精品解析：河南省安阳市(文峰区,北关区)2026-2027学年高二上学期阶段考试数学试题

高二数学 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题后，用铅笔把答题卡对应题目的标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他标号.回答非选择题时，将写在答题卡上. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】点关于平面对称的点的坐标为,选B 2. 已知平面向量，不共线，若向量与共线，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为向量，不共线，所以若向量与共线，则它们对应系数成比例，即，即. 3. 设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，若，，则或，故A错误； 对于B，若，，则与的位置关系可能是平行､相交或，故B错误； 对于C，由线面平行的性质定理知，，故C正确； 对于D，若，，，则与可能平行，也可能异面，故D错误. 4. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】向量在向量上的投影向量为. 5. 已知二面角的大小为，点在平面内，点在平面内，且点到直线的距离为2，点到直线的距离为3，则线段长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量关系建立长度关于在直线上的射影的长度的函数，然后得到当，即重合时，取得最小值7，. 【详解】设在直线上的射影分别为， 因为， 所以 . 当，即重合时，取得最小值7，所以. 6. 若一个正四面体的体积为，则其表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将正四面体补形为正方体，利用割补法表示出正四面体的体积，从而求出正四面体的棱长，进而求出表面积. 【详解】如图所示，设正四面体为，并将其补形成正方体， 设正方体的棱长为，则正四面体的棱长为， 所以， 解得，故正四面体的棱长为， 因此该正四面体的表面积为. 7. 已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理及三角恒等式得到，再利用余弦定理结合锐角得到，再根据余弦定理表示出，即可求出答案. 【详解】因为， 由正弦定理得， 又因为，所以， 故，故，由正弦定理得. 由题知三个内角均为锐角且，由余弦定理得， 代入，得， 又，所以， 因此，令，则， 于是的取值范围为. 8. 已知空间向量，，两两互相垂直，且，向量满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量的数量积运算及几何意义求解 【详解】设，由题意，得.将拆分为， 代入所求数量积，得. 由于向量两两互相垂直，所以任意两个不同向量的数量积为0， 故 又， 其中，且， 故，则， 当且仅当与同向时取等号，故最大值为. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设复数的共轭复数为，若，则（ ） A. B. C. 一定是实数 D. 可能是方程的根 【答案】AC 【解析】 【分析】本题考查复数､共轭复数的概念和运算.利用复数的四则运算以及共轭复数的定义检验四个选项即可. 【详解】对于A，设，由得，于是，故A正确； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，结合A项可知是实数，故C正确； 对于D，对于方程，由求根公式得该方程的根为，计算根的模为，不满足，因此不可能是该方程的根，故D错误. 10. 已知是空间的一个基底，则下列向量组中，也能构成空间基底的有（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】AB 【解析】 【分析】A、B选项，通过向量线性运算检验是否存在非零线性组合为零向量进行判断；C、D选项，都满足线性关系式，可得共面. 【详解】由题知不共面. 对于A，假设存在实数，使得，即，则， 即不共面，可以构成空间的一个基底，故A正确； 对于B，假设存在实数，使得，即，则， 即不共面，可以构成空间的一个基底，故B正确； 对于C，因为，所以共面，不能构成空间的一个基底，故C错误； 对于D，因为，所以共面，不能构成空间的一个基底，故D错误. 11. 如图，圆锥的底面圆心为，高，为底面直径，且，点为底面圆周上异于，的动点，为母线的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的外接球的表面积为定值 B. 存在点，使得直线平面 C. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 D. 若，则平面与平面夹角的余弦值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】以底面圆心为原点，建立空间直角坐标系，设，得，对于A，易得即为三棱锥外接球的球心，故表面积定值，故A正确；对于B，由已知得，可得平面，则，在中，由，可知不可能成立，故B错误；对于C，平面的一个法向量为，设直线与平面所成的角为，利用直线的方向向量为，求出再计算出取得最大值；对于D，平面的一个法向量为，当时，不妨设点的坐标为，求得平面的法向量，再求得平面与平面夹角的余弦值即可. 【详解】以底面圆心为坐标原点， 以直线､底面内垂直于的直线､直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设且，由为的中点，得. 对于A，易知， 即点到三棱锥的四个顶点的距离相等， 故点即为三棱锥外接球的球心，外接球半径为， 所以三棱锥的外接球的表面积，为定值，故A正确； 对于B，若直线平面，则，易知， 所以平面，则，在中， 由，可知不可能成立， 所以不存在点，使得直线平面，故B错误； 对于C，易知平面的一个法向量为， 直线的方向向量为， 设直线与平面所成的角为， 则， 当，即或时，对应点的坐标为，符合题意， 此时取得最大值，故C正确； 对于D，平面的一个法向量为， 当时，不妨设点的坐标为， 则，； 设平面的法向量为， 则，令，得， 即平面的一个法向量为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为，故D正确. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 假设，，且与相互独立，则______． 【答案】0.92## 【解析】 【分析】由并事件的概率公式和相互独立事件的概率公式计算可得. 【详解】事件与相互独立，则， 由并事件的概率公式. 故答案为：0.92. 13. 已知向量，向量满足，，则向量与的夹角为________. 【答案】## 【解析】 【分析】由的坐标求出，由已知数量积求出，代入夹角公式求解. 【详解】由已知得， 所以，， 又，所以. 14. 在棱长为2的正方体中，点，分别为棱，的中点，为线段上的动点，则面积的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求得点到直线距离的最小值，进而得到面积的最小值． 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由于正方体的棱长为2，故， 由为线段上的动点，可设， 又，得，所以点的坐标为， 的面积可表示为，其中为定值，为点到直线的距离， 因此的面积最小等价于最小， 因为， ，， 所以，， ， ， 所以， 因为，所以， 所以． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 某校为评估高二年级暑期自主学习效果，随机抽取了50名学生，统计其暑期数学每日学习时长（单位：分），将所有数据按，，，，分成5组，整理得到如下频数分布表： 学习时长（分） 频数 4 6 18 14 8 （1）估计这50名学生暑期数学每日学习时长的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） （2）现采用比例分配的分层随机抽样的方法，从学习时长不足40分钟的学生中抽取5人进行学情访谈，再从这5人中随机抽取2人填写学习反馈问卷，求抽取的2人恰好来自同一学习时长区间的概率. 【答案】（1）48.2分钟. （2）. 【解析】 【小问1详解】 各组区间的中点值依次为， 则样本平均数为（分）， 因此估计这50名学生暑期数学每日学习时长的平均数为48.2分钟. 【小问2详解】 学习时长不足40分钟的学生分布在和两组，频数分别为4和6，总人数为. 按分层随机抽样抽取5人，抽样比为， 因此，从组抽取人，从组抽取人. 记组抽取的2人分别为组抽取的3人分别为. 从5人中随机抽取2人，试验的样本空间为 ，，共10个样本点. “抽取的2人恰好来自同一学习时长区间”的基本事件，共4个样本点. 故所求概率. 16. 如图，在四棱锥中，底面是梯形，且，.设，，. （1）试用基底表示向量. （2）设为的中点，点在直线上，且.若，，，四点共面，求实数的值，并说明此时点的位置. 【答案】（1） （2）时，，则点在的延长线上且. 【解析】 【分析】（1）利用空间向量线性运算表示向量； （2）设，由共面定理可得存在实数满足，列方程组求值即可得到点的位置. 【小问1详解】 由题意知. 【小问2详解】 因为为的中点，所以. 由（1）知. 因为，所以，则. 因为四点共面，所以存在实数满足， 即，整理得， 因为不共面，所以解得. 当时，，则点在的延长线上且. 17. 如图，在直四棱柱中，底面为菱形，，，，为棱的中点． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求证：平面． 【答案】（1） （2）因为， 所以， ， 所以， 又平面，所以平面． 【解析】 【分析】（1）利用菱形对角线建系，求出两条异面直线方向向量，套用异面直线夹角向量公式计算余弦值； （2）证明与平面内两条相交直线的向量点积均为0，用线面垂直判定定理完成证明． 【小问1详解】 连接，交于点.以为坐标原点，所在直线分别为轴， 过点且平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系， 由，得，又，所以 ， ， 设异面直线与所成的角为， 则， 即异面直线与所成角的余弦值为． 【小问2详解】 略 18. 如图，圆台的轴截面为等腰梯形，上､下底面半径分别为2，4，母线与底面所成的角为，是下底面圆周上一点，且，是的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）由题意知分别是的中点，连接，如图. 因为是的中点，所以， 又平面平面，所以平面. 由圆台的性质可知，，且， 所以，且，所以四边形是平行四边形， 所以，又平面平面， 所以平面. 又平面，所以平面平面， 又平面，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行判定定理、面面平行判定定理和面面平行定义证明平面； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求点到平面距离； （3）利用向量法求解面与面夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，以为坐标原点，过点且垂直于直线的直线为轴， 所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 由题意知，则. 所以. 设平面的法向量为，则即 令，得，即平面的一个法向量为. 因为， 所以点到平面的距离， 即点到平面的距离为. 【小问3详解】 由（2）知平面的一个法向量为. 易得. 设平面的法向量为，则即 令，得，故平面的一个法向量为. 设平面与平面的夹角为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为. 19. 定义：若四面体的三组对棱分别互相垂直，则称该四面体为对垂四面体.如图，在中，为边上的高，，，．将沿折起，得到四面体（点对应点），且满足． （1）求证：四面体为对垂四面体； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）设点在棱上，点在棱上，且满足（），记平面与平面所成的锐二面角为，求的最大值及此时的值． 【答案】（1）由折叠的不变性，折叠前，故折叠后有， 因为，且平面，所以平面， 又平面，所以． 因为，且平面，得平面， 又平面，所以． 又平面，所以平面， 又平面，所以． 综上，三组对棱两两垂直，故四面体为对垂四面体． （2） （3）时，取得最大值 【解析】 【分析】（1）利用折叠不变性与线面垂直判定定理，证明三组对棱两两垂直，满足对垂四面体定义完成证明； （2）以D为原点建空间直角坐标系，求出平面法向量，套用线面角向量公式计算正弦值； （3）根据比例参数λ写出P、Q坐标，求两平面法向量得到锐二面角余弦表达式，再用基本不等式求最大值与对应λ． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知两两互相垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，所以， 设平面的法向量为，则，即， 令，得，故， 设直线与平面所成的角为，则， 故直线与平面所成角的正弦值为． 【小问3详解】 由，得，由，得， 所以， 设平面的法向量为，则，即， 令，得，故， 平面的一个法向量为， 锐二面角满足， 分子分母同除以，得， 由基本不等式，得，当且仅当，即时取等号， 因此，，即时，取得最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题后，用铅笔把答题卡对应题目的标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他标号.回答非选择题时，将写在答题卡上. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为 A. B. C. D. 2. 已知平面向量，不共线，若向量与共线，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 3. 设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 4. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 已知二面角的大小为，点在平面内，点在平面内，且点到直线的距离为2，点到直线的距离为3，则线段长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 若一个正四面体的体积为，则其表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知空间向量，，两两互相垂直，且，向量满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设复数的共轭复数为，若，则（ ） A. B. C. 一定是实数 D. 可能是方程的根 10. 已知是空间的一个基底，则下列向量组中，也能构成空间基底的有（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 11. 如图，圆锥的底面圆心为，高，为底面直径，且，点为底面圆周上异于，的动点，为母线的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的外接球的表面积为定值 B. 存在点，使得直线平面 C. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 D. 若，则平面与平面夹角的余弦值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 假设，，且与相互独立，则______． 13. 已知向量，向量满足，，则向量与的夹角为________. 14. 在棱长为2的正方体中，点，分别为棱，的中点，为线段上的动点，则面积的最小值为________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 某校为评估高二年级暑期自主学习效果，随机抽取了50名学生，统计其暑期数学每日学习时长（单位：分），将所有数据按，，，，分成5组，整理得到如下频数分布表： 学习时长（分） 频数 4 6 18 14 8 （1）估计这50名学生暑期数学每日学习时长的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） （2）现采用比例分配的分层随机抽样的方法，从学习时长不足40分钟的学生中抽取5人进行学情访谈，再从这5人中随机抽取2人填写学习反馈问卷，求抽取的2人恰好来自同一学习时长区间的概率. 16. 如图，在四棱锥中，底面是梯形，且，.设，，. （1）试用基底表示向量. （2）设为的中点，点在直线上，且.若，，，四点共面，求实数的值，并说明此时点的位置. 17. 如图，在直四棱柱中，底面为菱形，，，，为棱的中点． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求证：平面． 18. 如图，圆台的轴截面为等腰梯形，上､下底面半径分别为2，4，母线与底面所成的角为，是下底面圆周上一点，且，是的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的余弦值. 19. 定义：若四面体的三组对棱分别互相垂直，则称该四面体为对垂四面体.如图，在中，为边上的高，，，．将沿折起，得到四面体（点对应点），且满足． （1）求证：四面体为对垂四面体； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）设点在棱上，点在棱上，且满足（），记平面与平面所成的锐二面角为，求的最大值及此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $