河南省商丘市第一高级中学2026-2027学年高二上学期第一次限时练数学试题

《2026一2027学年度高二年级上学期第一次限时练》数学参考答案 题号 1 2 3 4 6 6 7 8 9 10 答案 B D A C D C C B AC BD 题号 11 答案 ABD 2.D自设P4-=P)+P(-P4)=P(+P)-P氏P(= 又P(4=3P(B)c[0.,则4P(B)-3P(B]=7,整理得36[P(B-48PB)+7=0, 由PB)0引且[（®）-6P()-=0,可得P()-名所以P(国)1-P(B)- 3.A因为4、”、C三点不共线，点0在平面ABC外，点P满足严=OA+}O丽+号元， AP=mAB+nAC=m OB-OA )+n OC-OA -(u+n A+moB+nOC x=--n 由题意可知OA、OB、OC不共面，所以m=, 4 ·总}：人 n= 3 4.C由2simu-sinB=5,2 cosa-cosB=1,两边平方后相加得 4sin2 a+4cos2 a+cos2 B+sin2 B-4sinasin B-4cos a cos B=4, 即5-4 sinsin-4=4,得sin asin p+-月，所以cos(e-P）-手故选：C 5.D因为f(x)=e+H+e-1+k+1-a,所以f(x-1)=e+e+川-a,令g(x)=f(c-1),则 g(x)=e+e+-a,又因为g(-x)=e+e+-a=e+e+-a=g(x),所以函数g()为偶 函数，又函数f(x)=eH+e1+k+1a有唯一零点，则g(x)有唯一零点x=0,所以 g(0)=e°+e0+0-a=0,解得a=2.故选：D. 6.C设异面直线AC与BD所成的角为0，CD=AC2+AB2+BD2-2AC.BD cos0, 答案第1页 即(27=62+4+8-2x6×8cs0→cs0=号，所以0=60°，因为unB=1,且AC,BD都垂直 于棱l,所以二面角α-1-B的平面角等于0，所以面&与平面B的夹角为60°.故选：C 7.Cf(x+2)=f(x)-f(1),且f(x)是定义域为R的偶函数， .令x--1,可得f(-1+2)=f(-1)-f(1),又f(-1)=f1),可得f(1)=0,则有f(x+2)=f(x), .f(x)是周期为2的偶函数，又f(x+2)=f(-x),则函数f(x)的图象关于直线x=1对称： 当x∈[2,3]时，f(x)=-2x2+12x-18=-2(x-3),函数f(x)的图像为开口向下、顶点为(3,0)的抛 物线的一部分.若函数y=f(x)-loga(x+1)在(0+o)上恰有三个零点，令g(x)=loga(x+1),则f(x)的 图像和g(x)的图像在(0+o)上恰有三个交点作出函数f(x),8(x)的图像， 如图所示，：f(x)≤0，g(x)≤0，可得0<a<1, 要使函数f(x)的图像和8(x)的图像在(0，+o)上恰有三个交点， g(x) J212,即1e2+f@)-2,解得5<a<5 则有4)>(4 -2>loga(4+1) 即实数a的取值范围是 3 5,3 8.B【详解】连接AD,因为AA⊥平面ABC,所以∠ADA为直线AD与平面ABC所成角， 所以tan∠ADA=A，又直线AD与平面ABC所成角的最大值是45°，所以(tan∠ADA)=1,当且 AD 仅当AD取最小值时∠ADA取得最大值，因为AB=AC=2,∠BAC=120°，所以当AD⊥BC时AD取 最小值，此时AD=2sin30°=1，所以A4=1,又点P在底面ABC内，且AP=√2，连接AP, 因为A41平面ABC,APc平面ABC,所以A41AP,所以AP=√AP-AF=V2-12=1, 所以点P在以4为圆心，1为半径的图（圆）上，且圆心角为∠4C=120-,所以点P的轨迹 长为号1-否故选：B 9.AC对于A,=(1+i)==(1+i)(-2+i)=-2-m+(m-2)i,若31在复平面对应的点位于第二象限， (共4页) 「-2-1m<0, [-2-1=0, 则 解得>2，选项A正确；对于B,若3为纯虚数，则 解得=-2，选项B -2>0, -2≠0， 错误：对于C,日=V(-2)+m≥2，当m=0时取等号，选项C正确；对于D,若3与z互为共轭 -2=-2-m, 复数，则 m=(m-2)无解，选项D错误，故选：AC. 10.BD选项A,因为x+2y=4,所以4=x+2y≥2√x·2y,解得xy≤2，当且仅当x=2y时等号成 立，错误.选项B,(x+2y)3=x2+4y2+4xy=16,所以x2+4y2=16-4y≥8，当且仅当x=2y时等 号成立，所以x2+4y的最小值为8，正确.