精品解析：河南省开封高级中学东校区2026-2027学年高二上学期9月开学调研考试数学试题

开封高中2028届东校区9月开学调研考试 高二数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 是 或的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】因为只说明向量的长度相等，并不知方向的关系，推不出或； 而由或知两向量为相等向量或负向量，故必有， 所以是 或的必要不充分条件. 2. 已知是关于x的方程的一个根，则（ ） A. 2 B. 0 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为是方程的根，  所以 ，化简得：  ， 整理得：  ， 所以，解得， 因此. 3. 已知为平面，为点，为直线，下列推理中错误的是（ ） A. ，则 B. ，则直线，直线 C. ，则 D. ，且不共线，则重合 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合平面的基本性质，以及确定平面的依据，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由，根据直线上有两个点在平面内，则这条直线在这个平面内，可得，所以A正确； 对于B中，由，根据直线上有两个点在平面内，则这条直线在这个平面内，可得直线，直线，所以B正确； 对于C中，由，则平面和平面是一条经过点的直线，所以C不正确； 对于D中，由，且不共线，根据过不共线的三点唯一确定一个平面，可得重合，所以D正确. 故选：C. 4. 某校在一次考试后，对两班的数学成绩进行分析.已知班有人，平均成绩为分，方差为；班有人，平均成绩为分，方差为.则两班全部名同学数学成绩的方差是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】两班全部名同学数学成绩的平均数为， 方差. 5. 在中，内角的对边分别是，若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为， 由正弦定理可得， 即， 整理可得，由于，故， 所以，又，所以， 又，则. 6. 已知随机事件A、B、C满足，，，，则A、B、C至少有一个发生的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由和事件概率计算公式即可求解. 【详解】要求事件至少有一个发生的概率，即求和事件， 根据容斥原理：  ， 因为 ，且， 所以 ，概率非负，故， 代入已知条件：， 所以. 7. 在中，点是的中点，过点的直线分别交射线，于不同的两点，．设，（，），则的最小值（ ） A. 2 B. 4 C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】先根据向量的性质得到，再使用基本不等式“1”的代换求解即可. 【详解】由于是的中点，故. 而点在直线上，故， 从而， 当且仅当等号成立. 8. 已知的外接圆半径为，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理求出，，利用平面向量数量积的运算性质、三角恒等变换并结合角的取值范围可求得的最大值. 【详解】由正弦定理可得，则，， 因为，所以， 所以 ， 因为，所以， 故当时，取最大值. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知，，是空间中不共线的三点，对于平面外一点，若点在平面内，且，则下列关于和的值满足条件的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据空间向量共面定理求出和的关系，即可得出结论. 【详解】由题意， ，，是空间中不共线的三点，点为平面外一点， 点在平面内，且， ∴，即， A项，，故A错误； B项，，故B正确； C项，，故C正确； D项，，故D正确. 10. 在中，角的对边分别是，下列说法正确的是（ ） A. 若，则形状不唯一 B. 是的充要条件 C. 若，则为等腰直角三角形 D. 若的面积为 ，则角C为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据判断即可；对于B，根据正弦定理判断即可；对于C，根据正弦定理边角互化，三角恒等变换得即可判断；对于D，根据余弦定理与面积公式求解判断即可. 【详解】对于A，因为，，即，故有两个解，对应的三角形形状不唯一，故A正确； 对于B，由正弦定理得，， 所以，根据大边对大角得， 所以是的充要条件，故B正确； 对于C，因为，所以 因为， 所以，即， 所以或，所以或，即为等腰三角形或直角三角形，故C选项错误； 对于D，因为的面积为 ，所以， 由余弦定理得， 所以，即， 因为，所以，故D选项正确. 11. 在棱长为1的正方体中，点P在正方形内部运动（不包含边界），满足，下列命题中正确的是（ ） A. 在点运动的过程中，三棱锥的体积有最大值为 B. 在点运动的过程中，存在无数个点，使得平面截正方体的截面是等腰梯形 C. 在点运动的过程中，不存在点，使得直线平面 D. 取的中点，当点运动的过程中，一定有 【答案】BCD 【解析】 【分析】由可知，点在以为直径且位于正方形内部的半圆弧上．分别利用三棱锥体积公式、截面构造、线面垂直的判定以及三角形两边之和大于等于第三边判断各选项． 【详解】设为的中点，为正方形的中心． 由，可知点在以为圆心、为半径的半圆弧上，如图所示． 对于A，因为平面，所以三棱锥可看作以为底面、为高的三棱锥． 点到直线的距离不超过半圆的半径，故. 因此. 当与点重合时等号成立，所以该三棱锥体积的最大值为，A错误． 对于B，当在弧上运动（不含端点）时，直线与交于点，且在线段内部． 在上取点，使，如图所示． 这样的点有无数个． 因为，且，所以. 从而在中有． 又且，所以四边形为平行四边形，从而，故． 因为点在线段内部，所以． 由可知，故. 因此，即． 又因为，所以. 因为且，所以. 因此． 又点、、三点共线，所以平面． 由于且平面，故平面，从而平面． 因此平面截正方体所得截面为四边形． 该四边形满足、且，所以四边形为等腰梯形． 因此存在无数个满足条件的点，B正确． 对于C，假设存在点，使平面． 因为平面，所以． 又由题设． 又平面，平面，且两直线都经过点． 在同一平面内，经过一点只有一条直线与已知直线垂直，所以直线与直线重合，即、、三点共线． 在直角等腰三角形中，，所以点为斜边的中点，即点与点重合． 于是且. 因为平面，所以. 若，则在中应有. 但为正方体的体对角线，故,矛盾． 所以不存在这样的点，C正确． 对于D，设，． 因为平面，且为的中点，所以，从而. 同理，因为平面，所以. 于是. 因为各式均为正，要证明,两边平方后，只需证明. 又因为两边均为非负数，平方后有. 所以. 由两点之间线段最短，. 因此. 下面说明等号不能成立． 若等号成立，则必须同时有和． 由可知三点共线． 又，所以在直角等腰三角形中，为斜边的中点，从而，这与矛盾． 故,所以D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知在平面直角坐标系中，点，点在直线上．若向量在向量方向上的投影向量的模为，则点的坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】设点 ，利用投影向量的模建立关于 的方程，求出点 的坐标． 【详解】设 ，则 ，． 由题意， 两边平方并化简，得即 ，解得 ． 所以点 的坐标为 ． 13. 复数满足，且，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用模为 1 的复数满足，将转化为，再根据共轭复数性质由共轭和直接得到. 【详解】因为由，可得，又， 所以，又 所以，所以． 14. 享有“天下江山第一楼”美誉的黄鹤楼位于湖北武汉，地处蛇山之巅，濒临万里长江，更因历代诗人登楼作诗而名闻天下．如图，某同学为测量黄鹤楼的高度，在黄鹤楼的正东方向找到一座建筑物，高为，在地面上点处（、、三点共线）测得建筑物顶部，黄鹤楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则黄鹤楼的高度为________． 【答案】 【解析】 【分析】在中求出的长，然后在中利用正弦定理可求出的长，最后在中可求出的长，即为所求. 【详解】在中，，，，所以， 在中，，， 所以， 由正弦定理可得， 所以， 在中，，， 所以，故黄鹤楼的高度为. 四、解答题：本题共5小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 为了普及航天知识，某校开展了“航天知识竞赛”活动，现从参加竞赛的学生中随机抽取120人，统计他们的成绩（满分100分），绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）求平均数和第一四分位数； （2）若在抽取的120名学生中，利用分层随机抽样的方法从成绩不低于80分的学生中随机抽取9人，求从成绩在，内的学生中分别抽取的人数. 【答案】（1）74，65 （2）6，3 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中平均数和第25百分位数的计算公式即可. （2）利用成绩在，的频率，分别计算出两组的人数，再计算出抽样比例，即可计算两组学生中抽取的人数. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，各组的频率分别为： ，，， ，， 平均数为. 第一四分位数即第25百分位数，因为第一组频率为0.15， 前两组频率之和为，且，所以第一四分位数位于区间内. 设第一四分位数为x，则，解得，所以第一四分位数为65. 【小问2详解】 成绩在的人数为：（人）， 成绩在的人数为：（人）， 成绩不低于80分的总人数为：（人）. 抽样比例为：，从成绩在内的学生中抽取的人数为：（人）， 从成绩在内的学生中抽取的人数为：（人）. 16. 已知两个向量，． （1）若，求实数的值； （2）若，其中，求的最小值． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）先计算出，再根据垂直的坐标表示求参数即可； （2）先求出的坐标，再根据模长公式结合二次函数的最值求解． 【小问1详解】 ， 又， 所以， 解得或； 【小问2详解】 ， ， 当时取等，所以的最小值为． 17. 某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案． 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过． 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是，，，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．求： （1）该应聘者用方案一考试通过的概率； （2）该应聘者用方案二考试通过的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式及互斥事件的加法公式直接计算即可； （2）分情况结合乘法公式即互斥事件加法公式即可得解． 【小问1详解】 记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为，，， 则，，， 应聘者用方案一考试通过的概率： ； 【小问2详解】 应聘者用方案二选择任意两科的概率为， 考试通过的概率： . 18. 如图，在平面四边形ABCD中，点B与点D分别在直线AC的两侧，． （1）若，，且，求； （2）若，且，求的最大值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形性质结合二倍角公式求解作答； （2）连接，由已知结合余弦定理可得，，再利用余弦定理、二倍角公式、辅助角公式求解作答. 【小问1详解】 设，依题意，， 则，， 即，而， 所以. 【小问2详解】 连接，中，，， 由余弦定理得， 则，即，设，在中，， 于是，在中，， 由余弦定理得：， 则 ， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，， 所以AC的最大值是. 19. 如图，在三棱锥中，，，，点，分别是棱，上的动点（不含端点）． （1）若平面． （ⅰ）求的长度． （ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值． （2）若为的中点，且平面，求三棱锥的内切球的表面积． 【答案】（1）①；②； （2）. 【解析】 【分析】（1）①由平面，得到，且，再由，在直角中，即可求解； ②根据面面垂直判定定理证明平面平面，过点作，结合线面角定义可得为直线与平面所成角，解三角形求其正弦值； （2）根据线面平行性质定理可得，求三棱锥的体积，结合三棱锥内切球性质求内切球半径，再由球的表面积公式求结论. 【小问1详解】 解：①由平面，因为平面，可得， 又因为，且，所以， 因为平面，可得， 又因为且，所以，且. ②因为平面，平面， 所以平面平面， 在平面内过点作，垂足为， 又平面平面，所以平面， 又平面，所以，且为三棱锥底面上的高， 在中，由，可得， 在中，由，可得， 在中，因为，，， 所以边上的高为，所以的面积为， 所以，故， 在中，由余弦定理得， 即， 因为平面，所以为直线与平面所成角， 设与平面所成的角为，则. 【小问2详解】 由平面，平面平面，根据线面平行性质得， 因为是中点，故， 得， 结合， 可得， 所以三棱锥为正四面体， 设点在底面上的投影为，则为的中心， 所以，， 又的面积， 所以三棱锥的体积， 三棱锥的表面积为， 设三棱锥的内切球半径为， 则，所以， 内切球表面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 开封高中2028届东校区9月开学调研考试 高二数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 是 或的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知是关于x的方程的一个根，则（ ） A. 2 B. 0 C. D. 3. 已知为平面，为点，为直线，下列推理中错误的是（ ） A. ，则 B. ，则直线，直线 C. ，则 D. ，且不共线，则重合 4. 某校在一次考试后，对两班的数学成绩进行分析.已知班有人，平均成绩为分，方差为；班有人，平均成绩为分，方差为.则两班全部名同学数学成绩的方差是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，内角的对边分别是，若，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知随机事件A、B、C满足，，，，则A、B、C至少有一个发生的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，点是的中点，过点的直线分别交射线，于不同的两点，．设，（，），则的最小值（ ） A. 2 B. 4 C. D. 8 8. 已知的外接圆半径为，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知，，是空间中不共线的三点，对于平面外一点，若点在平面内，且，则下列关于和的值满足条件的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 在中，角的对边分别是，下列说法正确的是（ ） A. 若，则形状不唯一 B. 是的充要条件 C. 若，则为等腰直角三角形 D. 若的面积为 ，则角C为 11. 在棱长为1的正方体中，点P在正方形内部运动（不包含边界），满足，下列命题中正确的是（ ） A. 在点运动的过程中，三棱锥的体积有最大值为 B. 在点运动的过程中，存在无数个点，使得平面截正方体的截面是等腰梯形 C. 在点运动的过程中，不存在点，使得直线平面 D. 取的中点，当点运动的过程中，一定有 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知在平面直角坐标系中，点，点在直线上．若向量在向量方向上的投影向量的模为，则点的坐标为_________． 13. 复数满足，且，则_________． 14. 享有“天下江山第一楼”美誉的黄鹤楼位于湖北武汉，地处蛇山之巅，濒临万里长江，更因历代诗人登楼作诗而名闻天下．如图，某同学为测量黄鹤楼的高度，在黄鹤楼的正东方向找到一座建筑物，高为，在地面上点处（、、三点共线）测得建筑物顶部，黄鹤楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则黄鹤楼的高度为________． 四、解答题：本题共5小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 为了普及航天知识，某校开展了“航天知识竞赛”活动，现从参加竞赛的学生中随机抽取120人，统计他们的成绩（满分100分），绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）求平均数和第一四分位数； （2）若在抽取的120名学生中，利用分层随机抽样的方法从成绩不低于80分的学生中随机抽取9人，求从成绩在，内的学生中分别抽取的人数. 16. 已知两个向量，． （1）若，求实数的值； （2）若，其中，求的最小值． 17. 某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案． 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过． 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是，，，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．求： （1）该应聘者用方案一考试通过的概率； （2）该应聘者用方案二考试通过的概率． 18. 如图，在平面四边形ABCD中，点B与点D分别在直线AC的两侧，． （1）若，，且，求； （2）若，且，求的最大值． 19. 如图，在三棱锥中，，，，点，分别是棱，上的动点（不含端点）． （1）若平面． （ⅰ）求的长度． （ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值． （2）若为的中点，且平面，求三棱锥的内切球的表面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $