 又∵， ． 10． 【分析】取的中点，连接，由菱形的性质可得，，利用勾股定理求出，判断是的中位线，得到，，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵点是的中点，点E是的中点， ∴，是的中位线， ∴，，， ∴， ∴． 11． 【分析】利用勾股定理求出的长，再根据菱形的性质得出的长，进而即可求解． 【详解】解： ，， ，， ， 四边形是菱形， ，轴， 点C的纵坐标为4，横坐标为， 点的坐标为 ． 12． 【分析】连接，根据菱形性质和证明是等边三角形，利用等腰三角形三线合一性质得出，结合平行线性质得出，设，利用折叠性质和勾股定理列方程求解． 【详解】解：连接、， 四边形是菱形，， ，，， 是等边三角形， 点是边的中点， ，， 在中，， ， ，即， 设 ，则， 由折叠的性质可知，， 在中，由勾股定理得， 即， 整理得， 解得， ∴． 13． 【分析】连接，，证明，推出，得到当共线，即时，取得最小值，最小值为的长，据此求解即可． 【详解】解：连接，， ∵菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当共线，即时，取得最小值，最小值为的长， ∵菱形的周长为20， ∴， ∵菱形的面积为24， ∴， ∴，即的最小值为． 14． 【分析】连接、，由垂直平分，垂直平分，得，，再结合平行四边形的性质证明四边形是菱形，得到，等边对等角结合等量代换证得，则，再由列式即可得解． 【详解】解：连接、， 是点关于的对称点，是点关于的对称点， 垂直平分，垂直平分， ，， ，都在对角线上， ，， 四边形是平行四边形， ，， ，，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ，， ． 15．(1) (2)证明：在平行四边形中， ， ． 又垂直平分， ，， 在与中， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形为菱形． 【分析】（1）作出的垂直平分线即可； （2）先判定四边形是平行四边形，再根据，即可得到四边形为菱形． 【详解】（1）略 （2）略 16．(1) (2) 四边形的面积是． 【分析】（1）根据菱形的判定定理解题； （2）根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：图略； ． 17．(1)证明：∵四边形是菱形，是的中线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴是直角三角形． (2)3 【分析】（1）由菱形性质，是的中线，得到，进而由等腰三角形的判定与性质，结合三角形内角和定理得到即可得证； （2）取中点，连结，如图所示，由三角形中位线的判定与性质得到，，进而得到，再证明，根据全等三角形性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：取中点，连结，如图所示： ∵是的边的中线，则是的中点， 是的中位线， ∴，， ∴， 是的中点， ， 在和中， ， ∴． 18．(1)证明：∵四边形是平行四边形， ， ∴． 平分， ， ， ∴， 四边形是菱形， ∴． (2) 【分析】（1）根据平行线的性质可得，根据角平分线的定义可得，结合等边对等角可得，由此即可求解； （2）根据菱形的性质可得，继而得到，再利用勾股定理求边长即可． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是菱形，， ． ， ， ， ． 19．(1)证明：四边形是菱形， ，， ，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； (2) 【分析】（1）根据四边形是菱形，得到，，由，，得到，证明，得到，证明四边形是平行四边形，结合，即可得证； （2）根据勾股定理求出，再根据等面积法求出，进而求出，，然后求出，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解： ，，， ， ， ，即， ， ，， ， 菱形的面积为． 20．（1）解：∵四边形和均为菱形， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴； （2）略 （3）解：①如图，过点E作于点H，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，米， ∴， ∴米， 即菱形的边长为米； ②如图，连接，过点B作于点M，则， 在菱形中，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由①得：菱形的边长为米， ∴， 当点G在线段上时，如图， ∵A，B，F三点在同一条直线上， ∴， ∴， ∴A，G，C三点也在同一条直线上， ∴； 当点G在线段的延长线上时，连接，如图， ∵四边形为菱形， ∴， ∵A，B，F三点在同一条直线上， ∴， ∴A，G，C三点也在同一条直线上， ∴； 综上所述，的长为6米或米． $