选项C,因为x=4-2y>0,所以0<y<2, 亡+9_16+4-16y+9=4+25-16,易知函数t=4y+25-16在(0,2)上单调递减， 所以4+兰16>8+兰16-号，生9无最小值，错误接现D,令m=,1=5,由0<<2， 2 2y=4-x>0,0<x<4可知0<m<2,0<n<√2，得x=m2,y=m,由题意得2+2n2=4,设 m=2sine,n=2cos0,0< 2 t5=m+n=2a6:5cs5 5.m(@g上5，tm9-怎此时x号子 2 ，所以D正确 3 11.ABD对于A,连接AD,AD,则AD⊥AD,AB⊥平面ADDA,又ADC平面ADDA,.AD⊥AB, 又AB∩AD=A,ABC平面ABC1D,ADC平面ABC1D,.AD⊥平面ABCD, 又DPC平面ABCD,∴AD⊥DP,所以直线AD与直线DP所成的夹角一定为90°，故A正确： 对于B,连接PC,PC,DC,则三棱锥C-DPC的体积等于三棱锥P-CCD的体积， ,AB∥平面CDDC1,∴.点P到平面CDDC的距离=BC,为定值1，即三棱锥P-CCD的高为1，底 面三角形c0的面积为}，%=-8号11x1-号，放B正确：对于C,因为P满足DP-1, 则动点P的轨迹的长度为以D为圆心，1为半径的圆的周长的四分之一，所以P点的轨迹的长度为二 答案第2页 故C错误；对于D,在正方体ABCD-ABCD中，DD⊥平面ABCD,对于平面ABC,DD为垂线， DP为斜线，DP为射影，所以∠DPD即为直线DP与平面ABC所成角，设AC∩BD=O,则AC L BD, 因为P是®ABC内（包括边界）的动点，所以当P与O重合时，DP=D型-5最小，此时 22 sin∠DPD= 1V6 3,当P与B重合时，DP=DB=2最天，此时m∠DP%=么2=号，所 sin∠DPD∈ 3√6 33 故D正确. 12.5: 13.2√2 14K>-1且k 2 15.(1)因为a=(-1,2),且a∥i,所以可设b=a=(-2,2),∈R, 所以=V-)2+(2)2=45,解得1=±4，所以6=(-4,8)或b=(4,-8). (2)因为V2a+cH√2a-2c,所以(W2a+c}=(W2a-2o,所以2√2a.c-c2=0, 又1c=2,所以22a.c-22=0,解得a.c=√2，又1a√5，所以 |2a-c=VW2a-c=V2a-2ac+c=10,又(W2a-cc=2a.c-c2=2-4=-2, 设5a-与c的夹角为0，所以cos0=2a-0c-20 |V2a-cl-cV10×210 16.2:2165 由腰意，AABC中，满足V3 a sin=2bcos9=1-cosA)b,根据正弦定理，可得 √3 sin Asin B=(1-cosA)sinB,因为B∈(0，)，可得simB>0,所以V3sinA=l-cosA, 又由4+sA=1,解得A,cA=分义因为A:(Q小.所以4 3 a因为EC边上T线0-4，可网历买4.-列a (共4页) 即+ac+2ceos2-+c-Ac=64≥aac 所以(ABAC=64,当且仅当A到AC=8时成立.故△ABC面积的最大值为 ssin 4-1613. 1.0ω号 a别 解：(1)该局至多打4个球且甲赢的情况有3种， 甲赢前2个球；甲输第1个球再连赢球；甲赢第1个球输第2个球再连赢2个球； 故该局至多打4个球且甲赢的概率为1-引十1-引号》号行1引8 (2)若甲胜，则甲在6个球的胜负情形为胜负胜负胜胜，则甲胜的概率 若乙胜，则甲在6个球的胜负情形为负胜负胜负负，则乙胜的概率 =-引-》-引引-引号 416124 所以该局恰好打6个球结束的概率P=月+B=125+33753375 18.(1)73分合理 ②15 (3)22.25 (1)由第1组的频数的平方为第2组和第4组频数的积可知，0.162=0.8a, 解得a=0.032,又(0.008+0.016+0.032+0.04+b)×10=1,解得b=0.004,所以a=0.032,b=0.004, 成绩落在[50,70)内的频率为：0.16+0.32=0.48，落在[50,80)内的频率为：0.16+0.32+0.40=0.88， 设第60百分位数为m,则(m-70)0.04=0.6-0.48,解得m=73,所以晋级分数线划为73分合理； (2)由图可知，按分层抽样法，两层应分别抽取4人和2人，分别记为a,b,C，,d和A,B, 则所有的抽样有：2=(AB,Aa,Ab,Ac,Ad,Ba,Bb,Bc,Bd,ab,aC,ad,bc,bd,cd),共15个样本点， A=“抽到的两位同学来自不同小组”，则A={Aa,Ab,Ac,Ad,Ba,Bb,Bc,Bd}共8个样本点， 所以Pa等 答案第3 （3)因为=90，所以+5+t51=100-90,所以F=+++)90-5, 所以x+号+…+x品=81250，剔除其中的96和84两个分数，设剩余8个数为，，5，，， 平均数与标准差分别为0，，则剩余8个分数的平均数：五=当+占+++5_90096-84=90， 8 8 方差：号-专+++5)-90-专81250-96-8）0-2.25 19.(I)因为AB=AD,∠BAD=60°，所以△ABD为等边三角形，因为P为AD的中点，所以BP⊥AD. 因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABDO平面BCD=BD,BD⊥CD,CDC平面BCD,所以CD⊥平 面ABD,因为BPC平面ABD,所以CD⊥BP,又因为CDOAD=D,CD,ADC平面ACD,所 以BP⊥平面ACD. (2)过点M作MH⊥PC,垂足为H.如图所示， 由(I)知，BP⊥平面ACD,因为MHc平面ACD,所以BP⊥MH, BPúPC=P,BP,PCC平面BPC,所以MH⊥平面BPC, 所以∠MPC为MP与平面BPC所成角.在RtABCD中，因为∠BCD=30°，BD=2,所以 DC= BD=2W5因为M为CD的中点，所以MD=CM=)CD=5, tan∠BCD 在RtAPDM中，PM=VPD2+MD=+(N5=2, 在RtAPDC中，PC=VPD+CD=VP+(23=g, 在△CPM中， cos∠MPC= PC2+PM2-CM2 (s+2-(-25, 2PC.PM 2×V13×2 26 所以P与平面BPC所成角的余弦值为G店. 7 (3)取BD的中点E,连接AE,AB=AD,则AE⊥BD, Bs= 因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABDO平面BCD=BD,AEC平面 ABD,所以AE⊥平面BCD,取ED的中点为O,连接PO,因为P为 线数4D的中点.所以06.0=a8-Br-号2子- （共4页） 因为AE⊥平面BCD,所以PO⊥平面BCD,BMC平面BCD 所以PO⊥BM,过点P作PG⊥BM,垂足为G,连接OG, PO∩PG=P,PO,PGc平面POG,所以BM⊥平面POG. OGc平面POG,所以BM⊥OG, 所以∠PGO为二面角P-BM-D的平面角. 在RtABDM中，BM=VBD2+DM=V2+(B=V万， 由(1)知，△ABD为等边三角形，P为线段AD的中点，所以BP=√AB2-AP=√2-1下=√3， D知，BPL平面ACD,PMC平面ACD.所以BPLPM,在Rt△BPM中，)BP.PM=)BM· 由(2)知，PM=2,即号×3x2=号×V7xPG,解得PG=2 因为PO⊥平面BCD,OGc平面BCD,所以PO⊥OG,在Rt△POG中， 3W21 GO=PG2-PO 3V21 所以cos∠PG0=OC_143 ΓPG2W214' 即二面角P-BM-D的平面角的余弦值为} 答案第4页（共4页）2026一2027学年度高二年级上学期第一次限时练 数学 命题人： 审题人： 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共14心分.每个小题给出的四个选项中，只有一个选项 是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上) 1.(暑假作业卷五3)已知集合A={12,34,5,67,8,9}, B=写eN则nB=) 3 A.{5,8} B.{2,5,8} C.{3,6,9} D.{1,5,9} 2已知事件A与事件B相互独立，若P(4)=3P(),P(4+)=辽则P(回)=(） B c.a 5 D. 6 3.已知A、B、C三点不共线，点O在平面4BC外，点P满足AP=xOA+}OB+OC,则当点P、 3 A、B、C四点共面时，实数x=() A 7 B.2 1 c D. 5 4.已知2sina-sinB=√3,2cosa-cosB=1,则cos(a-B)=() 1 A.- B c. D. √15 8 5.已知函数f(x)=e*1+e+比+1a有唯一零点，则实数a=() A.-2 B.-1 C.1 D.2 6.(课本41页1)如图，二面角a-1-B的棱上有两个点A,B,线段BD与AC 分别在这个二面角的两个面内，并且垂直于棱1.若AB=4,AC=6,BD=8 MA B CD=217,则平面a与平面B的夹角大小是() A.30° B.45° C.60° D.90° 7.(暑假作业三8)定义域为R的偶函数f(x)满足Vx∈R,有f(x+2)=f(x)-f(),且当x∈[2,3]时， f(x)=-2x2+12x-18.若函数y=f(x)-log.(x+1)在(0，+o)上恰有三个零点，则实数a的取值范围是() 试卷第1页( 65 6,5 8.在三棱柱ABC-ABC中，AA⊥平面ABC,AB=AC=2,∠BAC=120°，D是棱BC上的动点，直线 AD与平面ABC所成角的最大值是45°，点P在底面ABC内，且AP=√2，则点P的轨迹长是() A月 B.2 4π c. D.2π 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.已知复数z=-2+mi(m∈R),名，=(1+i)z,则下列说法正确的是( A.若z在复平面对应的点位于第二象限，则m>2 B.若z1为纯虚数，则m=2 C.z的最小值为2 D.存在m∈R,使z与z互为共轭复数 10.(暑假作业卷十五11改编)若实数x>0,y>0,且x+2y=4,则() A.y的最大值为4 B.x2+4y2的最小值为8 C. 2+9的最小值为6 D.√无+Vy的最大值为√ y 11.(暑假作业卷七10)正方体ABCD-ABCD的棱长为1，下列结论正确的是( A.若P在棱AB上运动，则直线4D与直线DP所成的夹角一定为90° B.若P在枝4B上运动，则三棱锥C-DPC的体积为号 C.若P在底面ABCD内（包含边界）运动，且满足DP=1,则动点P的轨迹的长度为π D.若P在△ABC内（包含边界）运动，则直线D,P与平面ABCD所成角的正弦值的取值范围为 3√6 33 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.（暑假作业卷八12改编)现有一组数据4,6,3,3,2,4,6,7,4,1，则这组数据的第70百 页（共2页) 分位数为 13.(暑假作业卷六15改编)已知i-1是关于x的实系数方程x2+ar+b=0的一个根，则a+b1= 14.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),若向量a+kb与2a+所成的角为锐角，则实数k的取值范围为 四、解答题（本题共5个小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。) 15.（暑假作业卷十15)(13分)已知a,b,c是同一平面内的三个不同向量，其中a=(-1,2). (1)若1=45，且a∥i,求的坐标； (2)若1c2,且|V2a+cH√2a-2c,求√2a-c与c的夹角的余弦值. 16.（暑假作业卷十二16改编)（15分) 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且V5 asin B=2bcos2B+C 2 (1)求角A的大小； (2)若BC边上的中线AD=4,求三角形ABC面积的最大值. 17.(暑假作业卷八18)（15分)甲、乙两位队员进行棒球对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个 球者获胜，则对抗赛结束。不论谁发球，每个球必有输赢。已知甲发球时甲赢的概率为兮，乙发球时 乙赢的概率为，每次发球的结果互不影响，已知某局甲先发球 (1)求该局至多打4个球且甲赢的概率； (2)求该局恰好打6个球结束的概率. 18.(暑假作业卷十一16改编)(17分)某中学举行了一次“数 频率组距 0.040 学文化知识竞赛”，高二年级学生参加了这次竞赛为了了解本 a 次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x作为样本进行 统计.将成绩进行整理后，分为五组（50≤x<60,60≤x<70, 0.016 0.008 70≤x<80,80≤x<90,90≤x≤100)，其中第1组的频数的 b 平方为第2组和第4组频数的积.请根据下面尚未完成的频率分 5060708090100成绩（分） 布直方图（如图所示）解决下列问题： (1)若根据这次成绩，年级准备淘汰60%的同学，仅留40%的同学进入下一轮竞赛，请问晋级分数线 划为多少合理？ (2)从样本数据在80≤x<90，,90≤x<100两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取6名同学， 再从这6名同学中随机选出2人，求选出的两人恰好来自不同小组的概率 (3)某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：x,x2,x3,,x0,己知这10个分数的平均数 x=90,标准差s=5,若剔除其中的96和84两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差. 19.(暑假作业卷十四19)(17分)已知平面四边形ABCD,AB=AD=2,∠BAD=60°，∠BCD=30°， BD⊥CD,现将△ABD沿BD边折起，使得平面ABD⊥平面BCD,点P为线段AD的中点. (I)求证：BP⊥平面ACD: (2)若点M为CD的中点，求MP与平面BPC所成角的余弦值. (3)在(2)的条件下，求二面角P-BM-D的平面角的余弦值. 页（共2页）