第11讲 因式分解① 优等生讲义 (提公因式及公式法) 2026-2027学年人教版八年级数学上册

第11讲 因式分解①(提公因式及公式法) 优等生讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册 📌 思维导图 · 课程内容总览 🎯 课程目标 · 精准把握学习方向 理解因式分解的意义，能判断一个变形是否为因式分解 掌握公因式的确定方法，会找多项式各项的公因式 熟练运用提公因式法分解因式，注意符号变化与整体公因式 掌握平方差公式与完全平方公式，能运用公式法分解因式 能综合运用提公因式法与公式法，将多项式分解彻底 📚 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1.因式分解的意义 定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解 因式分解与整式乘法互为逆运算：左边是和差形式，右边是乘积形式 判断关键：等号右边必须是几个整式的乘积，不能有和或差 已知多项式有某因式 → 令该因式为零代入多项式等于零 概念辨析例题：概念辨析：下列变形是因式分解的是（　）A．(x+4)(x-4)=x²-16　B．x²+2x+1=x(x+2)+1　C．4m²+4m+1=(2m+1)² 解析：A 是整式乘法（和→积的反方向）；B 右边不是积的形式；C 右边是(2m+1)²即整式的积，符合因式分解定义。 ☆ 2.公因式的确定 系数：取各项系数的最大公约数 字母：取各项都含有的相同字母 指数：相同字母取最低次幂 公因式＝系数最大公约数 × 相同字母最低次幂的积 概念辨析例题：概念辨析：多项式 6a³b²-3a²b³ 的公因式是（　）A．3a²b²　B．3ab　C．3a²b　D．3a³b³ 解析：系数最大公约数 gcd(6,3)=3；相同字母 a 最低次幂 a²，b 最低次幂 b²；公因式＝3·a²·b²＝3a²b²。 ☆ 3.提公因式法 步骤：找公因式 → 提取公因式 → 括号内剩余项 注意：括号内项数与原多项式项数相同，不要漏项 首项为负时，一般先提出负号，使括号内首项系数为正 整体公因式：如 (x-y) 与 (y-x) 互为相反数，先统一再提取 概念辨析例题：概念辨析：因式分解 6x(x-y)²+3(y-x)³ 的结果是？ 解析：(y-x)³=-(x-y)³，原式=6x(x-y)²-3(x-y)³=3(x-y)²[2x-(x-y)]=3(x-y)²(x+y)。 ☆ 4.公式法（平方差与完全平方） 平方差：a²-b²=(a+b)(a-b)，适用于两项平方差 完全平方：a²±2ab+b²=(a±b)²，适用于三项式且首末平方、中间两倍积 公式逆用：判断多项式是否符合公式结构特征 整体思想：把某代数式看成整体套用公式 概念辨析例题：概念辨析：若 x²+(a+2)x+9 能用完全平方公式分解，则 a 的值是？ 解析：x²+(a+2)x+9=(x±3)²=x²±6x+9，所以 a+2=±6，得 a=4 或 a=-8。 ☆ 5.提公因式法与公式法综合 顺序：先提公因式，再用公式法，分解到不能再分为止 彻底性：如 2x²-8=2(x²-4)=2(x+2)(x-2)，不能停在 2(x²-4) 结果必须是几个整式的乘积，每个因式不能再分解 常见综合型：先提公因式后用完全平方或平方差 概念辨析例题：概念辨析：多项式 2x²-8 彻底因式分解的结果是？ 解析：先提公因式 2：2(x²-4)；再用平方差：2(x+2)(x-2)。A 选项 2(x²-4) 未分解彻底。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 因式分解 多项式→几个整式的积 与整式乘法互逆；右边必须是积 公因式 系数最大公约数×相同字母最低次幂 只取各项都含有的字母 提公因式法 pa+pb+pc=p(a+b+c) 首项负先提负号；不漏项 平方差公式 a²-b²=(a+b)(a-b) 两项平方差；符号相反 完全平方公式 a²±2ab+b²=(a±b)² 三项式；中间项是两倍积 综合分解 先提公因式再用公式 必须分解到不能再分 ⚠️ 核心考点 · 典型例题精讲 【考点1】因式分解的意义（第1-10题） 判断标准：右边是几个整式的积，与整式乘法区分 已知某因式：令该因式为零代入多项式等于零，求参数 阅读题用「试根法」：奇次项系数和=偶次项系数和 → f(-1)=0 1．（2025秋•冷水江市期末）下列从左到右的变形，是因式分解的是（　　） A．（x+4）（x﹣4）＝x2﹣16 B．x2+2x+1＝x（x+2）+1 C． D．4m2+4m+1＝（2m+1）2 2．（2025秋•邹城市期末）下列各式从左向右的变形中，是因式分解的是（　　） A．6a2b3＝2ab•3ab2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．2（x+y）＝2x+2y D．x2+2x+3＝（x+1）2+2 3．（2026•兖州区一模）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．a（a+b）＝a2+ab B．a2+2a+1＝a（a+1）+1 C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．2a2﹣6ab＝2a（a﹣3b） 4．（2025秋•南充期末）已知多项式x2﹣3x+k分解因式后有一个因式是（x﹣4），则k的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．12 D．﹣12 5．（2025秋•西城区期末）已知整式x2﹣x+k可以因式分解为（x+m）（x﹣5），则m的值为_____ ． 6．（2026春•温岭市期末）若整式x2﹣2x+□能因式分解，“□”中能填的常数为_____________ （写一个数字即可）． 7．（2026春•青羊区校级期中）已知二次三项式3x2﹣5x+k（k为常数）有一个因式是x﹣2，则另一个因式为_________ ． 8．（2024秋•同步）下列等式中，哪些从左到右的变形是因式分解？ （1）1+2x+3x2＝1+x（2+3x）； （2）3x（x+y）＝3x2+3xy； （3）6a2b+3ab2﹣ab＝ab（6a+3b﹣1）； （4）m2﹣9n2＝（m+3n）（m﹣3n）． 9．（2021秋•泉州期中）阅读理解应用： 已知多项式x4+mx3+nx﹣16含有因式（x﹣1）和（x+2），求m，n的值； 解答：设x4+mx3+nx﹣16＝A（x﹣1）（x+2）（其中A为整式） 令x﹣1＝0则x＝1，得1+m+n﹣16＝0，① 令x+2＝0则x＝﹣2，得16﹣8m﹣2n﹣16＝0，② 由①、②解得m＝﹣5，n＝20； 根据以上材料解决下列问题： （1）若多项式2x3+ax2﹣3含有因式（x+1），则实数a＝_____ ； （2）若多项式2x2﹣3x﹣k有一个因式是（2x+1），求另一个因式及k的值； （3）若多项式2x2+xy+my2+nx+2y含有因式（x+y﹣2），求实数m，n的值． 10．（2024秋•嘉定区期中）阅读下列材料，然后解答问题： 问题：因式分解：x3﹣5x2+4 解答：对于任意一元整式f（x），其奇次项系数之和为m，偶次项系数之和为n，若m＝n，则f（﹣1）＝0，若m＝﹣n，则f（1）＝0，在x3﹣5x2+4中，因为m＝1，n＝﹣5+4＝﹣1，所以把x＝1代入整式x3﹣5x2+4，得其值为0，由此确定整式x3﹣5x2+4中有因式（x﹣1），于是可设x3﹣5x2+4＝（x﹣1）（x2+px+q）分别求出p，q值，再代入x3﹣5x2+4＝（x﹣1）（x2+px+q），就可以把整式x3﹣5x2+4因式分解，这种因式分解的方法叫做“试根法”． （1）上述式子中P＝_______ ，q＝_______ ； （2）对于一元整式x3+6x2+11x+6，必定有f（_______ ）＝0； （3）请你用“试根法”分解因式：x3+6x2+11x+6． 【考点2】公因式（第11-16题） 三步确定：系数最大公约数 → 相同字母 → 最低次幂 注意字母不一定是 a、b，可能是 x、y、z 或组合 公因式可能是数字、字母或多项式整体 11．（2025秋•无为市期末）将多项式6a3b2﹣3a2b3因式分解时，应提取的公因式是（　　） A．3a2b2 B．3ab C．3a2b D．3a3b3 12．（2026春•皇姑区期末）多项式2x3y2+3x4y3﹣6x2y中，各项的公因式是（　　） A．xy B．x2y C．2x2y D．3x2y 13．（2026春•雁塔区校级期中）下列多项式的各项中，公因式是a的是（　　） A．ax+ay+5 B．3ma﹣3ma2 C．4a2+10ab D．a2﹣2a+ma 14．（2025秋•南昌期末）多项式3a3b2﹣6a2c的公因式是________ ． 15．（2025秋•武威校级期末）多项式4x3y2﹣10y3z2+6x2yz2各项的公因式是_______ ． 16．（2025秋•甘肃校级期末）多项式12a3b2c﹣18a2b3c2的公因式是___________ ． 【考点3】提公因式法（第17-24题） 整体代入求值：先提公因式再代入已知值 (x-y)与(y-x)互为相反数，提公因式前先统一符号 括号内项数不变，常数项也要乘 17．（2024春•月湖区期末）如图，边长为a，b的长方形的周长为10，面积为6，则a2b+ab2的值为（　　） A．60 B．30 C．20 D．15 18．（2026春•锦江区校级月考）多项式（1﹣a）xy+（a﹣1）因式分解的结果正确的是（　　） A．（1﹣a）（xy+1） B．（1﹣a）（xy﹣1） C．（a﹣1）（xy﹣1） D．（a﹣1）（xy+1） 19．（2026•隆安县三模）多项式xy2﹣y因式分解，正确的是（　　） A．x（y2﹣y） B．y（xy﹣1） C．y（xy+1） D．x（xy+y） 20．（2026•扶沟县模拟）因式分解：a（x﹣1）﹣3（x﹣1）＝_______________ ． 21．（2025秋•衡南县期末）已知，xy＝3，则x2y﹣xy2＝__________________ ． 22．（2024秋•东莞市期末）分解因式：﹣2x2+32x﹣128． 23．（2025秋•宝山区校级期中）因式分解：6x（x﹣y）2+3（y﹣x）3． 24．（2025春•同步）因式分解：4a（x+y）2﹣2（y+x）2． 晓蒙的解题思路如下： y）2•（4a﹣2）． 请问晓蒙的思路正确吗？如果不正确，请指出来并将正确的解题过程写出来． 【考点4】运用公式法（第25-34题） 平方差识别：两项、符号相反、各为平方 完全平方识别：三项、首末平方、中间两倍积 整体思想：把多项式看成整体套用公式 25．（2025秋•川汇区校级期末）下列多项式，①x2+y2，②﹣x2+y2，③x2﹣y2+2xy，④﹣x2﹣y2+2xy能用公式法分解因式的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 26．（2026•柳江区模拟）下列各多项式中，能直接用平方差公式分解因式的是（　　） A．a2+9 B．﹣a2+9 C．﹣a2﹣9 D．a2﹣6a+9 27．（2025秋•宁乡市期末）若x2+（a+2）x+9能用完全平方公式进行因式分解，则常数a的值是（　　） A．﹣4或8 B．4 C．﹣8 D．4或﹣8 28．（2025秋•淄川区期中）若多项式p2+1+Δ能直接用完全平方公式进行因式分解，则“Δ”所代表的单项式不可以是（　　） A．2p B．﹣2p C． D． 29．（2026•涪城区一模）因式分解：（y2﹣8）2﹣64＝_________________ ． 30．（2026•运城三模）因式分解：9a2﹣6a+1＝____________ ． 31．（2025秋•青浦区校级期中）若整式9x2+1加上一个单项式后，能用完全平方公式分解因式，则加上的单项式是____________________ ． 32．（2026春•上海校级月考）将下列多项式进行因式分解． （1）x2﹣9y2； （2）x2﹣x4； （3）m2+2n2． 33．（2025秋•西丰县期末）仔细分析例题，领会其中的思想方法：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1． 解：将“x+y”看成整体，令x+y＝P，则原式＝P2+2P+1＝（P+1）2，再将“P”还原，得原式＝（x+y+1）2． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）因式分解：（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1＝ _____________ ； （2）因式分解（a2﹣4a）2+8（a2﹣4a）+16． 34．（2025秋•金山区期中）m4﹣18m2+81． 【考点5】提公因式与公式法综合（第35-40题） 先提公因式，再用公式法，分解要彻底 首项为负先提负号，括号内各项变号 结果检查：每个因式是否还能继续分解 35．（2025秋•铜仁市期中）多项式2x2﹣8彻底因式分解的结果是（　　） A．2（x2﹣4） B．2（x+4）（x﹣4） C．（2x+2）（x﹣4） D．2（x+2）（x﹣2） 36．（2025秋•泰山区期末）因式分解：﹣8xy+4x2+4y2＝____________ ． 37．（2026•白银模拟）因式分解18x2y﹣12xy+2y＝ ______________ ． 38．（2026秋•同步）把﹣4m3+12m2﹣6m因式分解． 39．（2026春•西安期末）分解因式：﹣4a3+12a2﹣9a． 40．（2025秋•安定区期末）因式分解：a2（m﹣2）+b2（2﹣m）． 💯 课后巩固 【作业 1】（2026春•达川区期末）下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的是（　　） A．a（x+y）＝ax+ay B．x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3x C．5x2+10x＝5x（x+2） D．x2﹣4x﹣4＝（x﹣2）2 【作业 2】（2025秋•平安区期末）将3a（x﹣y）﹣9b（x﹣y）用提公因式法分解因式，应提的公因式是（　　） A．3a﹣b B．x﹣y C．3（x﹣y） D．3a+b 【作业 3】（2025秋•下陆区期末）下列因式分解正确的是（　　） A．2mn2﹣2m＝2m（n2﹣1） B．4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2 C．4x2﹣6xy+9y2＝（2x﹣3y）2 D．a2+ab+a＝a（a+b） 【作业 4】（2025秋•金山区校级期末）已知整式x2﹣x+k可以因式分解为（x+m）（x﹣5），则k的值为________ ． 【作业 5】（2023•柳州自主招生）已知多项式x2+bx+c（其中b，c是常数）既是多项式x4+6x2+25的因式，也是多项式3x4+4x2+28x+5的因式，则当x＝1时，x2+bx+c的值为_____ ． 【作业 6】（2025秋•江油市期末）用提公因式法分解27x3y5+18x2y7时，应提出的公因式__________ ． 【作业 7】（2026•武宁县二模）分解因式：4m2﹣16＝________________ ． 【作业 8】（2025秋•如皋市校级期末）分解因式：a2（b+c）﹣4（b+c）的结果是 ____________________ ． 【作业 9】（2026秋•同步）分解因式： （1）2mn2+mn； （2）6xy2﹣8x2y3； （3）6a2b+9ab2﹣15ab； （4）3m2n﹣3mn+6n； （5）4x2y3+8x3y2+12x4y； （6）2m（x﹣y）﹣3n（x﹣y）； （7）2a（a﹣b）2﹣（a﹣b）3； （8）x2（3y﹣6）+x（6﹣3y）． 【作业 10】（2025秋•松原期末）因式分解： （1）x2+6x+9； （2）m3﹣4m． 【作业 11】（2026春•淳化县校级期末）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到a2+2ab+b2＝（a+b）2． （1）观察图2，请用两种不同的方法表示图2中大长方形的面积，并写成因式分解的形式； （2）在图2中，若大长方形的周长为30，且ab＝6，求阴影部分的面积． 【作业 12】（2026秋•同步）问题探究：数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．例如：我们可以通过表示几何图形面积的方法来快速地对多项式a2+2ab+b2进行因式分解． 如图（1）所示的边长为（a+b）的大正方形是由1张边长为a的正方形卡片A，1张边长为b的正方形卡片B，2张邻边长分别为a，b的长方形卡片C组成的，这个图形的面积可以表示成a2+2ab+b2或（a+b）2，从而验证a2+2ab+b2＝（a+b）2． （1）如图（2），用1张正方形卡片A，2张长方形卡片C拼成一个长方形，可以验证多项式的因式分解为___________________ ； （2）某数学兴趣小组的同学用若干张卡片A、B、C，开展对多项式因式分解的几何验证活动： ①他们利用若干张卡片A、B、C拼成图（3）中的长方形，你认为他们想验证多项式的因式分解为____________________ ； ②请你类比上述方法对多项式3a2+4ab+b2进行因式分解，要求画出因式分解的图形，标出各边的长度； ③问题②中，某同学发现他们所拼成的长方形面积为45，并且a，b均为正整数，请分别求出a，b的长． 【作业 13】（2025秋•威信县月考）我们把形如a2±2ab+b2的式子称为完全平方式．若一个多项式不是完全平方式，可通过“先添加适当项构造完全平方式，再减去该项保持式子的值不变”的方法变形，这就是配方法．配方法可用于因式分解、求代数式最值或解决一些与非负数相关的问题等．例如： 例1．因式分解：m2+8m+7． 解：原式＝（m2+8m+16）﹣16+7＝（m+4）2﹣9＝（m+4+3）（m+4﹣3）＝（m+7）（m+1）． 例2．求式子m2+8m+7的最小值． 解：原式＝（m+4）2﹣9， ∵（m+4）2≥0， ∴（m+4）2﹣9≥﹣9， ∴当m＝﹣4时，m2+8m+7有最小值﹣9． 请根据阅读材料解决下列问题： （1）因式分解：m2﹣6m﹣7＝_______________ ；（直接写出结果） 当m＝_____ 时，多项式m2﹣6m﹣7有最小值，这个最小值是________ ； （2）已知m，n，p为某三角形的三边长，且满足2m2+n2+p2﹣12m﹣8n﹣10p+59＝0，求该三角形的周长． ❤复习建议 牢记因式分解与整式乘法互为逆运算：左边和差、右边乘积 提公因式三步走：系数最大公约数→相同字母→最低次幂 公式法先识别结构：平方差两项符号相反；完全平方三项首末平方中间两倍积 综合题顺序：先提公因式再用公式，必须分解到每个因式都不能再分 已知某因式求参数：令该因式为零代入多项式等于零解方程 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 因式分解①(提公因式及公式法) 优等生讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 · 课程内容总览 🎯 课程目标 · 精准把握学习方向 理解因式分解的意义，能判断一个变形是否为因式分解 掌握公因式的确定方法，会找多项式各项的公因式 熟练运用提公因式法分解因式，注意符号变化与整体公因式 掌握平方差公式与完全平方公式，能运用公式法分解因式 能综合运用提公因式法与公式法，将多项式分解彻底 📚 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1.因式分解的意义 定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解 因式分解与整式乘法互为逆运算：左边是和差形式，右边是乘积形式 判断关键：等号右边必须是几个整式的乘积，不能有和或差 已知多项式有某因式 → 令该因式为零代入多项式等于零 概念辨析例题：概念辨析：下列变形是因式分解的是（　）A．(x+4)(x-4)=x²-16　B．x²+2x+1=x(x+2)+1　C．4m²+4m+1=(2m+1)² 解析：A 是整式乘法（和→积的反方向）；B 右边不是积的形式；C 右边是(2m+1)²即整式的积，符合因式分解定义。 ☆ 2.公因式的确定 系数：取各项系数的最大公约数 字母：取各项都含有的相同字母 指数：相同字母取最低次幂 公因式＝系数最大公约数 × 相同字母最低次幂的积 概念辨析例题：概念辨析：多项式 6a³b²-3a²b³ 的公因式是（　）A．3a²b²　B．3ab　C．3a²b　D．3a³b³ 解析：系数最大公约数 gcd(6,3)=3；相同字母 a 最低次幂 a²，b 最低次幂 b²；公因式＝3·a²·b²＝3a²b²。 ☆ 3.提公因式法 步骤：找公因式 → 提取公因式 → 括号内剩余项 注意：括号内项数与原多项式项数相同，不要漏项 首项为负时，一般先提出负号，使括号内首项系数为正 整体公因式：如 (x-y) 与 (y-x) 互为相反数，先统一再提取 概念辨析例题：概念辨析：因式分解 6x(x-y)²+3(y-x)³ 的结果是？ 解析：(y-x)³=-(x-y)³，原式=6x(x-y)²-3(x-y)³=3(x-y)²[2x-(x-y)]=3(x-y)²(x+y)。 ☆ 4.公式法（平方差与完全平方） 平方差：a²-b²=(a+b)(a-b)，适用于两项平方差 完全平方：a²±2ab+b²=(a±b)²，适用于三项式且首末平方、中间两倍积 公式逆用：判断多项式是否符合公式结构特征 整体思想：把某代数式看成整体套用公式 概念辨析例题：概念辨析：若 x²+(a+2)x+9 能用完全平方公式分解，则 a 的值是？ 解析：x²+(a+2)x+9=(x±3)²=x²±6x+9，所以 a+2=±6，得 a=4 或 a=-8。 ☆ 5.提公因式法与公式法综合 顺序：先提公因式，再用公式法，分解到不能再分为止 彻底性：如 2x²-8=2(x²-4)=2(x+2)(x-2)，不能停在 2(x²-4) 结果必须是几个整式的乘积，每个因式不能再分解 常见综合型：先提公因式后用完全平方或平方差 概念辨析例题：概念辨析：多项式 2x²-8 彻底因式分解的结果是？ 解析：先提公因式 2：2(x²-4)；再用平方差：2(x+2)(x-2)。A 选项 2(x²-4) 未分解彻底。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 因式分解 多项式→几个整式的积 与整式乘法互逆；右边必须是积 公因式 系数最大公约数×相同字母最低次幂 只取各项都含有的字母 提公因式法 pa+pb+pc=p(a+b+c) 首项负先提负号；不漏项 平方差公式 a²-b²=(a+b)(a-b) 两项平方差；符号相反 完全平方公式 a²±2ab+b²=(a±b)² 三项式；中间项是两倍积 综合分解 先提公因式再用公式 必须分解到不能再分 【考点1】因式分解的意义（第1-10题） 判断标准：右边是几个整式的积，与整式乘法区分 已知某因式：令该因式为零代入多项式等于零，求参数 阅读题用「试根法」：奇次项系数和=偶次项系数和 → f(-1)=0 1．（2025秋•冷水江市期末）下列从左到右的变形，是因式分解的是（　　） A．（x+4）（x﹣4）＝x2﹣16 B．x2+2x+1＝x（x+2）+1 C． D．4m2+4m+1＝（2m+1）2 【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此逐项判断即可． 【解答】解：（x+4）（x﹣4）＝x2﹣16是乘法运算，则A不符合题意， x2+2x+1＝x（x+2）+1中等号右边不是积的形式，则B不符合题意， 中不是整式，则C不符合题意， 4m2+4m+1＝（2m+1）2符合因式分解的定义，则D符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键． 2．（2025秋•邹城市期末）下列各式从左向右的变形中，是因式分解的是（　　） A．6a2b3＝2ab•3ab2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．2（x+y）＝2x+2y D．x2+2x+3＝（x+1）2+2 【分析】根据因式分解的意义（把一个多项式化成几个整式的积的形式，这个过程叫因式分解）逐个判断即可． 【解答】解：A、6a2b3＝2ab•3ab2，左边是单项式，不是因式分解，不符合题意； B、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），是因式分解，符合题意； C、2（x+y）＝2x+2y是多项式的乘法，不符合题意； D、x2+2x+3＝（x+1）2+2，不是因式分解，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题主要考查因式分解的判断，理解题意，熟练掌握因式分解的意义是解题关键． 3．（2026•兖州区一模）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．a（a+b）＝a2+ab B．a2+2a+1＝a（a+1）+1 C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．2a2﹣6ab＝2a（a﹣3b） 【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可． 【解答】解：A．是整式的乘法，不是因式分解，故本选项错误，不符合题意； B．右边不是积的形式，不是因式分解，故本选项错误，不符合题意； C．是整式的乘法，不是因式分解，故本选项错误，不符合题意； D．符合因式分解的定义，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了因式分解的意义，关键是熟练掌握定义，区别开整式的乘除运算． 4．（2025秋•南充期末）已知多项式x2﹣3x+k分解因式后有一个因式是（x﹣4），则k的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．12 D．﹣12 【分析】因多项式有一个因式是（x﹣4），则当x＝4时，多项式的值为零，由此得出关于k的方程，求出方程的解即可． 【解答】解：当x＝4时，多项式值为零，即42﹣3×4+k＝0， 解得k＝﹣4， 即k的值为﹣4． 故选：B． 【点评】本题考查了因式分解和多项式乘多项式，能得出关于k的方程是解此题的关键． 5．（2025秋•西城区期末）已知整式x2﹣x+k可以因式分解为（x+m）（x﹣5），则m的值为　4　 ． 【分析】将因式分解形式展开后与原多项式比较系数，建立方程求解． 【解答】解：x2﹣x+k＝x2+（m﹣5）x﹣5m， ∴m﹣5＝﹣1， ∴m＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查的是根据因式分解的结果求参数，熟练掌握该知识点是关键． 6．（2026春•温岭市期末）若整式x2﹣2x+□能因式分解，“□”中能填的常数为　1（答案不唯一）　 （写一个数字即可）． 【分析】根据题意填一个符合题意的值即可． 【解答】解：x2﹣2x+1＝（x﹣1）2， 则“□”中能填的常数为1， 故答案为：1（答案不唯一）． 【点评】本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键． 7．（2026春•青羊区校级期中）已知二次三项式3x2﹣5x+k（k为常数）有一个因式是x﹣2，则另一个因式为　3x+1　 ． 【分析】利用已知结合因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，假设出另一个因式，进而得出方程组，可得答案． 【解答】解：设另一个因式为（3x+a），得3x2﹣5x+k＝（x﹣2）（3x+a）， 则3x2﹣5x+k＝3x2+（a﹣6）x﹣2a， ∴， 解得， ∴另一个因式为3x+1． 故答案为：3x+1． 【点评】此题主要考查了十字相乘法因式分解以及解二元一次方程组，正确假设出另一个因式是解题的关键． 8．（2024秋•同步）下列等式中，哪些从左到右的变形是因式分解？ （1）1+2x+3x2＝1+x（2+3x）； （2）3x（x+y）＝3x2+3xy； （3）6a2b+3ab2﹣ab＝ab（6a+3b﹣1）； （4）m2﹣9n2＝（m+3n）（m﹣3n）． 【分析】（1）根据因式分解的定义进行判断即可； （2）根据因式分解的定义进行判断即可； （3）根据因式分解的定义进行判断即可； （4）根据因式分解的定义进行判断即可． 【解答】解：（1）1+2x+3x2＝1+x（2+3x）中，等号右边不是积的形式，它不是因式分解； （2）3x（x+y）＝3x2+3xy是乘法运算，它不是因式分解； （3）6a2b+3ab2﹣ab＝ab（6a+3b﹣1）符合因式分解的定义，它是因式分解； （4）m2﹣9n2＝（m+3n）（m﹣3n）符合因式分解的定义，它是因式分解． 【点评】本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键． 9．（2021秋•泉州期中）阅读理解应用： 已知多项式x4+mx3+nx﹣16含有因式（x﹣1）和（x+2），求m，n的值； 解答：设x4+mx3+nx﹣16＝A（x﹣1）（x+2）（其中A为整式） 令x﹣1＝0则x＝1，得1+m+n﹣16＝0，① 令x+2＝0则x＝﹣2，得16﹣8m﹣2n﹣16＝0，② 由①、②解得m＝﹣5，n＝20； 根据以上材料解决下列问题： （1）若多项式2x3+ax2﹣3含有因式（x+1），则实数a＝　5　 ； （2）若多项式2x2﹣3x﹣k有一个因式是（2x+1），求另一个因式及k的值； （3）若多项式2x2+xy+my2+nx+2y含有因式（x+y﹣2），求实数m，n的值． 【分析】（1）设多项式2x3+ax2﹣3＝M（x+1），将x＝﹣1代入即可求出a的值； （2）设另一个因式为（x+n），根据多项式乘多项式法则展开得出2x2﹣3x﹣k＝2x2+（2n+1）x+n，得出方程组，求出方程组的解即可； （3）设多项式2x2+xy+my2+nx+2y＝N（x+y﹣2），将x＝0，y＝2代入可求出m的值，再将x＝1，y＝1代入可求出n的值． 【解答】解：（1）设2x3+ax2﹣3＝M（x+1）（其中M为整式）， ∴取x＝﹣1，得﹣2+a﹣3＝0； 解得a＝5， 故答案为：5； （2）设另一个因式为（2x+n）， 则2x2﹣3x﹣k＝（x+n）（2x+1），即2x2﹣3x﹣k＝2x2+（2n+1）x+n， 所以， 解得， 所以k的值为2，另一个因式为（x﹣2）； （3）设2x2+xy+my2+nx+2y＝N（x+y﹣2）（其中N为整式）； ∴取x＝0，y＝2，得4m+4＝0①； 取x＝1，y＝1，得2+1+m+n+2＝0②； 由①②得m＝﹣1，n＝﹣4． 【点评】本题考查了因式分解的意义，正确理解因式分解与整式的乘法互为逆运算是关键． 10．（2024秋•嘉定区期中）阅读下列材料，然后解答问题： 问题：因式分解：x3﹣5x2+4 解答：对于任意一元整式f（x），其奇次项系数之和为m，偶次项系数之和为n，若m＝n，则f（﹣1）＝0，若m＝﹣n，则f（1）＝0，在x3﹣5x2+4中，因为m＝1，n＝﹣5+4＝﹣1，所以把x＝1代入整式x3﹣5x2+4，得其值为0，由此确定整式x3﹣5x2+4中有因式（x﹣1），于是可设x3﹣5x2+4＝（x﹣1）（x2+px+q）分别求出p，q值，再代入x3﹣5x2+4＝（x﹣1）（x2+px+q），就可以把整式x3﹣5x2+4因式分解，这种因式分解的方法叫做“试根法”． （1）上述式子中P＝　﹣4　 ，q＝　﹣4　 ； （2）对于一元整式x3+6x2+11x+6，必定有f（　﹣1　 ）＝0； （3）请你用“试根法”分解因式：x3+6x2+11x+6． 【分析】（1）根据多项式乘多项式的运算法则计算（x﹣1）（x2+px+q），结合已知可得出关于p，q的方程，解方程即可； （2）根据题意，分别求出奇次项系数之和和偶次项系数之和，即可得出答案； （3）根据“试根法”分解即可． 【解答】解：（1）∵x3﹣5x2+4 ＝（x﹣1）（x2+px+q） ＝x3+px2+qx﹣x2﹣px﹣q ＝x3+（p﹣1）x2+（q﹣p）x﹣q， ∴p﹣1＝﹣5，﹣q＝4， ∴p＝﹣4，q＝﹣4． 故答案为：﹣4，﹣4； （2）∵x3+6x2+11x+6的奇次项系数之和为1+11＝12，偶次项系数之和为6+6＝12， 则f（﹣1）＝0． 故答案为：﹣1； （3）把x＝﹣1代入x3+6x2+11x+6，得﹣1+6﹣11+6＝0， ∴x3+6x2+11x+6＝（x+1）（x2+ax+b） ＝x3+ax2+bx+x2+ax+b ＝x3+（a+1）x2+（a+b）x+b， ∴a+1＝6，b＝6， 解得：a＝5，b＝6， ∴x3+6x2+11x+6＝（x+1）（x2+5x+6）＝（x+1）（x+2）（x+3）． 【点评】本题考查了因式分解的意义，新定义，读懂题目信息并熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【考点2】公因式（第11-16题） 三步确定：系数最大公约数 → 相同字母 → 最低次幂 注意字母不一定是 a、b，可能是 x、y、z 或组合 公因式可能是数字、字母或多项式整体 11．（2025秋•无为市期末）将多项式6a3b2﹣3a2b3因式分解时，应提取的公因式是（　　） A．3a2b2 B．3ab C．3a2b D．3a3b3 【分析】在找公因式时，一找系数的最大公约数，二找相同字母的最低次幂，据此即可求解． 【解答】解：6a3b2﹣3a2b3因式分解时，应提取的公因式是3a2b2， 故选：A． 【点评】本题主要考查公因式的确定，熟练掌握该知识点是关键． 12．（2026春•皇姑区期末）多项式2x3y2+3x4y3﹣6x2y中，各项的公因式是（　　） A．xy B．x2y C．2x2y D．3x2y 【分析】确定多项式的公因式，从系数的最大公约数、各项共有的相同字母、相同字母的最低次幂这三方面分析组合． 【解答】解：多项式2x3y2+3x4y3﹣6x2y各项的公因式是x2y． 故答案为：B． 【点评】本题考查多项式公因式的确定方法，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键． 13．（2026春•雁塔区校级期中）下列多项式的各项中，公因式是a的是（　　） A．ax+ay+5 B．3ma﹣3ma2 C．4a2+10ab D．a2﹣2a+ma 【分析】根据公因式的定义，分别对每一个选项进行判断即可． 【解答】解：ax+ay+5没有公因式，故A不符合题意； 3ma﹣3ma2的公因式是3ma，故B不符合题意； 4a2+10ab的公因式是2a，故C不符合题意； a2﹣2a+ma的公因式是a，故D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查公因式，熟练掌握公因式的定义是解题的关键． 14．（2025秋•南昌期末）多项式3a3b2﹣6a2c的公因式是　3a2 ． 【分析】系数部分：系数3和6的最大公约数是3；字母部分：a的最小指数为2，故公因式为3a2． 【解答】解：多项式3a3b2﹣6a2c的公因式是3a2． 故答案为：3a2． 【点评】本题考查了公因式，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键． 15．（2025秋•武威校级期末）多项式4x3y2﹣10y3z2+6x2yz2各项的公因式是　2y ． 【分析】根据公因式的定义，找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后即可确定公因式2y，即可求解． 【解答】解：∵多项式系数的最大公约数是2，相同字母的最低指数次幂y， ∴该多项式的公因式为2y， 故答案为：2y． 【点评】本题考查多项式的公因式，掌握多项式每项公因式的求法是解题的关键． 16．（2025秋•甘肃校级期末）多项式12a3b2c﹣18a2b3c2的公因式是　6a2b2c ． 【分析】一个多项式的公因式是这个多项式各项系数的最大公约数与各项都含有的字母的最低次幂的积，据此求解即可． 【解答】解：系数12和18的最大公约数是6；字母部分，a的最小指数为2，b的最小指数为2，c的最小指数为1， 故多项式12a3b2c﹣18a2b3c2的公因式为6a2b2c， 故答案为：6a2b2c． 【点评】本题主要考查了求多项式的公因式，正确记忆相关知识点是解题关键． 【考点3】提公因式法（第17-24题） 整体代入求值：先提公因式再代入已知值 (x-y)与(y-x)互为相反数，提公因式前先统一符号 括号内项数不变，常数项也要乘 17．（2024春•月湖区期末）如图，边长为a，b的长方形的周长为10，面积为6，则a2b+ab2的值为（　　） A．60 B．30 C．20 D．15 【分析】根据长方形的周长、面积公式得出2（a+b）＝10，ab＝6，再将要求的代数式先提取公因式，然后代入计算即可得出答案． 【解答】解：由题意得，2（a+b）＝10，ab＝6， ∴a+b＝5， ∴a2b+ab2 ＝ab（a+b） ＝6×5 ＝30， 故选：B． 【点评】本题考查了因式分解﹣提取公因式法，代数式求值，熟练掌握利用提取公因式法分解因式是解题的关键． 18．（2026春•锦江区校级月考）多项式（1﹣a）xy+（a﹣1）因式分解的结果正确的是（　　） A．（1﹣a）（xy+1） B．（1﹣a）（xy﹣1） C．（a﹣1）（xy﹣1） D．（a﹣1）（xy+1） 【分析】利用因式分解﹣提公因式法进行分解，即可解答． 【解答】解：（1﹣a）xy+（a﹣1） ＝（1﹣a）xy﹣（1﹣a） ＝（1﹣a）（xy﹣1）， 故选：B． 【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握因式分解﹣提公因式法是解题的关键． 19．（2026•隆安县三模）多项式xy2﹣y因式分解，正确的是（　　） A．x（y2﹣y） B．y（xy﹣1） C．y（xy+1） D．x（xy+y） 【分析】首先确定公因式，然后提取公因式即可． 【解答】解：xy2﹣y＝y（xy﹣1）． 故选：B． 【点评】本题考查了提公因式法进行因式分解，确定公因式，正确提取公因式是解题的关键． 20．（2026•扶沟县模拟）因式分解：a（x﹣1）﹣3（x﹣1）＝　（x﹣1）（a﹣3）　 ． 【分析】先确定公因式，再提取即可． 【解答】解：a（x﹣1）﹣3（x﹣1）＝（x﹣1）（a﹣3）， 故答案为：（x﹣1）（a﹣3）． 【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键． 21．（2025秋•衡南县期末）已知，xy＝3，则x2y﹣xy2＝　　 ． 【分析】先将原式进行因式分解，再由题目已知整体代入求解即可． 【解答】解：x2y﹣xy2＝xy（x﹣y）， 由条件可知： 原式． 故答案为：． 【点评】本题考查了因式分解以及整体代入求值，将原式因式分解是解决本题的关键． 22．（2024秋•东莞市期末）分解因式：﹣2x2+32x﹣128． 【分析】先提负号，再题最大公约数2，然后利用完全平方公式分解因式． 【解答】解：：﹣2x2+32x﹣128＝﹣2（x2﹣16x+64）＝﹣2（x﹣8）2． 【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数． 23．（2025秋•宝山区校级期中）因式分解：6x（x﹣y）2+3（y﹣x）3． 【分析】利用提公因式法进行分解，即可解答． 【解答】解：6x（x﹣y）2+3（y﹣x）3 ＝6x（x﹣y）2﹣3（x﹣y）3 ＝3（x﹣y）2[2x﹣（x﹣y）] ＝3（x﹣y）2（x+y）． 【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握因式分解﹣提公因式法是解题的关键． 24．（2025春•同步）因式分解：4a（x+y）2﹣2（y+x）2． 晓蒙的解题思路如下： y）2•（4a﹣2）． 请问晓蒙的思路正确吗？如果不正确，请指出来并将正确的解题过程写出来． 【分析】根据提公因式法分解因式即可． 【解答】解：晓蒙的思路不正确，提公因式错了， 正确过程为：原式＝2（x+y）2（2a﹣1）． 【点评】此题主要考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提公因式法进行因式分解的方法是解决问题的关键． 【考点4】运用公式法（第25-34题） 平方差识别：两项、符号相反、各为平方 完全平方识别：三项、首末平方、中间两倍积 整体思想：把多项式看成整体套用公式 25．（2025秋•川汇区校级期末）下列多项式，①x2+y2，②﹣x2+y2，③x2﹣y2+2xy，④﹣x2﹣y2+2xy能用公式法分解因式的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】逐个分析每个多项式是否满足公式条件即可． 【解答】解：根据公式法分解因式逐项分析判断如下： ①x2+y2为平方和，无公式可分解，不符合题意； ②﹣x2+y2＝y2﹣x2＝（y+x）（y﹣x），可用平方差公式，符合题意； ③x2﹣y2+2xy不符合完全平方或平方差公式结构，无法用公式法分解，不符合题意； ④﹣x2﹣y2+2xy＝﹣（x2+y2﹣2xy）＝﹣（x﹣y）2，可用完全平方公式，符合题意； 能用公式法分解的有②和④，共2个． 故选：B． 【点评】本题考查公式法分解因式．熟练掌握该知识点是关键． 26．（2026•柳江区模拟）下列各多项式中，能直接用平方差公式分解因式的是（　　） A．a2+9 B．﹣a2+9 C．﹣a2﹣9 D．a2﹣6a+9 【分析】根据平方差公式的结构特征判断即可． 【解答】解：A、不能用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意； B、﹣a2+9＝9﹣a2＝（3+a）（3﹣a），故此选项符合题意； C、﹣a2﹣9＝﹣（a2+9），不能用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意； D、不能用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 27．（2025秋•宁乡市期末）若x2+（a+2）x+9能用完全平方公式进行因式分解，则常数a的值是（　　） A．﹣4或8 B．4 C．﹣8 D．4或﹣8 【分析】根据题意得x2+（a+2）x+9＝（x±3）2，再计算即可． 【解答】解：根据题意得x2+（a+2）x+9＝（x±3）2， ∵（x±3）2＝x2±6x+9， ∴a+2＝±6， ∴a＝4或a＝﹣8， 故选：D． 【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 28．（2025秋•淄川区期中）若多项式p2+1+Δ能直接用完全平方公式进行因式分解，则“Δ”所代表的单项式不可以是（　　） A．2p B．﹣2p C． D． 【分析】把每个选项中的式子代入，看看是否能用完全平方公式分解因式即可． 【解答】解：A、p2+1+2p＝（p+1）2，故此选项不符合题意； B、p2+1﹣2p＝（p﹣1）2，故此选项不符合题意； C、p2+1，故此选项不符合题意； D、p2+1，不能用完全平方公式分解因式，故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，单项式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 29．（2026•涪城区一模）因式分解：（y2﹣8）2﹣64＝y2（y+4）（y﹣4）　 ． 【分析】运用平方差公式进行因式分解即可． 【解答】解：（y2﹣8）2﹣64＝（y2﹣8+8）（y2﹣8﹣8）＝y2（y2﹣16）＝y2（y+4）（y﹣4）， 故答案为：y2（y+4）（y﹣4）． 【点评】本题考查了运用公式法进行因式分解．熟练掌握平方差公式进行因式分解是解题的关键． 30．（2026•运城三模）因式分解：9a2﹣6a+1＝　（3a﹣1）2 ． 【分析】运用完全平方公式进行因式分解，即可作答． 【解答】解：依题意，9a2﹣6a+1＝（3a﹣1）2． 故答案为：（3a﹣1）2． 【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，解题的关键是掌握公式法因式分解． 31．（2025秋•青浦区校级期中）若整式9x2+1加上一个单项式后，能用完全平方公式分解因式，则加上的单项式是　6x或﹣6x或　 ． 【分析】根据完全平方公式的结构特征，分情况讨论，确定符合条件的单项式即可． 【解答】解：分两种情况讨论： ①当9x2和1分别为完全平方中的两个平方项时， 9x2＝（3x）2，1＝12，中间项为±2•3x•1＝±6x， ∴整式9x2+1可以加上的单项式为：6x或﹣6x； ②当1为其中一个平方项，9x2为中间项时，设所加的单项式为A2， 则， 解得：， ∴整式9x2+1加上的单项式为：， 综上，符合条件的单项式为：6x或﹣6x或． 故答案为：6x或﹣6x或． 【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，单项式，掌握因式分解的方法是关键． 32．（2026春•上海校级月考）将下列多项式进行因式分解． （1）x2﹣9y2； （2）x2﹣x4； （3）m2+2n2． 【分析】（1）利用平方差公式因式分解即可； （2）提公因式后利用平方差公式因式分解即可； （3）提公因式后利用平方差公式因式分解即可． 【解答】解：（1）原式＝（x+3y）（x﹣3y）； （2）原式＝x2（1﹣x2） ＝x2（1+x）（1﹣x）； （3）原式（m2﹣4n2） （m+2n）（m﹣2n）． 【点评】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 33．（2025秋•西丰县期末）仔细分析例题，领会其中的思想方法：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1． 解：将“x+y”看成整体，令x+y＝P，则原式＝P2+2P+1＝（P+1）2，再将“P”还原，得原式＝（x+y+1）2． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）因式分解：（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1＝ 　（x﹣y﹣1）2 ； （2）因式分解（a2﹣4a）2+8（a2﹣4a）+16． 【分析】（1）令x﹣y＝m，代入原式，用完全平方公式化简，再将m还原，即可求解； （2）a2﹣4a＝n，代入原式，用完全平方公式化简，将n还原，再用完全平方公式化简，即可求解． 【解答】解：（1）令x﹣y＝m， 则（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1 ＝m2﹣2m+1 ＝（m﹣1）2， 将m＝x﹣y代入，得原式＝（x﹣y﹣1）2． 故答案为：（x﹣y﹣1）2； （2）令a2﹣4a＝n， 则（a2﹣4a）2+8（a2﹣4a）+16 ＝n2+8n+16 ＝（n+4）2， 原式＝（a2﹣4a+4）2 ＝（a﹣2）4． 【点评】本题考查了因式分解，掌握完全平方公式和题目中的整体思想是解题的关键． 34．（2025秋•金山区期中）m4﹣18m2+81． 【分析】利用公式法因式分解即可． 【解答】解：m4﹣18m2+81 ＝（m2﹣9）2 ＝（m+3）2（m﹣3）2． 【点评】本题考查因式分解﹣公式法，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键． 【考点5】提公因式与公式法综合（第35-40题） 先提公因式，再用公式法，分解要彻底 首项为负先提负号，括号内各项变号 结果检查：每个因式是否还能继续分解 35．（2025秋•铜仁市期中）多项式2x2﹣8彻底因式分解的结果是（　　） A．2（x2﹣4） B．2（x+4）（x﹣4） C．（2x+2）（x﹣4） D．2（x+2）（x﹣2） 【分析】先提取公因数2，再利用平方差公式进行彻底因式分解． 【解答】解：2x2﹣8 ＝2（x2﹣4） ＝2（x2﹣22） ＝2（x+2）（x﹣2）， 故选：D． 【点评】本题考查了分解因式，正确应用公式是解题关键． 36．（2025秋•泰山区期末）因式分解：﹣8xy+4x2+4y2＝　4（x﹣y）2 ． 【分析】先提取公因式再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【解答】解：原式＝4x2﹣8xy+4y2 ＝4（x2﹣2xy+y2） ＝4（x﹣y）2． 故答案为：4（x﹣y）2． 【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，掌握因式分解的方法是关键． 37．（2026•白银模拟）因式分解18x2y﹣12xy+2y＝ 　2y（3x﹣1）2 ． 【分析】先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答． 【解答】解：18x2y﹣12xy+2y ＝2y（9x2﹣6x+1） ＝ 2y（3x﹣1）2， 故答案为：2y（3x﹣1）2． 【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 38．（2026秋•同步）把﹣4m3+12m2﹣6m因式分解． 【分析】直接找出公因式﹣2m分解因式即可． 【解答】解：﹣4m3+12m2﹣6m ＝﹣2m（m2﹣6m+3）． 【点评】此题主要考查了提取公因式法，正确找出公因式是解题关键． 39．（2026春•西安期末）分解因式：﹣4a3+12a2﹣9a． 【分析】先提取公因式﹣a，再运用完全平方公式分解即可． 【解答】解：原式＝﹣a（4a2﹣12a+9） ＝﹣a（2a﹣3）2． 【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握该知识点是关键． 40．（2025秋•安定区期末）因式分解：a2（m﹣2）+b2（2﹣m）． 【分析】先提公因式，然后用平方差公式分解因式即可． 【解答】解：原式＝a2（m﹣2）﹣b2（m﹣2）（m﹣2）（a2﹣b2） ＝（m﹣2）（a+b）（a﹣b）． 【点评】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 💯 课后巩固 ❤复习建议 牢记因式分解与整式乘法互为逆运算：左边和差、右边乘积 提公因式三步走：系数最大公约数→相同字母→最低次幂 公式法先识别结构：平方差两项符号相反；完全平方三项首末平方中间两倍积 综合题顺序：先提公因式再用公式，必须分解到每个因式都不能再分 已知某因式求参数：令该因式为零代入多项式等于零解方程 【作业 1】（2026春•达川区期末）下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的是（　　） A．a（x+y）＝ax+ay B．x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3x C．5x2+10x＝5x（x+2） D．x2﹣4x﹣4＝（x﹣2）2 【分析】根据因式分解的定义，判断哪个选项的变形是将多项式化为整式乘积的形式． 【解答】解：根据因式分解定义逐项分析判断如下： 选项A、右边是ax+ay，是和的形式，不是积的形式，故不是分解因式， 选项B、右边是（x+2）（x﹣2）+3x，含有和的形式，不是乘积的形式，故不是分解因式， 选项C、右边是5x（x+2），是整式积的形式，且左边等于右边，故是分解因式， 选项D、右边是（x﹣2）2，但左边x2﹣4x﹣4≠（x﹣2）2，故不是分解因式， 故选：C． 【点评】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键． 【作业 2】（2025秋•平安区期末）将3a（x﹣y）﹣9b（x﹣y）用提公因式法分解因式，应提的公因式是（　　） A．3a﹣b B．x﹣y C．3（x﹣y） D．3a+b 【分析】根据公因式的定义及确定公因式的方法即可直接得出答案． 【解答】解：提公因式法分解因式，应提的公因式是3（x﹣y）． 故选：C． 【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法，掌握公因式的方法是关键． 【作业 3】（2025秋•下陆区期末）下列因式分解正确的是（　　） A．2mn2﹣2m＝2m（n2﹣1） B．4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2 C．4x2﹣6xy+9y2＝（2x﹣3y）2 D．a2+ab+a＝a（a+b） 【分析】先提公因式，然后运用公式法继续分解，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、2mn2﹣2m＝2m（n2﹣1）＝2m（n+1）（n﹣1），故A不符合题意； B、4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2，故B符合题意； C、4x2﹣12xy+9y2＝（2x﹣3y）2，故C不符合题意； D、a2+ab+a＝a（a+b+1），故D不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式． 【作业 4】（2025秋•金山区校级期末）已知整式x2﹣x+k可以因式分解为（x+m）（x﹣5），则k的值为　﹣20　 ． 【分析】通过展开因式分解形式，比较同类项系数，建立方程求解． 【解答】解：通过展开因式分解形式，比较同类项系数可知： （x+m）（x﹣5）＝x2+（m﹣5）x﹣5m， 得m﹣5＝﹣1， 解得 m＝4， 则k＝﹣5m＝﹣5×4＝﹣20． 故答案为：﹣20． 【点评】本题考查的是根据因式分解的结果求参数，熟练掌握该知识点是关键． 【作业 5】（2023•柳州自主招生）已知多项式x2+bx+c（其中b，c是常数）既是多项式x4+6x2+25的因式，也是多项式3x4+4x2+28x+5的因式，则当x＝1时，x2+bx+c的值为　4　 ． 【分析】根据题意得出x2+bx+c也必定是x4+6x2+25与3x4+4x2+28x+5差的一个因式，通过做差，实现降次，结合对应系数相等得出b＝﹣2，c＝5，最后将x＝1代入计算即可得出答案． 【解答】解：∵多项式x2+bx+c（其中b，c是常数）既是多项式x4+6x2+25的因式，也是多项式3x4+4x2+28x+5的因式， ∴也必定是x4+6x2+25与3x4+4x2+28x+5差的一个因式， ∵3（x4+6x2+25）﹣（3x4+4x2+28x+5）＝14（x2﹣2x+5）， ∴x2﹣2x+5＝x2+bx+c， ∴b＝﹣2，c＝5， ∴当x＝1时，x2+bx+c＝12﹣2+5＝4， 故答案为：4． 【点评】本题考查了因式分解的意义，因式分解﹣分组分解法，因式分解﹣十字相乘法，关键是因式分解意义的熟练掌握． 【作业 6】（2025秋•江油市期末）用提公因式法分解27x3y5+18x2y7时，应提出的公因式　9x2y5 ． 【分析】通过提取多项式中各项的公因式，包括系数的最大公约数和变量的最低次幂，找出公因式即可． 【解答】解：系数27和18的最大公约数为9，变量x的指数取较小值2，变量y的指数取较小值5， 因此公因式为9x2y5， 故答案为：9x2y5． 【点评】本题考查的是提公因式法分解因式，解题的关键是掌握公因式的概念． 【作业 7】（2026•武宁县二模）分解因式：4m2﹣16＝　4（m+2）（m﹣2）　 ． 【分析】先提取公因式4，再利用平方差公式分解即可． 【解答】解：原式＝4（m2﹣4）＝4（m+2）（m﹣2）． 故答案为：4（m+2）（m﹣2）． 【点评】本题考查的是因式分解，熟知因式分解的公式法和提公因式法是解题的关键． 【作业 8】（2025秋•如皋市校级期末）分解因式：a2（b+c）﹣4（b+c）的结果是 　（b+c）（a﹣2）（a+2）　 ． 【分析】观察表达式，发现公因式（b+c），提取后剩余部分为a2﹣4，再利用平方差公式分解． 【解答】解：a2（b+c）﹣4（b+c） ＝（b+c）（a2﹣4） ＝（b+c）（a﹣2）（a+2）． 故答案为（b+c）（a﹣2）（a+2）． 【点评】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．熟练掌握该知识点是关键． 【作业 9】（2026秋•同步）分解因式： （1）2mn2+mn； （2）6xy2﹣8x2y3； （3）6a2b+9ab2﹣15ab； （4）3m2n﹣3mn+6n； （5）4x2y3+8x3y2+12x4y； （6）2m（x﹣y）﹣3n（x﹣y）； （7）2a（a﹣b）2﹣（a﹣b）3； （8）x2（3y﹣6）+x（6﹣3y）． 【分析】（1）提公因式mn分解因式即可； （2）提公因式2xy2分解因式即可； （3）提公因式3ab分解因式即可； （4）提公因式3n分解因式即可； （5）提公因式4x2y分解因式即可； （6）提公因式（x﹣y）分解因式即可； （7）提公因式（a﹣b）2分解因式即可； （8）提公因式3x（y﹣2）分解因式即可． 【解答】解：（1）原式＝mn（2n+1）； （2）原式＝2xy2（3﹣4xy）； （3）原式＝3ab（2a+3b﹣5）； （4）原式＝3n（m2﹣m+2）； （5）原式＝4x2y（y2+2xy+3x2）； （6）2m（x﹣y）﹣3n（x﹣y） ＝（x﹣y）（2m﹣3n）； （7）2a（a﹣b）2﹣（a﹣b）3 ＝（a﹣b）2[2a﹣（a﹣b）] ＝（a﹣b）2（a+b）； （8）x2（3y﹣6）+x（6﹣3y） ＝3x2（y﹣2）﹣3x（y﹣2） ＝3x（y﹣2）（x﹣1）． 【点评】本题考查提公因式法分解因式，正确确定公因式是解答的关键． 【作业 10】（2025秋•松原期末）因式分解： （1）x2+6x+9； （2）m3﹣4m． 【分析】（1）直接利用完全平方公式； （2）先提公因式，再利用平方差公式． 【解答】解：（1）x2+6x+9＝（x+3）2； （2）m3﹣4m ＝m（m2﹣4） ＝m（m+2）（m﹣2）． 【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法和公式法是解决本题的关键． 【作业 11】（2026春•淳化县校级期末）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到a2+2ab+b2＝（a+b）2． （1）观察图2，请用两种不同的方法表示图2中大长方形的面积，并写成因式分解的形式； （2）在图2中，若大长方形的周长为30，且ab＝6，求阴影部分的面积． 【分析】（1）用两种方式表示出大长方形的面积，从而即可得出结果； （2）由大长方形的周长得出a+b＝5，再结合完全平方公式计算得出a2+b2＝13，即可得出结果． 【解答】解：（1）图2面积为2a2+5ab+2b2，也可以表示为（2a+b）（a+2b）， 写成因式分解的形式为： 2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）． （2）大长方形的周长＝2（2a+b）+2（a+2b）＝6（a+b）＝30， ∴a+b＝5． ∵a2+2ab+b2＝（a+b）2， ∴a2+12+b2＝25， ∴a2+b2＝13， ∴阴影部分面积＝2a2+2b2＝2（a2+b2）＝26． 【点评】本题考查了因式分解的应用、整式的化简求值，熟练掌握以上知识点是关键． 【作业 12】（2026秋•同步）问题探究：数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．例如：我们可以通过表示几何图形面积的方法来快速地对多项式a2+2ab+b2进行因式分解． 如图（1）所示的边长为（a+b）的大正方形是由1张边长为a的正方形卡片A，1张边长为b的正方形卡片B，2张邻边长分别为a，b的长方形卡片C组成的，这个图形的面积可以表示成a2+2ab+b2或（a+b）2，从而验证a2+2ab+b2＝（a+b）2． （1）如图（2），用1张正方形卡片A，2张长方形卡片C拼成一个长方形，可以验证多项式的因式分解为a2+2ab＝a（a+2b）　 ； （2）某数学兴趣小组的同学用若干张卡片A、B、C，开展对多项式因式分解的几何验证活动： ①他们利用若干张卡片A、B、C拼成图（3）中的长方形，你认为他们想验证多项式的因式分解为a2+3ab+2b2＝（a+b）（a+2b）　 ； ②请你类比上述方法对多项式3a2+4ab+b2进行因式分解，要求画出因式分解的图形，标出各边的长度； ③问题②中，某同学发现他们所拼成的长方形面积为45，并且a，b均为正整数，请分别求出a，b的长． 【分析】（1）用两种方法表示出图（2）中图形的面积，得到验证多项式的因式分解即可； （2）①用两种方法表示出图（3）中图形的面积，得到验证多项式的因式分解即可； ②画出相关图形，借助图形得到验证多项式的因式分解即可； ③根据②中得到的因式分解判断出a+b和3a+b的值，进而得到a和b的值即可． 【解答】解：（1）这个图形的面积可以表示为：a2+2ab或a（a+2b），从而验证a2+2ab＝a（a+2b）， 故答案为：a2+2ab＝a（a+2b）； （2）①这个图形的面积可以表示为：a2+3ab+2b2或（a+b）（a+2b），从而验证a2+3ab+2b2＝（a+b）（a+2b）， 故答案为：a2+3ab+2b2＝（a+b）（a+2b）； ② 这个图形的面积可以表示为：3a2+4ab+b2或（a+b）（3a+b），从而验证3a2+4ab+b2＝（a+b）（3a+b）， ③由题意得：（a+b）（3a+b）＝45， ∵a，b均为正整数， ∴， 解得：． 答：a＝2，b＝3． 【点评】本题考查因式分解的应用．借助图形得到因式分解的相应等式是解决本题的关键． 【作业 13】（2025秋•威信县月考）我们把形如a2±2ab+b2的式子称为完全平方式．若一个多项式不是完全平方式，可通过“先添加适当项构造完全平方式，再减去该项保持式子的值不变”的方法变形，这就是配方法．配方法可用于因式分解、求代数式最值或解决一些与非负数相关的问题等．例如： 例1．因式分解：m2+8m+7． 解：原式＝（m2+8m+16）﹣16+7＝（m+4）2﹣9＝（m+4+3）（m+4﹣3）＝（m+7）（m+1）． 例2．求式子m2+8m+7的最小值． 解：原式＝（m+4）2﹣9， ∵（m+4）2≥0， ∴（m+4）2﹣9≥﹣9， ∴当m＝﹣4时，m2+8m+7有最小值﹣9． 请根据阅读材料解决下列问题： （1）因式分解：m2﹣6m﹣7＝　（m+1）（m﹣7）　 ；（直接写出结果） 当m＝　3　 时，多项式m2﹣6m﹣7有最小值，这个最小值是　﹣16　 ； （2）已知m，n，p为某三角形的三边长，且满足2m2+n2+p2﹣12m﹣8n﹣10p+59＝0，求该三角形的周长． 【分析】（1）将多项式配方，根据题例题的方法解答即可； （2）将等式左边配方后，利用非负数的性质求出m，n，p的值，进而求解即可． 【解答】解：（1）m2﹣6m﹣7 ＝m2﹣6m+9﹣16 ＝（m﹣3）2﹣16 ＝（m﹣3+4）（m﹣3﹣4） ＝（m+1）（m﹣7）； ∵（m﹣3）2≥0 ∴（m﹣3）2﹣16≥﹣16 ∴当m＝3时，多项式m2﹣6m﹣7的最小值是﹣16； 故答案为：（m+1）（m﹣7），3，﹣16； （2）已知m，n，p为某三角形的三边长，且满足2m2+n2+p2﹣12m﹣8n﹣10p+59＝0， ∵2m2+n2+p2﹣12m﹣8n﹣10p+59＝0， ∴2m2﹣12m+18+n2﹣8n+16+p2﹣10p+25＝0， ∴2（m﹣3）2+（n﹣4）2+（p﹣5）2＝0， ∴m﹣3＝0，n﹣4＝0，p﹣5＝0， ∴m＝3，n＝4，p＝5， ∴该三角形的周长为：3+4+5＝12． 【点评】本题考查了完全平方公式的应用，因式分解，非负数的性质，解题的关键是对式子正确配方． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $